第7章 非线性控制系统分析
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自动控制原理__(13)

x0 e t , 其中x0 x(0) t 1 x0 x 0 e
江南大学物联网工程学院——自动控制原理
(2)会产生自激振荡 非线性系统即使无外界作用,往往也会产生具有一定振幅 和频率的稳定性振荡,称为自激(自持)振荡。在有的非线性 系统中,还可能产生不止一种振幅和频率的自激振荡。自激振 荡是非线性系统一种特有的运动形式,其振幅和频率由系统本 身特性决定。 说明:
江南大学物联网工程学院——自动控制原理
2. 典型的非线性特性
常见的非线性特性有饱和、死区、间隙(回环)、继电等。 (1)饱和特性 特点:当输入信号超过某一范围后,输出信号不再随输 入信号而变化,将保持某一常数值不变。可将饱和非线性元 件看作为一个变增益的比例环节。
x2 f ( x1 ) tan , x1 <s 如图: x2 f ( x1 ) K x1 x1 0, x1 >s
作用:饱和特性将使系 统等效增益减小,因此可用 来改善系统的稳定性,但会 降低稳态精度。在有些系统 中利用饱和特性起信号限幅 作用。
(a)理想饱和特性
(b)实际饱和特性
图7-2 理想与实际饱和特性
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(2)死区(不灵敏区)特性 特点:是当输入信号在零值附近的某一小范围之内变化 时,没有相应的输出信号,只有当输入信号大于此范围时, 才有信号输出。 常见于测量、放大、变换元件中,执行机构中静摩擦的 影响往往也可用死区来表示。 影响:控制系统中死区特性的存 在,将导致系统稳态误差增大,而测 量元件死区的影响尤为显著。摩擦死 区会造成系统低速运动的不均匀,导 致随动系统不能准确地跟踪目标。
3. 非线性系统的分析方法
目前,对于非线性系统的分析与设计,工程上常用的近似方法有:小 偏差线性化法、分段线性化法、反馈线性化法、描述函数法、相平面法及 计算机仿真等。本章将重点介绍应用较多的相平面法和描述函数法。 (1) 相平面法 相平面法是基于时域的图解分析方法。特点是保留非线性特性,将高 阶的线性部分近似地化为二阶,利用二阶系统的状态方程,绘制由状态变 量所构成的的相轨迹图。可用来分析系统的稳定性及运动特性。 只适用于一、二阶的简单非线性系统分析。
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(2)会产生自激振荡 非线性系统即使无外界作用,往往也会产生具有一定振幅 和频率的稳定性振荡,称为自激(自持)振荡。在有的非线性 系统中,还可能产生不止一种振幅和频率的自激振荡。自激振 荡是非线性系统一种特有的运动形式,其振幅和频率由系统本 身特性决定。 说明:
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2. 典型的非线性特性
常见的非线性特性有饱和、死区、间隙(回环)、继电等。 (1)饱和特性 特点:当输入信号超过某一范围后,输出信号不再随输 入信号而变化,将保持某一常数值不变。可将饱和非线性元 件看作为一个变增益的比例环节。
x2 f ( x1 ) tan , x1 <s 如图: x2 f ( x1 ) K x1 x1 0, x1 >s
作用:饱和特性将使系 统等效增益减小,因此可用 来改善系统的稳定性,但会 降低稳态精度。在有些系统 中利用饱和特性起信号限幅 作用。
(a)理想饱和特性
(b)实际饱和特性
图7-2 理想与实际饱和特性
