方程解的情况及换元法
利用换元法解方程组
4
【解析】
试题分析:
这是一个根号里含有分式的无理方程，也可通过换元后求解，通过变形发现
xபைடு நூலகம்
与互为倒数，可设.1y,则原方程变形为y,无理方程化为有理方程
x
试题解析:
常用换元方法有局部换元、均值换元、倒数换元、常数换元等.
82，使方程变得易解，这是均值换元法
（四）本讲注重研究用换元法解方程的技能、技巧•拓宽学生知识面，培养学生学习和
研究数学的兴趣•
二、应用举例
类型一局部换元
（高次方程）
【例题1】解方程：X43x220
【答案】捲1，x21，x3、、2，x42
【解析】
【难度】较易
（分式方程）
【例题2】解方程：
【答案】x13
4
【解析】
试题分析：
括号里的分式相同，由这个特点，可以用换元法来解
试题解析：
解：设亠
x1
y，于
F是原方程变形为
2
y
5y60
解得y1
3,
y22
当y1
3时，
X3,
解得
X1
3
x1
4
当y2
2时，
X
2,
解得
X2
2
x1
3
经检验x1
3
,X2
4
2
2均为原方程的根•
第
、方法技巧
（一）换元法解方程是用新元代替方程中含有未知数的某个部分，达到化简的目的.
（二）运用换元法解方程，主要有三种类型：分式方程、无理方程、整式（高次）方程 解分式方程、无理方程、整式（高次）方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、 无理方程化为有理方程、整式（高次）方程逐步降次
知识点142换元法解分式方程(解答)
1、（2010•）解方程：．考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。
专题：换元法。
分析：方程的两个分式具备平方关系，设=t，则原方程化为t2﹣t﹣2=0．用换元法转化为关于t的一元二次方程．先求t，再求x．解答：解：令=t，则原方程可化为t2﹣t﹣2=0，解得，t1=2，t2=﹣1，当t=2时，=2，解得x1=﹣1，当t=﹣1时，=﹣1，解得x2=，经检验，x1=﹣1，x2=是原方程的解．点评：换元法是解分式方程的常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法求解的分式方程的特点，寻找解题技巧．2、（2010•）（1）解不等式：3x﹣2＞x+4；（2）解方程：+=2．考点：换元法解分式方程；解一元一次不等式。
分析：（1）按解一元一次不等式的步骤进行；（2）方程的两个部分具备倒数关系，设y=，则原方程另一个分式为．可用换元法转化为关于y的分式方程．先求y，再求x．结果需检验．解答：解：（1）3x﹣2＞x+4，3x﹣x＞4+22x＞6x＞3；（2）设=y，则原方程化为y+=2．整理得，y2﹣2y+1=0，解之得，y=1．当y=1时，=1，此方程无解．故原方程无解．点评：（1）移项时注意符号的变化．（2）用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．3、（2008•）解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。
专题：计算题；换元法。
分析：本题考查用换元法解分式方程的能力．观察方程由方程特点设=y，则可得：=y2．然后整理原方程化成整式方程求解．解答：解：设=y，则=y2，所以原方程可化为2y2+y﹣6=0．解得y1=﹣2，y2=．即：=﹣2或=．解得x1=2，．经检验，x1=2，是原方程的根．点评：换元法解分式方程可将方程化繁为简，化难为易，是解分式方程的常用方法之一，换元法的应用要根据方程特点来决定，因此要注意总结能够应用换元法解的分式方程的特点．4、（2008•）解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。
一元二次方程竞赛解题方法
一元二次方程竞赛解题方法一元二次方程是初中教材的重点内容，也是竞赛题的特点。
除了掌握常规解法外，注意一些特殊或灵活的解法，往往能事半功倍。
以下是一些解题方法：一、换元法例如，考虑方程$x^2-2x-5|x-1|+7=0$的所有根的和。
我们可以令$y=|x-1|$，则原方程变为$y^2-2y-5y+7=0$，化简后得到$y=1$或$y=-5$，即$|x-1|=1$或$|x-1|=5$。
