年高考数学试题分类大全

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2008年高考数学试题分类汇编

数列

一. 选择题:

1.(全国一5)已知等差数列{}n a 满足244a a +=,3510a a +=,则它的前10项的和10S =( C ) A .138

B .135

C .95

D .23

2.(上海卷14) 若数列{a n }是首项为1,公比为a -3

2

的无穷等比数列,且{a n }各项的和为

a ,则a 的值是(B )

A .1

B .2

C .12

D .5

4

3.(北京卷6)已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ,满足p q p q a a a +=+,且26a =-,那么10a 等于( C )

A .165-

B .33-

C .30-

D .21-

4.(四川卷7)已知等比数列()n a 中21a =,则其前3项的和3S 的取值范围是(D ) (A)(],1-∞- (B)()(),01,-∞+∞

(C)[)3,+∞ (D)(]

[),13,-∞-+∞

5.(天津卷4)若等差数列{}n a 的前5项和525S =,且23a =,则7a =B (A )12 (B )13 (C )14 (D )15

6.(江西卷5)在数列{}n a 中,12a =, 11

ln(1)n n a a n

+=++,则n a = A

A .2ln n +

B .2(1)ln n n +-

C .2ln n n +

D .1ln n n ++ 7.(陕西卷4)已知{}n a 是等差数列,124a a +=,7828a a +=,则该数列前10项和10S 等于( B ) A .64 B .100

C .110

D .120

8.(福建卷3)设{a n }是公比为正数的等比数列,若n 1=7,a 5=16,则数列{a n }前7项的和为C

B.64

9.(广东卷2)记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若11

2

a =

,420S =,则6S =( D )

A .16

B .24

C .36

D .48

10.(浙江卷6)已知{}n a 是等比数列,4

1

252==a a ,,则13221++++n n a a a a a a =C

(A )16(n --41) (B )16(n --21) (C )

332(n --41) (D )3

32

(n --21) 11.(海南卷4)设等比数列{}n a 的公比2q =,前n 项和为n S ,则

4

2

S a =( C ) A. 2

B. 4

C.

152

D.

172

二. 填空题:

1.(四川卷16)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若4510,15S S ≥≤,则4a 的最大值为______4_____。

安徽卷(14)在数列{}n a 在中,5

42n a n =-,212n a a a an bn ++

=+,*n N ∈,其中,a b 为

常数,则lim n n

n n

n a b a b →∞-+的值是 1

2.(江苏卷10)将全体正整数排成一个三角形数阵:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

. . . . . . .

按照以上排列的规律,第n 行(n ≥3)从左向右的第3 个数为 .26

2

n n -+

3.(湖北卷14)已知函数()2x f x =,等差数列{}x a 的公差为2.若246810()4f a a a a a ++++=,则212310log [()()()()]f a f a f a f a ??

?= .-6

4.(湖北卷15)观察下列等式: …………………………………… 可以推测,当x ≥2(*k N ∈)时,1111,,12k k k a a a k +-=

==+ 12

k 2k a -= .,0

5.(重庆卷14)设S n =是等差数列{a n }的前n 项和,a 12=-8,S 9=-9,则S 16= .-72

三. 解答题:

1.(全国一22).(本小题满分12分)

(注意:在试题卷上作答无效.........

设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<,1()n n a f a +=. (Ⅰ)证明:函数()f x 在区间(01),是增函数; (Ⅱ)证明:11n n a a +<<;

(Ⅲ)设1(1)b a ∈,

,整数11ln a b

k a b

-≥.证明:1k a b +>. 解析:

(Ⅰ)证明:()ln f x x x x =-,()()()'ln ,0,1'ln 0f x x x f x x =-∈=->当时, 故函数()f x 在区间(0,1)上是增函数;

(Ⅱ)证明:(用数学归纳法)(i )当n=1时,101a <<,11ln 0a a <,

由函数()f x 在区间(01),是增函数,且函数()f x 在1x =处连续,则()f x 在区间(01],是增函数,21111()ln 1a f a a a a ==-<,即121a a <<成立;

