利用换元法解方程(组)

第6讲 利用换元法解方程一、方法技巧（一）换元法解方程是用新元代替方程中含有未知数的某个部分，达到化简的目的.（二）运用换元法解方程，主要有三种类型：分式方程、无理方程、整式（高次）方程.解分式方程、无理方程、整式(高次)方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、无理方程化为有理方程、整式（高次）方程逐步降次.（三）换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的，不同的方程就有不同的换元方法，因此，这种方法灵活性大，技巧性强．恰当地换元，可将复杂方程化简，以便寻求解题的途径．常用换元方法有局部换元、均值换元、倒数换元、常数换元等．例如：① 256011x x x x ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ，可使用局部换元法，设1x y x =+ ②22110x x x x +++=，变形后也可使用局部换元法，设1x t x +=③222212219116x x x x x x x +++++=+++，看着很繁冗，变形整理成222211191116x x x x x x +++++=+++时，就可使用局部换元法. ④()()443182x x +++=，可设()()3122x x y x +++==+，方程变成()()441182y y ++-=，使方程变得易解，这是均值换元法.⑤4326538560x x x x +-++=，符合与中间项等距离的项的系数相等，如与6，与系数相等，可构造1x x +换元，是倒数换元法.⑥32310x x ++=，不易求解，若反过来看，把设x 看作已t ，则方程就变成()()2232110x t x t x ⋅+++-=， 数字换元法不常用，但不失为一种巧妙的解题方法.有时根据方程各部分特点可设双元，达到化繁为简，求解的目的.例如：()()()()()222222223232321321451x x x x x x x x x x -++-+--+--=-+观察发现()()22232321451x x x x x x -++--=-+，故可设232x x u -+=，2321x x v --=，原方程变为()222u uv v u v ++=+，方程由繁变简，可得解.（四）本讲注重研究用换元法解方程的技能、技巧．拓宽学生知识面，培养学生学习和研究数学的兴趣.二、应用举例类型一 局部换元（高次方程）【例题1】解方程：42320x x -+=【答案】11x =，21x =-，3x =4x =【解析】试题分析：通过观察发现()242x x =，故设2x y =，原方程变形为2320y y -+=，可把高次方程降次，转化为可解的一元二次方程.试题解析：解：设2x y =，则原方程变形为2320y y -+=， 解得，11y =，22y =，由11y =得21x =，解得11x =，21x =-，由22y =得22x =，解得3x =4x =∴方程的解是11x =，21x =-，3x =，4x =【难度】较易（分式方程）【例题2】解方程：256011x x x x ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭【答案】134x =-，223x =- 【解析】试题分析：括号里的分式相同，由这个特点，可以用换元法来解.试题解析： 解：设1x y x =+，于是原方程变形为2560y y ++= 解得13y =-，22y =-当13y =-时，31x x =-+，解得134x =-， 当22y =-时，21x x =-+，解得223x =- 经检验134x =-，223x =-均为原方程的根. ∴方程的解是134x =-，223x =- 【难度】较易【例题3】已知实数x 满足22110x x x x +++=，那么1x x+的值是（ ） 【答案】2-【解析】试题分析： 由于222112x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，故设1x t x +=，可解. 试题解析： 解：设1x t x+=， 原方程化简得21120x x x x ⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭， ∴220t t -+=，解得11t =，22t =- 由11x x+=化简得210x x -+=，△＜0 ，无解，舍去 ∴12x x +=- 点评 ：方程中并无“相同”的部分时，可通过代数式间的关系变形构造出“相同”部分，设元.【难度】一般（无理方程）【例题4103= 【答案】114x =，294x =- 【解析】试题分析： 这是一个根号里含有分式的无理方程，也可通过换元后求解，通过变形发现221x x x++=，与2x x +互为倒数，y =，则原方程变形为1103y y +=，无理方程化为有理方程. 试题解析：()0y y = ＞，则原方程变形为1103y y +=整理得231030y y -+=解得13y =，213y =当13y =3=，解得114x =当213y =13=，解得294x =- 经检验114x =，294x =-都是原方程的根. 