(完整版)解析几何高考大题汇总
高中数学解析几何大题(附有答案及详解)
47． 已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，其短轴为2．（1）求椭圆E 的方程；（2）设椭圆E 的右焦点为F ，过点()2,0G 作斜率不为0的直线交椭圆E 于M ，N 两点，设直线FM 和FN 的斜率为1k ，2k ，试判断12k k +是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．48． 如图，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>⎛ ⎝⎭，P 为椭圆上的一动点.（1）求椭圆C 的方程；（2）设圆224:5O x y +=，过点P 作圆O 的两条切线1l ，2l ，两切线的斜率分别为1k ，2k . ①求12k k 的值；①若1l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，与圆O 切于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，且满足OPA OQB S S =△△，求1l 的方程.49． 已知椭圆E ：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分別为12,F F ，离心率为e =左焦点1F 作直线1l 交椭圆E 于A ，B 两点，2ABF 的周长为8. （1）求椭圆E 的方程；（2）若直线2l ：y =kx +m (km <0)与圆O ：221x y +=相切，且与椭圆E 交于M ，N 两点，22MF NF +是否存在最小值？若存在，求出22MF NF +的最小值和此时直线2l 的方程.50． 已知动点M 与两个定点()0,0O ，()3,0A 的距离的比为12，动点M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的轨迹方程，并说明其形状；（2）过直线3x =上的动点()()3,0P p p ≠分别作C 的两条切线PQ 、PR （Q 、R 为切点），N 为弦QR 的中点，直线l ：346x y +=分别与x 轴、y 轴交于点E 、F ，求NEF 的面积S的取值范围.51． 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：20x y ++=和圆O ：221x y +=，P 是直线l 上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B . （1）若PA PB ⊥，求点P 的坐标； （2）求线段PA 长的最小值；（3）设线段AB 的中点为Q ，是否存在点T ，使得线段TQ 长为定值？若存在，求出点T ；若不存在，请说明理由.52． 已知以1C 为圆心的圆221:1C x y +=.（1）若圆222:(1)(1)4C x y -+-=与圆1C 交于,M N 两点，求||MN 的值；（2）若直线:l y x m =+和圆1C 交于,P Q 两点，若132PC PQ ⋅=，求m 的值. 53． 已知圆()22:21M x y +-=，点P 是直线:20l x y +=上的一动点，过点P 作圆M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ．（1）当切线P A P 的坐标；（2）若PAM △的外接圆为圆N ，试问：当P 运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）求线段AB 长度的最小值．54． 已知圆22:2O x y +=，直线:2l y kx =-．（1）若直线l 与圆O 交于不同的两点,A B ，当90AOB ∠=︒时，求实数k 的值；（2）若1,k P =是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC 、PD ，切点为C 、D ，试探究：直CD 是否过定点．若存在，请求出定点的坐标；否则，说明理由．55． 在平面直角坐标系xOy中，(A，B ，C 是满足π3ACB ∠=的一个动点． （1）求ABC 垂心H 的轨迹方程；（2）记ABC 垂心H 的轨迹为Γ，若直线l ：y kx m =+（0km ≠）与Γ交于D ，E 两点，与椭圆T ：2221x y +=交于P ，Q 两点，且||2||DE PQ =，求证：||k > 56． 平面上一动点C的坐标为),sin θθ.（1）求点C 轨迹E 的方程；（2）过点()11,0F -的直线l 与曲线E 相交于不同的两点,M N ，线段MN 的中垂线与直线l 相交于点P ，与直线2x =-相交于点Q .当MN PQ =时，求直线l 的方程.答案及解析47．（1）2212x y +=；（2）是定值，该定值为0．【分析】（1）依题意求得,a b ，进而可得椭圆E 的方程；（2）设直线MN 的方程为()()20y k x k =-≠，与椭圆E 方程联立，利用韦达定理和斜率公式即可求得12k k +的值. 【详解】（1）由题意可知：22b =，1b =，椭圆的离心率c e a ==a =①椭圆E 的标准方程：2212x y +=；（2）设直线MN 的方程为()()20y k x k =-≠．22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得：()2222128820k x k x k +-+-=．设()11,M x y ，()22,N x y ， 则2122812k x x k +=+，21228212k x x k -=+，()()()1212121212121212222211111k x k x y y x x k k k x x x x x x x x ⎡⎤--+-+=+=+=-⎢⎥-----++⎢⎥⎣⎦222222228242122208282111212k k k k k k k k k k ⎡⎤-⎢⎥⎛⎫-+=-=-=⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎢⎥-+⎢⎥++⎣⎦． ①120k k +=为定值．【点睛】关键点点睛：第（2）问的关键点是：得出()12121212221x x k k k x x x x ⎡⎤+-+=-⎢⎥-++⎢⎥⎣⎦.48．（1）2214x y +=；（2）①14- ；①yy =+【分析】（1）根据已知条件结合222c a b =-列关于,a b 的方程，解方程即可求解；（2）①设()00,P x y ，切线:l 00()y y k x x -=-，利用圆心到切线的距离列方程，整理为关于k 的二次方程，计算两根之积结合点P 在椭圆上即可求12k k ；①由OPA OQB S S =△△可得PA BQ =，可转化为A B P Q x x x x +=+，设1l ：y kx m =+，与椭圆联立可得P Q x x +，再求出A x 、B x ，即可求出k 的值，进而可得出m 的值，以及1l 的方程. 【详解】（1）因为22222234c a b e a a -===，所以2a b =，因为点⎛ ⎝⎭在椭圆上，所以221314a b +=即2213144b b +=， 解得：1b =，2a =，所以椭圆方程为：2214x y +=；（2）①设()00,P x y ，切线:l 00()y y k x x -=-即000kx y y kx -+-= 圆心()0,0O到切线的距离d r ==整理可得：2220000442055x k x y k y ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭，所以2020122200441451544455x y k k x x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭===---，①因为OPA OQB S S =△△所以PA BQ =，所以A P Q B x x x x -=-，所以A B P Q x x x x +=+， 设切线为1:l y kx m =+，由2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得：()222418440k x kmx m +++-= 所以2841P Q kmx x k -+=+， 令0y =可得B mx k=-，设(),A A A x kx m +， 则1A OA A kx m k x k +==-，所以21A km x k -=+， 所以228411P Q km m kmx x k k k --+==-+++， 整理可得：()()()2222814121k k k k +=++，所以221k =，解得：k =， 因为圆心()0,0O 到1:l y kx m =+距离d ，所以mm =，因为0B mx k=->，所以当k =m =k =时，m =；所以所求1l的方程为y =或y = 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中解决定值、定点的方法（1）从特殊入手，求出定值、定点、定线，再证明定值、定点、定线与变量无关； （2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量是此类问题的特点，设而不求的方法、整体思想和消元思想的运用可以有效的简化运算.49．（1）2214x y +=；（2）最小值为2，0x =或0x +-=.【分析】(1)由椭圆定义结合已知求出a ，半焦距c 即可得解；(2)由直线2l 与圆O 相切得221m k =+，联立直线2l 与椭圆E 的方程消去y ，借助韦达定理表示出22MF NF +，利用函数思想方法即可作答. 【详解】（1）依题意，结合椭圆定义知2ABF 的周长为4a ，则有4a =8，即a =2，又椭圆的离心率为c e a =c =2221b a c =-=， 所以椭圆E 的方程为2214x y +=；（2）因直线2l ：y =kx +m (km <0)与圆O ：221x y +=1=，即221m k =+，设()()()112212,,,,2,2M x y N x y x x ≤≤，而点M 在椭圆E 上，则221114x y +=，即221114x y =-，又2F ，21|2|MF x =-=12x -，同理222NF x =，于是得)22124MF NF x x +=+， 由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：()222148440k x kmx m +++-=，显然Δ0>，则122814km x x k +=-+， 又km <0，且221m k =+，因此得1228||14km x x k +=+令2411t k =+≥，则12x x +=113t =，即t =3时等号成立，于是得22MF NF +存在最小值，且)221242MF NF x x +=+≥，22MF NF +的最小值为2，由2221413m k k ⎧=+⎨+=⎩，且km <0，解得k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 所以所求直线2l的方程为y x =y x =0x =或0x +=.【点睛】关键点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 50．（1）()2214x y ++=，曲线C 是以1,0为圆心，半径为2的圆；（2）5542⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.【分析】（1）设出动点M 坐标，代入距离比关系式，化简方程可得；（2）先求切点弦方程，再根据切点弦过定点及弦中点性质得出N 点轨迹，然后求出动点N 到定直线EF 的距离最值，最后求出面积最值.切点弦方程的求法可用以下两种方法.法一：由两切点即为两圆公共点，利用两圆相交弦方程（两圆方程作差）求出切点弦方程；法二：先分别求过Q 、R 两点的切线方程，再代入点P 坐标，得到Q 、R 两点都适合的同一直线方程，即切点弦方程. 【详解】解：（1）设(),M x y ，由12MO MA =12=. 化简得22230x y x ++-=，即()2214x y ++=. 故曲线C 是以1,0为圆心，半径为2的圆.（2）法一(由两圆相交弦方程求切点弦方程)：由题意知,PQ 、PR 与圆相切，Q 、R 为切点，则DQ PQ ⊥，DR PR ⊥，则D 、R 、P 、Q 四点共圆，Q 、R 在以DP 为直径的圆上(如图).设()1,0D -，又()()3,0P p p ≠，则DP 的中点为1,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，DP .以线段DP 为直径的圆的方程为()22212p x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得22230x y x py +---=①(也可用圆的直径式方程()()()()1300x x y y p +-+--=化简得. ) 又Q 、R 在C ：22230x y x ++-=①上， 由两圆方程作差即①-①得：40x py +=. 所以，切点弦QR 所在直线的方程为40x py +=. 法二(求Q 、R 均满足的同一直线方程即切点弦方程)： 设()1,0D -，()11,Q x y ，()22,R x y .由DQ PQ ⊥，可得Q 处的切线上任一点(,)T x y 满足0QT DQ ⋅=(如图)， 即切线PQ 方程为()()()()1111100x x x y y y -++--=.整理得()221111110x x y y x y x ++---=.又22111230x y x ++-=，整理得()111130x x y y x +++-=.同理，可得R 处的切线PR 方程为()222130x x y y x +++-=. 又()3,P p 既在切线PQ 上，又在切线PR 上，所以()()11122231303130x py x x py x ⎧+++-=⎪⎨+++-=⎪⎩，整理得11224040x py x py +=⎧⎨+=⎩. 显然，()11,Q x y ，()22,R x y 的坐标都满足直线40x py +=的方程. 而两点确定一条直线，所以切点弦QR 所在直线的方程为40x py +=. 则QR 恒过坐标原点()0,0O .由()2240,14x py x y +=⎧⎪⎨++=⎪⎩消去x 并整理得()22168480p y py +--=. 设()11,Q x y ，()22,R x y ，则122816py y p +=+.点N 纵坐标1224216N y y py p +==+. 因为0p ≠，显然0N y ≠，所以点N 与点()1,0D -，()0,0O 均不重合.(或者由对称性可知，QR 的中点N 点在x 轴上当且仅当点P 在x 轴上，因为0p ≠，点P 不在x 轴上，则点N 也不在x 轴上，所以点N 与D 、O 均不重合.) 因为N 为弦QR 的中点，且()1,0D -为圆心，由圆的性质，可得DN QR ⊥，即DN ON ⊥(如图).所以点N 在以OD 为直径的圆上，圆心为1,02G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径12r =.因为直线346x y +=分别与x 轴、y 轴交于点E 、F ，所以()2,0E ，30,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，52EF =.又圆心1,02G ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线3460x y +-=的距离32d ==. 设NEF 的边EF 上的高为h ，则点N 到直线346x y +=的距离h 的最小值为31122d r -=-=； 点N 到直线346x y +=的距离h 的最大值为31222d r +=+=(如图).则S 的最小值min 1551224S =⨯⨯=，最大值max 1552222S =⨯⨯=.因此，NEF 的面积S 的取值范围是5542⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.【点睛】设00(,)P x y 是圆锥曲线外一点，过点P 作曲线的两条切线，切点为A 、B 两点，则 A 、B 两点所在的直线方程为切点弦方程.