进一步解得$x=-1.0.2.6$，因此所有根的和为$7$，选项C。
二、降次法例如，考虑已知$\alpha。
\beta$是方程$x^2-x-1=0$的两个实数根，求$a^4+3\beta$的值。
我们可以利用方程$x^2-x-1=0$的性质，即$x^2=x+1$，将$a^4+3\beta$表示为$a^2(a^2+3\beta)$，再用$\alpha^2=\alpha+1$和$\beta^2=\beta+1$代入，得到$a^2(a^2+3\beta)=a^2(\alpha+1)(\alpha^2+3\beta^2)=a^2(\alpha+ 1)(4\alpha+3)$，因此$a^4+3\beta=4a^3+4a^2+a^2(\alpha+1)(4\alpha+3)=4a^3+4a^2+3 a^2+4a^3+3a^2=8a^3+6a^2$，选项B。
三、整体代入法例如，考虑二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根为$x_1.x_2$，记$S_1=x_1+1993x_2.S_2=x_1^2+1993x_2^2.\dots。
S_n=x_1^n+1993x_2^n$，求证$aS_{1993}+bS_{1992}+cS_{1991}=0$。
我们可以将$x_1.x_2$表示为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$和$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，然后利用数列求和公式，得到$S_1=-\frac{b}{a}+1993\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$S_2=\frac{b^2-2ac}{a^2}+1993\frac{b^2-2ac+2b\sqrt{b^2-4ac}}{4a^2}$，$S_3=-\frac{b^3-3abc+2a\sqrt{b^2-4ac}(b^2-ac)}{a^3}+\dots$。
高阶常微分方程的解法
高阶常微分方程的解法高阶常微分方程是数学中重要的研究对象，它描述了自变量以及其各阶导数之间的关系。
解决这类方程对于理解自然科学以及工程应用都具有重要意义。
本文将介绍一些常见的高阶常微分方程的解法。
一、分离变量法分离变量法是解决一阶常微分方程常用的方法，对于高阶常微分方程也同样适用。
首先，我们需要将方程重写为关于各阶导数的方程。
例如，考虑一个形如 $y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = 0$ 的二阶常微分方程。
我们可以将其表示为 $D^2y + pDy + qy = 0$，其中 $D =\frac{d}{dx}$ 是微分算子。
接下来，我们可以假设解为 $y(x) =u(x)v(x)$ 的形式，通过代入原方程并合并同类项，可以得到一阶关于$u$ 和 $v$ 的方程组。
然后我们利用这个方程组进行求解，最终得到$y$ 的解。
二、特征方程法特征方程法常用于线性常系数齐次高阶常微分方程的求解。
这类方程的特点是方程中仅包含自变量 $x$ 及其各阶导数，没有出现 $y$ 和它的导数。
我们以二阶方程 $y''(x) + py'(x) + qy(x) = 0$ 为例，首先使用代数技巧将方程转化为特征方程 $r^2 + pr + q = 0$。
通过求解特征方程得到两个根 $r_1$ 和 $r_2$，从而得到方程的通解形式 $y(x) =C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是常数。
三、常数变易法常数变易法是一种适用于非齐次高阶常微分方程的解法。
对于方程$D^ny = f(x)$，我们可以先求解对应的齐次方程 $D^ny = 0$ 的通解$y_c(x)$，接着我们假设非齐次方程的解为 $y_p(x)$，通过代入原方程并解得非齐次方程的特解 $y_p(x)$，最终得到原方程的通解 $y(x) =y_c(x) + y_p(x)$。
换元法解分式方程
三角函数
在处理三角函数相关的数学问题 时，换元法可以帮助我们将三角 函数转化为更易于处理的代数问
题。
换元法的历史与发展
历史