原方程的解是114x =，294x =- 【难度】一般【例题510=【答案】112x =+，21x =- 【解析】试题分析：1=，可设两个未知数，利用韦达定理求解. 试题解析：m = n = ，原方程变为1m n +=又∵()2222m n m n mn +=++∴142mn =+，即32mn =- 根据韦达定理，m n 、是方程2302z z --=的根解得1z =2z =∵102， ∴2z 舍去即12m +=或12n +=12= 12+=解得112x =+， 212x =-经检验11x =+21x =-是原方程的解∴ 方程的解是11x =+， 21x =【难度】一般类型二 均值换元【例题6】解方程：()()443182x x +++= 【答案】10x =，24x =-【解析】试题分析：观察方程可知()()312x x +-+=，适合使用均值法换元，故设()()3122x x y x +++==+可达到降次目的.试题解析：解：设()()3122x x y x +++==+， 原方程变为()()441182y y ++-=整理得()()()()222221121182y y y y ⎡⎤++--+-=⎣⎦ ()()2222412182y y +--=426400y y +-= 解得210y =-（舍），24y =即12y =，12y =-由22x +=，得10x =由22x +=-，得24x =-∴原方程的解为10x =，24x =-点评：一般形如()()44x a x b c +++=的方程可用均值法，设22x a x b a b y x ++++==+进行代换，化原方程为双二次方程求解.【难度】较难类型三 倒数换元【例题7】解方程：4326538560x x x x +-++= 【答案】112x =，22x =, 33x =-，413x =- 【解析】试题分析：本题的特点是：按x 降幂排列后，与中间项等距离的项的系数相等，如46x 与6，35x 与5x 系数相等，可构造1x x +换元. 试题解析：解：显然0x =不是方程的解，故用2x 除方程两边， 整理得221165380x x x x ⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设1y x x =+，则22212x y x+=-， 上式变为()2625380y y -+-=，整理得265500y y +-= 解得152y =，2103y =-， 由152x x +=，解得112x =，22x = 由1103x x +=-，解得33x =-，413x =- 点评：形如4320ax bx cx bx a ++++=的方程称为倒数方程，其特点是，按某一字母降幂排列后，与中间项等距离的项的绝对值相等，其解法是，用2x 除各项，构造1x x±，使原方程变为一元二次方程得解.【难度】较难类型四 常数换元【例题8】解方程32310x x ++=【答案】11x =，212x -=，312x --= 【解析】试题分析：这是三次方程，且系数中含无理数，不易求解，若反过来看，把设x 设为设t ，则方程就变成关于t 的一元二次方程.试题解析：t=则原方程变形为322210x x t xt t +++-=即()()2232110x t x t x ⋅+++-= ()()2110x t x x t x ⎡⎤⋅++++-=⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()2110x x x x ⎡⎤⎤++-=⎣⎦⎦整理得)21110x x x ⎡⎤⎡⎤+++=⎣⎦⎣⎦)2110x x ++=或10x +=解得11x =，2x =，3x =【难度】困难三、实战演练类型一 局部换元（高次方程）1.已知()()2222138x y x y ++++=，则22x y +的值为（ ）【答案】1【解析】试题分析：解题时把22x y +当成一个整体考虑，再求解就比较简单.试题解析：解：设22x y t +=，()0t ≥，则 原方程变形为()()138t t ++=，整理得()()510t t +-=，解得15t =-，21t =，∵0t ≥∴1t =∴22x y +的值是1【难度】较易2.解方程：()2222360x x x x +--=【答案】10x =，22x =-，33x =-，41x =【解析】试题分析：观察可知，方程整理后()()2222320x xx x +-+=，可用换元法降次.试题解析：解：方程整理后()()2222320x xx x +-+=设22x x y +=，则 原方程变为230y y -= 解得10y =，23y =由10y =，得220x x +=，解得10x =，22x =-由23y =，得223x x +=，解得33x =-，41x =∴原方程的解是10x =，22x =-，33x =-，41x =【难度】较易3.方程()()22235320x x ---+=，如果设23x y -=，那么原方程可变形为（ ） A ．