新北师大版九年级上册矩形的性质和判定
4、 在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O, 已知AB=6，BC=8，
(1)求AC=----，BD=----，
(2)矩形ABCD的周长是------，面积是-----。
A
D
O 6
B
C
8
例1：□ABCD的对角线AC与BD相交于 点O，（1）若AC=BD，则□ABCD是
形；（2）若∠ABC是直角，则
等腰三角形有： △OAB △ OBC △OCD △OAD
直角三角形有： Rt△ABC Rt△BCD Rt△CDA
Rt△DAB
全等三角形有：
Rt△ABC ≌ Rt△BCD ≌ Rt△CDA ≌ Rt△DAB
△OAB≌△OCD
△OAD≌△OCB
探索矩形的对称性:
矩形是中心对称图形吗？ 矩形是轴对称图形吗？对称轴有几条?
矩形判定方法3
对角线相等的平行四边形是矩形。
本节课你有哪些收获？
1. 矩形的定义：
两组对边
四边形 分别平行
平行 四边形
有一个内角 A
是直角
矩形
O
D
2. 矩形的性质：
B
C
∠ABC=∠BCD =∠CDA =∠DAB=900 .
四边形ABCD 是矩形
AB∥CD,且AB=CD；AD∥BC,且AD=BC.
AC=BD,OA=OC,OB=OD.
我们生活中充满了矩形这种几何图 形，教室里的黑板，门窗，课桌的桌面， 信封明信片等都是矩形的形状，你知道 什么是矩形吗？ 你是否了解这种几何图 形的性质呢？
自主探究
矩形的性质
定理:矩形的四个角都是直角.
已知:如图,四边形ABCD是矩形.A
D
求证:∠A=∠B=∠C=∠D=900.
证明: ∵ 四边形ABCD是矩形, B
4已知：如图，平行四边形ABCD
的四个内角的平分线分别相交于
点E、F、G、H。四边形EFGH
是矩形吗
A
D
G
F
H
E
B
C
（3）矩形的对角线相等． （4）矩形是中心对称图形,又是轴对称图形
1. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质
是（ ）A. A、对角线相等
B、对边相等
C、对角相等 D、对角线互相平分
2、 矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm，
则它的对角线长是 5 cm.
3.下面性质中，矩形不一定具有的是（ ） A.对角线相等 B.四个角相等 C.是轴对称图形 D.对角线互相垂直
矩形
矩形
情 景
我们已经知道平行四边形是特殊的 四边形，因此平行四边形除具有四 边形的性质外，还有它的特殊性质，
创 设
同样对于平行四边形来说有特殊情 况即特殊的平行四边形，这堂课我 们就来研究一种恃殊的平行四边
形——
矩形
两组对边 平行 一个角是 分别平行 四边形 直角 矩形
矩形定义
定义：有一个角是直角的平行四 边形叫做矩形
A D
C
B
相等的线段： 已知四边形ABCD是矩形
A
D
AB=CD AD=BC AC=BD
OA=OC=OB=OD= 1 AC= 1 BD
相等的角：
2
2
B
∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
O C
∠AOB=∠DOC ∠AOD=∠BOC
∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD ∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB
两条对角线.
求证: AC=BD.
A
D
证明:∵ 四边形ABCD是矩形 B
C
∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=900. 分析:
∵BC=CB
根据矩形的性质,可
∴△ABC≌△DCB(SAS).
∴AC=DB.
转化为全等三角形 (SAS)来证明.
合作交流
直角三角形的性质
议一议:设矩形的对角线AC与BD交于点E,
那么,BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段?
BE是Rt△ABC中斜边AC上的中线.
A
D
它与AC有什么大小关系?为什么?
E
BE等于AC的一半.
B
C
∵ AC=BD,BE=DE
BE 1 BD. BE 1 AC.
由此可得2 推论: 2
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
知识 总结
矩形的性质,推论:
（2）矩形对角线的长.
A
D
4
120°
O
B
C
拓展延伸
1.在矩形纸片ABCD中，AB＝6
，BC＝8.将矩形纸片沿BD折叠
，使点A落在E处.设DE与BC相
交于点F，求BF的长.
