量子信息与量子计算
量子计算和量子信息(量子计算部分,Nielsen等着)第二章答案
2.14
要证明
(aA)+ = ������∗������+
①
和
(������ + ������)+ = ������++������+ ②
证 2 设 C=A+B ,则 ������������������ = ������������������ + ������������������ ,
∴ ������������������+ = ������������������∗ = (������������������ + ������������������)∗
2.29 AA+=A+A=I , BB+=B+B=I 则 (A⨂B) (A⨂B) += (A⨂B) (A +⨂B +)=(AA +) ⨂(BB +)= I⨂I=I 同理 (A⨂B) +(A⨂B)=I 得证
2.30 A＝A+，B+＝B ,所以(A⨂B) +＝A +⨂B +＝A ⨂B
2.31 两个半正定算子张量积是半正定的
2.25 引证，当 A 是 Hermite 的，只要 A 的特征值大于等于 0，则 A 是半正定算子 设,|φi >是 A 的标准归一化的特征向量 则对任意的|v> 有 |v>=∑������ ������������|vi> ,则|v>+=∑������ ������������*<φi|* 则 A|v>=A ∑������ ������������|φi>=∑������ ������������ ������������|φi> , 所以<v|*A|v>=∑������ ������������ ������������∗������������<φi |*|φi> 而且有 CiCi*>=0 , <φi ||φi>=1 所以当������������>=0 有<v|A|v> >=0
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量子纠缠的度量
• 我们说，一个可分态的纠缠度为0，对于 非可分态，则需要一个合适的量来度量其 纠缠度的大小。基于不同的考虑，纠缠度 量有很多种，它们都必须满足：对可分态， 其纠缠度为零；在局部幺正变换(LUT)下， 纠缠度不变；而在一般局部操作（LOCC） 下，纠缠度不增加。并发度（Concurrence） 就是一种很好的纠缠度量。
Solid line: our lower bound Dashed line: lower bound by PPT Dashed-dotted line: lower bound by realignment axis: lower bound by Breuer
X.S. Li, X.H. Gao and S.M. Fei, Phys. Rev. A 83 (2011) 034303
Quantum entanglement: Concurrence
Bipartite state
Multipartite state
Lower Bound for Concurrence
Uhlmann 2000, Rungta et al, Albeverio and Fei 2001
K. Chen, S. Albeverio, S.M. Fei, Phys. Rev. Lett. 95(2005)040504
Lower bound of concurrence based on positive maps Authors:Xiao-Sheng Li, Xiu-Hong Gao,Shao-Ming Fei 2011.7.15
量子计算和量子信息
《国家中长期科学和技术发展规划 纲要（2006-2020）》中基础性前沿研 究方面的四项重大科学计划之一
量子信息和量子计算的理论研究
量子信息和量子计算的理论研究量子信息和量子计算领域是近年来备受关注的热门话题。
量子力学的奇特性质使得量子信息的传输和存储在很多方面都具有许多优势。
而量子计算作为一种新兴的计算模型，有着巨大的潜力在解决某些问题上超越传统的计算方法。
量子信息的理论研究主要聚焦在量子态的传输和纠错、量子通信和量子密钥分发等方面。
量子态的传输和纠错是实现可靠量子通信的基础。
通过光子或者原子之间的量子纠缠，可以实现量子态的传输。
然而，量子态很容易受到环境的干扰而发生错误，因此，发展出纠错方法来提高传输的可靠性是一个重要的研究方向。
量子通信利用了量子纠缠的特性，可以实现加密通信和量子隐形传态等目标。
而量子密钥分发是为了解决传统加密方式中可能存在的安全隐患而提出的一种安全的通信方式。
量子计算则是量子信息领域的另一个重要分支。
