高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.6.2 解三角形的综合应用课件 理
则 A，B 两点的距离为________m。
(2)如图，两座相距 60 m 的建筑物 AB，CD
的高度分别为 20 m、50 m，BD 为水平面，则从建筑物 AB 的顶端 A 看建
筑物 CD 的张角∠CAD 等于________。
(3)(2015·湖北高考)如图，一辆汽车在一 条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得 公路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向上， 行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏 北 75°的方向上，仰角为 30°，则此山的高度 CD＝________ m。
【解析】 (1)在△ABC 中，∵∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，∴∠B ＝30°。
由正弦定理得
AB＝AC·ssinin∠BACB＝50×1
2 2 ＝50
2(m)。
2
(2)依题意可得 AD＝20 10 m，AC＝30 5 m，又 CD＝50 m，所以
在 △ ACD
中，由余弦定理得
cos
∠
CAD
考二点【典例正2】、(余2016弦·石家定庄理质检在)△平ABC面中，几角何A，中B，C的的应对边用分别
为 a，b，c，且 2bcosC＋c＝2a。 (1)求角 B 的大小； (2)若 BD 为 AC 边上的中线，cosA＝71，BD＝ 1229，求△ABC 的面积。
【解析】 (1)2bcosC＋c＝2a，由正弦定理，得 2sinBcosC＋sinC＝ 2sinA，∵A＋B＋C＝π，
【答案】 (1)50 2 (2)45° (3)100 6
反思归纳 利用正、余弦定理解决实际测量问题，实际上是把问题 转化到相关三角形中，利用三角形的边、角关系求解。
【变式训练】 (1)(2017·马鞍山模拟)一船自西向东匀速航行，上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75°，距灯塔 68 海里的 M 处，下午 2 时到
反思归纳 此类题目求解时，一般有如下思路： (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内 利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果。 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边 角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机 结合，才能顺利解决问题。
因为∠ADB 与∠CDB 互补，
所以 cos∠ADB＝－cos∠CDB，所以4b21＋6 1336－4＝－b2＋8 1363－a2，所
3b
3b
以 3b2－a2＝－6②。联立①②解得 a＝3，b＝1，所以 AC＝3，BC＝3。
在△ABC 中，cosC＝BC2＋2BACC·A2－C AB2＝322＋×332×－322＝79。
达这座灯塔的东南方向 N 处，则该船航行的速度为( )
17 A. 2
2海里/小时
B．34 6海里/小时
17 C. 2
6海里/小时
D．34 2海里/小时
(2)如图，在塔底 D 的正西方 A 处测得塔顶的
仰角为 45°，在它的南偏东 60°的 B 处测得塔顶的仰
角为 30°，AB 的距离是 84 m，则塔高为( )
＝
AC2＋AD2－CD2 2AC·AD
＝
30
2×523＋0 250×210021－0502＝6
6 000 000
＝ 2
22，又
0°<∠CAD<180°，所以∠CAD
＝45°，所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45°。
(3)在△ABC 中，AB＝600，∠BAC＝30°，∠ ACB＝75°－30°＝45°，由正弦定理得sin∠BCBAC＝ sin∠ABACB，即siBn3C0°＝si6n0405°，BC＝300 2。又由题 意知，在 Rt△BCD 中，∠BCD＝90°，∠CBD＝30°，所以由 tan∠CBD ＝CBDC可得 CD＝tan30°×300 2＝100 6。
A．24 m
B．12 5 m
C．12 7 m
D．36 m
【解析】 (1)如图所示，
在△PMN 中，PM＝68，∠PNM＝45°，∠PMN＝15°，∠MPN＝120°， 由正弦定理可得sin6485°＝sinM1N20°， 所以 MN＝34 6， 所以该船的航行速度为172 6海里/小时。故选 C。 (2)设塔高 CD＝x m，则 AD＝x m，DB＝ 3x m。 在△ABD 中，利用余弦定理，得 842＝x2＋( 3x)2－2 3·x2cos150°， 解得 x＝±12 7(负值舍去)，故塔高为 12 7 m。故选 C。 【答案】 (1)C (2)C
∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，
∴2sinBcosC＋sinC＝2(sinBcosC＋cosBsinC)，
∴sinC＝2cosBsinC。
∵0<C<π，∴sinC≠0，∴cosB＝12。
又 0<B<π，∴B＝π3。
(2)在△ABD 中，由余弦定理得
12292＝c2＋b22－2c·2bcosA，∴1429＝
【变式训练】 如图，在△ABC 中，sin∠A2BC＝ 33，AB＝2，点 D 在线段 AC 上，且 AD＝2DC，BD＝43 3，则 cosC＝________。
【解析】 由条件得 cos∠ABC＝31， sin∠ABC＝23 2。在△ABC 中，设 BC＝a，AC＝3b， 则 9b2＝a2＋4－34a①
【答案】
7 9
考点 正、余弦定理与三角函数图象性 三 质的综合应用 【典例 3】 已知向量 m＝cos2x，－1，n＝ 3sin2x，cos22x，函数 f(x)
第三章 三角函数、解三角形
第六节 解三角形
第二课时 解三角形的综合应用
微考点 大课堂 微考场 新提升 微考题 巧突破
微考点 大课堂
考点ห้องสมุดไป่ตู้析 对点微练
考点 一
三角形的实际应用
【典例 1】 (1)如图，设 A、B 两点在河的
两岸，一测量者在 A 的同侧，选定一点 C，测出
AC 的距离为 50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，
c2＋b42－17bc，①
在△ABC 中，由正弦定理得sincC＝sibnB，由已知得 sinA＝473，∴sinC
＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝5143，
∴c＝57b，②
由①②解得bc＝＝57，， ∴S△ABC＝12bcsinA＝10 3。
【答案】
π (1)3
(2)10 3
高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.2 导数的应用 第2课时 导数与函数的极值、最值教师用书
第2课时导数与函数的极值、最值题型一用导数解决函数极值问题命题点1 根据函数图象判断极值例1 (1)(2016·绍兴模拟)设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是( )(2)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)答案(1)C (2)D解析(1)由f′(x)图象可知，x＝0是函数f(x)的极大值点，x＝2是f(x)的极小值点，故选C.(2)由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值． 命题点2 求函数的极值例2 (2016·台州模拟)已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．解 (1)由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1－ae x .又曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴， 得f ′(1)＝0，即1－ae ＝0，解得a ＝e. (2)f ′(x )＝1－aex ，①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值． ②当a >0时，令f ′(x )＝0，得e x＝a ，即x ＝ln a ， 当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值． 命题点3 已知极值求参数例3 (1)(2016·杭州模拟)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________.(2)(2016·福州质检)若函数f (x )＝x 33－a2x 2＋x ＋1在区间(12，3)上有极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2，52)B ．[2，52)C ．(2，103)D ．[2，103)答案 (1)－7 (2)C解析 (1)由题意得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋3a －b －1＝0，b －6a ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9，经检验当a ＝1，b ＝3时，函数f (x )在x ＝－1处无法取得极值，而a ＝2，b ＝9满足题意，故a －b ＝－7.(2)若函数f (x )在区间(12，3)上无极值，则当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0恒成立或当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0恒成立．当x ∈(12，3)时，y ＝x ＋1x 的值域是[2，103)；当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0，即a ≤x ＋1x恒成立，a ≤2；当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0，即a ≥x ＋1x 恒成立，a ≥103.因此要使函数f (x )在(12，3)上有极值点，实数a 的取值范围是(2，103)．思维升华 (1)求函数f (x )极值的步骤 ①确定函数的定义域； ②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f (x )在x 0处取极大值，如果左负右正，那么f (x )在x 0处取极小值．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．(1)函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝1或－1或0D ．x ＝0(2)函数y ＝2x －1x2的极大值是________．答案 (1)C (2)－3解析 (1)∵f (x )＝x 4－2x 2＋3，∵由f ′(x )＝4x 3－4x ＝4x (x ＋1)(x －1)＝0，得x ＝0或x ＝1或x ＝－1.又当x <－1时，f ′(x )<0， 当－1<x <0时，f ′(x )>0. 当0<x <1时，f ′(x )<0， 当x >1时，f ′(x )>0，∴x ＝0,1，－1都是f (x )的极值点． (2)y ′＝2＋2x3，令y ′＝0，得x ＝－1.当x <－1，x >0时，y ′>0；当－1<x <0时，y ′<0. ∴当x ＝－1时，y 取极大值－3. 题型二 用导数求函数的最值例4 已知a ∈R ，函数f (x )＝a x＋ln x －1.(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求f (x )在区间(0，e]上的最小值．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝1x＋ln x －1，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2，x ∈(0，＋∞)．因此f ′(2)＝14，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为14.又f (2)＝ln 2－12，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(ln 2－12)＝14(x －2)，即x －4y ＋4ln 2－4＝0.(2)因为f (x )＝ax＋ln x －1，所以f ′(x )＝－a x2＋1x＝x －ax2，x ∈(0，e]．令f ′(x )＝0，得x ＝a .①若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在区间(0，e]上单调递增，此时函数f (x )无最小值． ②若0<a <e ，则当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )在区间(0，a )上单调递减；当x ∈(a ，e]时，f ′(x )>0，函数f (x )在区间(a ，e]上单调递增， 所以当x ＝a 时，函数f (x )取得最小值ln a .③若a ≥e，则当x ∈(0，e]时，f ′(x )≤0，函数f (x )在区间(0，e]上单调递减， 所以当x ＝e 时，函数f (x )取得最小值ae.综上可知，当a ≤0时，函数f (x )在区间(0，e]上无最小值； 当0<a <e 时，函数f (x )在区间(0，e]上的最小值为ln a ； 当a ≥e 时，函数f (x )在区间(0，e]上的最小值为ae .思维升华 求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．设函数f (x )＝x 3－x 22－2x ＋5，若对任意的x ∈[－1,2]，都有f (x )>a ，则实数a 的取值范围是________________．答案 (－∞，72)解析 由题意知，f ′(x )＝3x 2－x －2， 令f ′(x )＝0，得3x 2－x －2＝0， 解得x ＝1或x ＝－23，又f (1)＝72，f (－23)＝15727，f (－1)＝112，f (2)＝7，故f (x )min ＝72，∴a <72.