常见圆锥曲线的切点弦方程有以下结论： 圆222()()x a y b r -+-=的切点弦方程：200()()()()x a x a y b y b r --+--=， 圆220x y Dx Ey F ++++=的切点弦方程： 0000022x x y yx x y y D E F ++++++= 椭圆22221x y a b+=的切点弦方程：00221x x y y a b +=；双曲线22221x y a b-=的切点弦方程：00221x x y y a b -=；抛物线22y px =的切点弦方程为：00()y y p x x =+.特别地，当00(,)P x y 为圆锥曲线上一点时，可看作两切线重合，两切点A 、B 重合，以上切点弦方程即曲线在P 处的切线方程.51．（1）()1,1P --；（2）1；（3）存在点11,44T ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，使得线段TQ 长为定值.理由见解析.【分析】（1）依题意可得四边形PAOB 为正方形，设(),2P x x --，利用平面直角坐标系上两点的距离公式得到方程，计算可得；（2）由221PA PO =-可知当线段PO 长最小时，线段PA 长最小，利用点到线的距离公式求出PO 的最小值，即可得解；（3）设()00,2P x x --，求出以OP 为直径的圆的方程，即可求出公共弦AB 所在直线方程，从而求出动点Q 的轨迹方程，即可得解； 【详解】解：（1）若PA PB ⊥，则四边形PAOB 为正方形， 则P①P 在直线20x y ++=上，设(),2P x x --，则OP =，解得1x =-，故()1,1P --.（2）由221PA PO =-可知当线段PO 长最小时，线段PA 长最小. 线段PO 长最小值即点O 到直线l的距离，故min PO ==所以min 1PA =.（3）设()00,2P x x --，则以OP 为直径的圆的方程为()2222000022224x x x x x y +----⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得()220020x x x x y y -+++=，与221x y +=联立，可得AB 所在直线方程为()0021x x x y -+=，联立()002221,1,x x x y x y ⎧-+=⎨+=⎩得()222000002443024x x x x x x x ++----=， ①Q 的坐标为002200002,244244x x x x x x --++++⎛⎫⎪⎝⎭，可得Q 点轨迹为22111448x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，圆心11,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径R =.其中原点()0,0为极限点（也可以去掉）.故存在点11,44T ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，使得线段TQ 长为定值.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、方程思想、数形结合方法、转化方法，考查运算求解能力和应用意识．52．（1；（2）m = 【分析】（1）由两个圆相交，可将两个圆的方程相减求得直线MN 的方程.利用圆心到直线的距离，结合垂径定理即可求得||MN 的值.（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，利用向量的坐标运算表示出1,PC PQ .将直线方程与圆的方程联立，化简后由>0∆求得m 的取值范围，并表示出12x x +，12x x ，进而由直线方程表示出12y y .根据平面向量数量积的坐标运算，代入化简计算即可求得m 的值. 【详解】（1）直线MN 的方程为2222(1)(1)410x y x y -+----+=， 即2 2 10x y ++=；故圆1C 的圆心到2210x y ++=的距离d =故||MN == （2）设()()1122,,,P x y Q x y ，则()()1112121,,,PC x y PQ x x y y =--=--，由22,1,y x m x y =+⎧⎨+=⎩化简可得222210x mx m ++-=， 故()222481840,m m m ∆=--=->解得m < 12x x m +=-，2121,2m x x -=所以()()()212121212y y x m x m x x m x x m =++=+++，又()()2211121211212113,,2PC PQ x y x x y y x x y y x y ⋅=--⋅--=--++=， 又22111x y +=故121212x x y y +=-，故()21212122x x m x x m +++=-， 将12x x m +=-，2121,2m x x -=代入可得222112m m m --+=-，解得m =又因为m <所以2m =± 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系及公共弦长度的求法，直线与圆位置关系的综合应用，由韦达定理求参数的值，平面向量数量积的运算，综合性强，计算量大，属于难题.53．（1）()0,0P 或84,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）圆过定点()0,2，42,55⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）当25b =时，AB 有最小【分析】（1）设()2,P b b -，由MP b ，得出结果；（2）因为A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径，所以圆N 的方程为()()222242224b b b x b y +-+⎛⎫++-=⎪⎝⎭，化简为()()222220x y b x y y -+++-=，由方程恒成立可知2222020x y x y y -+=⎧⎨+-=⎩，即可求得动圆所过的定点； （3）由圆M 和圆N 方程作差可得直线AB 方程，设点()0,2M 到直线AB 的距离d ，则AB =.【详解】（1）由题可知，圆M 的半径1r =，设()2,P b b -， 因为P A 是圆M 的一条切线，所以90MAP ∠=︒，所以2MP ==，解得0b =或45b =， 所以点P 的坐标为()0,0P 或84,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（2）设()2,P b b -，因为90MAP ∠=︒， 所以经过A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径， 其方程为()()222242224b b b x b y +-+⎛⎫++-=⎪⎝⎭， 即()()222220x y b x y y -+++-=，由2222020x y x y y -+=⎧⎨+-=⎩， 解得02x y =⎧⎨=⎩或4525x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以圆过定点()0,2，42,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．（3）因为圆N 方程为()()222242224b b b x b y +-+⎛⎫++-=⎪⎝⎭， 即()222220x y bx b y b ++-++=①又圆22:430M x y y +-+=①①-①得圆M 方程与圆N 相交弦AB 所在直线方程为 ()22230bx b y b --+-=．点()0,2M 到直线AB的距离d =所以相交弦长AB == 所以当25b =时，AB【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，考查定点问题和距离的最值问题，难度较难. 54．（1）k =（2）直线CD 过定点(1,1)- 【分析】（1）由已知结合垂径定理求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k ； （2）解法1：设切点11(,)C x y ，22(,)D x y ，动点00(,)P x y ，求出两条切线方程，计算出直线CD 的方程，从而得到定点坐标；解法2：由题意可知，O 、P 、C 、D 四点共圆且在以OP为直径的圆上，求出公共弦所在直线方程，再由直线系方程求得定点坐标. 【详解】（1）2AOB π∠=，∴点O 到l 的距离2d r =，k = （2）解法1：设切点11(,)C x y ，22(,)D x y ，动点00(,)P x y ，则圆在点C 处的切线方程为 1111()()0y y y x x x -+-=，所以221111x x y y x y +=+，即112x x y y +=同理，圆在点D 处的切线方程为222x x y y += 又点00(,)P x y 是两条切线的交点， 10102x x y y ∴+=，20202x x y y +=，所以点()11,C x y ，()22,D x y 的坐标都适合方程002x x y y +=， 上述方程表示一条直线，而过C 、D 两点的直线是唯一的， 所以直线CD 的方程为：002x x y y +=. 设(,2)P t t -，则直线CD 的方程为(2)2tx t y +-=， 即()(22)0x y t y +-+=， ∴0220x y y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，故直线CD 过定点(1,1)-.解法2：由题意可知：O 、P 、C 、D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上， 设(,2)P t t -，则此圆的方程为：()(2)0x x t y y t -+-+=， 即：22(2)0x tx y t y -+--=， 又C 、D 在圆22:2O x y +=上，两圆方程相减得():220CD l tx t y +--=， 即()(22)0x y t y +-+=， ∴0220x y y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，故直线CD 过定点(1,1)-. 【点睛】本题考查了直线与圆的相交问题，由弦长求直线斜率，只需结合弦长公式计算圆心到直线的距离，然后求得结果，在求直线恒过定点坐标时，一定要先表示出直线方程，然后在求解. 55．（1）22(1)4x y ++=（2y ≠-）；（2）证明见解析． 【分析】（1）由题可求出顶点C 的轨迹方程，再利用相关点法可求垂心H 的轨迹方程；（2）利用弦长公式可求||DE ，再利用韦达定理法求||PQ ，由||2||DE PQ =得出2221m k ≥+，然后结合判别式大于零即可证. 【详解】设ABC 的外心为1O ，半径为R ，则有22sin ABR ACB==∠，所以1πcos 13OO R ==即1(0,1)O ，设(,)C x y ，()00,H x y ，有1O C R =，即有22(1)4x y +-=（0y ≠）， 由CH AB ⊥，则有0x x =，由AH BC ⊥，则有(00(0AH BC x x y y ⋅=+=，所以有(220(3(1)12x x x y y y yy y---=-===-，则有()220014x y ++=（02y ≠-），所以ABC 垂心H 的轨迹方程为22(1)4x y ++=（2y ≠-）； （2）记点(0,1)-到直线l 的距离为d ，则有d =所以||DE==，设()11,P x y，()22,Q x y，联立2221y kx mx y=+⎧⎨+=⎩，有()2222210k x kmx m+++-=，所以()224220k m∆=+->，||PQ==由||2||DE PQ=，可得()()()()()2222222222222418141(1)8412222k m k km mk k kk k++++-=-≤-+++++，所以()22222248(1)212m mk kk++≤+++，即有()()()22222224181(1)22k k mmk k+++≤+++，所以()()()22222222418122(1)22k k mm mk k+++--≥-++，即22222222222221(1)101222k k m k mm mk k k k⎛⎫-=-⇒-≥⇒≥+⎪+++⎝⎭又0∆>，可得2212km<+，所以222112kk+<+，解得22k>，故||k>56．（1）2212xy+=；（2）10x y±-=.【分析】（1）利用22sin cos1θθ+=求得点C的轨迹E的方程.（2）设直线l的方程为1x my=-，联立直线l的方程和曲线E的方程，化简写出根与系数关系，求得MN、PQ,由1PQMN=求得m的值，从而求得直线l的方程.【详解】 （1）设(),C x y ，则,sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即cos sin yθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以2212x y +=，所以E 的方程为2212x y +=.（2）由题意知，直线l 的斜率不为0，设直线:1l x my =-，()()()1122,,,,,p p M x y N x y P x y .联立2221,1x y x my ⎧+=⎨=-⎩，消去x ，得()22+2210m y my --=，此时()281m ∆=+0>，且12222m y y m +=+，12212y y m =-+又由弦长公式得MN =整理得2212m MN m ++. 又122+=22p y y m y m =+，所以2212p p x my m -=-=+，所以222222p m PQ x m ++=+，所以1PQMN =， 所以21m =，即1m =±.综上，当1m =±，即直线l 的斜率为±1时，MN PQ =， 此时直线l 为10x y ±-=. 【点睛】求解直线和圆锥曲线相交所得弦长，往往采用设而不求，整体代入的方法来求解.。
解析几何高考题汇编含答案
圆锥曲线一、选择题1、（2009全国卷Ⅱ文）双曲线13622=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r = 2、（2009浙江文）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是3、（2009江西卷文）设1F 和2F 为双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为4、(2009山东卷文)设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F ,且和y 轴交于点A ,若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为5、（2009全国卷Ⅱ文）已知直线)0)(2(>+=k x k y 与抛物线C:x y 82=相交A 、B 两点，F 为C的焦点。
若FB FA 2=,则k =6、(2009湖北卷理)已知双曲线22122x y -=的准线过椭圆22214x y b+=的焦点，若直线2y kx =+与椭圆至多有一个交点，则k 的取值范围为7、（2009湖南卷文）过双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的一个焦点作圆222x y a +=的两条切线，切点分别为A ，B ，若120AOB ∠=（O 是坐标原点），则双曲线线C 的离心率为 8、（2009北京理）点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且|||PA AB =，则称点P 为“点”，那么下列结论中正确的是 A ．直线l 上的所有点都是“点”B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”二、解答题9.(2009年广东卷文)（本小题满分14分）已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为23,两个焦点分别为1F 和2F ,椭圆G 上一点到1F 和2F 的距离之和为12.圆k C :0214222=--++y kx y x )(R k ∈的圆心为点k A . (1)求椭圆G 的方程 (2)求21F F A k ∆的面积(3)问是否存在圆k C 包围椭圆G ?请说明理由.10.（2009江苏卷）（本题满分10分）在平面直角坐标系xoy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A （2，2），其焦点F 在x 轴上。
