年高考数学试题分类大全
年高考数学试题分类大
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LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】
2008年高考数学试题分类汇编
数列
一. 选择题:
1.(全国一5)已知等差数列{}n a 满足244a a +=,3510a a +=,则它的前10项的和10S =( C ) A .138
B .135
C .95
D .23
2.(上海卷14) 若数列{a n }是首项为1,公比为a -3
2
的无穷等比数列,且{a n }各项的和为
a ,则a 的值是(B )
A .1
B .2
C .12
D .5
4
3.(北京卷6)已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ,满足p q p q a a a +=+,且26a =-,那么10a 等于( C )
A .165-
B .33-
C .30-
D .21-
4.(四川卷7)已知等比数列()n a 中21a =,则其前3项的和3S 的取值范围是(D ) (A)(],1-∞- (B)()(),01,-∞+∞
(C)[)3,+∞ (D)(]
[),13,-∞-+∞
5.(天津卷4)若等差数列{}n a 的前5项和525S =,且23a =,则7a =B (A )12 (B )13 (C )14 (D )15
6.(江西卷5)在数列{}n a 中,12a =, 11
ln(1)n n a a n
+=++,则n a = A
A .2ln n +
B .2(1)ln n n +-
C .2ln n n +
D .1ln n n ++ 7.(陕西卷4)已知{}n a 是等差数列,124a a +=,7828a a +=,则该数列前10项和10S 等于( B ) A .64 B .100
C .110
D .120
8.(福建卷3)设{a n }是公比为正数的等比数列,若n 1=7,a 5=16,则数列{a n }前7项的和为C
B.64
9.(广东卷2)记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若11
2
a =
,420S =,则6S =( D )
A .16
B .24
C .36
D .48
10.(浙江卷6)已知{}n a 是等比数列,4
1
252==a a ,,则13221++++n n a a a a a a =C
(A )16(n --41) (B )16(n --21) (C )
332(n --41) (D )3
32
(n --21) 11.(海南卷4)设等比数列{}n a 的公比2q =,前n 项和为n S ,则
4
2
S a =( C ) A. 2
B. 4
C.
152
D.
172
二. 填空题:
1.(四川卷16)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若4510,15S S ≥≤,则4a 的最大值为______4_____。
安徽卷(14)在数列{}n a 在中,5
42n a n =-,212n a a a an bn ++
=+,*n N ∈,其中,a b 为
常数,则lim n n
n n
n a b a b →∞-+的值是 1
2.(江苏卷10)将全体正整数排成一个三角形数阵:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
. . . . . . .
按照以上排列的规律,第n 行(n ≥3)从左向右的第3 个数为 .26
2
n n -+
3.(湖北卷14)已知函数()2x f x =,等差数列{}x a 的公差为2.若246810()4f a a a a a ++++=,则212310log [()()()()]f a f a f a f a ??
?= .-6
4.(湖北卷15)观察下列等式: …………………………………… 可以推测,当x ≥2(*k N ∈)时,1111,,12k k k a a a k +-=
==+ 12
k 2k a -= .,0
5.(重庆卷14)设S n =是等差数列{a n }的前n 项和,a 12=-8,S 9=-9,则S 16= .-72
三. 解答题:
1.(全国一22).(本小题满分12分)
(注意:在试题卷上作答无效.........