题型三 函数极值和最值的综合问题例5 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x2x ，a ln x x(1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点； (2)求f (x )在[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值．解 (1)当x <1时，f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2)， 令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↘↗↘故当x ＝0时，函数f (x )取得极小值f (0)＝0，函数f (x )的极大值点为x ＝23.(2)①当－1≤x ＜1时，由(1)知，函数f (x )在[－1,0]和[23，1)上单调递减，在[0，23]上单调递增．因为f (－1)＝2，f (23)＝427，f (0)＝0，所以f (x )在[－1,1)上的最大值为2. ②当1≤x ≤e 时，f (x )＝a ln x ， 当a ≤0时，f (x )≤0；当a >0时，f (x )在[1，e]上单调递增， 则f (x )在[1，e]上的最大值为f (e)＝a . 故当a ≥2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为a ； 当a <2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为2.思维升华 求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5,0) B ．(－5,0) C ．[－3,0) D ．(－3,0)答案 C解析 由题意，得f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)， 故f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2,0)上是减函数，作出其图象如图所示，令13x 3＋x 2－23＝－23得， x ＝0或x ＝－3，则结合图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ＜0，a ＋5>0，解得a ∈[－3,0)．3．利用导数求函数的最值典例 (15分)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f ′(x )>0，f ′(x )<0的解区间，并注意定义域．(2)先研究f (x )在[1,2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值．(3)两小问中，由于解析式中含有参数a ，要对参数a 进行分类讨论． 规范解答解 (1)f ′(x )＝1x－a (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x－a >0，即函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．[3分]②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－axx>0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x<0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞.[5分]综上可知，当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a >0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞.[6分](2)①当1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，所以f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a . [7分]②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，所以f (x )的最小值是f (1)＝－a .[9分]③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，2上是减函数．又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，所以当12<a <ln 2时，最小值是f (1)＝－a ；当ln 2≤a <1时，最小值为f (2)＝ln 2－2a .[13分]综上可知，当0<a <ln 2时，函数f (x )的最小值是－a ； 当a ≥ln 2时，函数f (x )的最小值是ln 2－2a .[15分]用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步答题 第一步：(求导数)求函数f (x )的导数f ′(x )；第二步：(求极值)求f (x )在给定区间上的单调性和极值； 第三步：(求端点值)求f (x )在给定区间上的端点值；第四步：(求最值)将f (x )的各极值与f (x )的端点值进行比较，确定f (x )的最大值与最小值； 第五步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范.1．函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的极大值为( )A.283 B ．6 C.263 D ．7 答案 A解析 f ′(x )＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)，f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f (x )的极大值为f (－2)＝283.2．(2016·四川)已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a 等于( ) A ．－4 B ．－2 C ．4 D ．2 答案 D解析 ∵f (x )＝x 3－12x ，∴f ′(x )＝3x 2－12， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f ′(x )>0，则f (x )单调递增； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，则f (x )单调递减， ∴f (x )的极小值点为a ＝2.3．(2016·温州模拟)函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( )A.12 B ．1 C ．0 D ．不存在 答案 A解析 f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x且x >0.令f ′(x )>0，得x >1. 令f ′(x )<0，得0<x <1.∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值，f (1)＝12－ln 1＝12.4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,2) B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞) C ．(－3,6) D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根． ∴Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0. ∴a >6或a <－3.*5.(2016·安阳模拟)函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx －34(a ，b ，c ∈R )的导函数为f ′(x )，若不等式f ′(x )≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}，f (x )的极小值等于－115，则a 的值是( )A ．－8122 B.13 C ．2 D ．5答案 C解析 由已知可得f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由3ax 2＋2bx ＋c ≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}可知a >0， 且－2,3是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根， 则由根与系数的关系知2b 3a ＝－1，c3a ＝－6，∴b ＝－3a2，c ＝－18a ，此时f (x )＝ax 3－3a 2x 2－18ax －34，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数； 当x ∈(－2,3)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数； 当x ∈(3，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，∴f (3)为f (x )的极小值，且f (3)＝27a －27a2－54a －34＝－115，解得a ＝2，故选C.6．(2016·奉化模拟)已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于( )A.14B.13C.12 D ．1 答案 D解析 由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1. 令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a，当0<x <1a时，f ′(x )>0；当x >1a时，f ′(x )<0.∴f (x )max ＝f (1a)＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1.7．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)等于( ) A ．11或18 B ．11 C ．18D ．17或18答案 C解析 ∵函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，∴f (1)＝10，且f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11. 而当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝3时，函数在x ＝1处无极值，故舍去． ∴f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16，∴f (2)＝18.8．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值是正数，极小值是负数，则a 的取值范围是________．答案 (22，＋∞) 解析 f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )，由f ′(x )＝0得x ＝±a ，当－a <x <a 时，f ′(x )<0，函数递减；当x >a 或x <－a 时，f ′(x )>0，函数递增．∴f (－a )＝－a 3＋3a 3＋a >0且f (a )＝a 3－3a 3＋a <0，解得a >22. ∴a 的取值范围是(22，＋∞)． 9．(2016·宁波模拟)已知函数f (x )＝13x 3－x 2－x ＋m 在[0,1]上的最小值为13，则实数m 的值为________．答案 2解析 由f (x )＝13x 3－x 2－x ＋m ， 可得f ′(x )＝x 2－2x －1，令x 2－2x －1＝0，可得x ＝1± 2.当x ∈(1－2，1＋2)时，f ′(x )<0，即函数f (x )在(1－2，1＋2)上是减函数，即f (x )在[0,1]上的最小值为f (1)，所以13－1－1＋m ＝13，解得m ＝2. 10．(2016·杭州模拟)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ∈[－1,1]，则f (m )的最小值为________．答案 －4解析 f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0.即－3×4＋2a ×2＝0，故a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4. f ′(x )＝－3x 2＋6x ，由此可得f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增， ∴对m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.11．设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解 (1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，所以f ′(x )＝2a (x －5)＋6x. 令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)，由点(0,6)在切线上，可得6－16a ＝8a －6，故a ＝12. (2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x >0)， f ′(x )＝x －5＋6x ＝x －x －x .令f ′(x )＝0，解得x ＝2或3.当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0，故f (x )在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2<x <3时，f ′(x )<0，故f (x )在(2,3)上为减函数．由此可知f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3.