最新人教B版高中数学必修第一册第二章等式与不等式习题课 均值不等式的应用
习题课均值不等式的应用课后篇巩固提升合格考达标练1.某工厂第一年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则()A.x=a+b2B.x≤a+b2C.x>a+b2D.x≥a+b2解析由条件知A(1+a)(1+b)=A(1+x)2,所以(1+x)2=(1+a)(1+b)≤(1+a)+(1+b)22,所以1+x≤1+a+b2,故x≤a+b2.2.已知正数x,y满足x+2y-xy=0,则x+2y的最小值为()A.8B.4C.2D.0解析由x+2y-xy=0,得2x +1y=1,且x>0,y>0.所以x+2y=(x+2y)×2x+1y=4yx+xy+4≥4+4=8,当且仅当x=2y,即x=4,y=2时等号成立.3.若正实数a,b满足a+b=1,则()A.1a +1b有最大值4B.ab有最小值14C.√a+√b有最大值√2D.a2+b2有最小值√22a,b满足a+b=1,所以1a +1b=a+ba+a+bb=2+ba+ab≥2+2=4,当且仅当a=b=12时,等号成立,故1a +1b有最小值4,故A不正确;由均值不等式可得a+b=1≥2√ab,当且仅当a=b=12时,等号成立,∴ab ≤14,故ab 有最大值14,故B 不正确;由于(√a +√b )2=a+b+2√ab =1+2√ab ≤2,∴√a +√b ≤√2,故√a +√b 有最大值为√2,故C 正确;∵a 2+b 2=(a+b )2-2ab=1-2ab ≥1-12=12,故a 2+b 2有最小值12,故D 不正确.4.(多选题)(2020辽宁高一月考)已知正数a ,b 满足a+b=4,ab 的最大值为t ,不等式x 2+3x-t<0的解集为M ,则下列结论正确的是( ) A.t=2B.t=4C.M={x|-4<x<1}D.M={x|-1<x<4}正数a ,b 满足a+b=4,∴ab ≤(a+b 2)2=4,即ab 的最大值为t=4,当且仅当a=b=2时,等号成立.∵x 2+3x-4<0的解集为M ,∴M={x|-4<x<1}.5.给出下列条件:①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0.其中能使b a+a b≥2成立的条件个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4“一正、二定、三相等”,即当b a ,ab 均为正数时,可得ba +ab ≥2,此时只需a ,b 同号即可,所以①③④均满足要求.故选C .6.已知一次函数y=-12x+1的图像分别与x 轴、y 轴相交于A ,B 两点,若动点P (a ,b )在线段AB 上,则ab 的最大值是 ,取得最值时a 的值为 .1解析因为A (2,0),B (0,1),所以0≤b ≤1,由题意得a=2-2b ,ab=(2-2b )b=2(1-b )·b ≤2·1-b+b 22=12.当且仅当1-b=b ,即b=12时等号成立,此时a=1,因此当b=12,a=1时,ab 的最大值为12.7.某公司一年需购买某种货物200吨,平均分成若干次进行购买,每次购买的运费为2万元,一年的总存储费用数值(单位:万元)恰好为每次的购买吨数数值,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次购买该种货物的吨数是 .x 吨,则需要购买200x 次,则一年的总运费为200x ×2=400x ,一年的总存储费用为x ,所以一年的总运费与总存储费用为400x +x ≥2√400x ·x =40,当且仅当400x =x ,即x=20时等号成立,故要使一年的总运费与总存储费用之和最小,每次应购买该种货物20吨.8.如图某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室,温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米宽的通道,沿前侧内墙保留3米宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少?解设矩形的一边长为x 米,则另一边长为800x 米,因此种植蔬菜的区域宽为(x-4)米,长为800x-2米.