)
设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<,1()n n a f a +=. (Ⅰ)证明:函数()f x 在区间(01),是增函数; (Ⅱ)证明:11n n a a +<<;
(Ⅲ)设1(1)b a ∈,
,整数11ln a b
k a b
-≥.证明:1k a b +>. 解析:
(Ⅰ)证明:()ln f x x x x =-,()()()'ln ,0,1'ln 0f x x x f x x =-∈=->当时, 故函数()f x 在区间(0,1)上是增函数;
(Ⅱ)证明:(用数学归纳法)(i )当n=1时,101a <<,11ln 0a a <,
由函数()f x 在区间(01),是增函数,且函数()f x 在1x =处连续,则()f x 在区间(01],是增函数,21111()ln 1a f a a a a ==-<,即121a a <<成立;
(ⅱ)假设当(*)x k k N =∈时,11k k a a +<<成立,即1101k k a a a +<<<≤ 那么当1n k =+时,由()f x 在区间(01],是增函数,1101k k a a a +<<<≤得
1()()(1)k k f a f a f +<<.而1()n n a f a +=,则121(),()k k k k a f a a f a +++==, 121k k a a ++<<,也就是说当1n k =+时,11n n a a +<<也成立;
根据(ⅰ)、(ⅱ)可得对任意的正整数n ,11n n a a +<<恒成立. (Ⅲ)证明:由()ln f x x x x =-.1()n n a f a +=可得
1, 若存在某i k ≤满足i a b ≤,则由⑵知:1k i a b a b +-<-≥0
2, 若对任意i k ≤都有b a i >,则k
k k k a a b a b a ln 1--=-+ b ka b a ln 11--≥)(1
1b a b a --->0=,即1k a b +>成立. 2.(全国二20).(本小题满分12分)
设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知1a a =,13n n n a S +=+,*n ∈N . (Ⅰ)设3n n n b S =-,求数列{}n b 的通项公式; (Ⅱ)若1n n a a +≥,*n ∈N ,求a 的取值范围. 解:
(Ⅰ)依题意,113n n n n n S S a S ++-==+,即123n n n S S +=+,
由此得1132(3)n n n n S S ++-=-. ··················· 4分 因此,所求通项公式为
13(3)2n n n n b S a -=-=-,*n ∈N .① ················ 6分
(Ⅱ)由①知13(3)2n n n S a -=+-,*n ∈N , 于是,当2n ≥时,
1223(3)2n n a --=?+-,
2
2
321232n n a --????=+-?? ???????
,
当2n ≥时,
9a ?-≥.
又2113a a a =+>.
综上,所求的a 的取值范围是[)9-+∞,. ·············· 12分 3.(四川卷20).(本小题满分12分)
设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知()21n n n ba b S -=- (Ⅰ)证明:当2b =时,{}12n n a n --?是等比数列; (Ⅱ)求{}n a 的通项公式 【解】:由题意知12a =,且
两式相减得()()1121n n n n b a a b a ++--=- 即12n n n a ba +=+ ①
(Ⅰ)当2b =时,由①知122n n n a a +=+ 于是()()1122212n n n n n a n a n +-+?=+-+?
又111210n a --?=≠,所以{}12n n a n --?是首项为1,公比为2的等比数列。 (Ⅱ)当2b =时,由(Ⅰ)知1122n n n a n ---?=,即()112n n a n -=+ 当2b ≠时,由由①得
因此11112222n n n n a b a b b ++??-
?==-? ?--??
得()1
21122222n n n n a b b n b -=??
=???+-≥??
?-? 4.(天津卷20)(本小题满分12分)
在数列{}n a 中,11a =,22a =,且11(1)n n n a q a qa +-=+-(2,0n q ≥≠). (Ⅰ)设1n n n b a a +=-(*n N ∈),证明{}n b 是等比数列; (Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式;
(Ⅲ)若3a 是6a 与9a 的等差中项,求q 的值,并证明:对任意的*n N ∈,n a 是3n a +与6n a +的等差中项.
本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n 项和公
式,考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法.满分12分. (Ⅰ)证明:由题设11(1)n n n a q a qa +-=+-(2n ≥),得
11()n n n n a a q a a +--=-,即1n n b qb -=,2n ≥.
又1211b a a =-=,0q ≠,所以{}n b 是首项为1,公比为q 的等比数列. (Ⅱ)解法:由(Ⅰ) 211a a -=, 32a a q -=, ……
21n n a a q --=,(2n ≥). 将以上各式相加,得211n n a a q q --++
+=(2n ≥).
所以当2n ≥时,1
1,,.
1,111n n q q q a n q
-≠=?-+
?=-???
上式对1n =显然成立.