综上，f (x )的单调递增区间为(0,2)，(3，＋∞)，单调递减区间为(2,3)，f (x )的极大值为92＋6ln 2，极小值为2＋6ln 3.12．设函数f (x )＝a ln x －bx 2(x >0)，若函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切． (1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在[1e，e]上的最大值． 解 (1)f ′(x )＝a x－2bx ，∵函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝a －2b ＝0，f ＝－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝ln x －12x 2， f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x， 当1e ≤x ≤e 时，令f ′(x )>0，得1e≤x <1， 令f ′(x )<0，得1<x ≤e，∴f (x )在[1e，1)上单调递增， 在(1，e]上单调递减，∴f (x )max ＝f (1)＝－12. *13.(2017·杭州调研)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －ln x (a >0，b ∈R )．(1)设a ＝1，b ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若对任意的x >0，f (x )≥f (1)，试比较ln a 与－2b 的大小．解 (1)由f (x )＝ax 2＋bx －ln x ，x ∈(0，＋∞)，得f ′(x )＝2ax 2＋bx －1x. ∵a ＝1，b ＝－1，∴f ′(x )＝2x 2－x －1x ＝x ＋x －x (x >0)．令f ′(x )＝0，得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． ∴f (x )的单调递减区间是(0,1)；单调递增区间是(1，＋∞)．(2)由题意可知，f (x )在x ＝1处取得最小值， 即x ＝1是f (x )的极值点，∴f ′(1)＝0，∴2a ＋b ＝1，即b ＝1－2a . 令g (x )＝2－4x ＋ln x (x >0)，则g ′(x )＝1－4x x. 令g ′(x )＝0，得x ＝14. 当0<x <14时，g ′(x )>0，g (x )单调递增， 当x >14时，g ′(x )<0，g (x )单调递减， ∴g (x )≤g (14)＝1＋ln 14＝1－ln 4<0，∴g (a )<0，即2－4a ＋ln a ＝2b ＋ln a <0， 故ln a <－2b .。
2022届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.6正弦定理和余弦定理及解三角形学案理新人教版20
第六节 正弦定理和余弦定理及解三角形1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是△ABC 的外接圆半径． 正弦定理的常用变形：(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .(3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc _cos_A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ； b 2＝a 2＋c 2－2ac _cos_B ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ； c 2＝a 2＋b 2－2ab _cos_C ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab． 3．勾股定理在△ABC 中，∠C ＝90°⇔a 2＋b 2＝c 2． 4．三角形的面积公式 S △ABC ＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c＝12ab _sin_C ＝12bc _sin__A ＝12ac _sin_B ． 5．实际问题中的常用术语 术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．方位角α的X 围是0°≤α<360°续表 术语名称术语意义图形表示 方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度①北偏东m °②南偏西n °坡角坡面与水平面的夹角设坡角为α，坡度为i ， 则i ＝hl＝tan α坡度坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比1．射影定理 b cos C ＋c cos B ＝a ， b cos A ＋a cos B ＝c ， a cos C ＋c cos A ＝b .2．三个角A ，B ，C 与诱导公式的“消角”关系 sin (A ＋B )＝sin C ， cos (A ＋B )＝－cos C ， sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2.3．特殊的面积公式(1)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形内切圆半径).(2)S ＝P （P －a ）（P －b ）（P －c ），P ＝12(a ＋b ＋c ).(3)S ＝abc4R＝2R 2sin A ·sin B ·sin C (R 为△ABC 外接圆半径).1．(基本方法：正弦定理)在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．23 C ． 3 D ．32答案：B2．(基础知识：正、余弦定理)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 答案：C3．(基础知识：三角形的面积公式)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积为________．答案：2 34．(基本能力：正弦定理)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＋a cos B ＝0，则B ＝________．答案：3π45．(基本应用：实际问题中的常用术语)两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站北偏东40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的北偏西________，西偏北________．答案：10° 80°题型一 正、余弦定理的基本应用[典例剖析]类型 1 正弦定理及其应用[例1] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c ＝1，B ＝45°，cos A ＝35，则b 等于( )A ．53B ．107C ．57D ．5214解析：因为cos A ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，所以sin C ＝sin [π－(A＋B )]＝sin (A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45cos 45°＋35sin 45°＝7210.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝17210×sin 45°＝57.答案：C类型 2 余弦定理及其应用[例2] 已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b ＝( )A ．2B ．4＋23C ．4－2 3D ．6－ 2解析：在△ABC 中，易知B ＝30°，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 30°＝4， ∴b ＝2. 答案：A类型 3 正、余弦定理混合应用[例3] 已知△ABC 满足sin 2A ＋sin A sin B ＋sin 2B ＝sin 2C ，则C 的大小是________． 解析：因为sin 2A ＋sin A sin B ＋sin 2B ＝sin 2C ，所以a 2＋ab ＋b 2＝c 2，即a 2＋b 2－c 2＝－ab ，故cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12(0＜C ＜π)，所以C ＝2π3.答案：2π3方法总结1．求解三角形的一般方法： 方法 解读题型正弦定理法 直接利用正弦定理(变式)求边、角(1)已知两角及一边；(2)已知两边及一边对角 余弦定理法直接利用余弦定理(变式)求边、角(1)已知两边及夹角；(2)已知三边2.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a ＝b sin Ab sin A＜a ＜ba ≥ba ＞ba ≤b解的个数1211[题组突破]1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则B ＝( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解析：∵a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，∴由正弦定理得sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝12sin B ，即sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝12sin B .∵sin B ≠0，∴sin (A ＋C )＝12，即sin B ＝12.∵a ＞b ，∴A ＞B ，即B 为锐角，∴B ＝π6.答案：A2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2－3bc ＝a 2，bc ＝3a 2，则C 的大小是( )A ．π6或2π3B ．π3C ．2π3D ．π6解析：∵b 2＋c 2－3bc ＝a 2，∴b 2＋c 2－a 2＝3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc 2bc ＝32.又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π6.由b 2＋c 2－a 2＝3bc 及bc ＝3a 2得b 2＋c 2－33bc ＝3bc ，即3b 2－4bc ＋3c 2＝0.∴(3b －c )·(b －3c )＝0，解得c ＝3b 或b ＝3c .①当c ＝3b 时，由bc ＝3a 2得a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形，且A ＝B ＝π6，∴C ＝2π3；②当b ＝3c 时，由bc ＝3a 2得a ＝c ，∴△ABC 是以B 为顶点的等腰三角形，A ＝C ，∴C ＝π6.综上，C 的大小为π6或2π3.答案：A3．(2021·某某模拟)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b sin 2A ＝a sin B ，且c ＝2b ，则ab等于( )A ．32B ．43C ． 2D ． 3解析：由正弦定理及b sin2A ＝a sin B ，得2sin B sin A ·cos A ＝sin A sin B ，又sin A ≠0，sin B ≠0，则cos A ＝12.又c ＝2b ，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋4b 2－4b 2·12＝3b 2，得ab＝ 3.答案：D题型二 正、余弦定理的综合应用[典例剖析]类型 1 判断三角形的形状[例1] (1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：法一：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ，所以a sin A ＝a ，即sin A ＝1，故A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．法二：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ， 所以sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， 即sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin A ＝sin 2A ，故sin A ＝1，即A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．法三：由射影定理可得b cos C ＋c cos B ＝a ， 所以a ＝a sin A ，所以sin A ＝1，即A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形．答案：B(2)在△ABC 中，若2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 的形状为________． 解析：法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin (A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin (A －B )＝0， 因为－π＜A －B ＜π，所以A ＝B ， 所以△ABC 为等腰三角形． 法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b ，所以△ABC 为等腰三角形． 答案：等腰三角形类型 2 有关三角形的周长与面积[例2] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2b －c )cos A ＝a cos C . (1)求A ；(2)若a ＝13，△ABC 的面积为33，求△ABC 的周长．