(ⅱ)假设当(*)x k k N =∈时,11k k a a +<<成立,即1101k k a a a +<<<≤ 那么当1n k =+时,由()f x 在区间(01],是增函数,1101k k a a a +<<<≤得

1()()(1)k k f a f a f +<<.而1()n n a f a +=,则121(),()k k k k a f a a f a +++==, 121k k a a ++<<,也就是说当1n k =+时,11n n a a +<<也成立;

根据(ⅰ)、(ⅱ)可得对任意的正整数n ,11n n a a +<<恒成立. (Ⅲ)证明:由()ln f x x x x =-.1()n n a f a +=可得

1, 若存在某i k ≤满足i a b ≤,则由⑵知:1k i a b a b +-<-≥0

2, 若对任意i k ≤都有b a i >,则k

k k k a a b a b a ln 1--=-+ b ka b a ln 11--≥)(1

1b a b a --->0=,即1k a b +>成立. 2.(全国二20).(本小题满分12分)

设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知1a a =,13n n n a S +=+,*n ∈N . (Ⅰ)设3n n n b S =-,求数列{}n b 的通项公式; (Ⅱ)若1n n a a +≥,*n ∈N ,求a 的取值范围. 解:

(Ⅰ)依题意,113n n n n n S S a S ++-==+,即123n n n S S +=+,

由此得1132(3)n n n n S S ++-=-. ··················· 4分 因此,所求通项公式为

13(3)2n n n n b S a -=-=-,*n ∈N .① ················ 6分

(Ⅱ)由①知13(3)2n n n S a -=+-,*n ∈N , 于是,当2n ≥时,

1223(3)2n n a --=?+-,

2

2

321232n n a --????=+-?? ???????

当2n ≥时,

9a ?-≥.

又2113a a a =+>.

综上,所求的a 的取值范围是[)9-+∞,. ·············· 12分 3.(四川卷20).(本小题满分12分)

设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知()21n n n ba b S -=- (Ⅰ)证明:当2b =时,{}12n n a n --?是等比数列; (Ⅱ)求{}n a 的通项公式 【解】:由题意知12a =,且

两式相减得()()1121n n n n b a a b a ++--=- 即12n n n a ba +=+ ①

(Ⅰ)当2b =时,由①知122n n n a a +=+ 于是()()1122212n n n n n a n a n +-+?=+-+?

又111210n a --?=≠,所以{}12n n a n --?是首项为1,公比为2的等比数列。 (Ⅱ)当2b =时,由(Ⅰ)知1122n n n a n ---?=,即()112n n a n -=+ 当2b ≠时,由由①得

因此11112222n n n n a b a b b ++??-

?==-? ?--??

得()1

21122222n n n n a b b n b -=??

=???+-≥??

?-? 4.(天津卷20)(本小题满分12分)

在数列{}n a 中,11a =,22a =,且11(1)n n n a q a qa +-=+-(2,0n q ≥≠). (Ⅰ)设1n n n b a a +=-(*n N ∈),证明{}n b 是等比数列; (Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式;

(Ⅲ)若3a 是6a 与9a 的等差中项,求q 的值,并证明:对任意的*n N ∈,n a 是3n a +与6n a +的等差中项.

本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n 项和公

式,考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法.满分12分. (Ⅰ)证明:由题设11(1)n n n a q a qa +-=+-(2n ≥),得

11()n n n n a a q a a +--=-,即1n n b qb -=,2n ≥.

又1211b a a =-=,0q ≠,所以{}n b 是首项为1,公比为q 的等比数列. (Ⅱ)解法:由(Ⅰ) 211a a -=, 32a a q -=, ……

21n n a a q --=,(2n ≥). 将以上各式相加,得211n n a a q q --++

+=(2n ≥).

所以当2n ≥时,1

1,,.

1,111n n q q q a n q

-≠=?-+

?=-???

上式对1n =显然成立.