解析几何大题精选题-共四套(答案)
解析几何大题精选题-共四套(答案)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN解析几何大题精选四套（答案）解析几何大题训练（一）1. （2011年高考江西卷) (本小题满分12分）已知过抛物线()022>=p px y 的焦点，斜率为22的直线交抛物线于()12,,A x y ()22,B x y （12x x <）两点，且9=AB ．（1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若λ+=，求λ的值．2. （2011年高考福建卷)（本小题满分12分）如图，直线l ：y=x+b 与抛物线C ：x 2=4y 相切于点A 。
（1） 求实数b 的值；（11） 求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.3. (2011年高考天津卷)（本小题满分13分） 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点(,)P a b 满足212||||PF F F =.（Ⅰ）求椭圆的离心率e ;(Ⅱ)设直线2PF 与椭圆相交于A,B 两点.若直线2PF 与圆22(1)(16x y ++-=相交于M,N 两点,且|MN|=58|AB|,求椭圆的方程.4.（2010辽宁）（本小题满分12分）设1F ，2F 分别为椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点，直线l 的倾斜角为60，1F 到直线l 的距离为（Ⅰ）求椭圆C 的焦距；（Ⅱ）如果222AF F B =,求椭圆C 的方程.解析几何大题训练（二）1.（2010辽宁）（本小题满分12分）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB =.(I) 求椭圆C 的离心率；(II) 如果|AB|=154，求椭圆C 的方程.2.（2010北京）（本小题共14分）已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(，y=t 椭圆C 交与不同的两点M ，N ，以线段为直径作圆P,圆心为P 。
【优质文档】高考解析几何(含详细答案)
4,b
23
x2 y2
椭圆 E 的方程为
1
16 12
（ 2 ）方法 1：由（ 1 ）问得 F1( 2, 0) ， F2(2,0) ，又 A 2, 3 ，易得 F1AF2 为直角三角形，其中
AF2 3, F1F2 4, AF1 5,
设 F1AF2 的角平分线所在直线 l 与 x 轴交于点 M ，根据角平线定理可知： AF1
（ 1）求椭圆和双曲线的标准方程；
（ 2）设直线 PF1、 PF2 的斜率分别为 k1 、 k2 ，证明 k1·k2 1 ；
（ 3）是否存在常数 ，使得 AB CD
AB ·CD 恒成立？
若存在，求 的值；若不存在，请说明理由 .
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考点 4：圆锥曲线综合问题
例 4：（ 2010·江苏高考·Ｔ１ 8） 在平面直角坐标系 xoy 中，如图，已知椭圆 x2 9
2, x2
1
，求点 T 的坐标；
3
（ 3）设 t 9 , 求证：直线 MN必过 x 轴上的一定点（其坐标与
m无关）。
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详细解答
例 1（ 1
1（ a b 0 ），
由题意 e
c a
14 2 ， a2
9 b2
1 ，又
c2
a2
b 2 ，解得： c
2, a
AF2 ，可得 F2M
3
，
F1M F2M
2
1 M ( ,0)
2
y0 直线 l 的方程为：
30
1 x
2 ，即 y 1 2 2
2x 1。
方法 2：由（ 1）问得 F1( 2,0) ， F2 (2,0) ，又 A 2,3 ，
(word完整版)高中数学解析几何大题精选
解析几何大量精选1.在直角坐标系xOy 中，点M到点()1,0F，)2,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ．⑴求轨迹C 的方程；⑴当0AP AQ ⋅=u u u r u u u r时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．【解析】 ⑴ 2214x y +=．⑴将y kx b =+代入曲线C 的方程，整理得222(14)8440k x kbx b +++-=，因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ∆=-+-=-+> ①设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122814kbx x k +=-+，21224414b x x k -=+ ② 且22221212121224()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -⋅=++=+++=+，显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -，所以()112,AP x y =+u u u r ，()222,AQ x y =+u u u r． 由0AP AQ ⋅=u u u r u u u r，得1212(2)(2)0x x y y +++=．将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=．所以(2)(65)0k b k b -⋅-=，即2b k =或65b k =．经检验，都符合条件①当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点． 即直线l 经过点A ，与题意不符．当65b k =时，直线l 的方程为6655y kx k k x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．显然，此时直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点，满足题意．综上，k 与b 的关系是65b k =，且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线0x y -=相切． ⑴ 求椭圆C 的方程；⑴ 设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；⑴ 在⑴的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ⋅u u u u r u u u r的取值范围．【解析】 ⑴22143x y +=．⑴ 由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-．由22(4),1.43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)3264120k x k x k +-+-=． ①设点11(,)B x y ，22(,)E x y ，则11(,)A x y -．直线AE 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--．令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+．将11(4)y k x =-，22(4)y k x =-代入整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-．②由①得21223243k x x k +=+，2122641243k x x k -=+代入②整理，得1x =．所以直线AE 与x 轴相交于定点(10)Q ，．⑶ 54,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．３.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个顶点与抛物线2:C x =的焦点重合，12F F ，分别是椭圆的左、右焦点，且离心率12e =，过椭圆右焦点2F 的直线l 与椭圆C 交于M N 、两点．⑴ 求椭圆C 的方程；⑴ 是否存在直线l ，使得2OM ON ⋅=-u u u u r u u u r．若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【解析】 ⑴22143x y +=．⑴ 由题意知，直线l 与椭圆必有两个不同交点．①当直线斜率不存在时，经检验不合题意． ②设存在直线l 为(1)(0)y k x k =-≠，且11()M x y ，，22()N x y ，．由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(34)84120k x k x k +-+-=， 2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+， 21212121212[()1]OM ON x x y y x x k x x x x ⋅=+=+-++u u u u r u u u r2222222224128512(1)2343434k k k k k k k k k ---=+⋅-⋅+==-+++，所以k =故直线l的方程为1)y x =-或1)y x =-．本题直线l 的方程也可设为1my x =-，此时m 一定存在，不能讨论，且计算时数据更简单．４.如图，椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>x 轴被曲线22:C y x b =-截得的线段长等于1C 的长半轴长．⑴ 求12C C ，的方程；⑴ 设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A B ，，直线MA MB ，分别与1C 相交与D E ，． ①证明：MD ME ⊥；②记MAB MDE △，△的面积分别是12S S ，．问是否存在直线l ，使得121732S S =?请说明理由．【解析】 ⑴ 222114x y y x +==-，．⑴ ①由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y kx =． 由21y kx y x =⎧⎨=-⎩得210x kx --=， 设()()1122A x y B x y ，，，，则12x x ，是上述方程的两个实根，于是12121x x k x x +==-，． 又点M 的坐标为()01-，，所以()()()212121212121212111111MA MB kx kx k x x k x x y y k k x x x x x x +++++++⋅=⋅===-， 故MA MB ⊥，即MD ME ⊥．②设直线KM 的斜率为1k ，则直线的方程为11y k x =-，由1211y k x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩或1211x k y k =⎧⎪⎨=-⎪⎩，则点A 的坐标为()2111k k -，． 又直线MB 的斜率为11k -，同理可得点B 的坐标为211111k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．于是211111111||||||||22||k S MA MB k k k +=⋅=-=．由1221440y k x x y =-⎧⎪⎨+-=⎪⎩得()22111480k x k x +-=， 解得01x y =⎧⎨=-⎩或12121218144114k x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，则点D 的坐标为21122118411414k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，； 又直线MB 的斜率为11k -，同理可得点E 的坐标21122118444k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，． 于是()()()21122211321||1||||2144k k S MD ME k k +⋅=⋅=++． 因此222111122211(14)(4)144176464S k k k S k k ⎛⎫++==++ ⎪⎝⎭，由题意知，212114174176432k k ⎛⎫++= ⎪⎝⎭解得214k =或2114k =． 又由点A B ，的坐标可知，21211111111k k k k k k k -==-+，所以32k =±．故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为32y x =和32y x =-．５. 在直角坐标系xOy 中，点M到点()1,0F，)2,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P和Q ．⑴ 求轨迹C 的方程；⑴ 当0AP AQ ⋅=u u u r u u u r时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．【解析】 ⑴ 2214x y +=．⑴将y kx b =+代入曲线C 的方程，整理得222(14)8440k x kbx b +++-=，因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ∆=-+-=-+> ①设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122814kbx x k +=-+，21224414b x x k -=+ ② 且22221212121224()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -⋅=++=+++=+，显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -，所以()112,AP x y =+u u u r ，()222,AQ x y =+u u u r． 由0AP AQ ⋅=u u u r u u u r，得1212(2)(2)0x x y y +++=．将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=．所以(2)(65)0k b k b -⋅-=，即2b k =或65b k =．经检验，都符合条件①当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点． 即直线l 经过点A ，与题意不符．当65b k =时，直线l 的方程为6655y kx k k x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．显然，此时直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点，满足题意．综上，k 与b 的关系是65b k =，且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭．。
2024年高考真题分类专项(解析几何)(学生版)
