北京市2019-2020学年高一上学期期中考试——数学
2019-2020学年度第一学期期中考试
高一数学
考试时间：90分钟 第I 卷（共40分）
一、单项选择题：共10小题，每小题4分，共40分。
1．已知集合{}{}
1
0,1,2,21A B x x =-=-<≤，，则A B =
(A) {1}
(B) {}0,1
(C) {}101-，， (D) {}1
01,2-，， 2．若,,a b c ∈R ，且b a >，则下列不等式一定成立的是 (A) c b c a +>+ (B) bc ac > (C)
11
a b
< (D) 22a b >
3．下列函数中，与函数y =x 表示同一函数的是
(A) 2()f x =
(B) 3()g x =
(C) 2
x y x
=
(D) y =4．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是 (A) 1y x =+
(B) 1y x
=
(C) x y =
(D) 22,0,
,0
x x y x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩
5．命题“x ∃∈R ，使得x 2＋2x <0”的否定是 (A) ,x ∃∈R 使得220x x +≥ (B) ,x ∃∈R 使得220x x +> (C) ,x ∀∈R 都有220x x +≥ (D) ,x ∀∈R 都有220x x +<
6． “0t >”是“1
2t t
+≥”的
(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C)充分必要条件
(D) 既不充分也不必要条件
7．函数()21x f x =-的定义域为 (A) (,0)-∞
(B) (,0]-∞
(C) (0,)+∞ (D) [0,)+∞
8．如图，A ,B ,C 是函数()y f x =的图象上的三点，其中A (1,3)，B (2,1)，C (3,2)，则[(3)]f f 的值为 (A) 0 (B) 1 (C) 2
(D) 3
9．设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(2)0f -=，则0)(<x f 的解集是 (A) {|20x x -<<,或2}x > (B) {|2x x <-,或02}x << (C) {|2x x <-,或2}x > (D) {|20x x -<<,或02}x <<
10．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：C ︒）满足函数关系2
kx m
y += （k ，
m 为常数）.若该食品在0C ︒的保鲜时间是64小时，在18C ︒的保鲜时间是16小时，则该食品在36C ︒的保鲜时间是 (A) 4小时
(B) 8小时
(C) 16小时
(D) 32小时
第Ⅱ卷（非选择题共60分）
二、填空题：共6小题，每小题4分，共24分。
11．已知幂函数)(x f y =的图象过点(4,2)，则1
()2
f 的值为____. 12．已知函数()y f x =的图象如图所示，则该函数的值域为 .
13．已知1(),0,
()22,0.
x x f x x x ⎧⎪≤=⎨>⎪⎩
若()2f x =，则x 的值为 .
14．已知0,0,3x y x y >>+=，则xy 的最大值为____.
15. 计算：230
2
3(9.6)3) 1.58
(()----+=____.
16．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.
元，则他实际所付金额为 元．
三、解答题：共4小题，共36分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17. （本小题共9分）
已知集合{2+13}A x x =<，2
{20}B x x x =--<.求： （Ⅰ）A B ；
（Ⅱ）()A
B R .
18. （本小题共9分）
已知二次函数2
()3f x x ax =--(a ∈R ). （Ⅰ） 若)(x f 为偶函数，求a 的值；
（Ⅱ） 若()0f x <的解集为{3}x x b -<<，求a ,b 的值; （Ⅲ）若()f x 在区间[2,)-+∞上单调递增，求a 的取值范围.
19. （本小题共9分）
由历年市场行情知，从11月1日起的30天内，某商品每件的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系是
20,(25,)
45,(2530,)
t t t P t t +<∈⎧=⎨
≤≤∈⎩N*N*， 日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系是
40(30,)Q t t t =-+≤∈N*.
（Ⅰ）设该商品的日销售额为y 元，请写出y 与t 的函数关系式； （商品的日销售额=该商品每件的销售价格×日销售量）
（Ⅱ）求该商品的日销售额的最大值，并指出哪一天的销售额最大？
20. （本小题共9分）
设函数()f x x x
λ
=+
（λ是常数）.
（Ⅰ）证明：()f x 是奇函数；
（Ⅱ）当=1λ时，证明：()f x 在区间(1,)+∞上单调递增； （Ⅲ）若[1,2]x ∃∈，使得
122
x
x m ≤-，求实数m 的取值范围.
参考答案
第Ⅱ卷（非选择题 共60分）
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11. [-4,3] 12.
22 13. 1或-1 14. 9
4
15. 1 16. 1150 三、解答题(本题共4小题，共36分)
17.（本小题9分）
解：（Ⅰ）{1},A x x =< ……………………………………2分
{12}B x x =-<< …………………………………………4分 {11}A B x x =-<< …………………………………… 6分
（Ⅱ）
{1,B x x =≤-R
或2}x ≥ ………………………………8分 (){1,A
B x x =<R 或2}x ≥ …………………………………9分
（注：若集合B 求错，而在此基础求的交并补对，则按一半给分） 18. （本小题9分） 解：（Ⅰ）
()f x 为偶函数， ()()f x f x ∴-= …………1分
33)()(22--=----∴ax x x a x ………………………………2分
0a ∴= ……………………………………3分
（Ⅱ）
0)(<x f 的解集为}3{b x x <<-
∴3-和b 是方程032
=--ax x 的两根，……………………5分 2,1a b =-= ………………………………6分 （Ⅲ）对称轴x =
2
a
………………………………7分 22
a
≤- ………………………………8分 4a ∴≤- ………………………………9分
19. （本小题9分）
解：（Ⅰ）设日销售额为y 元，则Q P y ⋅=，
所以**(20)(40),(25,)
45(40),(2530,)t t t t y t t t ⎧+-<∈=⎨⨯-≤≤∈⎩
N N ．
即：2**20800(25,)
180045(2530,)t t t t y t t t ⎧-++<∈=⎨-≤≤∈⎩
N N …………………6分
（注：写对一段给3分）
（Ⅱ）2**(10)900,(25,)
180045,(2530,)t t t y t t t ⎧--+<∈=⎨-≤≤∈⎩
N N ．
当250<<t 时，10=t ，900max =y ； …………………7分 当3025≤≤t 时，25=t ，675max =y ． …………………8分 故所求日销售金额的最大值为900元，11月10日日销售金额最大.
…………………………9分 20. （本小题9分）
解：（Ⅰ）定义域为}0{≠x x …………………………1分 ,x ∀∈R 有,x -∈R
)()()(x f x
x x x x f -=+-=-+
-=-λ
λ …………………………2分
所以)(x f 是奇函数； …………………………3分
（Ⅱ）12,(1,)x x ∀∈+∞且21x x <,
)1
()1()()(2
21121x x x x x f x f +-+
=- …………………………4分 )()(211221x x x x x x -+-= 2
121211
)(x x x x x x --=
1212,(1,),x x x x ∈+∞<
,01,0,0212121>-><-∴x x x x x x …………………………5分 0)()(21<-∴x f x f
)(x f ∴在区间(1,)+∞ 上单调递增. ………………………………6分 （Ⅲ）设 1()22x
x g x =+
[1,2],x ∃∈使得1
2
2
x x m ≤-等价于min ()[1,2]m g x x ≥∈，
设12=(24)x
t t y t t ≤≤=+，则，由（2）可知，1[2,4]y t t
=+在上单调递增，
当2t =即1x =时，y 取得最小值为52.所以5
2
m ≥. …………9分。
北京市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷含答案
2024年高一第一学期期中试卷数学（答案在最后）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.已知集合{}31M x x =-<<，{}14N x x =-≤<，则M N = （）A.{}31x x -<< B.{}3x x >- C.{}11x x -≤< D.{}4x x <2.设命题p ： n ∃∈N ，225n n >+，则p 的否定是（）A. n ∀∈N ，225n n >+ B. n ∀∈N ，225n n ≤+C.n ∃∈N ，225n n ≤+ D.n ∃∈N ，N 225n n <+3.下列各组函数中，两个函数相同的是（）A.3y =和y x=B.2y =和y x=C.y =和2y =D.y =和2x y x=4.下列函数在区间()0,+∞上为增函数的是（）A.2xy = B.()21y x =- C.1y x-= D.3xy -=5.若实数a ，b 满足a b >，则下列不等式成立的是（）A.a b> B.a c b c+>+ C.22a b > D.22ac bc>6.“4a ≥”是“二次函数()2f x x ax a =-+有零点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在下列区间中，一定包含函数()25xf x x =+-零点的区间是（）A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3 D.()3,48.已知函数()1,01,0x f x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则使方程()x f x m +=有解的实数m 的取值范围是（）A.()1,2 B.(),2-∞- C.()(),12,-∞+∞ D.(][),12,-∞+∞ 9.定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的[)()1212,0,x x x x ∈+∞≠，都有()()21210f x f x x x -<-，且()30f =，则不等式()0f x >的解集是（）A.()(),30,3-∞-B.()()3,03,-+∞C.()3,3- D.()(),33,-∞-+∞ 10.现实生活中，空旷田野间两根电线杆之间的电线与峡谷上空横跨深涧的观光索道的钢索有相似的曲线形态，这类曲线在数学上常被称为悬链线.在合适的坐标系中，这类曲线可用函数()()2e 0,e 2.71828ex xa bf x ab +=≠=⋅⋅⋅来表示.下列结论正确的是（）A.若0ab >，则()f x 为奇函数B.若0ab >，则()f x 有最小值C.若0ab <，则()f x 为增函数D.若0ab <，则()f x 存在零点二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.函数()f x =的定义域为__________.12.已知函数()()1104f x x x x=++>，则当且仅当x =_________时，()f x 有最小值________.13.已知集合{}2,0A a =，{}3,9B a =-，若满足{}9A B = ，则实数a 的值为________.14.已知函数()y f x =在R 上是奇函数，当0x ≤时，()21xf x =-，则()1f =________；当0x >时，()f x =________.15.已知非空集合A ，B 满足以下四个条件：①{}1,2,3,4,5,6A B = ；②A B =∅ ；③A 中的元素个数不是A 中的元素；④B 中的元素个数不是B 中的元素.（ⅰ）如果集合A 中只有1个元素，那么集合A 的元素是__________；（ⅱ）有序集合对(),A B 的个数是__________.三、解答题（共6小题，第16题9分，第17-19题6分，第20题7分，第21题6分）16.已知集合{}14A x x =-≤≤，{}11B x a x a =-≤≤+.（1）若4a =，求A B ；（2）若A B A = ，求a 的取值范围.17.解下列关于x 的不等式：（1）2112x x +≤-（2）213x -≥（3）()()2220ax a x a +--≥∈R 18.已知函数()22xxf x a -=⋅-是定义在R 上的奇函数.（1）求a 的值，并用定义法证明()f x 在R 上单调递增；（2）解关于x 的不等式()()23540f x x f x -+->.19.某工厂要建造一个长方体的无盖贮水池，其容积为34800m ，深为3m ，如果池底造价为每平方米150元，池壁每平方米造价为120元，怎么设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？20.已知函数()()21f x mx m x m =--+.（1）若不等式()0f x >的解集为R ，求m 的取值范围；（2）若不等式()0f x ≤对一切()0,x ∈+∞恒成立，求m 的取值范围；21.设k 是正整数，集合A 至少有两个元素，且* N A ⊆.如果对于A 中的任意两个不同的元素x ，y ，都有x y k -≠，则称A 具有性质()P k .（1）试判断集合{}1,2,3,4B =和{}1,4,7,10C =是否具有性质()2P ？并说明理由；（2）若集合{}{}1212,,,1,2,,20A a a a =⋅⋅⋅⊆⋅⋅⋅，求证：A 不可能具有性质()3P ；（3）若集合{}1,2,,2023A ⊆⋅⋅⋅，且同时具有性质()4P 和()7P ，求集合A 中元素个数的最大值.高一第一学期期中试卷数学参考答案与试题解析一、选择题（共10小题）CBAABABDCD二、共填空题（共5小题）11.[)1,+∞12.12；213.-314.12；()12xf x -=-15.5；10三、解答题（共6小题）17.（1）{}23A B x x =≤≤ .（2）a 的取值范围是7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.16.（1）()3,2-；（2）(][),12,-∞-+∞ （3）综上所述：当0a =时，不等式解集为(],1-∞-；当0a >时，不等式解集为(]2,1,a ⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭；当20a -<<时，不等式解集为2,1a⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；当2a =-时，不等式解集为{}1-；当2a <-时，不等式解集为21,a⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.18.（1）1a =，证明略（2）()()()()()2235403544f x x f x f x x f x f x -+->⇒->--=-∴23542x x x x ->-⇒>或23x <-.19.水池总造价()()16001502331207201600150x f x xy x y x ⎛⎫=⨯++⨯=+⨯+⨯ ⎪⎝⎭72024000057600240000297600≥+=+=元.当且仅当40x m =，40y m =时取等号.∴设计水池底面为边长为40m 的正方形能使总造价最低，最低造价是297600元.20.（1）m 的取值范围为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）m 的取值范围为(],1-∞-；21.（1）集合B 不具有性质()2P ，集合C 具有性质()2P （2）证明：将集合{}1,2,,20⋅⋅⋅中的元素分为如下11个集合，{1，4}，{2，5}，{3，6}，{7，10}，{8，11}.{9，12}，{13，16}，{14，17}，{15，18}，{19}，{20}，所以从集合{}1,2,,20⋅⋅⋅中取12个元素，则前9个集合至少要选10个元素，所以必有2个元素取自前9个集合中的同一集合，即存在两个元素其差为3，所以A 不可能具有性质()3P ；（3）先说明连续11项中集合A 中最多选取5项，以1，2，3……，11为例.构造抽屉{1，8}，{2，9}，{3，10}，{4，11}，{5}，{6}，{7}.①5，6，7同时选，因为具有性质()4P 和()7P ，所以选5则不选1，9；选6则不选2，10；选7则不选3，11；则只剩4，8.故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.②5，6，7选2个，若只选5，6，则1，2，9，10，7不可选，又{4，11}只能选一个元素，3，8可以选，故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.若选5，7，则只能从2，4，8，10中选，但4，8不能同时选，故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.若选6，7，则2，3，10，11，5不可选，又{1，8}只能选一个元素，4，9可以选，故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.③5，6，7中只选1个，又四个集合{1，8}，{2，9}，{3，10}，{4，11}每个集合至多选1个元素，故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合A 的元素至多只有5个，如取1，4，6，7，9.因为2023=183×11+10，则把每11个连续自然数分组，前183组每组至多选取5项；从2014开始，最后10个数至多选取5项，故集合A 的元素最多有184×5=920个.给出如下选取方法：从1，2，3……，11中选取1，4，6，7，9；然后在这5个数的基础上每次累加11，构造183次.此时集合A的元素为：1，4，6，7，9；12，15，17，18，20；23，26，28，29，31；……；2014，2017，2019，2020，2022，共920个元素.经检验可得该集合符合要求，故集合A的元素最多有920个.。
北京市西城区13中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题Word版含答案