传统的计算机内部信息的储存和运算都是基于二进制位的，而量子计算采用的是量子比特（qubit）来存储和处理信息。
量子比特不仅可以表示0和1两种状态，还可以同时处于0和1的叠加态。
这使得量子计算具备并行计算的能力，能够在指数级别上提高计算效率。
相比之下，传统计算机在处理某些复杂问题时会遇到巨大的计算量，而量子计算可通过量子纠缠和量子门操作来实现高效的计算。
例如，Shor算法可以利用量子计算机快速地分解大整数，这对当前的RSA加密算法来说是一个巨大的威胁。
为了实现量子信息和量子计算的理论研究，科学家们提出了各种各样的理论模型和算法。
其中，量子线路模型是其中的一种重要模型。
量子线路模型将量子计算抽象成一系列的量子门操作，可以模拟各种量子算法的执行过程。
这种模型的优势在于可以直观地展示量子计算的过程和量子态的变化。
此外，量子算法中还有一些经典算法的量子版本，比如量子概率算法和量子模拟算法等。
这些算法在某些情况下可以显著提高计算效率。
然而，由于量子信息和量子计算的研究还处于初级阶段，目前还存在许多挑战需要克服。
首先，量子信息的纠错和传输需要有效的方法来降低噪声干扰，提高信号的传输质量。
量子信息与量子计算
量子信息与量子计算
《量子信息与量子计算》
1、量子信息
量子信息是指利用量子效应转移和存储信息和实现信息处理的科学理论和技术，是利用量子物理系统中量子状态的熵变化，构建信息处理模型和系统，采用量子机制实现信息的输入、输出、存储、处理、变换等高级功能的科学理论和技术。
近年来，量子信息受到越来越多的关注，在量子竞速、量子加密通信、量子调谐性、量子模拟计算等研究领域取得了一些突破性进展。
2、量子计算
量子计算是一种新型的计算机技术，它利用量子特性的效应，实现信息的处理。
它的主要思想是利用量子力学的量子系统来存储和处理信息，使信息在量子系统中构建一种传输和处理模式，实现量子信息处理的功能。
量子计算机则是将这种思想应用到计算机中，将量子处理器应用于计算机中，实现将量子信息处理技术应用到计算机中的功能，开发出新一代高性能的计算机来实现信息处理。
3、量子信息与量子计算的关系
量子信息和量子计算相互依存，量子信息是量子计算的基础，量子计算则是量子信息的一种应用。
他们的关系可总结为：量子信息是一种量子物理学原理，它提供了量子计算的基础原理和技术，量子计算则是将量子信息的基础原理和技术应用到计算机中，实现量子信息的处理，构建新一代更加高效、高性能的计算机。
量子计算和量子信息(量子计算部分,Nielsen等着)4(大部分)
4.14.2证明过程需要用到如下三个泰勒级数展开式：e^x= 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+Rn(x ）sin x = x -x^3/3!+x^5/5!-...(-1)^(k -1)*x^(2k -1)/(2k -1)!+Rn(x)(-∞<x<∞)cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-...(-1)^k*x^(2k)/(2k)!+... (-∞<x<∞)这种矩阵形式的指数表达式exp(iAx)就是用相应的泰勒级数展开来定义的，方法就是把上面的x 换成这里的矩阵iAx 即可。
上面的数字1，就是单位矩阵I ，n 次方也就是矩阵iAx 相乘n 次。
exp(iAx)=I+iAx -A^2x^2/2!-iA^3x^3/3!+A^4x^4/4!+......+(iAx)^n/n!+......=I+iAx -Ix^2/2!-iA^3x^3/3!+Ix^4/4!+......(注意到A^2=I)再结合sinx 和cosx 的泰勒级数展开式，就可以发现，cos(x)I = I -Ix^2/2!+Ix^4/4!-...isin(x)A=iAx -iA^3x^3/3!+iA^5x^5/5!-......所以就有exp(iAx)=cos(x)I+isin(x)A4.3y zH=(X+Z)/2=R x(π) R y(π/2)exp(iπ/2)R x(θ)=R z(−π/2) R y(θ) R z(π/2)所以H=R z(−π/2) R y(π) R z(π/2) R y(π/2)exp(iπ/2)4.5X^2=Y^2=Z^2=I 并且paili矩阵相互反对易，展开化简即得4.74.17H Z H4.18左边线路的作用：|00>→|00>|01>→|01>|10>→|10>|11>→-|11>右边线路的作用：|00>→|00>|01>→|01>|10>→|10>|11>→-|11>所以等价4.19[1001 00000000 0110][a b e f c d g