2024年高考真题分类专项（解析几何）一、单选题1．（2024年北京高考数学真题）圆22260x y x y +-+=的圆心到直线20x y -+=的距离为（ ）A B ．2C ．3D ．2．（2024年天津高考数学真题）双曲线22221()00a x y a b b >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）A ．22182y x -=B ．22184x y -=C ．22128x y -=D ．22148x y -=3．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（ ） A ．221164x y +=（0y >）B ．221168x y +=（0y >）C ．221164y x +=（0y >）D ．221168y x +=（0y >）4．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线20ax by a b +-+=与圆2241=0C x y y ++-：交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．65．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线的两个焦点分别为()()0,4,0,4-，点()6,4-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A．4 B ．3C ．2D6．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c 与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．4D．二、多选题7．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（ ） A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B三点共线时，||PQ = C ．当||2PB =时，PA AB ⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个8．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足:横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（ ）A ．2a =- B．点在C 上C ．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D ．当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+三、填空题9．（2024年上海夏季高考数学真题）已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为 ．10．（2024年北京高考数学真题）抛物线216y x =的焦点坐标为 ．11．（2024年北京高考数学真题）若直线()3y k x =-与双曲线2214x y -=只有一个公共点，则k 的一个取值为 ．12．（2024年天津高考数学真题）圆22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为 ．13．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为 ．四、解答题14．（2024年上海夏季高考数学真题（网络回忆版））已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b-=>左右顶点分别为12,A A ，过点()2,0M -的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点. (1)若离心率2e =时，求b 的值．(2)若2b MA P =△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标． (3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P ⋅=，求b 的取值范围．15．（2024年北京高考数学真题）已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点()(0,t t >且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和()0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ． (1)求椭圆E 的方程及离心率； (2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．16．（2024年天津高考数学真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △． (1)求椭圆方程．(2)过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．17．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．18．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线交C 于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．。
高考数学平面解析几何专项训练(100题-含答案)
高考数学平面解析几何专项训练（100题-含答案）1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点12(1,0),(1,0)F F -，点M 满足12MF MF +=记点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)点T 在直线2x =上，过T 的两条直线分别交C 于,A B 两点和,P Q 两点，且||||||||TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【答案】(1)2212x y +=(2)0【解析】【分析】（1）根据122MF MF +=，利用椭圆的定义求解；（2）设()2,T m ，直线AB 的参数方程为()2cos ,sin x t y m t θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数，与椭圆方程联立，利用参数的几何意义求解.(1)解：因为122MF MF +=，所以点M 的轨迹是以12(1,0),(1,0)F F -为焦点的椭圆，则21,1a c b ===，所以椭圆的方程是2212x y +=；(2)设()2,T m ，直线AB 的参数方程为()2cos ,sin x t y m t θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数，与椭圆方程联立()()2222cos 2sin 4cos 4sin 420t m t m θθθθ+++++=，由参数的几何意义知：12,TA t TB t ==，则22122224242cos 2sin 2cos m m t t θθθ++⋅=-=-+-，设直线PQ 的参数方程为：()2cos ,sin x y m λαλλα=+⎧⎨=+⎩为参数,则12,TP TQ λλ==，则22122224242cos 2sin 2cos m m λλααα++⋅=-=-+-，由题意得：222242422cos 2cos m m θα++-=---，即22cos cos θα=，因为αθ≠，所以cos cos θα=-，因为0,0θπαπ<<<<，所以θαπ+=，所以直线AB 的斜率tan θ与直线PQ 的斜率tan α之和为0.2．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，13a =，点(),N n S n n n *⎛⎫∈ ⎪⎝⎭在斜率为1的直线上.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】(1)21n a n =+(2)152522n n n T ++=-【解析】【分析】（1）根据斜率公式可得出()222n S n n n =+≥，可知13S =满足()222n S n n n =+≥，可得出22n S n n =+，再利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得数列{}n a 的通项公式；（2）求得1212n n n c ++=，利用错位相减法可求得n T .(1)解：由13a =，点,n S n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭在斜率为1的直线上，知1111n S S n n -=-，即()222n S n n n =+≥.当1n =时，113S a ==也符合上式，故22n S n n =+.当2n ≥时，()()221212121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦；13a =也满足上式，故21n a n =+.(2)解：112122n n n n a n c +++==.则2341357212222n n n T ++=++++ ，所以，3412135212122222n n n n n T ++-+=++++ ，上式-下式得1232211113111213214212422224212n n n n n n n T -++⎛⎫- ⎪++⎛⎫⎝⎭=++++-=+- ⎝⎭- 252542n n ++=-，因此，152522n n n T ++=-.3．椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3，且过点(3,1).(1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B ，P 三点在椭圆C 上，O 为原点，设直线,OA OB 的斜率分别是12,k k ，且1213k k ⋅=-，若OP OA OB λμ=+，证明：221λμ+=.【答案】(1)221124x y +=(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由条件可得c a22911a b +=，222c b a +=，解出即可；（2）设()()()112200,,,,,A x y B x y P x y ，由条件可得012012x x x y y y λμλμ=+⎧⎨=+⎩，12123x x y y =-，然后将01212x x x y y y λμλμ=+⎧⎨=+⎩代入椭圆方程可得2222221122121221124124124x y x y x x y y λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，然后可得答案.(1)因为ca=22911a b +=，222c b a +=所以可解得2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程221124x y +=.(2)设()()()112200,,,,,A x y B x y P x yOP OA OB λμ=+ ，012012x x x y y y λμλμ=+⎧∴⎨=+⎩()()222212120011124124x x y y x y λμλμ+++=∴+= 即2222221122121221124124124x y x y x x y y λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222112211124124x y x y +=+= ，，即22121221124x x y y λμλμ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭又1212121133y y k k x x ⋅=-∴=- ，即12123x x y y =-，221λμ∴+=4．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，A ､B 分别为椭圆C 的右顶点､上顶点，F 为椭圆C的右焦点，椭圆C 的离心率为12，ABF 的面积为32.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点P 为椭圆C 上的动点（不是顶点），点P 与点M ，N 分别关于原点､y 轴对称，连接MN 与x 轴交于点E ，并延长PE 交椭圆C 于点Q ，则直线MP 的斜率与直线MQ 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)22143x y +=(2)是定值，定值为32-【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率可得到a,b,c 的关系，再结合ABF 的面积可得到()a c b -=，由此解得a,b ，可得答案.（2）设直线方程，并联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，结合直线MP 的斜率与直线MQ 的斜率之积，代入化简可得答案.(1)由题意得12c a =，则2a c =，b =.ABF 的面积为()1322a cb -=，则()a c b -将2a c =，b =代入上式，得1c =，则2a =，b =，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=.(2)由题意可知直线PQ 的斜率一定存在，设直线PQ 的方程为y kx m =+，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则()11,M x y --，()11,N x y -，()1,0E x -，联立方程22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2223484120k x kmx m +++-=，∴122834kmx x k +=-+，∴()12122286223434km m y y k x x m k m k k ⎛⎫+=++=-+= ⎪++⎝⎭，∴21212263348434MQmy y k k km x x kk ++===-+-+，112PEPQ y k k k x ===，∵11112222MP PE y yk k k x x ====，∴33242MP MQ k k k k ⋅=-⨯=-∴MP MQ k k ⋅为定值32-.【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及直线和椭圆的位置关系，综合考查了学生分析问题，解决问题以及计算方面的能力和综合素养，解答的关键是理清解决问题的思路，并能正确地进行计算.5．已知圆M 过点()1,0，且与直线1x =-相切.(1)求圆心M 的轨迹C 的方程；(2)过点()2,0P 作直线l 交轨迹C 于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A '.问A B '是否经过定点，若经过定点，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.【答案】(1)24y x =(2)()2,0-【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义计算可得；（2）设直线l 的方程为2x ty =+，()11,A x y 、()22,B x y ，则()11,A x y '-，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，再表示出直线A B '的方程，将12y y +、12y y 代入整理即可得解；(1)解：由题意知动点M 的轨迹C 是以(0,0)O 为顶点，()1,0为焦点，1x =-为准线的抛物线，所以动圆圆心M 的轨迹方程为：24y x =；(2)解：设直线l 的方程为2x ty =+，()11,A x y 、()22,B x y 不妨令21y y >，则()11,A x y '-，联立直线l 与抛物线方程得224x ty y x =+⎧⎨=⎩消去x 得2480y ty --=，则124y y t +=、128y y =-，则直线A B '的方程为()()211121y y y y x x x x +--=--，即()()21212121x x y x y y y x y x -+=+-，则()()()()2121212122ty ty y ty y y y x y ty -++=+-+，()()()2121211222t y y y y y x ty y y y -=+--+，即()()21211222y y y x ty y y y =+--+，所以()42824y tx t t ⋅=-⨯--⨯，即()2y t x =+，令200x y +=⎧⎨=⎩解得20x y =-⎧⎨=⎩，所以直线A B '恒过定点()2,0-；6．