(Ⅲ)解:由(Ⅱ),当1q =时,显然3a 不是6a 与9a 的等差中项,故1q ≠. 由3693a a a a -=-可得5228q q q q -=-,由0q ≠得3611q q -=-, ① 整理得323()20q q +-=,解得32q =-或31q =

(舍去).于是q =

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另一方面,21133

(1)11n n n n n q q q a a q q q

+--+--==---,

151

66(1)11n n n n n q q q a a q q q

-+-+--=

=---. 由①可得36n n n n a a a a ++-=-,*n N ∈.

所以对任意的*n N ∈,n a 是3n a +与6n a +的等差中项. 5.(安徽卷21).(本小题满分13分)

设数列{}n a 满足3

*010,1,,n n

a a ca c c N c +==+-∈其中为实数 (Ⅰ)证明:[0,1]n a ∈对任意*n N ∈成立的充分必要条件是[0,1]c ∈;

(Ⅱ)设1

03c <<,证明:1*1(3),n n a c n N -≥-∈;

(Ⅲ)设103c <<,证明:222

*1221,13n a a a n n N c

++>+-∈-

解 (1) 必要性 :120,1a a c ==-∵∴ ,

又 2[0,1],011a c ∈≤-≤∵∴ ,即[0,1]c ∈

充分性 :设

[0,1]c ∈,对*n N ∈用数学归纳法证明[0,1]n a ∈

当1n =时,10[0,1]a =∈.假设[0,1](1)k a k ∈≥

则31111k k

a ca c c c +=+-≤+-=,且3

1110k k a ca c c +=+-≥-=≥ 1[0,1]k a +∈∴,由数学归纳法知[0,1]n a ∈对所有*n N ∈成立

(2) 设 1

03

c <<,当1n =时,10a =,结论成立

当2n ≥ 时,

103C <<∵,由(1)知1[0,1]n a -∈,所以 2

1113n n a a --++≤ 且 110n a --≥

(3) 设 103c <<,当1n =时,212

0213a c

=>--,结论成立

当2n ≥时,由(2)知11(3)0n n a c -≥->

6.(山东卷19)。(本小题满分12分)

将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表: a 1 a 2 a 3

a 4 a 5 a 6

a 7 a 8 a 9 a 10

……

记表中的第一列数a 1,a 2,a 4,a 7,…构成的数列为{b n },b 1=a 1=1. S n 为数列{b n }的前n 项和,且满足=

n

N n n

S S b b 2

2-1=(n ≥2). (Ⅰ)证明数列{

n

S 1

}成等差数列,并求数列{b n }的通项公式; (Ⅱ)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且

公比为同一个正数.当91

4

81-=a 时,求上表中第k (k ≥3)行所有项和的和.

证明:(Ⅰ)由已知,

(Ⅱ)解:设上表中从第三行起,每行的公比都为q ,且q >0.

因为 1213

121278,2

?++???+==

所以表中第1行至第12行共含有数列{a n }的前78项, 故 a 82在表中第13行第三列,

因此282134

.91a b q ==-

又 132

,1314

b =-?

所以 q =2. 记表中第k (k ≥3)行所有项的和为S ,

则(1)2(12)2

(12)1(1)12(1)

k k k k b q S q k k k k --=

==--+-+(k ≥3). 7.(江苏卷19).(Ⅰ)设12,,

,n a a a 是各项均不为零的等差数列(4n ≥),且公差

0d ≠,若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列: ①当n =4时,求1a

d

的数值;②求n 的所有可能值;

(Ⅱ)求证:对于一个给定的正整数n(n ≥4),存在一个各项及公差都不为零的等差数列

12,,

,n b b b ,其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列.

【解析】本小题主要考查等差数列与等比数列的综合运用.

(Ⅰ)①当n =4 时,1234,,,a a a a 中不可能删去首项或末项,否则等差数列中连续三项成等比数列,则推出d =0.

若删去2a ,则有2314,a a a =即()()2

11123a d a a d +=+ 化简得214a d d +=0,因为d ≠0,所以

1

a d

=4 ; 若删去3a ,则有214a a a =,即()()21113a d a a d +=+,故得1

a d

=1. 综上

1

a d

=1或-4.