ℎi j m n k l o p ][1001 00000000 0110]=[a b e f c d g ℎm n i j o p k l ][1001 00000000 0110]= [a b e f d c ℎg m n i j p o l k ]4.20左边=(H ⨂H)(|0><0|⨂I+|1><1|⨂X)(H ⨂H)= [1000 00010001 1000]=右边4.21直接输入8个状态进行验证即可4.22设V^2=U,而V=e^(i α)AXBXC, V +=e^(-i α) C +XB +XA +[100e^(i α)]可以无限穿越节点，但不能穿越X4.23U=R x (θ)=R z (−π2)R y (θ)R z (π2) 不能减少U=R y (θ) 能4.24控制比特：|00>: 第一比特位 T|0>=|0>第二比特位 T +T +S= (T 2)+S=S +S=I第三比特位 H T +T T +TH=I|01>: 第一比特位 T|0>=|0>第二比特位 T +T +S= (T 2)+S=S +S=I第三比特位 H XT +T XT +TH=I|10>: 第一比特位 T|1>=e^(i π/4)|1>第二比特位 T +XT +X S=e^(−i π/4) S,e^(−i π/4) S|0>= e^(−i π/4)|0>第三比特位 H T +X T T +X TH=I,e^(i π/4)|1>⨂ e^(−i π/4)|0>=|10>|11>: 第一比特位 T|1>=e^(i π/4)|1>第二比特位 T +XT +X S=e^(−i π/4) S,e^(−i π/4) S|1>= e^(i π/4)|1>第三比特位 H XT +X T XT +X TH= e^(-i π/2)HZH= e^(-i π/2)X e^(i π/4)|1>⨂ e^(i π/4)|1>= e^(i π/2)|11>R z (π2) R y (θ2) R z (−π2) R y (θ2) R y (θ2) R y (θ2)4.25(1)第三比特是控制位(2)第三比特是控制位或第一比特是控制位4.26直接输入8个状态进行验证即可（验算后没相位因子？）4.27构造如图：4.32ρ,=∑ρij00ij |i><j|⨂|0><0|+ ∑ρij11ij |i><j|⨂|1><1|ρ=Σρijmn |i><j|⨂|m><n|tr(ρ)= Σρijmn |i><j|tr(|m><n|)=Σρijm |i><j|4.33产生Bell 态的线路为而线路与恒等算子I完成的效果一样因而最后测量的是初始输入的计算基4.364.37U4U3U2U1U=I按照书上的步骤计算即可4.394.40E(U,V)=√<φ|(U −V )+(U −V )|φ>=√<φ|(U +U +V +V)|φ>−<φ|(U +V +V +U)|φ>=√2−<φ|(U +V +V +U)|φ>U=cos(α/2)-isin(α/2)n ⃗ *σV= cos((α+β)/2)-isin((α+β)/2)n ⃗ *σ<φ|(U +V +V +U)|φ>=<φ|2cos (β2)I|φ>=2cos (β2) E(U,V)= √2−2cos (β2)=|1-exp(i β/2)|4.41(S 为相位门)输入|00 φ>输出是|00>⨂(3/4 S| φ>+1/4 XSX| φ>)+(|01>+|10>−|11>⨂(1/4)(S| φ>− XSX| φ>)（3/4）^2+(1/4)^2=5/8所以以5/8的概率得到|00>3/4 S+1/4 XSX=(1/4) [3+i 001+3i]R z (θ)=exp(-i θ/2) [10035+45i ]而(3+i) [10035+45i ]= [3+i 001+3i]4.47利用练习2.54 A ，B 对易，则exp(A)*exp(B)=exp(A+B)4.49左边对e^[(A+B)△t]泰勒展开到O(△t^3)即可右边对e^（A △t ），e^（B △t ）泰勒展开到O(△t^3) e^{-0.5[A,B] △t^2}泰勒展开到O(△t^4)右边再合并化简即可与左边相同4.50(1) 每项e^[-i H k △t] 泰勒展开到O(△t^2)即可(2)E(U △t m ,e^(-2miH △t)≤∑E(U △t ,e^(−2iH △t)m 1=m||U △t −e^(−2iH △t)|φ>||=m|| O(△t^3) |φ>||=ma △t^34.51[01−10]X=Z[0−i−i0]Y=Z 再用式4.113即可。
量子力学中的量子计量和量子信息
量子力学中的量子计量和量子信息量子力学是20世纪物理学的重要分支，它研究的是微观世界的基本规律。