A
D
B
FCபைடு நூலகம்
E
2.矩形ABCD中,DF平分
∠ADC,交AC于E,交BC于F,
∠BDF＝15°,求∠DOC和
∠COF的度数.
A
D
O
□ABCD是 形；
D
C
O
A
B
变式：四边形ABCD中， ∠ A=∠B
=∠C=900，四边形ABCD的形状
总结；判定一个四边形是矩形有几种方法？分 别是什么？
矩形
1、一个角 是直角 2、对角线 相等
四边形
平行四边形
矩形的判定
矩形判定方法1
有一个角是直角的平行四边形是矩形
矩形判定方法2
有三个角是直角的四边形是矩形。
B 对边相等
C 对角相等
D 对角线互相平分
2. 下面说法中正确的是 （ D ）.
A 有一个角是直角的四边形是矩形.
B 两条对角线相等的四边形是矩形.
C 两条对角线互相垂直的四边形是矩形.
D 四个角都是直角的四边形是矩形.
二. 填空:
矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm，则它的对角
线长是 5 cm.
1、已知:如图,过矩形ABCD的顶点作
矩形的面积＝ 48
㎝2
4 若已知 ∠DOC=120°，AD＝6㎝，则AC= 12
㎝
如图，在矩形ABCD中，点E在AD 上，EC平分∠BED.
（1）△BEC是 三角形；
（2）若AB＝1，∠ABE＝45°，
则BC＝
.A
ED
B
C
例题解析: 例: 已知:矩形ABCD的两条对角线AC、BD 相交于点0, ∠AOD=120°, AB = 4cm, 求（1）判断△AOB的形状；
C
∴∠A=900,四边形ABCD是平行四边形.分定析义:由,利矩用形对的角
∴∠C=∠A=900, ∠B=1800-∠A=900,
相等,邻角互补 可使问题得证.
∠D=1800-∠A=900.
即：矩形的四个角都是直角.
自主 探究
矩形的性质
定理:矩形的两条对角线相等.
已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的
E
B
F
C
• 拓展提高
• 3.如图 在矩形ABCD中，BE平分
∠ABC,交CD于点E，点F在边BC
上，① 如果FE⊥AE，求证
FE=AE。 D E
C
F
A
B
拓展提高
②如果FE=AE 你能证明 FE⊥AE吗？
D
E
C
F
A
B
学习小结
一、矩形的定义： 有一个角是直角的平行四边形
二、矩形的性质： (1)具有平行四边形的一切性质 (2)矩形的四个角都是直角
CE//BD，交 AB的延长线于E。
求证：∠CAE=∠CEA
D
C
A
B
E
2：如图四边形ABCD中， ∠ABC=∠ADC=900，E是AC中点，EF 平分∠BED交BD于点F， （1）猜想EF与BD具有怎样的关系？ （2）试证明你的猜想。 A
E
B
F
D
C
3已知：如图，BC是等腰△BED底 边ED上的高，四边形ABEC是平行 四边形．试说明：四边形ABCD是 矩形。
3. 矩形的判别：
平行 四边形
有一个内角是直角 对角线相等
矩形
1.思有关想矩方形法问方题面可：化为直角三角形或等腰三角形的问
题来解决.
2.要判别一个四边形是矩形,一般要先判别它是平行四
边形,然后再找直角或对角线相等”.
课内练习
一. 选择:
1. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（A）.
A 对角线相等
矩形是中心对称图形,又是轴对称图形
A
D
O
B
C
练一练
D
C
O
• 四边形ABCD是矩形
1 若已知AB=8㎝，AD=6㎝，
A
B
则AC＝ 10 ㎝ OB= 5 ㎝
2 若已知∠CAB=40°，则∠OCB= 50°
∠OBA= 40° ∠AOB= 100°∠AOD= 80°
3 若已知AC＝10㎝，BC=6㎝，则矩形的周长＝ 28 ㎝
定理:矩形的四个角都是直角. A
D
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=900
B
C
定理:矩形的两条对角线相等. A
D
∵AC,BD是矩形ABCD的两条对角线.
∴AC=BD.