由{x -4>0,800x-2>0得4<x<400,所以其面积S=(x-4)·800x-2=808-2x+3 200x≤808-2√2x ·3 200x=808-160=648(m 2). 当且仅当2x=3 200x,即x=40∈(4,400)时等号成立.因此当矩形温室的两边长分别为40米,20米时蔬菜的种植面积最大,最大种植面积是648平方米. 9.已知a>0,b>0,a+b=1,求证: (1)1a +1b +1ab ≥8; (2)1+1a 1+1b≥9.因为a+b=1,a>0,b>0,所以1a+1b+1ab =21a +1b .所以1a +1b =a+ba +a+bb =2+ab +ba ≥2+2=4, 所以1a+1b+1ab≥8当且仅当a=b=12时等号成立.(2)(方法1)因为a>0,b>0,a+b=1, 所以1+1a =1+a+ba =2+ba , 同理1+1b =2+a b , 所以1+1a 1+1b =2+ba2+a b =5+2b a +ab ≥5+4=9.所以1+1a1+1b ≥9当且仅当a=b=12时等号成立.(方法2)1+1a 1+1b =1+1a +1b +1a b ,由(1)知,1a +1b +1ab≥8, 故1+1a1+1b=1+1a+1b+1ab≥9. 当且仅当a=b=12时取等号.等级考提升练10.某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金,某顾客要购买10 g 黄金,售货员先将5 g 的砝码放在左盘,将黄金放于右盘使之平衡后给顾客,然后又将5 g 的砝码放入右盘,将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客,则顾客实际所得黄金( ) A.大于10 g B.小于10 g C.大于等于10 g D.小于等于10 ga ,b ,两次放入的黄金数是x ,y ,依题意有ax=5b ,by=5a ,所以xy=25. 因为x+y2≥√xy ,所以x+y ≥10, 又a ≠b ,所以x ≠y.所以x+y>10,即两次所得黄金数大于10 g . 11.若a ,b 为大于1的实数,且满足a+b=ab ,则4a -1+1b -1的最小值是( )A.2B.4C.6D.8a ,b 为大于1的实数,所以4a -1>0,1b -1>0. 因为a+b=ab 可知ab-(a+b )=0,所以4a -1+1b -1≥2√4a -1·1b -1=√ab -b -a+1=4.当且仅当a=3,b=32时等号成立. 12.已知正实数m ,n 满足m+n=1,且使1m+16n取得最小值.若y=5m ,x=4n是方程y=x a 的解,则a=( )A.-1B.12C.2D.3解析1m +16n =1m +16n (m+n )=1+16a n +n m +16=17+16m n +n m ≥17+2√16m n ·nm =25.当且仅当16m n=n m ,又m+n=1,即m=15,n=45时,上式取等号,即1m +16n 取得最小值时,m=15,n=45,所以y=25,x=5,25=5a .得a=2. 13.若a>0,b>0,且a+b=1,则(1a 2-1)(1b2-1)的最小值是( )A.9B.8C.7D.6(1a 2-1)(1b2-1)=1-a 2-b 2a 2b 2+1=(a+b )2-a 2-b2a 2b2+1=2ab+1≥2(a+b 2)2+1=9.所以当a=b=12时,原式取最小值9.14.已知a>0,b>0,且2a+b=1,若不等式2a+1b≥m 恒成立,则m 的最大值等于( ) A.10 B.9 C.8 D.7解析2a +1b =2a +1b (2a+b )=5+2ba +2ab ≥5+2√2b a ·2ab =9,当且仅当2ba =2ab ,即a=b=13时等号成立,所以2a +1b的最小值为9,又因为2a +1b ≥m 恒成立,所以m ≤9,即m 的最大值为9.15.设a+b=2,b>0,则12|a |+|a |b 取最小值时a 的值为 .2a+b=2,所以12|a |+|a |b =24|a |+|a |b =a+b4|a |+|a |b =a4|a |+b4|a |+|a |b ≥a4|a |+2√b4|a |·|a |b =a4|a |+1,当且仅当b4|a |=|a |b 时等号成立.