换元法的思想可以追溯到古代中国的数学家们。在《九章算术》等古代数学著作中，就已经出现了换 元法的思想。随着数学的发展，换元法逐渐成为一种重要的数学方法，被广泛应用于各种数学问题中 。
02
确定新变量与原方程中未知数的 关系。
替换原方程中的未知数
将原方程中的未知数用新变量表示出 来。
将所有含有未知数的项都替换为新变 量。
化简方程
对替换后的方程进行化简，以便更容易地解出新变量的值。 可以使用代数方法，如合并同类项、提取公因式等。
解出新变量的值
解出新变量的值，通常需要对方程进行因式分解或使用求根 公式。
实例三：二元一次方程组的换元法解法
总结词
通过换元法将二元一次方程组转化为更简单的形式，便于求解。
详细描述
对于形如 $begin{cases} x + y = a x - y = b end{cases}$ 的二元一次方程组，可以通 过换元法将其转化为 $begin{cases} t_1 + t_2 = a t_1 - t_2 = b end{cases}$ 的形式， 其中 $t_1 = x, t_2 = y$。这样可以将二元一次方程组转化为更简单的形式，便于求解。
考虑特殊情况
对于某些分式方程，需要考虑特殊情况或边 界条件，以确保解的完整性和准确性。例如， 当分母接近零或变量取极大/极小值时，可 能需要额外验证解的合理性。
பைடு நூலகம்5
换元法与其他解法的比 较
与因式分解法的比较
因式分解法适用于解整式方程，通过 将方程的左边和右边都化为0，然后 对左边或右边的多项式进行因式分解， 从而求解方程。而换元法主要用于解 分式方程，通过引入新的变量来简化 原方程，适用于无法直接因式分解或 化简的复杂分式方程。
待定系数法、换元法、转换法是运用函数与方程思想方法解题过程中的三大法宝-解析版
待定系数法、换元法、转换法是运用函数与方程思想方法解题过程中的三大法宝在运用函数与方程思想解题的过程中,在确定函数、方程、不等式的参变数的值时需要运用待定系数法,而构造法又常常与待定系数法紧密相联,换元法往往可以使较为复杂的问题变为基本题型,许多数学问题就是在不断转换的过程中加以解决的.如函数问题可以转换为方程问题求解,方程问题可以转换为函数问题通过图像结合不等式知识求解,善于转换是数学核心素养的体现.典型例题1设抛物线y =ax 2+bx +c 过点A 1,2 和B -2,-1 .(1)试用a 表示b 和c ;(2)对于任意非零实数a ,抛物线都不过点P m ,m 2+1 ,试求m 的值.【分析】对本题题意的理解是关键,什么是抛物线都不过某点呢?换一种说法是:将该点的坐标代入所给的抛物线方程,方程无实数解,所以本题体现了一种等价转换的思想以及待定系数法在研究函数与方程问题中的应用.【解析】1 依题意,a +b +c =2,4a -2b +c =-1, 解得b =1+a ,c =1-2a .(2)y =ax 2+1+a x +1-2a ,将m ,m 2+1 代人,得am 2+1+a m +1-2a =m 2+1,整理得m 2+m -2 a =m 2-m .由题意,关于a 的方程无非零实数解,由m 2+m -2=0,m 2-m ≠0, 得m =-2;由m 2+m -2≠0,m 2-m =0, 得m =0.故所求的值为m =-2或m =0.2(1)已知数列a n 中,a 1=10,且a n =15a n -1+2⋅5n ,求这个数列的通项公式;(2)已知数列a n 中,a 1=3,a 2=5,a n =a n -2+4n -3n ≥3 ,求通项公式a n .法构造新的特殊数列,从而使问题获解;第2 问,一般解法是设待定系数A ,即由a n +An 2=a n -2+An 2+4n -3配方,得a n +An 2=a n -2+A (n -2)2+4A +4 n -4A -3,令4A +4=0,解得A =-1,从而构造等差数列.当然,如果直接对递推关系变形很难看出解题者的数学核心素养.【解析】(1)先对递推式进行变形,a n 5n =15a n -15n +2.即a n 5n =3⋅a n -15n -1+2.设b n =a n 5n n ∈N * ,则b n =3b n -1+2.(1)引人待定系数α,β,使α,β满足b n -β=αb n -1-β .展开得b n =αb n -1-αβ+β.(2)对照(1)式和(2)式,可得方程组α=3,-αβ+β=2,解得α=3,β=-1. 