北京市西城区13中2019-2020学年上学期期中考试高一数学试题 第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．设集合{}04A x x =≤≤，集合{}1,2,3,4B =--，则A B =（ ）． A ．{}1,2B ．{}2,4C ．{}1,3--D ．{}1,2,3,4-- 2．下列函数与y x =有相同图象的一个函数是（ ）．A．y =B ．2x y x=C ．log ax y a =（0a >且1a ≠）D ．log x a y a =（0a >且1a ≠）3．给出四个函数①222y x x =--；②2log (1)y x =+；③112x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭；④13y x =，那么在区间(0,)∞+上单调递增的个数是（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，2()2f x x x =-，则(1)f =（ ）． A ．3- B ．1- C ．1D ．3 5．函数3()log 3f x x x =-+的零点一定在区间（ ）．A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)6．若0.32a =，2(0.3)b =，3log 0.2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）．A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<7．甲、乙、丙、三家超市为了促销一种定价为m 元的商品，甲超市连续两次降价20%，乙超市一次性降价40%，丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客需要购买这种商品最划算应到的超市是（ ）．A ．甲B ．乙C ．丙D ．乙或丙 8．设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）．A ．()()f x g x 是偶函数B ．()()f x g x 是奇函数C ．()()f x g x 是奇函数D ．()()f x g x 是奇函数9．二次函数2y ax bx =+与指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象只可能是（ ）．A ．BCx10．已知函数1g ,010,()16,10.2x x f x x x ⎧<⎪=⎨->⎪⎩≤+若a ，b ，c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ）．A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)第Ⅱ卷（共70分）二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11．函数2()log (21)f x x +的定义域是__________．12．计算021.10.51g2521g2=-++__________．13．已知函数2()f x x =，()g x 为一次函数，且是增函数，若[]2()42025f g x x x =-+，()g x =__________．14．如果集合{}2210A x ax x ==++中只有一个元素，那么a 的值是___________．15．已知()y f x =是定义在{}2,1,0,1,2--上的奇函数，且(1)2f -=，(2)0f =，则(0)f =__________，()f x 的值域是__________．16．已知函数()x f x a =（01a <<的反函数是()y g x =-），对于函数()y g x =，当[]2,8x ∈时，最大值与最小值的差是2，求则a 的值为___________．17．已知当0x ≥时，函数2y x =与函数2x y =的图象如图所示，则当0x ≤时，不等式221x x ⋅≥的解集是__________．x18．某食品的保鲜时间t （单位：小时）与存储温度x （单位：℃）满足函数关系664,02,0kx x t x ⎧=⎨>⎩≤+．且该食品在4℃的保鲜时间是16小时．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，给出以下四个结论：①该食品在6℃的保鲜时间是8小时．②当[]6,6x ∈-时，该食品的保鲜时间t 随着x 的增大而逐渐减少． ③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内． ④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间． 其中，所有正确结论序号是__________．三、解答题（共5小题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（本小题8分）设全集U =R ，集合{}230A x x x =-<，{}242B x x x =--≥．（Ⅰ）求A B 和()U AB ð． （Ⅱ）若集合{}20C x x a =>+，满足B C B =，求实数a 的取值范围．20．（本小题8分）函数2()1ax bf x x =++是定义在(,)-∞∞+上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求实数a ，b ，并确定函数()f x 的解析式． （Ⅱ）用定义证明()f x 在(0,1)上增函数．21．（本小题8分）已知函数[]22log ,1,4()(5)1,(4,7]x x f x x x ⎧∈⎪=⎨-∈⎪⎩+． （1）给定的直角坐标系内画出()f x 的图象．（2）写出()f x 的单调递增区间（不需要证明）及最小值（不需要证明）． （3）设()()g x f x a =-+1，若()g x 有3个零点，求a 得取值范围．22．（本小题12分）设a ∈R ，已知函数2()2(1)1f x x a x =---+． （1）若函数()f x 的图象恒在x 轴下方，求a 的取值范围． （2）若当[]1,3x ∈时，()f x 为单调函数，求a 的取值范围． （3）求函数()f x 在[]1,2-上的最大()g a ．23．（本小题10分）已知()f x 是定义在[]2,2-上的奇函数，当a ，[]2,2b ∈-，且0a b ≠+时，有()()0f a f b a b>++．（1）比较(1)f 与(0)f 的大小．（2）若m n >，试比较()f m 与()f n 的大小．（3）若(2)1f =，2()21f x t bt -≤+，对所有[]2,2x ∈-，[]1,1b ∈-恒成立，求实数t 的取值范围．北京市西城区13中2019-2020学年上学期期中考试高一数学试题参考答案 第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．设集合{}04A x x =≤≤，集合{}1,2,3,4B =--，则A B =（ ）．A ．{}1,2B ．{}2,4C ．{}1,3--D ．{}1,2,3,4--【答案】B【解析】集合{}04A x x =≤≤，{}1,2,3,4B =--，∴{}2,4A B =．故选B ．2．下列函数与y x =有相同图象的一个函数是（ ）．A ．y =B ．2x y x=C ．log ax y a =（0a >且1a ≠）D ．log x a y a =（0a >且1a ≠）【答案】D【解析】A 选项，||y x =，与y x =对应关系不同，故图象不同，A 错； B 选项，2x y x=定义域为{}0x x ≠，与y x =定义域不同，B 错；C 选项，log ax y a =定义域为{}0x x >，与y x =定义域不同，故C 错；D 选项，log xa y a =与y x =定义域相同，对应关系也相同，所以两函数图象相同，故D 正确．综上，故选D ．3．给出四个函数①222y x x =--；②2log (1)y x =+；③112x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭；④13y x =，那么在区间(0,)∞+上单调递增的个数是（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】①222y x x =--，在(,1)-∞上单调递减，在(1+∞）上单调递增，故①错； ②2log (1)y x =+在(1,)-+∞上单调递增，故②正确； ③112x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故③错误；④12y x =在(0,)+∞上单调递增，故④正确． 故选B ．4．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，2()2f x x x =-，则(1)f =（ ）．A ．3-B ．1-C ．1D ．3【答案】A【解析】∵0x ≤时，2()2f x x x =-，∴(1)213f -=+=． ∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴(1)(1)3f f =--=-．故选A ．5．函数3()log 3f x x x =-+的零点一定在区间（ ）．A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【答案】C【解析】∵33(2)log 223log 210f =+-=-<，3(3)log 33310f =+-=>． ∴函数()f x 的零点一定在区间(2,3)上，故选C ．6．若0.32a =，2(0.3)b =，3log 0.2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）．A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<【答案】C【解析】∵0.30221a =>=，20(0.3)1b <=<，33log 0.2log 10c =<=， ∴c b a <<．故选C ．7．甲、乙、丙、三家超市为了促销一种定价为m 元的商品，甲超市连续两次降价20%，乙超市一次性降价40%，丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客需要购买这种商品最划算应到的超市是（ ）．A ．甲B ．乙C ．丙D ．乙或丙【答案】B【解析】降价后三家超市的售价：甲：2(120%)0.64m m -=，乙：(140%)0.6m m -=，丙：(130%)(110%)0.63m m --= ． ∵0.60.630.64m m m <<，∴此时顾客将要购买这种商品最划算应到的超市是乙． 故选B ．8．设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）． A ．()()f x g x 是偶函数B ．()()f x g x 是奇函数C ．()()f x g x 是奇函数D ．()()f x g x 是奇函数【答案】C【解析】由奇函数的定义可知()()f x f x =--，()()g x g x =-．A 项，设()()()h x f x g x =，则()()()()()()h x f x g x f x g x h x -=--=-=-， ∴()()f x g x 是奇函数，故A 错误；B 项，设()|()|()h x f x g x =，则()|()|()()()()h x f x g x f x g x h x -=--==，∴|()|()f x g x 是偶函数，故B 项错误；C 项，设()()|()|h x f x g x =，则()()|()|()|()|h x f x g x f xg x -=--=-()()()f x g x h x =-=-，∴()|()|f x g x 是奇函数，故C 项正确；D 项，设()|()()|h x f x g x =，则()|()()|()()()h x f x g x f x g x h x -=--==，∴|()()|f x g x 是偶函数，故D 项错误．综上所述，故选C ．9．二次函数2y ax bx =+与指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象只可能是（ ）．A ．B．C．D．x【答案】A【解析】二次函数对称轴为2bx a=-，故排除B ，D ， 又∵指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭过(0,1)，排除C ．综上，故选A ．10．已知函数1g ,010,()16,10.2x x f x x x ⎧<⎪=⎨->⎪⎩≤+若a ，b ，c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ）．A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)【答案】C【解析】由分段函数可得函数的图象如下:则有lg lg a b -=，即lg 0ab =，1ab =，故abc c =， 又因为当直线与函数存在三个交点时，106lg102c <-+<，解得：1012c <<，所以abc 的取值范围是(10,12)．故选C ．第Ⅱ卷（共70分）二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11．函数2()log (21)f x x +的定义域是__________．【答案】1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】要使函数有意义，则x 需满足： 2230210x x x ⎧--+>⎨+>⎩，解得112x -<<． 故函数()f x 的定义域是1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭．12．计算021.10.51g2521g2=-++__________． 【答案】3【解析】021.10.5lg 252lg 2144lg100123-++=+-+=+=．13．已知函数2()f x x =，()g x 为一次函数，且是增函数，若[]2()42025f g x x x =-+，()g x =__________．【答案】25x -【解析】设()g x kx b =+，0k >，则：[]22222()()()242025f g x f kx b kx b k x kbx b x x =+=+=++=-+．∴24220k kb ⎧=⎨=-⎩，解得25k b =⎧⎨=-⎩．故()25g x x =-．14．如果集合{}2210A x ax x ==++中只有一个元素，那么a 的值是___________．【答案】0或1【解析】若集合{}2210A x ax x =++=中只有1个元素，则方程2210ax x ++=只有一个接=解．当0a =时，12A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，符合题意；当0a ≠时，440a ∆=-=，1a =． 综上，0a =或1．15．已知()y f x =是定义在{}2,1,0,1,2--上的奇函数，且(1)2f -=，(2)0f =，则(0)f =__________，()f x 的值域是__________． 【答案】0，{}0,2,2-【解析】∵()y f x =是定义在{}2,1,0,1,2--上的奇函数． ∴(0)0f =，(1)(1)2f f =--=-，(2)(2)0f f -=-=． 故()f x 的值域是{}0,2,2-．16．已知函数()x f x a =（01a <<的反函数是()y g x =-），对于函数()y g x =，当[]2,8x ∈时，最大值与最小值的差是2，求则a 的值为___________． 【答案】12【解析】()x f x a =的反函数为log a y x =，∴()log a g x x =-． ∵01a <<，∴()g x 在[]2,8上单调递增．∴max min 1()(8)(2)log 8(log 2)log 8log 2log 24a a a a a g x g g g -=-=---=-+==．∴12a =．17．已知当0x ≥时，函数2y x =与函数2x y =的图象如图所示，则当0x ≤时，不等式221x x ⋅≥的解集是__________．x【答案】[]4,2--【解析】根据当0x ≥时，函数2y x =与函数2x y =的图象如图，可得当2x =或4x =时，22x x =，且在[]2,4x ∈上，22x x ≥．当0x ≤时，令x t =-，由0x ≤得0t ≥．∴不等式221x x ⋅≥，即221t t -⋅≥，即22t t ≥． 由所给图象得24t ≤≤，即24x ---≤≤． 故0x ≤时，不等式221x x ⋅≥的解集是[]4,2--．18．某食品的保鲜时间t （单位：小时）与存储温度x （单位：℃）满足函数关系664,02,0kx x t x ⎧=⎨>⎩≤+．且该食品在4℃的保鲜时间是16小时．温度℃()已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，给出以下四个结论：①该食品在6℃的保鲜时间是8小时．②当[]6,6x ∈-时，该食品的保鲜时间t 随着x 的增大而逐渐减少． ③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内． ④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间． 其中，所有正确结论序号是__________． 【答案】①④【解析】∵食品的保鲜时间t 与储藏温度x 满足函数关系式64,0:2,0kx b x t x +⎧⎨<⎩≤，且该食品在4℃时保鲜时间是16小时．∴46216k +=，即464k +=，解得12k =-．∴16264,02,0x x t x -+⎧⎪=⎨⎪>⎩≤．①当6x =时，8t =，所以该食品在6℃的保鲜时间是8小时，故①正确；②当[6,0)x ∈-时，时间t 不变，故②错误；③由3图象可知，当到此日12小时，温度超过12度，此时的保鲜时间不超过1小时，所以到了此日13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故③错误； ④由③知，④正确．综上，正确结论的序号是①④．三、解答题（共5小题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（本小题8分）设全集U =R ，集合{}230A x x x =-<，{}242B x x x =--≥． （Ⅰ）求A B 和()U A B ð． （Ⅱ）若集合{}20C x x a =>+，满足B C B =，求实数a 的取值范围．【答案】【解析】（1）集合{}{}23003A x x x x x =-<=<<，{}{}2422B x x x x x =--=≥≥， ∴{}0A B x x =>，{}23A B x x =<≤，(){2C A B x x =<或3}x ≥．（2）∵B C B =,∴C B ⊆．∵{}2B x x =≥，{}202a C x x a x x ⎧⎫=+>=>-⎨⎬⎩⎭， ∴22a -≥，4a -≤， 故实数a 的取值范围是(,4]-∞-．20．（本小题8分）函数2()1ax b f x x =++是定义在(,)-∞∞+上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求实数a ，b ，并确定函数()f x 的解析式．（Ⅱ）用定义证明()f x 在(0,1)上增函数．【答案】【解析】（1）∵函数()f x 是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，∴(0)01b f ==，0b =． 又∵1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴122554a =，解得1a =， 故1a =，0b =，2()1x f x x =+． （2）证明，任取1x ，2(0,1)x ∈，12x x <，则：221221121212222222121212(1)(1)()(1)()()11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x f x f x x x x x x x ++---=-==++++++． ∵12x x <，12(0,1)x x ∈∴120x x -<，1210x x ->，2110x +>，2210x +>， ∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，故()f x 在(0,1)上是增函数．21．（本小题8分）已知函数[]22log ,1,4()(5)1,(4,7]x x f x x x ⎧∈⎪=⎨-∈⎪⎩+．（1）给定的直角坐标系内画出()f x 的图象．（2）写出()f x 的单调递增区间（不需要证明）及最小值（不需要证明）．（3）设()()g x f x a =-+1，若()g x 有3个零点，求a 得取值范围．【答案】【解析】（1）（2）()f x 的单调增区间是(1,4)和(5,7)，()=(1)0f x f =最小值．【注意有文字】（3）()()1g x f x a =-+，有3个零点，即()1f x a =-有三个根．∴112a <-<，解得23a <<．故a 的取值范围是(2,3)．22．（本小题12分）设a ∈R ，已知函数2()2(1)1f x x a x =---+．（1）若函数()f x 的图象恒在x 轴下方，求a 的取值范围．（2）若当[]1,3x ∈时，()f x 为单调函数，求a 的取值范围．（3）求函数()f x 在[]1,2-上的最大()g a ．【答案】【解析】（1）若函数()f x 的图象恒在x 轴下方，则0∆<，即24(1)40a --<，解得：02a <<，故a 的取值范围是(0,2)．（2）若[]1,3x ∈时，()f x 为单调函数，则：11a -≤或13a -≥，∴2a ≤或4a ≥ ．故a 的取值范围是(,2][4,)-∞+∞．（3）函数2()2(1)1f x x a x =-+--的对称轴为1x a =-，当11a --≤即0a ≤时，()f x 在[]1,2-上是减函数，∴max ()(1)2f x f a =-=-；当112a <-<时，即03a <<时，()f x 在(1,1)a --上是增函数，在(1,2)a -上是减函数， ∴max ()(1)2f x f a a a 2=-=-；当12a -≥即3a ≥时，()f x 在[]1,2-上是增函数，∴max ()(2)49f x f a ==-．综上所述，22,0()2,0349,3a a g a a a a a a -⎧⎪=-<<⎨⎪-⎩≤≥．23．（本小题10分）已知()f x 是定义在[]2,2-上的奇函数，当a ，[]2,2b ∈-，且0a b ≠+时，有()()0f a f b a b>++． （1）比较(1)f 与(0)f 的大小．（2）若m n >，试比较()f m 与()f n 的大小．（3）若(2)1f =，2()21f x t bt -≤+，对所有[]2,2x ∈-，[]1,1b ∈-恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）∵()f x 是定义在[]2,2-上的奇函数，∴(0)0f =． ∵()()0f a f b a b+>+，令1a =，0b =，则： (1)(0)010f f +>+，即(1)0f >． ∴(1)(0)f f >． （2）设1x ，[]22,2x ∈-，且12x x <， 在()()0f a f b a b+>+中，令1a x =，2b x =-，则有： 1212()()0f x f x x x +->-． ∵12x x <，∴120x x -<．又∵()f x 是定义在[]2,2-上的奇函数，∴22()()f x f x -=-， ∴1212()()0f x f x x x ->-． ∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <．故()f x 在[]2,2-上为增函数．∵m n >，∴()()f m f n >．（3）∵(2)1f =，且()f x 在[]2,2-上为增函数，∴对所有的[]2,2x ∈-，[]1,1b ∈-总有2()21f x t bt -+≤恒成立．则应有2121t bt -+≤恒成立，即：220t bt -≥对任意[1,1]b ∈-恒成立，记2()2g b tb t =-+，若对[]1,1b ∈-恒成立，则()0g b ≥恒成立．则只需()g b 在[]1,1-上的最小值不小于0即可．①当0t =时，()0g b =，满足题意；②当0t =时，2()2g b tb t =+是减函数，故在[]1,1-上，()g b 在1b =处取得最小值． ∴2(1)20g t t =-+≥，解得2t ≥或0t ≤（舍）；③当0t <时，2()2g b tb t =-+是增函数，故在[]1,1-上，()g b 在1b =-处取得最小值．∴2(1)20g t t -=+≥，解得：2t -≤或0t ≥（舍）． 综上所述，t 的取值范围是(,2][2,)-∞-+∞．。
北京市回民学校2019-2020学年高一上学期期中考试数学试卷Word版含答案