又a+b=2,b>0,所以当b=-2a ,a=-2时,12|a |+|a |b 取得最小值.16.已知正数a ,b ,x ,y 满足a+b=10,ax+b y=1,x+y 的最小值为18,求a ,b 的值.(x+y )(ax +by )=a+bxy +ayx +b=10+bxy +ayx.因为x ,y>0,a ,b>0, 所以x+y ≥10+2√ab =18,当且仅当bxy =ay x 时,等号成立.即√ab =4.又a+b=10,所以{a =2,b =8或{a =8,b =2.17.(2021山东日照高一期末)第一机床厂投资A 生产线500万元,每万元可创造利润1.5万元.该厂通过引进先进技术,在A 生产线的投资减少了x (x>0)万元,且每万元创造的利润变为原来的(1+0.005x )倍.现将在A 生产线少投资的x 万元全部投入B 生产线,且每万元创造的利润为1.5(a-0.013x )万元,其中a>0.(1)若技术改进后,A 生产线的利润不低于原来A 生产线的利润,求x 的取值范围; (2)若B 生产线的利润始终不高于技术改进后A 生产线的利润,求a 的最大值.由题意,得1.5(1+0.005x )(500-x )≥1.5×500,整理得x 2-300x ≤0, 解得0≤x ≤300,又x>0,故0<x ≤300,即x 的取值范围为(0,300]. (2)由题意知,B 生产线的利润为1.5(a-0.013x )x 万元, 技术改进后,A 生产线的利润为1.5(1+0.005x )(500-x )万元, 则1.5(a-0.013x )x ≤1.5(1+0.005x )(500-x )恒成立, 又x>0,∴a ≤x125+500x +1.5恒成立,又x125+500x ≥4,当且仅当x=250时,等号成立, ∴0<a ≤5.5,即a 的最大值为5.5.新情境创新练18.已知函数y=x+mx -1(m>0).(1)若m=1,求当x>1时函数的最小值; (2)当x<1时,函数有最大值-3,求实数m 的值.m=1时,y=x+1x -1=x-1+1x -1+1. 因为x>1,所以x-1>0,所以y=x-1+1x -1+1≥2√(x -1)·1x -1+1=3,当且仅当x-1=1x -1,即x=2时取等号,所以当x>1时函数的最小值为3.(2)因为x<1,所以x-1<0,所以y=x-1+mx -1+1=-1-x+m1-x +1≤-2√(1-x )·m1-x +1=-2√m +1,当且仅当1-x=m1-x ,即x=1-√m 时取等号,即函数的最大值为-2√m +1,所以-2√m +1=-3,解得m=4.。
人教B版高中数学必修第一册课后习题 第二章 等式与不等式 培优课 均值不等式的应用
培优课 均值不等式的应用必备知识基础练1.已知正数x,y 满足x+2y-xy=0,则x+2y 的最小值为( ) A.8B.4C.2D.02.(多选题)已知正数a,b 满足a+b=4,ab 的最大值为t,不等式=(-4,1)D.M=(-1,4)3.给出下列条件:①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0.其中能使b a+a b≥2成立的条件个数为( )A.1B.2C.3D.44.已知一次函数y=-12x+1的图象分别与x 轴、y 轴相交于A,B 两点,若动点P(a,b)在线段AB 上,则ab 的最大值是 ,取得最值时a 的值为 .5.为净化水质,向一个游泳池加入某种化学药品,加药后池水中该药品的浓度c(单位:mg·L -1)随时间t(单位:h)的变化关系为c=20tt 2+4,则经过h 后池水中该药品的浓度达到最大.6.某人准备租一辆车从孝感出发去武汉,已知从出发点到目的地的距离为100 km,按交通法规定:这段公路车速限制在40~100(单位:km/h)之间.假设目前油价为7.2元/L,汽车的耗油率为(3+x 2360)L/h,其中x(单位:km/h)为汽车的行驶速度,耗油率指汽车每小时的耗油量.租车需付给司机每小时的工资为76.4元,不考虑其他费用,这次租车的总费用最少是多少?此时的车速x是多少?(注:租车总费用=耗油费+司机的工资)7.已知a>0,b>0,a+b=1,求证:(1)1a +1b+1ab≥8;(2)1+1a 1+1b≥9.