3.2.2 矩形的性质与判定(二)课件(新北师大版九年级上)
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1.2矩形的性质与判定+课件+2023-2024学年北师大版数学九年级上册
B．AC＝BD
C．AD＝AB
D．∠BAD＝∠ADC
2．如图，BO是Rt△ABC斜边上的中线，延长BO到点D，使DO＝BO，
连接AD，CD．四边形ABCD是矩形吗?请说明理由．
解：四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵BO是Rt△ABC斜边上的中线，
∴OA＝OC＝OB＝OD．
∴四边形ABCD是平行四边形，且AC＝BD．
∴DE∥AC，DF∥AB．
∴四边形AEDF是平行四边形．
又∠A＝90°，
∴四边形AEDF是矩形．
典例3
如图，在□ ABCD是矩形ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作
DE⊥BC交BC的延长线于点E．求证：四边形ACED是矩形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAC＝∠ACB＝90°．
不一定成立的是( C )
A．AB∥CD
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．OA＝OC
变式1
矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( C )
A．对角相等
B．对边相等
C．对角线相等
D．对角线互相平分
典例2
如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点．求证：AE＝BE．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠D＝∠C＝90°．
∴∠ABD＝ ∠ABC，∠ABE＝ ∠ABP．
∵∠ABC＋∠ABP＝180°，
∴∠ABD＋∠ABE＝ ×180°＝90°，
即∠DBE＝90°．
∵AE⊥BE，AD⊥BD，
∴∠E＝∠D＝90°．
∴四边形AEBD是矩形．
1．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能
C．AD＝AB
D．∠BAD＝∠ADC
2．如图，BO是Rt△ABC斜边上的中线，延长BO到点D，使DO＝BO，
连接AD，CD．四边形ABCD是矩形吗?请说明理由．
解：四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵BO是Rt△ABC斜边上的中线，
∴OA＝OC＝OB＝OD．
∴四边形ABCD是平行四边形，且AC＝BD．
∴DE∥AC，DF∥AB．
∴四边形AEDF是平行四边形．
又∠A＝90°，
∴四边形AEDF是矩形．
典例3
如图，在□ ABCD是矩形ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作
DE⊥BC交BC的延长线于点E．求证：四边形ACED是矩形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAC＝∠ACB＝90°．
不一定成立的是( C )
A．AB∥CD
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．OA＝OC
变式1
矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( C )
A．对角相等
B．对边相等
C．对角线相等
D．对角线互相平分
典例2
如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点．求证：AE＝BE．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠D＝∠C＝90°．
∴∠ABD＝ ∠ABC，∠ABE＝ ∠ABP．
∵∠ABC＋∠ABP＝180°，
∴∠ABD＋∠ABE＝ ×180°＝90°，
即∠DBE＝90°．
∵AE⊥BE，AD⊥BD，
∴∠E＝∠D＝90°．
∴四边形AEBD是矩形．
1．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能
北师大版九年级数学上册矩形的性质与判定第3课时课件
∵ ED=3BE，∴ BE=OE.
又∵ AE⊥BD，∴ AB=AO.
∴ AB=AO=BO.
图3
典例精讲
即△ABO是等边三角形.
∴∠ABO=60°.
∴∠ADB=90°-∠ABO=30°.
在Rt△AED中，
∵∠ADB=30°，
1
2
1
2
∴ AE= AD= ×6=3.
你还有其他的解法吗？和同学交流.
图3
典例精讲
习题1.6 第1，2，3，4题.
第一章
1.2
第3课时
特殊平行四边形
矩形的性质与判定
矩形的性质与判定的综合应用
第3课时
矩形的性质与判定的综合应用
矩形具有而菱形不具有的性质：
知识梳理
课时学业质量评价
有四个直角，对角线相等
.
第3课时
矩形的性质与判定的综合应用
知识梳理
课时学业质量评价
1. 如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂
1
2
= (∠BAC+∠CAM )
1
2
= ×180°
=90°.
图4
典例精讲
在△ABC中，
∵ AB=AC，AD为∠BAC的角平分线，
∴ AD⊥BC. ∴∠ADC=90°.
又∵ CE⊥AN，
∴ ∠CEA=90° .
∴ 四边形ADCE为矩形
（有三个角是直角的四边形是矩形）.