已知1F ，2F 是椭圆C ：()222104x yb b+=>的左、右焦点，过1F 的直线与C 交于A ，B两点，且22::3:4:5AF AB BF =.(1)求C 的离心率；(2)设M ，N 分别为C 的左、右顶点，点P 在C 上（P 不与M ，N 重合），证明：MPN MAN ∠≤∠.【答案】(2)见解析【解析】【分析】（1）由题意设223,4,5AF m AB m BF m ===，由勾股定理的逆定理可得290BAF ∠=︒，再根据椭圆的定义可求出m 的值，从而可求出12,AF AF 的值，则可得点A 是椭圆短轴的一个端点，进而可求出离心率，（2）由椭圆的对称性，不妨设00(,)P x y，0y ∈，,PMN PNM αβ=∠=∠，则可得0000tan ,tan 22y y x x αβ==+-，然后求出tan tan αβ+，tan tan αβ，再利用正切的两角和公式可得02tan()y αβ+=，由正切函数可求出αβ+的最小值，从而可求出()MPN παβ∠=-+的最大值，进而可证得结论(1)由()222104x y b b+=>，得24a =，得2a =，由题意设223,4,5AF m AB m BF m ===，则22222AF AB BF +=，所以290BAF ∠=︒，因为223451248AF AB BF m m m m a ++=++===，所以23m =，所以22AF =，所以122422AF a AF =-=-=，所以12AF F △为等腰直角三角形，所以点A 是椭圆短轴的一个端点，所以b c =，因为222224b c b a +===，得b c =所以椭圆的离心率为2c e a ==(2)由（1）可得椭圆方程为22142x y +=，则(2,0),(2,0)M N -,因为点A是椭圆短轴的一个端点，所以不妨设A ,由椭圆的对称性，不妨设00(,)P x y，0y ∈，,PMN PNM αβ=∠=∠,则0000tan ,tan 22y y x x αβ==+-，2200142x y +=，所以2200002200001tan tan 22422y y y y x x x y αβ⋅=⋅===+--，00002200000442tan tan 2242y y y y x x x y y αβ+=+===+--，所以0tan tan 4tan()1tan tan y αβαβαβ++==-，所以当0y =tan()αβ+取得最小值由（1）可知290BAF ∠=︒，所以()0,2παβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以当tan()αβ+取得最小值时，αβ+取得最小值，即点P 与点A 重合时，αβ+取得最小值，此时()MPN παβ∠=-+取得最大，所以MPN MAN∠≤∠7．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为，且过点)P(1)求C 的方程：(2)设直线()0y kx m m =+>交y 轴于点M ，交C 于不同两点A ，B ，点N 与M 关于原点对称，BO AN ⊥，Q 为垂足.问：是否存在定点M ，使得·NQ NA 为定值？【答案】(1)221102x y +=(2)存在【解析】【分析】（1）利用待定系数法求方程；（2）联立方程组，结合韦达定理可得直线恒过定点，进而求解.(1)依题意知2a =a =所以C 的方程可化为222110x y b+=，将点)P代入C 得251110b +=，解得22b =，所以椭圆方程为221102x y +=；(2)设点()11,A x y ，()22,B x y ，联立221102x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得，()22215105100k x kmx m +++-=，()()()222104155100km k m ∆=-+->，解得22210m k <+，1221015km x x k -+=+，212251015m x x k -=+，注意到Q ，N ，A 三点共线，NQ NA NQ NA ⋅=⋅，又()NQ NA NB BQ NA NB NA ⋅=+⋅=⋅()()()()1212121222x x y m y m x x kx m kx m =+++=+++()()()()222222212122215102012441515k m k mkx xmk x x mm kk+-=++++=-+++()222221510510415k m m m k--+-=++当()2215105510m m --=-，解得1m =±，因为0m >，所以1m =，此时1NQ NA ⋅=-，满足0∆>，故存在定点()0,1M ，使得1NQ NA ⋅=-等于定值1.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．8．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>,4a M b ⎛⎫ ⎪⎝⎭为焦点是22y x =的抛物线上一点，H 为直线y a =-上任一点，A ，B 分别为椭圆C 的上，下顶点，且A ，B ，H 三点的连线可以构成三角形.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线HA ，HB 与椭圆C 的另一交点分别交于点D ，E ，求证：直线DE 过定点.【答案】(1)2214x y +=(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由椭圆的离心率求出,a c 的关系式，再由,4a M b ⎛⎫⎪⎝⎭为抛物线22=y x 上的点，结合222a b c =+，即可求出椭圆C 的方程.（2）设点()(),20H m m -≠，求得HA ，HB 的方程，与椭圆联立求得,D E 坐标，写出直线DE 的方程，即可求出DE 恒过的定点.(1)由题意知，222224c aa b a b c⎧=⎪⎪⎪=⨯⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的方程为2214x y +=.(2)设点()(),20H m m -≠，易知()0,1A ，()0,1B -，∴直线HA 的方程为31y x m =-+，直线HB 的方程为11y x m=--.联立223114y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22362410x x m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，∴22436D m x m =+，223636D m y m -=+，同理可得284E m x m -=+，2244E m y m -=+，∴直线DE 的斜率为21216m k m-=，∴直线DE 的方程为222241284164m m m y x m m m --⎛⎫-=+ ⎪++⎝⎭，即2121162m y x m -=-，∴直线DE 过定点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.9．已知点(1,2)M -在抛物线2:2(0)E y px p =>上.(1)求抛物线E 的方程；(2)直线12,l l 都过点12(2,0),,l l 的斜率之积为1-，且12,l l 分别与抛物线E 相交于点A ，C 和点B ，D ，设M 是AC 的中点，N 是BD 的中点，求证：直线MN 恒过定点.【答案】(1)24y x =(2)证明见解析【解析】【分析】（1）将点坐标代入求解抛物线方程；（2）设出直线方程，表达出,M N 的坐标，求出直线MN 的斜率，利用直线斜率之积为-1，求出直线MN 恒过的定点，从而证明出结论.(1)∵点(1,2)M -在抛物线2:2E y px =上，∴2(2)2p -=，∴解得:2p =，∴抛物线E 的方程为：24y x =.(2)由12,l l 分别与E 相交于点A ，C 和点B ，D ，且由条件知：两直线的斜率存在且不为零.∴设1122:2,:2l x m y l x m y =+=+由214,2y x x m y ⎧=⎨=+⎩得：21480y m y --=设()()1122,,,A x y C x y ，则1214y y m +=，∴12M y m =，又2122M x m =+，即()21122,2M m m +同理可得：()22222,2N m m +∴()()212212212212222MN m m k m m m m -==++-+，∴()211121:222MN y m x m m m -=--+即MN ：()1212121y x m m m m =--⎡⎤⎣⎦+，∵12,l l 的斜率之积为1-，∴12111m m ⋅=-，即121m m =-，∴121:(4)MN y x m m =-+，即直线MN 过定点(4,0).10．已知抛物线()20x ay a =>，过点0,2a M ⎛⎫ ⎪⎝⎭作两条互相垂直的直线12,l l ，设12,l l 分别与抛物线相交于,A B 及,C D 两点，当A 点的横坐标为2时，抛物线在点A 处的切线斜率为1.(1)求抛物线的方程；(2)设线段,AB CD 的中点分别为,E F ，O 为坐标原点，求证直线EF 过定点.【答案】(1)24x y =；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）结合导数知识，利用切线斜率构造方程可得a ，由此可得抛物线方程；（2）将直线AB 方程代入抛物线方程中，结合韦达定理可确定中点坐标，同理可得CD中点坐标，利用直线方程两点式可得直线EF 方程，化简可知其过定点()0,4.(1)由2x ay =得：21y ax =，则2y x a '=，241x y a=∴=='，解得：4a =，∴抛物线方程为：24x y =；(2)由题意知：直线12,l l 的斜率都存在且都不为零，由（1）知：()0,2M ，设直线:2AB y kx =+，代入24x y =得：2480x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，128x x =-，()21212444y y k x x k ∴+=++=+，AB ∴中点()22,22E k k +；12l l ⊥ ，1:2CD y x k ∴=-+，同理可得：CD 中点222,2F k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；EF ∴的方程为：()()222222222222k k y k x k k k ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭-+=-+，化简整理得：14y k x k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则当0x =时，4y =，∴直线EF 恒过定点()0,4.【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式；②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；④根据直线过定点的求解方法可求得结果.11．在直角坐标系xOy 中，曲线:C 221x y +=经过伸缩变换x xy '='=⎧⎪⎨⎪⎩后的曲线为1C ，以x 轴正半轴为级轴，建立极坐标系.曲线2C的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(2)若1C 上的一点P 到2C 的距离的最大，求距离的最大值及P 点的坐标.【答案】(1)1C ：2213y x +=，2C ：40x y +-=；(2)max d =，1322P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，.【解析】【分析】()1直接利用转换关系，把参数方程，直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；()2利用三角函数关系式的变换和点到直线的距离公式的应用求出结果.(1)解：由伸缩变换x xy '='=⎧⎪⎨⎪⎩得，代入曲线:C 221x y +=得：1C 的普通方程为2213y x +=，由极坐标方程sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin y ρθ=，cos x ρθ=可得：2C 的直角坐标方程为40x y +-=.(2)解：直线2C 的普通方程为40x y +-=，设1C上的为点()cos P θθ，到2C 的距离为d =当且仅当()223k k Z πθπ=-+∈时，取得max d =，又因为1cos 23y 2x θθ⎧==-⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩，即点P 的坐标为1322⎛⎫-- ⎪⎝⎭.12．已知椭圆C ：2222+x y a b=1（a >b >0）经过点A （0，1），且右焦点为F （1，0）.(1)求C 的标准方程；(2)过点（0，12）的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点P .Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N .证明：以MN 为直径的圆过y 轴上的定点.【答案】(1)2212x y +=(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由已知得,c b ，再求得a ，即得椭圆方程；（2）由题意直线l 斜率存在，可设直线1:2l y kx =+，设()()1122,,,P x y Q x y ，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得1212,x x x x +，由直线,AP AQ 方程求出,M N 坐标，求出以MN 为直径的圆的方程，然后代入1212,x x x x +求得圆方程的常数项，从而可得y 的定点坐标．(1)由题意可得1,1c b ==从而22a =.所以椭圆的标准方程为2212x y +=.(2)证明：由题意直线l 斜率存在，可设直线1:2l y kx =+，设()()1122,,,P x y Q x y ，将直线l 代入椭圆方程得()2242430k x kx ++-=，所以12122243,,4242k x x x x k k --+==++，直线AP 的方程为1111y y x x -=+，直线AQ 的方程为2211y y x x -=+.可得1212,0,,011x x M N y y ⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，以MN 为直径的圆方程为，21212011x x x x y y y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，即()()221212121201111x x x x x y x y y y y ⎛⎫++++= ⎪----⎝⎭.①因为()()()1212122121212124111142122x x x x x x y y k x x k x x kx kx ==---++⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22212612842k k k -==--+++.所以在①中令0x =，得26y =，即以MN 为直径的圆过y轴上的定点(0,，13．已知抛物线C ：()220y px p =>，过点()2,0R 作x 轴的垂线交抛物线C 于G ，H 两点，且OG OH ⊥（O 为坐标原点）.(1)求p ；(2)过()2,1Q 任意作一条不与x 轴垂直的直线交抛物线C 于A ，B 两点，直线AR 交抛物线C 于不同于点A 的另一点M ，直线BR 交抛物线C 于不同于点B 的另一点N .求证：直线MN 过定点.【答案】(1)1p =(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由题意知2RG OR ==，不妨设()2,2G ，代入抛物线方程中可求出p 的值，（2）设211,2y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233,2y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,2y N y ⎛⎫⎪⎝⎭，则可表示出直线AB ，AM ，BN 的方程，再由直线AB 过()2,1Q 及直线AM ，BN 过()2,0R 可得()121240y y y y -++=，13244y y y y ==-，再表示出直线MN 的方程，结合前面的式子化简可得结论(1)由题意知，2RG OR ==.