【数理方程】第一章典型方程与定解条件
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数理方程第1讲
CDx
v+Dv
x+Dx
10
L—每一回路单位的串联电感; C—每一单位长度的分路电容. i LDx v x CDx i+Di
v+Dv x+Dx
11
i v (v Dv) LDx t v i L x t
i LD x v x CDx i+Di
(1.4)
v+Dv x+Dx
12
div D (1.11) J—传导电流面密度,—电荷的体密度.
26
D rot H J t B rot E t div B 0 div D
(1.8) （ 1.9) (1.10) (1.11) (1.12)
D E B H J E
(1.13) (1.14)
1
第一章 一些典型方程和定解条件的推导 §1.1 基本方程的建立
2
例1 弦的振动 设有一根均匀柔软的细弦, 平衡时沿直线拉紧, 而且除受不随时间而变的张力作用外, 不受外 力影响. 下面研究弦作微小横向振动的规律. 所谓"横向"是指全部运动出现在一个平面上, 而且弦上的点沿垂直于x轴的方向运动. 所谓"微小"是指的振动的幅度及弦在任意位 置处切线的倾角都很小, 以致它们的高于一次 方的项都可略而不计.
32
例4 热传导方程 在物体中任取一闭曲面S, 它所包围的区域记 作V. 假设在时刻t区域V内点M(x,y,z)处的温度 为u(x,y,z,t), n为曲面元素DS的法向(从V内指向 V外). 由传热学中傅里叶实验定律可知, 物体在无穷 小时间段dt内, 流过一个无穷小面积dS的热量 dQ与时间dt, 曲面面积dS, 以及物体温度u沿曲 面dS的法线方向的方向导数三者成正比
第一章三类典型方程和定解条件
一个定解问题提的是否符合实际情况，从 数学角度来看，有三方面可以加以检验：
1、解的存在性，看定解问题是否有解。
2、解的唯一性，看是否只有一个解。
3、解的稳定性，看当定解条件有微小
变动时，解是否相应地只有微小的变 动，若确实如此，则称此解是稳定的。
如果一个定解问题存在唯一且稳定的解， 则此问题称为适定的。
用以说明初始状态的条件称为初始条件。 用以说明边界上的约束情况的条件称为边 界条件。
一、初始条件
比如说波动方程（1.3）其初始条件有两 个，一个是参数u，一个是u的一阶导数。 即： u u t 0 及 都已知。 t
t 0
而热传导方程（1.7）其初始条件只有一 个，就是参数u。即：
u t 0 是已知。
2 2 2 2u u u u 2 a ( 2 2 2) 2 t x y z
(1.4)
上式（1.4）称为齐次三维波动方程。
二、热传导方程
若函数u(x,t)关于t是可微的，关于x是二次 连续可微的，并满足：
2 u 2 u a (a为系数) 2 t x
(1.5)
aij ( x), bi ( x), c x , f ( x) 都只是 x1 , x2, 其中， 函数，与未知函数无关。
, xm 的已知
若一个函数具有某偏微分方程中所需 要的各阶连续偏导数，并且代入该方程中 能使它变成恒等式，则此函数称为该方程 的解（古典解）。 初始条件和边界条件都称为定解条件。 把某个偏微分方程和相应的定解条件 结合在一起，就构成了一个定解问题。 只有初始条件，没有边界条件的定解问题 称为始值问题（或柯西问题）。反之，只 有边界条件，没有初始条件的定解问题称 为边值问题。既有初始条件又有边界条件 的定解问题，称为混合问题。
数理方程第1讲-69页PPT资料
F (x 1 ,L ,x n ,u , x u 1,L , x u n,L , x 1 m 1 x 2 m m 2 u L x n m n) 0(1.1)
4
方程(1.1)是在自变量x1,x2, …的n维空间Rn 中的一个适 当的区域D内进行考察的，我们要求能找出在D内恒 满足方程(1.1)的那些函数u。如果这种函数存在，那
和时间无关。弦是柔软有弹性的，即它不能抵抗弯矩， 因此在任何时刻弦的张力T总是沿着弦的切线方向。
u
F
△x
Q T
P
a
T
N
O
x
N'
x+△x
x
13
或
综合上述分析，由牛顿第二定律可得
a T si T n si F n x x ttu( 1 . 3 )
又 tanaux ，故 sia n taan ux 1ta2na 1ux2
，薄膜所形成的曲面方程为u=u(x,y)。
5. 拟线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数含有 未知多元函数或其低阶偏导数，则称为拟线性偏微 分方程。如书中例1.8
6. 非齐次项和非齐次方程：在线性偏微分方程中， 不含未知函数及其偏导数的非零项称为非齐次项， 而含有该非齐次项的方程称之为非齐次方程。如书 中例1.1
3. 线性偏微分方程：如果一个偏微分方程对于未知 函数及它的所有偏导数来说都是线性的，且方程中 的系数都仅依赖于自变量，那么这样的偏微分方程 就称为线性偏微分方程。