②当n =5 时,12345,,,,a a a a a 中同样不可能删去首项或末项. 若删去2a ,则有15a a =34a a ,即()()()1111423a a d a d a d +=++.故得1

a d

=6 ; 若删去3a ,则15a a =24a a ,即()()()111143a a d a d a d +=++. 化简得32d =0,因为d ≠0,所以也不能删去3a ; 若删去4a ,则有15a a =23a a ,即11

1

1

42a a d

a d

a d .故得

1

a d

= 2 . 当n ≥6 时,不存在这样的等差数列.事实上,在数列1a ,2a ,3a ,…,2n a -,1n a -,n a 中,

由于不能删去首项或末项,若删去2a ,则必有1n a a =32n a a -,这与d ≠0 矛盾;同样若删 去2n a -也有1n a a =32n a a -,这与d ≠0 矛盾;若删去3a ,…,2n a - 中任意一个,则必有

1n a a =21n a a -,这与d ≠0 矛盾.

综上所述,n ∈{4,5}. (Ⅱ)略

8.(江西卷19).(本小题满分12分)

数列{}n a 为等差数列,n a 为正整数,其前n 项和为n S ,数列{}n b 为等比数列,且

113,1a b ==,数列{}n a b 是公比为64的等比数列,2264b S =.

(1)求,n n a b ; (2)求证

12

11134

n S S S +++<. 解:(1)设{}n a 的公差为d ,{}n b 的公比为q ,则d 为正整数,

3(1)n a n d =+-,1n n b q -=

依题意有1363(1)22642(6)64n n nd

a d n d a

b q q b q S b d q +++-?====?

??=+=?

由(6)64d q +=知q 为正有理数,故d 为6的因子1,2,3,6之一, 解①得2,8d q ==

故132(1)21,8n n n a n n b -=+-=+=

(2)35(21)(2)n S n n n =++++=+

12

1111111

132435

(2)

n S S S n n +++

=++++

???+

9.(湖北卷21).(本小题满分14分)

已知数列{}n a 和{}n b 满足:1a λ=,12

4,(1)(321),3

n n n n n a a n b a n +=+-=--+其中λ为实

数,n 为正整数.

(Ⅰ)对任意实数λ,证明数列{}n a 不是等比数列; (Ⅱ)试判断数列{}n b 是否为等比数列,并证明你的结论;

(Ⅲ)设0a b <<,n S 为数列{}n b 的前n 项和.是否存在实数λ,使得对任意正整数n ,都有

n a S b <<若存在,求λ的取值范围;若不存在,说明理由.

本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思

想,考查综合分析问题的能力和推理认证能力,(满分14分)

(Ⅰ)证明:假设存在一个实数λ,使{a n }是等比数列,则有a 22=a 1a 3,即

,0949

4

9494)494()332(222=?-=+-?-=-λλλλλλλ矛盾. 所以{a n }不是等比数列.

(Ⅱ)解:因为b n +1=(-1)n +1[a n +1-3(n -1)+21]=(-1)n +1(

3

2

a n -2n +14) =

32(-1)n ·(a n -3n +21)=-3

2

b n 又b 1x -(λ+18),所以

当λ=-18,b n =0(n ∈N +),此时{b n }不是等比数列:

当λ≠-18时,b 1=(λ+18) ≠0,由上可知b n ≠0,∴3

2

1-=+n a b b (n ∈N +). 故当λ≠-18时,数列{b n }是以-(λ+18)为首项,-3

2

为公比的等比数列. (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当λ=-18,b n =0,S n =0,不满足题目要求. ∴λ≠-18,故知b n = -(λ+18)·(-

3

2)n -1

,于是可得 S n =-.321·)18(53???

??