解析：(1)由(2b －c )cos A ＝a cos C 知2×2R sin B cos A －2R sin C cos A ＝2R cos C sin A ， 由A ＋B ＋C ＝π，得2sin B cos A ＝sin B ， 因为sin B ≠0，所以cos A ＝12.因为 0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得13＝b 2＋c 2－2bc ·12，即(b ＋c )2－3bc ＝13，因为S △ABC ＝12bc ·sin A ＝34bc ＝33，所以bc ＝12，所以(b ＋c )2－36＝13，即b ＋c ＝7， 所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝7＋13. 类型 3 有关三角形的边长与角度[例3] 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin A ＋b sin B ＋2b sin A ＝c sin C .(1)求C ；(2)若a ＝2，b ＝22，线段BC 的垂直平分线交AB 于点D ，求CD 的长． 解析：(1)因为a sin A ＋b sin B ＋2b sin A ＝c sin C ， 所以由正弦定理可得a 2＋b 2＋2ab ＝c 2. 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－22，又0＜C ＜π，所以C ＝3π4.(2)由(1)知C ＝3π4，根据余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋(22)2－2×2×22×⎝⎛⎭⎫－22＝20， 所以c ＝2 5.由正弦定理c sin C ＝b sin B ，得2522＝22sin B，解得sin B ＝55，从而cos B ＝255. 设BC 的垂直平分线交BC 于点E ， 因为在Rt △BDE 中，cos B ＝BE BD ，所以BD ＝BE cos B ＝1255＝52. 因为点D 在线段BC 的垂直平分线上，所以CD ＝BD ＝52. 1．求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．方法总结(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．提醒 正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．3．判断三角形形状的两种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．边角互化法边化角：用角的三角函数表示边 等式两边是边的齐次形式角化边：将解析式中的角用边的形式表示等式两边是角的齐次形式或a 2＋b 2－c 2＝λab[题组突破]1．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________． 解析：因为BC sin A ＝AB sin C ＝AC sin B ＝3sin 60°，所以AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A ，因此AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A ＋4sin A＝5sin A ＋3cos A ＝27sin (A ＋φ).因为φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以AB ＋2BC 的最大值为27.答案：272．若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且C 为钝角，则B ＝________，ca的取值X 围是________．解析：由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ．又∵S ＝34(a 2＋c 2－b 2)， ∴12ac sin B ＝34×2ac cos B ，∴tan B ＝3，∴B ＝π3. 又∵C 为钝角，∴C ＝2π3－A ＞π2，∴0＜A ＜π6.由正弦定理得ca＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A sin A＝32cos A ＋12sin A sin A ＝12＋32·1tan A .∵0＜tan A ＜33，∴1tan A＞3， ∴c a ＞12＋32×3＝2，即ca ＞2. 答案：π3(2，＋∞)题型三 解三角形的应用举例[典例剖析]类型 1 解决测量问题[例1] (1)(可视两点)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A ，B 两点，在A ，B 两点分别测得树顶的仰角为30°，45°，且A ，B 两点之间的距离为10 m ，则树的高度h 为( )A ．(5＋53)mB ．(30＋153)mC ．(15＋303)mD ．(15＋33)m解析：在△P AB 中，由正弦定理，得10sin （45°－30°）＝PBsin 30°，因为sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝6－24，所以PB ＝5(6＋2)(m)，所以该树的高度h ＝PB sin 45°＝(5＋53)(m).答案：A(2)(河对岸或不可视两点)如图所示，为了测量河对岸A ，B 两点之间的距离，观察者找到一个点C ，从点C 可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从点D 可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从点E 可以观察到点B ，C .并测量得到一些数据：CD ＝2，CE ＝23，∠D ＝45°，∠ACD ＝105°，∠ACB °，∠BCE ＝75°，∠E ＝60°，则A ，B 两点之间的距离为________.(其中°取近似值23)解析：依题意知，在△ACD 中，∠A ＝30°，由正弦定理得AC ＝CD sin 45°sin 30°＝2 2.在△BCE 中，∠CBE ＝45°，由正弦定理得BC ＝CE sin 60°sin 45°＝3 2.连接AB (图略)，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ＝10， ∴AB ＝10. 答案：10类型 2 三角形在平面几何中的应用[例2]如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝3π4，AB ⊥AD ，AB＝1.(1)若AC ＝5，求△ABC 的面积； (2)若∠ADC ＝π6，CD ＝4，求sin ∠CAD .解析：(1)在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ，即5＝1＋BC 2＋2BC ，解得BC ＝2，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝12×1×2×22＝12.(2)设∠CAD ＝θ，在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CD sin ∠CAD ，即AC sin π6＝4sin θ，①在△ABC 中，∠BAC ＝π2－θ，∠BCA ＝π－3π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝θ－π4，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝ABsin ∠BCA ，即AC sin3π4＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，② ①②两式相除，得sin 3π4sin π6＝4sin θ1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，即4⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ＝2sin θ，整理得sin θ＝2cos θ.又sin 2θ＋cos 2θ＝1，故sin θ＝255，即sin ∠CAD ＝255.方法总结1．测量距离问题的解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将实际问题转化为求某个三角形的边长问题，再利用正、余弦定理求解．提醒 解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量．2．测量角度问题的基本思路：测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．提醒 方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．3．把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解．4．寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果，求解时要灵活利用平面几何的性质，将几何性质与正弦、余弦定理有机结合起来．[题组突破]1．(2020·某某模拟)如图，一栋建筑物AB 的高为(30－103)米，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD ，在它们之间的点M (B ，M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，塔顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角是30°，则通信塔CD 的高为________米．解析：在Rt △ABM 中，AM ＝ABsin 15°＝30－103sin 15°＝30－1036－24＝206，过点A 作AN ⊥CD 于点N (图略)，在Rt △A 中，因为∠CAN ＝30°，所以∠A ＝60°，又在Rt △CMD 中，∠CMD ＝60°，所以∠MCD ＝30°，所以∠ACM ＝30°，在△AMC 中，∠AMC ＝105°，所以AC sin 105°＝AM sin ∠ACM ＝206sin 30°，所以AC ＝60＋203，所以＝30＋103，所以CD ＝DN ＋＝AB ＋＝30－103＋30＋103＝60. 答案：602．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile 的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile 的速度沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．解析：如图，设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇，则AC ＝14x ，BC ＝10x ，∠ABC ＝120°.根据余弦定理得(14x )2＝122＋(10x )2－240x cos 120°， 解得x ＝2(负值舍去)，故AC ＝28，BC ＝20.根据正弦定理得BC sin α＝ACsin 120°，解得sin α＝20sin 120°28＝5314，所以红方侦察艇所需的时间为2小时，角α的正弦值为5314.再研高考创新思维(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＋C2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值X 围． 解析：(1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C 2＝sin B ·sin A .因为sin A ≠0，所以sin A ＋C2＝sin B .由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2＝cos B2， 故cos B 2＝2sin B 2cos B2.因为cos B 2≠0，所以sin B 2＝12，所以B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a . 由(1)知A ＋C ＝120°，由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin （120°－C ）sin C ＝32tan C ＋12.由于△ABC 为锐角三角形，故0°＜A ＜90°，0°＜C ＜90°. 结合A ＋C ＝120°，得30°＜C ＜90°，所以12＜a ＜2，从而38＜S △ABC ＜32.因此，△ABC 面积的取值X 围是⎝⎛⎭⎫38，32. 素养升华边角互化(2021·某某某某模拟)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求ba；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .解析：(1)由正弦定理得a sin B ＝b sin A ，因为a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，所以b sin 2A ＋b cos 2A ＝2a ，所以ba ＝ 2.(2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 因为c 2＝b 2＋3a 2，所以cos B ＝（1＋3）a2c .由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2，所以cos 2B ＝12，易知cos B ＞0，所以cos B ＝22.又0＜B ＜π，所以B ＝π4.。
高三数学复习第三章 三角函数、解三角形
提 升 学 科 素 养
突 破 热 点 题 型
演 练 知 能 检 测
5 答案：2
数学(6省专版)
第一节
任意角和弧度制及任意角的三角函数
回 扣 主 干 知 识
2π 5．若点 P 在角 3 的终边上，且|OP|＝2，则点 P 的坐标是 ________．
2 解析：∵角3π 的终边落在第二象限， ∴可设 P(x，y)，其中 x＜0，y＞0，
第一节
任意角和弧度制及任意角的三角函数
π (1)∵在(0， π)内终边在直线 y＝ 3x 上的角是3，
π 上的角的集合为α|α＝3＋kπ，k∈Z.
