高中数学过抛物线的焦点的弦的一般性质
抛物线焦点弦的性质及应用
抛物线焦点弦的性质及应用抛物线是一种具有特殊性质的二次曲线，它的焦点弦性质是指过焦点parabola. 抛物线上任意一点的切线与从焦点引出的该点的法线的交点，这些交点都在焦点所在的直线上。
抛物线焦点弦的性质和应用如下：1. 焦点弦与顶点：抛物线的焦点弦通过抛物线的顶点，且与抛物线的对称轴垂直相交。
2. 焦点弦的长度：焦点弦的长度等于抛物线焦点到对称轴的距离的两倍。
3. 焦点弦的切线方程：焦点弦的切线方程可由抛物线的切线方程推导得到，即通过抛物线上一点（x1，y1）的切线方程为y = mx + (1 - m²) a/4，其中m为切线的斜率，a为焦点到对称轴的距离。
4. 焦点弦的法线方程：焦点弦的法线方程可由切线方程得到，即过抛物线上一点（x1，y1）的法线方程为y = -x/m + (x1/m + y1)。
5. 焦点弦的性质应用：抛物线焦点弦的性质在物理学、工程学和几何学等领域有广泛的应用。
在物理学中，抛物线焦点弦的性质可以用于描述光线的反射和聚焦。
例如，在反射望远镜中，抛物面用于反射并聚焦光线，使观察者能够看到远处的物体。
在工程学中，抛物线焦点弦的性质可以用于设计抛物面反射器、喇叭等产品。
抛物面反射器可以将声音或者电磁波线聚焦在焦点处，以达到提高功率传输效果的目的。
类似地，喇叭的设计也借鉴了抛物线焦点弦的性质，使声音能够更好地聚焦并扩散。
在几何学中，抛物线焦点弦的性质可以用于求解问题。
例如，已知抛物线上一点的坐标和抛物线焦点的坐标，可以通过焦点弦性质来求解该点在抛物线上的位置。
另外，抛物线焦点弦的性质还可以进一步推广到三维空间中的抛物面。
三维空间中的抛物面也具有焦点弦的性质，可以用于描述反射、聚焦和求解问题等。
综上所述，抛物线焦点弦是抛物线特有的性质之一，它的性质和应用在物理学、工程学和几何学等领域有重要的应用。
深入理解和应用这些性质可以帮助我们更好地解决各种问题，并且进一步推广到更高维度的几何形状中。
抛物线焦点弦性质总结
抛物线焦点弦性质总结基本性质已知抛物线22y px =的图像如图所示，则有以下基本结论：1、以AB 为直径的圆与准线L 相切；2、2124p x x ⋅=且212y y p ⋅=-；3、90AC B '∠=︒，90A FB ''∠=︒；4、123222()2sin p p AB x x p x α=++=+=；5、112AF BF P +=；6A 、O 、B '三点共线，B 、O 、A '三点共线；7、22sin AOB p S α=△，322AOB S p AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭△(定值)； 8、1cos p AF α=-，1cos p BF α=+； 9、BC '垂直平分B F '，AC '垂直平分A F '， C F AB '⊥；10、2AB p ≥；11、11()22CC AB AA BB '''==+； 12、3AB p k y =，22tan 2y p x α=-； 13、24A B AF BF ''=⋅，12C F A B '''=. 14、切线方程：()x x m y y +=00性质深究一、焦点弦与切线结论1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点在准线上．特别地，当弦x AB ⊥轴时，则点P 的坐标为,02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 结论2、切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论3、弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．结论4、过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点． 特别地，过准线与x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB 的弦必过焦点．结论5、过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．AB 是抛物线px y 22=（p ＞0）焦点弦，Q 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，l AA ⊥1，l BB ⊥1，过A ，B 的切线相交于P ，PQ 与抛物线交于点M ．则有结论6、PA ⊥PB ．结论7、PF ⊥AB ． 结论8、M 平分PQ ． 结论9、PA 平分∠A 1AB ，PB 平分∠B 1BA ．结论102FB FA =结论11、PAB S ∆2min p =二、非焦点弦与切线 当弦AB 不过焦点，切线交于P 点时，也有与上述结论类似结果：结论12、①p y y x p 221=，221y y y p += 结论13、PA 平分∠A 1AB ，同理PB 平分∠B 1BA ．结论14、PFB PFA ∠=∠结论15、点M 平分PQ结论162PF FB FA =。
抛物线的焦点弦的性质
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交 点为A(x1,y1)、B(x2,y2),
思考：点A、B在抛物线准线上的射影为A1, B1,
∠ A1FB1的大小是多少？
A1
B1
结论6： ∠ A1FB1 =90
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交 点为A(x1,y1)、B(x2,y2),
1 cos
1 cos
FA FB p
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交 点为A(x1,y1)、B(x2,y2),
思考：若直线AB与x轴的夹角为，焦点∆AOB的面积如何用表示
结论（4）
SAOB
p2
2sin
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交 点为A(x1,y1)、B(x2,y2), 思考：以线段AB为直径的圆与准线有怎样的位置关系？ 思考：以线段AF为直径的圆与y轴有怎样的位置关系？
例1. 设F为抛物线C:y2=3x的焦点，过点F且倾斜角为30°的 直线交C于A,B两点， 则（1）｜AB|=（ ）；（2）S∆AOB=（ ）。