?+n

)-(- λ 要使a

即a <-53(λ+18)·[1-(-3

2

)n ]〈b(n ∈N +)

,则

)2

(1)()3

2(1)18(5

3

)3

2(1--=--<

+-<--n f b a n

n

λ ①

当n 为正奇数时,1

;35<≤≤n f n 为正偶数时,当

∴f (n )的最大值为f (1)=35,f (n )的最小值为f (2)= 9

5

,

于是,由①式得95a <-53(λ+18),<.183185

3

--<<--?a b b λ

当a

当b >3a 存在实数λ,使得对任意正整数n ,都有a

10.(湖南卷18).(本小题满分12分) 数列{}2

21221,2,(1cos )sin ,1,2,3,.22

n n n n n a a a a a n ππ

+===++=满足

(Ⅰ)求34,,a a 并求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设21

122,.n n n n n

a b S b b b a -=

=+++证明:当1

62.n n S n

≥-<时,

解: (Ⅰ)因为121,2,a a ==所以2

2

311(1cos )sin 12,2

2

a a a π

π

=++=+=

一般地,当*21(N )n k k =-∈时,222121(21)21

[1cos ]sin 22

k k k k a a ππ+---=++ =211k a -+,即2121 1.k k a a +--=

所以数列{}21k a -是首项为1、公差为1的等差数列,因此21.k a k -= 当*2(N )n k k =∈时,2

2222222(1cos )sin 2.22

k k k k k a a a ππ

+=++= 所以数列{}2k a 是首项为2、公比为2的等比数列,因此22.k k a =

故数列{}n a 的通项公式为**21,21(N ),2

2,2(N ).n n n n k k a n k k +?=-∈?=??=∈?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,2122,2n n n a n b a -=

=23123

,222

2n n

n

S =++++

2241112322222

n n n

S +=++++ ② ①-②得,23111111.222222n n n n

S +=++++-

所以112

22.222

n n n n n n S -+=--=-

要证明当6n ≥时,12n S n -<成立,只需证明当6n ≥时,(2)

12

n

n n +<成立. 证法一

(1)当n = 6时,66(62)483

12644

?+==<成立.

(2)假设当(6)n k k =≥时不等式成立,即(2)

1.2

k

k k +< 则当n =k +1时,

1(1)(3)(2)(1)(3)(1)(3)

1.222(2)(2)2k k

k k k k k k k k k k k k

++++++++=?<<++ 由(1)、(2)所述,当n ≥6时,2(1)12n n +<.即当n ≥6时,1

2.n

S n

-< 证法二

令2

(2)

(6)2

n n n c n +=≥,则21121(1)(3)(2)30.222n n n n n n n n n c c ++++++--=-=< 所以当6n ≥时,1n n c c +<.因此当6n ≥时,6683

1.644

n c c ?≤=

=< 于是当6n ≥时,

2

(2)

1.2

n n +< 综上所述,当6n ≥时,1

2.n S n

-<

11.(陕西卷22).(本小题满分14分)

已知数列{}n a 的首项13

5

a =

,1321n n n a a a +=+,12n =,,.

(Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)证明:对任意的0x >,21121(1)3n n a x x x ??

-- ?++??

,12n =,,; (Ⅲ)证明:2

121

n n a a a n ++

+>+.

解法一:(Ⅰ)1321n n n a a a +=+,112133n n a a +∴=+,1111

113n n a a +??∴

-=- ???, 又

1213n a -=,11n a ??∴- ???

是以23为首项,1

3为公比的等比数列.

∴11212

1333n n n a --==,332n n n a ∴=+.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知3032

n

n n

a =>+, 2

111n n n a a a x ??=--+ ?+??n a ≤,∴原不等式成立.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,对任意的0x >,有

2212221(1)33

3n n nx x x ??

=

-+++

- ?++??

. ∴取2211122

211331133

3313n n n x n n n ??- ???????=

+++==- ? ???????

- ???

则22

12111111133n n

n n n n a a a n n n ++

+=>

+??

+-+- ???

≥. ∴原不等式成立.

解法二:(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)设2112()1(1)3n f x x x x ??=

-- ?++??

, 则2222

22(1)2(1)2133()(1)(1)(1)n n x x x x f x x x x ????