2520y y -+= B. 2520y y +-= C. 2520y y --= D. 2520y y ++=【答案】D【解析】试题分析:注意到23x -与23x -互为相反数，只有符号要变化，可利用换元法变形.试题解析：解：设23x y -=，则23x y -=-用y 表示23x -后代入方程得2520y y ++=故选D.【难度】较易4.解方程：()22213x x +=+【答案】11x =，21x =- 【解析】 试题分析：1.以21x +为一个整体换元，因此要对方程进行变形使其含有21x +.2.把方程展开成标准的双次方程，再对2x 进行换元.试题解析：解法一：原方程可化为()()2221120x x +-+-=，设21x y +=，得220y y --=， 解得12y =，21y =-由212x +=，解得11x =，21x =-由211x +=-，22x =-无实根∴方程的解是11x =，21x =-解法二：由方程得4220x x +-=，设2x y =得220y y +-=，解得11y =，22y =-（舍去）由21x =，解得11x =，21x =-∴方程的解是11x =，21x =-点评：换元的关键是善于发现或构造方程中表达形式相同的部分作为换元对象.在解方程的过程中换元的方法常常不是唯一的，解高次方程时，只要能达到将次目的的换元方法都可以应用. 【难度】较易（分式方程）5.解方程2261x x x x=+++ 【答案】12x =-，21x =【解析】试题分析：方程左边分式分母为2x x +，可将右边2x x +看成一个整体，然后用换元法解. 试题解析：解：设2x x y +=，则原方程变形为61y y=+ 解得13y =-，22y =当13y =-时，23x x +=-，△＜0，此方程无实根当22y =时， 22x x +=， 解得12x =-，21x =经检验，12x =-，21x =都是原方程的根.【难度】较易【解析】试题分析：整理后发现()222x x x x +=+，故()()2211x x x ++=+，就可换元解题了 试题解析：设()21x y +=，则整理得220y y --=解得12y =，21y =-（舍去）【难度】较易7.解方程222212219116x x x x x x x +++++=+++【答案】121x x ==，3x =，4x =【解析】试题分析： 观察到()2222222112211111x x x x x x x x x x x x +++++++==+++++++，设2211x x y x ++=+，原方程可化为11916y y ++=，由繁变简，可解. 试题解析： 解：原方程变形得222211191116x x x x x x +++++=+++， 即22221113116x x x x x x ++++=+++ 设2211x x y x ++=+，则原方程变为1136y y += 整理得261360y y -+= 解得132y =，223y = 由132y =得221312x x x ++=+，解得121x x ==由223y =得221213x x x ++=+，解得3x =，4x =经检验121x x ==，3x =4x =.∴原方程的解是121x x ==，332x -+=，432x --= 【难度】一般8.解方程：22272720x x x x+-++=【答案】11x =，21x =， 312x =-，42x = 【解析】试题分析： 观察可发现22222711272272x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而222112x x x x ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，故可设1x x -为辅助元，可得解. 试题解析： 解：将原方程转化为21122720x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+--+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦设1x y x-=，则 原方程转化为22760y y -+=解得12y =，232y =当12y =时，12x x-=，解得11x =，21x = 当232y =时，132x x -=，解得312x =-，42x =经检验11x =21x = 312x =-，42x =都是原方程的解所以，原方程的解是11x =，21x =， 312x =-，42x = 【难度】一般9.解方程:222322322x x x x-+=-【答案】113x +=，2x = 【解析】试题分析： 这个方程左边两个分式互为倒数关系，抓住这一特点，可设2232x y x =- 试题解析：解：设2232x y x =-，则原方程可化为12y y +=， 即2210y y -+=∴()210y -=，解得1y = 由22132x x =-，得23220x x --=解得：1x =，2x =经检验1x =，2x =都是原方程的根 点评：解有倒数关系的分式方程时，常把原方程中的一个分式作为整体进行换元，换元时要注意分子、分母互换时分式可以用一个新元和它的倒数来表示，即形如()()0b a f x c f x ++=g 的方程，可设()y f x = 【难度】较易10.