控制约束满足如下不等式约束
极小值原理及其应用
假设同定理5-1。
若 u* (t) 和 t f * 是使性能指标取最小值的最优解，x* (t)
为相应的最优轨线，则必存在n 维向量函数
，
使得 (t )
x*(t)和, u*(t), t f满* 足如(下t)必要条件：
① x(t) 及 (t)满足下述正则方程：
x(t) H
(t) H
x
式中哈密顿函数
③ 哈密顿函数相对最优控制取绝对极小值
H[x* (t), (t), u* (t), t]
min
u (t )
H[x* (t
x(t f
)
（5-4）
③ 哈密顿函数相对最优控制为极小值
H (x*, u*, ) min H (x*, u, ) （5-5） u (t )
④ 哈密顿函数沿最优轨线保持为常数
当 t f 固定时
H[x* (t), u* (t), (t)]
（5-6）
H[x* (t f ), u* (t f ), (t f )] const
x为* (为t) 为相应的最优轨线，则必存在非零常向量 及 n 维向量函数 (t) ，使得 x*(t), u*(t), t f * 和 (t) 满足如下必要条件：
① x(t) 及 (t)满足下述正则方程：
x(t) H
式中哈密顿函数
(t) H
x
H (x, ,u) T (t) f (x,u)
H (x, ,u) L(x,u) T (t) f (x,u)
② x(t) 及 (t)满足边界条件：
x(t0 ) x0
(t f ) 0
③ 哈密顿函数相对最优控制取绝对极小值
H[x*(t), (t), u*(t)] min H[x*(t), (t), u(t)] u (t )
最优控制的计算方法
1、梯度法
3、用UK(t)、XK(t)和横截条件求得的终端值(tf)，从tf 到t0反向积分协态方程，求出协态向量K(tf)。 4、计算哈密顿函数H对U的梯度向量 H K g ( )K U H K ( ) K 表示在 U K 、X K 、 处取值。当这些量非最优值 U 时， g K 0 。
U
（iii）边界条件（包括横截条件） 最优控制的计算方法一般是先求出满足上面三个条件中 某两个的解，然后用合适的迭代计算形式逐次改变这个解， 以达到满足剩下的另一个条件的解（即最优解）。
4
一、直接法
1、梯度法 这是一种直接方法，应用比较广泛。它的特点是：先猜 测任意一个控制函数U(t)，它可能并不满足H 取极小的必要 条件，然后用迭代算法根据H 梯度减小的方向来改善U(t)， 使它最后满足必要条件。 计算步骤如下： 1、先猜测[t0, tf]中的一个控制向量UK(t)=U0(t)，K是迭代 步数，初始时K=0。U0 的决定要凭工程经验，猜得合理，计 算收敛得就快 2、在第K步，以估计值UK和给定的初始条件X(t0)，从t0 到tf 顺向积分状态方程，求出状态向量XK(t)。
(2) 以 X (t 0 ) 为初值，从 t 0 到 t f 积分状态方程，得出状态 轨迹 X K (t )。 (3) 以 (t f )为终值，从 t f 到 t 0 反向积分协态方程，求得 协态轨迹 K (t ) 。 H (4) 计算梯度向量 g K ( ) u u k u
(5) 计算共轭系数
8
1、梯度法
0 1、选初始估计 u (t ) 0 。
2、将 u 0 (t ) 0 代入状态方程可得 dx dt 2 x 1 t c 积分上式可得 x 代入初始条件： x(0) 10 ，确定积分常数 1 c 10 10 0 可得 x(t ) x (t ) 10t 1
最优控制笔记整理
1.性能指标按其数学形式可分为如下三类：1)积分型性能指标L[x(),(),]ft t J t u t t dt =⎰拉格朗日问题。
2）终值型性能指标[x(),]f f J t t ϕ=这种性能指标只是对于系统在动态过程结束时的终端状态提出了要求，而对于整个动态过程中系统的状态和控制的演变未作要求。
这样的最优控制问题为迈耶尔问题。
3）复合型性能指标[x(),]L[x(),(),]ft f f t J t t t u t t dt ϕ=+⎰这样的最优控制问题为波尔扎问题。
通过适当变换，拉格朗日问题和迈耶尔问题可以相互转换。