关键能力提升练8.一个矩形的周长为l,面积为S,则如下四组数对中,可作为数对(S,l)的序号是( )①(1,4);②(6,8);③(7,12);④(3,12).A.①③B.①③④C.②④D.②③④9.若a,b为大于1的实数,且满足a+b=ab,则4a-1+1b-1的最小值是( )A.2B.4C.6D.810.若a>0,b>0,且a+b=1,则1a2-11b2-1的最小值是( )A.9B.8C.7D.611.已知a>0,b>0,且2a+b=1,若不等式2a +1b≥m恒成立,则m的最大值等于( )A.10B.9C.8D.712.设a+b=2,b>0,则12|a|+|a|b取最小值时a的值为.13.已知正数a,b,x,y满足a+b=10,ax +by=1,x+y的最小值为18,求a,b的值.14.(山东日照高一期末)第一机床厂投资A生产线500万元,每万元可创造利润1.5万元.该厂通过引进先进技术,在A生产线的投资减少了x(x>0)万元,且每万元创造的利润变为原来的(1+0.005x)倍.现将在A生产线少投资的x万元全部投入B生产线,且每万元创造的利润为1.5(a-0.013x)万元,其中a>0.(1)若技术改进后,A生产线的利润不低于原来A生产线的利润,求x的取值范围;(2)若B生产线的利润始终不高于技术改进后A生产线的利润,求a的最大值.学科素养创新练15.已知y=>0).(1)若m=1,求当x>1时y的最小值;(2)当的值.参考答案培优课 均值不等式的应用1.A 由x+2y-xy=0,得2x+1y =1,且x>0,y>0.所以x+2y=(x+2y)2x+1y=4y x+xy+4≥4+4=8,当且仅当x=2y,即x=4,y=2时等号成立.2.BC ∵正数a,b 满足a+b=4,∴ab≤(a+b 2)2=4,即ab 的最大值为t=4,当且仅当a=b=2时,等号成立. ∵x 2+3,∴M=(-4,1).3.C 由均值不等式的前提需“一正、二定、三相等”,即当b a ,ab均为正数时,可得b a+ab≥2,此时只需a,b 同号即可,所以①③④均满足要求.故选C.4.121 因为A(2,0),B(0,1),所以0≤b≤1,由题意得a=2-2b,ab=(2-2b)b=2(1-b)·b≤2·1-b+b 22=12.当且仅当1-b=b,即b=12时等号成立,此时a=1, 因此当b=12,a=1时,ab 的最大值为12.5.2 c=20tt 2+4=20t+4t.因为t>0,所以t+4t ≥2√t ·4t =4(当且仅当t =4t,即t =2时等号成立). 所以c=20t+4t≤204=5,当且仅当t=4t,即t=2时,c 取得最大值.6.解设总费用为y元,由题意,得y=76.4×100x +7.2×100x×(3+x2360)=9800x+2x(40≤x≤100).因为y=9800x +2x=196002x+2x≥2√19600=280,当且仅当9800x=2x,即x=70时等号成立.所以这次租车的总费用最少是280元,此时的车速为70km/h.7.证明(1)因为a+b=1,a>0,b>0,所以1a +1b+1ab=21a+1b.所以1a +1b=a+ba+a+bb=2+ab+ba≥2+2=4,所以1a +1b+1ab≥8当且仅当a=b=12时等号成立.(2)(方法一)因为a>0,b>0,a+b=1,所以1+1a =1+a+ba=2+ba,同理1+1b=2+ab,所以1+1a 1+1b=2+ba2+ab=5+2ba+ab≥5+4=9.所以1+1a 1+1b≥9当且仅当a=b=12时等号成立.(方法二)1+1a 1+1b=1+1a+1b+1ab,由(1)知,1a +1b+1ab≥8,故1+1a 1+1b=1+1a+1b+1ab≥9.当且仅当a=b=12时等号成立.8.A 设矩形的长和宽分别为x,y,则x+y=12l,S=xy.对于①(1,4),则x+y=2,xy=1,满足xy≤(x+y 2)2,符合题意;对于②(6,8),则x+y=4,xy=6,不满足xy≤(x+y 2)2,不符合题意;对于③(7,12),则x+y=6,xy=7,满足xy≤(x+y 2)2,符合题意; 对于④(3,12),则x+y=14,xy=3,不满足xy≤(x+y 2)2,不符合题意.综上,可作为数对(S,l)的序号是①③. 