[自主解答]
回 扣 主 干 知 识
∴终边在直线 y＝ 3x
6π (2)∵θ＝ 7 ＋2kπ(k∈Z)， θ 2π 2kπ ∴3＝ 7 ＋ 3 (k∈Z)． 2π 2kπ 3 18 依题意 0≤ 7 ＋ 3 ＜2π⇒－7≤k＜ 7 ，k∈Z. θ 2π 20π 34π ∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与3相同的角为 7 ， 21 ， 21 .
数学(6省专版)
提 升 学 科 素 养
突 破 热 点 题 型
演 练 知 能 检 测
第一节
任意角和弧度制及任意角的三角函数
回 扣 主 干 知 识
————— ———————————— α 1．由 α 所在的象限，确定n所在象限的方法
α (1)由角 α 的范围，求出n所在的范围；
(2)通过分类讨论把角写成 θ＋k· (k∈Z)的形式，然后判 360° α 断n所在象限．
第三章
第一节
第二节 第三节
目 三角函数、解三角形 录 任意角和弧度制及任意角的三角函数
同角三角函数的基本关系与诱导公式 三角函数的图象与性质
2024届高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形第三讲两角和与差及二倍角的三角函数公式课件
(5)tan (α－β)＝1t＋antαan－αttaannββ(T(α－β)). (6)tan (α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ(T(α＋β)).
2.二倍角公式 (1)基本公式 ①sin 2α＝2sin αcos α. ②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
答案：C 【反思感悟】 理解数学文化内容，结合题目条件进行三角变换求值是关键.
【高分训练】
(2021 年泸州市模拟)《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图
是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成
一个大的正方形，若图3-3-1中直角三角形两锐角分别
为α，β，且小正方形与大正方形面积之比为 9∶25，
答案：12
⊙三角变换与数学文化的创新问题 新高考数学考查的学科素养提炼为理性思维，数学应用，数 学探究和数学文化，其中数学文化作为素养考查的四大内涵之一， 以数学文化为背景的试题将是新高考的必考内容.
[例 4]公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边 形和正十边形的作图方法，发现了黄金分割，其比值约为 0.618，
考向 2 公式的变形
[例
3](1)存在角
θ，已知
(1＋sin θ∈(0，π)，则
θ＋cos θ)sin 2＋2cos θ
2θ－cos
θ 2
＝______.
解析：由 θ∈(0，π)，得 0＜2θ＜π2， ∴cos 2θ＞0，∴ 2＋2cos θ＝ 4cos22θ＝2cos2θ.
又(1＋sin θ＋cos θ)sin
解析：原式＝1－cos22α－π3＋1－cos 22α＋π3－sin2α＝1－ 12cos2α－π3＋cos 2α＋π3－sin2α＝1－cos2α·cos π3－sin2α＝1－ co2s2α－1－c2os 2α＝12.
三角函数的综合应用+课件-2025届高三数学一轮复习
(2)由题意，得 f(A)＝2sin 2A－π3－ 3＝0，即 sin 2A－π3＝ 23，
∵A∈0，π2， 则 2A－π3∈－π3，23π， ∴2A－π3＝π3，∴A＝π3.
在△ABC 中， 由 a2＝b2＋c2－2bc cos A＝42＋32－2×4×3×12＝13， 可得 a＝ 13， 又∵12bc sin A＝12AD×a，即12×4×3× 23＝21AD× 13， ∴AD＝61339，故 BC 边上的高 AD 的长为61339.
(2)根据正弦定理得sina A＝sinc C＝sinb
B＝
4 ＝8 3
3
3，
2
所以
a＝8
3
3 sin
A，c＝8
3
3 sin
C.
所以
a＋c＝8
3
3 (sin
A＋sin
C).
因为 A＋B＋C＝π，B＝π3，所以 A＋C＝23π，
所以 a＋c＝8
3
3 sin
A＋sin
23π－A＝8
3
33 2sin
A＋
23cos
A
＝8sin A＋π6.
因为 0＜A＜23π，
所以 A＋π6∈π6，56π，所以 sin A＋π6∈12，1，则 a＋c∈(4，8].
所以 a＋c 的取值范围是(4，8].
【反思感悟】已知三角形一边及其对角，求取值范围的问题 的解法
(1)(不妨设已知 a 与 sin A 的值)根据 2R＝sina A求出三角形外接
∴a2＋c2 b2＝sin2Asi＋n2Csin2B＝cos22sCin＋2Ccos2C ＝(1－2sin2Cs)in2＋2C(1－sin2C)＝2＋4sins4iCn2－C 5sin2C
高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第7讲 解三角形的综合应用课件
在目标视线与水平视线所成的角中， 目标视线在水平视线上方的叫做仰 角，目标视线在水平视线下方的叫做 俯角
图形表示
12/11/2021
术语名称
术语意义
方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向 到目标方向线之间的水平夹角叫做方 位角．方位角 α 的范围是 0°≤α<360°
图形表示
12/11/2021
术语名称
12/11/2021
[解析] 在 Rt△ABM 中，AM＝sinAB15°＝30s－in 1105°3 ＝30－6－10 23＝20 6.如图过点 A 作 AN⊥CD 于点 N，在 Rt
4 △ACN 中，因为∠CAN＝30°，所以∠ACN＝60°.又在 Rt △CMD 中，∠CMD＝60°，所以∠MCD＝30°，所以∠ACM＝30°，在△AMC 中，∠ AMC＝105°，所以sinA1C05°＝sin A∠MACM＝s2in0306°，所以 AC＝60＋20 3，所以 CN＝ 30＋10 3，所以 CD＝DN＋CN＝AB＋CN＝30－10 3＋30＋10 3＝60.故填 60.