即数列b n +1 是以b 1+1=a 15+1=3为首项,3为公比的等比数列,所以b n +1=3⋅3n -1=3n ,b n =3n -1.于是,b n =a n 5n =3n -1,a n =15n -5n n ∈N * .(2)由条件可得a n -n 2=a n -2-(n -2)2+1n ≥3 .令b n =a n -n 2,则数列b n 可化为两类等差数列,其中b 2n -1 是以b 1=a 1-1=2为首项,d =1为公差;b 2n 是以b 2=a 2-22=1为首项,d =1为公差.因此,b 2n -1=2+n -1 ,b 2n =1+n -1 .所以a 2n -1=(2n -1)2+n +1,a 2n =(2n )2+n .故a n =122n 2+n +3(n 为奇数)122n 2+n(n 为偶数) 可简化为a n =122n 2+n +341+(-1)n +1 .3设a 为实数,函数f x =a 1-x 2+1+x +1-x 的最大值为g a .(1)设t =1+x +1-x ,求t 的取值范围,并把f x 表示为t 的函数m t ;(2)求g a ;(3)试求满足g a =g 1a的所有实数.【分析】本例是一道苐进式的综合题,主要考查函数、方程等基础知识,考查分类与整合以及函数与方程的思想方法和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力,难度上循序渐进,第(1)问考查变量代换的技巧,难点在新变量范围的确定,可以有不同的方法求解;第(2)问是含参函数在区间上最大值的求法.分类与整合并结合函数单调性是解答的关键;第3 问实质是解方程,由于g a 是分段的,对于方程g a =g 1a 解的讨论更要分类全面、环环相扣.正如罗素所言:“数学不仅拥有真理,而且还拥有至高的美一种冷峻而严肃的美,正像雕塑所具有的美一样⋯⋯”本题的解决过程不仅能显示解题者的数学功力,也展现了“一种冷峻而严肃的美”.【解析】(1) 【解法一】 (代数法)令t =1+x +1-x ,要使t 有意义,必须1+x ≥0,1-x ≥0,即-1≤x ≤1.∵t 2=2+21-x 2,x ∈-1,1 ,t ≥0(1)∴t 的取值范围是2,2 ,由(1)式得1-x 2=12t 2-1,故m t =a 12t 2-1 +t =12at 2+t -a ,t ∈2,2 .【解法二】(三角换元法)令x =sin2θ,θ∈-π4,π4.t =1+x +1-x =1+sin2θ+1-sin2θ=sin θ+cos θ +sin θ-cos θ=sin θ+cos θ-sin θ+cos θ=2cos θ,a 1-x 2=a 1-sin 22θ=a cos2θ由于θ∈-π4,π4 ,所以cos θ∈22,1,即t ∈2,2 ,f x =m t =a cos2θ+t ,又cos2θ=2cos 2θ-1=2×t 24-1=t 22-1故m t =a 12t 2-1 +t =12at 2+t -a ,t ∈2,2 .(2)由题意知g a 即为函数m t =12at 2+t -a ,t ∈2,2 的最大值.注意到直线t =-1a 是抛物线m t =12at 2+t -a 的对称轴,故分以下几种情况讨论.①当a >0时,函数y =m t ,t ∈2,2 的图像是开口向上的一段抛物线,∵t =-1a <0,知m t 在2,2上单调递增,∴g a =m2 =a+2.②当a=0时,∵m t =t,t∈2,2,∴g a =2.③当a<0时,函数y=m t ,t∈2,2的图像是开口向下的一段抛物线.若t=-1a∈0,2.即a≤-22,则g a =m2=2;若t=-1a∈2,2,即-22<a≤-12,则g a =m-1a=-a-12a;若t=-1a∈2,+∞,即-12<a<0,则g a =m2 =a+2.综上可得:g a =a+2a>-12-a-12a-22<a≤-122 a≤-22(3)①当a<-2时,1a >-12,此时g a =2,g1a=1a+2.由2+1a=2,解得a=-1-22,与a<-2矛盾.②当-2≤a<-2时,-22<1a≤-12.此时g a =2⋅g1a=-1a-a2.2=-1a-a2,解得a=-2与a<-2矛盾.③当-2≤a≤-22时,-2≤1a≤-22,此时g a =2=g1a,所以-2≤a≤-2 2④当-22<a≤-12时,-2≤1a<-2,此时g a =-a-12a,g1a= 2.