9.B 因为a,b 为大于1的实数,所以4a -1>0,1b -1>0.由a+b=ab 可知ab-(a+b)=0,所以4a -1+1b -1≥2√4a -1·1b -1=√ab -b -a+1=4.当且仅当a=3,b=32时等号成立.10.A (1a 2-1)(1b 2-1)=1-a 2-b 2a 2b 2+1=(a+b )2-a 2-b 2a 2b 2+1=2ab+1≥2(a+b 2)2+1=9.所以当a=b=12时,原式取最小值9.11.B2a +1b=2a+1b(2a+b)=5+2b a+2a b≥5+2√2b a·2a b =9,当且仅当2b a=2a b,即a=b=13时等号成立,所以2a+1b的最小值为9,又因为2a+1b≥m 恒成立,所以m≤9,即m 的最大值为9. 12.-2 因为a+b=2,所以12|a |+|a |b =24|a |+|a |b=a+b 4|a |+|a |b =a 4|a |+b 4|a |+|a |b≥a 4|a |+2√b 4|a |·|a |b=a4|a |+1,当且仅当b4|a |=|a |b时等号成立.又a+b=2,b>0,所以当b=-2a,a=-2时,12|a |+|a |b取得最小值.13.解因为a x+b y=1,所以x+y=(x+y)a x+b y=a+bx y+ay x+b=10+bx y+ay x.因为x,y>0,a,b>0,所以x+y≥10+2√ab =18, 当且仅当bx y=ay x时,等号成立.即√ab =4.又a+b=10,所以{a =2,b =8或{a =8,b =2.14.解(1)由题意,得1.5(1+0.005x)(500-x)≥1.5×500,整理得x 2-300x≤0,解得0≤x≤300,又x>0,故0<x≤300,即x 的取值范围为(0,300].(2)由题意知,B 生产线的利润为1.5(a-0.013x)x 万元,技术改进后,A 生产线的利润为1.5(1+0.005x)(500-x)万元,则1.5(a-0.013x)x≤1.5(1+0.005x)(500-x)恒成立,又x>0,∴a≤x 125+500x+1.5恒成立,又x125+500x≥4,当且仅当x=250时,等号成立,∴0<a≤5.5,即a 的最大值为5.5. 15.解(1)m=1时,y=x+1x -1=x-1+1x -1+1.因为x>1,所以x-1>0,所以y=x-1+1x -1+1≥2√(x -1)·1x -1+1=3,当且仅当x-1=1x -1,即x=2时等号成立,所以当x>1时y 的最小值为3.(2)因为x<1,所以x-1<0,所以y=x-1+m x -1+1=-1-x+m1-x+1≤-2√(1-x )·m1-x +1=-2√m +1,当且仅当1-x=m1-x,即x=1-√m 时等号成立,即y 的最大值为-2√m +1,所以-2√m +1=-3,解得m=4.。
人教B版数学必修第一册2.2.4均值不等式及其应用课件
及－ ≤x
＜0上均为减函数，在x≥ 及x≤－ 上都是增函数．求此
函数的最值时，若所给的范围含± 时，可用均值不等
式，不包含± 时，可用函数的单调性求解(后面第三章
3.2函数的基本性质中学习).
跟踪训练
3．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一
栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建
跟踪训练
1
2．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求
1
法一
1
+
1
＝(
2
＝1＋
1
+
＋
)·1＝
1
(
＋2＝3＋
1
+
2
+
1
的最小值．
)·(a＋2b)
＋
≥3＋2
2
⋅ ＝3＋2
2，
= 2−1
即ቐ
2 时等号成立．
=1−
+ 2 = 1
2
2
当且仅当൝
1
1
达使用均值不等式的三个条件，需要通过配凑、裂项、
转化、分离常数等变形手段，创设一个合适应用均值不
等式的情境．
本课小结
2．不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，
均值不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，
一定要注意等号能否取到.