例如： 书中例1.1、1.2
y2u2xy2uu1
x2
y2
(二阶线性偏微分方程)
否则称之为非线性偏微分方程。 书中例1.5
6
4. 半线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数不含 有未知多元函数及其低阶偏导数，则称为半线性偏 微分方程。如书中例1.6
4
方程(1.1)是在自变量x1,x2, …的n维空间Rn 中的一个适 当的区域D内进行考察的，我们要求能找出在D内恒 满足方程(1.1)的那些函数u。如果这种函数存在，那
和时间无关。弦是柔软有弹性的，即它不能抵抗弯矩， 因此在任何时刻弦的张力T总是沿着弦的切线方向。
u
F
△x
Q T
P
a
T
N
O
x
N'
x+△x
x
13
或
综合上述分析，由牛顿第二定律可得
a T si T n si F n x x ttu( 1 . 3 )
又 tanaux ，故 sia n taan ux 1ta2na 1ux2
，薄膜所形成的曲面方程为u=u(x,y)。
5. 拟线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数含有 未知多元函数或其低阶偏导数，则称为拟线性偏微 分方程。如书中例1.8
6. 非齐次项和非齐次方程：在线性偏微分方程中， 不含未知函数及其偏导数的非零项称为非齐次项， 而含有该非齐次项的方程称之为非齐次方程。如书 中例1.1
3. 线性偏微分方程：如果一个偏微分方程对于未知 函数及它的所有偏导数来说都是线性的，且方程中 的系数都仅依赖于自变量，那么这样的偏微分方程 就称为线性偏微分方程。
例如： 书中例1.1、1.2
y2u2xy2uu1
x2
y2
(二阶线性偏微分方程)
否则称之为非线性偏微分方程。 书中例1.5
6
4. 半线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数不含 有未知多元函数及其低阶偏导数，则称为半线性偏 微分方程。如书中例1.6
数理方程中典型方程和定解条件的推导PPT课件
P i di
●
Gdx v dv
x
●
x dx
第16页/共87页
电路准备知识 电容元件：
du
i C C
C
dt
q Cu
i dq d(Cu) C du
dt dt
dt
q idt
电感元件：
uL
L
diL dt
uL
dL dt
L Li
di uL L dt
i
1 L
udt
换路定理: 在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。
a2ux x utt
第14页/共87页
一维波动方程
二. 传输线方程(电报方程)的建立
现在考虑电流一来一往的高频传输线，它被当作具有分布参数的导体, 每单位长导线所具有的电阻、电感、电容、电导分别以 R、L、C、G 表示。
对于直流电或低频的交流电,电路的基尔霍夫（Kirchhoff）定律指出, 同一支路中的电流相等。但对于较高频率的电流（指频率还未高到显著 辐射电磁波出去的程度），电路导线中的自感和电容的效应不能被忽视， 因而同一支路中电流呈现瞬态变化。
g)
②一般说来，ut t g ， 将 g 略去，上式变为
T
u x
xdx T
u x
x
ds ut t
T( u x
u xdx x
x ) d x ut t
第12页/共87页
T T
T( u x
u xdx x
x ) d x ut t
T T 指出，即张力不随地点 而异，它在整根弦中取 同一数值。
“今考虑一来一往的高频传输线，每单位长一来一往所具有的电阻，电感，电容， 电漏分别记以 R，L，C，G。于是
数理方程第一章典型方程与定解条件共31页文档
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
数学物理方程与特殊函数
☆ 数学和物理的关系 数学和物理从来是没有分开过的
☆ 数学物理方程的定义 用微分方程来描述给定的物理现象和物理规律。
☆ 课程的主要内容
三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数
波动方程 热传导 拉普拉斯方程
1
分离变量法 行波法 积分变换法 格林函数法
例2、时变电磁场
从麦克斯韦方程出发：
v H v E
v Jc
v B
v D t
v
t
D v
v
B 0
在自由空间：Jrc 0,v0
D E
B H
H
E
E
t H
t
E 0
H 0
15
19.05.2020
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
H
E
E
t H
t
E 0
对第一方程两边取旋度，得：
H (E )
t
根据矢量运算：
r
rr
H ( H ) 2 H
H 0
r
由此得：2H r (H)
即：
t t
2H2H
t2
2tH 2 1 ( 2 x H 2 2 yH 2 2 zH 2) ——磁场的三维波动方程