2.按控制系统的用途不同，所选择的性能指标不同，常见的有：1：最小时间控制01ft f t J t t dt =-=⋅⎰2：最小燃料消耗控制|()|ft t J u t dt =⎰控制量u(t)与燃料消耗量成正比3：最小能量控制2()ft t J u t dt =⎰控制函数u 2(t)与所消耗的功率成正比3. J(x)取极小值的充分条件为正定(>=0) ，反之则极大4. J(x)取极值的必要条件为：欧拉方程0Ld L xdtx∂∂∂∂-=横截条件5. t 0和t f 给定，x(t 0) 或x(t f )未给定时横截条件：（1）给定x(t 0) 或x(t f )222222L L x xx L L x xx ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦横截条件为：x(t 0)=x 0或x(t f )=x f (2)自由x(t 0) 或x(t f )00L t x∂∂= 或0f Lt x∂∂= 那个自由（为给定），那个偏导为0.6. 始端时刻t 0给定， x(t 0)固定或约束；而终端时刻t f 自由，终端状态x(t f )自由或约束,x(t)不受任何方程约束时的横截条件：7.当x(t)受状态方程约束时，设系统状态方程：(,,)x f x u t = 性能指标：0[(),](,,)ft f f t J x t t F x u t dt ϕ=+⎰满足极值所需条件： H=L+T λ f（1）欧拉方程(伴随方程) H xλ∂=-∂ （2）状态方程H xλ∂=∂ （3）控制方程0Hu∂=∂ （4）横截条件：初始时刻t 0及始端状态x(t 0)给定t f 自由终端x(t f )自由或者约束 ； 若x(t f )自由则无N 方程，若x(t f )固定则无()f t λ方程8. 极小值原理设系统的状态方程为()[(),(),]xt f x t u t t = 控制u(t)满足不等式约束: [(),(),]0G x t u t t ≥ 末端约束：[(),]0ff N x t t =f()()[ff t t N H t t ϕμ=∂+=-∂()()[t f f t f N t x ϕμλ∂+=∂（）性能指标：0[(),]L [(),(),]ft f f t J x t t x t u t t dt ϕ=+⎰求解过程：(1).沿最优轨线满足正则方程()T H xH G x x λλ∂=∂∂∂=--Γ∂∂(2)横截条件及边界条件:(3)在最优轨线x*(t)上与最优控制u*(t)相对应的H 函数取绝对极小值,即：9.设离散系统的状态方程为:)1,,2,1,0(]),(),([)1(-==+N k k k u k x f k xk 表示时刻t k ,终端时刻t f =t N .设初始状态x(0)=0,终端时刻t N 给定,终端状态x(N)自由.系统性能指标为: ∑-=+=1]),(),([]),([N k k k u k x L N N x J ϕ要求寻找最优控制u*(k),使性能指标J 为极小. 求解过程：（1）列出哈密顿函数)1,,2,1,0(]),(),([)1(]),(),([]),1(),(),([-=++=+N k k k u k x f k k k u k x L k k k u k x H Tλλ（2）正则方程1,,2,1,0,)1(]),1(),(),([)1(1,,2,1,0,)(]),1(),(),([)(-=+∂+∂=+-=∂+∂=N k k k k k u k x H k x N k k x k k k u k x H k λλλλ（3）边界条件与横截条件:)(]),([)(0)0(N x N N x N x ∂∂==ϕλ（4）控制方程:00(()[]([(,,,)]0()[(),]0f f ft t t t f f N t xN H x u t t x t x N x t t ϕμλϕμλ==∂+=∂∂++=∂==））*****(,,,)(,,,)H x u t H x u t λλ≤()TH G u u ∂∂=-Γ∂∂无这个方程1,,2,1,0,0)(]),1(),(),([-==∂+∂N k k u k k k u k x H λ当u(k)有不等式约束时]),1(),(),([min ]),1(),(),([**)(***k k k u k x H k k k u k x H k u +=+Ω∈λλ。
不等式约束拉格朗日乘子法
不等式约束拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是一种求解多元函数在一定约束条件下的极值的方法。
