数学：4.7《优选法》教案(人教A版选修)

第一讲优选法一、优选法和单峰函数教学目标：1．通过丰富的生活、生产案例，使学生感受到生活中存在着大量的优选问题；2．了解优选法和单峰函数的概念。

教学重点：单峰函数的概念教学难点：单峰函数的概念的理解教学过程一、什么叫优选法？人们经常会遇到这样的问题：选取"合适"的配方；寻找"合适"的操作和工艺条件；给出产品的"合理"设计参数；把仪器调节器试到"合适"的程度；等等。

所谓"合适"、"合理"，数学上叫最优。

例如如何使产品质量最好、产量最高，或在一定质量要求下如何使成本最低、消耗原材料最少、生产周期最短等等"最优"性问题，都常常引起人们的关心。

怎样才能达到"最优"呢？举个最简单的例子，比如蒸馒头；要想蒸得好吃、不酸不黄，就要使碱适量。

假如我们现在还没有掌握使碱量的规律，而要通过直接实践的方法去摸索这个规律，怎样才能用最少的实验次数就找到最理想的结果呢？换句话说，用什么方法指导我们进行实验才能最快地找到最优方案呢？这个方法就叫作优选法。

优选法的用途很广。

上面以蒸馒头问题为例，是考虑到了它通俗易懂，而且能说明选优的问题处处有、常常见。

有许多例子说明优选法有许多更重要的用处。

例如，某仪器表研究所在制造某种仪表时，为了找到一种能去除金属表面氧化皮的酸洗液，在未掌握优选法时，在两年的时间中做了无数次试验，勉强找到了一个配方，配洗效果仍不理想；酸洗时间半小时，然后还要用刷子刷。

当掌握了优选法后，克服了盲目性，用了不到一天的时间，只做了十四次试验就找到了一种新的酸洗液配方。

按照新配方，只需三分钟，氧化皮就自然剥落，而且材料表面光滑，既不需用刷子刷，又没有腐蚀痕迹。

（1）最佳点：（2）优选问题：（3）优选法：优选法是根据生产和科学研究中的不同问题，利用数学原理，合理安排试验，以最少的试验次数迅速找到最佳点的科学试验方法。

用优选法的目的在于减少试验的次数。

实际工作中的优选问题，即最优化问题，大体上有两类：一类是求函数的极值；另一类是求泛函的极值。

如果目标函数有明显的表达式，一般可用微分法、变分法、极大值原理或动态规划等分析方法求解（间接选优）；如果目标函数的表达式过于复杂或根本没有明显的表达式，则可用数值方法或试验最优化等直接方法求解（直接选优）。

优选法是尽可能少做试验，尽快地找到生产和科研的最优方案的方法,优选法的应用在我国从70年代初开始，首先由我们数学家华罗庚等推广并大量应用,优选法也叫最优化方法。

二、 单峰函数例：炮弹飞行问题引入许多优选问题都有如上所述的情形。

例如在蒸馒头的问题里，当放碱太少时，馒头不好吃，随着碱的数量逐渐增加，馒头也逐渐变好；当碱量达到某个最优值时馒头最好吃。

若碱量超过这个最优值继续增加，馒头又越变越不好吃了。

这种现象，我们称之为单峰性。

许多选优问题都有这样的单峰性。

单峰函数： 如果函数)(x f 在区间[]b a ,上只有唯一的最大值点（或最小值点）C ，而在最大值点（或最小值点）C 的左侧，函数单调增加（减少）；在点C 的右侧，函数单调减少（增加），则称这个函数为区间[]b a ,上的单峰函数.我们规定:区间[]b a ,上的单调函数也是单峰函数。

因素和单因素问题，目标函数：设x 1 和x 2 是因素范围[a,b]内的任意两个试点，C 点为问题的最优点，并把两个试点中效果较好的点称为好点，把效果较差的点称为差点。

下面将证明：最优点与好点必在差点同侧，因而我们把因素范围被差点所分成的两部分中好点所在的那部分称为存优范围。

命题 最优点与好点必在差点同侧。

这个命题给我们指示了一种通过试验逐步缩小存优范围、逐次逼近最优点的方法。

三、课堂练习：P 5 1、2四、作业布置：学法大视野P 5演练一三、黄金分割法——0.618法教学目标：黄金分割法——0.618法是非常著名的优选法，在生产实践中有广泛应用。

通过这一内容的学习，不仅可以使学生学会一种用数学知识解决实际问题的方法（数学建模），而且还可以使学生感受数学在解决实际问题中的作用。

本节课要通过分析和解决具体实际问题，使学生掌握0.618法，体会优选的思想。

教学重点：通过这实例概括出0.618法的基本思想和步骤，能用0.618法解决一些实际问题，体会优选思想。

教学难点：概括出m n x x -+=大小，即“加两头，减中间”公式。

教学过程1．黄金分割常数探究：对于一般的单峰函数，如何安排试点才能迅速找到最佳点？我们的任务是通过试验迅速地找到最优点。

在寻找的过程中，随着试验次数的增加，因素范围应逐步缩小。

上一堂课证明了的命题--最优点与好点必在差点同侧，给我们指示了缩小因素范围的方法：做了两次试验后，沿差点将因素范围一分为二，去掉不包含好点的一段，只留下存优范围。