推论(直角三角形性质):
B
C
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
在△ABC中,∠ACB=900,
∵AD=BD CD 1 AB. 2
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1.2矩形的性质与判定+课件+2023-2024学年北师大版数学九年级上册
B．AC＝BD
C．AD＝AB
D．∠BAD＝∠ADC
2．如图，BO是Rt△ABC斜边上的中线，延长BO到点D，使DO＝BO，
连接AD，CD．四边形ABCD是矩形吗?请说明理由．
解：四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵BO是Rt△ABC斜边上的中线，
∴OA＝OC＝OB＝OD．
∴四边形ABCD是平行四边形，且AC＝BD．
∴DE∥AC，DF∥AB．
∴四边形AEDF是平行四边形．
又∠A＝90°，
∴四边形AEDF是矩形．
典例3
如图，在□ ABCD是矩形ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作
DE⊥BC交BC的延长线于点E．求证：四边形ACED是矩形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAC＝∠ACB＝90°．
不一定成立的是( C )
A．AB∥CD
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．OA＝OC
变式1
矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( C )
A．对角相等
B．对边相等
C．对角线相等
D．对角线互相平分
典例2
如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点．求证：AE＝BE．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠D＝∠C＝90°．
∴∠ABD＝ ∠ABC，∠ABE＝ ∠ABP．
∵∠ABC＋∠ABP＝180°，
∴∠ABD＋∠ABE＝ ×180°＝90°，
即∠DBE＝90°．
∵AE⊥BE，AD⊥BD，
∴∠E＝∠D＝90°．
∴四边形AEBD是矩形．
1．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能
C．AD＝AB
D．∠BAD＝∠ADC
2．如图，BO是Rt△ABC斜边上的中线，延长BO到点D，使DO＝BO，
连接AD，CD．四边形ABCD是矩形吗?请说明理由．
解：四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵BO是Rt△ABC斜边上的中线，
∴OA＝OC＝OB＝OD．
∴四边形ABCD是平行四边形，且AC＝BD．
∴DE∥AC，DF∥AB．
∴四边形AEDF是平行四边形．
又∠A＝90°，
∴四边形AEDF是矩形．
典例3
如图，在□ ABCD是矩形ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作
DE⊥BC交BC的延长线于点E．求证：四边形ACED是矩形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAC＝∠ACB＝90°．
不一定成立的是( C )
A．AB∥CD
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．OA＝OC
变式1
矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( C )
A．对角相等
B．对边相等
C．对角线相等
D．对角线互相平分
典例2
如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点．求证：AE＝BE．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠D＝∠C＝90°．
∴∠ABD＝ ∠ABC，∠ABE＝ ∠ABP．
∵∠ABC＋∠ABP＝180°，
∴∠ABD＋∠ABE＝ ×180°＝90°，
即∠DBE＝90°．
∵AE⊥BE，AD⊥BD，
∴∠E＝∠D＝90°．
∴四边形AEBD是矩形．
1．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能
北师大版九年级数学上册1.2.1矩形的性质与判定课件(共23张PPT)
边形是什么图形?
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形
平行四边形
有一个角 是直角
矩形
矩形是特殊的平行四边形
生活中的实例
分组讨论 探究新知
问题1： 既然矩形是平行四边形,那么它具有平行四 边形的哪些性质？
性质
边
角
对角线 对称性
矩形
对边平行 且相等
对角相等
对角线互相 中心对称 平分 图形
问题2
例1：如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O， ∠AOD=120°，AB=2.5cm，求矩形对角线的长。
A
D
O
B
C
你还有其他解法吗？
反馈练习二
1. 下面性质中，矩形不一定具有的是 [ D ]
A．对角线相等 C．是轴对称图形
B．四个角都相等 D．对角线垂直
2. 如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与 BD相交于点O，AB=6,OA=4.求BD与AD的长.
矩形是特殊的平行四边形
公平,因为OA=OC=OB=OD
当矩形的大小不断变化时，发现的结论是否仍然成立？
（2）AC = BD
公平,因为OA=OC=OB=OD （2）在运动过程中四边形不变的是什么？
这是矩形所
矩形的四个角都是直角.