北京市回民学校2019-2020学年上学期期中考试高一数学试卷第一卷（共100分）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）. 1.角α终边上有一点()1,2-，则sin α=A.5-B.5-C.5D.52. 已知全集{}{}{}1,2,3,4,1,2,2,3U A B ===,则U C A B ⋃=A.{}2,3B.{}1,2,3C.{}2,3,4D.{}1,2,3,4 3. 与263-终边相同的角的集合是（ ）A.{}360250,k k Z αα=⋅+∈ B.{}360263,k k Z αα=⋅-∈C.{}36063,k k Z αα=⋅+∈D. {}360197,k k Z αα=⋅+∈4. 若sin 0,cos 0αα<>且，则角α是A.第一象限角 B . 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 5. 函数()()1101x f x aa a -=+>≠且的图像必经过点（ ）A.()1,2B.()1,1C.()0,1D. ()0,2 6. 函数()1lg 1f x x =-的定义域为A. ()0,+∞B.()()0,11,⋃+∞C. ()0,1D. ()()0,1010,⋃+∞ 7. 函数()41log 4x f x x =-的零点所在区间为 A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()1,2D.()2,48. 函数log a y x a y x =+=与的图像可能是A. B. C. D. 9. 若偶函数()f x 在(],1-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A. ()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭ B.()()3122f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C.()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D.()()3122f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭10. 下列四个命题：（1）函数()f x 在()0,+∞上是增函数，在(),0-∞上也是增函数，则()f x 在R 上是增函数 (2)函数()22f x ax bx =++与x 轴没有交点，则2800b a a -<>且；(3)函数223y x x =--的增区间是[)1,+∞；(4)1y x y =+=与其中正确命题的个数是A. 0B.1C.2D. 3 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）． 11.若1249a =，则23log a =___________； 12. 已知α是第二象限角，且5sin 13α=，则tan α的值是___________； 13. 比较大小sin1______cos1,（用“>”“<”或“=”连接）；14．已知函数()()13,,1xf x x =-∈-∞，则()f x 的值域是___________；15. 如果函数()xf x a =-的图像过点13,8⎛⎫- ⎪⎝⎭，那么a 的值为___________；16．已知定义在[]2,2-上的奇函数()f x 是增函数，求使()()2110f a f a -+->成立的实数a 的取值范围为_____________.三、解答题（本大题共4小题，共36分）．17.计算下列各式，写出计算过程 （Ⅰ）2221332182716227---⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Ⅱ）2132********log 2log 9--++（Ⅲ）已知tan 3α=，求sin cos sin 2cos αααα+-的值18.已知函数()22xxf x -=+（Ⅰ）判断函数()f x 的奇偶性，并证明 （Ⅱ）证明()f x 在[)0,+∞上为单调增函数19.已知函数()()20,,f x ax bx c a b R c R =++>∈∈,若函数()f x 的最小值是()10f -=，()01f =且对称轴是1x =-，()()()()()00f x x g x f x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ （Ⅰ）求()()22g g +-的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求()f x 在区间[](),2t t t R +∈的最小值。
北京市师范大学附中2019_2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)
北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共8小题） 1.若集合A={}0,1,2,4，B={}1,2,3，则A B =（ ）A. {}0,1,2,3,4B. {}0,4C. {}1,2D. {}3【答案】C 【解析】 【详解】因为{}1,2AB =，所以选C.考点：本小题主要考查集合的基本运算，属容易题，熟练集合的基础知识是解答好集合题目的关键.2.已知ln 2a =，ln3b =，那么3log 2用含a ，b 的代数式表示为（ ）． A. -a b B.abC. abD. +a b【答案】B 【解析】由换底公式可得：32log 23ln aln b==. 故选B.3.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是 （ ） A. ()ln ||f x x = B. ()2-=xf x C. 3()f x x = D. 2()f x x =-【答案】A 【解析】对于A,()()ln f x x f x -==,() ln f x x =是偶函数，且在区间()0,+∞上单调递增，符合题意；对于B, 对于()2xf x -=既不是奇函数，又不是偶函数，不合题意；对于C,()3f x x =是奇函数，不合题意；对于D,()2 f x x =-在区间()0,+∞上单调递减，不合题意，只有()ln f x x =合题意，故选A.4.设函数()1,0,x QD x x Q∈⎧=⎨∉⎩，则(f f ⎡⎤⎣⎦的值为（ ）.A. 0B. 1C. 1-D. 不存在【答案】B 【解析】 【分析】推导出f （）=0，从而(f f ⎡⎤⎣⎦=f （0），由此能求出结果．【详解】∵函数()1,0,x QD x x Q ∈⎧=⎨∉⎩，∴f （）=0，∴(f f ⎡⎤⎣⎦=f （0）=1．故选：B ．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5.已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a c b << B. a b c << C. b c a << D. c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】利用10,,12等中间值区分各个数值的大小。
北京市六十六中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试卷Word版含解析
北京市六十六中2019-2020学年上学期期中考试高一数学试卷一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．（4分）设集合A={1，2}，B={1，2，3}，C={2，3，4}，则（A∩B）∪C=（）A．{1，2，3} B．{1，2，4} C．{2，3，4} D．{1，2，3，4}2．（4分）在同一坐标系中，函数y=2x与y=log2x的图象之间的关系是（）A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于原点对称D．关于直线y=x对称3．（4分）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．y=x，y=B．y=lgx2，y=2lgxC．y=|x|，y=（）2D．y=1，y=x04．（4分）设（x，y）在映射f下的象是（2x+y，x﹣2y），则在f下，象（2，1）的原象是（）A．B．（1，0）C．（1，2）D．（3，2）5．（4分）设a=60.5，b=0.56，，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b6．（4分）函数g（x）=2x+5x的零点所在的一个区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（﹣1，0）D．（﹣2，﹣1）7．（4分）已知函数f（x）=x a，g（x）=a x，h（x）=log a x（其中a＞0，a≠1）在同一坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的图象，其中正确的是（）A．B．C．D．8．（4分）对实数a与b，定义新运算“⊗”：a⊗b=．设函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣1），x∈R．若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A．（﹣1，1]∪（2，+∞）B．（﹣2，﹣1]∪（1，2] C．（﹣∞，﹣2）∪（1，2] D．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（4）=．10．（4分）2lg2+lg25的值等于．11．（4分）已知函数，若f（x0）=8，则x0=．12．（4分）函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上递减，则实数a的取值范围是．13．（4分）设f （x）是定义在R上的偶函数，若f（x）在（2）设函数f（x）=lg（﹣x2+ax+b），求最小的整数m，使得对于任意的x∈A，都有f（x）≤m成立．18．（14分）已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=8，定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）确定y=g（x）的解析式；（2）求m、n的值；（3）判断f（x）的单调性，并证明．北京市六十六中2019-2020学年上学期期中考试高一数学试卷参考答案一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．（4分）设集合A={1，2}，B={1，2，3}，C={2，3，4}，则（A∩B）∪C=（）A．{1，2，3} B．{1，2，4} C．{2，3，4} D．{1，2，3，4}考点：交、并、补集的混合运算．分析：属于集合简单运算问题．此类问题只要审题清晰、做题时按部就班基本上就不会出错．解答：解：∵集合A={1，2}，B={1，2，3}，∴A∩B=A={1，2}，又∵C={2，3，4}，∴（A∩B）∪C={1，2，3，4}故选D．点评：考查的是集合交、并、补的简单基本运算．2．（4分）在同一坐标系中，函数y=2x与y=log2x的图象之间的关系是（）A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于原点对称D．关于直线y=x对称考点：反函数．专题：计算题．分析：结合所学知识，容易判断两个函数的关系，互为反函数，所以关于直线y=x对称．解答：解：函数y=2x与y=log2x的图象之间的关系：两者之间是互为反函数，图象关于直线y=x对称，故选D点评：本题是基础题，考查互为反函数的图象之间的关系，是常考题型．3．（4分）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．y=x，y=B．y=lgx2，y=2lgxC．y=|x|，y=（）2D．y=1，y=x0考点：判断两个函数是否为同一函数．专题：证明题．分析：考查各个选项中的两个函数是否具有相同的定义域、值域、对应关系，否则，便不是同一个函数．解答：解：A中的两个函数具有相同的定义域、值域、对应关系，故是同一个函数．B中的两个函数定义域不同，故不是同一个函数．C中的两个函数定义域不同，故不是同一个函数．D中的两个函数定义域不同，故不是同一个函数．综上，只有A中的两个函数是同一个函数．故选 A．点评：本题考查函数的三要素，当且仅当两个函数具有相同的定义域、值域、对应关系时，才是同一个函数．4．（4分）设（x，y）在映射f下的象是（2x+y，x﹣2y），则在f下，象（2，1）的原象是（）A．B．（1，0）C．（1，2）D．（3，2）考点：映射．专题：函数的性质及应用．分析：利用（x，y）在映射f下的象是（2x+y，x﹣2y），即可得出，解得即可．解答：解：由题意可得，解得，∴在f下，象（2，1）的原象是（1，0）．故选B．点评：本题考查了映射的意义，属于基础题．5．（4分）设a=60.5，b=0.56，，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b考点：指数函数的单调性与特殊点．专题：函数的性质及应用．分析：比较大小常常利用函数的单调性进行比较，不同函数值常常寻找中间值0与1进行比较．解答：解：∵a=60.5=＞1，0＜b=0.56＜0.50=1，＜log61=0，∴a＞b＞c．故选：A．点评：本题主要考查幂函数、指数函数、对数函数的单调性和值域，属于基础题．6．（4分）函数g（x）=2x+5x的零点所在的一个区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（﹣1，0）D．（﹣2，﹣1）考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：判断函数的单调性，根据函数零点的判断条件即可得到结论．解答：解：函数g（x）单调递增，∵g（﹣1）=2﹣1﹣5=，g（0）=1＞0，∴g（﹣1）g（0）＜0，即函数g（x）在（﹣1，0）内存在唯一的零点，故选：C．点评：本题主要考查函数零点区间的判断，根据函数零点存在的条件是解决本题的关键．7．（4分）已知函数f（x）=x a，g（x）=a x，h（x）=log a x（其中a＞0，a≠1）在同一坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的图象，其中正确的是（）A．B．C．D．考点：指数函数的图像与性质；对数函数的图像与性质．专题：数形结合．分析：考查题设条件，此三个函数分别为幂函数，指数函数与对数函数，由于其中的参数是指数与对数函数的底数，故分a＞1与0＜a＜1两类讨论验证即可．解答：解：幂函数f（x）的图象一定经过（1，1），当a＞0时经过原点；指数函数g（x）的图象经过点（0，1），当a＞1时，图象递增，当0＜a＜1时，图象递减；对数函数h（x）的图象经过点（1，0），当a＞1时，图象递增，当0＜a＜1时，图象递减，对于A，其中指数底数应大于1，而幂函数的指数应小于0，故A不对；对于选项B，其中幂函数的指数大于1，对数函数的底数也应大于1，故B对；对于选项C，其中指数函数图象递增，其底数应大于1，而对数函数图象递减，其底数小于1，故C不对；对于选项D，其中幂函数的图象递增，递增的越来越快，指数函数的图象递减，故幂函数的指数应大于1，而指数函数的底数小于1，故D不对．由上，B正确故选B．点评：本题考点是指、对、幂函数的图象，幂、指、对三函数是中学初等函数最重要的函数，也是高考必考内容．对其图象与性质应好好掌握理解．8．（4分）对实数a与b，定义新运算“⊗”：a⊗b=．设函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣1），x∈R．若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A．（﹣1，1]∪（2，+∞）B．（﹣2，﹣1]∪（1，2] C．（﹣∞，﹣2）∪（1，2] D．考点：函数与方程的综合运用．专题：函数的性质及应用．分析：根据定义的运算法则化简函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣1），的解析式，并画出f（x）的图象，函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点转化为y=f（x），y=c图象的交点问题，结合图象求得实数c 的取值范围．解答：解：∵，∴函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣1）=，由图可知，当c∈（﹣2，﹣1]∪（1，2]函数f（x）与y=c的图象有两个公共点，∴c的取值范围是（﹣2，﹣1]∪（1，2]，故选B．点评：本题考查二次函数的图象特征、函数与方程的综合运用，及数形结合的思想．属于基础题．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（4）=．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：利用幂函数的定义即可求出．解答：解：设幂函数f（x）=xα，∵幂函数y=f（x）的图象过点（2，），∴=2a，解得a=，∴f（x）=，∴f（4）==，故答案为：．点评：熟练掌握幂函数的定义是解题的关键10．（4分）2lg2+lg25的值等于2．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：由对数的运算性质对所给的对数式lg25+2lg2进行化简求值．解答：解：lg25+2lg2=2lg5+2lg2=2（lg5+lg2）=2故答案为：2．点评：本题考查对数的运算性质，解题的关键是熟练掌握对数的运算性质，并能用运算性质进行化简运算．11．（4分）已知函数，若f（x0）=8，则x0=．考点：函数的值；函数的零点．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：利用分段函数的值域，判断方程的表达式，求解即可．解答：解：∵，当x≤2时f（x）≤4，当x＞2时f（x）＞6，∵f（x0）=8，∴，解得x0=．故答案为：．点评：本题考查函数值的求法与应用，方程的解法，考查分析问题解决问题的能力．12．（4分）函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上递减，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：f（x）是二次函数，所以对称轴为x=1﹣a，所以要使f（x）在区间（﹣∞，4]上递减，a应满足：4≤1﹣a，解不等式即得a的取值范围．解答：解：函数f（x）的对称轴为x=1﹣a；∵f（x）在区间（﹣∞，4]上递减；∴4≤1﹣a，a≤﹣3；∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．故答案为：（﹣∞，﹣3]．点评：考查递减函数图象的特点，以及二次函数的单调性和对称轴的关系．13．（4分）设f （x）是定义在R上的偶函数，若f（x）在上的单调性，根据单调性的定义即可求得．解答：解：由题意，x+1＞2或x+1＜﹣2，解得x＞1或x＜﹣3，故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．点评：本题考查的知识点是函数单调性的应用，其中利用偶函数在对称区间上单调性相反，判断f（x）在（﹣∞，0]上的单调性是解答本题的关键．14．（4分）对于任意定义在R上的函数f（x），若实数x0满足f（x0）=x0，则称x0是函数f（x）的一个不动点．若二次函数f（x）=x2﹣ax+1没有不动点，则实数a的取值范围是﹣3＜a＜1．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：不动点实际上就是方程f（x0）=x0的实数根．二次函数f（x）=x2﹣ax+1没有不动点，是指方程x=x2﹣ax+1无实根．然后根据根的判别式△＜0解答即可．解答：解：根据题意，得x=x2﹣ax+1无实数根，即x2+（﹣a﹣1）x+1=0无实数根，∴△=（﹣a﹣1）2﹣4＜0，解得：﹣3＜a＜1；故答案是：﹣3＜a＜1．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、函数与方程的综合运用．解答该题时，借用了一元二次方程的根的判别式与根这一知识点．三、计算题（本题共4小题，共44分）15．（10分）设全集为R，集合A={x|x≤3或x≥6}，B={x|﹣2＜x＜9}．（1）求A∪B，（∁U A）∩B；（2）已知C={x|a＜x＜a+1}，若C⊆B，求实数a的取值范围．考点：交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：（1）根据集合的基本运算即可求A∪B，（∁U A）∩B；（2）根据C⊆B，建立条件关系即可求实数a的取值范围．解答：解：（1）∵={x|x≤3或x≥6}，B={x|﹣2＜x＜9}．∴A∪B=R，（∁U A）∩B={x|3＜x＜6}∩{x|﹣2＜x＜9}={x|3＜x＜6}；（2）若C⊆B，则，解得﹣2≤a≤8．点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．16．（10分）已知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．（1）求证：f（8）=3．（2）求不等式f（x）﹣f（x﹣2）＞3的解集．考点：抽象函数及其应用．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）由已知利用赋值法及已知f（2）=1可求证明f（8）（2）原不等式可化为f（x）＞f（8x﹣16），结合f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数可求解答：证明：（1）由题意可得f（8）=f（4×2）=f（4）+f（2）=f（2×2）+f（2）=3f（2）=3解：（2）原不等式可化为f（x）＞f（x﹣2）+3=f（x﹣2）+f（8）=f（8x﹣16）∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数∴解得：点评：本题主要考查了利用赋值法求解抽象函数的函数值及利用函数的单调性求解不等式，解题的关键是熟练应用函数的性质17．（10分）已知关于x的不等式﹣x2+ax+b＞0的解集为A={x|﹣1＜x＜3，x∈R}（1）求a、b的值（2）设函数f（x）=lg（﹣x2+ax+b），求最小的整数m，使得对于任意的x∈A，都有f（x）≤m成立．考点：一元二次不等式的解法；函数恒成立问题．专题：计算题．分析：（1）根据题中条件：“x的不等式﹣x2+ax+b＞0的解集为A={x|﹣1＜x＜3，x∈R}”得﹣1和3是相应方程的根，结合方程根的定义即可求得a值．（2）由（1）得：函数f（x）=lg（﹣x2+2x+3），x∈A={x|﹣1＜x＜3，x∈R}得出0＜﹣x2+2x+3≤4，根据对于任意的x∈A，都有f（x）≤m成立，得出m要大于等于lg（﹣x2+2x+3）的最大值即可，从而m≥lg4，最后得出m最小的整数．解答：解：（1）∵关于x的不等式﹣x2+ax+b＞0的解集为A={x|﹣1＜x＜3，x∈R}∴当x=﹣1或3时，﹣x2+ax+b＞0，即∴a=2，b=3．（2）由（1）得：函数f（x）=lg（﹣x2+2x+3），∵x∈A={x|﹣1＜x＜3，x∈R}∴0＜﹣x2+2x+3≤4∴lg（﹣x2+2x+3）≤lg4，从而m≥lg4，故最小的整数m=1．点评：本小题主要考查一元二次不等式的解法、函数恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想．属于基础题．18．（14分）已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=8，定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）确定y=g（x）的解析式；（2）求m、n的值；（3）判断f（x）的单调性，并证明．考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据条件即可确定y=g（x）的解析式；（2）建立方程关系即可求m、n的值；（3）根据函数单调性的定义和性质即可判断f（x）的单调性，并证明．解答：解：（1）设g（x）=a x，∵g（3）=8，∴解得a=2，即g（x）=2x…（3分）（2）∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，∴=0，∴n=1．…（5分）由f（﹣x）=﹣f（x），得=，∴=，∴2+m•2x=m+2x+1，即m=2．…（8分）（3）函数f（x）在R上是减函数．…（9分）证明：由（1）知f（x）===﹣+．…（10分）设任意x1∈R，x2∈R，且x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）=，∵x1＜x2，∴f（x2）﹣f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1），则f（x）单调递减．．…（13分）点评：本题主要考查函数解析式的求解，以及函数单调性的判断，要求熟练掌握函数的综合性质．。
