第三讲 线性规划的灵敏度分析与最优解的解释

课外练习
表3-1牧草农场饲料的营养值和成本值
饲料成分
普通饲料 高营养燕麦 饲料添加剂
A B C 每磅成本(美元)
50
0.0 3.0 2.0 3.00
案例报告
一、选择的问题
为了环保不需要封面，不需要原问题的全部内容，只需 也务必标明选择案例的名字。
4
S，D，L≥0
多重最优解的情况
假设我们使D的系数正好增加1.15003美元。
增加新的约束条件
假设管理者在审核了上述的解决方案后发现，他们会放 弃所有不生产高级袋的方案，并要求高级袋的产量至少 要达到标准袋产量的30%。
D≥0.3S 或者 -0.3S+D ≥0
课外练习
牧草农场位于肯塔基州列克星敦。农场正在实验一种新 的赛马食品。赛马食品有以下三种，由普通饲料，富含 维生素的燕麦饲料和一种新的含维生素和矿物质的食品 添加剂饲料。这些高营养食品的各组成要素的成本如表 3-1所示。我们可以看到，每磅普通饲料中含0.8单位A， 1单位B和0.1单位C，一匹马一天的最少进食3单位A， 6单位B，4单位C。为了保持马的体型，总摄入量不可 以超过6磅。农场希望找到一种饲料组合，可以满足马 一天的营养需要，又可以使总成本最低。
物流管理系 薛伟霞
Par问题的数学描述
max 10S+9D
S.t.
7 S 1D 630 10
1 S 5 D 600 26
1S 2 D 708 3
1 S 1 D 135 10 4
切割与印染 缝合 成型 检查与包装
S，D≥0
灵敏度分析
研究当一个线性规划问题中的系数发生变化时， 其对目标函数最优解的影响程度。
总产量约束 时间约束
关于对偶价格的解释
小于等于型约束条件的对偶价格总是大于或等于0的，因为 增加其右端值不会使目标函数变得更坏。
大于等于型约束条件的对偶价格总是小于或等于0的，因为 增加其右端值不会对最优解有所改进。
当约束条件的右端值表示某种资源的可利用量时（沉没成 本），对偶价格通常可以解释为公司对额外支付一单位这种 资源所愿意提供的金额。
会增加，反而会减少。在最小化问题中，目标函数结果变得 更坏意味着总成本的增加。 影子价格——每增加一个单位的约束条件右端值最优解的变 化量。一般来说，对于最大化问题，影子价格和对偶价格相 同；对于最小化问题，影子价格是对偶价格的相反数。
主要内容
灵敏度分析简介 图解法灵敏度分析 灵敏度分析：计算机求解 多于两个决策变量的情况
2
CD
10
6.3 CS 13.5
6.67 CD 14.29
另一例——目标函数继续旋转
CS 3
CD
2
多系数同时改变
3 CS 7 2 CD 10
假设标准袋的利润增加到13美元，高档袋的利润减少到8美元。
6.3 CS 13.5
新的目标函数的斜率：
例：假设切割与印染部门能够获得额外的20小时时间， 同时成型部门能够获得额外的100小时时间。对偶价格 是否适用？
计算机输出的解释——
M&D公司的最小化问题
min 2A+3B s.t.
1A ≥125 产品A的需求量 1A + 1B ≥350 总产量 2A + 1B ≤600 生产时间 A，B ≥0
max S.t.
10S+9D
8.5 7 S 1D 630
10
1 S 5 D 600
2
6
1S 2 D 708 3
1 S 1 D 135
10
4
S，D≥0
切割与印染 缝合 成型 检查与包装
灵敏度分析简介（2）
问题——模型中的系数哪个更能左右最优解？
max 10S+9D
(6.67-14.29) (8.9-9.25)
S.t.
7 S 1D 630 10
1 S 5 D 600
2
6
1S 2 D 708 3
1 S 1 D 135
10
4
切割与印染 缝合 成型 检查与包装
S，D≥0
灵敏度分析简介（3）
问题——右端值变化对最优解有什么影响？
max S.t.