解方程：222122272221x x x x x x +=+-+-+-【答案】11x =-21x =-【解析】试题分析：观察方程的分母，发现各分母均是关于x 的二次三项式，仅常数项不同，抓住这一特点，可设22y x x =+试题解析：解：设22y x x =+，原方程可化为122721y y y +=---，即()()12721y y y -=---， 即2120y y --=，解得：14y =，23y =-由224x x +=，解得11x =-21x =- 由223x x +=-，△＜0，方程无解经检验11x =-21x =-.∴方程的解是11x =-21x =-【难度】较难11.解方程：222111011102101310x x x x x x ++=++++-+ 【答案】15x =，22x =，35x =-，42x =-【解析】试题分析：观察方程的分母，发现三个分母都是关于x 的二次三项式，仅一次项不同，抓住这一特点，可设2210y x x =++试题解析：解：设2210y x x =++， 则原方程可化为1110915y x y y x ++=+-整理得：224450y xy x --=解得：19y x =，25y x =-由22109x x x ++=，解得15x =，22x =由22105x x x ++=-，解得35x =-，42x =-经检验知，它们都是原方程的解.点评：以上三个例子可以看出，换元时必须对原方程仔细观察、分析，抓住方程的特点，恰当换元，花繁为简，达到解方程的目的.【难度】较难（双元换元） 12.解方程： 213134211x x x x x x --⎛⎫+= ⎪++⎝⎭【答案】11x =，26x =，33x =，43x =【解析】试题分析： 本题整理后2213134211x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，发现221313131313111x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+++== ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，设2131x x a x -=+，2131x b x +=+，可得13a b +=，42ab =，利用韦达定理可求解. 试题解析： 解：设2131x x a x -=+，2131x b x +=+ 可得13a b +=，42ab =由韦达定理，知a ，b 是方程213420z z -+=的两根解得16z =，27z =即67a b =⎧⎨=⎩或76a b =⎧⎨=⎩即2213611371x x x x x ⎧-=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩或2213711361x x x x x ⎧-=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩ 经检验11x =，26x =，33x =，43x =.所以方程的解是11x =，26x =，33x =，43x =【难度】较难13()()()()()222222223232321321451x x x x x x x x x x -++-+--+--=-+ 【答案】131x x ==，22x =，413x =-【解析】试题分析： 观察发现()()22232321451x x x x x x -++--=-+，故可设232x x u -+=，2321x x v --=，原方程变为()222u uv v u v ++=+，方程由繁变简，可得解 试题解析：解：∵()()22232321451x x x x x x -++--=-+设232x x u -+=，2321x x v --= 原方程变为()222u uv v u v ++=+∵()2222u uv v u v ++=+∴0uv =，即0u =或0v =即2320x x -+=或23210x x --=解得11x =，22x =，31x =，413x =-∴方程的解是131x x ==，22x =，413x =- 点评：对于本题这样繁冗的方程，直接展开求解不可取，可通过观察，找到代数式间的联系，不妨设两个辅助元，将方程变形，目的是使方程有繁变简，可解.【难度】较难（无理方程）14.1=【答案】1x =-【解析】试题分析：解无理方程的基本思想是将其转化为有理方程，通常是设根式为元，本题的两根式存在()()1+12x x +=+的关系，故设一个辅助元即可.试题解析：解：设y =21x y +=，即221x y +=+1y =1y =-两边平方，并整理得0y =0=，解得1x =-经检验1x =-是原方程的解点评：解无理方程时，常把方程中的一个含有未知数的根式作为整体换元，达到化去根号转化为可解的方程的目的.【难度】一般15.解方程组：183x y +=⎧⎪=【答案】191x y =⎧⎨=-⎩【解析】试题分析：此题是整式方程与无理方程合并的方程组，解题时应从无理方程出发，将其化为有理方程求解.