北京市首都师范大学附属中学2019-2020学年第一学期高一数学期中考试
2019-2020学年第一学期高一年级上学期数学期中综合练习（满分：120分）一、单项选择题:认真审题，仔细想一想，然后选出唯一正确答案。
（每题3分，共30分） 1．设集合A ={a,a 2,0}，B ={2,4}，若A ∩B ={2}，则实数a 的值为（ ）A ． 2B ． ±2C ． √2D ． ±√22．若0＜a 1＜a 2，0＜b 1＜b 2，且a 1+a 2=b 1+b 2=1，则下列代数式中值最大的是A ．a 1b 1+a 2b 2B ．a 1a 2+b 1b 2C ．a 1b 2+a 2b 1D ．213．下列函数中，是偶函数的是（ ）A ． f(x)=1x B ． f(x)=lgx C ． f(x)=e x −e −x D ． f(x)=|x| 4．已知p:|x-m|＜1，q ：x 2-8x+12＜0，且q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为：A ．（3，5）B ．[3，5]C ．（-∞，3）∪（5，+∞）D ．（-∞，3]∪（5，+∞） 5．已知f(x +1)=√x ，则函数f(x)的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ． 6．关于x 的方程x 2+(m-3)x+7-m=0的两根都大于3，则m 的取值范围是A ．（-∞，1-25）∪（1+25，+∞）B ．（-27，1-25]C ．（-∞，-27）∪（1-25，+∞） D ．（-∞，1-25]7．用列举法可以将集合A={a|a 使方程ax 2+2x+1=0有唯一实数解}表示为 （ ）A ．A={1}B ．A={0}C ．A={0，1}D ．A={0}或{1}8．已知集合M={m|m=a+b 2，a ，b ∈Q }，则下列四个元素中属于M 的元素的个数是①1+2π；②2611+；③221+；④32-+32+（ ）A ．4B ．3C ．2D ．19．下列不等式正确的是 （ ）A ．x 2+23x ≥23 B ．a 2+b 2≥4ab C ．ab ≥2ba + D ．a+a4≥410．“x ＞3”是“x 2-5x+6＞0”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题（每题3分，共30分）1．已知集合A ={x|x >1}，B ={x|x >a}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________。
2019-2020学年北京四中高一上学期期中考试数学试卷
2019-2020学年北京四中高一上学期期中考试数学试卷一、单选题1．设集合A ={4,5,7,9},B ={3,4,7,8,9}，全集U =A ∪B ，则集合C U (A ∩B)中的元素共有A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2．函数()f x =的定义域是（ ）． A ．(),2-∞ B ．[)2,+∞ C ．(],2-∞ D ．()2,+∞3．设集合A={（x ，y ）|4x+y=6}，B={（x ，y ）|3x+2y=7}，则满足C ⊆A ∩B 的集合C 的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．下列函数中，在（-∞，0）上为减函数的是（ ）A ．y =−x 2+2B ．y =4x −1C ．y =x 2+4xD ．y =1x5．已知函数f(x)=(23)x ，则函数y=f （x+1）的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．6．如果二次函数y=x2-（k+1）x+k+4有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(−∞,−3)∪(5,+∞)B ．(−∞,−5)∪(3,+∞)C ．(−3,5)D ．(−5,3)7．下列大小关系正确的是（ ）A ．0.43<30.4<log 40.3B ．0.43<log 40.3<30.4C ．log 40.3<0.43<30.4D ．log 40.3<30.4<0.438．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，32()2f x x x =-，则当0x <时，()f x =（ ）A ．322x x +B ．322x x -C ．322x x -+D ．322x x --二、填空题9．计算：e ln1＝________.10．已知集合A ={x|x >1}，B ={x|x >a}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是______.11．函数f(x)=log a (a −a x ) (0<a <1)的定义域为__________.12．已知f(x)＝{x 2−1, x ≤1−x +1, x >1，则f[f(−1)]＝_________；若f(x)=−1，则x =________．13．已知函数f(x)=ax 2−2x −2在区间[1,+∞)上不单调，则实数a 的取值范围是________.14．如图放置的边长为2的正三角形ABC 沿x 轴滚动，记滚动过程中顶点A 的横、纵坐标分别为x 和y ，且y 是x 在映射f 作用下的象，则下列说法中：① 映射f 的值域是[0,√3]；② 映射f 不是一个函数；③ 映射f 是函数，且是偶函数；④ 映射f 是函数，且单增区间为[6k,6k +3](k ∈Z)，其中正确说法的序号是___________.说明：“正三角形ABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动．沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点B 为中心顺时针旋转，当顶点C 落在x 轴上时，再以顶点C为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正三角形ABC可以沿x轴负方向滚动．15．已知函数f(x)=x 12−log12x，若0＜a＜b＜c，且满足f(a)f(b)f(c)<0(0<a<b<c)，则下列说法一定正确的是______.①f(x)有且只一个零点②f(x)的零点在(0,1)内③f(x)的零点在(a,b)内④f(x)的零点在(c,+∞)内16．关于函数f(x)=√x2−x4|x−1|−1的性质描述，正确的是___①f(x)的定义域为[−1,0)∪(0,1]②f(x)的值域为(−1,1)③f(x)在定义域上是增函数④f(x)的图象关于原点对称17．在同一直角坐标系下，函数y= a x与y= log a x(a>0,a≠1)的大致图象如图所示，则实数a的可能值为______①. 32②. 43③. 75④. 10718．已知函数f(x)={x3+a,x>0x+1, x≤0在R上是增函数，则实数a的取值范围是________．19．非空有限数集S满足：若a,b∈S，则必有ab∈S．请写出一个满足条件的二元数集S＝________．20．已知直线y=ax上恰好存在一个点关于直线y=x的对称点在函数y=lnx 的图象上．请写出一个符合条件的实数a的值：________．三、解答题21．已知集合A={x|x2−x<0}，B={x|x2−2x−m<0}.（1）求∁R A；（2）若A∩B=∅，求实数m的取值范围．22．已知函数f(x)=a−2是定义在R上的奇函数．1+2x（1）求f(x)的解析式及值域；（2）判断f(x)在R上的单调性，并用单调性定义予以证明．23．某公司共有60位员工，为提高员工的业务技术水平，公司拟聘请专业培训机构进行培训．培训的总费用由两部分组成：一部分是给每位参加员工支付400元的培训材料费；另一部分是给培训机构缴纳的培训费．若参加培训的员工人数不超过30人，则每人收取培训费1000元；若参加培训的员工人数超过30人，则每超过1人，人均培训费减少20元．设公司参加培训的员工人数为x人，此次培训的总费用为y元．（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）请你预算：公司此次培训的总费用最多需要多少元？24．若函数f(x)的图象恒过(0,0)和(1,1)两点，则称函数f(x)为“0-1函数”. （1）判断下面两个函数是否是“0-1函数”，并简要说明理由：①y=x−1；②y=−x2+2x.（2）若函数f(x)=a x+b是“0-1函数”，求f(x)；（3）设g(x)=log a x(a>0,a≠1)，定义在R上的函数ℎ(x)满足：①对∀x1,x2∈R，均有ℎ(x1x2+1)=ℎ(x1)⋅ℎ(x2)−ℎ(x2)−x1+2；②g[ℎ(x)]是“0-1函数”，求函数ℎ(x)的解析式及实数a的值．2018-2019学年北京市人大附中高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9}，全集U=A∪B，则集合C U(A∩B)中的元素共有A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】A【解析】试题分析：U =A ∪B ={3,4,5,7,8,9},A ∩B ={4,7,9},所以C U (A ∩B)={3,5,8}，即集合C U (A ∩B)中共有3个元素，故选A ．【考点】集合的运算．2．函数()f x =的定义域是（ ）． A ．(),2-∞ B ．[)2,+∞ C ．(],2-∞ D ．()2,+∞【答案】D【解析】要使函数有意义，则需20x ->，解得： 2x >，所以函数的定义域是：()2,+∞，故选D ．3．设集合A={（x ，y ）|4x+y=6}，B={（x ，y ）|3x+2y=7}，则满足C ⊆A ∩B 的集合C 的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】先求出A ∩B ，然后根据A ∩B 中元素的个数确定C 的个数．【详解】A ∩B ={(x ，y)|{4x +y =63x +2y =7 }={（1，2）}， ∴C 是∅或{（1，2）}，共有2个．故选：C ．【点睛】本题考查子集的性质和应用，属于基础题．4．下列函数中，在（-∞，0）上为减函数的是（ ）A ．y =−x 2+2B ．y =4x −1C ．y =x 2+4xD ．y =1x【答案】D【解析】根据二次函数，一次函数，反比例函数的单调性，逐一判断四个答案中的函数在区间（﹣∞，0）上的单调性，比照后，即可得到答案．【详解】 A 中，函数y ＝﹣x 2+2在（﹣∞，0）上为增函数；B 中，函数y ＝4x ﹣1在（﹣∞，0）上为增函数；C 中，函数y ＝x 2+4x 在（﹣∞，﹣2）上为减函数，在（﹣2，0）上为增函数；D 中，函数y =1x 在（﹣∞，0）上为减函数故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，熟练掌握各种基本初等函数的单调性，是解答本题的关键．5．已知函数f(x)=(23)x ，则函数y=f （x+1）的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】根据题意，先求f （x +1）的表达式，可得f(x +1)=(23)x+1=23⋅(23)x ，进而分析可得f （x ）单调递减，且其图象与y 轴交点在（0，1）之下，比较选项可得答案．【详解】根据题意，可得f(x +1)=(23)x+1=23⋅(23)x ，f （x ）单调递减； 同时有f(0)=23＜1，23＜1，即函数图象与y 轴交点在（0，1）之下； A 、D 选项的图象为增函数，不符合；C 选项的图象与y 轴交点在（0，1）之上，不符合；只有B 的图象符合两点，故选：B ．【点睛】本题考查指数函数的性质和函数图象的变化，掌握指数函数的性质是解题的关键．6．如果二次函数y=x2-（k+1）x+k+4有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(−∞,−3)∪(5,+∞)B ．(−∞,−5)∪(3,+∞)C ．(−3,5)D ．(−5,3)【答案】A【解析】二次函数y ＝x 2﹣（k +1）x +k +4有两个不同的零点可得，x 2﹣（k +1）x +k +4＝0有两个不同的实根，则△＞0，解不等式可求.【详解】∵二次函数y ＝x 2﹣（k +1）x +k +4有两个不同的零点∴x 2﹣（k +1）x +k +4＝0有两个不同的实根∴△＝（k +1）2﹣4（k +4）＝k 2﹣2k ﹣15＝（k +3）（k ﹣5）＞0∴k ＜﹣3或k ＞5故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次函数的零点与二次方程的根的存在情况的判断，属于基础题.7．下列大小关系正确的是（ ）A ．0.43<30.4<log 40.3B ．0.43<log 40.3<30.4C ．log 40.3<0.43<30.4D ．log 40.3<30.4<0.43【答案】C【解析】试题分析：根据指数的性质可知：0<0.43<0.4<12，30.4>1，根据对数的性质12<log 43<1,所以0.43<12<log 43<1<30.4，故选择D.【考点】1.指数对数的比较大小；2.指数、对数的运算性质.8．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，32()2f x x x =-，则当0x <时，()f x =（ ）A ．322x x +B ．322x x -C ．322x x -+D ．322x x --【答案】A【解析】试题分析：设0x <，则0x ->，因为函数()f x 是R 上的奇函数，所以()()3232f x f x x x x x=--=----=+，故选A．[()2()]2【考点】函数的奇偶性的应用．二、填空题9．计算：e ln1＝________.【答案】1【解析】利用对数的运算规则a log a N=N可得计算结果.【详解】因为e ln1=e log e1=1，故填1.【点睛】对数有如下的运算规则：（1）log a M+log a N=log a(MN)(a>0,a≠1,M>0,N>0)，(a>0,a≠1,M>0,N>0)；log a M−log a N=log a MN（2）a log a N=N(a>0,a≠1,N>0)；log a b(a>0,a≠1,b>0,p≠0)；（3）log a p b q=qp(a>0,a≠1,b>0,c>0,c≠1) .（4）log a b=log c blog c a10．已知集合A={x|x>1}，B={x|x>a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是______.【答案】(−∞,1]【解析】在数轴上画出两个集合对应的范围，利用A⊆B可得实数a的取值范围. 【详解】如图，在数轴表示A,B，因为A⊆B，故a≤1，填(−∞,1].【点睛】含参数的集合之间的包含关系，应借助于数轴、韦恩图等几何工具直观地讨论参数的取值范围，解决此类问题时，还应注意区间端点处的值是否可取. 11．函数f(x)=log a(a−a x)(0<a<1)的定义域为__________.【答案】(1,+∞)【解析】解不等式a−a x>0可得函数的定义域.【详解】由题设有a−a x>0即a>a x，因0<a<1，故x>1，故函数的定义域为(1,+∞)，填(1,+∞).【点睛】函数的定义域一般从以下几个方面考虑：（1）分式的分母不为零；（2）偶次根号√an（n∈N∗,n≥2，n为偶数）中，a≥0；（3）零的零次方没有意义；（4）对数的真数大于零，底数大于零且不为1.12．已知f(x)＝{x2−1, x≤1−x+1, x>1，则f[f(−1)]＝_________；若f(x)=−1，则x=________．【答案】－1 0或2【解析】根据自变量的范围选择合适的解析式计算函数值即可，分段讨论可得何时f(x)=−1.【详解】f(−1)=(−1)2−1=0，故f[f(−1)]=f(0)=−1，因为f(x)=−1，故{x≤1x2−1=−1或者{x>1−x+1=−1，解得x=0或x=2 . 综上，填−1，0或2.【点睛】分段函数的求值问题，应该自变量的范围选择适当的解析式去求函数值，如果知道分段函数的函数值，则应分类讨论求出不同范围上的自变量的值，也可以先刻画出分段函数的函数图像，结合图像求函数值或相应的自变量的值.13．已知函数f(x)=ax2−2x−2在区间[1,+∞)上不单调，则实数a的取值范围是________.【答案】(0,1)【解析】∈[1,+∞)，从而得到实数a的取值范根据函数在[1,+∞)不单调可得a≠0且1a围.【详解】若a=0，则f(x)=−2x−2，f(x)在[1,+∞)为减函数，不符题意，舎；，因为f(x)在[1,+∞)不单调，若a≠0，则f(x)为二次函数，对称轴为x=1a>1，所以0<a<1，填(0,1).故1a【点睛】含参数的多项式函数，我们要首先确定最高次项的系数是否为零，因为它确定了函数种类（一次函数、二次函数、三次函数等）.其中，一次函数y=kx+b 的单调性取决于k的正负，二次函数的单调性取决对称轴的位置及开口方向. 14．如图放置的边长为2的正三角形ABC沿x轴滚动，记滚动过程中顶点A 的横、纵坐标分别为x和y，且y是x在映射f作用下的象，则下列说法中：①映射f的值域是[0,√3]；②映射f不是一个函数；③映射f是函数，且是偶函数；④映射f是函数，且单增区间为[6k,6k+3](k∈Z)，其中正确说法的序号是___________.“正三角形ABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿说明：x轴正方向滚动指的是先以顶点B为中心顺时针旋转，当顶点C落在x轴上时，再以顶点C为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正三角形ABC可以沿x轴负方向滚动．【答案】③。
北京市通州区2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题Word版含解析