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(2)死区(不灵敏区)特性 特点:是当输入信号在零值附近的某一小范围之内变化 时,没有相应的输出信号,只有当输入信号大于此范围时, 才有信号输出。 常见于测量、放大、变换元件中,执行机构中静摩擦的 影响往往也可用死区来表示。 影响:控制系统中死区特性的存 在,将导致系统稳态误差增大,而测 量元件死区的影响尤为显著。摩擦死 区会造成系统低速运动的不均匀,导 致随动系统不能准确地跟踪目标。
3. 非线性系统的分析方法
目前,对于非线性系统的分析与设计,工程上常用的近似方法有:小 偏差线性化法、分段线性化法、反馈线性化法、描述函数法、相平面法及 计算机仿真等。本章将重点介绍应用较多的相平面法和描述函数法。 (1) 相平面法 相平面法是基于时域的图解分析方法。特点是保留非线性特性,将高 阶的线性部分近似地化为二阶,利用二阶系统的状态方程,绘制由状态变 量所构成的的相轨迹图。可用来分析系统的稳定性及运动特性。 只适用于一、二阶的简单非线性系统分析。
非线性控制系统分析课件

特点
非线性系统的行为复杂,难以用线性 系统的理论和方法进行分析和设计。
分类与比较
分类
根据非线性的性质,非线性控制系统可以分为连续时间非线性控制系统和离散时间非线性控制系统。
比较
连续时间非线性控制系统和离散时间非线性控制系统在分析和设计上有较大的差异。
常见非线性控制系统示例
描述:以下是一些常见的非线性控制系 统示例,包括电气系统、机械系统、化 工系统等。
非线性控制系统设
04
计
控制器设计
线性化设计方法
将非线性系统在平衡点附近线性 化,然后利用线性系统的设计方 法进行控制器设计。
反馈线性化设计方
法
通过引入适当的非线性反馈,将 非线性系统转化为线性系统,然 后进行控制器设计。
滑模控制设计方法
利用滑模面的设计,使得系统状 态在滑模面上滑动,并利用滑模 面的性质进行控制器设计。
相平面法
总结词
一种通过绘制相平面图来分析非线性系统动态特性的方法。
详细描述
相平面法通过将系统的状态变量绘制在二维平面上,直观地展示系统的动态行为,如极限环、分岔等。这种方法 适用于具有两个状态变量的系统。
平均法
总结词
一种通过将非线性系统的动态特性平均 化来简化分析的方法。
VS
详细描述
平均法通过在一定时间范围内对非线性系 统的动态特性进行平均,将非线性系统简 化为一个平均化的线性系统。这种方法适 用于具有周期性激励的非线性系统。
线性系统稳定性分析方法
通过求解特征方程或使用劳斯-赫尔维茨判 据等方法,可以判定线性系统的稳定性。
非线性系统稳定性分析
要点一
非线性系统的特性
非线性系统不具有叠加性和时不变性,其响应会受到初始 状态和输入信号的影响。
非线性系统的行为复杂,难以用线性 系统的理论和方法进行分析和设计。
分类与比较
分类
根据非线性的性质,非线性控制系统可以分为连续时间非线性控制系统和离散时间非线性控制系统。
比较
连续时间非线性控制系统和离散时间非线性控制系统在分析和设计上有较大的差异。
常见非线性控制系统示例
描述:以下是一些常见的非线性控制系 统示例,包括电气系统、机械系统、化 工系统等。
非线性控制系统设
04
计
控制器设计
线性化设计方法
将非线性系统在平衡点附近线性 化,然后利用线性系统的设计方 法进行控制器设计。
反馈线性化设计方
法
通过引入适当的非线性反馈,将 非线性系统转化为线性系统,然 后进行控制器设计。
滑模控制设计方法
利用滑模面的设计,使得系统状 态在滑模面上滑动,并利用滑模 面的性质进行控制器设计。
相平面法
总结词
一种通过绘制相平面图来分析非线性系统动态特性的方法。
详细描述
相平面法通过将系统的状态变量绘制在二维平面上,直观地展示系统的动态行为,如极限环、分岔等。这种方法 适用于具有两个状态变量的系统。