你还有其他的解法吗？和同学交流.
1
2
D. 6
3
4
5
6
第3课时
矩形的性质与判定的综合应用
知识梳理
课时学业质量评价
矩形的性质与判定第2课时课件北师大版九年级上册数学
C.AC⊥BD D.AB∥CD
方法归纳交流 对角线互相平分且相等的四边形是矩形.
合作探究
如图，在平行四边形ABCD中，E，F为BC上两点，且 BE＝CF，AF＝DE.
求证:(1)△ABF≌△DCE； (2)四边形ABCD是矩形.
合作探究
证明:(1)∵BE＝CF，BF＝BE＋EF，CE＝CF＋EF，∴BF ＝CE.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC.又∵AF＝DE， ∴△ABF≌△DCE(SSS).
合作探究
(2)证明:∵∠ACB＝90°，D是AB的中点， ∴BD＝CD， ∵DE是∠BDC的角平分线， ∴DE⊥BC. ∴∠DEC＝90°， ∵∠CFD＝90°，∠ACB＝90°， ∴四边形DECF是矩形.
(2)摆放成四边形(如图2)； (3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图3)，调整窗框的边框， 当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图4)，说明窗框合格.
预习导学
你能说明其中的道理吗？ 操作活动:学生画矩形. 问题:大家平时是如何画矩形的呢？请利用手中的三尺或圆 规在白纸上画出一个矩形. 1.你的矩形是如何画出来的？(学生交流各自画法) 2.你画出的四边形一定是矩形吗？说明理由.
预习导学
2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180° 得到△FEC，连接AE、BF.当∠ACB为 60 度时，四边形 ABFE为矩形.
合作探究
如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相等，则下列条 件能判定四边形ABCD为矩形的是( B )
A.BA＝BC B.AC、BD互相平分
合作探究
方法归纳交流 条件探索类的问题，一般是把结论当作题设，反向推导出 与问题相关的结论.
合作探究
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点， DE、DF分别是△BDC、△ADC的角平分线.
方法归纳交流 对角线互相平分且相等的四边形是矩形.
合作探究
如图，在平行四边形ABCD中，E，F为BC上两点，且 BE＝CF，AF＝DE.
求证:(1)△ABF≌△DCE； (2)四边形ABCD是矩形.
合作探究
证明:(1)∵BE＝CF，BF＝BE＋EF，CE＝CF＋EF，∴BF ＝CE.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC.又∵AF＝DE， ∴△ABF≌△DCE(SSS).
合作探究
(2)证明:∵∠ACB＝90°，D是AB的中点， ∴BD＝CD， ∵DE是∠BDC的角平分线， ∴DE⊥BC. ∴∠DEC＝90°， ∵∠CFD＝90°，∠ACB＝90°， ∴四边形DECF是矩形.
(2)摆放成四边形(如图2)； (3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图3)，调整窗框的边框， 当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图4)，说明窗框合格.
预习导学
你能说明其中的道理吗？ 操作活动:学生画矩形. 问题:大家平时是如何画矩形的呢？请利用手中的三尺或圆 规在白纸上画出一个矩形. 1.你的矩形是如何画出来的？(学生交流各自画法) 2.你画出的四边形一定是矩形吗？说明理由.
预习导学
2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180° 得到△FEC，连接AE、BF.当∠ACB为 60 度时，四边形 ABFE为矩形.
合作探究
如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相等，则下列条 件能判定四边形ABCD为矩形的是( B )
A.BA＝BC B.AC、BD互相平分
合作探究
方法归纳交流 条件探索类的问题，一般是把结论当作题设，反向推导出 与问题相关的结论.
合作探究
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点， DE、DF分别是△BDC、△ADC的角平分线.
北师大版数学九年级上册矩形的性质与判定(第2课时矩形的判定)课件(共26张)
｛AP=DP ∵ AB=PC ， BP=PC ∴△ABP≌△DCP（SSS）， ∴∠D=∠A， ∵∠D+∠A=180°， ∴∠D=∠A=90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是矩形．
7.如图， ABCD的四个内角的平分线相交 于点E、F、G、H. 求证：EG = FH.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC=180°． 又∵AH，BH分别平分∠BAD，∠ABC， ∴∠DAE=∠BAE= ∠DAB，∠CBG=∠ABG= ∠ABC， ∴∠BAE+∠ABG= （∠DAB +∠ABC ）=90°， ∴∠AHB=90°， 同理可证∠EFG=90°，∠HEF=90°， ∴四边形EFGH为矩形，∴EG=FH．
∴∠ABC+∠DCB=180°.