O
特有的性质
生活链接---投圈游戏
四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一
B
C
O
B
C
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。这个结 论对于所有直角三角形都成立。
反馈练习一
已知△ABC是Rt△,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的中线. (1)若BD=3㎝,则AC＝_6____㎝; (2)若∠C=30°,AB＝5㎝,则AC＝__1_0__㎝,BD＝__5___ ㎝.
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形
平行四边形
有一个角 是直角
矩形
矩形是特殊的平行四边形
生活中的实例
分组讨论 探究新知
问题1： 既然矩形是平行四边形,那么它具有平行四 边形的哪些性质？
性质
边
角
对角线 对称性
矩形
对边平行 且相等
对角相等
对角线互相 中心对称 平分 图形
问题2
例1：如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O， ∠AOD=120°，AB=2.5cm，求矩形对角线的长。
A
D
O
B
C
你还有其他解法吗？
反馈练习二
1. 下面性质中，矩形不一定具有的是 [ D ]
A．对角线相等 C．是轴对称图形
B．四个角都相等 D．对角线垂直
2. 如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与 BD相交于点O，AB=6,OA=4.求BD与AD的长.
矩形是特殊的平行四边形
公平,因为OA=OC=OB=OD
当矩形的大小不断变化时，发现的结论是否仍然成立？
（2）AC = BD
公平,因为OA=OC=OB=OD （2）在运动过程中四边形不变的是什么？
这是矩形所
矩形的四个角都是直角.
O
特有的性质
生活链接---投圈游戏
四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一
B
C
O
B
C
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。这个结 论对于所有直角三角形都成立。
反馈练习一
已知△ABC是Rt△,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的中线. (1)若BD=3㎝,则AC＝_6____㎝; (2)若∠C=30°,AB＝5㎝,则AC＝__1_0__㎝,BD＝__5___ ㎝.
矩形的性质与判定第1课时课件北师大版九年级上册数学
合作探究
解:(1)证明:连接BE，由折叠图形的轴对称性可知，B'F＝
BF，
又∠B'FE＝∠BFE＝∠B'EF，∴B'E＝B'F，从而可得B'E
＝BF.
合作探究
(2)第一种关系:a2＋b2＝c2.证明:由折叠可知BE＝B'E，由
(1)知B'E＝BF＝c，∴BE＝c.在△ABE中，∠A＝90°，∴AE2
∴矩形ABCD的周长等于28.
合作探究
变式训练
如图，在矩形ABCD中，AF＝DE.求证:BE＝CF.
证明:∵AF＝DE，∴AE＝DF.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，
∴△BAE≌△CDF，∴BE＝CF.
合作探究
如图，把矩形ABCD沿EF翻折，若∠1＝50°，则
∠AEF等于(
B )
A.110°
B.115°
C.120°
D.130°
合作探究
变式训练
如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在
边AD上的点B'处，点A落在点A'处.
(1)求证:B'E＝BF.
(2)设AE＝a，AB＝b，BF＝c，试猜想a、b、c之间有何等
量关系，并给予证明.
(3)四边形B'FBE是菱形吗？为什么？
＋AB2＝BE2.∵AE＝a，AB＝b，∴a2＋b2＝c2.
第二种关系: a＋b＞c.证明:由折叠可知BE＝B'E.由(1)知
B'E＝BF＝c，在△ABE中，AE＋AB＞BE，∴a＋b＞c.
(3)是.由(1)(2)可知B'F＝BF＝B'E＝BE，∴四边形B'FBE
矩形的性质与判定课件北师大版数学九年级上册
AC=BD 或 ∠ABC，∠CDA，∠BAD，∠BCD之中有任一个角为直角
矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴.
由此得到：
已知矩形的一条对角线的长度为2cm，两条对角线的一个夹角为60°，求矩形的各边长.
1.
2. 如图，四边形ABCD 为矩形，试利用矩形的性质 说明：直角三角形ABC斜边AC上的中线BO等于 斜边的一半.
例
由于AD∥BC，因此EF⊥AD. 同理，直线EF是线段AD的垂直平分线.