CS 13 1.625
CD
8
6.67 CD 14.29
右端项
假设Par公司的切割印染部门又多出了10个小时的可 工作时间。
新的约束条件： 7 S 1D 640 10
运用图解法
新的最优解
S=527.5， D=270.75。
新的目标函数值 10×527.5+9×270.7 5=7711.75美元，
7 S 1D 630 10
1 S 5 D 600
2
6
1S 2 D 708 3
1 S 1 D 135
10
4
S，D≥0
切割与印染 缝合 成型 检查与包装
Par公司管理决策上的改变
假设管理层希望生产一种轻便的、可以被球手随身携带 的球袋模型。设计部门计算得出，每个轻型袋需要0.8小 时进行切割印染，1小时缝合，1小时成型，0.25小时检 验和包装。因为这种设计是独一无二的，管理层认为在 当前销售期内每个轻便袋的利润可达12.85美元。
1．如果目标函数的系数发生变化，对最优解会 产生什么影响？
2．如果改变约束条件右边的值，对最优解会产 生什么影响？
主要内容
灵敏度分析简介 图解法灵敏度分析 灵敏度分析：计算机求解 多于两个决策变量的情况
灵敏度分析简介（1）
问题——如果我们要用LP模型去解决实际问题，模型中 的系数就不可能是一成不变的。这些系数的变化会对模 型的最优解产生什么样的影响呢？
利润增量7711.757668.00=43.75美元。
利润增加率 43.75/10=4.375美 元。
对偶价格
约束条件右端值每增加一个单位引起的最优解的增加量。 对偶价格可以用来求出当某个约束条件右端值变化一个单位
时目标函数值将会有什么变化。 对偶价格只适用于约束条件的右侧值变化比较小的情况。 任何非束缚性约束条件的对偶价格都是0。 负的对偶价格告诉我们，如果使右端值增加，目标函数值不
二、模型 三、软件求解结果 四、求解结果的最优解解释及灵敏度分析
目标函数系数S的上限是13.499 D的下限是6.6667，允许减少量：
93，允许增加量：上限-目前值 目前值-下限=9-6.6667
=13.49993-10=3.49993。标 =2.33330。高档袋的利润减少
准袋的利润增加到11.50美元， 了0.75（从9美元到8.25美元）
增加了（从10美元到11.50美元） 美元，占允许减少量的
10S+9D
7 S 1D 630 10
1 S 5 D 600
2
6
1S 2 D 708 3
1 S 1 D 135
10
4
S，D≥0
利润
切割与印染 缝合 成型 检查与包装
图解法灵敏度分析
目标函数系数变化——多系数同时改变 右端项改变
目标函数系数
问题——目标函数系数变化会对Par公司的最优 产量产生什么样的影响。
目标函数的最优范围——目标函数系数在什么范 围内变化时，模型的最优解保持不变。
目标函数系数
目标函数系数
第一步：目标函数直线斜率的范围 直线B斜率≤目标函数的斜率≤直线A的斜率
3 目标函数的斜率 7
2
10
第二步：目标函数系数的范围
P=CSS+CDD
3 CS 7
令L为轻便袋的产量
修正的Par公司问题
max 10S+9D+12.85L
S.t.
7 S 1D 0.8L 630 切割与印染
10
1 S 5 D 1L 600 缝合
2
6
1S 2 D 1L 708 成型 3
1 S 1 D 0.25L 135 检查与包装
10
灵敏度分析：计算机求解
使用管理科学家软件求解Par公司的线性规划问 题。
最优解 松弛/剩余变量
目标函数最优解
对偶价格
减少的成本—目 标函数的每个系数 应提高多少，目标 函数的变量值才能
是正数
目标系数范围
右端值范围——对偶价格适用范围的限制条件
多系数同时变化——100%法则
假设，Par公司的会计部门发现原来高档袋和标准袋的利 润计算——分别为10美元和9美元有误，正确的利润分别 应该是11.50美元和8.25美元。
允许增加量——对于目标函数的系数，在不超过最优范 围的情况下，系数可能增加的最大量；
允许减少量——在不低于最优范围下限的情况下，系数 可能减少的最大量。
目标函数系数的100%法则
对所有变化的目标函数系数，计算其占允许增加量和允许减少量 的百分比之和。如果和没有达到100%，最优解就不会改变。
管理者经常会遇到是否有必要引进新技术的问题，而一般新 技术的开发或购买都是为了节约资源。在这种情况下，对偶 价格可能对问题的解决有所帮助，它可以帮助我们了解节约 这些资源会为我们带来多大的利益，进而决定这项新技术的 价值。
多于两个决策变量的情况
Par公司原来问题的模型
max S.t.
10S+9D
1.50美元。占总允许增加量的 （0.75/2.333 30）
（1.50/3.499 93）
×100%=32.14%。
×100%=42.86%。