∴∠ABC=∠DCB
=
1 2
×180°=90°.
∴□ABCD是矩形.(矩形的定义)
2．矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形 至少有几个角是直角时，这个四边形才是矩形呢？ 请证明你的结论，并与同伴交流．
归纳结论：有三个角是直角的四边形是矩形．
已知:如图,在四边形ABCD中,
已知:如图,在□ABCD中,对角线AC=BD.
求证:平行四边形ABCD是矩形.
分析:要证明□ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.
证明: ∵四边形ABCD是平行四边形. A
D
∴AB=CD,AB∥CD.
又∵AC=DB,BC=CB.
∴ △ABC≌△DCB.
B
C
∴∠ABC=∠DCB.
又∵AB∥CD.
巩固练习
1．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它 变为矩形，需要添加的条件是( D )
7.如图， ABCD的四个内角的平分线相交 于点E、F、G、H. 求证：EG = FH.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC=180°． 又∵AH，BH分别平分∠BAD，∠ABC， ∴∠DAE=∠BAE= ∠DAB，∠CBG=∠ABG= ∠ABC， ∴∠BAE+∠ABG= （∠DAB +∠ABC ）=90°， ∴∠AHB=90°， 同理可证∠EFG=90°，∠HEF=90°， ∴四边形EFGH为矩形，∴EG=FH．
∴∠ABC+∠DCB=180°.
∴∠ABC=∠DCB
=
1 2
×180°=90°.
∴□ABCD是矩形.(矩形的定义)
2．矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形 至少有几个角是直角时，这个四边形才是矩形呢？ 请证明你的结论，并与同伴交流．
归纳结论：有三个角是直角的四边形是矩形．
已知:如图,在四边形ABCD中,
已知:如图,在□ABCD中,对角线AC=BD.
求证:平行四边形ABCD是矩形.
分析:要证明□ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.
证明: ∵四边形ABCD是平行四边形. A
D
∴AB=CD,AB∥CD.
又∵AC=DB,BC=CB.
∴ △ABC≌△DCB.
B
C
∴∠ABC=∠DCB.
又∵AB∥CD.
巩固练习
1．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它 变为矩形，需要添加的条件是( D )
北师大版初中九年级上册数学课件 《矩形的性质与判定》特殊平行四边形PPT课件(第3课时)
【点评】此题考查了矩形的判定与性质、三线合一以及三角形 中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.
例3：如图，在△ABC中, AB=AC,D为BC上一点，以AB,BD为 邻边作平行四边形ABDE,连接AD, EC. （1）求证：△ADC≌△ECD; （2）若BD=CD,求证：四边形ADCE是矩形.
MN MK2 NK2 2x2 8x2 2 3x,
MN 2 3x 2 3. DN x
当堂练习
1.如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在
EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，
则S1，S2的大小关系是( )
A．S1>S2
B B．S1＝S2
C．S1<S2D．3S1＝2S2
（3）线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论. 分析：由四边形ADCE为矩形，可得AF=CF，又由AD是BC边 的中线，即可得DF是△ABC的中位线，则可得DF∥AB， DF=A1B.
2
解：DF∥AB，DF=A12B．理由如下： ∵四边形ADCE为矩形， ∴AF=CF， ∵BD=CD， ∴DF是△ABC的中位线， ∴DF∥AB，DF=A12B
∴四边形ADCE是平行四边形.
而∠ADC=90°,
∴四边形ADCE是矩形.
例4：如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是 AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且 AF＝BD.连接BF.
(1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由； (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说 明理由．
4.如图，点D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC 于点M，MA＝MC.
(1)求证：CD＝AN； (2)若∠AMD＝2∠MCD， 求证：四边形ADCN是矩形．
例3：如图，在△ABC中, AB=AC,D为BC上一点，以AB,BD为 邻边作平行四边形ABDE,连接AD, EC. （1）求证：△ADC≌△ECD; （2）若BD=CD,求证：四边形ADCE是矩形.