因此点B和点C关于直线EF对称，点A和点D关于直线EF对称，从而在关于直线EF的轴反射下，矩形ABCD的像与它自身重合，因此矩形ABCD是轴对称图形，直线EF是矩形ABCD的一条对称轴.
类似地，过点O作直线MN⊥AB，且分别与边AB，DC相交于点M，N，则点M，N分别是边AB，DC的中点，直线MN是矩形ABCD的一条对称轴.
在纸上画一个矩形ABCD(如图2-44)，把它剪下来，怎样折叠能使矩形在折痕两旁的部分互相重合？满足这个要求的折叠方法有几种？由此猜测：矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？你的猜测正确吗？
图2-44
如图，矩形ABCD的对角线相交于点O.
O
过点O作直线EF⊥BC，且分别与边BC ，AD相交于点E，F.
我们来进行证明.
在□ABCD中，由于AB=DC，AC=DB，BC=CB，
因此 △ABC≌△DCB. (SSS)
从而 ∠ABC=∠DCB.
又∠ABC+∠DCB =180°，
于是 ∠ABC=90°.
所以 □ABCD是矩形.
图2-47
对角线相等的平行四边形是矩形.
由此得到矩形的判定定理：
对角线相等的四边形是矩形吗？
矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴.
由此得到：
已知矩形的一条对角线的长度为2cm，两条对角线的一个夹角为60°，求矩形的各边长.
1.
2. 如图，四边形ABCD 为矩形，试利用矩形的性质 说明：直角三角形ABC斜边AC上的中线BO等于 斜边的一半.
例
由于AD∥BC，因此EF⊥AD. 同理，直线EF是线段AD的垂直平分线.
因此点B和点C关于直线EF对称，点A和点D关于直线EF对称，从而在关于直线EF的轴反射下，矩形ABCD的像与它自身重合，因此矩形ABCD是轴对称图形，直线EF是矩形ABCD的一条对称轴.
类似地，过点O作直线MN⊥AB，且分别与边AB，DC相交于点M，N，则点M，N分别是边AB，DC的中点，直线MN是矩形ABCD的一条对称轴.
在纸上画一个矩形ABCD(如图2-44)，把它剪下来，怎样折叠能使矩形在折痕两旁的部分互相重合？满足这个要求的折叠方法有几种？由此猜测：矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？你的猜测正确吗？
图2-44
如图，矩形ABCD的对角线相交于点O.
O
过点O作直线EF⊥BC，且分别与边BC ，AD相交于点E，F.
我们来进行证明.
在□ABCD中，由于AB=DC，AC=DB，BC=CB，
因此 △ABC≌△DCB. (SSS)
从而 ∠ABC=∠DCB.
又∠ABC+∠DCB =180°，
于是 ∠ABC=90°.
所以 □ABCD是矩形.
图2-47
对角线相等的平行四边形是矩形.
由此得到矩形的判定定理：
对角线相等的四边形是矩形吗？
北师大版九年级数学上册1.2.2矩形的性质与判定优秀教学案例
3.小组合作：我组织学生进行小组合作，让他们共同探讨矩形的性质和判定方法。这种小组合作的学习方式不仅能够培养学生的团队合作和沟通能力，还能够促进他们之间的互相学习和共同进步。
4.反思与评价：在课堂的最后阶段，我组织学生进行反思，让他们回顾本节课所学的矩形的性质和判定方法，巩固知识。同时，我设计相关的练习题目，让学生进行实践操作，检验他们对矩形性质和判定方法的掌握程度。这种反思与评价的教学策略能够培养学生的自我评估和自我改进能力，提高他们的学习效果。
北师大版九年级数学上册1.2.2矩形的性质与判定优秀教学案例
一、案例背景