它的基本思想是通过引入拉格朗日乘子，将约束条件转化为目标函数的一部分，并对扩展目标函数进行极值求解。
在介绍拉格朗日乘子法之前，我们先来了解一下不等式约束的基本概念。
不等式约束通常表示为g(x)≤0的形式，其中g(x)是一个函数，称为不等式约束函数。
而不等式约束的解集则是满足条件g(x)≤0的所有解的集合。
接下来我们将讨论如何通过拉格朗日乘子法，求解一个多元函数在一定不等式约束条件下的极值。
设有一个多元函数f(x₁, x₂, ..., xn)，并且存在不等式约束条件g(x)≤0。
我们的目标是找到使得f(x)在满足约束条件下取得极值的点x₀。
首先，我们将约束条件和目标函数进行如下的转化：定义拉格朗日函数L(x, λ) = f(x) + λg(x)，其中λ是拉格朗日乘子。
然后，我们构建一个新的函数Φ(x, λ) = max[L(x, λ)]，通过求解该函数的极值问题来求得原函数f(x)在约束条件下的极值。
Φ(x, λ)的求解可以通过以下步骤进行：1.计算函数L(x, λ)对x和λ的偏导数。
∂L/∂x = (∂f/∂x) + λ(∂g/∂x) = 0∂L/∂λ = g(x) = 02.将上述方程组与约束条件联立，得到一个方程组。
(∂f/∂x) + λ(∂g/∂x) = 0g(x) = 03.解此方程组，求得x₀和λ₀。
4.将x₀和λ₀代入f(x)中，计算出f(x₀)。
5.检验f(x₀)是否为约束条件下的极值。
若f(x₀)是一个局部最小值或最大值，并且满足约束条件g(x)≤0，则x₀为约束条件下的极值点。
通过以上步骤，我们可以求得多元函数在不等式约束条件下的极值点。
需要注意的是，拉格朗日乘子法只能求解约束条件为不等式的情况，对于等式约束条件的情况则需要使用KKT条件进行求解。
总结起来，拉格朗日乘子法是一种求解多元函数在约束条件下的极值的方法，通过引入拉格朗日乘子，将约束条件转化为目标函数的一部分，并通过求解扩展目标函数的极值问题来求得原函数在约束条件下的极值。
第十章_具有约束的最优控制问题
G ( t , y , u ) [ 的运动方程
T
]
(t )
在计划时期内的初始值和终结值是：
0 0
( 0 ) G ( , y , u ) d 0
(T ) G ( , y , u ) d k
0
上页的最优控制问题变为：T 最优控制问题： 最大化 0 F ( t , y , u ) dt
T
例2 解以下最优控制问题：
最大化 0 1 dt y yu 满足
y (0) 5 y ( T ) 11 T 自由
T
和
u ( t ) [ 1,1]
它具有一个受约束的控制变量，该控制集合可视为 两个不等式约束：
1 u (t ) 和 u (t ) 1
汉密尔顿函数： H 拉格朗日函数：
u
对于所有 t [ 0 , T ]
]
H y [ 的运动方程 ]
y
H
[ y 的运动方程
(t ) 常数
( T ) 0 [ 横截条件 ]
四、不等式积分约束 T 最优控制问题： 最大化 0 F ( t , y , u ) dt y f (t, y , u ) 满足
y H H
u
F (t, y , u ) f (t, y , u ) G (t, y , u )
[ y 的运动方程
[ 的运动方程
]
[ 的运动方程
]
[ 的运动方程
]
( T ) 0 [ 横截条件 ]
上页的最大值原理可简化为：
Max H
]
]
( T ) 0 , ( T ) k 0 , ( T )[ ( T ) k ] 0 [ 的横截条件
5 最优控制-极小值原理
正常（或平凡）情况、奇异（或非平凡） 正常（或平凡）情况、奇异（或非平凡）情况
Bang-Bang控制原理 控制原理 是问题3 的时间最优控制, 设 u * ( t ) 是问题3-1的时间最优控制,
λ x* ( t )， ( t )
是相应的状态向量和协态向量,若问题是正常的, 是相应的状态向量和协态向量,若问题是正常的,则几乎所有 ),有下式成立 t ∈ t0 , t f (除去有限个开关时间),有下式成立 除去有限个开关时间),
在最优轨线末端哈密尔顿函数应满足的条件 (5)极值条件 极值条件
1 + λ T ( t ) f x* ( t ) , t + λ T ( t ) B x * ( t ) , t u * ( t ) =