北京市通州区2019-2020学年上学期期中考试高一数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合要求的，请把所选出的答案之前的标号填在括号内． 1．已知集合{}|(1)0A x x x =-=，那么（ ）． A ．1A ∈ B ．0A ∉C ．{}1A ∈D ．{}0,1A Ü2．已知集合A 到集合B 的映射:21f x y x →=-，那么集合A 中元素2的集合B 中所对应的元素是（ ）． A ．1B ．3C ．5D ．7 3．下列函数中与函数(0)≥y x x =有相同图象的一个是（ ）． A．2y =B．y =C．y =D ．2x y x=4．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）． A．yB ．2(1)y x =-C ．2x y -=D ．0.5log y x = 5．在同一坐标系中，图象关于x 轴对称的一组函数是（ ）． A ．10x y =与lg y x = B ．3log y x =与13log y x=C ．2y x =与y =D ．2y x =与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭6．已知ln2a =，ln3b =，那么3log 2用含a ，b 的代数式表示为（ ）． A ．a b -B ．a b +C ．abD ．ab7．已知幂函数()y f x =的图象过点，则此函数的解析式是（ ）． A ．2y x =B．y x C．y D ．21y x =8．已知函数[]222,(,1)(2,)()1,1,2x x x f x x x ⎧--∈-∞-+∞⎪=⎨-∈-⎪⎩，那么函数()f x 的零点的个数为（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3第二卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）把正确答案填在题中横线上9．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}1,2,3A =，{}1,3,5,7B =，则()U A B ð等于____________．10．已知集合{}2|20,A x x x a a =++=∈R ，若A ≠∅，则a 的取值范围是____________．11．如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则[](1)f f -=____________．12．若函数2()(2)3f x k x kx =-++是偶函数，则()f x 的单调递减区间是____________．13．已知53()8f x x ax bx =++-，且(2)10f -=，则(2)f =____________．14．已知集合{}{},,0,1,2a b c =，且下列三个关系式：（1）2a ≠；（2）2b =；（3）0c ≠；有且只有一个正确，则a b c +-=____________． 三、解答题（本大题共6小题，共80分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分）已知集合{}|A x x a =<，{}|16B x x =<<． （Ⅰ）若5a =时，求A B ，A B ．（Ⅱ）若A B ⊆R R 痧，求实数a 的取值范围．16．（本小题13分）简答： （Ⅰ）计算12491lg lg 25644-⎛⎫+- ⎪⎝⎭．（Ⅱ）比较0.31.7， 3.10.9，0.5log 1.1大小． （Ⅲ）若225x x -+=，求44x x -+的值．17．（本小题13分）已知函数()ln()f x x a =-，a ∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的定义域．（Ⅱ）若()f x 的零点在(1,2)内，求实数a 的取值范围． （Ⅲ）若()f x 在[]1,2的最大值是1，求实数a 的值．18．（本小题14分）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，()(1)f x x x =-． （Ⅰ）在给出的直线坐标系中，画出函数()f x 的图象． （Ⅱ）根据图象写出()f x 的单调区间（不必证明）．（Ⅲ）写出函数()f x 在R 上的解析式（只写毕结果，不写过程）．19．（本小题13分）下列为北京市居民用水阶梯水份表（单位：元/立方米）．（Ⅱ）若某居民年交水费1040元，求其中自来水费、水资源费及污水处理费各占多少？20．（本小题14分）已知函数()1()f x x ax a =++∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求(2)f -的值．（Ⅱ）若函数()f x 在R 上具有单调性，求a 的取值范围．北京市通州区2019-2020学年上学期期中考试高一数学试题参考答案 第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合要求的，请把所选出的答案之前的标号填在括号内． 1．已知集合{}|(1)0A x x x =-=，那么（ ）． A ．1A ∈ B ．0A ∉C ．{}1A ∈D ．{}0,1A Ü【答案】A【解析】集合{}|(1)0{0,1}A x x x =-==，∴1A ∈．故选A ．2．已知集合A 到集合B 的映射:21f x y x →=-，那么集合A 中元素2的集合B 中所对应的元素是（ ）． A ．1 B ．3 C ．5 D ．7【答案】B【解析】集合A 到B 的映射:21f x y x →=-，∴当1x =时，3y =，即集合A 中元素2在集合B 中所对应的元素是3．故选B ．3．下列函数中与函数(0)≥y x x =有相同图象的一个是（ ）．A ．2y =B ．y =C ．y =D ．2x y x=【答案】A【解析】A 选项，2y =定义域为{|0}x x ≥，与已知函数定义域相同，且对应关系也相同，所以与(0)y x x =≥有相同图象，故A 正确；B 选项，y =R ，与(0)≥y x x =定义域不同，所以与其函数图象不同，故B 错误；C 选项，y =R ，与(0)≥y x x =定义域不同，所以函数图象不同，故C 错误；D 选项，2x y x=定义域是{|0}x x ≠，与(0)≥y x x =定义域不同，所以函数图象不同，故D 错误．综上所述，故选A ．4．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）．A ．yB ．2(1)y x =-C ．2x y -=D ．0.5log y x =【答案】A【解析】A 选项，y =在(0,)+∞上为增函数；故A 正确；B 选项，2(1)y x =-在(,1)-∞上是减函数，在(1,)+∞上是增函数，故B 错误；C 选项，122xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭在R 上是减函数，故C 错误； D 选项，0.5log y x =在(0,)+∞上是减函数，故D 错误．综上所述，故选A ．5．在同一坐标系中，图象关于x 轴对称的一组函数是（ ）． A ．10x y =与lg y x = B ．3log y x =与13log y x=C ．2y x =与y =D ．2y x =与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B【解析】A 选项，10x y =与lg y x =互反函数，图象关于直线y x =对称，故A 错误；B 选项，与133log log y x x==-，故3log y x =与13log y x=图象关于x 轴对称，故B 正确；C 选项，2y x =与y =不对称，故C 错误；D 选项，2y x =与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭不对称，故D 错误．综上所述，故选B ．6．已知ln2a =，ln3b =，那么3log 2用含a ，b 的代数式表示为（ ）． A ．a b -B ．a b +C ．abD ．ab【答案】D【解析】∵ln2a =，ln3b =， ∴3ln 2log 2ln3ab==．故选D ．7．已知幂函数()y f x =的图象过点，则此函数的解析式是（ ）．A ．2y x =B ．2y x =C ．yD ．21y x =【答案】C【解析】设幂函数的解析式为()a f x x =，∵幂函数的图象过，∴(2)2a f ==12a =， ∴12()f x x ==C ．8．已知函数[]222,(,1)(2,)()1,1,2x x x f x x x ⎧--∈-∞-+∞⎪=⎨-∈-⎪⎩，那么函数()f x 的零点的个数为（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】令2220x x --=，解得：11x =-舍去)，21x =， 令10x -=，解得1x =，∴函数()f x 的零点的个数是2．故选C ．第二卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）把正确答案填在题中横线上9．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}1,2,3A =，{}1,3,5,7B =，则()U A B ð等于____________． 【答案】{2}【解析】∵{}1,2,3A =，{}1,3,5,7B =， ∴{2,4,6}U B =ð，∴(){2}U A B =ð．10．已知集合{}2|20,A x x x a a =++=∈R ，若A ≠∅，则a 的取值范围是____________．【答案】(],1-∞【解析】∵集合2{|20,}A x x x a a =++=∈R ，且A ≠∅， ∴方程220x x a ++=有解，440a ∆=-≥，解得：1a ≤． 故a 的取值范围是(],1-∞．11．如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则[](1)f f -=____________．【答案】2【解析】[](1)(0)2f f f -==．12．若函数2()(2)3f x k x kx =-++是偶函数，则()f x 的单调递减区间是____________． 【答案】(0,)+∞【解析】若函数2()(2)3f x k x kx =-++是偶函数，则0k =， ∴2()23f x x =-+，对称轴是y 轴，开口向下， ∴()f x 的单调递减区间是(0,)+∞．13．已知53()8f x x ax bx =++-，且(2)10f -=，则(2)f =____________． 【答案】26-【解析】设53()()8g x f x x ax bx =+=++是奇函数，∴(2)(2)818g f -=-+=，(2)(2)818g f =+=-，故(2)26f =-．14．已知集合{}{},,0,1,2a b c =，且下列三个关系式：（1）2a ≠；（2）2b =；（3）0c ≠；有且只有一个正确，则a b c +-=____________． 【答案】1【解析】0a =，1b =，2c =，不满足条件；0a =，2b =，1c =，不满足条件；1a =，0b =，2c =，不满足条件；1a =，2b =，0c =，不满足条件； 2a =，0b =，1c =，满足条件；2a =，1b =，0c =，不满足条件；∴2a =，0b =，1c =，故1a b c +-=．三、解答题（本大题共6小题，共80分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分）已知集合{}|A x x a =<，{}|16B x x =<<． （Ⅰ）若5a =时，求A B ，A B ．（Ⅱ）若A B ⊆R R 痧，求实数a 的取值范围． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）5a =时，{}|5A x x =<，{}|16B x x =<<， ∴{}|15AB x x =<<，{}|6AB x x =<．（Ⅱ）{|}A x x a R ≥ð，{|1B x x =R ≤ð或6}x ≥ ∵A B ⊆R R痧，∴6a ≥，故实数a 的取值范围是[)6,+∞．16．（本小题13分）简答： （Ⅰ）计算12491lg lg 25644-⎛⎫+- ⎪⎝⎭．（Ⅱ）比较0.31.7， 3.10.9，0.5log 1.1大小． （Ⅲ）若225x x -+=，求44x x -+的值． 【答案】见解析 【解析】（Ⅰ）12491lg lg 25644-⎛⎫+- ⎪⎝⎭8186lg 2710077=+=-=-． （Ⅱ）∵0.301.7 1.71>=， 3.1000.90.91<<=， 0.50.51log 1.1log 0<<，∴ 3.10.30.5log 1.10.9 1.7<<． （Ⅲ）∵225x x -+=，∴2(22)25x x -+=，∴44225x x -++=， ∴4423x x -+=．17．（本小题13分）已知函数()ln()f x x a =-，a ∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的定义域．（Ⅱ）若()f x 的零点在(1,2)内，求实数a 的取值范围． （Ⅲ）若()f x 在[]1,2的最大值是1，求实数a 的值． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）∵0x a ->，∴x a >， ∴()f x 的定义域是(,)a +∞．（Ⅱ）∵()f x 在(,)a +∞上是增函数，且零点在(1,2)内， ∴1020(1)0(2)0a a f f ->⎧⎪->⎪⎨<⎪⎪>⎩，即1020(1)0m(2)0a a m a a ->⎧⎪->⎪⎨-<⎪⎪->⎩，解得01a <<， 故实数a 的取值范围是(0,1)． （Ⅲ）max ()(2)(2)1f x f m a ==-=， ∴2a e -=，解得2a e =-．18．（本小题14分）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，()(1)f x x x =-． （Ⅰ）在给出的直线坐标系中，画出函数()f x 的图象． （Ⅱ）根据图象写出()f x 的单调区间（不必证明）．（Ⅲ）写出函数()f x 在R 上的解析式（只写毕结果，不写过程）．【答案】见解析 【解析】（Ⅰ）（Ⅱ）()f x -的单调增区间是11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调减区间是1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（Ⅲ）(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x -⎧=⎨+<⎩≥．19．（本小题13分）下列为北京市居民用水阶梯水份表（单位：元/立方米）．（Ⅱ）若某居民年交水费1040元，求其中自来水费、水资源费及污水处理费各占多少？ 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）当0180x <≤时，5y x =；当180260x <≤时，1805(180)77360y x x =⨯+-⨯=-； 当260x >时，1460(260)99880y x x =+-⨯=-； ∴5,0180,7360,180260,9880,260,x x x y x x x x x x <∈⎧⎪=-<∈⎨⎪->∈⎩NN N ≤≤．（Ⅱ）当1040y =时，73601040x -=，200x =， 自来水费：2.0718020 4.07454⨯+⨯⨯（元）， 水资源费：1.57200314⨯=（元）， 污水处理费：1.36200272⨯=（元），20．（本小题14分）已知函数()1()f x x ax a =++∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求(2)f -的值．（Ⅱ）若函数()f x 在R 上具有单调性，求a 的取值范围． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）当1a =时，()1f x x x =++， ∴(2)|21|(2)1f -=-++-=-．（Ⅱ）(1)1,1()1(1)1,1a x x f x x ax a x x ++-⎧=++=⎨--<-⎩≥， 若函数()f x 在R 上具有单调性，则： 1010a a +>⎧⎨->⎩或1010a a +<⎧⎨-<⎩， 解得1a >或1a <-． 故a 的取值范围(,1)(1,)-∞-+∞．。
北京高一上学期期中考试数学试卷含答案(共3套)
北京市丰台区2019-2020学年度第一学期期中考试高一数学试卷考试时间：90分钟第I 卷（选择题共40分）一．选择题（每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1．已知集合{}1,1A =-，{}1,0,1,2B =-，那么B A 等于 (A) }{1,0(B) }{0(C) }{1,1-(D) }{2,1,0,1-2．已知b a >，d c >，下列不等式中必成立的一个是 (A) d b c a +>+(B) d b c a ->- (C) bd ac >(D)db c a > 3．命题“对任意R a ∈，都有20a ≥”的否定为 (A) 对任意R a ∈，都有02<a (B) 存在R a ∈，使得02<a (C) 存在R a ∈，使得02≥a (D) 存在R a ∉，使得02<a4．“2=x ”是“42=x ”的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件5．已知函数⎩⎨⎧≥-<+-=).1(2),1(1)(2x x x x x x f 则))1((-f f 的值为(A) 2-(B) 1-(C) 0 (D) 36．已知0,>b a ，且1=ab ，则 (A) 2>+b a (B) 2≥+b a (C) 2-<+b a (D) 2-≤+b a7．已知0>a ，则4341-⋅aa 等于 (A) 12a - (B) 163-a(C) 13a(D) a8．已知下列四组函数：① 1)(+=x x f ，1)(2+=xx x g ； ② x x f =)(，2)(x x g =； ③ 1)(=x f ，0)(x x g =； ④ ⎩⎨⎧<-≥=.0,,0,)(x x x x x f ，x x g =)( ．其中是同一个函数的组号是 (A) ①(B) ②(C) ③(D) ④9．函数xy )21(=的图象是(A)(B)(C)(D)10．我国北方某地区长期受到沙尘暴的困扰．2019年，为响应党中央提出的“防治土地荒漠化 助力脱贫攻坚战”的号召，当地政府积极行动，计划实现本地区的荒漠化土地面积每年平均比上年减少10％．已知2019年该地区原有荒漠化土地面积为7万平方公里，则2025年该地区的荒漠化土地面积（万平方公里）为 (A) 49.07⨯ (B)59.07⨯(C) 69.07⨯(D) 79.07⨯第Ⅱ卷（非选择题共60分）二．填空题（每空4分，共24分） 11．不等式022>-x x 的解集为_____．12．已知函数)(x f 为奇函数，且3)1(=f ，则)1(-f 的值为_____． 13．函数1)(-=xa x f （0>a 且1≠a ）的图象一定过定点P ，则P 点 的坐标为_____．14．幂函数)(x f y =的图象经过点)2,4(，则函数)(x f 的解析式为_____，)41(f 的值为_____． 15．能说明“若b a >，则22b a >”为假命题的一组a ，b 的值依次为_____．16．已知函数)(x f 的图象如图所示，根据图象有下列三个命题：① 函数)(x f 在定义域上是单调递增函数； ② 函数)(x f 在定义域上不是单调递 增函数，但有单调递增区间； ③ 函数)(x f 的单调递增区间是),(),(c b b a ．其中所有正确的命题的序号有_____．三．计算题（共36分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 17．（本小题8分）已知全集R U =，集合{}21≤≤-=x x A ，{}1>=x x B ． （Ⅰ）求B A ； （Ⅱ）求()RA B ．18．（本小题8分）已知函数3)(2++=ax x x f ．（Ⅰ）若4-=a ，求不等式0)(≤x f 的解集；（Ⅱ）若不等式0)(>x f 的解集为R ，求实数a 的取值范围．19．（本小题10分）已知函数xa x f =)(，xa x g )1()(=（0>a 且1≠a ），21)1(=-f ． （Ⅰ）求函数)(x f 和)(x g 的解析式； （Ⅱ）在同一坐标系中画出函数)(x f 和)(x g 的图象；（III ）如果)()(x g x f <，请直接写出x 的取值范围．20．（本小题10分）已知函数xx x f 4)(+=． （Ⅰ）证明：函数()f x 是奇函数；（Ⅱ）判断函数()f x 在区间),2(+∞上的单调性，并用定义证明； （III ）若对]4,2[∈∀x ，都有m xx ≤+4恒成立，求m 的取值范围．丰台区2019—2020学年度第一学期期中高一数学卷参考答案第Ⅱ卷（非选择题 共60分）二．填空题（每空4分，共24分）三．计算题（共36分）17.（本小题8分） （1）{|1}AB x x =≥- -------------4分（2）{|1R A x x =<-或2}x >(){|2}R A B x x => -------------8分18.（本小题8分）（1）当4-=a ，不等式为2430x x -+≤． -------------1分∵方程2430x x -+=有两个实数根11=x，32=x． -------------3分 ∴不等式0342≤++x x 的解集为{}31≤≤x x ． -------------4分 （2）∵032>++ax x 解集为R ， ∴方程2430x x -+=无实根，∴0123422<-=⨯-=∆a a ． -------------6分 ∴实数a 的取值范围是{a a -<<． -------------8分14x ，1219.（本小题10分）（1）11(1)2f a --==，所以2a =，所以()2xf x =，1()()2xg x = -------------4分（2）-------------8分（3）0x < -------------10分20.（本小题10分）（1）函数()f x 的定义域为{}0≠x x ． -------------1分{}0≠∈∀x x x ，都有{}0≠∈-x x x ，且44()()()f x x x f x x x-=-+=-+=--， -------------2分 所以，函数4()f x x x=+为奇函数． -------------3分 （2）判断：()f x 在区间(2,)+∞上单调递增. 证明： 12,(2,)x x ∀∈+∞，且21x x <，有12121244()()()()f x f x x x x x -=+-+ 121244()()x x x x =-+- 2112124()()x x x x x x -=-+121212(4)x x x x x x -=- -------------5分 ∵122x x <<，∴124x x >，1240x x ->，021<-x x ． ∴121212(4)0x x x x x x --<，即)()(21x f x f < ． -------------6分 ∴函数4()f x x x=+在区间(2,)+∞上是增函数． ------------7分 （3）由（2）可知，函数4()f x x x=+在区间[2,4]上是增函数， ------------8分所以max ()(4)5f x f ==， -------------9分 因为对]4,2[∈∀x ，都有m xx ≤+4恒成立， 所以max ()f x m ≤，即5m ≥． -------------10分2019—2020学年第一学期期中考试高一数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|2}A x x =>，{|(1)(3)0}B x x x =--<，则A B =（ ）A. {|1}x x >B. {|23}x x <<C. {|13}x x <<D. {| 2 x x >或1}x <2.已知命题p ：∃c ＞0，方程x 2-x +c =0有解，则¬p 为（ ） A. ∀c ＞0，方程x 2-x +c =0无解 B. ∀c ≤0，方程x 2-x +c =0有解 C. ∃c ＞0，方程x 2-x +c =0无解D. ∃c ≤0，方程x 2-x +c =0有解3.