通过本节课，
你学会了什么？
4
小
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最_____值2
人教B版高中数学必修第一册精品课件 第2章 等式与不等式 2.2.4 第2课时 均值不等式的应用
+ 2
,当且仅当 x=y 时,等号成立.
2
能说 x+y 的最小值为 2 吗?能说 xy 的最大值是
提示:不能.最大(小)值必为常数,而 2 ,
+ 2
随
2
+ 2
吗?
2
x,y 的变化而变化.
2.设a,b均为正数.
(1)若 a+b 为定值 S,则当 a=b 时,积 ab 取最大值
1 2
生产x(x>0)件,每件产品的平均仓储时间为
天,且每件产品每天的仓储费
8
用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批
应生产产品多少件?
8
800+ ··1
解:由题意,得平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为
元,
又 x>0,
8
800+ ··1
则
=
800
当且仅当
1
1
(x+y)
3
=
9
,
+
9
即
+ = 3,
16
故所求最小值为 3 .
=
1
(10+
3
+
+
9
的最小值.
9 1
)≥3
3
9
x=4,y=4时,取等号.
10 + 2
9
·
=
16
.
3
1.应用均值不等式求最值,必须按照“一正、二定、三相等”的条件进行.若
人教高中数学必修一B版《均值不等式及其应用》等式与不等式说课教学课件复习(第2课时均值不等式的应用)
＝1a＋b1·(a＋2b)
＝1＋2ab＋ab＋2＝3＋2ab＋ab≥3＋2
2b a a ·b
＝3＋2 2，
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当且仅当2ab＝ab， a＋2b＝1，
a＝ 2－1，
即 b＝1－
2 2
时等号成立．
∴1a＋1b的最小值为3＋2 2.
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法二：1a＋1b＝a＋a2b＋a＋b2b＝1＋2ab＋ab＋2
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利用均值不等式求条件最值 【例2】 已知x＞0，y＞0，且满足8x＋1y＝1.求x＋2y的最小值． [解] ∵x＞0，y＞0，8x＋1y＝1， ∴x＋2y＝8x＋1y(x＋2y)＝10＋xy＋16x y ≥10＋2 xy·16xy＝18，
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当且仅当8x＋1y＝1， xy＝16xy，
(2)法一：∵0<x<13，∴1－3x>0. ∴y＝x(1－3x)＝13·3x(1－3x) ≤133x＋21－3x2＝112. 当且仅当3x＝1－3x，即x＝16时，等号成立． ∴当x＝16时，函数取得最大值112.
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法二：∵0<x<13，∴13－x>0. ∴y＝x(1－3x)＝3·x13－x≤3·x＋132－x2 ＝112，当且仅当x＝13－x，即x＝16时，等号成立． ∴当x＝16时，函数取得最大值112.
算能力.
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人教B版高中同步学考数学必修1精品课件 第二章 等式与不等式 2.2.4 第2课时 均值不等式的应用
+
3
9
)=
5 5
+
4
5
3
+ 5
+
12
1
+ 5 =5,当且仅当 x=1,y=2时等号成立,故 3x+4y 的最
探究点二
“减元法”求最值
1
3
【例 2】若实数 x,y 满足 xy+3x=3(0<x< ),则
2
1
解析 ∵实数 x,y 满足 xy+3x=3(0<x< ),
2
3
3
∴x=+3,∴0<+3
2
1
1
+ =(a+b)(
1
+ )=2+
1
+ 的最小值为
4.
4
+ ≥2+2
.
· =4,
1 8
(2)[2023福建泉州高二校考]已知正数a,b满足a+2b=2,则 + 的最小值
25
为
.
2
解析 因为正数 a,b 满足
1
≥2(17+2
1
成立,则
1
a+2b=2,则
(3)在题目要求的范围内,求出函数的最大值或最小值.