本节课的教学内容是北师大版九年级数学上册1.2.2矩形的性质与判定。矩形是初中数学中的重要几何图形之一，它具有独特的性质和判定方法。在本节课中，学生需要掌握矩形的性质，包括对角线相等、四个角都是直角等，同时还需要学习如何判定一个四边形是矩形。
在教学过程中，我以实际生活中的情境为导入，让学生观察教室的黑板，发现黑板是一个矩形。通过这个实例，让学生初步感知矩形的性质，并激发他们对本节课的学习兴趣。接着，我引导学生通过小组合作、讨论交流的方式，探索矩形的性质和判定方法。在学生掌握矩形的性质后，我组织学生进行实践操作，让他们运用所学知识解决实际问题，如测量教室的长和宽等。
（四）反思与评价
1.在课堂的最后阶段，组织学生进行反思，让他们回顾本节课所学的矩形的性质和判定方法，巩固知识。
2.设计相关的练习题目，让学生进行实践操作，检验他们对矩形性质和判定方法的掌握程度。
3.教师对学生的学习情况进行评价，及时给予肯定和鼓励，提高他们的学习积极性和自信心。
作为一名特级教师，我深知教学策略的重要性。在教学过程中，我将根据学生的实际情况，灵活运用各种教学策略，以激发学生的学习兴趣，培养他们的几何思维和问题解决能力，提高他们的学习效果。同时，我还会注重学生的情感态度与价值观的培养，让他们在愉快的氛围中学习和成长。
4.反思与评价：在课堂的最后阶段，我组织学生进行反思，让他们回顾本节课所学的矩形的性质和判定方法，巩固知识。同时，我设计相关的练习题目，让学生进行实践操作，检验他们对矩形性质和判定方法的掌握程度。这种反思与评价的教学策略能够培养学生的自我评估和自我改进能力，提高他们的学习效果。
北师大版九年级数学上册1.2.2矩形的性质与判定优秀教学案例
一、案例背景
本节课的教学内容是北师大版九年级数学上册1.2.2矩形的性质与判定。矩形是初中数学中的重要几何图形之一，它具有独特的性质和判定方法。在本节课中，学生需要掌握矩形的性质，包括对角线相等、四个角都是直角等，同时还需要学习如何判定一个四边形是矩形。
在教学过程中，我以实际生活中的情境为导入，让学生观察教室的黑板，发现黑板是一个矩形。通过这个实例，让学生初步感知矩形的性质，并激发他们对本节课的学习兴趣。接着，我引导学生通过小组合作、讨论交流的方式，探索矩形的性质和判定方法。在学生掌握矩形的性质后，我组织学生进行实践操作，让他们运用所学知识解决实际问题，如测量教室的长和宽等。
（四）反思与评价
1.在课堂的最后阶段，组织学生进行反思，让他们回顾本节课所学的矩形的性质和判定方法，巩固知识。
2.设计相关的练习题目，让学生进行实践操作，检验他们对矩形性质和判定方法的掌握程度。
3.教师对学生的学习情况进行评价，及时给予肯定和鼓励，提高他们的学习积极性和自信心。
作为一名特级教师，我深知教学策略的重要性。在教学过程中，我将根据学生的实际情况，灵活运用各种教学策略，以激发学生的学习兴趣，培养他们的几何思维和问题解决能力，提高他们的学习效果。同时，我还会注重学生的情感态度与价值观的培养，让他们在愉快的氛围中学习和成长。
北师大九年级上册 第3课时 矩形的性质、判定与其他知识的综合
例5 如图所示，在△ABC 中，D 为 BC 边上的一点， E 是 AD 的中点，过 A 点作 BC 的平行线交 CE 的延长 线于点 F，且 AF＝BD. 连接 BF.
(1) BD 与 DC 有什么数量关系？请说明理由； (2) 当△ABC 满足什么条件时，四边形 AFBD 是矩形？ 并说明理由．
第一章 特殊的平行四边形
1.2 矩形的性质与判定
第3课时 矩形的性质、判定与其他知识的综合
导入新课
问题1：矩形有哪些性质？ ①是轴对称图形；
A
B
O
②四个角都是直角；
D
C
③对角线相等且互相平分.
问题2：矩形的判定方法有哪些？
①定义：有一个角是直角的平行四边形；
②有一组邻边相等的矩形；
③有一个角是直角的菱形.
