三视图和直观图(含答案)

空间几何体的三视图和直观图

一、探究 探究一：直观图

1．如图，这是长方体、圆柱等四个几何体的直观图。

把空间图形（平面图形和立体图形的统称）画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图.空间几何体的直观图通常是在 投影下把空间图形展现在平面上，用平面的图形表示空间几何体。 探究二：斜二测画法 1

．斜二测画法的方法步骤：

①在已知图形中建立直角坐标系xOy ，画直观图时，把x 轴、y 轴画成对应的x '轴和y '轴，两轴交于

点O '，使

，它们确定的平面表示水平面.

②已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成 于x '轴和y '轴的线段. ③已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中 ，平行于y 轴的线段， . 2．空间几何体直观图的画法：

立体图形与平面图形相比多了一个z 轴，90xoz ∠= 。其直观图中对应于z 轴的是z '轴，

''90x oz ∠=

，平行于z 轴的线段，在直观图中画成 于z '轴，长度 . 二、自我检测

1．下列结论正确的有 ①相等的线段在直观图中仍然相等。

②若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行。 ③矩形的直观图是矩形。 ④圆的直观图一定是圆。

⑤角的水平放置的直观图一定是角。

2．直角坐标系中一个平面图形上的一条线段AB 的实际长度为4cm ，若AB//x 轴，则画出直观图后对应的线段=''B A ，若y AB //轴，则画出直观图后对应的线段B A ''= 。

3．根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox 、Oy 、Oz 轴画成对应的x O ''、y O ''、z O ''，作y O x '''∠与z O x '''∠的度数分别为（ ）A ． 90,90

B ． 90,45

C ． 90,135

D ． 45或 90,135

4．如图，A B C '''△是ABC △的直观图，那么ABC △A ．等腰三角形 B ．直角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．锐角三角形

三、应用示例

例1．用斜二测画法画水平放置的正六边形、任意三

角形的直观图。

画法：（1）如图，在正六边形ABCDEF 中，取 所在直线为X 轴，对称轴 所在直线为Y 轴，两

轴交于点O 。画相应的 ，两轴交于'O ，使 。 （2）以'O 为中点在'x 轴上

取 ，在'y 轴上取 。以 画 ，并且 ；再以 画 ，并且 。（3）连接 ，并察去 ，便获得正六边形ABCDEF 水平放置的直观图 。

例2．用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm 、3 cm 、2 cm 的长方体ABCD A B C D ''''- 的直观图。

四、达标检测

1．利用斜二测画法画直观图时：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形。以上结论中，正确的是

。

2．已知一个正方形的直观图是平行四边形，直观图中有一边长为4，则此正方形的面积是（ ） A ．16 B ．64 C ．16或64 D ．都不对

3.利用斜二测画法画出三棱锥P-ABC 的直观图,其中底面ABC 是等边三角形,点P 在底面的投影是在等边三角形的中心O.

五、综合拓展

【例1】请描述下列几何体的结构特征，并说出它的名称.

（1）由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其它面都是全等的矩形；

（2）如右图，一个圆环面绕着过圆心的直线l 旋转180°. 解：（1）特征：具有棱柱的特征，且侧面都是全等的矩形，底面是正五边形.

几何体为正五棱柱.

（2）由两个同心的大球和小球，大球里去掉小球剩下的部分形成的几何体，即空心球.

【例2】若三棱锥的底面为正三角形，侧面为等腰三角形，侧棱长为2，底面周长为9，求棱锥的高.

解：底面正三角形中，边长为3

，高为3sin 60??=

23=

1=.

【例3】用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之

比为1：16，截去的圆锥的母线长是3cm ，求圆台的母线长.

解：设圆台的母线为l ，截得圆台的上、下底面半径分别为r ，4r .

根据相似三角形的性质得，334r

l r

=

+，解得9l =.所以，圆台的母线长为9cm . 【例4】长方体的一条对角线与一个顶点处的三条棱所成的角分别为,,αβγ，求222cos cos cos αβγ++与222sin sin sin αβγ++的值.

解：设长方体的一个顶点出发的长、宽、高分别为a 、b 、c ，相应对角线长为l

，则l 222222cos cos cos ()()()1a b c

l l l αβγ++=++=， ∴ 222cos cos cos αβγ++=1.

222222222

222

sin sin sin 2b c a c a b l l l

αβγ+++++=++=，∴ 222sin sin sin αβγ++=2. 【例5】在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ）.

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

解：在长方体''''ABCD A B C D -中，取四棱锥'A ABCD -，它的四个侧面都是直角三角形. 选D. 【例6】已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为,r R ，求球的半径.

解：圆台轴截面为等腰梯形，与球的大圆相切，由此得

梯形腰长为R +r

. 【例7】圆锥底面半径为１cm

，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.