(4)正确写出答案.
变式训练3沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源,在保护绿水青
山方面具有独特功效.通过利用沼气带来的农村“厕所革命”,对改善农村居
住环境等方面,起到立竿见影的效果.为了积极响应国家推行的号召,某农
户准备建造一个深为2米,容积为32立方米的长方体沼气池,如果池底每平
新教材人教B版高中数学必修第一册练习-均值不等式及其应用答案含解析
2.2.4均值不等式及其应用 第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.4 均值不等式及其应用考点1均值不等式的理解1.(2018·山东兖州二中高二月考)若a ,b ∈R,且ab >0,则下列不等式中,恒成立的是( )。
A.a 2+b 2>2ab B.a +b ≥2√ab C.1a +1b>2√abD.b a +a b≥2答案：D解析：a 2+b 2≥2ab ,所以A 错误;ab >0,只能说明两实数同号,同为正数,或同为负数,所以当a <0,b <0时,B 错误;同理,C 错误;a b或b a都是正数,根据不等式求最值,a b +b a≥2√a b×b a=2,故D 正确。
2.若a ,b ∈R,则下列不等式恒成立的是( )。
A.|a+b |2≥√|ab | B.b a +a b≥2C.a 2+b 22≥(a+b 2)2 D.(a +b )(1a +1b)≥4 答案：C解析：对于A ,当a ,b 同号时,不等式成立,当a ,b 异号时,不等式不成立,故A 中不等式不恒成立;对于B ,当a ,b 同号时,不等式成立,当a ,b 异号时,-(a b+b a)≥2√a b ·b a=2,那么a b +b a≤-2,故B 中不等式不恒成立;对于C ,a 2+b 22≥(a+b 2)2,故C 中不等式恒成立;对于D ,(a +b )1a +1b=2+a b +b a,当a ,b 同号时a b +b a≥2,原不等式成立,当a ,b 异号时,-(a b+b a)≥2√a b ·b a=2,那么a b +b a≤-2,原不等式不成立,故D 中不等式不恒成立。
故选C 。
3.(2019·北京第九十四中高二期中)若正实数a ,b 满足1a +2b=√2ab ,则ab 的最小值为( )。
A.√2 B.2 C.2√2 D.4答案：B解析：对于正实数a ,b ,由均值不等式可知1a +2b ≥√2√ab ,当且仅当1a =2b 时取等号,则√2ab ≥√2√ab⇒ab ≥2,故选B 。
人教B版高中数学必修第一册第2章2-2-4第1课时均值不等式课件
3．“x＞0，y＞0”是“yx＋xy≥2”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
A [若x＞0，y＞0，则xy＞0，yx＞0，此时yx＋xy≥2 分性成立．
yx·xy＝2，充
若
y x
＋
x y
≥2，易知x＝y＝－1时满足不等式，但不满足x＞0，y＞
点)
01
必备知识·情境导学探新知
知识点1 知识点2 知识点3
如图，是第 24 届国际数学家大会的会标．它依 据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理所作的“弦 图”进行设计，颜色的明？
知识点一 重要不等式 对任意实数 a，b，有 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时，等号 成立．
9 8
[因为a＞0，b＞0，所以2a＋
1 b
＝3≥2
1b，即a＝34，b＝23时，等号成立，所以ab≤98.]