同理可得：
2E t2
1
2E
——电场的三维波动方程
其中：cos1cos'1
sin tan u(x,t)
x
T
x
M'
ds
T'
'
gds x dx x
sin ' tan ' u(x dx,t)
第1章 典型方程和定解条件的推导
数学物理方程与特殊函数
☆ 数学和物理的关系 数学和物理从来是没有分开过的
☆ 数学物理方程的定义 用微分方程来描述给定的物理现象和物理规律。
☆ 课程的主要内容
三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数
波动方程 热传导 拉普拉斯方程
1
分离变量法 行波法 积分变换法 格林函数法
例2、时变电磁场
从麦克斯韦方程出发：
v H v E
v Jc
v B
v D t
v
t
D v
v
B 0
在自由空间：Jrc 0,v0
D E
B H
H
E
E
t H
t
E 0
H 0
15
19.05.2020
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
H
E
E
t H
t
E 0
对第一方程两边取旋度，得：
H (E )
t
根据矢量运算：
r
rr
H ( H ) 2 H
H 0
r
由此得：2H r (H)
即：
t t
2H2H
t2
2tH 2 1 ( 2 x H 2 2 yH 2 2 zH 2) ——磁场的三维波动方程
同理可得：
2E t2
1
2E
——电场的三维波动方程
其中：cos1cos'1
sin tan u(x,t)
x
T
x
M'
ds
T'
'
gds x dx x
sin ' tan ' u(x dx,t)
数理方程总结完整版
该方程是非齐次方程。解决该类方程主要用特征函数法来 解决。以本题为例，来介绍一下特征函数法。
1.先求出该题目对应的齐次方程的特征函数， 即时当f（x，t）为零时。该题对应的齐次方 程为左一右一边界条件的齐次的一维波动方 n 程，其特征函数为X(x)=sin x, n 1, 2, 3... l n n 则设u（x，t） = Tn (t ) sin x, f ( x, t ) fn(t ) sin x, l l n 1 n 1 n n ( x) n sin x, ( x) n sin x, n 1, 2, 3... l l n 1 n 1
第二章 分离变量法
本章主要掌握三大类方程的解法，分别是有界弦的
自由振动方程，有限杆上的热传导方程，这两个方 程里包括“左几右几”的边界条件的，齐次或非齐 次边界条件的，齐次或非齐次方程的多种形式。 还有一个就是圆域内或扇形域内的二维拉普拉斯方 程，这类方程相对于比较简单，考试时的类型比较 固定。 1.有界弦的自由振动方程（方程是齐次的）的基本 解：
2 2u 2 u t 2 a x 2 f ( x, t ), 0 x l , t 0, u | x 0 u | x l 0, t 0, u u | t 0 ( x), | t 0 ( x), 0 x l. t
a 2 ( n 1/2) 2 2 t l2
(n 1/ 2) cos x l
④：“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x
l
1.先求出该题目对应的齐次方程的特征函数， 即时当f（x，t）为零时。该题对应的齐次方 程为左一右一边界条件的齐次的一维波动方 n 程，其特征函数为X(x)=sin x, n 1, 2, 3... l n n 则设u（x，t） = Tn (t ) sin x, f ( x, t ) fn(t ) sin x, l l n 1 n 1 n n ( x) n sin x, ( x) n sin x, n 1, 2, 3... l l n 1 n 1
第二章 分离变量法
本章主要掌握三大类方程的解法，分别是有界弦的
自由振动方程，有限杆上的热传导方程，这两个方 程里包括“左几右几”的边界条件的，齐次或非齐 次边界条件的，齐次或非齐次方程的多种形式。 还有一个就是圆域内或扇形域内的二维拉普拉斯方 程，这类方程相对于比较简单，考试时的类型比较 固定。 1.有界弦的自由振动方程（方程是齐次的）的基本 解：
2 2u 2 u t 2 a x 2 f ( x, t ), 0 x l , t 0, u | x 0 u | x l 0, t 0, u u | t 0 ( x), | t 0 ( x), 0 x l. t
a 2 ( n 1/2) 2 2 t l2
(n 1/ 2) cos x l
④：“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x
l
《数理方程》课件
a2
2u x2
f
(x,t)
其中 f (x,t) F
也称上式为一维（非齐次）波动方程
16
二、热传导问题
1. 问题描述 考察均匀且各向同性的导热体内温度分布情况。