不妨设()2,2G ，代入抛物线C 的方程，得44p =解得1p =.(2)由（1）知，抛物线C 的方程为22y x =.设211,2y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233,2y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,2y N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则直线AB 的斜率为12221212222AB y y k y y y y -==+-.所以直线AB 的方程为2111222y y x y y y ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭，即()121220x y y y y y -++=.同理直线AM ，BN ，MN 的方程分别为()131320x y y y y y -++=，()242420x y y y y y -++=，()343420x y y y y y -++=，由直线AB 过()2,1Q 及直线AM ，BN 过()2,0R 可得()121240y y y y -++=，13244y y y y ==-.又直线MN 的方程为()343420x y y y y y -++=，即1212441620x y y y y y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭.所以直线MN 的方程为()1212280y y x y y y +++=.把()121240y y y y -++=代入()1212280y y x y y y +++=，得()12122480y y x y y y +++=，()122)880(y y x y y +++=，所以由20x y +=，880y +=可得2x =，1y =-.所以直线MN 过定点()2,1-.14．已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，A 两点，且PF λFA = .(1)若λ=4，求直线l 的方程；(2)设点E (a ，0)，直线PE 与抛物线C 的另一个交点为B ，且PE EB μ=.若λ=4μ，求a的值.【答案】(1)4340x y --=或4340x y +-=(2)4【解析】【分析】（1）由4PF FA =得014y y =-，设直线l ：1x my =+，与抛物线C :24y x =联立，结合韦达定理，即得解；（2）由PF λFA = 得01y y λ=-，结合014y y =-，可得204y λ=，再由PE EB μ= 得02y y μ=-，设直线PB ：x ny a =+，与抛物线C ：24y x =联立由韦达定理可得024y y a =-，故204y aμ=，又4λμ=，代入运算即得解(1)易知焦点F (1，0)，设P (0x ，0y )，A (1x ，1y )由4PF FA =得014y y =-设直线l ：1x my =+，与抛物线C :24y x =联立得2440y my --=，其中216160m ∆=+>，所以014y y =-由①②可得0141y y =⎧⎨=-⎩或0141y y =-⎧⎨=⎩又014y y m +=，所以34m =或34m =-所以直线l 的方程为314x y =+或314x y =-+.化简得4340x y --=或4340x y +-=(2)由PF λFA =得01y y λ=-又014y y =-可得204y λ=设点B (2x ，2y )，由PE EB μ= 得02y y μ=-设直线PB ：x ny a =+，与抛物线C ：24y x =联立得2440y ny a --=.所以216()0n a ∆=+>，024y y a=-故204y aμ=又4λμ=，所以2200444y y a=⋅，考虑到点P 异于原点，所以00y ≠，解得4a =此时2216()16(4)0n a n ∆=+=+>所以a 的值为415．平面直角坐标系xOy 中，双曲线22:136x y C -=的右焦点为F ，T 为直线:1l x =上一点，过F 作TF 的垂线分别交C 的左、右支于P 、Q 两点，交l 于点A ．(1)证明：直线OT 平分线段PQ ；(2)若3PA QF =，求2TF 的值．【答案】(1)证明见解析(2)12+【解析】【分析】（1）设直线PQ 的方程为3x ty =+，设点()11,P x y 、()22,Q x y ，将直线PQ 的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，求出线段PQ 的中点N 的坐标，计算得出ON OT k k =，证明出O 、T 、N 三点共线，即可证得结论成立；（2）由3PA QF =得3PA QF = ，可得出1238x x -+=，变形可得出()()12212184384x x x x x x ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，两式相乘结合韦达定理可求得2t 的值，再利用两点间的距离公式可求得2TF 的值.(1)解：依题意，3F x ==，即()3,0F ，设()1,2T t ，则直线PQ 的方程为3x ty =+，由22326x ty x y =+⎧⎨-=⎩得()222112120t y ty -++=，设()11,P x y 、()22,Q x y ，则()222210Δ14448210t t t ⎧-≠⎪⎨=-->⎪⎩，故212t ≠，由韦达定理可得1221221t y y t +=--，1221221y y t =-，所以()121226621x x t y y t +=++=--，又直线PQ 分别交C 的左、右支于P 、Q 两点，所以()()()22121212122963339021t x x ty ty t y y t y y t +=++=+++=-<-，故212t >所以PQ 中点为2236,2121t N t t ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭，所以2ON OT k t k ==，故O 、T 、N 三点共线，即直线OT 平分线段PQ ．(2)解：依题意，由3PA QF =得3PA QF =，则()12133x x -=-，即1238x x -+=，所以()12284x x x ++=，①，()121384x x x +-=，②①×②得()()21212123166416x x x x x x +++-=，所以()22222366963166416212121t t t t+⨯-⨯-=-⨯---，解得28374t +=，或28374t -=（舍去），此时，224412t TF =+=+【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.16．已知抛物线2:4E y x =，F 为其焦点，O 为原点，A ，B 是E 上位于x 轴两侧的不同两点，且5OA OB ⋅=．(1)求证：直线AB 恒过一定点；(2)在x 轴上求一定点C ，使F 到直线AC 和BC 的距离相等；(3)在（2）的条件下，当F 为ABC 的内心时，求ABC 重心的横坐标．【答案】(1)证明见解析(2)见解析(3)173【解析】【分析】（1）设直线AB 的方程为x my n =+，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，联立24x my n y x =+⎧⎨=⎩，消x 得：2440y my n --=，124y y m +=，124y y n =-，结合向量的数量积，转化求解直线AB 的方程，推出结果．（2）在x 轴上求一定点C ，使F 到直线AC 和BC 的距离相等即CF 平分ACB ∠，即直线AC 与直线BC 关于x 轴对称，根据斜率和为零，从而可得结果；（3）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 与x 轴交于N ，由题意可得32AC CF AN NF ==，坐标化，结合点在抛物线上可得点的坐标，从而得到结果.(1)设直线AB 的方程为x my n =+，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，联立24x my n y x=+⎧⎨=⎩，消x 得：2440y my n --=，则124y y m +=，124y y n =-，由5OA OB ⋅= 得：21212()516y y y y +=，所以：1220y y =-或124y y =（舍去），即4205n n -=-⇒=，所以直线AB 的方程为5x my =+，所以直线AB 过定点(5,0)P ．(2)由（1）知，直线AB 过定点(5,0)P 可设直线AB 的方程为5x my =+，此时124y y m +=，1220y y =-，设x 轴上定点C 坐标为(,0)t ，要使F 到直线AC 和BC 的距离相等，则CF 平分ACB ∠，即直线AC 与直线BC 关于x 轴对称，故0AC BC k k +=，即21210y yx t x t+=--，∴()()21120y x t y x t -+-=，∴()()1212250my y t y y +-+=，∴()40450m m t -+-=对任意m 恒成立，∴510t -=，5t =-，故在x 轴上有一定点C (5,0)-，使F 到直线AC 和BC 的距离相等；(3)设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 与x 轴交于N ，∵F 为ABC 的内心，∴32AC CF AN NF ==，32=，即2211126250x y x +-+=，又2114y x =，∴21122250x x -+=，同理22222250x x -+=，∴12,x x 是方程222250x x -+=的两个根，∴1222x x +=，∴三角形重心的横坐标为1251733x x +-=.17．已知椭圆C 的两个顶点分别为()2,0A -，()2,0B ，焦点在x (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线()()10y k x k =-≠与x 轴交于点P ，与椭圆C 交于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于Q ，求MN PQ的取值范围.【答案】(1)2214x y +=；(2)(4,【解析】【分析】（1）由顶点和离心率直接求,,a b c 即可；（2）先联立直线和椭圆方程，借助弦长公式表示出弦长MN ，再求出垂直平分线和Q 坐标，表示出PQ ，最后分离常数求取值范围即可.(1)由题意知2222,a c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩可得1,2a b ==，故椭圆C 的方程为2214x y +=.(2)由()22114y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，可得()2222418440k x k x k +-+-=，设()()1122,,,M x y N x y ，则22121222844,4141k k x x x x k k -+=⋅=++，()121222241k y y k x x k -+=+-=+，线段MN 的中点为2224,4141k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，线段MN 的垂直平分线方程为22214()4141k k y x k k k --=--++，令0y =，得22341kx k =+，所以223,041k Q k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，又(1,0)P ，则22223114141k k PQ k k +=-=++,又12MN x x =-=所以2241141MN k k PQk +==++220,1331k k ≠∴<-<+ ，故MN PQ的取值范围为(4,.【点睛】（1）关键在于建立,,a b c 的关系式求解；（2）关键在于联立直线和椭圆方程，依次求出垂直平分线和弦长MN 、PQ ，转化成关于k 的代数式求范围即可.18．定义平面曲线的法线如下：经过平面曲线C 上一点M ，且与曲线C 在点M 处的切线垂直的直线称为曲线C 在点M 处的法线．设点()()000,0M x y y >为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点．(1)求抛物线C 在点M 处的切线的方程（结果不含0x ）；(2)求抛物线C 在点M 处的法线被抛物线C 截得的弦长||AB 的最小值，并求此时点M 的坐标．【答案】(1)002y py x y =+(2)；()p 【解析】【分析】（1）先化简求导确定切线斜率，再按照在点处的切线方程进行求解；（2）先联立法线和抛物线方程，借助弦长公式表示弦长，最后换元构造函数，求导确定最小值.(1)因为点()()000,0M x y y >在抛物线上方，所以由2:2(0)C y px p =>得y =py y'=，所以在点M 处的切线斜率0y y pk y y ='==，所求切线方程为000()py y x x y -=-，又202y x p=，故切线方程为2000()2y p y y x y p -=-，即002y p y x y =+.(2)点M 处的法线方程为2000()2y y y y x p p-=--，即220022y p p x y y p +=-+.联立抛物线2:2(0)C y px p =>，可得()2232000220y y p y y p y +-+=，可知0∆>，设()()1122,,,A x y B x y ，()2221212002,2p y y y y y p y +=-⋅=-+，所以322212202()y p AB y y y +⋅-=.令200t y =>，则3222()(0)t p AB t t +=>，令3222()()(0)t p f t t t +=>，1312222222223()()()(2)2()2t p t t p t p t p f t t t +⋅-++⋅-'=⨯=，所以()f t 在()20,2p 单调递减，在()22,p +∞单调递增，所以()2min ()2f t f p ==，即min AB =，此时点M的坐标为()p .【点睛】（1）关键在于化简出0y >时的抛物线方程，借助求导确定切线斜率；（2）写出法线方程，联立抛物线求弦长是通用解法，关键在于换元构造函数之后，借助导数求出最小值.19．已知点()11,0F -，()21,0F ，M 为圆22:4O x y +=上的动点，延长1F M 至N ，使得1MN MF =，1F N 的垂直平分线与2F N 交于点P ，记P 的轨迹为Γ.(1)求Γ的方程；(2)过2F 的直线l 与Γ交于,A B 两点，纵坐标不为0的点E 在直线4x =上，线段OE 分别与线段AB ，Γ交于,C D 两点，且2OD OC OE =⋅，证明：AC BC =.【答案】(1)22143x y +=；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）由线段垂直平分线和三角形中位线性质可证得12124PF PF F F +=>，可知P 点轨迹为椭圆，由此可得轨迹方程；（2）由已知可知24D C x x =；当l 斜率不存在时显然不成立；当l 斜率存在时，设l 方程，将其与椭圆方程联立，结合韦达定理可得AB 中点横坐标；设():0OE y k x k ''=≠，与直线l 和椭圆方程联立可求得34k k'=-，由此可整理得到C x ，与AB 中点横坐标相同，由此可得结论.