(Ⅲ)解:由(Ⅱ),当1q =时,显然3a 不是6a 与9a 的等差中项,故1q ≠. 由3693a a a a -=-可得5228q q q q -=-,由0q ≠得3611q q -=-, ① 整理得323()20q q +-=,解得32q =-或31q =
(舍去).于是q =
另一方面,21133
(1)11n n n n n q q q a a q q q
+--+--==---,
151
66(1)11n n n n n q q q a a q q q
-+-+--=
=---. 由①可得36n n n n a a a a ++-=-,*n N ∈.
所以对任意的*n N ∈,n a 是3n a +与6n a +的等差中项. 5.(安徽卷21).(本小题满分13分)
设数列{}n a 满足3
*010,1,,n n
a a ca c c N c +==+-∈其中为实数 (Ⅰ)证明:[0,1]n a ∈对任意*n N ∈成立的充分必要条件是[0,1]c ∈;
(Ⅱ)设1
03c <<,证明:1*1(3),n n a c n N -≥-∈;
(Ⅲ)设103c <<,证明:222
*1221,13n a a a n n N c
++>+-∈-
解 (1) 必要性 :120,1a a c ==-∵∴ ,
又 2[0,1],011a c ∈≤-≤∵∴ ,即[0,1]c ∈
充分性 :设
[0,1]c ∈,对*n N ∈用数学归纳法证明[0,1]n a ∈
当1n =时,10[0,1]a =∈.假设[0,1](1)k a k ∈≥
则31111k k
a ca c c c +=+-≤+-=,且3
1110k k a ca c c +=+-≥-=≥ 1[0,1]k a +∈∴,由数学归纳法知[0,1]n a ∈对所有*n N ∈成立
(2) 设 1
03
c <<,当1n =时,10a =,结论成立
当2n ≥ 时,
103C <<∵,由(1)知1[0,1]n a -∈,所以 2
1113n n a a --++≤ 且 110n a --≥
(3) 设 103c <<,当1n =时,212
0213a c
=>--,结论成立
当2n ≥时,由(2)知11(3)0n n a c -≥->
6.(山东卷19)。(本小题满分12分)
将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表: a 1 a 2 a 3
a 4 a 5 a 6
a 7 a 8 a 9 a 10
……
记表中的第一列数a 1,a 2,a 4,a 7,…构成的数列为{b n },b 1=a 1=1. S n 为数列{b n }的前n 项和,且满足=
n
N n n
S S b b 2
2-1=(n ≥2). (Ⅰ)证明数列{
n
S 1
}成等差数列,并求数列{b n }的通项公式; (Ⅱ)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且
公比为同一个正数.当91
4
81-=a 时,求上表中第k (k ≥3)行所有项和的和.
证明:(Ⅰ)由已知,
(Ⅱ)解:设上表中从第三行起,每行的公比都为q ,且q >0.
因为 1213
121278,2
?++???+==
所以表中第1行至第12行共含有数列{a n }的前78项, 故 a 82在表中第13行第三列,
因此282134
.91a b q ==-
又 132
,1314
b =-?
所以 q =2. 记表中第k (k ≥3)行所有项的和为S ,
则(1)2(12)2
(12)1(1)12(1)
k k k k b q S q k k k k --=
==--+-+(k ≥3). 7.(江苏卷19).(Ⅰ)设12,,
,n a a a 是各项均不为零的等差数列(4n ≥),且公差
0d ≠,若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列: ①当n =4时,求1a
d
的数值;②求n 的所有可能值;
(Ⅱ)求证:对于一个给定的正整数n(n ≥4),存在一个各项及公差都不为零的等差数列
12,,
,n b b b ,其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列.
【解析】本小题主要考查等差数列与等比数列的综合运用.
(Ⅰ)①当n =4 时,1234,,,a a a a 中不可能删去首项或末项,否则等差数列中连续三项成等比数列,则推出d =0.
若删去2a ,则有2314,a a a =即()()2
11123a d a a d +=+ 化简得214a d d +=0,因为d ≠0,所以
1
a d
=4 ; 若删去3a ,则有214a a a =,即()()21113a d a a d +=+,故得1
a d
=1. 综上
1
a d
=1或-4.