平均法
总结词
一种通过将非线性系统的动态特性平均 化来简化分析的方法。
VS
详细描述
平均法通过在一定时间范围内对非线性系 统的动态特性进行平均,将非线性系统简 化为一个平均化的线性系统。这种方法适 用于具有周期性激励的非线性系统。
线性系统稳定性分析方法
通过求解特征方程或使用劳斯-赫尔维茨判 据等方法,可以判定线性系统的稳定性。
非线性系统稳定性分析
要点一
非线性系统的特性
非线性系统不具有叠加性和时不变性,其响应会受到初始 状态和输入信号的影响。
自动控制原理第七章非线性控制系统的分析

X X
这里,M=3,h=1
负倒描述函数为
N 1 X
X
12 1 1 2
X
X 1
X 1, N 1 X , N 1
必有极值
d N 1X 令
0 dX
得 X 2
N 1 2
2
0.523
12
1
1 2
2
6
X: 1 2
-N-1(X): 0.523
2.自振的稳定性分析
在A点,振幅XA,频率A。
扰动:
X : A点 C点 C点被G(j)轨迹包围,不稳定,
振幅 ,工作点由C点向B点运动;
A点一个不稳 定的极限环。
X : A点 D点 D点不被G(j)轨迹包围,稳定,
振幅 ,工作点由D点左移。
在B点,振幅XB,频率B 。 扰动:
X : B点 E点 E点不被G(j) 轨迹包围,稳定,
振幅 ,工作点由E点到B点;
X : B点 F点 F点被G(j)轨迹包围,不稳定,
振幅 ,工作点由F回到B点。
B点呈现稳定的自激振荡:振幅XB ,频率B。
3.闭环系统稳定性判别步骤
1)绘制非线性部分的负倒描述函数曲线和线 性部分的频率特性曲线。
2)若G(j)曲线不包围“-N-1(X)”曲线,则系统稳定。 若G(j)曲线包围“-N-1(X) ”曲线,系统不稳定。 若G(j)曲线与“-N-1(X)”曲线相交,系统出现自振。
3)若G(j )曲线与“-N-1(X)”曲线有交点,做以 下性能分析:
(1)不稳定的极限环
(2)稳定的极限环 计算自振频率和幅值。
例1:非线性系统如图所示,其中非线性特性为 具有死区的继电器,分析系统的稳定性。
0e
这里,M=3,h=1
负倒描述函数为
N 1 X
X
12 1 1 2
X
X 1
X 1, N 1 X , N 1
必有极值
d N 1X 令
0 dX
得 X 2
N 1 2
2
0.523
12
1
1 2
2
6
X: 1 2
-N-1(X): 0.523
2.自振的稳定性分析
在A点,振幅XA,频率A。
扰动:
X : A点 C点 C点被G(j)轨迹包围,不稳定,
振幅 ,工作点由C点向B点运动;
A点一个不稳 定的极限环。
X : A点 D点 D点不被G(j)轨迹包围,稳定,
振幅 ,工作点由D点左移。
在B点,振幅XB,频率B 。 扰动:
X : B点 E点 E点不被G(j) 轨迹包围,稳定,
振幅 ,工作点由E点到B点;
X : B点 F点 F点被G(j)轨迹包围,不稳定,
振幅 ,工作点由F回到B点。
B点呈现稳定的自激振荡:振幅XB ,频率B。
3.闭环系统稳定性判别步骤
1)绘制非线性部分的负倒描述函数曲线和线 性部分的频率特性曲线。
2)若G(j)曲线不包围“-N-1(X)”曲线,则系统稳定。 若G(j)曲线包围“-N-1(X) ”曲线,系统不稳定。 若G(j)曲线与“-N-1(X)”曲线相交,系统出现自振。
3)若G(j )曲线与“-N-1(X)”曲线有交点,做以 下性能分析:
(1)不稳定的极限环
(2)稳定的极限环 计算自振频率和幅值。
例1:非线性系统如图所示,其中非线性特性为 具有死区的继电器,分析系统的稳定性。
0e
第七章 非线性系统

2 2 x (0.5 3x ) x x x 0
解:由 奇点为
0 x ) 0 f ( x, x
0 x x 0
0 x x 1
在奇点邻域,其线性化方程为
在奇点
) f ( x, x x
0 x x 0
x
x
x
x 0
在相平面上闭合的相轨迹表现为 非线性系统的自持振荡。
6. 相平面图分析
1、分区作出系统的相平面图。 2、分析系统的稳定性。 3、分析系统是否具有极限环。 4、参考线性系统的性能指标来考虑该非线 性系统的调节时间与超调量等。
例:继电控制系统,阶跃信号作用下,试 用相平面法分析系统运动。
-KM
II 区:e<0
2.给定初值 (0, e0 ) 作相轨迹
e
3.系统性能分析
运动是分区的组合, e 0 为翻转条件, 运动连续,有 振荡
=0
KM
Mp
B A
e0
e
=0
-KM
II 区:e<0 I 区:e>0
§7.3 描述函数法
1. 描述函数的定义
本质非线性 固有特性
R(s) +-
+-
G0 (s)
C(s)
闭环特征方程
描述函数 固有特性
1 N ( X )Go ( j ) 0
1 G o ( j ) N(X)
R(s) +-
N(X)
G0 (s)
C(s)
非线性系统的稳定性描述 当 Go ( j ) 曲线不包围 该非线性系统是稳定的。
1 N(X )
X G(j)
远离奇点 包围奇点
解:由 奇点为
0 x ) 0 f ( x, x
0 x x 0
0 x x 1
在奇点邻域,其线性化方程为
在奇点
) f ( x, x x
0 x x 0
x
x
x
x 0
在相平面上闭合的相轨迹表现为 非线性系统的自持振荡。
6. 相平面图分析
1、分区作出系统的相平面图。 2、分析系统的稳定性。 3、分析系统是否具有极限环。 4、参考线性系统的性能指标来考虑该非线 性系统的调节时间与超调量等。
例:继电控制系统,阶跃信号作用下,试 用相平面法分析系统运动。
-KM
II 区:e<0
2.给定初值 (0, e0 ) 作相轨迹
e
3.系统性能分析
运动是分区的组合, e 0 为翻转条件, 运动连续,有 振荡
=0
KM
Mp
B A
e0
e
=0
-KM
II 区:e<0 I 区:e>0
§7.3 描述函数法
1. 描述函数的定义
本质非线性 固有特性
R(s) +-
+-
G0 (s)
C(s)
闭环特征方程
描述函数 固有特性
1 N ( X )Go ( j ) 0
1 G o ( j ) N(X)
R(s) +-
N(X)
G0 (s)
C(s)
非线性系统的稳定性描述 当 Go ( j ) 曲线不包围 该非线性系统是稳定的。
1 N(X )
X G(j)
远离奇点 包围奇点
非线性控制系统的分析课件.ppt

法求解有困难时,可用图解法绘制。
▪ 对于式(9.2-1)xf(x,x),令 x1x、 x2x ,
▪
有 x 2f(x1、 x2),所以 可得 dx2 f (x1、x2)
d d x t2d dx x1 2d d x t1x2d dx x1 2f(x1、 x2)
(9.2-5)
▪
dx1
x2
式(9.2-5)是关于
y
-b 0
k
x
b
a.
b.
图9.1-4 齿轮传动及其间隙特性
y(x)k[xs g x)n b](|y/kx|b y (x)0、 y(x)C |y/kx|b
▪ 系统中若有间隙特性元件,不仅会使系统的输出产生相位滞后,导致 系统稳定裕量的减小,使动态性能恶化,容易产生自振;而且间隙区 会降低定位精度、增大非系线统性控静制差系统。的分析课件
▪ 由于相平面只能表示 x(t ) 和 x(t ) 两个独立变量,所以相 平面法只能用来研究一、二阶线性或非线性系统。
▪ 2)相轨迹的绘制方法
▪ (1)二阶线性系统的相轨迹 ▪ (2)相轨迹的绘制
非线性控制系统的分析课件
j
[s]
2 1
0
a.
j 1 [s]
0
2
d.
x2
j
x2
1
[s]
x1
0
0
0
稳定 节点
x
(
t
)
和 x (t ) 的一阶微分方程,即二阶非线性
系统的相轨迹方程。
▪
由式(9.2-5),令
dx2 f (x1,x2)
dx1
x2
,即有
▪
f (x1, x2 )
(9.2-6)
非线性控制系统分析教学课件

总结词
详细描述
智能控制
要点一
总结词
智能控制是一种基于人工智能的控制方法,通过模拟人类 的决策和推理过程来实现对系统的优化和控制。
要点二
详细描述
智能控制采用人工智能技术,如专家系统、神经网络、模 糊逻辑等,实现对系统的优化和控制。智能控制具有自学 习、自适应和自组织能力,能够处理复杂的非线性系统和 不确定性问题。
03
状态观测是非线性控制 系统的重要技术,用于 估计系统状态变量的值。
04
通过观测系统的输出信 号,可以估计系统状态 变量的值,用于控制和 观测目的。
CHAPTER
非线性控制系统的分析与设 计
描述函数法
总结词
详细描述
相平面法
总结词 详细描述
反馈线性化方法
总结词 详细描述
滑模控制方法
总结词
一种用于处理非线性控制系统不确定性 的方法
VS
详细描述
滑模控制方法是一种通过设计滑模面和滑 模控制器,使得系统状态在滑模面上滑动 并达到期望目标的方法。它利用滑模面的 设计,使得系统对不确定性具有鲁棒性, 能够有效地处理非线性系统中的不确定性 和干扰。
CHAPTER
非线性控制系统的应用实例
无人机控制系 统
机器人控制系 统
机器人控制系统是另一个重要的非线 性控制系统应用,它涉及到机器人的 运动学、动力学和轨迹规划等方面。
汽车控制系统需要处理各种非线性特性和耦合效应,如发动机的燃烧过 程、底盘的悬挂系统和转向系统等,以确保汽车的安全性、稳定性和舒
适性。
汽车控制系统的设计需要运用非线性控制理论和方法,如状态反馈控制、 鲁棒控制等,以提高汽车的动态性能和燃油经济性。
航天器控制系 统
详细描述
智能控制
要点一
总结词
智能控制是一种基于人工智能的控制方法,通过模拟人类 的决策和推理过程来实现对系统的优化和控制。
要点二
详细描述
智能控制采用人工智能技术,如专家系统、神经网络、模 糊逻辑等,实现对系统的优化和控制。智能控制具有自学 习、自适应和自组织能力,能够处理复杂的非线性系统和 不确定性问题。
03
状态观测是非线性控制 系统的重要技术,用于 估计系统状态变量的值。
04
通过观测系统的输出信 号,可以估计系统状态 变量的值,用于控制和 观测目的。
CHAPTER
非线性控制系统的分析与设 计
描述函数法
总结词
详细描述
相平面法
总结词 详细描述
反馈线性化方法
总结词 详细描述
滑模控制方法
总结词
一种用于处理非线性控制系统不确定性 的方法
VS
详细描述
滑模控制方法是一种通过设计滑模面和滑 模控制器,使得系统状态在滑模面上滑动 并达到期望目标的方法。它利用滑模面的 设计,使得系统对不确定性具有鲁棒性, 能够有效地处理非线性系统中的不确定性 和干扰。
CHAPTER
非线性控制系统的应用实例
无人机控制系 统
机器人控制系 统
机器人控制系统是另一个重要的非线 性控制系统应用,它涉及到机器人的 运动学、动力学和轨迹规划等方面。
汽车控制系统需要处理各种非线性特性和耦合效应,如发动机的燃烧过 程、底盘的悬挂系统和转向系统等,以确保汽车的安全性、稳定性和舒
适性。
汽车控制系统的设计需要运用非线性控制理论和方法,如状态反馈控制、 鲁棒控制等,以提高汽车的动态性能和燃油经济性。
航天器控制系 统
第七章 非线性控制系统的分析

2 2
6
(7.3)
式中:
N 为非线性环节的描述函数; 描述函数 A 为正弦输入信号的幅值; y1 为输出信号基波分量的幅值;
ϕ1 为输出信号基波分量的相移角。
7.1.1 描述函数
若非线性环节中不含储能元件 N = N( A ) 若非线性环节中含有储能元件 N = N( A,ω )
7
7.1.2 典型非线性特性的描述函数
14
为与输入振幅A有关的复函数,输出的基波分量的相角 滞后于输入信号的相角。
7.1.2 典型非线性特性的描述函数
(7.5)式中, b=0, 为理想继电型特性的描述函数: 理想继电型特性
N ( A) = 4M πA
15
(7.6)
7.1.2 典型非线性特性的描述函数
(7.5)式中, m = 1, 为具有死区的三位置继电型特性
−1 N (A -− N -1(A )) 稳定区域
24
G ( jω )
d
G ( jω )
7.2 非线性控制系统的描述函数分析
(若非线性系统的线性部分G(s) 是非最小相位系 统,则系统闭环稳定的条件为N = -P. ) 自持振荡可用一个正弦振荡来近似,振荡的 频率和振幅,分别由交点处的 G(jω) 曲线上的 ω 值和 “-N-1(A)” 曲线上的 A 值来确定。 正弦振荡存在表明非线性系统存在周期解, 可用Nyquist判据分析其稳定性。只有稳定的正弦 振荡才能近似表示非线性系统实际存在的自持振 荡:稳定的自持振荡(极限环)可通过试验观察到, 而不稳定的自持振荡却观察不到。
22
7.2 非线性控制系统的描述函数分析
推广的Nyquist判据: 判据
23
设非线性系统的线性部分 G(s) 是最小相位的,于是,闭 环系统稳定的条件为 N = 0。 当 s 在 s平面上顺时针方向沿D型围线变化一周时: 2) 若 G(jω) 曲线包围 “-N-1(A)” 曲线 (图b所示) 则非线性系统是不稳定的 不稳定
6
(7.3)
式中:
N 为非线性环节的描述函数; 描述函数 A 为正弦输入信号的幅值; y1 为输出信号基波分量的幅值;
ϕ1 为输出信号基波分量的相移角。
7.1.1 描述函数
若非线性环节中不含储能元件 N = N( A ) 若非线性环节中含有储能元件 N = N( A,ω )
7
7.1.2 典型非线性特性的描述函数
14
为与输入振幅A有关的复函数,输出的基波分量的相角 滞后于输入信号的相角。
7.1.2 典型非线性特性的描述函数
(7.5)式中, b=0, 为理想继电型特性的描述函数: 理想继电型特性
N ( A) = 4M πA
15
(7.6)
7.1.2 典型非线性特性的描述函数
(7.5)式中, m = 1, 为具有死区的三位置继电型特性
−1 N (A -− N -1(A )) 稳定区域
24
G ( jω )
d
G ( jω )
7.2 非线性控制系统的描述函数分析
(若非线性系统的线性部分G(s) 是非最小相位系 统,则系统闭环稳定的条件为N = -P. ) 自持振荡可用一个正弦振荡来近似,振荡的 频率和振幅,分别由交点处的 G(jω) 曲线上的 ω 值和 “-N-1(A)” 曲线上的 A 值来确定。 正弦振荡存在表明非线性系统存在周期解, 可用Nyquist判据分析其稳定性。只有稳定的正弦 振荡才能近似表示非线性系统实际存在的自持振 荡:稳定的自持振荡(极限环)可通过试验观察到, 而不稳定的自持振荡却观察不到。
22
7.2 非线性控制系统的描述函数分析
推广的Nyquist判据: 判据
23
设非线性系统的线性部分 G(s) 是最小相位的,于是,闭 环系统稳定的条件为 N = 0。 当 s 在 s平面上顺时针方向沿D型围线变化一周时: 2) 若 G(jω) 曲线包围 “-N-1(A)” 曲线 (图b所示) 则非线性系统是不稳定的 不稳定
第七章非线性控制系统分析习题答案.

解: y(t) = A3 sin3 ωt
∫ ∫ 1
B=
2π
A3 sin 4 ωt
4 A3
dωt =
π
2
1
(1
− cos
2ωt) 2
dωt
1
π0
π 04
∫ [ ] A3
=
π
2 (1 − 2 c os 2ω t + c os 2 2ω t )
A3
dωt =
π
A3
π
− sin 2ωt 2
π0
π2 π
0
A 3 π c o s 4ω t + 1
G1 ( s) +G1 ( s)
4 、 判 断 题 7 -2 图 中 各 系 统 是 否 稳 定 ; −1 N( A) 与 G ( j ω ) 两 曲 线 交 点 是 否 为 自 振 点 。
2
解 :( a ) 不 是 ; ( b) 是 ; (c)是;
( d) a、c 点 是, b 点 不 是;
( e) 是 ;
( 2 ) 由 图 解 7 -5 可 见 , 当 −1 N( A) 和 G ( j ω ) 相 交 时 , 系 统 一 定 会 自 振 。 由 自 振 条 件
A + 6 −K −( A + 6) K
N ( A)G( jω ) =
=
= −1
ω =1 A + 2 2
2( A+2)
( A +6) K = 2 A +4
10
−1 0
10
G( jω ) =
=
−j
j ω( j ω + 1) ω2 + 1
ω( ω2 + 1)
∫ ∫ 1
B=
2π
A3 sin 4 ωt
4 A3
dωt =
π
2
1
(1
− cos
2ωt) 2
dωt
1
π0
π 04
∫ [ ] A3
=
π
2 (1 − 2 c os 2ω t + c os 2 2ω t )
A3
dωt =
π
A3
π
− sin 2ωt 2
π0
π2 π
0
A 3 π c o s 4ω t + 1
G1 ( s) +G1 ( s)
4 、 判 断 题 7 -2 图 中 各 系 统 是 否 稳 定 ; −1 N( A) 与 G ( j ω ) 两 曲 线 交 点 是 否 为 自 振 点 。
2
解 :( a ) 不 是 ; ( b) 是 ; (c)是;
( d) a、c 点 是, b 点 不 是;
( e) 是 ;
( 2 ) 由 图 解 7 -5 可 见 , 当 −1 N( A) 和 G ( j ω ) 相 交 时 , 系 统 一 定 会 自 振 。 由 自 振 条 件
A + 6 −K −( A + 6) K
N ( A)G( jω ) =
=
= −1
ω =1 A + 2 2
2( A+2)
( A +6) K = 2 A +4
10
−1 0
10
G( jω ) =
=
−j
j ω( j ω + 1) ω2 + 1
ω( ω2 + 1)
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1 ω t
2
B1
4 π
1
2
[
kA sin t sin ω td (ω t ) ka sin ω td (ω t ) ]
0
1
1
4 kA π
sin
0
2
d
4 ka π
2
1
sin d
4 kA 1 1 4 ka ( sin 2 1 ) cos 1 2 4
非线性系统与线性系统的区别(5)
在线性系统中,一般可采用传递函数、频率特性、脉 冲响应函数等概念。 工程实际中对于存在线性工作区域的非线性系统,或 者非线性不严重(光滑、连续)的准线性系统,常常采 用线性化的方法进行处理,然后在线性分析的基础上 加以修正。 对于包括像继电特性那样根本不存在线性区的本质非 线性特性,工程上常用相平面方法和描述函数方法进 行研究。
1 N ( A )G ( j ) 0
G ( j ) 1 N ( A)
例
分析非线性系统自激振荡的情况
15
-
s ( 0 . 1 s 1)( 0 . 2 s 1)
例
分析非线性系统自激振荡的情况
7.5 MATLAB在非线性系统分析中的应用
键入“Simulink”,会弹出一个Untitled窗口。 复制模块。 模块之间的连接。 选择与删除对象。
N ( A , j )
非线性元件的描述函数或等效幅相频率特性与输 入的正弦振荡的振幅A有关,这是非线性特性本质 的反映。它与线性环节的情况正好相反,线性环 节的幅相特性(频率特性)与正弦输入的幅值无 关。
描述函数的求取 1)绘制输入—输出波形图,写出输入为 e ( t ) A sin ω t 时非线性输出表达式
2k a A ) a A 1 ( a A
2
A [arcsin(
) ]
N ( A)
B1 A
2k
[sin
1
(
a A
)
a A
1 (
a A
) ]
2
负倒特性
N ( A)
1
B1 A
2k
2k
[sin
1
(
a A
)
1
பைடு நூலகம்
a A
1 (
a A
) ]
2
N ( A)
[sin
1
(
2
A1
1 π
1 π
0
2
x ( t ) cos ω td (ω t )
X1
A1 B 1
2
2
B1
x ( t ) sin ω td (ω t )
0
N ( A , j )
x1 e
X 1e Ae
j 1 j0
X1 A
e
j 1
B1 A
j
A1 A
非线性环节的描述函数总是输入信号幅值A的函数, 一般也是频率的函数,因此,描述函数一般记为
本章主要讲什么内容?