由g a =g1a 即得-a-1 2a = 2.解得a=-22与a>-22矛盾.⑤当-12<a<0时,1a<-2,此时g a =a+2,g1a=2.由g a =g1a即得a+2=2,解得a=2-2与a>-12矛盾.(6)当a>0时,1a >0,此时g a =a+2,g1a=1a+2.由g a =g1a即得a+2=1a+2.解得a=±1,由a>0得a=1.综上可得,满足g a =g1a的所有实数a为-2≤a≤-22或a=1.4如图3-3所示,设直线l与椭圆x22+y2=1相切,切点为P,点M是坐标原点O在直线l上的正投影,求MP的最大值和最小值.【分析】本例的解答分3步:第一步,求出切线l 的方程和直线OM 的方程;第二步,求出点M 的坐标用点P x 0,y 0 的坐标表示,运用两点间距离公式求得|MP |2关于y 20的函数关系式;第三步,进入求MP 最值的流程,然而函数解析式太复杂了,可通过换元法变为基本函数求最值问题,当然新元的取值范围一定要紧紧㧓住!【解析】设P x 0,y 0 ,则-1≤y 0≤1,x 20=21-y 20 (点P 在椭圆上),切线l 的方程为x 0x +2y 0y =2(已知切点求䢶圆的切线方程),由OM ⊥l 得直线OM 的方程为2y 0x -x 0y =0.联立两直线方程,求得点M x ,y 的坐标为x =2x 0x 20+4y 20=2x 021-y 20 +4y 20=x 01+y 20x 20=2(1- y 20) ，y =4y 0x 20+4y 20=2y 01+y 20∴|MP |2=x -x 0 2+y -y 0 2=y 201+y 20 2x 20y 20+1-y 20 2 =y 201-y 20 1+y 200≤y 20≤1 设y 20=t 0≤t ≤1 ,则|MP |2=g t =t 1-t 1+t =-t +2-21+t =3-t +1+2t +1≤3-22(由基本不等式求得).当且仅当t +1=2t +1,即t =2-1时等号成立.∵0<2-1<1.∴函数g t 在区间0,1 上有最大值3-22,最小值0.即MP 的最大值和最小值分别为MP |max =3-22=2-1, MP |min =0.。
如何解分式方程
1．一般法所谓一般法，就是先去分母，将分式方程转化为一个整式方程。
然后解这个整式方程。
解原方程就是方程两边同乘以（x＋3）（x－3），约去分母，得4（x－3）＋x（x＋3）=x2－9－2x。
2．换元法换元法就是恰当地利用换元，将复杂的分式简单化。
分析本方程若去分母，则原方程会变成高次方程，很难求出方程的解设x2＋x=y，原方程可变形为解这个方程，得y1=－2，y2=1。
当y=－2时，x2＋x=－2。
∵Δ＜0，∴该方程无实根；当y=1时，x2＋x=1，∴经检验，是原方程的根，所以原方程的根是。
3．分组结合法就是把分式方程中各项适当结合，再利用因式分解法或换元法来简化解答过程。
4．拆项法拆项法就是根据分式方程的特点，将组成分式方程的各项或部分项拆项，然后将同分母的项合并使原方程简化。
特别值得指出的是，用此法解分式方程很少有增根现象。
例4 解方程解将方程两边拆项，得即x=－3是原方程的根。
5．因式分解法因式分解法就是将分式方程中的各分式或部分分式的分子、分母分解因式，从而简化解题过程。
解将各分式的分子、分母分解因式，得∵x－1≠0，∴两边同乘以x－1，得检验知，它们都是原方程的根。
所以，原方程的根为x1=－1，x2=0。
6．配方法配方法就是先把分式方程中的常数项移到方程的左边，再把左边配成一个完全平方式，进而可以用直接开平方法求解。
∴x2±6x＋5=0，解这个方程，得x=±5，或x=±1。
检验知，它们都是原方程的根。
所以，原方程的根是x1=5，x2=－5，x3=1，x4=－1。
7．应用比例定理上述例5，除了用因式分解法外，还可以应用合比和等比定理来解。
换元法解方程四例
换元法是一种常见的解方程的方法。
下面为你举出四个例子，希望能帮助你理解换元法的思想。
解一元二次方程：设有一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0。
设y = x + b/2a，则原方程可化为y^2 + c - b^2/4a^2 = 0。
解得y1 = √(b^2/4a^2 - c)，y2 = -√(b^2/4a^2 - c)。