{1 + λ T ( t ) f x* ( t ) , t + λ T ( t ) B x* ( t ) , t u * ( t )} min
u∈U
（50） ） （51） ） （52） ）
或者
H ( x * , u* , λ* , t ) ≤ H [ x * , u, λ* , t ]
哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化规律： 哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化规律：
* * 在末值时刻 t f 是固定的情况 H (t ) = H (t f ) = const * *
3 极小值原理及其在快速控制中的应用
1 问题的提出 用变分法求解最优控制时， 用变分法求解最优控制时，认 不受限制。 为控制向量 u(t )不受限制。但是 实际的系统， 实际的系统，控制信号都是受到
u(t ) ∈ U ⊂ R r 某种限制的。 某种限制的。
因此， 因此，应用控制方程 ∂H = 0
典型例题
典型例题3、对图1所示网络，试采用Tinney-2编号方法重新进行编号，重新形成节点导纳矩阵。
并写出按行存储节点导纳矩阵的上三角非零元的三角检索存储格式。
解：半动态优化法5、、如图所示网络，支路电纳和各节点注入电流在图上标出。
试选节点2，3为边界节点，1为外部节点进行WARD等值，求出边界节点上的等值支路和等值注入电流。
解：1230.30.20.120.20.40.20.50.10.20.3 1.5V V V ⎡⎤---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]11440.40.20.2115150.20.10.20.30.1440.3151550.50.216(2)1.50.150.36BB BB BE EE EBBB BB BE EE E Y Y Y Y Y I I Y Y I --=-⎡⎤⎢⎥--⎡⎤⎡⎤=-⨯⨯--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦=-⎡⎤-⎢⎥-⎡⎤⎡⎤=-⨯⨯-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦6、最优潮流的数学模型如何表达，如何分类？基于内点法的最优潮流属于哪一类？可描述为确定一组最优控制变量ｕ，使目标函数取极小，并满足如下等式和不等式约束：min (,)..(,)0(,)0u c x u s t f x u h x u ⎧⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩分类：按处理约束的方法分类，可分为罚函数类、ＫＴ罚函数类和ＫＴ类； 按修正的变量空间分类，可分为１）同时修正全空间变量，２）只修正控制变量；按变量修正的方向分类：１）梯度类；２）拟牛顿法；３）牛顿法。
基于内点法的最优潮流属于ＫＴ罚函数类，同时修正全空间变量，牛顿法。
9、将联络线连同两个端点一起作为边界，试设计这种分割模式的分解协调计算流程。
解：Ａ子系统 协调层如图，子系统A 和B 通过联络线AB l 互联，现将导纳矩阵按照内部节点在前，边界节点在后的格式写出节点电压方程。
AA AA A A BBBB B B A A A B A A B B B A B B Y Y V I Y Y VI Y Y VI V I Y Y αααααααααααααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦消去内部节点，得A A A B A A B B A B B B YY I V V Y YI αααααααααααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（式７）为协调层等值网络的模型 这里， 11A A A A A A AA A AA A A A AA AY Y Y Y Y I I Y Y I ααααααααα--=-=- ，子系统Ｂ类似。
不等式约束拉格朗日乘子法