②当n =5 时,12345,,,,a a a a a 中同样不可能删去首项或末项. 若删去2a ,则有15a a =34a a ,即()()()1111423a a d a d a d +=++.故得1
a d
=6 ; 若删去3a ,则15a a =24a a ,即()()()111143a a d a d a d +=++. 化简得32d =0,因为d ≠0,所以也不能删去3a ; 若删去4a ,则有15a a =23a a ,即11
1
1
42a a d
a d
a d .故得
1
a d
= 2 . 当n ≥6 时,不存在这样的等差数列.事实上,在数列1a ,2a ,3a ,…,2n a -,1n a -,n a 中,
由于不能删去首项或末项,若删去2a ,则必有1n a a =32n a a -,这与d ≠0 矛盾;同样若删 去2n a -也有1n a a =32n a a -,这与d ≠0 矛盾;若删去3a ,…,2n a - 中任意一个,则必有
1n a a =21n a a -,这与d ≠0 矛盾.
综上所述,n ∈{4,5}. (Ⅱ)略
8.(江西卷19).(本小题满分12分)
数列{}n a 为等差数列,n a 为正整数,其前n 项和为n S ,数列{}n b 为等比数列,且
113,1a b ==,数列{}n a b 是公比为64的等比数列,2264b S =.
(1)求,n n a b ; (2)求证
12
11134
n S S S +++<. 解:(1)设{}n a 的公差为d ,{}n b 的公比为q ,则d 为正整数,
3(1)n a n d =+-,1n n b q -=
依题意有1363(1)22642(6)64n n nd
a d n d a
b q q b q S b d q +++-?====?
??=+=?
①
由(6)64d q +=知q 为正有理数,故d 为6的因子1,2,3,6之一, 解①得2,8d q ==
故132(1)21,8n n n a n n b -=+-=+=
(2)35(21)(2)n S n n n =++++=+
∴
12
1111111
132435
(2)
n S S S n n +++
=++++
???+
9.(湖北卷21).(本小题满分14分)
已知数列{}n a 和{}n b 满足:1a λ=,12
4,(1)(321),3
n n n n n a a n b a n +=+-=--+其中λ为实
数,n 为正整数.
(Ⅰ)对任意实数λ,证明数列{}n a 不是等比数列; (Ⅱ)试判断数列{}n b 是否为等比数列,并证明你的结论;
(Ⅲ)设0a b <<,n S 为数列{}n b 的前n 项和.是否存在实数λ,使得对任意正整数n ,都有
n a S b <<若存在,求λ的取值范围;若不存在,说明理由.
本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思
想,考查综合分析问题的能力和推理认证能力,(满分14分)
(Ⅰ)证明:假设存在一个实数λ,使{a n }是等比数列,则有a 22=a 1a 3,即
,0949
4
9494)494()332(222=?-=+-?-=-λλλλλλλ矛盾. 所以{a n }不是等比数列.
(Ⅱ)解:因为b n +1=(-1)n +1[a n +1-3(n -1)+21]=(-1)n +1(
3
2
a n -2n +14) =
32(-1)n ·(a n -3n +21)=-3
2
b n 又b 1x -(λ+18),所以
当λ=-18,b n =0(n ∈N +),此时{b n }不是等比数列:
当λ≠-18时,b 1=(λ+18) ≠0,由上可知b n ≠0,∴3
2
1-=+n a b b (n ∈N +). 故当λ≠-18时,数列{b n }是以-(λ+18)为首项,-3
2
为公比的等比数列. (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当λ=-18,b n =0,S n =0,不满足题目要求. ∴λ≠-18,故知b n = -(λ+18)·(-
3
2)n -1
,于是可得 S n =-.321·)18(53???
??