(2) 求四边形 OBEC 的面积． 解：∵ CE∥DB，BE∥AC， ∴ 四边形 OBEC 为平行四边形. 又∵ AC⊥BD，∴∠COB＝90°. ∴ 平行四边形 OBEC 为矩形. ∵ OB＝OD＝3 cm，OC＝4 cm， ∴ S矩形OBEC＝OB·OC＝3×4＝12 (cm2).
6. 如图，点 D 是△ABC 的边 AB 上一点，CN∥AB， DN 交 AC 于点 M，MA＝MC.
解：(1) BD＝CD. 理由如下： ∵ AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE. ∵ E 是 AD 的中点，∴ AE＝DE.
AFE DCE，
在△AEF 和△DEC 中，AEF DEC，
AE DE，
∴△AEF≌△DEC (AAS). ∴ AF＝DC. ∵ AF＝BD，∴ BD＝DC.
(2) 当△ABC 满足 AB＝AC 时，四边形 AFBD 是矩形. 理由如下：
北师大版九年级数学上册.2矩形的性质与判定课件
自我诊断
1、能够判断一个四边形是矩形的条件是（C）
A 对角线相等
B 对角线垂直
C对角线互相平分且相等 D对角线垂直且相等
2、矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm，则它的对角线长是 5
cm
3、如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD
分别是∠ EAC、 ∠ MCA、 ∠ ACN、 ∠ CAF的角平分线，则四边形
九年级上册
1.2.2 矩形的性质与判定
复习回顾
四边形
两组对边 分别平行
平行 四边形
一个角 是直角
∟
矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
四边形集合
平行四边形集合
矩形集合
边 矩形对边平行且相等；
A
D
O
角 矩形的四个角都是直角；
B
C
对角线 矩形的对角线相等且平分；
直角三角形的性质定理：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
情境一：工人师傅为了检验两组对 边相等的四边形窗框是否成矩形， 一种方法是量一量这个四边形的两 条对角线长度，如果对角线长相等， 则窗框一定是矩形，你知道为什么 吗？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 。
情境一：李芳同学有“边——直角、 边——直角、边——直角、边”这 样四步，画出了一个四边形，她说 这就是一个矩形，她的判断对吗？ 为什么？
ABCD是（ C ） E
A 菱形 B 平行四边形 C 矩形 D 不能确定
AP F
B
D
M
C
N
Q
能说出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？
作业
完成教材和 练习册中的练习 题。
北师大版九年级上册数学课件矩形的性质与判定
复 习
矩
角
边
对角线 对称性
形
性 四个角都 对边平行 互相平分 是轴对称
与 质 是直角 且相等 且相等
图形
回
顾 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
∵∠ACB=90°AD = BD
1
∴CD = AB
2
A D
C
B
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
判定定理1 对角线相等的平行四边形是矩形
并求出对角线的长。
A
D
△AOB等边三角形
对角线的长是6cm B
O C
练习
已知平行四边形ABCD的对角线AC 和BD相交于点O，△AOB是等边三角 形，AB＝ 4 cm．求这个平行四边形 的面积. （分小组交流结果）
答案：16 3cm2
A
你能在四边形的基础上, 从下列条件中选三个,得到矩 形吗?你找到了多少个答案？ B
矩
形
例如：
A
D
的
判
B
C
定
ABCD
AC = BD
ABCD是矩形
判定定理2 有三个角是直角的四边形是矩形
例如：
A
D
B ∠A= ∠B= ∠C=90°
C 四边形ABCD是矩形
判定定理1 对角线相等的平行四边形是矩形
已知：在
ABCD 中，AC = BD。
A
D
求证：
ABCD 是矩形。
B
C
证明：∵AB = DC，BC = CB，AC = DB， ∴ △ABC≌△DCB ， ∴∠ABC = ∠DCB。 ∵AB∥CD， ∴∠ABC + ∠DCB = 180°， ∴ ∠ABC = 90°， ∴ ABCD是矩形。
1.2矩形的性质与判定+课件-2023-2024学年北师大版数学九年级上册
2．(2023·呼和浩特市中考)如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直
平分线MN分别交AD，BC于点M，N．若AM＝1，BN＝2，则BD的长为
( A )
A．2 3
B．3
C．2 5
D．3 2
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8．有一点P从点B沿着
BD往点D移动，若过点P作AB的垂线交AB于点E，过点P作AD的垂线交