MN MK2 NK2 2x2 8x2 2 3x,
MN 2 3x 2 3. DN x
当堂练习
1.如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在
EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，
则S1，S2的大小关系是( )
A．S1>S2
B B．S1＝S2
C．S1<S2D．3S1＝2S2
（3）线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论. 分析：由四边形ADCE为矩形，可得AF=CF，又由AD是BC边 的中线，即可得DF是△ABC的中位线，则可得DF∥AB， DF=A1B.
2
解：DF∥AB，DF=A12B．理由如下： ∵四边形ADCE为矩形， ∴AF=CF， ∵BD=CD， ∴DF是△ABC的中位线， ∴DF∥AB，DF=A12B
∴四边形ADCE是平行四边形.
而∠ADC=90°,
∴四边形ADCE是矩形.
例4：如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是 AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且 AF＝BD.连接BF.
(1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由； (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说 明理由．
4.如图，点D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC 于点M，MA＝MC.
(1)求证：CD＝AN； (2)若∠AMD＝2∠MCD， 求证：四边形ADCN是矩形．
北师大版初中九年级上册数学课件矩形的性质与判定 第2课时PPT模板
巩固提升
3.矩形的一边长为6，各边中点围成的四边形的周长是20 ，则 矩形的对角线为 ___1_0___，面积为__4_8_______.21c
【解析】如图，四边形ABCD为矩形,∠A=90°，因为E、F、M、 N是AB,AD,BC、CD中点，所以EFNM是菱形，因为周长为20， 所以EF=5，AB=6，AE=3，在RT△AEF中，利用勾股定理可得 AF=8，则AD=8，在RT△ABD中，利用勾股定理可得BD=10，, 所以矩形ABCD的面积=48.
直击中考
1.（2017•上海）已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对 角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（C ） A、∠BAC=∠DCA B、∠BAC=∠DAC C、∠BAC=∠ABD、 D、∠BAC=∠ADB
解：A、∠BAC=∠DCA，不能判断四边形ABCD是矩形； B、 ∠BAC=∠DAC，能判定四边形ABCD是菱形；不能判断四边形 ABCD是矩形；C、∠BAC=∠ABD，能得出对角线相等，能判断四 边形ABCD是矩形；D、∠BAC=∠ADB，不能判断四边形ABCD是 矩形；故选：C．
又∵AB∥CD.
∴∠ABC+∠DCB=180°.
∴∠ABC=∠DCB
=
1 2
×180°=90°.
∴ ABCD是矩形.(矩形的定义)
猜想结论
矩形的判定2：对角线相等的平行四边形是矩形
A
D
O
B
C
在□ABCD中
几何语言： AC=BD
新课讲解
小明同学用“边——直角、边——直角 、边——直角、边”这样四步，画出了 一个四边形，她说这就是一个矩形，她 的判断对吗？为什么？ 猜想：有三个角是直角的四边形是矩形？
北师大版九年级数学课件-矩形的性质与判定
第一章 特殊平行四邊形
第2節 矩形的性質與判定(二）
知識回顧
矩形的定義 有一個角是直角的平行四邊形.
平行四邊形 一個角是直角
矩形
矩邊
矩形的對邊平行且相等.
形
的 角 矩形的四個角都是直角.
性
質 對角線 矩形的兩條對角線相等
且互相平分.
情境一
如圖，在一個平行四邊形活動框架上，用兩根橡 皮筋分別套在兩個相對的頂點上，拉動一對不相 鄰的頂點時，平行四邊形的形狀會發生什麼變化？
有三個角是直角的四邊形是矩形嗎?
已知:如圖,在四邊形ABCD,∠A=∠B=∠C=90°.
求證:四邊形ABCD是矩形.
A
D
證明: ∵∠A=∠B=∠C=90°, B
C
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
∴四邊形ABCD是矩形.
矩形判定方法二
問題（1）:
隨著的變化兩條對角線的長度將發生
怎樣的變化？
問題（2）: 當兩條對角線的長度相等時平行四邊形有
什麼特徵？由此你能得到一個怎樣的猜想？
猜想： 對角線相等的平行四邊形是矩形.
對角線相等的平行四邊形是矩形嗎？
已知:四邊形ABCD是平行四邊形,AC=BD.