(1)连接1,MO PF，PM 是1NF 的垂直平分线，1PF PN ∴=，1222PF PF PN PF NF ∴+=+=；,M O 分别为112,NF F F 中点，224NF MO ∴==，12124PF PF F F ∴+=>，P ∴点轨迹是以12,F F 为焦点，长轴长为4的椭圆，即2a =，1c =，23b ∴=，P ∴点轨迹Γ的方程为：22143x y +=；(2)2OD OC OE =⋅ ，即OD OE OC OD =，D EC Dx x x x ∴=，由题意知：0C x >，4E x =，24D C x x ∴=，①当直线l 斜率不存在时，即:1l x =，此时1C x =，2D x <，此时24D C x x =不成立；②当直线l 斜率存在时，设():1l y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得：()22223484120k x k x k +-+-=，2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩，AB ∴中点的横坐标为21224234x x k k +=+；设直线OE 的方程为：()0y k x k ''=≠，由()1y k x y k x ='=⎧⎨-⎩得：kx k k ='-，即C k x k k ='-；由22143y k xx y =⎧='⎪⎨+⎪⎩得：221234x k ='+，即221234D x k ='+；由24D C x x =得：212434k k k k =''+-，整理可得：34k k '=-，2122434324C x x kk x k k k+∴===++，C ∴为线段AB 的中点，AC BC ∴=.【点睛】关键点点睛：本题考查定义法求解轨迹方程、直线与椭圆综合应用问题；本题证明C 为AB 中点的关键是能够通过已知等式得到,C D 两点横坐标之间满足的等量关系，进而表示出AB 中点横坐标和C 点横坐标，证明二者相等即可.20．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F，离心率2e =，P为椭圆上一动点，12PF F △面积的最大值为2.(1)求椭圆E 的方程；(2)若C ，D 分别是椭圆E 长轴的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连结CM 交椭圆于点N ，O 为坐标原点.证明：OM ON ⋅为定值；(3)平面内到两定点距离之比是常数()1λλ≠的点的轨迹是圆.椭圆E 的短轴上端点为A ，点Q 在圆228x y +=上，求22QA QP PF +-的最小值.【答案】(1)22142x y +=；(2)见解析；4.【解析】【分析】（1）结合离心率和12PF F △面积的最大值列出关于,,a b c 的方程，解方程即可；（2）设直线CM 方程，写出点M 坐标，联立椭圆方程，求点N 坐标，通过向量数量积计算即可；（3）设点R 坐标，借助点Q 在圆228x y +=上，将2QA 转化成RA ，再借助椭圆定义将2PF 转化成14PF -，最后通过1,,R P F 三点共线求出最小值.(1)当P 为短轴端点时，12PF F △的面积最大，2bc =，222222,c a bc a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得2,a b c ===，故椭圆E 的方程为22142x y +=.(2)由（1）知，()2,0,(2,0)C D -,设直线():2CM y k x =+，11(,)N x y ，,(2,4)MD CD M k ⊥∴ ，联立221,42(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得()22222218840k x k x k +++-=，由21284221k x k --=+得2122421k x k -=+，1124(2)21ky k x k =+=+，222244(,)2121k k N k k -∴++,2222442442121k kOM ON k k k -⋅=⨯⨯++ ，故OM ON ⋅为定值4.(3)由题意(A ，设()(0,),,R m Q x y ，使2QA QR =，()()22222,4QR x y m QAx y +-==+，整理得222282833m m x y y --++=，又点Q 在圆228x y +=上，20,883m =∴⎨-⎪=⎪⎩解得m =，(0,R 由椭圆定义得124PF PF =-，2112(4)4QA QP PF QR QP PF QR QP PF +-=+--∴=++-，当1,,R P F三点共线时，(10,,(R F 22QA QP PF +-∴4.【点睛】（1）关键在于建立,,a b c 的方程；（2）关键在于设出直线方程，联立得出点N 坐标；（3）关键在于利用题目中给出的圆的定义将2QA 转化成RA ，再结合椭圆定义，将问题简化成共线问题.21．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为4，点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知O 为坐标原点，P 为椭圆C 上的一个动点，过点E0）作OP 的平行线交椭圆C 于M ，N 两点，问：是否存在实数t （t ＞0），使得||,||,||EM t OP EN 构成等比数列？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)22143x y +=(2)存在，12t =【解析】【分析】（1）由题意可得2a =，再将点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程中可求出2b ，从而可求得椭圆的方程，（2）①当OP 的斜率存在时，设直线OP 的方程为y kx =，将直线方程代入椭圆方程中可求出22,x y ，则可得2OP ，设直线MN的方程为()()1122(,,,y k x M x y N x y =，将直线方程代入椭圆方程消去y ，利用根与系数的关系，再利用两点间的距离公式表示出||,||EM EN ，再计算||||EM EN 与2OP 比较可求出t 的值，②当OP 的斜率不存在时，可得||OP =MN的方程为x ||||EM EN 的值，进而可求出t (1)由题意可得24a =，所以2a =．因为点（1，32）在椭圆C 上，所以221914a b +=，解得23b =．所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．(2)①当OP 的斜率存在时，设直线OP 的方程为y kx =．联立方程，得22143y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得221234x k =+，2221234k y k =+．解得()2222221211212||343434k k OP k k k+=+=+++，设直线MN的方程为()()1122(,,,y k x M x y N x y =-．联立方程，得(22143y k x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩化简，得()22223412120k x x k +=+-=．因为点E0）在椭圆内部，所0∆>，221213221212,3434k x x x x k k-+=⋅=++，所以1||EM x =-．同理可得2||EN x =所以()(())22121212||||113EM EN kx xk x x x x ⋅=+=+⋅++()()22222223112122413343434k k kk k k k +-=+⋅-+=+++，假设存在实数(0)t t >），使得||,||,||EM t OP EN 构成等比数列，则22||||||EM EN t OP ⋅=．所以()()22222311213434k k tk k ++=⋅++．解得214t=．四为1t >，所以12t =，②当OP 的斜率不存在时，||OP =MN 的方程为x =x =22143x y +=，得234y =．所以||||2EM EN ==，当||,||,||EM t OP EN 构成等比数列时，22||||||EM EN t OP ⋅=，即2334t =．因为0t >，所以12t =．综上所述，存在实数12t =，使得||,||,||EM t OP EN 构成等比数列．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为x y αααα⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.直线l 的极坐标方程为()cos sin 3m m ρθθ++=l 与曲线C 交于A ，B 两点.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若AB =CD .【答案】(1)2212x y +=，30mx y m ++=；(2)4.【解析】【分析】（1）消参法求曲线C 的普通方程，公式法求直线l 的直角坐标方程.（2）由（1）所得普通方程，结合圆中弦长、半径、弦心距的几何关系求圆心到直线l 的距离，再利用点线距离公式列方程求参数m ，即可得直线的倾斜角大小，由AB 、CD 的关系求CD 即可.(1)由题意，消去参数α，得曲线C 的普通方程为2212x y +=.将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入()cos sin 3m m ρθθ++得直线l的直角坐标方程为30mx y m ++=.(2)设圆心到直线l：30mx y m ++=的距离为d，则AB =3d =.3=，解得3m =-.所以直线l的方程为60x +=，则直线l 的倾斜角为30θ=︒.所以4cos30AB CD ==︒.23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线340x y ++=与圆1C ：222x y r +=相切，另外，椭圆2C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为32，过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于C ，D 两点．且1CD =．(1)求圆1C 的方程与椭圆2C 的方程；(2)经过圆1C 上一点P 作椭圆2C 的两条切线，切点分别记为A ，B ，直线PA ，PB 分别与圆1C 相交于M ，N 两点（异于点P ），求△OAB 的面积的取值范围．【答案】(1)225x y +=，2214x y +=；(2)4,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）由直线与圆的相切关系及点线距离公式求参数r ，即可得圆1C 的方程，根据椭圆离心率、22b CD a=及椭圆参数关系求出a 、b 、c ，即可得椭圆2C 的方程.（2）设()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，讨论直线PA ，PB 斜率存在性，则直线PA 为()111y k x x y =-+、直线PB 为()222y k x x y =-+，联立椭圆方程并结合所得一元二次方程0∆=求1k 、2k ，进而得直线PA 为1114x x y y +=、直线PB 为2214x xy y +=，结合P 在直线PA ，PB 上有AB 为0014x xy y +=，联立椭圆方程，应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式，结合三角形面积公式得0OAB S = .(1)由题设，圆1C ：222x y r +=的圆心为()0,0，因为直线340x y ++=与圆1C相切，则r ==所以圆1C 的方程为225x y +=，因为椭圆2Cc e a ==c =，由221b CD a==，则22a b =，又222a b c =+，所以22324a a a =+，解得2a =，1b =，所以椭圆2C 的方程为2214x y +=．综上，圆1C 为225x y +=，椭圆2C 为2214x y +=.(2)设点()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ．当直线PA ，PB 斜率存在时，设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则直线PA 为()111y k x x y =-+，直线PB 为()222y k x x y =-+．由()11122440y k x x y x y ⎧=-+⎨+-=⎩，消去y 得：()()()22211111111148440k x k y k x x y k x ++-+--=．所以()()()2222111111116441444k y k x k y k x ⎡⎤∆=--+--⎣⎦．令0∆=，整理得()2221111114210x k x y k y -++-=，则11111122111444x y x y x k x y y --=-==-，所以直线PA 为()11114x y x x y y -=-+，化简得：22111144x x y y y x +=+，即1114x x y y +=．经验证，当直线PA 斜率不存在时，直线PA 为2x =或2x =-也满足1114x xy y +=．同理，可得直线PB 为2214x xy y +=．因为()00,P x y 在直线PA ，PB 上，所以101014x x y y +=，202014x xy y +=．综上，直线AB 为0014x xy y +=．由00221444x xy y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，消去y 得：()22200035816160y x x x y +-+-=．所以01220835x x x y +=+，21220161635y x x y -=+．所以12AB x =-=)20203135y y +==+．又O 到直线AB的距离d ==所以)20200311235OABy S y +=⋅+ t =，[]1,4t ∈，则24444OAB t S t t t∆==++，又[]44,5t t+∈，所以△OAB 的面积的取值范围为4,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】关键点点睛：第二问，设点及直线PA ，PB 的方程，联立椭圆结合相切关系求参数关系，进而确定PA ，PB 的方程，由P 在直线PA ，PB 上求直线AB 的方程，再联立椭圆并应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式求三角形面积的范围.24．已知点A ，B 是抛物线x 2=2py (p 为常数且p >0)上不同于坐标原点O 的两个点，且0OA OB ⋅= .(1)求证：直线AB 过定点；(2)过点A 、B 分别作抛物线的切线，两切线相交于点M ，记 OMA 、 OAB 、 OMB 的面积分别为S 1、S 2、S 3;是否存在定值λ使得22s =λS 1S 3?若存在，求出λ值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，4λ=【解析】【分析】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线AB 方程为y kx t =+，代入抛物线方程中，消去y ，。
2023年全国卷解析几何解答题解法荟萃