变式：将本题中条件倾斜角30o改为|AF|=3,求S∆AOB。
1.如图，过抛物线C: y2=2px（p>0）的焦点F的直线交抛物线于点A,B，交其准 线L于点C，若F是AC的中点，且|AF|=4则线段AB的长为（ ）
2.已知抛物线C: y2=2px（p>0）的焦点为F，过F的直线与该抛物线交于P,Q两个 不同的点，P,Q两点在抛物线的准线上的射影分别为M，N，若|MF|=4, |NF|=4, 则p=（ ）
抛物线焦点弦的性质所有公式推导
抛物线焦点弦的性质所有公式推导
抛物线焦点弦的性质在数学中是一项十分重要的内容，它涉及抛物线的函数特性和不定积分的求值，可以用来求解空间内特定形状的抛物线面积。
那么，抛物线焦点弦的性质的基本公式有哪些，如何推导呢？
最基本的抛物线焦点弦性质的公式是：抛物线面积S=2a（∫ sin ar+cos ar dr），其中a是焦点到原点距离，r是弦距离（由焦点渐近该弦的最近点）。
其推导方法是：首先设定抛物线函数为y=ax2+bx+c，其中a,b,c均为实数。
将抛物线延长为一直线y=x则可得到对应的抛物线焦点弦的性质以及两点之间的关系：一个点在x轴上，一个点在y轴上，两点之间的垂直距离即为抛物线焦点到原点的距离a，弦距离取负值即为x-c，总之两点之间垂直距离等于x-c。
接着，抛物线两边都可以用极坐标来表示，即r=x-c，θ=arcsin（r/a），令面积s积分，即可得出抛物线焦点弦的性质的基本公式：s=2a（∫sin ar+cos ar dr）。
从上述的推导来看，抛物线焦点弦的性质公式熟练掌握，可以获得任意空间内特定形状的抛物线面积求解，可以给我们的生活和娱乐活动带来更多惊喜和乐趣，可谓是大有裨益。
(完整版)抛物线的焦点弦_经典性质及其证明过程
有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点结论1：p x x AB ++=21p x x px p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2pAB =证: (1)若2πθ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)若2πθ≠时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y -=即2cot py x +⋅=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-=由弦长公式得θθθ22212sin 2)cot 1(2cot1pp y y AB =+=-+= 结论3： 过焦点的弦中通径长最小p p2sin 21sin 22≥∴≤θθ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆()8sin 2sin sin 2221sin 21sin 21sin 21sin 2132220P AB S p p p AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB =∴=⋅⋅⋅=⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆∆∆θθθθθϑθ结论5： (1) 221p y y -= (2) x 1x 2=42p证44)(,2,22222121222211P Py y x x p y x p y x ==∴== 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111AB BFAF BB AA MM =+=+=故结论得证结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1FFA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF FM ⋅=21（4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5）2121214M M B M AM =+证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 111FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FM A AFA∴M 1F ⊥ABBF AF F M ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+()()()2121211242MM MM BB AABFAF ==+=+=结论9： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p p y y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -=所以122222oB oA k p y y ppk =-=-=所以三点共线。
抛物线的焦点弦性质
法二：由题知AB不与x轴平行 p 设AB方程为x my ，（m R） 2 y 2 2 px p 2 p y 2 p (my ) 2 x my 2 y
即：y 2 pmy p 0
2 2
A
y1 y2 p （定值）
2
O
F B
1 当AB x轴时，
O B
F
x
20 AB斜率存在时设为k，（k 0）
2
y p 2 py 2 消元得y 2 （ p ）即y p2 0 k 2 k 2 2 2 y1 y1 p 2 y1 y2 - p ；x1 x2 2 p 2 p 4
p 则直线AB方程为y=k（x- ） 代入抛物线方程y2 2 px 2
1 同理， k
以代k得B(2pk2, -2pk) .
1 2 x p ( k ) 0 k2 y p( 1 k ) 0 k
1 1 2 k 2 (k ) 2 k k
2
x0 y0 2 ( ) 2 p p
即 y02 = px0-2p2，
2 px y1 2 px1 y1 y2 2 px 2 px1 y y y1 y1 y2 y1 y2 y1 y2 y1 y2
2 2 px 4 p 2 y1 2 px1 , y1 y2 4 p2 y y1 y2 y1 y2
2 p | y1 y2 | 4 p2
当且仅当|y1|=|y2|=2p时，等号成立.