求證:四邊形ABCD是矩形. A
D
證明：
有三個角是直角的四邊形是矩形
A
D
B
∠A=∠B=∠C=90°
C
四邊形ABCD 是矩形
議一議：
1. 如果僅僅有一根較長的繩子，你怎 麼判斷一個四邊形是平行四邊形呢？
2. 如果僅僅有一根較長的繩子，你怎 麼判斷一個四邊形是菱形呢？
第2節 矩形的性質與判定(二）
知識回顧
矩形的定義 有一個角是直角的平行四邊形.
平行四邊形 一個角是直角
矩形
矩邊
矩形的對邊平行且相等.
形
的 角 矩形的四個角都是直角.
性
質 對角線 矩形的兩條對角線相等
且互相平分.
情境一
如圖，在一個平行四邊形活動框架上，用兩根橡 皮筋分別套在兩個相對的頂點上，拉動一對不相 鄰的頂點時，平行四邊形的形狀會發生什麼變化？
有三個角是直角的四邊形是矩形嗎?
已知:如圖,在四邊形ABCD,∠A=∠B=∠C=90°.
求證:四邊形ABCD是矩形.
A
D
證明: ∵∠A=∠B=∠C=90°, B
C
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
∴四邊形ABCD是矩形.
矩形判定方法二
問題（1）:
隨著的變化兩條對角線的長度將發生
怎樣的變化？
問題（2）: 當兩條對角線的長度相等時平行四邊形有
什麼特徵？由此你能得到一個怎樣的猜想？
猜想： 對角線相等的平行四邊形是矩形.
對角線相等的平行四邊形是矩形嗎？
已知:四邊形ABCD是平行四邊形,AC=BD.
求證:四邊形ABCD是矩形. A
D
證明：
有三個角是直角的四邊形是矩形
A
D
B
∠A=∠B=∠C=90°
C
四邊形ABCD 是矩形
議一議：
1. 如果僅僅有一根較長的繩子，你怎 麼判斷一個四邊形是平行四邊形呢？
2. 如果僅僅有一根較長的繩子，你怎 麼判斷一個四邊形是菱形呢？
1.2第3课时矩形的性质与判定的运用-北师大版九年级数学上册习题课件
的最小值为_____. 1．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB、EC、DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( )
7．如图，已知MN∥PQ，AB、CB分别平分∠MAC、∠PCA，AD、CD分别平分∠NAC、∠QCA.
(1)求证：□ABCD为矩形；
7．如图，已知MN∥PQ，AB、CB分别平分∠MAC、∠PCA，AD、CD分别平分∠NAC、∠QCA.
第一章 特殊平行四边形
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数学·九年级（上）·配北师
12 ． 【 贵 州 安 顺 中 考 】 如 图 ， 在 Rt△ABC 中 ， ∠BAC ＝ 90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D 分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN 的最小值为_____1.52
数学·九年级（上）·配北师
第一章 特殊平行四边形
2 矩形的性质与判定
第三课时 矩形的性质与判定的运用
第一章 特殊平行四边形
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第一章 特殊平行四边形
数学·九年级（上）·配北师
以练助学 名师点睛 基础过关 能力提升 思维训练
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数学·九年级（上）·配北师
以练助学
B．BE⊥DC 12．【贵州安顺中考】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN
的最小值为_____. 13．如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，使点A落在点A′处，设A′B与CD相交于点E，若AB＝8，BC＝6，则EB＝_____.
【典例】如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△OAB是等边三角形． (1)求证：□ABCD为矩形； (2)若AB＝4，求□ABCD的面积．
7．如图，已知MN∥PQ，AB、CB分别平分∠MAC、∠PCA，AD、CD分别平分∠NAC、∠QCA.
(1)求证：□ABCD为矩形；
7．如图，已知MN∥PQ，AB、CB分别平分∠MAC、∠PCA，AD、CD分别平分∠NAC、∠QCA.