证 明 ： ∵∠ABO ＝ ∠DCO ＝ 90° ， OB ＝
OC，∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB≌△DOC．
∴OA＝OD．
∵点E，F分别是AO，DO的中点，
1
1
∴OE＝ OA，OF＝ OD．
2
2
∴OE＝OF．
2．如图，AD和BC相交于点O，∠ABO
＝∠DCO＝90°，OB＝OC，点E，F分别是
AO，DO的中点．
2．如图，公路AC，BC互相垂直，点M为公路AB的中点，为测量
湖泊两侧C，M两点间的距离，若测得AM的长为2.5 km，则M，C两点
间的距离为
( A )
A．2.5 km
B．3 km
C．4.5 km
D．5 km
3．若直角三角形斜边上的高是3，斜边上的中线是6，则这个直角
18
三角形的面积是______．
下列结论一定正确的是
( C )
A．AC平分∠BAD
B．AB＝BC
C．AC＝BD
D．AC⊥BD
【变式1】矩形的两边长分别为6 cm和8 cm，则它的对角线长为
10
_____cm．
知识点2 直角三角形斜边上的中线性质
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中
【北师大版】数学九年级上册.1矩形的性质与判定
的长为____1____.
四、巩固练习
4.如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，
OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的
D 长为（ ）
A. 5
B. 4
C. __34_ 2
D. 34
四、巩固练习
5.已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相 交于点O，过点D作DE∥AC交BC延长线于点E. 求证：BD=DE.
平行四边形
轴对称 中心对称图形
边 对边平行且相等
角
对角相等
对角线
互相平分
矩形的特殊性质 轴对称图形 /
四个角都是直角 相等
探究直角三角形的性质
如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,思考:
(1)BO是Rt△ABC中斜边AC上什么特殊线段?
(2)BO与AC有什么大小关系? A
D
O
B
C
猜想：BO 是Rt△ABC中斜边AC上的中线，
二、探索性质 (1)矩形具有平行四边形的所有性质，你能列举一些这 样的性质吗？
(2)你认为矩形还具有哪些特殊的性质？
平行四边形
轴对称 中心对称图形
边 对边平行且相等
角
对角相等
对角线
互相平分
矩形特殊性质
二、探究矩形的性质 (1)矩形是轴对称图形吗？如果是,请指出它的对称轴. (2)矩形有什么特殊性质？
∴ △ABC ≌△DCB(SAS)
A
D
∴AC=BD
O
B
C
矩形的性质定理：
(1)矩形的四个角都是直角 符号语言： ∵四边形ABCD是矩形 ∴ ∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°
(2)矩形的对角线相等 符号语言： ∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD
四、巩固练习
4.如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，
OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的
D 长为（ ）
A. 5
B. 4
C. __34_ 2
D. 34
四、巩固练习
5.已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相 交于点O，过点D作DE∥AC交BC延长线于点E. 求证：BD=DE.
平行四边形
轴对称 中心对称图形
边 对边平行且相等
角
对角相等
对角线
互相平分
矩形的特殊性质 轴对称图形 /
四个角都是直角 相等
探究直角三角形的性质
如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,思考:
(1)BO是Rt△ABC中斜边AC上什么特殊线段?
(2)BO与AC有什么大小关系? A
D
O
B
C
猜想：BO 是Rt△ABC中斜边AC上的中线，
二、探索性质 (1)矩形具有平行四边形的所有性质，你能列举一些这 样的性质吗？
(2)你认为矩形还具有哪些特殊的性质？
平行四边形
轴对称 中心对称图形
边 对边平行且相等
角
对角相等
对角线
互相平分
矩形特殊性质
二、探究矩形的性质 (1)矩形是轴对称图形吗？如果是,请指出它的对称轴. (2)矩形有什么特殊性质？
∴ △ABC ≌△DCB(SAS)
A
D
∴AC=BD
O
B
C
矩形的性质定理：
(1)矩形的四个角都是直角 符号语言： ∵四边形ABCD是矩形 ∴ ∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°
(2)矩形的对角线相等 符号语言： ∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD