1.2.2空间中的平行关系1
高中数学 1.2 点、线、面之间的位置关系 1.2.2 空间中的平行关系(1)课堂探究 新人教B版必
空间中的平行关系 1课堂探究探究一基本性质4的应用基本性质4说明把平行线的传递性推广到空间也能成立，这个基本性质是判断两条直线平行的重要方法之一，其关键在于寻找联系所证两条平行直线的第三条直线．此外，我们还要熟悉各种几何图形的定义和特征．【典型例题1】 如图所示，已知E ，F 分别是空间四边形ABCD 的边AB 与BC 的中点，G ，H 分别是边CD 与AD 上靠近D 的三等分点，求证：四边形EFGH 是梯形．思路分析：要证明四边形EFGH 是梯形，只需证一组对边平行且不相等即可．通过本题条件可知，利用平面的基本性质4即可解决．证明：在△ABC 中，因为E ，F 分别是AB ，BC 边上的中点，所以EF 12AC ． 又在△ACD 中，G ，H 分别是CD ，AD 边上的三等分点，DH DA ＝DG DC ＝13，所以GH 13AC ． 所以EF ∥GH ，且EF ≠GH ，即四边形EFGH 是梯形．探究二等角定理的应用证明角相等的常用方法有： (1)利用题设中的条件，将要证明的两个角放在两个三角形中，利用三角形全等或三角形相似证明两个角相等．(2)在题目中若不容易构造三角形或不能利用三角形全等或相似来证明角相等，可考虑两个角的两边，可利用定理证明这两个角的两边分别对应平行且方向相同或相反，从而达到目的．【典型例题2】 (1)空间中有一个∠A 的两边和另一个∠B 的两边分别平行，∠A ＝70°，则∠B＝________．解析：因为∠A的两边和∠B的两边分别平行，所以∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°．又∠A＝70°，所以∠B＝70°或110°．答案：70°或110°(2)已知E，E1分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AD，A1D1的中点．求证：∠BEC＝∠B1E1C1．解：如图所示，连接EE1，因为E1，E分别为A1D1，AD的中点，所以A1E1AE．所以四边形A1E1EA为平行四边形，所以A1A E1E．又因为A1A B1B，所以E1E B1B，所以四边形E1EBB1是平行四边形，所以E1B1∥EB．同理E1C1∥EC．又∠BEC与∠B1E1C1对应边方向相同，所以∠BEC＝∠B1E1C1．探究三直线与平面平行的判定定理1．应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必须都具备，缺一不可．2．要明确其思路是用直线与直线平行判定直线和平面平行．应用时，只需在平面内找到一条直线与已知直线平行即可．简单地说，线∥线⇒线∥面．3．在题目中出现中点时，常见的证线线平行的两种途径．(1)中位线→线线平行．(2)平行四边形→线线平行．【典型例题3】一木块形状如图所示，点P在平面VAC内，过点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和AC，应该怎样画线？思路分析：可考虑利用线面平行的判定定理分析“目标线”的画法．解：如图，在平面VAC内经过点P作EF∥AC，且与VC的交点为F，与VA的交点为E．在平面VAB内，经过点E作EH∥VB，与AB交于点H．在平面VBC内，经过点F作FG∥VB，与BC交于点G，连接GH，则EF，FG，GH，HE为截面与木块各面的交线．证明如下：因为EH∥VB，FG∥VB，所以EH∥FG，可知E，H，G，F四点共面．因为VB 平面EFGH，EH⊂平面EFGH，所以VB∥平面EFGH．同理可证AC∥平面EFGH．点评证明线面平行时，先在平面内找与已知直线平行的直线，若找不到，再添加辅助线．添加辅助线一般要结合特殊点、特殊图形，添加的辅助线多为中线、高线、中位线或特殊图形的边．探究四直线与平面平行的性质定理的应用1．性质定理可作为直线和直线平行的判定方法．应用时，需要经过已知直线找平面(或作平面)与已知平面相交，以平面为媒介证明线线平行．2．定理中的三个条件：(1)直线a ∥平面α；(2)平面α，β相交，即α∩β＝b ；(3)直线a 在平面β内．缺一不可．定理的应用流程可表示如下：【典型例题4】 如图，四边形EFGH 为空间四边形ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形．(1)求证：AB ∥平面EFGH ，CD ∥平面EFGH ；(2)若AB ＝4，CD ＝6，求四边形EFGH 周长的取值X 围．思路分析：(1)利用线面平行的判定和性质定理进行证明；(2)利用图形相似的性质来求边长．解：(1)证明：因为四边形EFGH 为平行四边形，所以EF ∥HG ．因为HG ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ，所以EF ∥平面ABD ．因为EF ⊂平面ABC ，平面ABD ∩平面ABC ＝AB ，所以EF ∥AB ，易得AB ∥平面EFGH ．同理，CD ∥EH ，所以CD ∥平面EFGH ．(2)设EF ＝x (0<x <4)，由于四边形EFGH 为平行四边形，EF ∥AB ，CD ∥EH ，所以CD ∥FG ，CF CB ＝4x ． 故FG 6＝BF BC ＝BC －CF BC ＝1－4x ．从而FG ＝6－32x ． 于是四边形EFGH 的周长为l ＝3262x x ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦＝12－x ．又0＜x＜4，所以8＜l＜12，即四边形EFGH周长的取值X围为(8,12)．点评线面平行的判定定理与性质定理常常交替使用：先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们可称为平行链，如下：线线平行在平面内作或找一条直线线面平行作或找经过直线的平面与已知平面的交线线线平行探究五易错辨析易错点：将b⊄α与b∥α等同而致误【典型例题5】平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面．已知：直线a∥b，a∥平面α，a，b⊄α．求证：b∥α．错解：因为直线a∥b，所以a与b无公共点．又因为a∥平面α，所以a与平面α也无公共点，又b⊄α，所以b与α无公共点，所以b∥α．错因分析：b⊄α包含b∥α和b∩α＝M两种情况，上面证明误认为b⊄α即意味着b∥α而致错．正解：如图所示，过a及平面α内一点A作平面β，设β∩α＝c．因为a∥α，所以a∥c．因为a∥b，所以b∥c．因为b⊄α，c⊂α，所以b∥α．点评条件中有a∥α，为了利用直线和平面平行的性质定理，因此过a作平面β与α相交，这里我们把平面β称为辅助平面，它可以起到桥梁作用，作辅助平面是把空间问题向平面问题转化的一种手段．和平面几何中添加辅助线一样，在构造辅助平面时，一定要确认这个平面是存在的．在本例中就是以“直线及此直线外一点确定一个平面”为依据作出辅助平面的．。
1.2.2《空间中的平行关系》(2)——线面平行
l
m'
P
m
A A
B
B
直线与平面平行
如果平面 内有直线 b 与直线 a平行，那么直线 a 与平面 的位置关系如何？ 直线 a 与平面 平行？
a
b
三、直线与平面平行判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则 该直线与此平面平行． a a b a // b a // b 性质定理可概括为:线线平行 平面问题 线面平行. 空间问题
证明直线与平面平行，三个条件（内、外、平）必 须具备，才能得到线面平行的结论．
概念辨析
判断下列命题是否正确，若正确，请简述理由， 若不正确，请给出反例.
(1)如果a、b是两条直线，且a∥b,那么a 平行于经过b 的任何平面； (2)过直线外一点，可作无数个平面与这条直线平行 (3)过平面外一点和这个平面平行的直线只有一条
B
A
F
D
E
O
C
∵ O为正方形DBCE 对角线的交点,
又AF=FE,
∴AB//OF, AB 平面DCF OF 平面DCF AB// 平面DCF AB//OF
反思~领悟：
1.线面平行,通常可以转化为线线平行来处理.
2.寻找平行直线可以通过构造三角形的中位 线、梯形的中位线、平行四边形等来完成。 3、证明的书写三个条件“内”、“外”、“平 行”，缺一不可。
小结
四 . 直线和平面平行的性质定理
（1）文字语言：如果一条直线和一个平 面平行，经过这条直线的平面和这个平 面相交，那么这条直线就和交线平行.
1.2.2空间中的平行关系-----面面平行
3.求证:夹在两个平行平 面间的平行线段相等.
B
已知: ∥ , AA∥BB, A , A , B , B . B′ 求证: AA BB A′ 证明: 连结AB, AB. 因为AA∥BB, 所以经过AA，BB能确定一个平面，记为平面 .
3、与同一直线成等角的两平面平行
α β
α
θ θ β
α θ β
4、垂直于同一平面的两平面平行 5、若α∥β,则平面α内任一直线a ∥β
6、若n α,m α,n∥β,m ∥β则α∥β
α m
n β
α γ
β
例1： 已知:三棱锥P-ABC中D,E,F 分别是棱PA,PB,PC的中点
求证:平面DEF//平面ABC 证明：在△PAB中，
A
AB AB AB∥AB AA∥BB ∥ AABB是平行四边形 AA BB.
课堂小结
• 一个概念
1.两个平面平行的定义;
• 两个定理
1．面面平行的判定定理☆ 2．面面平行的性质定理☆
A
a b
判定定理:一个平面内两条相交直线分别平行于另
判断下列命题是否正确，并说明理由． （1）若平面 内的两条直线分别与平面 平行，则 与 平行； × （2）若平面 内有无数条直线分别与平面 平行，则 与 平行； × （3）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平 行的平面． ×
直线的条数不是关键
直线相交才是关键
判断下列命题是否正确？ 1、平行于同一直线的两平面平行 2、垂直于同一直线的两平面平行
已知: 求证:
证明: 因为∥ ,
1.2.2空间中的平行关系(一)平行直线
D
D）
(3)空间两角α、β的两边对应平行, 且α＝600, 则β等（ A. 60° B. 120° C. 30° D. 60°或120°
D）
(4)若空间四边形的对角线相等,则以它的四条边的中点为顶点 的四边形是（ ）
D
A.空间四边形
B.梯形
C.正方形
D.菱形
(5)设AA1是正方体的一条棱，这个正方体中与AA1 平行的
没 有
一、 平行直线
1. 平行直线的定义：同一平面内不相交 的两条直线叫做平行线. 2. 平行公理：过直线外一点有且只有一 条直线和已知直线平行. 3. 性质：在平面内,如果两条直线都和第三 条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
4. 基本性质4：平行于同一直线的两条直 线互相平行。 此性质又叫做空间平行线的传递性.
1
C1
E1 A1 B1
D E A B
C
练习题
(1) 下列结论正确的是（ ） A.若两个角相等，则这两个角的两边分别平行 B.空间四边形的四个顶点可以在一个平面内 C.空间四边形的两条对角线可以相交 D.空间四边形的两条对角线不相交 (2) 下面三个命题, 其中正确的个数是（ ①三条相互平行的直线必共面； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③若四边形有一组对角都是直角，则这个四边形是圆的内 接四边形 A. 1个 B. 2 个 C. 3个 D. 一个也不正确
棱共有＿＿＿条．
(6)如果OA∥O1A1, OB∥O1B1 ,那么∠AOB与∠A1O1B1 ( A.相等 B.互补 C.相等或互补
3
C
)
D.以上答案都不对
课堂小结
一、平行直线
二、等角定理
三、空间四边形
定理证明
1.2.2空间中的平行关系
(3)空间两个角 、β, α与β的两边对应平行 且α＝ 空间两个角α 的两边对应平行, 空间两个角 与 的两边对应平行 ＝ 60°, 则β等于（ 等于（ ° 等于 ）D A. 60° B. 120° ° ° C. 30° D. 60°或120° ° ° ° (4)若空间四边形的对角线相等 则以它的四条边的中 若空间四边形的对角线相等,则以它的四条边的中 若空间四边形的对角线相等 点为顶点的四边形是（ 点为顶点的四边形是（ B ） A.空间四边形 B.菱形 空间四边形 菱形 C.正方形 D.梯形 正方形 梯形 (5) 设AA1是正方体的一条棱，这个正方体中 是正方体的一条棱， 平行的棱共有＿＿＿条 与AA1 平行的棱共有＿＿＿条 3 ＿＿＿
空间四边形ABCD的 顶点，边， 说一说 空间四边形 的 顶点， 对角线分别有哪些？ 对角线分别有哪些？
空间四边形ABCD中，AC、BD是它的对角线 中 空间四边形 、 是它的对角线
应用新知
例1：已知，如图所示，空间四边形 ：已知，如图所示，空间四边形ABCD中， 中 分别是边AB 的中点. E，F，G，H分别是边 ，BC，CD，DA的中点 分别是边 的中点 求证：四边形EFGH是平行四边形 求证：四边形 是平行四边形
平行线的定义： 同一平面内，不相交的两条直线叫做 平行线的定义： 同一平面内，不相交的两条直线叫做 平行线。 平行线。 平行公理： 过直线外一点，有且只有一条直线和已知 平行公理： 过直线外一点，有且只有一条直线和已知 直线平行。 直线平行。 平面平行线的传递性： 平面平行线的传递性： 如果两条直线都与第三条直线平 那么这两条直线也互相平行。 行，那么这两条直线也互相平行。
γ γ
β
γ β
β
想一想
首尾顺次连接四个点A,B,C,D，那么构成 ， 首尾顺次连接四个点 的四边形一定是平面图形吗 的四边形一定是平面图形吗？
第一章1.2.2空间中的平行关系1教案教师版
1.2.2空间中的平行关系(一)【学习要求】1．掌握空间中两条直线的位置关系．2．理解并掌握基本性质4及等角公理．【学法指导】通过平行直线、基本性质4及等角定理的学习，进一步加深对空间两直线位置关系的理解及运用；通过在平面上画出直线的位置关系，培养空间想象能力.填一填：知识要点、记下疑难点1．基本性质4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2．等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等．3．空间四边形：顺次连接不共面的四点A，B，C，D所构成的图形，叫做空间四边形．研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]在平面上，我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”，在空间中，结论是否仍然成立呢？探究点一平行直线问题1在初中平行直线是怎样定义的？答：我们把在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．问题2初中学过的平行公理的内容是什么？答：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．问题3空间中两条直线有几种位置关系？分别是哪几种？答：空间两条直线的位置关系有且只有三种：问题4在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．在空间中，是否有类似的规律？现在请大家看一看我们的教室，找一下有无不在同一平面内的三条直线两两平行的.答：教室里的地面和墙面相交的两条平行线与墙面和天花板相交的直线不在同一平面内，且三条直线两两平行．小结：基本性质4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．基本性质4通常又叫做空间平行线的传递性．问题5基本性质4有什么作用？如何用符号语言表示基本性质4?答：基本性质4作用：判断空间两条直线平行的依据．符号表示：设空间中的三条直线分别为a, b, c，若a∥c，b∥c，则a∥b.例1在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知E，F分别是AB, BC 的中点，求证：EF∥A1C1.证明：如图，连接AC，在△ABC中，E, F分别是AB, BC 的中点，所以EF∥AC.又因为AA1∥BB1且AA1＝BB1，BB1∥CC1且BB1＝CC1，所以AA1∥CC1且AA1＝CC1.即四边形AA1C1C是平行四边形，所以AC∥A1C1，从而EF∥A1C1.小结：本题主要考查两条直线平行的判定，关键是寻找直线平行的条件，可由基本性质4证明．跟踪训练1已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E、F分别为AA1、CC1的中点．求证：BF∥ED1.证明：如图，取BB1的中点G，连接GC1、GE.∵F为CC1的中点，∴BG=C1F. ∴四边形BGC1F为平行四边形．∴BF∥GC1.又∵EG∥A1B1，A1B1∥C1D1，∴EG∥D1C1. ∴四边形EGC1D1为平行四边形．∴ED1∥GC1.∴BF∥ED1.探究点二等角定理问题1观察图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC 与∠A′B′C′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？答：从图中可以看出，∠ADC＝∠A′D′C′，∠ADC＝∠A′B′C′.小结：本题主要考查两条直线的平行的判定，关键是寻找直线平行的条件，可由平行线公理证明．问题2试一试，如何证明等角定理呢？已知：如图所示，∠BAC和∠B′A′C′的边AB∥A′B′，AC∥A′C′，且射线AB与A′B′同向，射线AC与A′C′同向．求证：∠BAC＝∠B′A′C′.证明：对于∠BAC和∠B′A′C′在同一平面内的情形，用初中所学的知识容易证明．下面证明两个角不在同一平面内的情形．分别在∠BAC的两边和∠B′A′C′的两边上截取线段AD，AE和A′D′，A′E′，使AD＝A′D′，AE＝A′E′.因为AD綊A′D′，所以AA′D′D是平行四边形．可得AA′綊DD′.同理可得AA′綊EE′. 于是DD′綊EE′，因此DD′E′E 是平行四边形．可得DE ＝D′E′. 于是△ADE ≌△A′D′E′，因此∠BAC ＝B′A′C′.问题3 空间中，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且对应边的方向都相反，那么这两个角的大小关系如何？为什么？答：这两个角相等．如图，过∠2的一边作∠1的一边的平行线，则∠1与∠3的对应边分别平行且方向相同，所以∠1＝∠3，而∠2与∠3是内错角，所以∠2＝∠3，因此∠1＝∠2.问题4 空间中，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，如果一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，那么这两个角的大小关系如何？为什么？答：这两个角互补．因为延长一个角的一边，则这个角的补角与另一个角的两条对应边分别平行，且方向相反，所以一个角的补角与另一个角相等，所以这两个角互补．问题5 想一想，由等角定理能推出什么结论？答：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等．例2 如图，已知E ，E 1分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AD, A 1D 1的中点．求证：∠C 1E 1B 1 ＝ ∠CEB. 证明：由于E ，E1分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AD, A 1D 1的中点，所以EE 1∥DD 1，且EE 1＝DD 1，又因DD 1∥CC 1且DD 1＝CC 1， 所以EE 1∥CC 1且EE 1＝CC 1，所以四边形EE 1C 1C 是平行四边形． 所以E 1C 1∥EC.同理可得E 1B 1∥EB ， 所以由等角定理知∠C 1E 1B 1＝∠CEB.小结：有关证明角相等问题，一般采用下面三种途径：①利用等角定理及其推论；②利用三角形相似；③利用三角形全等．本例是通过第一种途径来实现的．请同学们利用第三种途径给予证明．跟踪训练2 已知棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱CD 、AD 的中点．求证：(1)四边形MNA 1C 1是梯形； (2)∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.证明：(1)如图，连接AC ，在△ACD 中，∵M 、N 分别是CD 、AD 的中点，∴MN 是三角形的中位线， ∴MN//AC ，MN ＝12AC. 由正方体的性质得：AC//A 1C 1，AC ＝A 1C 1.∴MN//A 1C 1，且MN ＝12A 1C 1，即MN≠A 1C 1， ∴四边形MNA 1C 1是梯形． (2)由(1)可知MN//A 1C 1， 又∵ND//A 1D 1， ∴∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补．而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的一个锐角， ∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.探究点三 空间四边形的有关概念问题1 阅读教材40页，你能说出什么是空间四边形？什么是空间四边形的顶点？什么是空间四边形的边？空间四边形的对角线？答：顺次连接不共面的四点A 、B 、C 、D 所构成的图形，叫做空间四边形；四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线问题2 你能画出一个空间四边形，并指出空间四边形的对角线吗？答：如图，是一个空间四边形， AC 、BD 是它的对角线.问题3 空间四边形的常见画法经常用一个平面衬托，你能画出吗？答： 如下图中的两种空间四边形ABCD 和ABOC.例3 如图所示，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点． 求证：四边形EFGH 是平行四边形.证明：连接BD ， 因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且EH ＝12BD. 同理FG ∥BD ， 且FG ＝12BD. 因为EH ∥FG ， 且EH ＝ FG ,所以四边形EFGH 为平行四边形.跟踪训练3 在例3中，如果再加上条件AC ＝BD ，那么四边形EFGH 是什么图形？解：四边形EFGH 是菱形．证明如下：由例3可知四边形EFGH 为平行四边形，连接AC ，由题意知HG 为△ADC 的中位线，所以HG ＝12AC ， 又因为EH 是△ABD 的中位线，EH ＝12BD ，由AC ＝BD 知，HG ＝EH.所以四边形EFGH 是菱形. 练一练：当堂检测、目标达成落实处1．下列结论正确的是 ( )A ．若两个角相等，则这两个角的两边分别平行B ．空间四边形的四个顶点可以在一个平面内C ．空间四边形的两条对角线可以相交D ．空间四边形的两条对角线不相交解析： 空间四边形的四个顶点不在同一平面上，所以它的对角线不相交，否则四个顶点共面，故选D.2．下面三个命题， 其中正确的个数是 ( )①三条相互平行的直线必共面；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③若四边形有一组对角都是直角，则这个四边形是圆的内接四边形．A ．1个B ．2个C ．3个 D. 一个也不正确解析： 空间中三条平行线不一定共面，故①错；当把正方形沿对角线折成空间四边形，这时满足两组对边分别相等，也满足有一组对角都是直角，故②、③都错，故选D.课堂小结：1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．另外，我们解决空间有关线线问题时，不要忘了我们生活中的模型，比如说教室就是一个长方体模型，里面的线线关系非常丰富，我们要好好地利用它，它是我们培养空间想象能力的好工具．3．注意：等角定理的逆命题不成立．。
1.2.2空间两条直线的平行关系1
求证：四边形MNPQ是平行四边形。
A Q M B N C P D
练习:在长方体ABCD-A1B1C1D1中， 已知Ｅ，Ｆ分别是AB , BC 的中点， 求证：ＥＦ∥Ａ1C1
D1 A1 D A
●
C1 B1
●
C
F
E
B
练习巩固:
1.设AA1是正方体的一条棱，这个正方体中 3 与AA1 平行的棱共有＿＿＿条． ２.如果ＯＡ∥Ｏ1A1, ＯＢ∥Ｏ1Ｂ1 , 那么∠ＡＯＢ与∠Ａ1Ｏ1Ｂ1 ( C A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.以上答案都不对 )
讨：A1D1B1C1C观察右图的长方体 ABCD-A1B1C1D1
在平面AA1B1B中 在平面AA1DD1中
D
A
B
BB1 ∥ AA1 DD1 ∥ AA1
思考：BB1与DD1的位置关系？
想 一 想 ？
在同一平面内， 如果 a ∥ b , b ∥ c , 则a∥c 那这个性质在空间中成立 吗？ D1 C1
A1
在右图中你找到了空间的平 行直线了吗？
D
A
B1 C
B
基本性质４ 平行于同一条直线的两条 直线互相平行． 符号表示：a ∥ b
b∥c
a∥c
思 考：
经过直线外一点,有几条直线和这条直线平行？
想 一 想 ？
在平面中，如果一个角
的 两边和另一个角的两边分别 平 行并且方向相同，那么这两 个 角相等，这个结论在空间成 立 吗？
空间四边形
顺次连接不共面的四点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ 所构成的图形，叫做空间四边形．这四个点 中的各个点叫做空间四边形的顶点；所连接 的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边； 连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的 对角线． A
1.2.2空间中的平行关系(1)2012-12-17王荣福
郭鑫、李国栋、卢洪燕、朱春丽、林磊
高雨靖、王君祥、左晨曦、张宏民 陈亚萍、潘少华（一人未交） 李廷坤、戴均贞（一人未交） 亓怀菊 张红、赵相坤、李栋、初春雨、于文涛
得分 3 4 4 5 4 0 0 1 4
学案反馈
存在的问题：
1.不能想象空间中两条直线的位置关系； 2.对基本性质4的应用不熟练； 3. 对空间几何四边形的概念理解不透彻。
高效展示
展示问题
问题导学1、2、3 问题导学4、5 例1和拓展 例2 例2拓展
展示位置 展示小组
前黑板 前黑板 后黑板 后黑板 后黑板 6组 2组 7组 3组 8组
目标： （1）展示人规范快速， 总结规律（用彩 笔）； （2）其他同学讨论完 毕总结完善，A 层注意拓展，不 浪费一分钟； （3）小组长要检查落 实，力争全部达 标
合作探究
重点讨论内容： 1.空间中两条直线的位置关系； 2.利用基本性质4证明有关 问题的方法; 3.对于空间四边形的理解； 4.自己的疑难问题. 目标：
（1）小组长首先安排讨论任务，人人参与，热烈讨论，积极表达自己的观点， 提升快速思维和准确表达的能力。 （2）小组长调控节奏，先一对一分层讨论，再小组内集中讨论，AA力争拓展 提升，BB、CC解决好全部展示问题。 （3）讨论时，手不离笔、随时记录，未解决的问题，组长记录好，准备展示 质疑。
所以 EF ∥ AC
又因为 AA1∥BB1 且 AA1 = BB1 BB1∥CC1 且 BB1 = CC1 所以 AA1∥CC1 且 AA1∥CC1 即四边形AA1C1C是平行四边形 所以AC∥A1C1 从而 EF∥A1C1.
例3. 如图,已知E,E1分别是正方体ABCD－ A1B1C1D1的棱AD, A1D1的中点. 求证：∠C1E1B1 = ∠CEB. 分析：设法证明E1C1∥EC, E1B1∥EB.
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. B1
D1
A1
.E1C1
D. B
.
A
EC
性质应用
如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应 平行，并且方向相同，那么这两个角相等。
已知：∠BAC和∠B1A1C1的边
AB//A1B1，AC//A1C1，且射线
AB与A1B1同向，
A1
射线AC与A1C1同向
D
求证：∠BAC=∠B1A1C1
A
B D
EC
性质应用
思考 6．如果一个角的两边与另一个角 讨论 的两边分别对应平行，那么这两
个角的关系又如何呢？
推论1 若一个角的两边与另一 个角的两边分别对应平行，且方 向都相反，则这两个角相等。
推论2 若一个角的两边与另一 个角的两边分别对应平行，且一 组对应边方向相同，另一组对应 边方向相反，则这两个角互补。
——直线平行
问题：
复习引入
1.初中平面几何中的平行公理 和平行线的传递性的内容是什么？
形成新知
观 2.观察三棱柱、四棱柱的侧棱有 察 什么关系？图片中的直线间的 思 位置关系是什么？观察教室， 考 哪些直线是平行？
三棱柱
四棱柱
形成新知
动 3.把一张长方形的纸对折几次， 手 打开，观察折痕，这些折痕之间 实 有什么关系？
如问题果5 一果个一角个的角两的边两与边另与一另个一角个角的的两两边边分分别别 对应平对行应，平并行且，方并向且相方同向，相那同，么那这么两这个两角个 相等。角相等。” 在空间中是否成立？
性质应用
5 如何对结论进行证明?
证明两角相等 的常用方法有 哪些？
证明三角形全 等的方法有哪 些？
证明线段相等 的方法有哪些？
D.120° D1
A1
H C1
B1
∴∠A1B C1为EF1与GH所成的角
E
D
G
在三角形A1BC1中，A1B= BC1= A1C1
C
∴∠A1B C1=60°
A
B
∴异面直线EF与GH所成的角等于60°
F
步骤 “作（找）——证——算——答”
闯关演练
1、判断 （☆） ①过直线外一点，有且只有一条直线与已知
4 的直线的条数有___条．
A
E
DF
B1 C
B
√1.空间四条直线，如果a∥b，c∥d，且 a∥d，
那么b∥c．
√ 练习2 2.一条直线和两条平行中的一条不平行，那么
判断 也和另一条不平行．
×3.空间中,如果两条直线都与第三条直线垂直,
那么这两条直线平行．
性质应用
4.在平面几何中我们学过等角定理 “如
AE=A1E1.
因为，AD //// A1D1所以AA1D1D 是平行四边形， 所以AA1 /// DD1
D1 B1
同理可得AA1 /// EE1
所以DD1E1E是平行四边形。
A1
C1
E1
在△ADE和△A1D1E1中，
AD=A1D1，AE=A1E1，DE=D1E1，
于是△ADE≌△A1D1E1，
所以∠BAC=∠B1A1C1
巩固、提高
例1、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求：
（1）A1B与CC1所成的角；
D1
口答
A1
（2） A1B1与C1C所成的角；
（3）A1C1与BC所成的角；
D
（4）A1C1与D1C所成的角。 A
（2）∠A1B1B=90o （3）∠A1C1B1=45o
（4）∠BA1C1=600
C1 B1
C B
验
形成新知
基本性质4：平行于同一条直线的两条直 线互相平行（通常称为平行线的传递性）
公理4是判断证明空
a
间中两直线平行的重
b
要依据。
c
若a// b，b// c，则a//c
形成新知
D1
C1
在长方体ABCD-A1B1C1D1， E A1
练习1 、F 分别为B1D1和D1B 的中点
，长方体的各棱中与EF 平行
（1）A1B与CC1所成的角；
D1
分析：
A1
（1）∵B1B // CC1
--------找
∴ ∠A1BB1为A1B与CC1所成的角
D
--------证 A
在△A1BB1中，A1B1=BB1；
∴ ∠A1BB1=45o
--------算
∴A1B与CC1所பைடு நூலகம்的角为45o --------答
C1 B1
C B
性质应用
空间四边形：顺次连结不共面的四点A、B、C、D 所构成的图形。各个点叫做空间四边形的顶点； 连接相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连 接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线。
A
B
C
α
D
异面直线所成角的定义：
直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直
线a'//a，b'//b，把直线a'和b'所成的锐角（或直角）叫 直线a和b所成的角。
小结一：这种求法就是利用平移将两条异面直线转 化到同一个三角形中，通过解三角形来求解。把这种 方法叫做——平移法，其基本解题思路是“异面化共 面，认定再计算”，
小结二：求异面直线所成的角一般要有四个步骤：
（1）作图：作（找）出所求的角及题中涉及的有关 图形等； （2）证明：证明所给图形是符合题设要求的； （3）计算：一般是利用解三角形计算得出结果。 （4）结论。
√ 直线平行 ．（ ）
②若一个角的两边分别与另一个角的两边平
× 行，那么这两个角相等．（ ）
③若两相交直线和另两条相交直线分别平行， 则两相交直线所成的锐角(或直角)相
等．（√）
闯关演练
2. 证明题（☆）
如右图，已知E、E1 是正方体AC1的棱AD、
A
D1 B1 C1
E1 B
EC
性质应用
证明：对于∠BAC和∠B1A1C1在同一个平面内的情形，在初中 几何中已经证明，
下面等别证明角对两定应个理平角不：行在如，同果 并一平一且面个方内角向的情的相形两同。边，与那另么一这个两角 个的角两相边等分。
分别在∠BAC的两边和∠B1A1C1的两边上截取线段AD=A1D1和
简记为“作（找）——证——算——答”。
小试牛刀
（07福建卷）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E
、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异
面直线EF与GH所成的角等于（ ）
A.45° B.60° C.90°
解：连接A1B，BC1，A1C1
∵A1B // EF，BC1 // GH
b a' O a
思考：两条异面直线所成 角的大小是否随空间任意 点O位置的不同而改变？
， ， 范 : 围 ( 0 , ]当 ,时 则异 a ,b 互 面 相 记 直 a 垂 b 作 线 22
点O可任选，一般取特殊位置，如线段的中点或端点等。
巩固、提高
例1、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求：