2a b
，当且仅当2a＝
回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．试比较不等式 a2＋b2≥2ab 与a＋2 b≥ ab的区别与联系． [提示] (1)两个不等式 a2＋b2≥2ab 与a＋2 b≥ ab成立的条件是 不同的．前者要求 a，b 是实数即可，而后者要求 a，b 都是正实数(实 际上后者只要 a＞0，b＞0 即可)．
1.若 x2＋y2＝4，则 xy 的最大值是( )
A．12
B．1
C．2
D．4
C [xy≤x2＋2 y2＝2，当且仅当 x＝y 时取“＝”．]
知识点二 算术平均值与几何平均值
a＋b
给定两个正数 a，b，数 2 称为 a，b 的算术平均值；数 ab 称 为 a，b 的几何平均值．
知识点三 均值不等式 1．均值不等式：如果 a，b 都是正数，那么a＋2 b≥ ab，当且仅 当 a＝b 时，等号成立． 2．几何意义：所有周长一定的矩形中，正方形 的面积最大．
人教B版高中数学必修第一册2.2.4《均值不等式及其应用》课件
达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商
二、提升新知·注重综合
题型二
利用均值不等式求最值
变式训练
1．[直接利用均值不等式求最值]已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值
为
A．16
( B )
B．25
C．9
解析：因为x>0，y>0，且x＋y＝8，
++
++
++
(2) + + =
+
+
=+
+
+
+
+
+
⩾ + + + = ，
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
二、提升新知·注重综合
题型一
用均值不等式证明不等式
方法总结
利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项
从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等
1．判断正误
(1)对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2 均成立． ( × )
(2)若a，b同号，则 + ≥2.
(3)若a>0，b>0，则ab≤
+
恒成立．
(4)若a>0，b>0，且a≠b，则a＋b>2 .
( √ )
( × )
人教B版高中数学必修第一册第2章2-2-4第2课时均值不等式的应用课件
[解] 设每间虎笼长 x m，宽 y m， 则由条件知，4x＋6y＝36，即 2x＋3y＝18. 设每间虎笼面积为 S，则 S＝xy.
法一：由于 2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy，
所以 2 6xy≤18，得 xy≤227，
即 Smax＝227，当且仅当 2x＝3y 时，等号成立．
2x＋3y＝18，
第二章 等式与不等式
2.2 不等式 2.2.4 均值不等式及其应用 第2课时 均值不等式的应用
1.熟练掌握利用均值不等式求函数 1.通过均值不等式求最值，提升数
的最值问题．(重点)
学运算素养.
2.会用均值不等式求解实际应用 2.借助均值不等式在实际问题中的
题．(难点)
应用，培养数学建模素养.
01
[母题探究] (1)[变条件，变结论]若把本例(1)改为：已知 x＜54，试求 4x－2 ＋4x－1 5的最大值．
[解] 因为 x＜54，所以 4x－5＜0,5－4x＞0. 所以 4x－5＋3＋4x－1 5＝－5－4x＋5－14x＋3≤－2 5－4x·5－14x＋3＝1. 当且仅当 5－4x＝5－14x时等号成立，又 5－4x＞0，所以 5－4x＝1，即 x＝1 时，4x－2＋4x－1 5的最大值是 1.
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最
小值．
()
(2)若 a>0，b>0 且 a＋b＝4，则 ab≤4.
()
(3)当 x>1 时，函数 y＝x＋x－1 1≥2 x－x 1，所以函数 y 的最小
值是 2 x－x 1.
()
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
x＝4.5，
第二章-2.2.4-均值不等式及其应用高中数学必修第一册人教B版
2.2 不等式
2.2.4 均值不等式及其应用
教材帮|必备知识解读
知识点1 均值不等式
例1-1 已知, ∈ ，且 > 0,则下列结论恒成立的是( D
2
2
A. + > 2
1
C.
B. + ≥ 2
1
+ >
)
2
D.
+
≥2
【解析】对于A,当 = 时，2 + 2 = 2,所以A错误；
需要的代数式）
∵ > 1,∴ − 1 > 0,
∴≥2
−1
当且仅当 − 1 =
9
⋅
−1
+ 2 = 2 × 3 + 2 = 8,
9
,即
−1
故当 = 4时，min = 8.
= 4时取等号.
（3）若,是正数，则
【解析】
1 2
+
2
1 2
+
2
1 2
+ +
2
1 2
4
) 的最小值是 ___.
列不等式恒成立的是( AD
1
A.
≥
1
4
1
B.
1
+
)
≤1
【解析】由 + = 4，得 ≤
由 ≤ 2得 ≤ 4，∴
1
≥
1
D. 2 2
+
C. ≥ 2
+
2
4
2
= = 2，故C错误；