随着技术的不断进步，人们对量子力学的认识也越来越深入。
其中，量子计量和量子信息理论是量子力学的重要内容之一。
一、什么是量子计量在经典物理中，我们可以通过测量物理量来确定物体的状态。
而在量子力学中，因为存在测不准原理，我们无法同时精确地测量一个量子体系的多个物理量。
这就引出了量子计量的概念。
量子计量是指通过测量物理量来描述量子体系的一种方法。
在量子世界中，我们不能直接观测物体的状态，而是通过测量可观测量的期望值来描述其状态。
可观测量是指与算符对应的物理量，如位置、动量、自旋等。
在量子力学中，态函数表示一个量子体系的状态，而算符则对态函数进行操作，得到具体的可观测量结果。
量子计量的一个重要结论是测量后的结果会对量子体系的态产生干扰，从而改变系统的状态。
这种状态的干扰称为量子跃迁。
二、量子信息理论量子信息理论是由英国物理学家Peter Shor和美国物理学家Richard Feynman等人建立的。
它是将量子力学与信息科学相结合的一门学科，研究如何利用量子力学的特性来处理信息。
量子信息的基本单位是量子比特（qubit），与经典比特不同的是，一个qubit既可以是0，也可以是1，还可以同时是0和1，这种叠加状态称为叠加态。
量子信息的最重要的特性是量子纠缠。
量子纠缠是指当两个量子体系达到一定的状态时，它们之间会发生一种神秘的联系，即使它们之间分离后仍然会保持这种联系。
这种联系使得一方的测量会影响另一方的状态，而这种影响是瞬间的，人类目前还无法解释它的本质原因。
量子纠缠是实现量子通信和量子计算的基础。
量子通信和量子计算是量子信息理论的两个重要分支。
量子通信利用量子纠缠的特性来实现加密通信，可以有效地避免被黑客攻击和数据泄漏。
而量子计算则利用量子纠缠和量子叠加的特性来实现计算速度的大幅提升，可以解决现有计算机无法解决的一些问题。
量子信息与量子计算
关于量子信息与量子计算量子计算是一种依照量子力学理论进行的新型计算,量子计算的基础原理以及重要量子算法为在计算速度上超越图灵机模型提供了可能。
量子计算(quantum computation) 的概念最早由IBM的科学家R. Landauer及C. Bennett于70年代提出，对于普通计算机运行时芯片会发热，极大地影响了芯片的集成度，科学家们想找到能有更高运算速度的计算机。
到了1994年，贝尔实验室的应用数学家P. Shor指出，相对于传统电子计算器，利用量子计算可以在更短的时间内将一个很大的整数分解成质因子的乘积。
这个结论开启量子计算的一个新阶段：有别于传统计算法则的量子算法确实有其实用性，绝非科学家口袋中的戏法。
自此之后，新的量子算法陆续的被提出来，而物理学家接下来所面临的重要的课题之一，就是如何去建造一部真正的量子计算器，来执行这些量子算法。
许多量子系统都曾被点名作为量子计算器的基础架构，例如光子的偏振(photon polarization)、空腔量子电动力学、离子阱以及核磁共振(nuclear magnetic resonance, NMR)等等。
以目前的技术来看，这其中以离子阱与核磁共振最具可行性。
事实上，核磁共振已经在这场竞赛中先驰得点：以I. Chuang为首的IBM研究团队在2002年的春天，成功地在一个人工合成的分子中(内含7个量子位)利用NMR完成N =15的因子分解。
到底是什么导致量子如此高的计算能力呢？答案是量子的重叠与牵连原理的巨大作用。
普通计算机中的2位寄存器在某一时间仅能存储4个二进制数（00、01、10、11）中的一个，而量子计算机中的2位量子位（qubit）寄存器可同时存储这四个数。
量子位是量子计算的理论基石。
在常规计算机中,信息单元用二进制的 1 个位来表示, 它不是处于“ 0” 态就是处于“ 1” 态. 在二进制量子计算机中, 信息单元称为量子位,它除了处于“ 0” 态或“ 1” 态外,还可处于叠加态(super posed state) . 叠加态是“ 0” 态和“ 1” 态的任意线性叠加,它既可以是“ 0” 态又可以是“ 1” 态, “ 0” 态和“ 1” 态各以一定的概率同时存在. 通过测量或与其它物体发生相互作用而呈现出“ 0” 态或“ 1” 态.任何两态的量子系统都可用来实现量子位, 例如氢原子中的电子的基态( ground state)和第 1 激发态( first excited state)、质子自旋在任意方向的+ 1/ 2 分量和- 1/ 2 分量、圆偏振光的左旋和右旋等。
如何解决数学中的量子计算与量子信息问题
如何解决数学中的量子计算与量子信息问题量子计算和量子信息是近年来备受关注的热门话题，对于数学领域的学者们来说，解决这些问题是至关重要的。