则x1 = y1 - b/2a，x2 = y2 - b/2a。
解一元三次方程：设有一元三次方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a ≠ 0。
设y = x + b/3a，则原方程可化为y^3 + 3py + 2q = 0，其中p = c - b^2/3a^2，q = 2b^3/27a^3 - bc/3a^2 + d。
如果p^3 + q^2 = 0，则y1 = y2 = y3 = √(-q)。
如果p^3 + q^2 ≠ 0，则y1 = √(-q + √(q^2 + p^3))，y2 = √(-q - √(q^2 + p^3))，y3 = 0。
则x1 = y1 - b/3a，x2 = y2 - b/3a，x3 = y3 - b/3a。
解二元一次方程组：设有二元一次方程组ax + by = c，dx + ey = f。
设y = xe/b，则原方程组可化为a - (d - ae/b)y = c，ey = f。
解得x = (bf - ce)/(e^2 - ab)，y = (c - ax)/b。
解二元二次方程组：设有二元二次方程组ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0，gx^2 + hxy + iy^2 + jx + ky + l = 0。
设y = mx + n，则原方程组可化为(am^2 + bmn + cm)x^2 + (2amn + dm + en)x + (bn^2 + en + f) = 0，(gm^2 + hmn + im)x^2 + (2hmn + jm + kn)x + (hn^2 + kn + l) = 0。
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知识点：方程解的情况及换元法
1．一元二次方程的根的情况是.
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
2．不解方程,判别方程3x2-5x+3=0的根的情况是 .
A.有两个相等的实数根
B. 有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D. 没有实数根
3．不解方程,判别方程3x2+4x+2=0的根的情况是 .
A.有两个相等的实数根
B. 有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D. 没有实数根
4．不解方程,判别方程4x2+4x-1=0的根的情况是 .
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
5．不解方程,判别方程5x2-7x+5=0的根的情况是 .
A.有两个相等的实数根
B. 有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D. 没有实数根
6．不解方程,判别方程5x2+7x=-5的根的情况是 .
A.有两个相等的实数根
B. 有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D. 没有实数根
7．不解方程,判别方程x2+4x+2=0的根的情况是 .
A.有两个相等的实数根
B. 有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D. 没有实数根
8. 不解方程,判断方程5y+1=2y的根的情况是
A.有两个相等的实数根
B. 有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D. 没有实数根
9. 用换元法解方程时, 令= y,于是原方程变为.
A.y-5y+4=0
B.y-5y-4=0
C.y-4y-5=0
D.y+4y-5=0
10. 用换元法解方程时,令= y ,于是原方程变为.
A.5y-4y+1=0
B.5y-4y-1=0
C.-5y-4y-1=0
D.-5y-4y-1=0
11. 用换元法解方程()2-5()+6=0时，设=y，则原方程化为关于y的方程是 .
A.y2+5y+6=0
B.y2-5y+6=0
C.y2+5y-6=0
D.y2-5y-6=0。