2. 模型分析 ➢ 均匀：介质密度相同，为常数； ➢ 各项同性：物体的比热、热传导系数为常数； ➢ 体：三维问题; ➢ 物理规律：能量守恒定律、Fourier热传导实验定律 3. 导出方
❖ Chapter 1
1. PDE基础知识（阶，线性，齐次，分类等）； 2. 定解问题的提法：基本概念，三类边界条件； 3. PDE解的基本性质。
1
❖ Chapter 2
1. ODE及Fourier级数的补充知识； 2. 定解问题的三类基于分离变量的求法：分离变量，特征函数，
边界条件齐次化； 3. Laplace方程的极坐标形式及其分离变量求解。
5
第一章 一些典型方程和定解条件的推导
1. 前言 2. 基本方程的建立 3. 初始条件与边界条件 4. 定解问题的提法
6
1. 前言
1.1 课程特点及其研究对象
数学物理方程，是指从物理学、力学及其他自然科学、 技术科学中所产生的偏微分方程，有时也包括与此有关的积分 方程，微分积分方程，甚至常微分方程等。
1. Laplace方程边值问题四种提法； 2. 第一、第二Green公式； 3. 调和函数的基本性质； 4. 特殊区域上的Green函数及其求解定解问题。
4
所需知识
高等数学 常微分方程 积分变换
课程评价(Grading Policies)
期末考试成绩 (80%左右)
平时成绩 (20%左右)
x
ds 1 ux 2 dx dx
数理方程部分 第1章 典型方程和定解条件的推导
1.1 波动方程及其定解条件
2）自由端点，即这个端点不受位移方向的外力 （即自由端点的定义），从而这个端点弦在位移 方向的张力为零（导出的结论），由前面的推 导可知边界条件满足： 2
T sin F u x 0
xa
u t 2
( 0, F 0) T
u x
2u [( q y ) y (q y ) y dy ]xzt k 2 xyzt. y
△t时间内沿z方向流入六面体的热量
2u [( qz ) z (qz ) z dz ]yxt k 2 xyzt. x
u k 2 u 0. t c
1.2 热传导方程及其定解条件
如果六面体没有其他热量来源，根据热量守恒定律，净流入
的热量等于介质在此时间内温度升高所需热量，
2u 2u 2u k ( 2 2 2 )xyzt xyz c u x y z
3）整理化简得方程
u k 2 u 0. t c
1）在介质内部隔离出一平行六面体（见图1.3），六个面 都和坐标面重合。
图1.3
[( q y ) y (q y ) y dy ]xzt [( k
1.2 热传导方程及其定解条件
2）分析建立等式
u u 2u ) y dy (k ) y ]xzt k 2 xyzt. y y y
2 0, cos1 1, cos 2 1,
tan 1
u sin 1 tan 1 , 2 x x 1 tan 1 u sin 2 tan 2 2 x 1 tan 2 tan 2 ,
x dx
1.1 波动方程及其定解条件
则方程可以写成
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g
………一维波动方程
自由项 ------非齐次方程
例2、时变电磁场
从麦克斯韦方程出发：
v H
v Jc
v
v D t
v E
B
v t
D v
v
B 0
在自由空间：Jrc 0, v 0
D E
B H
H
E
E
t
H
t
E 0
H 0
H
E
E
t
H
t
E 0
对第一方程两边取旋度，得：
H
( E)
Q t2
1
t1
k 2udV dt
V
流入的热量：Q1
t2 t1
V
k 2udV dt
流入的热量导致V内的温度发生变化
S nv
u(x, y, z,t1) u(x, y, z,t2 )
M V
温度发生变化需要的热量为：
Q2 cu(x, y, z,t2 ) u(x, y, z,t1)dV
S
贝塞尔函数 勒让德函数
微积分知识回顾
哈密尔顿算子或梯度算子，读作nabla
iˆ ˆj kˆ x y z
与梯度算子有关的场论运算
gradu u
divA A
rotA A
拉普拉斯算子 2 2 2 2
x2 y2 z 2
平面上的拉普拉斯算子 2u 2u 2u
所要研究的物理量： 温度 u(x, y, z,t) 根据热学中的傅立叶试验定律
在dt时间内从dS流入V的热量为：
S nv
M V
S
dQ k u dSdt ku nˆdSdt ku dSˆdt
n
热场
从时刻t1到t2通过S流入V的热量为
Q1
t2
t1 S
ku
dSˆ
dt
高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分）
(2)横向振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。
牛顿运动定律：
y
横向： T cos T 'cos '
纵向：T sin T 'sin ' gds ma
M'
ds
T'
'
M
其中：cos 1 cos ' 1
gds
sin tan u(x,t)
x
T
x
x dx x
sin ' tan ' u(x dx,t)