在本文中，我们将探讨如何解决数学中的量子计算与量子信息问题。
一. 量子计算的现状量子计算是一种利用量子力学原理进行计算的计算模型。
与传统计算机使用的比特不同，量子计算机使用的是量子比特（qubits），它们具有超导性和叠加性的特点，使得量子计算机能够在同一时间内进行多个计算。
然而，尽管量子计算机在理论上具备强大的计算能力，但实际上，目前的量子计算技术仍然面临着很多挑战。
其中之一是量子比特的稳定性问题，量子比特的易受噪声影响导致计算结果的不准确性。
另外，量子计算机的建设和维护成本也非常高昂，限制了其在实际应用中的推广和发展。
二. 解决量子计算问题的方法尽管目前的量子计算技术还不够成熟，但学者们已经提出了一些解决方案，以期解决量子计算中的一些关键问题。
1. 误差校正代码对于量子计算中的误差问题，学者们提出了误差校正代码的方法。
该方法通过在量子比特之间建立冗余关系，并使用校正程序来检测和纠正误差，从而提高计算结果的准确性。
然而，误差校正代码方法的算法复杂度较高，需要更多的计算资源和更长的时间。
2. 量子纠缠技术量子纠缠是一种通过量子比特之间的相互作用建立起的特殊关系。
通过利用量子纠缠技术，可以将多个量子比特连接起来，形成更为复杂的计算单元，提升量子计算机的计算能力。
然而，目前尚缺乏实现高效量子纠缠的技术手段。
三. 量子信息的挑战与解决在量子信息领域，同样存在一些挑战需要解决。
1. 量子通信安全性量子通信的一个重要目标是保证通信的安全性。
由于量子信息传输的特殊性，通过量子密钥分发（QKD）等方式可以实现信息加密和解密过程的安全性。
然而，目前的量子通信设备和协议仍面临着安全性和效率问题。
2. 量子信息存储在量子信息存储方面，学者们也在进行积极的研究。
目前已经实现了一些量子存储的方法，如基于离子阱和超导线圈等技术。
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量子信息与量子计算
量子信息和量子计算是当今科学领域重要的研究方向之一。
量子力学的观念提
供了完全不同于经典物理学的框架，在信息处理和计算领域有着巨大的潜力和应用前景。
本文将探讨量子信息的基本概念和量子计算的原理，以及目前的研究进展和未来的发展方向。
一、量子信息的基本概念
量子信息是指利用量子力学的原理来存储、传输、处理和获取信息的科学和技术。
量子信息的基本单位是量子位（qubit），与经典计算中的比特（bit）相对应。
与经典比特只能表示0和1两个状态不同，量子位可以处于0和1的叠加态，这种
叠加态使得量子信息具有更大的信息容量和处理能力。
量子信息的传输需要依赖量子纠缠的特性。
量子纠缠是一种紧密联系的现象，
即使两个物体在空间上相隔很远，它们的状态仍然是相互关联的。
这种关联关系被称为“纠缠态”，并且能够以一种保密的方式进行量子通信。
二、量子计算的原理
量子计算是利用量子力学的特性进行数据处理和计算的一种方法。
在经典计算中，信息的处理是基于比特的逻辑运算，而在量子计算中，则是基于量子位的量子门操作。
量子门操作是指对量子位进行的幺正操作，能够改变量子位的状态。
最常见的
量子门是Hadamard门，它可以将一个量子位的初始状态从0或1转化为它们的叠
加态。
另一个重要的量子门是CNOT门，它可以在两个量子位之间实现“比特翻转”操作，即当一个量子位为1时，可以改变另一个量子位的状态。
量子计算的优势在于它具有指数级的并行性。
在传统计算中，处理多个任务需要逐个进行，而在量子计算中，可以同时处理大量的任务，从而在一些特定的问题上获得更高的计算效率和速度。
三、研究进展与应用前景
目前，关于量子信息和量子计算的研究正在不断深入和推进。
量子通信是其中的一个重要方向，包括量子密钥分发和量子隐形传态等。
量子密码学可以在安全通信中提供强大的保密性和防护性。
另一个重要的研究方向是量子模拟和优化。
量子计算的并行性可以用来模拟复杂的物理系统，如分子和量子磁体等。
同时，量子计算还有着潜在的优化算法，在解决大规模优化问题中具有巨大的潜力。
对量子计算的进一步发展和应用还需要克服一些困难和挑战。
例如，量子位的纠错和准确度等问题仍然存在。
此外，构建和运行大规模的量子计算机也是一个重要的挑战。
尽管如此，量子计算的未来发展前景依然令人兴奋。
随着实验技术和理论研究的不断进步，我们可以预见量子计算将在解决复杂问题、加速科学研究和优化工业生产等领域发挥重要作用。
结论
量子信息和量子计算是一门前沿的交叉学科，充满了挑战和机遇。
量子计算的原理和应用前景将对未来科学技术的发展产生深远影响。
我们期待在这个领域的不断探索和突破，为人类带来更多的惊喜和改变。