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求解高度问题的三个关注点 (1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向 (位)角(在水平面上所成的角)是关键． (2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好 画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错． (3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题 易错提醒：解三角形实际问题时注意各个角的含义，根据这些角把需要的三 角形的内角表示出来．而容易出现的错误是把角的含义弄错，把这些角与要求解的 三角形的内角之间的关系弄错．
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高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 3.6 正弦定理和余弦定理学案 文
3．6 正弦定理和余弦定理[知识梳理]1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则2．在△ABC中，已知a，b和A时，三角形解的情况3．三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)．(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．4．在△ABC 中，常有的结论 (1)∠A ＋∠B ＋∠C ＝π.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． [诊断自测] 1．概念思辨(1)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．( )(2)在△ABC 中，a sin A ＝a ＋b －csin A ＋sin B －sin C.( )(3)若a ，b ，c 是△ABC 的三边，当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，△ABC 为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2<0时，△ABC 为钝角三角形．( )(4)在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则此三角形是钝角三角形．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ 2．教材衍化(1)(必修A5P 10A 组T 4)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin2Asin C ＝________.答案 1解析 由正弦定理得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝4∶5∶6，又由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，所以sin2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2×46×34＝1. (2)(必修A5P 20A 组T 11)若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 等于________．答案 7解析 因为△ABC 的面积S △ABC ＝12AB ·AC sin A ，所以103＝12×5×8sin A ，解得sin A ＝32，因为角A 为锐角，所以cos A ＝12.根据余弦定理，得BC 2＝52＋82－2×5×8cos A ＝52＋82－2×5×8×12＝49，所以BC ＝7.3．小题热身(1)(2016·天津高考)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝ 120°，则AC ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 在△ABC 中，设A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得13＝9＋b 2－2×3b ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即b 2＋3b －4＝0，解得b ＝1(负值舍去)，即AC ＝1.故选A.(2)(2016·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C＝513，a ＝1，则b ＝________. 答案2113解析 由已知可得sin A ＝35，sin C ＝1213，则sin B ＝sin(A ＋C )＝35×513＋45×1213＝6365，再由正弦定理可得a sin A ＝bsin B ⇒b ＝1×636535＝2113.题型1 利用正、余弦定理解三角形典例1 (2018·郑州预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 3cos B＝asin A，则cos B ＝( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32边角互化法．答案 B解析 由正弦定理知sin B3cos B ＝sin A sin A＝1，即tan B ＝3，由B ∈(0，π)，所以B ＝π3，所以cos B ＝cos π3＝12.故选B.典例2 (2018·重庆期末)在△ABC 中，已知AB ＝43，AC ＝4，∠B ＝30°，则△ABC 的面积是( )A ．4 3B ．8 3C ．43或8 3 D. 3注意本题的多解性．答案 C解析 在△ABC 中，由余弦定理可得AC 2＝42＝(43)2＋BC 2－2×43BC cos30°， 解得BC ＝4或BC ＝8.当BC ＝4时，AC ＝BC ，∠B ＝∠A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，∠C ＝120°， △ABC 的面积为12AB ·BC sin B ＝12×43×4×12＝4 3.当BC ＝8时，△ABC 的面积为12AB ·BC sin B ＝12×43×8×12＝8 3.故选C.方法技巧正、余弦定理在解三角形中的应用技巧1．已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理解三角形，正弦定理的形式多样，其中a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 能够实现边角互化．见典例1.2．已知两边和它们的夹角、已知两边和一边的对角或已知三边都能直接运用余弦定理解三角形．见典例2.3．已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．见典例2.冲关针对训练1．(2017·河西五市联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(b －a )sin A ＝(b －c )·(sin B ＋sin C )，则角C 等于( )A.π3 B.π6 C.π4 D.2π3答案 A解析 由题意，得(b －a )a ＝(b －c )(b ＋c )，∴ab ＝a 2＋b 2－c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝π3.故选A.2．(2018·山东师大附中模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ＝－13，c ＝3，sin A ＝6sin C .(1)求a 的值；(2)若角A 为锐角，求b 的值及△ABC 的面积．解 (1)在△ABC 中，c ＝3，sin A ＝6sin C ，由正弦定理a sin A ＝csin C ，得a ＝6c ＝6×3＝3 2.(2)由cos2A ＝1－2sin 2A ＝－13得，sin 2A ＝23，由0<A <π2，得sin A ＝63，则cos A ＝1－sin 2A ＝33. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 化简，得b 2－2b －15＝0， 解得b ＝5(b ＝－3舍去)．所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×5×3×63＝522.题型2 利用正、余弦定理判断三角形的形状典例 (2017·陕西模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定用边角互化法．答案 B解析 ∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A .又sin A >0，∴sin A ＝1，∴A ＝π2，故△ABC 为直角三角形．故选B.[条件探究1] 将本典例条件变为“若2sin A cos B ＝sin C ”，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形答案 B解析 解法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π<A －B <π，所以A ＝B .故选B. 解法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 22ac＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b .故选B.[条件探究2] 将本典例条件变为“若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13”，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 答案 C解析 在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13， ∴a ∶b ∶c ＝5∶11∶13，故设a ＝5k ，b ＝11k ，c ＝13k (k >0)，由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25k 2＋121k 2－169k 22×5×11k 2＝－23110<0， 又∵C ∈(0，π)，∴C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴△ABC 为钝角三角形．故选C.[条件探究3] 将本典例条件变为“若b cos B ＋c cos C ＝a cos A ”，试判断三角形的形状． 解 由已知得b ·a 2＋c 2－b 22ac ＋c ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a ·b 2＋c 2－a 22bc，∴b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(a 2＋b 2－c 2)＝a 2(b 2＋c 2－a 2)． ∴(a 2＋c 2－b 2)(b 2＋a 2－c 2)＝0.∴a 2＋c 2＝b 2或b 2＋a 2＝c 2，即B ＝π2或C ＝π2.∴△ABC 为直角三角形． 方法技巧判定三角形形状的两种常用途径提醒：“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．冲关针对训练在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C.(1)求角A的大小；(2)若sin B＋sin C＝3，试判断△ABC的形状．解(1)由2a sin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C及正弦定理，得2a2＝(2b－c)b＋(2c －b)c，即bc＝b2＋c2－a2，∴cos A＝b2＋c2－a22bc＝12，A∈(0，π)，∴A＝60°.(2)∵A＋B＋C＝180°，∴B＋C＝180°－60°＝120°.由sin B＋sin C＝3，得sin B＋sin(120°－B)＝3，∴sin B＋sin120°cos B－cos120°sin B＝ 3.∴32sin B＋32cos B＝3，即sin(B＋30°)＝1.∵0°<B<120°，∴30°<B＋30°<150°.∴B＋30°＝90°，即B＝60°.∴A＝B＝C＝60°，∴△ABC为等边三角形.题型3 与三角形有关的最值角度1 与三角形边长有关的最值典例(2017·杏花岭区模拟)已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝b cos C＋33c sin B.(1)求B；(2)若b＝2，求ac的最大值．本题采用转化法．解(1)在△ABC中，∵a＝b cos C＋33c sin B，∴sin A＝sin B cos C＋33sin C sin B，∴sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋33sin C sin B ， 化为cos B sin C ＝33sin C sin B ，sin C ≠0， 可得tan B ＝3，B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)由正弦定理得b sin B ＝2R ＝43，令y ＝ac ＝2R sin A ·2R sin C ＝163sin A sin C＝163sin A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝83sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＋43. ∵0<A <π2，0<2π3－A <π2，∴π6<A <π2.故π6<2A －π6<5π6，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，∴y ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤83，4.∴ac 的最大值为4.角度2 与三角形内角有关的最值典例 (2017·庄河市期末)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，设f (x )＝a 2x 2－(a 2－b 2)x －4c 2.