?+n
)-(- λ 要使a
即a <-53(λ+18)·[1-(-3
2
)n ]〈b(n ∈N +)
,则
令
得
)2
(1)()3
2(1)18(5
3
)3
2(1--=--<
+-<--n f b a n
n
λ ①
当n 为正奇数时,1 ;35<≤≤n f n 为正偶数时,当 ∴f (n )的最大值为f (1)=35,f (n )的最小值为f (2)= 9 5 , 于是,由①式得95a <-53(λ+18),<.183185 3 --<<--?a b b λ 当a 当b >3a 存在实数λ,使得对任意正整数n ,都有a 10.(湖南卷18).(本小题满分12分) 数列{}2 21221,2,(1cos )sin ,1,2,3,.22 n n n n n a a a a a n ππ +===++=满足 (Ⅰ)求34,,a a 并求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设21 122,.n n n n n a b S b b b a -= =+++证明:当1 62.n n S n ≥-<时, 解: (Ⅰ)因为121,2,a a ==所以2 2 311(1cos )sin 12,2 2 a a a π π =++=+= 一般地,当*21(N )n k k =-∈时,222121(21)21 [1cos ]sin 22 k k k k a a ππ+---=++ =211k a -+,即2121 1.k k a a +--= 所以数列{}21k a -是首项为1、公差为1的等差数列,因此21.k a k -= 当*2(N )n k k =∈时,2 2222222(1cos )sin 2.22 k k k k k a a a ππ +=++= 所以数列{}2k a 是首项为2、公比为2的等比数列,因此22.k k a = 故数列{}n a 的通项公式为**21,21(N ),2 2,2(N ).n n n n k k a n k k +?=-∈?=??=∈? (Ⅱ)由(Ⅰ)知,2122,2n n n a n b a -= =23123 ,222 2n n n S =++++ ① 2241112322222 n n n S +=++++ ② ①-②得,23111111.222222n n n n S +=++++- 所以112 22.222 n n n n n n S -+=--=- 要证明当6n ≥时,12n S n -<成立,只需证明当6n ≥时,(2) 12 n n n +<成立. 证法一 (1)当n = 6时,66(62)483 12644 ?+==<成立. (2)假设当(6)n k k =≥时不等式成立,即(2) 1.2 k k k +< 则当n =k +1时, 1(1)(3)(2)(1)(3)(1)(3) 1.222(2)(2)2k k k k k k k k k k k k k k ++++++++=?<<++ 由(1)、(2)所述,当n ≥6时,2(1)12n n +<.即当n ≥6时,1 2.n S n -< 证法二 令2 (2) (6)2 n n n c n +=≥,则21121(1)(3)(2)30.222n n n n n n n n n c c ++++++--=-=< 所以当6n ≥时,1n n c c +<.因此当6n ≥时,6683 1.644 n c c ?≤= =< 于是当6n ≥时, 2 (2) 1.2 n n +< 综上所述,当6n ≥时,1 2.n S n -< 11.(陕西卷22).(本小题满分14分) 已知数列{}n a 的首项13 5 a = ,1321n n n a a a +=+,12n =,,. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)证明:对任意的0x >,21121(1)3n n a x x x ?? -- ?++?? ≥ ,12n =,,; (Ⅲ)证明:2 121 n n a a a n ++ +>+. 解法一:(Ⅰ)1321n n n a a a +=+,112133n n a a +∴=+,1111 113n n a a +??∴ -=- ???, 又 1213n a -=,11n a ??∴- ??? 是以23为首项,1 3为公比的等比数列. ∴11212 1333n n n a --==,332n n n a ∴=+. (Ⅱ)由(Ⅰ)知3032 n n n a =>+, 2 111n n n a a a x ??=--+ ?+??n a ≤,∴原不等式成立. (Ⅲ)由(Ⅱ)知,对任意的0x >,有 2212221(1)33 3n n nx x x ?? = -+++ - ?++?? . ∴取2211122 211331133 3313n n n x n n n ??- ???????= +++==- ? ??????? - ??? , 则22 12111111133n n n n n n a a a n n n ++ +=> +?? +-+- ??? ≥. ∴原不等式成立. 解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)设2112()1(1)3n f x x x x ??