试题解析：u =v =，则原方程组可化为：22173u v u v ⎧+=⎨-=⎩()()12 由（2）得，3u v =+，（3）将（3）代入（1），得()22317v v ++=，解得，11v =，24v =-∴4u =得41==，解得191x y =⎧⎨=-⎩经检验，知191x y =⎧⎨=-⎩是原方程组的解 ∴原方程组的解为191x y =⎧⎨=-⎩点评：妙用换元法，将无理方程组化为有理方程组，从而把繁杂而生疏的问题转化为简单而熟悉的问题.【难度】一般16.解方程：22650x x --=【答案】15x =，22x =-【解析】试题分析：由于根号里面23x x -与根号外面226x x -，对应系数成比例，故可以将其变形()223130x x ---=， 不难找到辅助元.试题解析：y =，则原方程可以化为22530y y --=解得112y =-（舍去），23y =3=，解得15x =，22x =-经检验15x =，22x =-是原方程的解.点评：以前学过的取平方去根号法解无理方程，是种普遍方法.现在的换元法必须构造出根号内外两个相同的式子才行.【难度】较难类型二 均值换元17.解方程：()()()()214719x x x x -+++=【答案】1x =2x =3x =，4x = 【解析】试题分析：方程的左边是四个二项式乘积，故展开求解不可取，应通过观察找突破口，左边重组后，()()()()2714x x x x -+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2251454x x x x =+-++，可设元求解.试题解析：解：原方程变形后()()()()271419x x x x -+++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦整理后得()()225145419x x x x +-++=设()()22251454552x x x x y x x +-+++==+-方程可变为()()9919y y -+=，即2100y =解得110y =，210y =-由110y =得25510x x +-=，解得1x =2x =由210y =-得25510x x +-=-，解得3x =，452x --=∴方程的解是152x -+=，252x -=，352x -+=，452x -= 点评：本题也可设25x x +为辅助元，但没有均值法计算快捷，恰当的重组变形得到()()()()2714x x x x -+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦是解本题的关键.【难度】一般18.解方程：()()()2673416x x x +++= 【答案】123x =-，253x =- 【解析】试题分析：方程左边四个二次项的乘积，显然展开求解不可取，可尝试变形后()()()267686672x x x +++=，取均值，将其由繁变简.试题解析：解：方程变形为()()()267686672x x x +++= 设()()()()67676866674x x x x y x +++++++==+ 原方程变成()()21172yy y +-= 整理得42720y y --=解得29y =或28y =-（舍去）∴13y =，23y =-即673x +=或673x +=- 解得123x =-，253x =- 【难度】较难类型三 倒数换元19.解方程：4322316320x x x x +-++=【答案】12x =-，22x =-32x =，412x = 【解析】试题分析：此题符合倒数方程的特点：按x 降幂排列后，与中间项等距离的项的系数相等，两边同时除以2x ，可构造1x x +为元得解. 试题解析：解：∵这是个倒数方程，且知0x ≠，两边除以2x ，并整理得221123160x x x x ⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 设1x y x +=，则22212x y x+=- 原方程化为223200y y +-=解得14y =-，252y =由14y =-得14x x+=-，解得12x =-，22x =- 由252y =得152x x +=，解得32x =，412x =∴方程的解是12x =-，22x =-32x =，412x = 【难度】较难20.解方程((5598y y ++-= 【答案】2y =±【解析】试题分析：此题无法用通常的方法解决，但注意到5+5-互为倒数且指数均为y ，因此，利用换元法换元后再利用根与系数的关系就可以顺利解决此题了.试题解析：解：设(5y a =+，(5y b =-， 则981a b ab +=⎧⎨=⎩a 、b 可看作29810t t -+=的根解得149t =+，249t =-则4949a b ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩4949a b ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩∴(((2254955y a ±=+=±=±=+∴2y =±点评：本题是指数方程，不是中考考点，但解法巧妙，可用来拓展思路，不妨试试！【难度】较难。