-+--+- ? ?????'=-

-=+++ 0x >, ∴当23n x <时,()0f x '>;当2

3

n x >时,()0f x '<,

∴当2

3

n x =

时,()f x 取得最大值212313n n n

f a ??

== ???+.

∴原不等式成立. (Ⅲ)同解法一.

12.(重庆卷22)(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分.)

设各项均为正数的数列{a n }满足32

112

2,(N*)n a a a a a a

n ++==∈.

(Ⅰ)若21

4

a =

,求a 3,a 4,并猜想a 2cos 的值(不需证明);

(Ⅱ)记32(N*),n n n b a a a n b =∈≥若n ≥2恒成立,求a 2的值及数列{b n }的通项

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公式.

解:(Ⅰ)因2122,2,a a -==故

由此有0

2

2

3

(2)(2)(2)(2)12342,2,2,2a a a a ----====,故猜想n a 的通项为 (Ⅱ)令2log ,2.n S n n n n n x a S x n b ==表示的前项和,则

由题设知x 1=1且

*123

(N );2

n n n x x x n ++=+∈ ①

123

(2).2n n S x x x n =+++≥≥ ②

因②式对n =2成立,有1213

,12x x x ≤+=又得

21

.2x ≥ ③

下用反证法证明:2211

..22

x x ≤>假设

由①得2121131

2()(2).22

n n n n n n x x x x x x ++++++=+++

因此数列12n n x x ++是首项为22x +,公比为1

2

的等比数列.故

*121111

()(N ).222n n n x x x n +--=-∈ ④

又由①知 211111311

()2(),2222

n x n n n n n x x x x x x x +++++-=--=--

因此是112n n x x +-是首项为21

2

x -,公比为-2的等比数列,所以

1*1211

()(2)(N ).22

n n n x x x n -+-=--∈ ⑤

由④-⑤得

1*221511

(2)()(2)(N ).222

n n n S x x n --=+---∈ ⑥

对n 求和得

2*2215111(2)(2)(2)()(N ).2223

n n x x x n ---=+---∈ ⑦

由题设知21231

,22

k S x +≥>且由反证假设有

即不等式22k +1<

22364112

x x +

--

对k ∈N *恒成立.但这是不可能的,矛盾.

因此x 2≤12,结合③式知x 2=12

,因此a 2=2*2

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将x 2=1

2代入⑦式得

S n =2-11

2

n -(n ∈N*),

所以b n =2S n =22-

112n -(n ∈N*)

13.(广东卷21).(本小题满分12分)

设p q ,为实数,αβ,是方程20x px q -+=的两个实根,数列{}n x 满足1x p =,

22x p q =-,12n n n x px qx --=-(34n =,,

…).(1)证明:p αβ+=,q αβ=;(2)求数列{}n x 的通项公式; (3)若1p =,1

4

q =

,求{}n x 的前n 项和n S . 【解析】(1)由求根公式,不妨设<αβ

,得==

αβ

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∴+==p αβ

,==q αβ

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(2)设112()----=-n n n n x sx t x sx ,则12()--=+-n n n x s t x stx ,由12n n n x px qx --=-得

+=??=?

s t p

st q , 消去t ,得20-+=s ps q ,∴s 是方程20x px q -+=的根,由题意可知,12,==s s αβ

①当≠αβ时,此时方程组+=??=?s t p

st q 的解记为1212==????==??s s t t ααββ或 即{}11--n n x t x 、{}21--n n x t x 分别是公比为1=s α、2=s β的等比数列, 由等比数列性质可得2121()---=-n n n x x x x ααβ,2121()---=-n n n x x x x ββα, 两式相减,得2212121()()()----=---n n n x x x x x βααββα

221,=-=x p q x p ,222∴=++x αβαβ,1=+x αβ 22221()--∴-==n n n x x αββββ,22221()---==n n n x x βαααα

1()-∴-=-n

n

n x βαβα,即1--∴=-n n n x βαβα,11

++-∴=-n n n x βαβα

②当=αβ时,即方程20x px q -+=有重根,240∴-=p q , 即2()40+-=s t st ,得2()0,-=∴=s t s t ,不妨设==s t α,由①可知