2023年全国卷解析几何解答题解法荟萃上两点，0FM FN ⋅=，求2102y px −+==可得，，因为0FM FN ⋅=，所以)()(★方法2：焦半径表示面积设直线()11:,,MN x my n M x y =+,()22,N x y ,则1||2MFN S FM FN ∆=‖ ()()121112x x =++()()121112my n my n =++++()2212121(1)(1)2m y y m n y y n ⎡⎤=+++++⎣⎦2(1).n =− ，因为0FM FN ⋅=，所以)()(★方法2.斜率转化与齐次化.如图，设线段AB 垂直于x 轴，D 为AB 中点，P 为线外任意一点，则有：PD PB PA k k k 2=+.设直线PQ 的方程为(2)1m x ny ++=.因为直线PQ 过点(2,3)−.,代入得13n =.因为点,P Q 在椭圆22:9436C x y +=上，变形得229[(2)2]436x y +−+=，整理可得：229(2)36(2)40x x y +−++=.齐次化得229(2)36(2)[(2)]40, x x m x ny y +−++++=化简得22436(2)(936)(2)0.y ny x m x −++−+=等式两边同除以2(2)x +，构造斜率式得 24369360,22y y n m x x ⎛⎫−⋅+−= ⎪++⎝⎭把13n =代入得 24129360,22y y m x x ⎛⎫−⋅+−= ⎪++⎝⎭由根与系数的关系得32AQ AP AE k k k +==，其中E 为椭圆上顶点，故所以线段MN 的中点是定点()0,3. ★方法3.同构双割线设直线AP 方程为(2)y k x =+,联立22194(2)y x y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得:()2222491616360k x k x k +++−=，当0∆>时,由22163649A P k x x k −⋅=+及2A x =−得2281849P k x k −+=+ 所以22281836,4949k k P k k ⎛⎫−+ ⎪++⎝⎭，设直线PQ 为:(2)3y m x =++,代入点P 化简 得:2123636270k k m −++=同理，设直线AQ 的斜率为k '，同理得到2123636270k k m −'++=k 和k '是二次方程2123636270x x m −++=的两个根,所以3k k +'=.直线,AP AQ 的方程分别为(2),(2)y k x y k x =+='+，当0x =时,2,2M N y k y k =='，即有32M Ny y k k +=+'=，综上,MN 的中点为定点(0,3).则1,0AB BC k k a b ⋅=−+<<同理令0BC k b c n =+=>，且设矩形周长为C ,由对称性不妨设1依题意可设21,4A a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，易知直线的斜率分别为k 和1k −，由对称性，不妨设则联立2214()y x y k x a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=−++⎪⎩直线1MA 的方程为(112y y x x =+与直线2NA 的方程可得：22x x +−★方法4.消y 留x 之后的非对称处理记过点(4,0)−的直线为l .当l 与x 轴垂直时,易知点(4,(4,M N −−−,(1,P −−.当直线l 与x 轴不垂直时,设点(1M x ,)()()12200,,,,y N x y P x y ,直线:(4)l y k x =+.将(4)y k x =+代人221416x y −=,得)()2222(4816160k x k x k −−−+=.依题意,得()221212221618,. 44k k x x x x k k −++==−−设1212()x x x x λμ=++，即()22221618. 44k k k kλμ−++=−−即12x x =()12542x x −+−①. 直线1MA 的方程为()1122y y x x =++，直线2NA 的方程为()2222yy x x =−−，联立直线1MA 与直线2NA 的方程可得：()()()()()()12120021212422,2242y x x x x x y x x x −+−−==++++即01212012122248. 2428x x x x x x x x x x −−+−=++++将①代入式得0022x x −=+()1212338338x x x x −−+=−−+,即1x =−，据此可得点P 在定直线=1x −上运动.已知B A ,分别为椭圆1:222=+y ax E )1(>a 的左右顶点，G 为E 的上顶点，8=⋅→→GB AG ，点P 为直线6=x 上的动点，PA 与E 的另一个交点为C ，PB 与E 的另一个交点为D . （1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.解析：（1）E 的方程为1922=+y x . （2）假设),(),,(),,6(2211y x D y x C t P .则由P C A ,,及P D B ,,三点共线可得：33;392211−=+=x y t x y t 将上面两式相除，再平方可得：91)3()3(21222221=+−⋅x x y y ....① 由于),(),,(2211y x D y x C 均在椭圆E 上，故满足：91;9122222121x y x y −=−=...② 将②代入①可得：91)3)(3()3)(3(2121=++−−x x x x ，整理可得：0364)(152121=−−+x x x x ...③假设直线CD 的方程为m kx y +=代入椭圆方程1922=+y x 可得： 09918)19(222=−+++m kmx x k将1999,19182221221+−=+−=+k m x x k km x x 代入③中，可得：023=+m k ，于是，直线CD 的方程为k kx y 23−=，故其过定点)0,23(.解法2.设()06,P y ，则直线AP 的方程为：()()00363y y x −=+−−，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++−=，解得：3x =−或20203279y x y −+=+，将20203279y x y −+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+，所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫−+ ⎪++⎝⎭. 同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫−− ⎪++⎝⎭∴直线CD 的方程为：0022********2000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫−− ⎪++⎛⎫⎛⎫−−⎝⎭−=−⎪ ⎪−+−++⎝⎭⎝⎭−++， 整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫−−+=−=− ⎪ ⎪+++−−⎝⎭⎝⎭整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=− ⎪−−−⎝⎭，故直线CD 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭解法3.不禁思考，为何此题使用三点共线就可成功地实现了设而不求，整体代入的思想呢？关键在于对椭圆方程的理解，即所谓的第三定义：))(()1(222222x a x a ab a x b y +−=−=这样的话，在遇到与椭圆左右顶点有关的三点共线结构时，我们就可以通过斜率关系再利用点在椭圆上将))(()1(222222x a x a ab a x b y +−=−=代入斜率式，从而构造出含21x x +与21x x 的方程，整体代入完成求解.而上面这个问题有着明显的极点极线背景：从直线t x =上任意一点P 向椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点引两条割线21,PA PA 与椭圆交于N M ,两点，则直线MN 恒过定点)0,(2ta .2024届九省联考解析几何的深度探究的交点，求GMN面积的最小值．，由直线AB与直线1、x m=S=GMNS=MNG例2.过椭圆22221x y a b+=的长轴上任意一点(,0)()S s a s a −<<作两条互相垂直的弦,AB CD ，若弦,AB CD 的中点分别为,M N ，那么直线MN 恒过定点222,0a s a b ⎛⎫⎪+⎝⎭．证明：如图，设AB 的直线方程为x my s =+，则CD 的直线方程为1x y s m=−+ 联立方程组22221x my s x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()()2222222220m b a y b msy b s a +++−=则()()22222222221212222222240,,b s a msb a b m b a s y y y y m b a m b a−−∆=+−>+=⋅=++ 由中点坐标公式得22222222,a s msb M m b a m b a ⎛⎫− ⎪++⎝⎭ 将m 用1m −代换得到222222222,a sm msb N m a b m a b ⎛⎫ ⎪++⎝⎭所以MN 的直线方程为()()2222222222221a b m b sm a s y x b m a b m a a m +⎛⎫+=− ⎪++−⎝⎭令0y =，得222a sx a b =+．所以直线MN 恒过定点222,0a s a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭． 二．对点训练的斜率均存在，求FMN面积的最大值解析：（1）由题意得1c =，2c a =（2）证明：①当直线AB ，CD 有一条斜率不存在时，直线2,03P ⎛⎫⎪⎝⎭. 12FMNFPMFPNSSS=+=⨯S=FMN[2,∞+S取得最大值FMN。
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2016江西
2014全国一
2016年全国二
2014全国二
二2013全国二
2013全国一
已知三点O（0,0），A（-2,1），B（2,1），曲线C上任意一点M（x，y）满足
（1）求曲线C的方程；
（2）动点Q（x0，y0）（-2＜x0＜2）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为l 向：是否存在定点P（0，t）（t＜0），使得l与PA，PB都不相交，交点分别为D,E，且△QAB与△PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值。
若不存在，说明理由。
2011江西
2009江西
2007江西
在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2
222b y a x +=1(a ＞b ＞0)的离心率为23
，左、右焦点
分别是F 1，F 2，以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)设椭圆E ：2
2
2244b y a x +=1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交
椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ； (ⅰ)求OP
OQ 的值；
(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值.
2015江苏
如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆
+
=1（a ＞b ＞0）的离心率为
，且右焦
点F 到左准线l 的距离为3． （1）求椭圆的标准方程； （2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC=2AB ，求直线AB 的方程．
已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．
（1）求实数m的取值范围；
（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．
2015天津
已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，|FM|=．
（△）求直线FM的斜率；
（△）求椭圆的方程；
（△）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围．
2016全国三
2017浙江
2016天津
2016浙江
2016上海
2014陕西
曲线C由上半椭圆C1：y2
a2＋x2
b2＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连
接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为
3 2.
(1)求a，b的值；
(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线l 的方程．
2014天津
设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知
|AB|=|F1F2|．
（△）求椭圆的离心率；
（△）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．
2014安徽
如图，已知两条抛物线)0(2:112
1>=P x P y E 和
)0(2:2222>=P x P y E ，过原点O 的两条直线1l 和2l
1l 与21,E E 分别交于21,A A 两点，2l 与21,E E 分别交
于21,B B 两点．
（Ⅰ）证明：2211//B A B A ；（Ⅱ）过原点O 作直线l （异于1l ，2l ）与21,E E 分别交于21,C C 两点．记111C B A ∆与
222C B A ∆的面积分别为1S 与2S ，求
2
1
S S 的值．
2014福建 已知双曲线E ：
﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线分别为l 1：y=2x ，l 2：y=﹣2x ．
（1）求双曲线E 的离心率；
（2）如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点（A ，B 分别在第一、第四象限），且△OAB 的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程，若不存在，说明理由．
设函数())ln 2(2x x
k x e x f x +-=（k 为常数， 2.71828e =是自然对数的底数）
（I ）当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间； （II ）若函数()f x 在()0,2内存在两个极值点，求k 的取值范围。
2015上海
已知椭圆x 2+2y 2=1，过原点的两条直线l 1和l 2分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，记得到的平行四边形ABCD 的面积为S ．
（1）设A （x 1，y 1），C （x 2，y 2），用A 、C 的坐标表示点C 到直线l 1的距离，并证明S=2|x 1y 2﹣x 2y 1|；
（2）设l 1与l 2的斜率之积为﹣，求面积S 的值．
已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ． ()1求圆1C 的圆心坐标；
()2求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；
()3是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．
2015四川
椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b
=>>的离心率是2，过点P （0,1）的动直线l 与椭圆相交于A ，
B 两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为
(1)求椭圆E 的方程；
（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PA QB PB
=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。
2015重庆
如题图，椭圆
=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ △PF 1
（△）若|PF 1|=2+|=2﹣，求椭圆的标准方程； （△）若|PF 1|=|PQ|，求椭圆的离心率e ．
2015陕西
已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点 ，的直线的距离为． （I ）求椭圆的离心率； （II ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．
:E 22
221x y a b
+=0a b >>c O (),0c ()0,b 12
c E AB :M ()()22
5212x y ++-=
E A B
E。