基于Arnold变换的数字图像置乱技术

第13卷第4期2001年4月计算机辅助设计与图形学学报JOU RNAL O F COM PU T ER 2A I D ED D ES IGN &COM PU T ER GRA PH I CSV o l .13,N o.4A p r .,2001基于Arnold 变换的数字图像置乱技术丁　玮1)　闫伟齐1)　齐东旭1,2)1)(中国科学院计算技术研究所CAD 开放研究实验室　北京　100080)2)(北方工业大学CAD 研究中心　北京　100041)摘要　针对近年来兴起的数字图像信息安全问题,从A rno ld 变换出发,给出了在位置空间和色彩空间上对数字图像进行置乱的方法.这些方法简便易行,可以用来作为数字图像隐藏和伪装的预处理.关键词　A rno ld 变换,数字图像置乱,数字图像隐藏,数字图像伪装中图法分类号　T P 391D ig ita l I mage Scram bl i ng Technology Ba sed on Arnold Tran sforma tionD I N G W ei 1)　YAN W ei 2Q i 1)　Q IDong 2Xu1,2)1)(CA D L aboratory ,Institu te of Co mp u ting T echnology ,Ch inese A cad e my of S ciences ,B eij ing 100080)2)(CA D R esearch Center ,N orth Ch ina U niversity of T echnology ,B eij ing 100041)Abstract A i m ing at en su ring digital i m age info rm ati on secu rity ,and starting from A rno ld tran sfo rm ati on ,w e p u t fo rw ard severalm ethods fo r scram b ling digital i m age in the po siti on sp ace and co lo r sp ace .T hese app roaches are easy to realize ,and can be u sed as p re 2p rocesso r fo r digital i m age h iding and covering .Key words A rno ld tran sfo rm ati on ,digital i m age scram b ling ,digital i m age h iding ,digital i m age covering 原稿收到日期:2000203207;修改稿收到日期:2000209205.本课题得到国家“九七三”计划(G 1998030608)和国家自然科学基金(69873001)资助.丁　玮,男,1971年生,博士研究生,主要研究方向为计算机图形学、数字图像处理.闫伟齐,男,1968年生,博士研究生,主要研究方向为计算机图形学、数字图像处理.齐东旭,男,1940年生,教授,博士生导师,主要研究方向为计算机图形学、数值计算、数字图像处理.1　引 言图像作为人类认识和表达世界的基本方法,应用极为广泛,从古老的壁画、象形文字到今天的数字化视频,图像一直伴随着人类历史的发展.人们也期望从图像中得到直观的信息,“眼见为实”是再自然不过的事情.但是,在信息膨胀和普及的今天,事情并不是这么简单.随着多媒体技术的迅速发展和网络带宽限制的放松,越来越多的数字化图像在网络上传输.这些图像信息有些无关紧要,有些却至关重要,它们有可能涉及到个人的隐私、公司的利益、国家的安全,其价值无法衡量.另一方面,网络的普及使得任何人都有可能接触到其中的信息,并从中搜集,而无论这种搜集是善意还是恶意、合法还是非法.这就使得在网络上传输图像的安全性倍受关注,对图像进行加密也就成为重要的研究方向.古老的藏宝图可以被随意添加一些无用的信息和标注来增加破译的难度,而今天我们面对的是数字化的图像,能做的应该更多.图像作为直观的信息表达方式,具有很大的迷惑性.如果我们把数字化图像做一些“扰乱”,得到一幅完全杂乱无章、面目全非的图像,那么即使非法截获者注意到它,如果不知道如何恢复,对它也无能为力.这就在一定程度上增加了图像的安全性.置乱技术[1]就是这样一项研究课题,它从一维的单表密码扩展而来,应用到二维图像平面、甚至三维图像色彩空间中,扰乱图像的组成部分,破坏图像的自相关性,使得人眼无法从中提取有价值的信息,即使计算机用“穷举法”计算各种组合,也要耗费大量的时间,在一定程度上保护了图像信息.2　关于Arnold 变换A rno ld 变换是A rno ld 在遍历理论研究中提出的一种变换,俗称猫脸变换,原意为cat m app ing [2,3].设想在平面单位正方形内绘制一个猫脸图像,通过如下变换x ′y ′=1112x ym od 1(1)这个猫脸图像将由清晰变模糊,这就是A rno ld 变换.注意到式(1)定义的A rno ld 变换实际上是一种点的位置移动,并且这种变换是一一对应的.此外,这个变换可以迭代地做下去.类似的变换还有面包师变换.3　基于Arnold 变换的数字图像位置置乱对于数字图像来说,可以将其看成是一个函数在离散网格点处的采样值,这样我们就得到了一个表示图像的矩阵.矩阵中元素的值是对应点处的灰度值或R GB 颜色分量值.对于正方形数字图像,我们有离散化的A rno ld 变换x ′y ′=1112x ym od N ,x ,y ∈{0,1,…,N -1}(2)其中N 为图像的宽度和高度.对于数字化图像而言,我们所说的位置移动实际上是对应点的灰度值或者R GB 颜色值的移动,即将原来点(x ,y )处象素对应的灰度值或R GB 颜色值移动至变换后的点(x ′,y ′)处.如果我们对一个数字图像迭代地使用离散化的A rno ld 变换,即将左端输出的(x ′,y ′)T 作为下一次A rno ld 变换的输入,可以重复这个过程一直作下去.当迭代到某一步时,如果出现的图像符合我们对图像的“杂乱无章”标准的要求,这即是一幅置乱了的图像.图1所示为对一幅128×128的真彩色图像做位置置乱变换的例子.