= -- ?++?? , 则2222 22(1)2(1)2133()(1)(1)(1)n n x x x x f x x x x ???? -+--+- ? ?????'=- -=+++ 0x >, ∴当23n x <时,()0f x '>;当2 3 n x >时,()0f x '<, ∴当2 3 n x = 时,()f x 取得最大值212313n n n f a ?? == ???+. ∴原不等式成立. (Ⅲ)同解法一. 12.(重庆卷22)(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分.) 设各项均为正数的数列{a n }满足32 112 2,(N*)n a a a a a a n ++==∈. (Ⅰ)若21 4 a = ,求a 3,a 4,并猜想a 2cos 的值(不需证明); (Ⅱ)记32(N*),n n n b a a a n b =∈≥若n ≥2恒成立,求a 2的值及数列{b n }的通项 公式. 解:(Ⅰ)因2122,2,a a -==故 由此有0 2 2 3 (2)(2)(2)(2)12342,2,2,2a a a a ----====,故猜想n a 的通项为 (Ⅱ)令2log ,2.n S n n n n n x a S x n b ==表示的前项和,则 由题设知x 1=1且 *123 (N );2 n n n x x x n ++=+∈ ① 123 (2).2n n S x x x n =+++≥≥ ② 因②式对n =2成立,有1213 ,12x x x ≤+=又得 21 .2x ≥ ③ 下用反证法证明:2211 ..22 x x ≤>假设 由①得2121131 2()(2).22 n n n n n n x x x x x x ++++++=+++ 因此数列12n n x x ++是首项为22x +,公比为1 2 的等比数列.故 *121111 ()(N ).222n n n x x x n +--=-∈ ④ 又由①知 211111311 ()2(),2222 n x n n n n n x x x x x x x +++++-=--=-- 因此是112n n x x +-是首项为21 2 x -,公比为-2的等比数列,所以 1*1211 ()(2)(N ).22 n n n x x x n -+-=--∈ ⑤ 由④-⑤得 1*221511 (2)()(2)(N ).222 n n n S x x n --=+---∈ ⑥ 对n 求和得 2*2215111(2)(2)(2)()(N ).2223 n n x x x n ---=+---∈ ⑦ 由题设知21231 ,22 k S x +≥>且由反证假设有 即不等式22k +1< 22364112 x x + -- 对k ∈N *恒成立.但这是不可能的,矛盾. 因此x 2≤12,结合③式知x 2=12 ,因此a 2=2*2 将x 2=1 2代入⑦式得 S n =2-11 2 n -(n ∈N*), 所以b n =2S n =22- 112n -(n ∈N*) 13.(广东卷21).(本小题满分12分) 设p q ,为实数,αβ,是方程20x px q -+=的两个实根,数列{}n x 满足1x p =, 22x p q =-,12n n n x px qx --=-(34n =,, …).(1)证明:p αβ+=,q αβ=;(2)求数列{}n x 的通项公式; (3)若1p =,1 4 q = ,求{}n x 的前n 项和n S . 【解析】(1)由求根公式,不妨设<αβ ,得== αβ ∴+==p αβ ,==q αβ (2)设112()----=-n n n n x sx t x sx ,则12()--=+-n n n x s t x stx ,由12n n n x px qx --=-得 +=??=? s t p st q , 消去t ,得20-+=s ps q ,∴s 是方程20x px q -+=的根,由题意可知,12,==s s αβ ①当≠αβ时,此时方程组+=??=?s t p st q 的解记为1212==????==??s s t t ααββ或 即{}11--n n x t x 、{}21--n n x t x 分别是公比为1=s α、2=s β的等比数列, 由等比数列性质可得2121()---=-n n n x x x x ααβ,2121()---=-n n n x x x x ββα, 两式相减,得2212121()()()----=---n n n x x x x x βααββα 221,=-=x p q x p ,222∴=++x αβαβ,1=+x αβ 22221()--∴-==n n n x x αββββ,22221()---==n n n x x βαααα 1()-∴-=-n n n x βαβα,即1--∴=-n n n x βαβα,11 ++-∴=-n n n x βαβα ②当=αβ时,即方程20x px q -+=有重根,240∴-=p q , 即2()40+-=s t st ,得2()0,-=∴=s t s t ,不妨设==s t α,由①可知 2121()---=-n n n x x x x ααβ,=αβ,2121()--∴-=-=n n n n x x x x αααα 即1-∴=+n n n x x αα,等式两边同时除以n α,得 1 1 1--= +n n n n x x αα,即 1 1 1--- =n n n n x x αα ∴数列{ }n n x α 是以1为公差的等差数列, 1 2(1)111∴ = +-?