第一章 特殊平行四边形
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数学·九年级（上）·配北师
12 ． 【 贵 州 安 顺 中 考 】 如 图 ， 在 Rt△ABC 中 ， ∠BAC ＝ 90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D 分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN 的最小值为_____1.52
数学·九年级（上）·配北师
第一章 特殊平行四边形
2 矩形的性质与判定
第三课时 矩形的性质与判定的运用
第一章 特殊平行四边形
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第一章 特殊平行四边形
数学·九年级（上）·配北师
以练助学 名师点睛 基础过关 能力提升 思维训练
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以练助学
B．BE⊥DC 12．【贵州安顺中考】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN
的最小值为_____. 13．如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，使点A落在点A′处，设A′B与CD相交于点E，若AB＝8，BC＝6，则EB＝_____.
【典例】如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△OAB是等边三角形． (1)求证：□ABCD为矩形； (2)若AB＝4，求□ABCD的面积．
北师大版九年级上册矩形形的性质与判定课件
C.对角线相等 D.对角线互相平分
议一议
如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E， 那么BE是R t△ABC中一条怎样的特殊线段？ 它与AC有什么大小关系？由此你能得到怎 样的结论？
定理
直角三角形斜边上的中线等于斜 边上的一半。
符号语言
∵BE是R t△ABC斜边的中线， ∴ BE= 1AC
2
当堂检测
4.如图，在R t△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，
AE∥CD，CE∥AB,试判断四边形ADCE的形状，并证明你的
结论。
你还有其它解法吗？
当堂检测
1.如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD 相交于点O. 已知AB=6cm，OA=4cm，求BD与AD的长.
当堂检测
2.一个矩形的对角线的长为6，对角线与一边夹角是45°， 求这个矩形的各边长。
当堂检测
3.一个矩形的两条对角线的夹角是60°，对角线长为15， 求这个矩形较短边的长。
矩形是轴对称图形，有4条对称轴。
3、你认为矩形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流。
量一量
自己随便画一个矩形，量一量它的边、对角线的长度和 角的度数，然后小组再合作交流一下，矩形有什么特殊 的性质？
发现：
矩形的四个角都是直角。 矩形的对角线相等。
证明 矩形的四个角都是直角。
已知：如图,四边形ABCD是矩形，∠A=90°. 求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°
1.2.1矩形的性质与判定
时间其实是最公正的，任何人都是24小时， 时间它也是最不公正的，对任何人都不是24小时。
情景导入
下面图片中都含有一些特殊的平行四边形，视 察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什 么样的共同特征？
北师大版九年级数学上册1.2.2矩形的性质与判定第2课时矩形的判定(共13张PPT)
可根据条件灵活选用恰当的方法．
求证：
是矩形。
A
解：∵ABCD是平行四边形， 意四边形，还是平行四边形，然后选择适
已知:如图,平行四边形ABCD的四个内角平分线相
O
∴AC = 2OA，BD = 2OB。 矩形的判定方法分两类：
A．对角线相等
B．对角线垂直
∵OA = OB， 求证：四边形ABCD是矩形
∴∠ABC + ∠DCB = 180°，
O
是矩形吗？为什么？
)1 B
2( C
1.已知：矩形ABCD的两条对角线相交于点O， ∠AOD= 120°，AB=4cm，求矩形对角线的长。
2.已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于 点O，△AOB是等边三角形，AB＝ 4 cm。求这 个平行四边形的面积。
3.已知:如图,平行四边形ABCD的四个内角平分线相 交于点E，F， G，H。求证：EG＝FH。
A D
C
B
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。Βιβλιοθήκη 求证：判是矩定形定。 理1
矩 ∴ ∠A + ∠B = 180°，
∴ ∠ABC = 90°，
形 有三个角都相等的四边例形是如矩：形．
已知：在
中，AC = BD。
对角线相等的平行四边形是矩形
A
D
的 延长CD到点E,使得 DE＝CD。
在Rt△ABC中，
∴ ∠A + ∠B = 180°，
∠B + ∠C = 180°，
∴AD∥BC， AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形。
∵ ∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形。
返回
例题 已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于O，△AOB是 等边三角形，AB = 4cm，求这个平行四边形的面积.
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角线的长度将发生 怎样的变化？ 问题（2）: 当两条对角线的长度相等时平行四边形有 什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？ 猜想： 对角线相等的平行四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 已知:四边形ABCD是平行四边形,AC=BD. 求证:四边形ABCD是矩形. A 证明：
有三个角是直角的四边形是矩形吗?
已知:如图,在四边形ABCD,∠A=∠B=∠C=90°. 求证:四边形ABCD是矩形.