☆拉普拉斯方程： 2u 0 空间的静电场分布；静磁场分布；稳定温度场分布
两种特殊函数
贝塞尔方程 x2 y xy (x2 n2 ) y 0 的解：贝塞尔函数 Jn (x)
勒让德方程 (1 x2 ) y 2xy n(n 1) y 0的解：勒让德函数 Pn (x)
第一章 一些典型方程和 定解条件的推导
m ds
T
T T'
u(x dx,t) x
x
u ( x, t ) x
gds
其中：
ma
a
2u( x, t ) t 2
ds dx
T
u(x dx, x
t
)
u ( x, t ) x
gds
ma
T
u(x dx, x
t)
u( x, t ) x
gdx
2u( x, t ) t 2
dx
其中：u(x dx,t) x
x2 y 2
常微分方程的求解：常见的一阶方程、可降阶高阶方程、 二阶线性方程
傅里叶级数理论：傅里叶级数及其系数、正弦级数、 余弦级数
三类偏微分方程
☆波动方程： 2u a 2 2u
t 2
琴弦的振动；杆、膜、液体、气体等的振动；电磁场的振荡等 ☆热传导方程：u a22u
t
热传导中的温度分布；流体的扩散、粘性液体的流动
u ( x, t ) x
x
u(x,t) x
dx
2u ( x, t ) x2
dx
T
u2 (x,t) x2
g
dx
2u( x, t ) t 2
dx
T
u2 (x,t) x2
g
2u( x, t ) t 2
令：a 2
T
忽略重力作用：
2u t 2
a2
u 2 x-2-齐次方程
2u t 2
a2
2u x 2
t
根据矢量运算：
r
r
r
H ( H ) 2H
H 0
r
r 由此得： 2 H
(
H )
即：
t t
2
H
2
H
t 2
2H t 2
1
(
2H x 2
2H y 2
2H z 2
)
——磁场的三维波动方程
同理可得：
2E t 2
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2E
——电场的三维波动方程
例3、热传导
热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有 热量从高温处流向低温处。
知之者，不如好知者， 好知者，不如乐知者。
做一个快乐的求知者——与大家共勉
数学方程
☆ 数学和物理的关系 数学和物理从来是没有分开过的
☆ 数学物理方程的定义 用微分方程来描述给定的物理现象和物理规律。
☆ 课程的主要内容
三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数
波动方程 热传导 拉普拉斯方程
分离变量法 行波法 积分变换法 格林函数法
一、 基本方程的建立
例1、弦的振动
条件：均匀柔软的细弦，在平衡位置附近作微小横振动。 不受外力影响。 研究对象：u(x,t) 线上某点在 t 时刻沿纵向的位移。
弦振动的相关模拟
弦振动的相关模拟
弦振动的相关模拟
弦振动的相关模拟
波的传播的相关模拟
弦振动的相关模拟
简化假设：
(1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。
一、 基本方程的建立 二、 定解条件的推导 三、 定解问题的概念
常见数学物理方程的导出
•确定所要研究的物理量u，比如位移、场强、温度 •根据物理规律建立微分方程 •通过合理的数学近似对方程进行化简
数学物理方程定解问题的提法
泛定方程（波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程）
定解问题：
定解条件（初始条件，边界条件）
热场
V c t2 udtdV t2 c udVdt
V Q1 Q2
t1 t
t2
t1 V
t
k 2udVdt t2
c udVdt
t1 V
t1 V
t
u k 2u a22u 热传导方程
t c
如果物体内有热源，则温度满足非齐次热传导方程
u a 22u f t
例4、静电场
确定所要研究的物理量：电势u
其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的 条件。
1、初始条件——描述系统的初始状态
A、 波动方程的初始条件
u |t0 (x)
根据物理规律建立微分方程： u E
E /
对方程进行化简：
E (u) u 2u /
2u / 泊松方程 2u 0 拉普拉斯方程
二、定解条件的推导
同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。 边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历 史，即个性。 初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态 的条件。 边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上 的约束情况的条件。