不等式约束拉格朗日乘子法摘要：一、拉格朗日乘子法简介1.拉格朗日乘子法的定义2.拉格朗日乘子法的基本思想二、不等式约束问题与拉格朗日乘子法1.不等式约束问题的定义2.拉格朗日乘子法解决不等式约束问题的基本步骤三、拉格朗日乘子法的性质与特点1.拉格朗日乘子法的优点2.拉格朗日乘子法的缺点四、应用案例1.应用背景2.应用过程3.应用结果正文：一、拉格朗日乘子法简介拉格朗日乘子法是一种求解条件最优化问题的方法，由法国数学家拉格朗日于18 世纪提出。
该方法的基本思想是在原目标函数的基础上，引入一组拉格朗日乘子，构成一个新的函数，通过求解新函数的最小值，得到原问题的最优解。
拉格朗日乘子法适用于一类具有约束条件的优化问题，即需要在满足一定约束条件下，使目标函数达到最小值或最大值。
这类问题在实际生活中非常常见，如在经济学、工程设计、物理等领域都有广泛应用。
二、不等式约束问题与拉格朗日乘子法不等式约束问题是一类具有广泛应用的优化问题，其一般形式可以表示为：在满足一定约束条件g(x)≤0 的情况下，寻找使目标函数f(x) 最小化的x 值。
拉格朗日乘子法解决不等式约束问题的基本步骤如下：1.构建拉格朗日函数：在原目标函数的基础上，引入一组拉格朗日乘子λ，构成一个新的函数L(x,λ)，其中x 为决策变量，λ为拉格朗日乘子。
2.求解拉格朗日函数的极小值：求解拉格朗日函数L(x,λ) 关于x 和λ的偏导数，并令其为0，得到一组方程组。
通过求解这组方程组，可以得到拉格朗日函数的极小值点。
3.判断极小值点是否为原问题的最优解：将求得的极小值点代入原目标函数和约束条件，判断是否满足约束条件。
如果满足，则该点为原问题的最优解；否则，继续调整拉格朗日乘子λ，重复上述过程，直到找到满足约束条件的最优解。
三、拉格朗日乘子法的性质与特点拉格朗日乘子法具有以下性质和特点：1.优点：拉格朗日乘子法能够处理一类具有广泛应用的不等式约束问题，通过引入拉格朗日乘子，将原问题转化为求解一个新函数的极小值问题，从而得到原问题的最优解。
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现在进一步利用条件
d2 dt 2 H x u x 0 1 x 1 2 1 u
此即奇异弧上的最优控制，它是状态的线性反馈。
u ( x1 x2 )
t f 固定时，常数C取决于初态的非零值。奇异弧是
不通过原点双曲线，不是最优轨线的最后一段弧线。
确定哈密顿函数H的常数值C，进而确定转移状态
e H 2D 2t f 2 (1 e )
2
2t f
D x10 x20
2C x1 (0 ) 2 t f 1 e C x2 (0 ) tan Ht f
仿真验证
J min1 152
结论
J min 2 30.03
典型的最优控制包括Bang-Bang控制和奇异控制。初 态和末态可以是 x1 x2 相平面上的任何点，在这种 情况下还不能预断最优解中是否包括奇异弧。然而， 若末态指定为坐标原点，则对很多初态来说，最优 控制既包括Bang-Bang弧段，又包括奇异弧段。
讨论固定情形
J
2
0
x1 (t )dt
取极小
方法一：讨论边界
状态方程
运动轨线
代入终端条件
由于
则
t f 自由？
最优相轨迹
u (t ) {k , k}
方法一缺陷
1.给定条件无法同时满足
2.假设bang-bang控制形式为本问题的最优控制，为此，必须保证系统无 奇异，则
3.bang-bang控制形式是否为本问题的最优控制？由极小值原理知：通过 选取c3,c4，实现相平面上的：R+和Y+有 ， R-和Y-有
典型的最优轨线由三段组成：
此处假设 k 讨论（控制的幅度为无穷大，持续时间为无穷小）
dx2 u dx1 x2 u dx2 lim 1 u dx 1 dx2 lim 1 u dx 1
在奇异孤上，由状态方程解得
x1 (t ) x1 (0 )e t 奇异弧在 t t f 时刻到达直线 x1 x2 0，由此条件
题4-24 已知二阶受控系统 1 x2 (t ) u (t ) x 极小值原理 2 u (t ) x 控制约束满足如下不等式约束
u(t ) k
试分别求 t f 固定和自由的最优控制，使系统由已知 , x2 (0) x20 转移到坐标原点。且使性 初态 x1 (0) x10 能指标 1 tf 2
方法二：奇异最优控制
最优指标 状态变量x 可能存在奇异弧，即
控制输入 u
H 中的
H 1 2 0 u
d H x 0 1 2 1 1 dt u
1 2 H x1 1 x 2 (1 2 )u C (常数 ) 2