解：过圆锥的顶点S 和正方体底面的一条对角线CD 作圆锥的截面，得圆锥的轴截面SEF ，正方体对角面CDD 1C 1，如图所示. 设正方体棱长为x ，则CC 1=x ，C 1D

1=。作SO ⊥EF 于O ，则

SO OE =1，

1~ECC EOS ??， ∴ 11

CC EC SO EO =

=. ∴

)x cm =，

cm

.

11

【例8】以正四棱台（底面为正方形，各个侧面均为全等的等腰梯形）为模型，验证棱台的平行于底面的截面的性质： 设棱台上底面面积为S1，下底面面积为S2，平行于底面的截面将棱台的高分成距上、下两底的比为m ∶n ，则截面

面积S

满足下列关系：21

m S n S

S +=. 当m =n 时，则12

S S S +=（中截面面积公式）.

解：如图，ABCD 是正四棱台的相对侧面正中间的截面，延长两腰交于P ，平行于底面的截面为EF .

根据棱台上下底面与平行于底面的截面相似的性质，上底面、下底面、截面的相似比为12::S S S . 设PH =h ，OH =x

，则1

()

()S PH h h m n m PG h m

n mx S h x m n

+=

==

++++

, 2()()

()S PO h x h x m n m PG h m n mx S

h x m n

+++===

++++ . ∴

12()()()()()

()()()n S m S nh m n m h x m n hn hm mx m n m n h m n mx h m n mx h m n mx S S

+++++++=+==+++++++， 即21

m S n S S +=

. 当m =n 时，则12

12

m S m S S S S ++=

=

.

【例9】画出下列各几何体的三视图：

解：这两个几何体的三视图如下图所示.

【例10】画出下列三视图所表示的几何体.

解：先画几何体的正面，再侧面，然后结合三个视图完成几何体的轮廓. 如下图所示.

【例11】如图，图（1）是常见的六角螺帽，图（2）是一个机器零件（单位：cm ），所给的方向为物体的正前方. 试分别画出它们的三视图.

解：图（1）为圆柱和正六棱柱的组合体. 图（2）是由长方体切割出来的规则组合体.

从三个方向观察，得到三个平面图形，绘制的三视图如下图分别所示.

【例12】某建筑由相同的若干个房间组成，该楼的三视图如右图所示，问：

（1）该楼有几层？从前往后最多要走过几个房间？

（2）最高一层的房间在什么位置？画出此楼的大致形状.

P

C A

D H

O E F G

解：（1）由主视图与左视图可知，该楼有3层. 由俯视图可知，从前往后最多要经过3个房间. （2）由主视图与左视图可知，最高一层的房间在左侧的最后一排的房间. 楼房大致形状如右图所示.

【例13】下列图形表示水平放置图形的直观图，画出它们原来的图形.

解：依据斜二测画法规则，逆向进行，如图所示. 【例14】（1）画水平放置的一个直角三角形的直观图；

（2）画棱长为4cm 的正方体的直观图. 解：（1）画法：如图，按如下步骤完成.

第一步，在已知的直角三角形ABC 中取直角边CB 所在的直线为x 轴，与

BC 垂直的直线为y 轴，画出对应的x '轴和y '轴，使45x O y '''∠= .

第二步，在x '轴上取''O C BC =，过'C 作'y 轴的平行线，取1

''2

C A CA =.

第三步，连接''A O ，即得到该直角三角形的直观图. （2）画法：如图，按如下步骤完成.

第一步，作水平放置的正方形的直观图ABCD ，使

45,BAD ∠=

4,2A B c m A D c m

==. 第二步，过A 作z '轴，使90BAz '∠= . 分别过点,,B C D 作z '轴的平行线，在z '轴及这组平行线上分别截取4AA BB CC DD cm ''''====.

第三步，连接,,,A B B C C D D A ''''''''，所得图形就是正方体的直观图.

点评：直观图的斜二测画法的关键之处在于将图中的关键点转化为坐标系中的水平方向与垂直方向的坐标长度，然后运用“水平长不变，垂直长减半”的方法确定出点，最后连线即得直观图. 注意被遮挡的部分画成虚线.

【例15】如右图所示，梯形

1111A B C D 是一平面图形ABCD 的直观图. 若

111//A D O y ，1111//A B C D ，11112

23

A B C D ==，111'1A D O D ==. 请画出原来的平

面几何图形的形状，并求原图形的面积.

解：如图，建立直角坐标系xOy ，在x 轴上截取1'1OD O D ==；1'2OC O C ==.

在过点D 的y 轴的平行线上截取1122DA D A ==.

在过点A 的x 轴的平行线上截取112AB A B ==. 连接BC ，即得到了原图形.

由作法可知，原四边形ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为2,3AB CD ==，直角腰长度为2AD =，

所以面积为23

252S +=?=.