2121()---=-n n n x x x x ααβ,=αβ,2121()--∴-=-=n n n n x x x x αααα

即1-∴=+n n n x x αα,等式两边同时除以n α,得

1

1

1--=

+n

n n

n x x αα,即

1

1

1---

=n

n n

n x x αα

∴数列{

}n

n

x α

是以1为公差的等差数列,

1

2(1)111∴

=

+-?=

+-=+n

n

x x n n n α

α

α

α

,∴=+n n n x n αα

综上所述,11

,(),()++?-≠?

=-??+=?

n n n n n x n βααββααααβ

(3)把1p =,14q =

代入20x px q -+=,得2104-+=x x ,解得12

==αβ 14.(浙江卷22)(本题14分)

已知数列{}n a ,0≥n a ,01=a ,)(12

121?++∈=-+N n a a a n n n .记

n n a a a S +++= 21.)

1()1)(1(1

)1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++=

. 求证:当?∈N n 时, (Ⅰ)1+n S n ; (Ⅲ)3

本题主要考查数列的递推关系,数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能,同时考

查逻辑推理能力.满分14分. (Ⅰ)证明:用数学归纳法证明.

①当1n =时,因为2a 是方程210x x +-=的正根,所以12a a <. ②假设当*()n k k =∈N 时,1k k a a +<, 因为221k k a a +-222211(1)(1)k k k k a a a a ++++=+--+- 2121()(1)k k k k a a a a ++++=-++,

所以12k k a a ++<.

即当1n k =+时,1n n a a +<也成立.

根据①和②,可知1n n a a +<对任何*n ∈N 都成立.

(Ⅱ)证明:由22111k k k a a a +++-=,121k n =-,,,(2n ≥),

得2

2231()(1)n

n a a a a n a ++++--=.

因为10a =,所以2

1n n S n a =--.

由1n n a a +<及2

211121n n

n a a a ++=+-<得1n a <, 所以2n S n >-. (Ⅲ)证明:由221112k k k k a a a a +++=+≥,得 所以

2342

1

(3)(1)(1)(1)

2n n n a a a a a a -+++≤

≥,

于是

2222

23221

1

(3)(1)(1)

(1)

2()22

n n n n n n a a n a a a a a ---=<++++≤

≥, 故当3n ≥时,2

1

11132

2n n T -<+++

+

<,

又因为123T T T <<, 所以3n T <. 15.(辽宁卷21).(本小题满分12分)

在数列||n a ,||n b 中,a 1=2,b 1=4,且1n n n a b a +,,成等差数列,11n n n b a b ++,,成等比数列(n ∈*N )

(Ⅰ)求a 2,a 3,a 4及b 2,b 3,b 4,由此猜测||n a ,||n b 的通项公式,并证明你的结论; (Ⅱ)证明:

11221115

12

n n a b a b a b +++<+++…. 本小题主要考查等差数列,等比数列,数学归纳法,不等式等基础知识,考查综合

运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力.满分12分.

解:(Ⅰ)由条件得2

1112n n n n n n b a a a b b +++=+=,

由此可得

2233446912162025a b a b a b ======,,,,,. ·········· 2分

猜测2(1)(1)n n a n n b n =+=+,. ·················· 4分 用数学归纳法证明:

①当n =1时,由上可得结论成立. ②假设当n =k 时,结论成立,即

2(1)(1)k k a k k b k =+=+,,

那么当n =k +1时,

22

221122(1)(1)(1)(2)(2)k

k k k k k

a a

b a k k k k k b k b +++=-=+-+=++==+,.

所以当n =k +1时,结论也成立.

由①②,可知2(1)(1)n n a n n b n =++,对一切正整数都成立. ······ 7分 (Ⅱ)

11115

612

a b =<+. n ≥2时,由(Ⅰ)知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+. ········ 9分 故

112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ??

+++<++++ ?+++??+??

…… 综上,原不等式成立. ····················· 12分

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