已知定义在R 上的函数f （x ）的图像是连续不断的，且有如下对应值表：那么函数f （x ）一定存在零点的区间是（ ） A. （-∞，1）B. （1，2）C. （2，3）D. （3，4）4.下列函数中，在其定义域上既是偶函数，又在（0,+∞）上单调递减的（ ） A. y =x 2B. y =3xC. y =x +1D. y 5.若a ＞b ，则下列四个不等式中必成立的是（ ） A. ac ＞bc B. a c ＞b cC. a 2＞b 2D.21ac +＞21b c +6.函数f (x 的最大值为 （ ）A. 2 5B. 1 2C.2D. 17.5a ≥是命题“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”为真命题的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知奇函数()y f x =的图像关于直线2x =对称，且()3f m =，则(4)f m -的值为（ ） A. 3B. 0C. -3D.139.已知函数()2f x ax x =-,若对任意[)12,2,x x ∈+∞,且12x x ≠,不等式()()12120f x f x x x ->-恒成立,则实数a 的取值范围是A. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D. 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10.给定条件：①∃x 0∈R ，f （-x 0）=-f （x 0）；②∀x ∈R ，f （1-x ）=-f （1+x ）.下列三个函数：y =x 3，y =|x -1|，y =221,143,1x x x x x ⎧-<⎨-+≥⎩中，同时满足条件①②的函数个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡中的横线上.11.计算210.00013427--12.函数y 11x -的定义域为____________. 13.若函数f （x ）=x 2-2x +1在区间[a ，a +2]上的最大值为4，则a 的值为____________. 14.如果关于x 的方程x 2+（m -1）x -m =0有两个大于12的正根，则实数m 的取值范围为____________. 15.能说明“若()()f x g x 对任意的[0,2]x ∈都成立，则()f x 在[0,2]上的最小值大于()g x 在[0,2]上的最大值”为假命题的一对函数可以是()f x =____，()g x =_______．16.已知函数22,(),x x x af x x x a ⎧-+≤=⎨>⎩.（1）当a =1时，函数()f x 的值域是___________；（2）若函数()f x 的图像与直线y a =只有一个公共点，则实数a 的取值范围是_______________.三、解答题：共40分.17.设关于x 的不等式2x a -<的解集为A ，不等式2112x x -<+的解集为B ． （1）求集合A ，B ；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围．18.已知函数()()223f x x bx b =-+∈R .⑴若函数()f x 的图象经过点()4,3，求实数b 的值.⑵当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =的最小值为1，求当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =最大值.19.如图，建立平面直角坐标系xoy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．20.如果f （x ）是定义在R 上的函数，且对任意的x ∈R ，均有f （-x ）≠-f （x ），则称该函数是“X —函数”. （1）分别判断下列函数：①y =211x +；②y =x +1；③y =x 2+2x -3是否为“X —函数”？（直接写出结论） （2）若函数f （x ）=x -x 2+a 是“X —函数”，求实数a 的取值范围；（3）设“X —函数”f （x ）=21,,x x Ax x B ⎧+∈⎨∈⎩在R 上单调递增，求所有可能的集合A 与B .参考答案1【答案】B【详解】{}{|(1)(3)0}=13B x x x x x =--<<<，{|2}A x x =>，故{|23}A B x x ⋂=<<. 故选：B . 2【解析】【详解】命题p ：∃c ＞0，方程x 2-x +c =0有解，则¬p 为∀c ＞0，方程x 2-x +c =0无解, 故选：A. 3【答案】C【详解】由表可知(1)(2)0,(2)(3)0,(3)(4)0f f f f f f ><>， 由零点存在性定理可知f （x ）一定存在零点的区间是（2，3）， 故选：C. 4【答案】B【详解】对A. y =x 2在（0,+∞）上单调递增，故排除； 对B. y =3x，其定义域上既是偶函数，又在（0,+∞）上单调递减； 对C. y =x +1，其为非奇非偶函数，故排除；对D. y ，其为非奇非偶函数，故排除， 故选：B. 5【答案】D 【详解】A.当0c时，不等式不成立；B.当0c <时，不等式不成立；C.当1,2a b ==-时，不等式不成立；D.因为210c +>，故不等式必成立， 故选：D. 6【答案】B 【解析】本小题主要考查均值定理．11()112f x x ==≤+=1x =时取等号．故选B ． 7【答案】A【详解】因为“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”等价于a 大于等于2x 的最大值， 而[]x 1,2∀∈，有[]21,4x ∈，所以4a ≥，由5a ≥，可得4a ≥成立，即[]1,2x ∀∈，20x a -≤成立； 反之，[]1,2x ∀∈，20x a -≤成立，可得4a ≥，不能推出5a ≥．5a ∴≥是命题“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”为真命题的充分而不必要条件，故选A ．8【答案】C 【解析】 【分析】由函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，可得()(4)f m f m =-，再结合()y f x =为奇函数，求得(4)f m -的值.【详解】解：由函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，可得()(4)f m f m =-， 再结合()y f x =为奇函数，可得()(4)(4)3f m f m f m =-=--=， 求得(4)3f m -=-， 故选：C. 9【答案】D【详解】不妨设x 2＞x 1≥2，不等式()()1212f x f x x x --=22112212ax x ax x x x --+- =()()()12121212a x x x x x x x x -+---=a （x 1+x 2）﹣1，∵对任意x 1，x 2∈[2，+∞），且x 1≠x 2，不等式()()1212f x f x x x --＞0恒成立，∴x 2＞x 1≥2时，a （x 1+x 2）﹣1＞0，即a ＞121x x +恒成立∵x 2＞x 1≥2 ∴121x x +＜14∴a≥14，即a 的取值范围为[14，+∞）； 故选：D ． 10【答案】B【详解】解：令()(1)g x f x =+，则()(1)(1)()g x f x f x g x -=-=+=， 所以()g x 为偶函数，关于(0,0)对称，将()(1)g x f x =+的图象向右平移一个单位可得()f x 的图象，故()f x 图象关于(1,0)对称，故可排除3y x =；若存在一个0x 使得0011x x --=--，即00110x x --+-=，该方程无解，故|1|y x =-不满足②，排除；对于221,143,1x x y x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩，当1x =时，2(1)(1)10,(1)(143)0f f -=--=-=--+=，其满足①， 画出图象如下：由图象可知，满足②. 故选：B.【点睛】本题考查函数的基本性质，根据条件能判断出函数关于(1,0)对称是关键，属于中档题. 11【答案】134【详解】原式()()23123443339130.13109244-⎡⎤⎛⎫=-+=-+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故答案为：134. 12【答案】[12，1）∪（1，+∞）【详解】解：要使函数有意义需要21010x x -≥⎧⎨-≠⎩解得12x ≥且1x ≠，故答案为：[12，1）∪（1，+∞）. 13【答案】-1或1【详解】解：由题意，当0a ≥时，(2)4f a +=，即22)2(2)4(1a a +-++=，2(1)4,1a a ∴+=∴=；当0a <时，()4f a =，即2214a a -+=，2(1)4,1a a ∴-=∴=-；综上知，a 的值为1或−1. 故答案为：1或−1. 14【答案】（-∞，-12） 【详解】解：根据题意，m 应当满足条件2(1)40112211(1)042m m m m m ⎧⎪∆=-+>⎪-⎪->⎨⎪⎪+-->⎪⎩即：2210012m m m m ⎧⎪++>⎪<⎨⎪⎪<-⎩，解得：12m <-， 实数m 的取值范围：（-∞，-12）. 故答案为：（-∞，-12）. 15【答案】 (1). ()f x x = (2). ()1g x x =-【详解】“若()()f x g x >对任意的[02]x ∈，都成立， 则()f x 在[]0,2上的最小值大于()g x 在[]0,2上的最大值”， 可设()f x x =，()1g x x =-，显然()()f x g x >恒成立，且()f x 在[]0,2的最小值为0，()g x 在[]0,2的最大值为1， 显然不成立，故答案为()f x x =，()1g x x =-． 16【答案】 (1). R (2). []0,1【详解】（1）当a =1时，22,1(),1x x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩当1x >时，()1f x x =>当1x ≤时，22()2(1)11f x x x x =-+=--+≤ 所以函数()f x 的值域是(1,)(,1]R +∞-∞=（2）因为当x a >时，()f x x a =>，所以只需函数2()2,()f x x x x a =-+≤的图像与直线y a =只有一个公共点，当22x x x -+≥，即01x ≤≤时，所以当01a ≤≤时，函数2()2,()f x x x x a =-+≤的图像与直线y a =只有一个公共点，当22x x x -+<，即1x >或0x <时，所以当1a >或0a <，即2a x x >-+，从而函数2()2,()f x x x x a =-+≤的图像与直线y a =无公共点， 因此实数a 的取值范围是[]0,1 故答案为：(1). R (2). []0,117【答案】（1）{}|22A x a x a =-<<+，{|23}B x x =-<<（2）[0]1，【详解】（1）||2x a -<22x a ∴-<-<{|22}A x a x a ∴=-<<+∵2112x x -<+ ∴302x x -<+ ∴(2)(3)0x x +-< ∴23x -<<{|23}B x x ∴=-<<（2）∵A B ⊆22a ∴-≥-且23a +≤，01a ∴≤≤即a 取值范围为[0]1，18【答案】⑴b ＝2；⑵见解析.【详解】解：（1）把（4，3）代入f （x ）得16﹣8b +3＝3，∴b ＝2． （2）f （x ）的图象开口向上，对称轴为x ＝b ． ①若b ≤﹣1，则f （x ）在[﹣1，2]上是增函数， ∴f min （x ）＝f （﹣1）＝4+2b ＝1，解得b ＝﹣32． ∴f max （x ）＝f （2）＝7﹣4b ＝13．②若b ≥2，则f （x ）在[﹣1，2]上是减函数， ∴f min （x ）＝f （2）＝7﹣4b ＝1，解得b ＝32（舍）． ③若﹣1＜b ＜2，则f （x ）在[﹣1，b ]上是减函数，在（b ，2]上增函数．∴f min （x ）＝f （b ）＝﹣b 2+3＝1，解得b 或b （舍）．∴f max （x ）＝f （﹣1）＝4+2b ＝．综上，当b ≤﹣1时，f （x ）的最大值为13，当﹣1＜b ＜2时，f （x ）最大值为． 19【答案】（1）炮的最大射程是10千米． （2）当a 不超过6千米时，炮弹可以击中目标． 【解析】试题分析：（1）求炮的最大射程即求()221120y kx k x =-+（k ＞0）与x 轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解 试题解析：（1）令y ＝0，得kx －120（1＋k 2）x 2＝0， 由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0，故x ＝2201k k +＝201k k+≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米． （2）因为a ＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k＞0，使3.2＝ka－120（1＋k2）a2成立⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝（－20a）2－4a2（a2＋64）≥0⇔a≤6.所以当a不超过6（千米）时，可击中目标．考点：函数模型的选择与应用20【答案】（1）①②是“X—函数”，③不是“X—函数”.（2）（0，+∞）（3）A=[0，+∞），B=（-∞，0）【详解】（1）①②是“X—函数”，③不是“X—函数”；（2）∵f（-x）=-x-x2+a，-f（x）=-x+x2-a，f（x）=x-x2+a是“X—函数”，∴f（-x）=-f（x）无实数解，即x2+a=0无实数解，∴a＞0，∴a的取值范围为（0，+∞）；（3）对任意的x≠0，若x∈A且-x∈A，则-x≠x，f（-x）=f（x），与f（x）在R上单调增矛盾，舍去；若x∈B且-x∈B，f（-x）=-f（x），与f（x）是“X—函数”矛盾，舍去；∴对任意的x≠0，x与-x恰有一个属于A，另一个属于B，∴（0，+∞）⊆A，（-∞，0）⊆B，假设0∈B，则f（-0）=-f（0），与f（x）是“X—函数”矛盾，舍去；∴0∈A，经检验，A=[0，+∞），B=（-∞，0）符合题意.高一上学期期中考试试卷数学一､选择题1.已知全集U R ＝，集合12345{}{|}2A B x x ∈≥R ＝，，，，，＝，则下图中阴影部分所表示的集合为( )A. {0}1，B. {}1C. {1}2，D. {012}，， 2.已知全集U =R ，{}1A x x =<-，{}1B x x =>，则()UB A =（ ）A. {}1x x >B. {}1x x ≤- C. {1x x >或}1x <-D. {}11x x -≤≤3.不等式113x <+<的解集为（ ） A. (0,2) B. (2,0)(2,4)-⋃ C. (4,0)-D. (4,2)(0,2)--⋃4.若0a b <<，则下列不等式成立的是（ ） A. 33a b >B. a b <C.11a b< D.11a b> 5.命题:2p x ∀>，210x ->，则p ⌝是（ ） A. 2x ∀>，210x -≤ B. 2x ∀≤，210x -> C. 2x ∃>，210x -≤D. 2x ∃≤，210x -≤6.若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A. 3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B. 3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C. 3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D. 3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭7.已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，若x 1，x 2∈R，则“x 1+x 2＝0”是“f（x 1）+f （x 2）＝0”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.对于集合{}22,,M a a x y x y ==-∈∈Z Z ，给出如下三个结论：①如果{}21,P b b n n ==+∈Z ，那么P M ⊆；②如果42,c n n =+∈Z ，那么c M ∉；③如果1a M ∈，2a M ∈，那么12a a M ∈.其中正确结论的个数是( ) A. 0B. 1C. 2D. 3二､填空题9.我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x ，y ，z ，则100,153100,3x y z x y z ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩当81z =时，x =___________，y =___________． 10.一元二次方程2310x x -+=的两个实数根分别是1x 、2x ，则221212x x x x 的值是______．11.已知正实数x ，y 满足xy=3，则2x+y 的最小值是 ．12.为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位：mg /L ）随时间t （单位：h ）的变化关系为2204tC t =+，则经过_______h 后池水中药品的浓度达到最大. 13.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-． 若关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则实数m 的取值范围是_____．14.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2f x x ax a =-+，其中a R ∈．①()1f -=______；②若()f x 的值域是R ，则a 的取值范围是______．三､解答题15.已知二次函数()23f x x mx =+-，有两个零点为1-和n ．（1）求m 、n 的值；（2）证明：()()11f x f x +=-；（3）用单调性定义证明函数()f x 在区间()1,+∞上是增函数；（4）求()f x 在区间[]0,a 上的最小值()g a ．16.已知函数()223f x x x =--.（1）直接写出()f x 的零点； （2）在坐标系中，画出()f x 的示意图（注意要画在答题纸上）（3）根据图象讨论关于x 的方程()f x k =的解的个数:（4）若方程()f x k =，有四个不同的根1x 、2x 、3x 、4x 直接写出这四个根的和；（5）若函数()f x 在区间()1,a -上既有最大值又有最小值，直接写出a 的取值范围．17.已知函数()21xf x x =+.（1）求证：()f x 是R 上的奇函数； （2）求()1f a f a ⎛⎫-⎪⎝⎭的值； （3）求证：()f x 在[]1,1-上单调递增，在[)1,+∞上单调递减； （4）求()f x 在[)1,-+∞上的最大值和最小值； （5）直接写出一个正整数n ，满足()12019f n <．18.设函数()1110nn n n f x a x a xa x x --=++⋅⋅⋅++，()1110m m m m g xb x b x b x b --=++⋅⋅⋅++，且对所有的实数x ，等式()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦都成立，其0a 、1a 、、n a 、0b 、1b 、、m b R ∈，m 、n N ∈．（1）如果函数()22f x x =+，()g x kx =，求实数k 的值；（2）设函数()32321f x x x =+-，直接写出满足()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦的两个函数()g x ；（3）如果方程()()f x g x =无实数解，求证：方程()()f f x g g x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦无实解．参考答案1【答案】B根据韦恩图知阴影部分表示的是A 中的元素除去A 与B 的公共元素所剩下的元素，由此可得选项. 【详解】由韦恩图可知：阴影部分表示的是A 中的元素除去A 与B 的交集的元素所剩下的元素．因为{2,3,4,5}A B ⋂=，所以阴影部分所表示的集合是{1}．故选B ． 2【答案】D 求出AB ，利用补集的定义可求出集合()UA B .【详解】由题意可得{1A B x x ⋃=>或}1x <-，因此，(){}11UA B x x ⋃=-≤≤.故选：D. 3【答案】D 【解析】1<|x +1|<3⇔1<|x +1|2<9即()()221119x x ⎧+>⎪⎨+<⎪⎩即2220280x x x x ⎧+>⎨+-<⎩， 解得x ∈(−4,−2)∪(0,2) 本题选择D 选项. 4【答案】D 【解析】 【分析】利用作差法、不等式的基本性质可判断出各选项中不等式的正误，由此可得出结论. 【详解】0a b <<，则22223024b b a ab b a ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，()()33220a b a b a ab b ∴-=-++<，33a b ∴<，A 选项中的不等式错误；0a b <<，0a b ∴->->，即a b >，B 选项中的不等式错误；0a b <<，0a b ∴->->，11a b ∴-<-，可得11a b>，C 选项中的不等式错误，D 选项中的不等式正确.故选：D.【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用不等式的基本性质、作差法以及函数的单调性来判断，考查推理能力，属于基础题. 5【答案】C 【解析】 【分析】将全称命题的量词改变，否定结论，可得出命题p ⌝. 【详解】命题:2p x ∀>，210x ->，由全称命题的否定可知，命题:2p x ⌝∃>，210x -≤.故选：C.【点睛】本题考查全称命题否定，要注意全称命题的否定与特称命题的之间的关系，属于基础题. 