在这个存优范围中再做一次试验，并与上次的好点比较效果，确定新的好点与新的差点，再沿新的差点将因素范围一分为二，并去掉不包含较好的点的那段，只留下新的存优范围。

照此办理，存优范围可逐步缩小。

在进行试验之前，我们无法予先知道两次试验的效果哪一次好，哪一次差，因而两个试点（例如设为x 1与x 2,x 1＜x 2)作为差点的可能性是相同的，即：从这两个试点中的哪一个将整个因素范围一分为二并去掉不包含好点的那一段的可能性都一样大，因而，为了克服盲目性和侥幸心理，我们在安排试点时应该使两个试点关于因素范围的中点对称，即如图3所示，应使x 1-a=b-x 2 。

这是我们在试验过程中应遵循的一个原则--对称原则。

比较了两次试验的效果之后，可舍去一段区间，只留下存优范围。

为了尽快找到最优点，我们当然不希望舍去的那一段太短。

但是也不能指望一次就能舍去很长。

例如，如果让x 1与x 2都尽量靠近这样一次可以舍去整个因素范围[a,b]的将近50%，但是按照对称原则做了第三次试验后就会发现，以后每次只能舍去很小的一部分了，结果反而不利于较快地逼近最优点。

这个情况又提示我们考虑另一个原则：最好每次舍去的区间都能占舍去前全区间同样的比例数（我们不妨称此原则为"成比例地舍去"原则）按照上述两个原则，如图3所示，设第一次和第二次试验分别在x 1点和x 2点， x 2＜x 1，则在第一次比较效果的时候，不论x 1点与x 2点哪个点是好点，哪个点是差点，由对称性，舍去的区间长度都等于b-x 1 ， 不妨设x 2是好点，x 1是差点，舍去的是(x 1，b].再设第三次试验安排在x 3点,则x 3点应在[a,x 1]中与x 2点对称的位置上,同时x 3点应在x 2点左侧,否则x 3点与x 2点比较效果后被舍去的将与上次舍去的是同样的长度,而不是同样的比例,违背"成比例地舍去"原则。

由此可知，x 3点与x 2点比较效果后，不论哪个点是好点，哪个点是差点，被舍去的区间长度都等于x 1-x 2。

于是按照"成比例地舍去"原则，我们得到等式ax x x a b x b --=--1211 （1）它的左边是第一次舍去的比例数，右边是第二次舍去的比例数。

对这个等式进行变形可得a x x x a b x b ---=---121111即ax a x a b a x --=--121 （2）（2） 式的两边分别是两次舍弃后所剩下的区间占舍弃前全区间的比例数。

设每次舍弃后剩下的区间占舍弃前全区间的比例数为t ，即t ab ax =--1（3）则t ab a x -=--12 （4）由式（2）得ab ax ab ax a b a x ----=--121 （5）把（3）与（4）代入（5），得ttt -=1整理可得012=-+t t 解得251,25121--=+-=t t 其中1t 为对本问题有意义的根，这正是黄金分割常数，用ω表示。

试验方法中，利用黄金分割常数ω确定试点的方法叫做黄金分割法（0.618法）。

因而我们得到了单因素单峰函数的一种优选方法--黄金分割法：假定我们已经知道了因素范围为某一区间[a,b]，并用一张纸条代表这一区间。

首先把这张纸条上的两个黄金分割点k 及k' 找出，在这两点安排试验。

如果两次试验效果一样，可沿k 及k' 将纸条剪断，扔去两头，只留中间的[k'，k]，再在[k'，k]的两个黄金分割点安排试验。

以后凡是遇到两次试验效果相同的情况，一律照此办理。

下面我们考虑两次试验效果不同的情况。

两次试验效果不同，就沿着差点将纸条剪断，扔掉短段，只留下存优范围。

譬如k'为差点，就从k'处剪断（图4），扔掉带斜线的部分，只留下区间[k'，b]，（若k 为差点，就从k 处剪断，扔掉区间(k,b]，只留下[a,k] ）。

把纸条[k'，b]对折，找出[k'，b]上的另一个黄金分割点k 1 （图5），在k 1处安排试验，并将效果与k 处进行比较，还是从差点的点处剪断，扔掉短段，只留下存优范围。

臂如k 1处效果较差，就扔掉（k 1，b]，只保留[k'，k 1]（反之则扔掉[k'，k ）保留[k ，b])。

把纸条[k'，k 1]对折，找出它上面的另一个黄金分割点k 1' （图6），在k 1'处安排试验，并与k 处比较结果，再从较差的点处剪开，扔掉短段，保留存优范围。

譬如k 处效果较差，就从k 处剪，扔掉（k ，k 1]，保留[k'，k]（反之就从k 1' 处剪，扔掉[k', k 1），保留[k 1'，k 1])。

继续这样做下去，可以迅速地逼近最优点。

这种方法就是单因素优选法中的黄金分割法。

在具体使用黄金分割法时，由于251+-是无理数，计算时要取近似值，因而就出现了"0.618法"与"分数法"。

2．黄金分割法——0.618法及其精度以0.618作为251+-的近似值。

我们通过一个例子来说明0.618法的具体作法。

案例 在炼某种合金钢时，需要一种化学元素来加强其强度。

假定已经知道每吨加入量在1000克到2000克之间，问如何安排试验可找出这种元素的最优加入量？当然，如果每隔一克做一次试验，即按1001，1002，1003，…，一直做到2000克，做完后比较结果，一定能发现最优值。

但这一千次试验消耗的时间、人力、物力都有太多。

这样的方法叫做"均分"法。

均分法太原始，我们不用这个方法，下面说明0.618法：用一张纸条代表数轴上从1000到2000这段区间。

在它的一个近似的黄金分割点处安排第一次试验。