= +-=+n n x x n n n α α α α ,∴=+n n n x n αα 综上所述,11 ,(),()++?-≠? =-??+=? n n n n n x n βααββααααβ (3)把1p =,14q = 代入20x px q -+=,得2104-+=x x ,解得12 ==αβ 14.(浙江卷22)(本题14分) 已知数列{}n a ,0≥n a ,01=a ,)(12 121?++∈=-+N n a a a n n n .记 n n a a a S +++= 21.) 1()1)(1(1 )1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++= . 求证:当?∈N n 时, (Ⅰ)1+ 本题主要考查数列的递推关系,数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能,同时考 查逻辑推理能力.满分14分. (Ⅰ)证明:用数学归纳法证明. ①当1n =时,因为2a 是方程210x x +-=的正根,所以12a a <. ②假设当*()n k k =∈N 时,1k k a a +<, 因为221k k a a +-222211(1)(1)k k k k a a a a ++++=+--+- 2121()(1)k k k k a a a a ++++=-++, 所以12k k a a ++<. 即当1n k =+时,1n n a a +<也成立. 根据①和②,可知1n n a a +<对任何*n ∈N 都成立. (Ⅱ)证明:由22111k k k a a a +++-=,121k n =-,,,(2n ≥), 得2 2231()(1)n n a a a a n a ++++--=. 因为10a =,所以2 1n n S n a =--. 由1n n a a +<及2 211121n n n a a a ++=+-<得1n a <, 所以2n S n >-. (Ⅲ)证明:由221112k k k k a a a a +++=+≥,得 所以 2342 1 (3)(1)(1)(1) 2n n n a a a a a a -+++≤ ≥, 于是 2222 23221 1 (3)(1)(1) (1) 2()22 n n n n n n a a n a a a a a ---=<++++≤ ≥, 故当3n ≥时,2 1 11132 2n n T -<+++ + <, 又因为123T T T <<, 所以3n T <. 15.(辽宁卷21).(本小题满分12分) 在数列||n a ,||n b 中,a 1=2,b 1=4,且1n n n a b a +,,成等差数列,11n n n b a b ++,,成等比数列(n ∈*N ) (Ⅰ)求a 2,a 3,a 4及b 2,b 3,b 4,由此猜测||n a ,||n b 的通项公式,并证明你的结论; (Ⅱ)证明: 11221115 12 n n a b a b a b +++<+++…. 本小题主要考查等差数列,等比数列,数学归纳法,不等式等基础知识,考查综合 运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力.满分12分. 解:(Ⅰ)由条件得2 1112n n n n n n b a a a b b +++=+=, 由此可得 2233446912162025a b a b a b ======,,,,,. ·········· 2分 猜测2(1)(1)n n a n n b n =+=+,. ·················· 4分 用数学归纳法证明: ①当n =1时,由上可得结论成立. ②假设当n =k 时,结论成立,即 2(1)(1)k k a k k b k =+=+,, 那么当n =k +1时, 22 221122(1)(1)(1)(2)(2)k k k k k k a a b a k k k k k b k b +++=-=+-+=++==+,. 所以当n =k +1时,结论也成立. 由①②,可知2(1)(1)n n a n n b n =++,对一切正整数都成立. ······ 7分 (Ⅱ) 11115 612 a b =<+. n ≥2时,由(Ⅰ)知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+. ········ 9分 故 112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ?? +++<++++ ?+++??+?? …… 综上,原不等式成立. ····················· 12分