6【答案】D 【解析】 【分析】函数()f x 为偶函数，则()()f x f x =-则()()22f f =-，再结合()f x 在(]1-∞-，上是增函数，即可进行判断.【详解】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查化归与转化的思想，属于基础题. 7【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】函数()f x 是奇函数,∴若120x x +=，则12x x =-，则()()()122f x f x f x =-=-，即()()120f x f x +=成立,即充分性成立，若()0f x =，满足()f x 是奇函数，当122x x ==时 满足()()120f x f x ==，此时满足()()120f x f x +=， 但1240x x +=≠，即必要性不成立，故“120x x +=”是“()()120f x f x +=”的充分不必要条件， 所以A 选项正确.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键. 8【答案】D 【解析】 【分析】①根据2221(1)n n n +=+-，得出21n M +∈，即P M ⊆； ②根据42c n =+，证明42nM ，即c M ∉；③根据1a M ∈，2a M ∈，证明12a a M ∈．【详解】解：集合22{|M a a x y ==-，x ∈Z ，}y Z ∈， 对于①，21b n =+，n Z ∈， 则恒有2221(1)n n n +=+-，21n M ∴+∈，即{|21P b b n ==+，}n Z ∈，则P M ⊆，①正确；对于②，42c n =+，n Z ∈， 若42nM ，则存在x ，y Z ∈使得2242x y n ，42()()n x y x y ∴+=+-，又x y +和x y -同奇或同偶，若x y +和x y -都是奇数，则()()x y x y +-为奇数，而42n +是偶数；若x y +和x y -都是偶数，则()()x y x y +-能被4整除，而42n +不能被4整除， 42n M ∴+∉，即c M ∉，②正确；对于③，1a M ∈，2a M ∈，可设22111a x y =-，22222a x y =-，i x 、i y Z ∈；则2222121122()()a a x y x y =-- 222212121221()()()()x x y y x y x y =+-- 2212121221()()x x y y x y x y M =+-+∈ 那么12a a M ∈，③正确． 综上，正确的命题是①②③． 故选D ．【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断、以及运算求解能力和化归思想，是难题． 9【答案】 (1). 8 (2). 11 【解析】 【分析】将z 代入解方程组可得x 、y 值.【详解】19881,,.537311x y x z x y y +==⎧⎧=∴∴⎨⎨+==⎩⎩ 【点睛】实际问题数学化，利用所学的知识将陌生的性质转化为我们熟悉的性质，是解决这类问题的突破口． 10【答案】3 【解析】 【分析】利用韦达定理求出12x x +和12x x ，由此可得出2212121212x x x x x x x x 的值.【详解】由韦达定理得123x x +=，121=x x ，因此，()2212121212133x x x x x x x x +=+=⨯=.故答案为：3.【点睛】本题考查利用韦达定理求代数式的值，考查计算能力，属于基础题. 11【答案】【解析】试题分析：由题33,22y x y x x x =∴+=+≥=当且仅当2x =时，等号成立；考点：均值不等式 12【答案】2 【解析】C ＝2202020444t t t t =≤++＝5当且仅当4t t=且t ＞0，即t ＝2时取等号考点：基本不等式，实际应用 13【答案】(1,0)- 【解析】 【分析】若方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则函数()y f x =与直线y m =有4个交点，作出函数()f x 的图象，由数形结合法分析即可得答案．【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数且当0x ≥时，2()2f x x x =-，所以函数()f x 图象关于y 轴对称， 作出函数()f x 的图象：若方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则函数()y f x =与直线y m =有4个交点， 由图象可知：10m -<<时，即有4个交点. 故m 的取值范围是(1,0)-， 故答案为：(1,0)-【点睛】本题主要考查了偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，数形结合，属于中档题.14【答案】 (1). 1- (2). (][),04,-∞+∞【解析】 【分析】①运用奇函数的定义，计算即可得到所求值；②由()f x 的图象关于原点对称，可知二次函数的图象与x 轴有交点，得到0∆≥，解不等式即可得到所求范围．【详解】①由题意得：()111f a a =-+=()f x 为R 上的奇函数 ()()f x f x ∴-=- ()()111f f ∴-=-=-②若()f x 的值域为R 且()f x 图象关于原点对称∴当0x >时，()2f x x ax a =-+与x 轴有交点 240a a ∴∆=-≥解得：0a ≤或4a ≥ a ∴的取值范围为(][),04,-∞+∞故答案为1-；(][),04,-∞+∞【点睛】本题考查函数的奇偶性的运用，根据函数的值域求解参数范围，涉及到函数函数对称性和二次函数的性质的应用，属于中档题．15【答案】（1）2m =-，3n =；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）()223,014,1a a a g a a ⎧--<≤=⎨->⎩. 【解析】 【分析】（1）利用韦达定理可得出关于实数m 、n 的方程组，即可求出这两个未知数的值； （2）直接计算()1f x +和f1−x ，可证明出()()11f x f x +=-；（3）任取121x x >>，作差()()12f x f x -，因式分解后判断差值的符号，即可证明出函数()y f x =在区间()1,+∞上是增函数；（4）分01a <≤和1a >两种情况讨论，分析函数()y f x =在区间[]0,a 上的单调性，即可得出函数()y f x =在区间[]0,a 上的最小值()g a 的表达式.【详解】（1）由韦达定理得131n n m -⨯=-⎧⎨-+=-⎩，解得23m n =-⎧⎨=⎩；（2）由（1）知()()222314f x x x x =--=--，()()2211144f x x x ∴+=+--=-，()()2211144f x x x -=---=-，因此，()()11f x f x +=-； （3）任取121x x >>，则()()()()221211222323f x f x x x x x -=-----()()()()()()()2212121212121212222x x x x x x x x x x x x x x =---=+---=-+-，121x x >>，120x x ∴->，122x x +>，()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >，因此，函数()y f x =在区间()1,+∞上是增函数；（4）当01a <≤时，函数()y f x =在区间[]0,a 上为减函数，此时()()223g a f a a a ==--；当1a >时，函数()y f x =在区间[]0,1上减函数，在区间[]1,a 上为增函数， 此时()()14g a f ==-.综上所述，()223,014,1a a a g a a ⎧--<≤=⎨->⎩. 【点睛】本题考查二次函数相关的问题，涉及利用韦达定理求参数、二次函数对称性、单调性的证明、以及二次函数在区间上最值的求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16【答案】（1）1-和3；（2）图象见解析；（3）见解析；（4）4；（5）(3,1⎤⎦. 【解析】 【分析】（1）解方程()0f x =即可得出函数()y f x =的零点； （2）根据绝对值翻折变换可作出函数()y f x =的图象；（3）将方程()f x k =的解的个数转化为函数y k =和()y f x =图象的交点个数，利用数形结合思想可得出结论；（4）根据函数()y f x =可得出1234x x x x +++的值；（5）求方程2234x x --=在3x >时的解，利用图象可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）解方程()0f x =，即2230x x --=，解得1x =-或3x =，所以，函数()y f x =的零点为1-和3；（2）函数()223f x x x =--的图象是将函数223y x x =--的图象位于x 轴下方的图象关于x 轴对称，位于x 轴上方的图象保持不变而得到，则函数()223f x x x =--的图象如下图所示：（3）方程()f x k =的解的个数等于函数y k =和()y f x =图象的交点个数，如下图所示：当k 0<时，方程()f x k =无实根；当0k =或4k >时，方程()f x k =有2个实根； 当04k <<时，方程()f x k =有4个实根； 当4k =时，方程有3个实根.综上所述，当k 0<时，方程()f x k =无实根；当0k =或4k >时，方程()f x k =有2个实根；当04k <<时，方程()f x k =有4个实根；当4k =时，方程有3个实根；（4）由图象可知，函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，因此，12344x x x x +++=； （5）当3x >时，解方程2234x x --=，解得221x =，由图象可知，当3221a <≤时，函数()y f x =在区间()1,a -上既有最大值，又有最小值， 故实数a 的取范围是(3,221⎤⎦.【点睛】本题考查函数图象的应用，考查函数的零点以及最值问题，同时也涉及了函数图象对称性的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题.17【答案】（1）证明见解析；（2）0；（3）证明见解析；（4）最大值12，最小值12-；（5）答案不唯一，具体见解析. 【解析】 【分析】（1）利用奇偶性的定义证明即可； （2）代值计算即可得出()1f a f a ⎛⎫-⎪⎝⎭的值； （3）任取12x x ≠，作差()()12f x f x -，通分、因式分解后分1211x x 和211x x >≥两种情况讨论()()12f x f x -的符号，即可证明出结论；（4）利用（3）中的结论可求出函数()y f x =在区间[)1,-+∞上的最大值和最小值；（5）可取满足2019n ≥的任何一个整数n ，利用函数()y f x =的单调性和不等式的性质可推导出()12019f n <成立. 【详解】（1）函数()21xf x x =+的定义域为R ，定义域关于原点对称， 且()()()2211xxf x f x x x --==-=-+-+，因此，函数()y f x =是R 上的奇函数； （2）()22222222111*********a a a a a aaf a f a a a a a a a a ⋅⎛⎫-=-=-=-= ⎪++++⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭； （3）任取12x x ≠，()()()()()()221221121222221212111111x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++()()()()()()()()()()()()2212121212211212122222221212121111111x x x x x x x x x x x x x x x x xx xx xx -+--+---===++++++.当1211x x 时，120x x -<，1210x x ->，()()2212110x x ++>，则()()12f x f x <；当211x x >≥时，120x x -<，1210x x -<，()()2212110x x ++>，则()()12f x f x >.因此，函数()y f x =在[]1,1-上单调递增，在[)1,+∞上单调递减； （4）由于函数()y f x =在[]1,1-上单调递增，在[)1,+∞上单调递减， 当1x =时，函数()y f x =取最大值，即()()max 112f x f ==； 当0x >时，()0f x >，所以，当1x =-时，函数()y f x =取最小值，即()()min 112f x f =-=-. 综上所述，函数()y f x =在[)1,-+∞上的最大值为12，最小值为12-； （5）由于函数()y f x =在[)1,+∞上单调递减，当2019n ≥时，()()2220192019120192019120192019f n f ≤=<=+，所以，满足2019n ≥任何一个整数n 均满足不等式()12019f n <. 可取2020n =，满足条件.【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的证明、利用单调性求最值，同时也考查了函数值的计算以及函数不等式问题，考查分析问题和解决问题能力，属于中等题.18【答案】（1）1k =；（2）()g x x =，()32321g x x x =+-，答案不唯一；（3）证明见解析.【解析】 【分析】（1）根据已知条件()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦直接代入计算即可；（2）验证()g x x =满足条件()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦，再者若()()g x f x =，则等式()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦也满足，由此可得出符合条件的函数()y g x =的两个不同的解析式；（3）假设方程()()f f x g g x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦有实数解，利用反证法推出与已知条件矛盾，进而证明结论成立. 【详解】（1）()22f x x =+，()g x kx =，则()()()22222f g x f kx kx k x ⎡⎤==+=+⎣⎦，()()()222222g f x g x k x kx k ⎡⎤=+=+=+⎣⎦， ()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦，222k k k ⎧=∴⎨=⎩，解得1k =；（2）若()g x x =，则()()f g x f x ⎡⎤=⎣⎦，()()g f x f x ⎡⎤=⎣⎦，此时()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦； 若()()g x f x =，则()()f g x f f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦，()()g f x f f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦，此时()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦. 所以，当()32321f x x x =+-时，满足()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦的函数()y g x =的两个解析式可以是()g x x =，()32321g x x x =+-（答案不唯一）；（3）假设方程()()f f x g g x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦有实数解，设()()()h x f x g x =-，则()()()h f x f f x g f x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，()()()h g x f g x g g x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 两式相减得()()()()()()h f x h g x f f x g f x f g x g g x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()0f f x g g x ⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎣⎦，所以，()()h f x h g x ⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦，由零点存在定理可知，存在()(){}()(){}()min ,,max ,a f x g x f x g x ∈，使得()0h a =，()()f x g x =无实根，则()0h x =永远不成立，推出假设不成立.所以，方程()()f x g x =无实数解，方程()()f f x g g x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦也无实解【点睛】本题考查函数解析式的求解，同时也考查了方程根的存在性的证明，涉及反证法与零点存在定理的应用，考查推理论证能力，属于难题.。
北京市2023-2024学年高一上学期期中考试 数学含解析
北京2023-2024学年第一学期期中练习（答案在最后）高一数学2023.10说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}2,1,0,1M =--，{}30N x x =-≤<，则M N ⋂=（）A.{}2,1,0,1-- B.{}0,1 C.{}2- D.{}2,1--2.命题“0(0,)x ∃∈+∞，20012x x +≤”的否定为A.(0,)x ∀∈+∞，21x x +>2 B.(0,)x ∀∈+∞，212x x +≤C.(,0)x ∀∈-∞，212x x+≤ D.(],0x ∀∈-∞，21x x+>23.已知关于x 的方程220x x m -+=的两根同号，则m 的取值范围是（）A.1m ≤B.0m ≤C.01m <≤D.01m ≤≤4.已知函数()()()22111x x x f x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，则()()1f f -的值为（）A.3B.0C.1- D.2-5.已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6.下列函数中，在区间()0,∞+上单调递增且是奇函数的是（）A.1y x =+B.1y x x=-C.y x= D.2y x =7.已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A.b a c a-<+ B.2c ab< C.c c b a> D.b c a c<8.设()f x 为R 上的奇函数，且当0x <时，()31f x x =-，则(0)(4)f f +=（）A.12B.12- C.13D.13-9.已知当0x >时，不等式2160x mx -+>恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.(),8∞- B.(],8∞- C.[)8,+∞ D.()6,+∞10.对于全集U 的子集A 定义函数()()()1A U x A f x x A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩ð为A 的特征函数,设,A B 为全集U 的子集,下列结论中错误的是()A.若,A B ⊆则()()A B f x f x ≤B.()()1R A A f x f x =-ðC.()()()A B A B f x f x f x =⋅ D.()()()A B A B f x f x f x =+ 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11.函数()f x =__________．12.如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中,,A B C 的坐标分别为()()0,4,2,0,()6,4，则()2f x ≤的解集为________.13.定义在R 上的函数()f x ，给出下列三个论断：①()f x 在R 上单调递增；②1x >；③()()1f x f >.以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命题：__________，_________推出___________.（把序号写在横线上）14.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”.计算方法如下表：每户每月用水量水价不超过312m 的部分3元/3m 超过312m 但不超过318m 的部分6元/3m 超过318m 的部分9元/3m 若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为___________.15.设函数()243,01,0x x x f x x x⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩.给出下列四个结论：①函数()f x 的值域是R ；②()1212,(2,)x x x x ∀∈-+∞≠，有()()12120f x f x x x ->-；③00x ∃>，使得()()00f x f x -=；④若互不相等的实数123,,x x x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是()3,-+∞.其中所有正确结论的序号是_________.三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.