首先介绍非线性系统的特性,然后介绍描述函数法,着重分 析自激振荡。最后介绍适合于二阶非线性系统的相平面法。
第7章 非线性控制系统分析
7.1 典型非线性特性 7.2 描述函数法 7.3 典型非线性特性的描述函数
7.4 用描述函数法分析非线性系统的自激振荡
7.5 MATLAB在非线性系统分析中的应用
x (t )
Ai
A0 2
2
(A
i 1
i
cos i ω t B i sin i ω t )
1 π
x ( t ) cos i ω td (ω t )
0
2
Bi
1 π
x ( t ) sin i ω td (ω t )
0
x 1 ( t ) A1 cos t B 1 sin t X 1 sin( t 1 )
0 ωt
2
2
ω t 1
1 ω t
k ( A sin ω t a ) x (t ) k ( A a) k ( A sin ω t a )
0 ωt
2
2
ω t 1
1 ω t
非线性系统与线性系统的区别(3)
线性系统在没有外作用时,周期运动只发生在临界情况, 而这一周期运动在物理上不可能实现的。
非线性系统,在没有外作用时,系统中完全有可能发生 一定频率和振幅的稳定的周期运动,这个周期运动在物 理上是可以实现的,通常把它称为自激振荡。
非线性系统与线性系统的区别(4)
线性系统中,当输入量是正弦信号时,输出稳态分 量也是同频率的正弦函数,可以引入频率特性的概 念并用它来表示系统固有的动态特性。 非线性系统在正弦作用下的输出比较复杂。
1
B1
2
2
[
x ( t ) sin ω td (ω t )
2
4 ka
0
(
k ( A sin ω t a ) sin ω td (ω t )
0
k ( A a ) sin ω td (ω t )
1
1
kA k ( A sin ω t a ) sin ω td (ω t ) ] [ sin 2 B1 A1
7.1.1
饱和特性
7.1.2
死区特性
7.1.3
间隙特性
7.1.4
继电器特性
7.2 描述函数法
7.2.1 基本思想
7.2.2 基本条件 7.2.3 描述函数的定义
7.2.1 描述函数法的基本思想
描述函数法的基本思想是用非线性元件的输出信号中的基 波分量,代替非线性元件在正弦输入作用下的实际输出。 所以这种方法又称为一次谐波法。
国 家 精 品 课 程
Principles of Automatic Control
(非自动化专业)
主讲人:
自动控制原理
王 万 良
wwl@
《自动控制原理》国家精品课程网站
http://210.32.200.206/zdkz/index.asp
第7章 非线性控制系统分析
导 读
2
1
k ( A sin ω t a ) sin ω td (ω t )
2 kA [ sin 2
1
(
a A
)
a A
1 (
a A
) ]
2
N ( A)
2k a a [ arcsin( ) π 2 A A
1 (
a A
) ]
2
3.间隙特性的描述函数
k ( A sin ω t a ) x (t ) k ( A a) k ( A sin ω t a )
a A
)
a A
1 (
a A
) ]
2
2.死区特性的描述函数 单值奇函数,具有半周期的对称性
0, x (t ) k ( A sin ω t a ), 0 ωt α α
1
ωt
1
2
B1
B1
4 π
2
x ( t ) sin ω td (ω t )
0
4
Step Pulse
3
4 s 3s 2 s
2
Generator
Sum
Saturation
Transfer Fcn
Scope
点击Simulation菜单中Start,就开始仿真。双击Scope 模块就打开示波器,示波器上就显示出系统响应曲线。
问题 ?
本章小结
• 1. 典型非线性特性
为什么要介绍本章?
被控对象的种类越来越多,线性模型已不能满足要求。例如 控制系统中常出现稳定的自激振荡, 这是线性模型中不存在 的。又如控制系统中大量采用继电控制,但线性系统理论不能 分析这类系统。要建立一个能解决非线性系统全部问题的方法 是不可能的。目前许多方法是以线性化方法为基础,加以修补 使之适应解决非线性问题的需要,例如描述函数法。
7.1
典型非线性特性
弱非线性系统(光滑、连续的非线性系统) (泰勒级数展开法,非线性系统的线性化) 强非线性系统(本质非线性) (描述函数法,相平面法,计算机仿真)
非线性系统与线性系统的区别(1)
线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数,或 者只取决于系统特征方程根的分布,而和初始条件、 外加作用没有关系。
N ( A) j A A
1
2
(1
2a A
) (1
2a A
) 1 (1
2a A
) ]
2
k [ sin 2
(1
2a A
) (1
2a A
) 1 (1
2a A
) ] j
2
4k a
(
a A
1)
A
4.继电器特性的描述函数
7.4 用描述函数法分析非线性系统的自激振荡
对于非线性系统,不存在系统是否稳定的笼统概念。 必须具体讨论某一运动的稳定性问题。 非线性系统运动的稳定性,除了和系统的结构形式及 参数大小有关以外,还和初始条件有密切的关系。
非线性系统与线性系统的区别(2)
线性系统自由运动的形式与系统的初始偏移无关。 非线性系统自由运动的时间响应曲线可以随着初始 偏移不同而有多种不同的形式。