(1)若f (1)＝0，且B －C ＝π3，求角C 的大小；(2)若f (2)＝0，求角C 的取值范围．本题采用放缩法．解 (1)由f (1)＝0，得a 2－a 2＋b 2－4c 2＝0， ∴b ＝2c ，又由正弦定理，得sin B ＝2sin C ， ∵B －C ＝π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋C ＝2sin C ， 整理得3sin C ＝cos C ，∴tan C ＝33. ∵角C 是三角形的内角，∴C ＝π6.(2)∵f (2)＝0，∴4a 2－2a 2＋2b 2－4c 2＝0， 即a 2＋b 2－2c 2＝0，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12(当且仅当a ＝b 时取等号)．又∵余弦函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上递减，C 是锐角， ∴0<C ≤π3.方法技巧求与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角的取值范围、函数值域的求法求解范围即可．冲关针对训练(2018·绵阳检测)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x4，记f (x )＝m ·n .(1)若f (x )＝1，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．解 (1)f (x )＝m ·n ＝3sin x 4cos x4＋cos 2x4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12. 因为f (x )＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－12.(2)因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0， 所以cos B ＝12，B ＝π3，所以0<A <2π3，所以π6<A 2＋π6<π2，12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6<1， 又因为f (x )＝m ·n ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，所以f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＋12，故函数f (A )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.1．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12 B.π6 C.π4 D.π3答案 B解析 因为a ＝2，c ＝2， 所以由正弦定理可知，2sin A ＝2sin C ，故sin A ＝2sin C . 又B ＝π－(A ＋C )， 故sin B ＋sin A (sin C －cos C ) ＝sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C＝sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝(sin A ＋cos A )sin C ＝0.又C 为△ABC 的内角， 故sin C ≠0，则sin A ＋cos A ＝0，即tan A ＝－1. 又A ∈(0，π)，所以A ＝3π4.从而sin C ＝12sin A ＝22×22＝12. 由A ＝3π4知C 为锐角，故C ＝π6.故选B.2．(2018·南阳模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝________.答案π6解析 由正弦定理，得sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝12sin B ，即sin B sin(A ＋C )＝12sin B ，因为sin B ≠0，所以sin B ＝12，所以B ＝π6或5π6，又因为a >b ，故B ＝π6.3．(2018·沈阳模拟)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )·si n C .若a ＝3，则b 2＋c 2的取值范围是________．答案 5<b 2＋c 2≤6解析 由正弦定理可得，(a －b )·(a ＋b )＝(c －b )·c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＝π3.∵b sin B ＝c sin C ＝3sinπ3＝2， ∴b 2＋c 2＝4(sin 2B ＋sin 2C )＝4[sin 2B ＋sin 2(A ＋B )]＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos2B 2＋1－cos2(A ＋B )2＝3sin2B －cos2B ＋4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋4. ∵△ABC 是锐角三角形，且A ＝π3，∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，即2B －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，∴12<sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6≤1，∴5<b 2＋c 2≤6.4．(2015·全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sinC . (1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积． 解 (1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac . 又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14.(2)由(1)知b 2＝2ac .因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2. 故a 2＋c 2＝2ac ，得c ＝a ＝ 2. 所以△ABC的面积为1.[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．(2017·长沙模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝13，b ＝3，A ＝60°，则边c ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．6 答案 C解析 a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ⇒13＝c 2＋9－6c cos60°，即c 2－3c －4＝0，解得c ＝4或c＝－1(舍去)．故选C.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( ) A ．a >b B ．a <b C ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 答案 A解析 据题意由余弦定理可得a 2＋b 2－2ab cos120°＝c 2＝(2a )2，化简整理得a 2＝b 2＋ab ，变形得a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )＝ab >0，故有a －b >0，即a >b .故选A.3．(2017·湖南长郡中学六模)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b sin2A ＝a sin B ，且c ＝2b ，则ab等于( )A ．2B ．3 C. 2 D. 3 答案 A解析 由2b sin2A ＝a sin B ，得4b sin A cos A ＝a sin B ，由正弦定理得4sin B sin A cos A ＝sin A sin B ，∵sin A ≠0，且sin B ≠0，∴cos A ＝14，由余弦定理得a 2＝b 2＋4b 2－b 2，∴a 2＝4b 2，∴a b＝2.故选A.4．(2017·衡水中学调研)在△ABC 中，三边之比a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，则sin A －2sin Bsin2C ＝( )A ．1B ．2C ．－2 D.12答案 B解析 不妨设a ＝2，b ＝3，c ＝4，故cos C ＝4＋9－162×2×3＝－14，故sin A －2sin B sin2C ＝a －2b2c cos C ＝2－68×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝2.故选B.5．在△ABC 中，A ，B ，C 是三角形的三个内角，a ，b ，c 是三个内角对应的三边，已知b 2＋c 2＝a 2＋bc .若sin B sin C ＝34，△ABC 的形状( )A ．等边三角形B ．不含60°的等腰三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形答案 A解析 在△ABC 中，由余弦定理，可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，由已知，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝12.∵0<A <π，故A ＝π3.∵A ＋B ＋C ＝π，A ＝π3，∴C ＝2π3－B .由sin B sin C ＝34，得sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝34.即sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3cos B －cos 2π3sin B ＝34.32sin B cos B ＋12sin 2B ＝34， 34sin2B ＋14(1－cos2B )＝34， 32sin2B －12cos2B ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＝1.又∵－π6<2B －π6<7π6，∴2B －π6＝π2，即B ＝π3.∴C ＝π3，也就是△ABC 为等边三角形．故选A.6．(2014·江西高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932 C.332 D ．3 3答案 C解析 c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，②由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.故选C.7．(2018·上海杨浦质量调研)设锐角△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的边长分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝2A ，则b 的取值范围为( )A ．(2，3)B ．(1，3)C ．(2，2)D ．(0,2) 答案 A解析 由a sin A ＝b sin B ＝bsin2A ，得b ＝2cos A .π2<A ＋B ＝3A <π，从而π6<A <π3. 又2A <π2，所以A <π4，所以π6<A <π4，22<cos A <32，所以2<b < 3.故选A.8．(2014·全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．1 答案 B解析 S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，∴B ＝45°或135°.若B＝45°，则由余弦定理得AC ＝1，∴△ABC 为直角三角形，不符合题意，因此B ＝135°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝5，∴AC ＝ 5.故选B.9．(2018·辽宁五校第一次联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若直线bx ＋y cos A ＋cos B ＝0与ax ＋y cos B ＋cos A ＝0平行，则△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰或者直角三角形 答案 C解析 由两直线平行可得b cos B －a cos A ＝0，由正弦定理可知sin B cos B －sin A cos A ＝0，即12sin2A ＝12sin2B ，又A ，B ∈(0，π)，且A ＋B ∈(0，π)，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.若A ＝B ，则a ＝b ，cos A ＝cos B ，此时两直线重合，不符合题意，舍去，故A ＋B ＝π2，则△ABC 是直角三角形．故选C.10．(2017·武昌调研)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2b sin C ，则tan A ＋tan B ＋tan C 的最小值是( )A ．4B ．3 3C ．8D ．6 3 答案 C解析 a ＝2b sin C ⇒sin A ＝2sin B sin C ⇒sin(B ＋C )＝2sin B sin C ⇒tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，又根据三角形中的三角恒等式tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C (注：tan A ＝tan(π－B －C )＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C ，即tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C )⇒tan B tan C ＝tan Atan A －2，∴tan A tan B tan C ＝tan A ·tan A tan A －2＝m 2m －2(tan A ＝m )，令m －2＝t ⇒(t ＋2)2t ＝t ＋4t ＋4≥8，当且仅当t ＝4t，即t ＝2，tan A ＝4时，取等号．