设关于x 的不等式2x a -<的解集为A ，不等式260x x --<的解集为B .（1）求集合A ，B ；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围.17.已知函数()231x f x x -=+.（1）用函数单调性的定义证明：()f x 在()1,-+∞上是增函数；（2）求函数()f x 在区间[]1,4上的值域.18.已知二次函数()f x 的最小值为1，且()()023f f ==.（1）求()f x 的解析式；（2）在区间[]3,1--上，()y f x =的图象恒在221y x m =++的图象上方，确定实数m 的取值范围.19.为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用P （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：()3R,0845mP x x x =∈≤≤+．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元．设S 为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和．（1）求m 的值及用x 表示S ；（2）当隔热层的厚度为多少时，总费用S 达到最小，并求最小值．20.已知()f x 是定义域为R 的函数，若对任意12,x x ∈R ，12x x S -∈，均有()()12f x f x S -∈，则称()f x 是S 关联.（1）判断和证明函数()21f x x =+是否是[)0,∞+关联?是否是[]0,1关联?（2）若()f x 是{}3关联，当[)0,3x ∈时，()22f x x x =-，解不等式：()23f x ≤≤.北京2023-2024学年第一学期期中练习高一数学2023.10说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}2,1,0,1M =--，{}30N x x =-≤<，则M N ⋂=（）A.{}2,1,0,1-- B.{}0,1 C.{}2- D.{}2,1--【答案】D 【解析】【分析】利用交集的定义可求得集合M N ⋂.【详解】因为集合{}2,1,0,1M =--，{}30N x x =-≤<，则{}2,1M N ⋂=--.故选：D.2.命题“0(0,)x ∃∈+∞，20012x x +≤”的否定为A.(0,)x ∀∈+∞，21x x +>2B.(0,)x ∀∈+∞，212x x +≤C.(,0)x ∀∈-∞，212x x +≤D.(],0x ∀∈-∞，21x x+>2【答案】A 【解析】【分析】特称命题的否定是全称命题，并将结论否定，即可得答案.【详解】命题“0(0,)x ∃∈+∞，20012x x +≤”的否定为“(0,)x ∀∈+∞，21x x +>2”.故选：A.【点睛】本题考查特称命题的否定的书写，是基础题.3.已知关于x 的方程220x x m -+=的两根同号，则m 的取值范围是（）A.1m ≤B.0m ≤C.01m <≤D.01m ≤≤【答案】C【解析】【分析】利用判别式和韦达定理解决.【详解】关于x 的方程220x x m -+=的两根同号，则判别式大于等于0且两根之积大于零，则有Δ4400m m =-≥⎧⎨>⎩，解得01m <≤.故选：C4.已知函数()()()22111x x x f x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，则()()1f f -的值为（）A.3B.0C.1- D.2-【答案】D 【解析】【分析】先求()1f -，进而求出()()1ff -.【详解】由题意得，()()()211213f -=--⨯-=，则()()()13312f f f -==-+=-.故选：D.5.已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】先求11a <的解集，再利用充分必要条件的概念即可判断.【详解】由11a <得10a a->，此不等式与不等式(1)0a a ->同解，解得a<0或1a >.所以，当1a >时，11a<一定成立，故充分性成立；当11a<即a<0或1a >时，1a >不一定成立，故必要性不成立.综上所述，“1a >”是“11a<”的充分不必要条件.故选：A.6.下列函数中，在区间()0,∞+上单调递增且是奇函数的是（）A.1y x =+ B.1y x x=-C.y x =D.2y x =【答案】B 【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性的定义即可得到答案.【详解】对于A ，当0x =时，10y =≠，所以1y x =+不是奇函数，故A 错误；对于B ，因为()1y f x x x==-的定义域为{}|0x x ≠，又()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=--=- ⎪⎝⎭，所以1y x x =-为奇函数，因为1,y x y x==-在区间()0,∞+上单调递增，所以1y x x=-在区间()0,∞+上单调递增，故B 正确；对于C ，因为()y f x x ==的定义域为R ，又()()f x x f x -=-=，所以y x =为偶函数，故C 错误.对于D ，因为()2y f x x ==的定义域为R ，又()()()2f x x f x -=-=，所以2y x =为偶函数，故D 错误.故选：B.7.已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A.b a c a -<+B.2c ab< C.c c b a> D.b c a c<【答案】D 【解析】【分析】由数轴知0c b a <<<，不妨取=3,2,1c b a -=-=-检验选项得解.【详解】由数轴知0c b a <<<，不妨取=3,2,1c b a -=-=-，对于A ，2121-+>-- ，∴不成立.对于B ，2(3)(2)(1)->-- ，∴不成立.对于C ，3231-<---，∴不成立.对于D ，(3)1(3) 2-<´--´-，因此成立.故选：D ．【点睛】利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．8.设()f x 为R 上的奇函数，且当0x <时，()31f x x =-，则(0)(4)f f +=（）A.12B.12- C.13D.13-【答案】C 【解析】【分析】根据()f x 为R 上的奇函数，求出()()0,4f f .【详解】因为()f x 为R 上的奇函数，所以()00f =，()()4413f f =--=，所以()()0413f f +=.故选：C9.已知当0x >时，不等式2160x mx -+>恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.(),8∞- B.(],8∞- C.[)8,+∞ D.()6,+∞【答案】A 【解析】【分析】将参数m 与自变量分离，利用基本不等式求得最值即可得出实数m 的取值范围.【详解】根据题意当0x >时，不等式2160x mx -+>恒成立，则2,01616m x x x xx +=+<>恒成立，只需min 16m x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭<即可；易知当0x >时，由基本不等式可得168x x +≥=，当且仅当4x =时取等号；所以min816x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即8m <，所以实数m 的取值范围是(),8∞-.故选：A10.对于全集U 的子集A 定义函数()()()1A Ux A f x x A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩ð为A 的特征函数,设,A B 为全集U 的子集,下列结论中错误的是()A.若,A B ⊆则()()A B f x f x ≤B.()()1R A A f x f x =-ðC.()()()A B A B f x f x f x =⋅D.()()()A B A B f x f x f x =+ 【答案】D 【解析】【分析】根据()()()1A Ux A f x x A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩ð,逐项分析,即可求得答案.【详解】 ()()()1A Ux A f x x A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩ð对于A, A B ⊆,分类讨论：①当x A ∈,则,x B ∈此时()()1A B f x f x ==②当x A ∉且x B ∉,即U x B ∈ð,此时()()0A B f x f x ==，③当x A ∉且x B ∈,即()U x A B ∈⋂ð时,()0,()1A B f x f x ==,此时()()A B f x f x ≤综合所述,有()()A B f x f x ≤,故A 正确;对于B ,1, ()1()0,A UU A x A f x f x x A∈⎧==-⎨∈⎩ðð,故(2)正确；对于C ,1,()0,()A B U x A Bf x x C A B ⋂∈⋂⎧=⎨∈⋂⎩()1,0,U U x A B x C A C B ∈⋂⎧=⎨∈⋃⎩1,1,0,0,U U x A x B x C A x C B ⎧∈∈⎧⎪=⋅⎨⎨∈∈⎪⎩⎩()()A B f x f x =⋅,故C 正确;对于D ,0,()()()1,()A B A B U x A Bf x f x f x x C A B ⋃∈⋃⎧=≠+⎨∈⋃⎩,故D 错误.故选:D.【点睛】本题主要考查了函数新定义和集合运算,解题关键是充分理解新定义和掌握函数,集合基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于难题.二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11.函数()f x =__________．【答案】1[,)2+∞【解析】【详解】依题意，1210,2x x -≥≥.12.如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中,,A B C 的坐标分别为()()0,4,2,0,()6,4，则()2f x ≤的解集为________.【答案】{|14}x x ≤≤【解析】【分析】根据函数的图象，观察即可得出答案.【详解】当()2f x ≤时，由图象可知14x ≤≤，即()2f x ≤的解集为{|14}x x ≤≤.【点睛】本题主要考查了函数的图象，属于中档题.13.定义在R 上的函数()f x ，给出下列三个论断：①()f x 在R 上单调递增；②1x >；③()()1f x f >.以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命题：__________，_________推出___________.（把序号写在横线上）【答案】①.①（答案不唯一）②.②（答案不唯一）③.③（答案不唯一）【解析】【分析】根据单调性和范围即可推出不等式.【详解】①②推出③；证明：当()f x 在R 单调递增且当1x >时，有()(1)f x f >，得证.①③推出②；证明：当()f x 在R 单调递增且当()(1)f x f >时，有1x >，得证.①②无法推出③；取()()21f x x =-，此时满足1x >且()(1)f x f >，但不满足()f x 在R 单调递增.故答案为：①；②；③.（答案不唯一）14.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”.计算方法如下表：每户每月用水量水价不超过312m 的部分3元/3m 超过312m 但不超过318m 的部分6元/3m 超过318m 的部分9元/3m 若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为___________.【答案】320m ##20立方米【解析】【分析】根据题设条件可得水费与水价的关系式，根据该关系式可求用水量.【详解】设用水量为x 立方米，水价为y 元，则()3,01236612,1218729(18),18x x y x x x x ≤≤⎧⎪=+-<≤⎨⎪+->⎩，整理得到：3,012636,1218990,18x x y x x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩，当012x ≤≤时，036y ≤≤；1218x <≤时，3672y <≤；故某户居民本月交纳的水费为90元，则用水量大于18立方米，令99090x -=，则20x =（立方米），故答案为：320m .15.设函数()243,01,0x x x f x x x⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩.给出下列四个结论：①函数()f x 的值域是R ；②()1212,(2,)x x x x ∀∈-+∞≠，有()()12120f x f x x x ->-；③00x ∃>，使得()()00f x f x -=；④若互不相等的实数123,,x x x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是()3,-+∞.其中所有正确结论的序号是_________.【答案】①③④【解析】【分析】对于①，利用二次函数与反比例函数的图像性质画出函数图1，结合图像即可判断；对于②，举反例排除即可；对于③，将问题转化为243y xx =-+与1y x=-有交点，作出图2即可判断；对于④，结合图1对123,,x x x 进行分析即可.【详解】对于①，因为()243,01,0x x x f x x x⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩，所以由二次函数与反比例函数的图像性质可画出函数图象，如图1，由()f x 的图像易知()f x 的值域是R ，故①正确；对于②，易得()03f =，()11f =-，显然()f x 在()2,-+∞上并不单调递增，所以②说法不成立，故②错误；对于③，假设存在00x ∃>，()()00f x f x -=，则()()2000143x x x -+-+=-，即200143x x x -+=-，即243y xx =-+与1y x=-有交点，作出图像，如图2，显然假设成立，故③正确；对于④，由图1易知1222+=-x x ，则124x x +=-，因为()21f -=-，所以()310f x -<<，即3110x -<-<，解得31x >，所以12334413x x x x ++=-+>-+=-，即123x x x ++的取值范围是()3,-+∞，故④正确；综上：①③④正确.故答案为：①③④.三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.设关于x 的不等式2x a -<的解集为A ，不等式260x x --<的解集为B .（1）求集合A ，B ；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|22}A x a x a =-<<+，{|23}B x x =-<<（2）[0,1]【解析】【分析】（1）解绝对值不等式和二次不等式即可得解；（2）利用集合的包含关系得到关于a 的不等式组，解之即可得解.【小问1详解】因为||2x a -<，所以22x a -<-<，则22a x a -<<+，所以{|22}A x a x a =-<<+，因为260x x --<，所以(2)(3)0x x +-<，解得23x -<<，所以{|23}B x x =-<<【小问2详解】因为A B ⊆，因为22a a -<+恒成立，所以A ≠∅，所以2223a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解得01a ≤≤，故a 取值范围为[0,1].17.已知函数()231x f x x -=+.（1）用函数单调性的定义证明：()f x 在()1,-+∞上是增函数；（2）求函数()f x 在区间[]1,4上的值域.【答案】（1）证明见解析（2）1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）任取()12,1,x x ∈-+∞，且12x x <，通过计算()()12f x f x -的正负来判断单调性；（2）由函数()f x 在区间[]1,4上单调性求出最值即可.【小问1详解】任取()12,1,x x ∈-+∞，且12x x <，则()()()()()()()()()()()122112121212121223123152323111111x x x x x x x x f x f x x x x x x x -+--+----=-==++++++，因为()12,1,x x ∈-+∞，12x x <，所以120x x -<，110x +>，210x +>，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在()1,-+∞上是增函数.【小问2详解】由（1）知()f x 在区间[]1,4上单调递增，所以()()min 112f x f ==-，()()max 41f x f ==，所以函数()f x 在区间[]1,4上的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.18.已知二次函数()f x 的最小值为1，且()()023f f ==.（1）求()f x 的解析式；（2）在区间[]3,1--上，()y f x =的图象恒在221y x m =++的图象上方，确定实数m 的取值范围.【答案】（1）()2243f x x x =-+，x ∈R（2）5m <【解析】【分析】（1）利用二次函数解析式的顶点式、待定系数法分析运算即可得解.（2）由题意将图象的位置关系转化为不等式，利用分离参数法、二次函数的图象与性质分析运算即可得解.【小问1详解】解：由题意，设二次函数()()21=-+f x a x m ，0a >，∵()()023f f ==，∴()()22013213a m a m ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得：21a m =⎧⎨=⎩，∴()()22211243f x x x x =-+=-+，x ∈R .【小问2详解】解：∵在区间[]3,1--上，()y f x =的图象恒在221y x m =++的图象上方，∴2243221x x x m -+>++在区间[]3,1--上恒成立，即231m x x <-+在区间[]3,1--上恒成立，令()231g x x x =-+，则在区间[]3,1--上()m g x <恒成立，∴()min m g x <，∵函数()231g x x x =-+图象的对称轴为32x =，开口向上，∴函数()231g x x x =-+在区间[]3,1--上单调递减，∴()()min 15=-=g x g ，则5m <，∴实数m 的取值范围是(),5-∞.19.为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用P （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：()3R,0845mP x x x =∈≤≤+．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元．设S 为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和．（1）求m 的值及用x 表示S ；（2）当隔热层的厚度为多少时，总费用S 达到最小，并求最小值．【答案】（1）15m =，1800845S x x =++（08x ≤≤）；（2）当隔热层的厚度为6.25cm 时，总费用S 取得最小值110万元.【解析】【分析】（1）利用给定条件，求出m 的值，进而可得能源消耗费用与隔热层建造成本之和.（2）利用基本不等式即可求最值，根据等号成立的条件可得隔热层厚度.【小问1详解】设隔热层厚度x ，依题意，每年的能源消耗费用为：345mP x =+，而当0x =时，9P =，则395m=，解得15m =，显然建造费用为8x ，所以隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和为：45180040840884545S P x x x x x =+=⨯+=+++（08x ≤≤）.【小问2详解】由（1）知()180018008245104545S x x x x =+=++-++1026010110≥=⨯-=，当且仅当()180024545x x =++，即 6.25x =时取等号，所以当隔热层的厚度为6.25cm 时，总费用S 取得最小值110万元．20.已知()f x 是定义域为R 的函数，若对任意12,x x ∈R ，12x x S -∈，均有()()12f x f x S -∈，则称()f x 是S 关联.（1）判断和证明函数()21f x x =+是否是[)0,∞+关联?是否是[]0,1关联?（2）若()f x 是{}3关联，当[)0,3x ∈时，()22f x x x =-，解不等式：()23f x ≤≤.【答案】（1）()f x 是[)0,∞+关联，不是[]0,1关联（2）{}15x x +≤≤【解析】【分析】（1）根据关联定义直接判断即可；（2）先根据关联定义确定函数()f x 满足的性质，再结合[)0,3x ∈时的解析式画出函数图像，结合图像即可求解.【小问1详解】任取12,x x ∈R ，若[)120,x x -∈+∞，则()()()[)121220,f x f x x x -=-∈+∞所以()f x 是[)0,∞+关联；若[]120,1x x -∈，则()()()[]121220,2f x f x x x -=-∈，所以()f x 不是[]0,1关联.【小问2详解】由题意知，当123x x -=时，()()123f x f x -=，即()()33f x f x +-=，由于当[)0,3x ∈时，()22f x x x =-，所以画出()f x 的图像如图，当[)0,3x ∈时，令()222f x x x =-=得1x =，令()220f x x x =-=得0x =或2x =，结合图像求出点()12A +，()5,3B ，所以当()23f x ≤≤时，15x +≤≤，。