需要注意的是,A rno ld 变换具有周期性,即当迭代到某一步时,将重新得到原始图像.D yson 和Falk 分析了离散A rno ld 变换的周期性[3],给出了对于任意N >2,A rno ld 变换的周期T N ΦN 2 2,这也许是迄今为止最好的结果了.图2是A rno ld 变换周期与图像尺寸N 之间的一个简单示意图.事实上,对于二维平面上的位置变换来说,可以由A rno ld 变换推广出一类变换,满足这种“位置移动”的要求.齐东旭等[4]证明了对于如下2×2矩阵a b cd(3)当其元素满足ad -bc =1时,它对平面坐标的变换可作为一种置乱变换.9334期丁　玮等:基于A rno ld 变换的数字图像置乱技术4　基于Arnold变换的数字图像色彩置乱齐东旭等[4]将A rno ld变换推广到高维情形,相应的变换矩阵为A N=111 (1)122 (2)123 (3)123…N(4)对于矢量(x0,x1,…,x N-1)T,做如下变换(x′0,x′1, (x)N-1)T=A N(x0,x1,…,x N-1)T(5)这就给定了一种在N维空间上离散网格点的移动方式.对于图像的色彩空间而言,在这里我们提出两种基于推广的高维A rno ld变换的置乱方式.(1)基于R GB色彩空间的图像置乱R GB色彩空间可以看作是三维空间中的一个正方体,其中一个顶点位于坐标原点.由于通常计算机中表示的R GB颜色分量都是整数,所以我们使用的实际上是这个正方体中的离散网格点:V RG B= {(x,y,z),x,y,z=0,1,…,255}.对于如上表示的R GB颜色,我们使用扩展三维A rno ld变换在这个三维网格上做置乱,达到对图像的R GB颜色进行置乱的效果.x′y′z′=111122123xyzm od256,(x,y,z)∈V RGB(6)以图1中的原始图像为例,我们对原始图像在R GB色彩空间做扩展三维A rno ld变换的置乱,结果如图3所示.对于R GB色彩空间,如果我们迭代地运用式(6)的变换,完全可以通过计算确定其周期为448.但是对图像而言,因为不同的图像可能的色彩组合排列不尽相同,所以我们只能认为这个周期是这种变换下的一个上确界.此外,这种置乱的一个问题是:对于不同位置的同一种颜色无法进行置乱.因为其R,G,B分量值是固定的,所以经过这种置乱变换(无论多少次迭代)后,这些不同位置点的颜色仍是一样的,这样就产生了原始图像(特别是颜色数比较少的图像)轮廓可见的问题.对这个问题的一个简单的改进是采用下面的置乱方法.(2)基于数字图像行、列的R GB色彩空间置乱对于一个数字图像F,可以将它表示为一个函数在矩形网格点处的函数值:F={F x,y,x=0,1,…,M-1;y=0,1,…,N-1},即数字图像可以表示为如下矩阵F00F10…F M-1,0F01F11…F M-1,1F0,N-1F1,N-1…F M-1,N-1.对于R GB色彩而言,F x,y=0,1, (255)以列为例,任取图像的某一列(F i0,F i1,…,F i,N-1)T,我们选取如式(4)定义的N阶扩展A rno ld变换矩阵A N,做如下变换(F′i0,F′i1,…,F′i,N-1)T=A N(F i0,F i1,…,F i,N-1)T m od256,即可得到一幅置乱图像.将左侧的输出列放回到原始图像的相应位置,还可以迭代重复此过程.以图1中的原始图像为例,我们对之作基于行和列的扩展N维A rno ld变换(N是图像的宽度或高度),R GB色彩空间置乱的结果如图4所示.043计算机辅助设计与图形学学报2001年对于N 维空间的扩展A rno ld 变换,其周期计算要复杂得多.而且由于图像不同行,不同列,可能的色彩值有不同的组合排列,这导致要恢复原始图像需要完成的变换次数很大,而且难以确定,给破译造成了困难.显然,采用这种基于A rno ld 变换的置乱方法,即使是同一种颜色,只要它出现在图像的不同位置,就会生成新的颜色.这就使图像变得更加混乱,从而达到我们的要求,弥补由于R GB 色彩空间的三维颜色置乱带来的不足.5　结 论在本文中,我们给出了利用A rno ld 变换做数字图像位置置乱的方法,以及用扩展的A rno ld 变换做数字图像的色彩置乱的一般方法.这些方法可以用于数字图像隐藏[5-8]的预处理,这样做的好处不仅在于这是一种置乱图像的简易办法,而且对其的破译工作要花费巨大的时间.但是问题仍然存在,如果非法破译者不在乎恢复运算可能要花费的巨大计算时间,那么他就可以恢复出原始图像.所以我们还必须考虑在迭代过程的每一步都通过添加其它操作来增加非法破译的复杂度.参考文献1W ang Yu 2M in ,H e D a 2Ke .C ryp tography ——Foundati on andA pp licati on .X i ′an :X i ′an X idian U niversity P ress ,1990.368-372(in Ch inese )(王育民,何大可.保密学——基础与应用.西安:西安电子科技大学出版社,1990.368-372)2V I A rno ld ,A A vez.E rgodic P roblem s of C lassicalM echanics .M athem atical PhysicsM onograph Series .N ew Yo rk :W A Ben 2jam in ,Inc .,19683Q i Dong 2Xu .F ractal and Its A pp licati on .Beijing :ScienceP ress ,1994.143-145(in Ch inese )(齐东旭.分形及其计算机生成.北京:科学出版社,1994.143-145)4Q i Dong 2Xu ,Zou J iang 2Cheng ,H an X iao 2You .A new class of scram bling transfo rm ati on and its app licati on in the i m age info r 2m ati on covering .Science in Ch ina (Series E 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