故选C.二、填空题11．(2015·重庆高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.答案 4解析 由3sin A ＝2sin B 及正弦定理，得3a ＝2b ，所以b ＝32a ＝3.由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，得－14＝22＋32－c22×2×3，解得c ＝4. 12．(2018·河北唐山一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等差数列，且A －C ＝90°，则cos B ＝________.答案 34解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . ∴2sin B ＝sin A ＋sin C .∵A －C ＝90°，∴2sin B ＝sin(90°＋C )＋sin C . ∴2sin B ＝cos C ＋sin C . ∴2sin B ＝2sin(C ＋45°)．①∵A ＋B ＋C ＝180°且A －C ＝90°，∴C ＝45°－B2，代入①式中，2sin B ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫90°－B 2.∴2sin B ＝2cos B 2.∴4sin B 2cos B 2＝2cos B2.∴sin B 2＝24.∴cos B ＝1－2sin 2B 2＝1－14＝34. 13．(2018·沈阳监测)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且满足4S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，则S 的最大值为________．答案 8解析 由题意得4×12bc sin A ＝a 2－b 2－c 2＋2bc ，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入上式得2bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ，即sin A ＋cos A ＝1，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝1，又0<A <π，∴π4<A ＋π4<5π4，∴A ＋π4＝3π4，∴A ＝π2，S ＝12bc sin A ＝12bc ，又b ＋c ＝8≥2bc ，当且仅当b ＝c 时取“＝”，∴bc ≤16， ∴S 的最大值为8.14．(2017·浙江高考)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.答案152104解析 依题意作出图形，如图所示，则sin ∠DBC ＝sin ∠ABC .由题意知AB ＝AC ＝4，BC ＝BD ＝2， 则cos ∠ABC ＝14，sin ∠ABC ＝154.所以S △BDC ＝12BC ·BD ·sin∠DBC＝12×2×2×154＝152. 因为cos ∠DBC ＝－cos ∠ABC ＝－14＝BD 2＋BC 2－CD 22BD ·BC＝8－CD28，所以CD ＝10.由余弦定理，得cos ∠BDC ＝4＋10－42×2×10＝104. B 级三、解答题15．(2018·郑州质检)已知△ABC 的外接圆直径为433，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，C ＝60°.(1)求a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C的值；(2)若a ＋b ＝ab ，求△ABC 的面积．解 (1)因为a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ＝433，所以a ＝433sin A ，b ＝433sin B ，c ＝433sin C .所以a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝433(sin A ＋sin B ＋sin C )sin A ＋sin B ＋sin C ＝433.(2)由c ＝433sin C ，得c ＝433×32＝2，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ，又a ＋b ＝ab ，所以(ab )2－3ab －4＝0，解得ab ＝4或ab ＝－1(舍去)， 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×32＝ 3.16．(2017·湖北四校联考)已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin 2A ＋sin A sinB －6sin 2B ＝0.(1)求a b的值；(2)若cos C ＝34，求sin B 的值．解 (1)因为sin 2A ＋sin A sinB －6sin 2B ＝0，sin B ≠0， 所以⎝⎛⎭⎪⎫sin A sin B 2＋sin A sin B－6＝0，得sin A sin B ＝2或sin A sin B ＝－3(舍去)．由正弦定理得a b ＝sin Asin B＝2.(2)由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝34.①将ab＝2，即a ＝2b 代入①， 得5b 2－c 2＝3b 2，得c ＝2b .由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，得cos B ＝(2b )2＋(2b )2－b 22×2b ×2b ＝528，则sin B ＝1－cos 2B ＝148. 17．(2018·海淀区模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .满足2a cos C ＋c cos A ＝b .(1)求角C 的大小；(2)求sin A cos B ＋sin B 的最大值． 解 (1)由正弦定理及2a cos C ＋c cos A ＝b ， 得2sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin B . 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝π－B ，即sin(A ＋C )＝sin B .∴2sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＋sin A cos C ＝sin B ＋sin A cos C ＝sin B ， ∴sin A cos C ＝0，又∵0<A <π，0<C <π，∴sin A >0. ∴cos C ＝0，∴C ＝π2.(2)由(1)得C ＝π2，∴A ＋B ＝π2，即A ＝π2－B .∵sin A cos B ＋sin B ＝cos 2B ＋sin B ＝－sin 2B ＋sin B ＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin B －122＋54.∵0<B <π2，∴当sin B ＝12，即B ＝π6时，sin A cos B ＋sin B 取得最大值54.18．已知等腰三角形ABC 满足AB ＝AC ，3BC ＝2AB ，点D 为BC 边上一点且AD ＝BD . (1)求tan ∠ADB 的值； (2)若CD ＝33，求S △ABC . 解 (1)如图，设AB ＝AC ＝a ，AD ＝BD ＝b ，由3BC ＝2AB 得，BC ＝233a .在△ABC 中，由余弦定理得，cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC22AB ·BC＝a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫23a 32－a 22a ·233a＝33， ∴∠ABC 是锐角，则sin ∠ABC ＝1－cos 2∠ABC ＝63. 在△ABD 中，由余弦定理AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos ∠ABD ，得b 2＝a 2＋b 2－233ab ，解得a ＝233b .由正弦定理AD sin ∠ABD ＝ABsin ∠ADB ， 得b63＝a sin ∠ADB，解得sin ∠ADB ＝223，又2b 2>a 2，∴∠ADB 为锐角，∴cos ∠ADB ＝1－sin 2∠ADB ＝13，tan ∠ADB ＝2 2.(2)由已知可得3⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋33＝2a ，① 由(1)可知a ＝233b ，②联立①②得a ＝2，b ＝ 3.过A 作AH ⊥BC 于H ，则H 为BC 的中点，易求得DH ＝33. 则tan ∠ADB ＝AH33＝2 2.∴AH ＝263，∴S △ABC ＝12×433×263＝423.。
近年高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形课时达标23解三角形应用举例(2021年整理)
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第23讲解三角形应用举例［解密考纲］本考点考查利用正弦定理、余弦定理求解三角形,解决实际应用问题.题型一般为填空题或解答题，题目难度中等偏难.一、选择题1．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的（B）A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°解析依题意作出图形可知，A在B北偏西10°的地方。
2．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°,现要将倾斜角改为10°,则斜坡长为（C)A．1千米B．2sin 10° 千米C．2cos 10° 千米D．cos 20° 千米解析由题意知DC＝BC＝1,∠BCD＝160°，∴BD2＝DC2＋CB2－2DC·CB·cos 160°＝1＋1－2×1×1×cos（180°－20°）＝2＋2cos 20°＝4cos210°，∴BD＝2cos 10°。
2018版高考一轮总复习数学理课件 第3章 三角函数、解
(5)tanA＋tanB＋ tanC＝tanA· tanB· tanC. (6)∠A>∠B⇔a>b⇔ sinA>sinB⇔ cosA<cosB .
[双基夯实] 一、疑难辨析 判断下列结论的正误． ( 正确的打“√”，错误的打 “×”) 1．在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都 能解三角形．( √ ) a＋b－c a 2．在△ABC 中，sinA＝ .( √ ) sinA＋sinB－sinC
[必会结论] 在△ABC 中，常有以下结论 (1)∠A＋∠B ＋∠C＝π. (2)在三角形中大边对大角，大角对大边． (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三 边． (4)sin(A＋B )＝sinC ； cos(A ＋B)＝－cosC ；tan(A＋B )＝ A＋B A＋B C C －tanC； sin ＝cos ；cos ＝sin . 2 2 2 2
【变式训练 1】
[2017· 河西五市联考]在△ABC 中，角 )
A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足(b－a)sinA＝(b－ c)· (sinB＋sinC)，则角 C 等于( π A.3
解析
π B.6
π C.4
2π D. 3
由题意，得(b－a)a＝(b－c)(b＋c)，∴ab＝a2＋
2 2 2 a ＋ b － c 1 π 2 2 b －c ，∴cosC＝ ＝2，∴C＝3，故选 A. 2ab
①已知两角和任一 解决 三角 形的 问题 边，求另一角和其他 两条边 ②已知两边和其中一 边的对角，求另一边 和其他两角
①已知三边，求各 角 ②已知两边和它们 的夹角，求第三边 和其他两个角
考点 2 情况
在△ABC 中，已知 a，b 和 A 时，三角形解的 A 为锐角 A 为钝角或直角
高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.6.2 正弦定理和余弦定理的应用课件
1．如图所示，要测量一水塘两侧 A，B 两点间的距离，其方法是 先选定适当的位置 C，用经纬仪测出角 α，再分别测出 AC，BC 的长 b， a，则可求出 A，B 两点间的距离．即 AB＝ a2＋b2－2abcosα.若测得
CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，则 A，B 两点的距离为200 7 m.
【例 1】 (1)如图，某游轮在 A 处看灯塔 B 在 A 的北偏东 75°方向
上，距离为 12 6海里，灯塔 C 在 A 的北偏西 30°方向上，距离为 8 3海
里，游轮由 A 处向正北方向航行到 D 处时，再看灯塔 B，B 在南偏东
60°方向上，则 C 与 D 的距离为( B )
A．20 海里
B．8 3海里
12/Байду номын сангаас1/2021
所以－2 9 3≤ta1nC≤
3 3.
故 60°≤C≤φ，(C≠90°)
其中
φ
为钝角，ta1nφ＝－2
12/11/2021
【解析】 (1)在△ABD 中，因为灯塔 B 在 A 的北偏东 75°
方向上，距离为 12 6海里，游轮由 A 处向正北方向航行到 D 处 时，再看灯塔 B，B 在南偏东 60°方向上，所以 B＝180°－75°－
60°＝45°，由正弦定理sAinDB＝sin∠ABADB，
可得 AD＝siAnB∠siAnDBB＝12
12/11/2021
所以 A＝6π，所以在△ABE 中，A＝π6，AB＝ 3，AE＝2， 由余弦定理得 BE＝ AB2＋AE2－2AB·AEcos6π ＝ 3＋4－2× 3×2× 23＝1，所以 BE＝1.
12/11/2021
解法 2：在△ABC 中，因为∠ABC＝23π，C＝π6，所以 A＝6π， a＝c＝ 3.