例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB， (5)求O在AB上的射影M轨迹方程. y (5)法一：设M(x3, y3), 则 kOM 3 x3 x
抛物线“焦点弦的性质”及解题策略
03
解题策略
利用焦点弦性质解题
焦点弦性质
对于抛物线上的任意一点P，其到焦 点F的距离等于到准线的距离。利用这 一性质，可以快速找到与焦点弦相关 的点P的坐标。
解题方法
利用焦点弦性质，可以求出点P的坐 标，进而求出与焦点弦相关的其他量， 如弦长、面积等。
在抛物线中，焦点弦的倾斜角可以通过轴线的倾斜角和该弦与轴线的夹角的补角之和（或差）来计算 。这个补角等于该弦与轴线的夹角的两倍。当焦点弦与轴线垂直时，其倾斜角等于轴线的倾斜角。
焦点弦的倾斜角
解题策略
根据题目给出的条件，选择适当的方法计算焦点弦的长 度、中点坐标或倾斜角。
熟悉抛物线的定义和性质，理解焦点弦的意义和特点。
02
焦点弦的性质
焦点弦的长度
总结词
焦点弦的长度等于通径的长度，等于焦准距的平方根。
详细描述
在抛物线中，焦点弦是指通过焦点的弦，其长度可以通过通径的长度来计算。 通径是过焦点的最短的弦，其长度等于焦准距的平方根。当焦点弦与抛物线的 轴线不垂直时，其长度还会受到其他因素的影响。
焦点弦的中点坐标
总结词
焦点弦的中点坐标等于焦点坐标加上弦中点与轴线的垂直距 离。
详细描述
在抛物线中，焦点弦的中点坐标可以通过焦点坐标和弦中点 与轴线的垂直距离之和来计算。这个垂直距离等于弦的长度 的一半乘以该弦与轴线的夹角的正切值。
焦点弦的倾斜角
总结词
焦点弦的倾斜角等于轴线的倾斜角加上或减去该弦与轴线的夹角的补角。
详细描述
解题方法
利用代数方法，可以建立方程组、不等式组等，进而求解与抛物线相关的问题。在解题过程中，需要注意方程组 的解法、不等式的性质等。
抛物线焦点弦经典性质
焦点弦
通过焦点的直线，与抛物线相交 于两点，连接这两点的线段叫做 抛物线的焦点弦。
y
A (x1, y1)
F
O
x
B (x2, y2)
过抛物线 y2 2 px (p>0)的焦点 F 作一条直线 L 和此抛物线相交于 A (x1, y1) 、B (x2 , y2 ) 两点
性质3： 过焦点的弦中通径长最小
y
∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜
C
B
＝｜AD｜＋｜BC｜ =2｜EH｜
H
E
OF
x
D
A
所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且
EH⊥l，因而圆E和准线l相切．
2
2
2 2 sin 2
2 s in
S2 OAB
P3
AB 8
性质6：以焦点弦AB为直径的圆和抛物线的准线相切．
分析：运用抛物线的 定义和平面几何知识
y
C
B
来证比较简捷．
H
E
OF
x
D
A
证明：如图，设AB的中点为E，过A，E，B分别向准
线l引垂线AD，EH，BC，垂足分别为D，H，C，
则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜
证明：sin 2 1 2 p 2 p sin 2
AB 的最小值为 2 p ,即过焦点的弦长中通径长最短.
性质 4：
S2 OAB
p3 (定值)
AB 8
S OAB
S OBF
S0AF
1 2
OFBFsin源自1 2OFAF
sin
1 OF AF BF sin 1 OF AB sin 1 p 2 p sin p 2
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过抛物线的焦点的弦的一般性质
不妨设抛物线方程为)0(22>=p px y ，则焦点)0,2(p F ，准线l 的方程：2p x -=. 过焦点F 的直线交抛物线于A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)两点，又作AA 1⊥l , BB 1⊥l ，垂足分别为A 1、B 1.
基本概念:
1.若AB 垂直于抛物线的对称轴，则称线段AB 为抛物线的通径。
|AB|= .
2.设P(x 0,y 0)是抛物线y 2=2px(p>0)上的一点，则P 到抛物线焦点F 的距离|PF|称为P 点
的焦半径。
|PF|= ；直线AB 经过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点，且与抛物线相
交于A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)（AB 则为抛物线的焦点弦）.
结论1：4
2
21p x x =⋅ (定值)，22212k p p k x x +=+. 结论2：221p y y -=⋅ (定值)，k p y y 221=
+.
结论3：(1)弦长p x x p x p x BB AA BF AF AB ++=+++=+=+=2121112
2||||||||||. (2) 若AB 所在的直线的倾斜角为α，则 α
2sin 2||p AB =.
结论4：若此焦点弦AB 被焦点F 分成n m ,两部分，则p n m 211=+．
结论5：抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦中通径最小．
结论6：以焦点弦AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切．
结论7：以抛物线焦半径||AF 为直径的圆与y 轴相切．
结论8：F B F A 11⊥.
结论9：若M 为11B A 的中点，则AB MF ⊥.
结论10：在梯形AA 1B 1B 中，两对角线AB 1与BA 1相交于点抛物线顶点O .。