A
D
证明: ∵∠A=∠B=∠C=90°,
∴AD∥BC,AB∥CD.
B ∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.
∴四边形ABCD是平行四边形. ∴四边形ABCD是矩形.
C
矩形判定方法二
布置作业
课本P16 1,2,3.
有三个角是直角的四边形是矩形
A D
B
C
∠A=∠B=∠C=90°
四边形ABCD 是矩形
议一议：
1. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎 么判断一个四边形是平行四边形呢？
2. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎 么判断一个四边形是菱形呢？ 3. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎 么判断一个四边形是矩形呢？
例：如图在□ABCD中，对角线AC和BD相较 于点O，△ABO是等边三角形，AB=4. 求□ABCD的面积. A
第一章 特殊平行四边形
知识回顾
矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形. 一个角是直角 矩形
平行四边形
矩 形 的 性 质
边 角
矩形的对边平行且相等. 矩形的四个角都是直角.
对角线 矩形的两条对角线相等 且互相平分.
情境一
如图，在一个平行四边形活动框架上，用两根橡 皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相 邻的顶点时，平行四边形的形状会发生什么变化？
B
D
C
矩形判定方法一
对角线相等的平行四边形是矩形.
A D
B
C
ABCD AC = BD
四边形ABCD是矩形
情境二
李芳同学用四步画出了一个 四边形，她的画法是“边— —直角、边——直角、边— —直角、边” ，她说这就是 一个矩形，她的判断对吗？ 为什么？ 猜想：有三个角是直角的四边形是矩形. 你能证明上述结论吗？
O
B
D
C
练一练1
已知：如图，M为平行四边形ABCD边AD的中点， 且MB=MC. 求证：四边形ABCD是矩形.
A
M
D
B
C
练一练2
已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC和BD相较
于点O，CM∥BD,DM∥AC.
求证:四边形OCMD是矩形.
A D
O B
M
C
课堂小结
矩形的判定方法: 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 对角线相等的平行四边形是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 已知:四边形ABCD是平行四边形,AC=BD. 求证:四边形ABCD是矩形. A 证明：
有三个角是直角的四边形是矩形吗?
已知:如图,在四边形ABCD,∠A=∠B=∠C=90°. 求证:四边形ABCD是矩形.
A
D
证明: ∵∠A=∠B=∠C=90°,
∴AD∥BC,AB∥CD.
B ∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.
∴四边形ABCD是平行四边形. ∴四边形ABCD是矩形.
C
矩形判定方法二
布置作业
课本P16 1,2,3.
有三个角是直角的四边形是矩形
A D
B
C
∠A=∠B=∠C=90°
四边形ABCD 是矩形
议一议：
1. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎 么判断一个四边形是平行四边形呢？
2. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎 么判断一个四边形是菱形呢？ 3. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎 么判断一个四边形是矩形呢？
例：如图在□ABCD中，对角线AC和BD相较 于点O，△ABO是等边三角形，AB=4. 求□ABCD的面积. A
第一章 特殊平行四边形
知识回顾
矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形. 一个角是直角 矩形
平行四边形
矩 形 的 性 质
边 角
矩形的对边平行且相等. 矩形的四个角都是直角.
对角线 矩形的两条对角线相等 且互相平分.
情境一
如图，在一个平行四边形活动框架上，用两根橡 皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相 邻的顶点时，平行四边形的形状会发生什么变化？
B
D
C
矩形判定方法一
对角线相等的平行四边形是矩形.
A D
B
C
ABCD AC = BD
四边形ABCD是矩形
情境二
李芳同学用四步画出了一个 四边形，她的画法是“边— —直角、边——直角、边— —直角、边” ，她说这就是 一个矩形，她的判断对吗？ 为什么？ 猜想：有三个角是直角的四边形是矩形. 你能证明上述结论吗？
O
B
D
C
练一练1
已知：如图，M为平行四边形ABCD边AD的中点， 且MB=MC. 求证：四边形ABCD是矩形.
A
M
D
B
C
练一练2
已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC和BD相较
于点O，CM∥BD,DM∥AC.
求证:四边形OCMD是矩形.
A D
O B
M
C
课堂小结
矩形的判定方法: 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 对角线相等的平行四边形是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形.