极坐标系与参数方程解题策略分析
极坐标系与参数方程解题策略分析
摘要：高考中对极坐标系与参数方程这一部分主要考查参数方程与普通方程、
极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及求轨迹方程，还考察距离，角度等问题，涉及了直线、圆、圆锥曲线等几何对象，交汇了平面几何知识，三角函数化简求
值等知识点，属于一道综合题，是教学中的难点，更是学生的盲点，需要更为合
理有效的参数方程，本文就次问题进行阐述。
关键词：参数方程参数方程距离
一. 方程互化问题.若是极坐标方程与直角坐标方程互化，需要记好直角坐标
系与极坐标系的坐标关系;若是参数方程与普通方程互化，需牢记直线、圆、椭圆参数方程的基本结构，还要掌握消参基本方法。
三.在直角坐标系，有普通方程和参数方程的选用，优先选用普通方程，在熟
悉的模式下思考问题，有三种情况使用参数方程：①直线标准参数方程，用于在直线上到定点的距离问题；②圆、椭圆参数方程：与圆、椭圆上的动点有关的几何量值或最值；③普通参数方程：给定参数，求参数方程.
最后对极坐标系与参数方程解题策略进行小结，①首先化方程为直角坐标系
下的一般方程，然后作图分析；② 平台选择：首先在直角坐标系下尝试解决问题，若思路简洁，运算不繁，可以继续在此平台处理；若所求的几何量涉及点到
原点的距离，及角度，可以尝试在极坐标系平台处理问题，若运算不繁可以坚持
使用此平台.
参考文献：
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<4>张锋. 洞悉命题意图寻求最优解法——一道市模考题的答卷情况分析与思考[J]. 新高考(高三数学), 2015(2):16-18.。
极坐标与参数方程的求解方法
极坐标与参数方程的求解方法极坐标与参数方程的概述极坐标和参数方程是数学中常用的描述曲线的方法。
极坐标使用极径和极角来表示点的位置，而参数方程使用参数关联横坐标和纵坐标。
在解决数学问题和绘制曲线时，掌握这两种求解方法非常重要。
极坐标的求解方法极坐标的求解方法主要包括确定极径和极角。
下面是一些常用的求解方法：1. 已知直角坐标求解极坐标：通过公式计算出极径和极角。
具体来说，极径可以通过点到原点的距离计算，极角可以通过点的坐标构成的直角三角形的角度计算。
2. 已知极坐标求解直角坐标：通过公式计算出横坐标和纵坐标。
具体来说，横坐标可以通过极径乘以cos(极角)计算，纵坐标可以通过极径乘以sin(极角)计算。
3. 极坐标的运算：对于已知的极坐标，可以进行加减乘除等运算。
极坐标的运算结果仍然是极坐标。
参数方程的求解方法参数方程的求解方法主要包括确定参数的取值范围和参数与直角坐标的关系。
下面是一些常用的求解方法：1. 确定参数的取值范围：通常通过给定的条件来确定参数的取值范围，例如给定一个时间段或一个长度范围。
2. 参数与直角坐标的关系：通过给定的参数与直角坐标之间的关系，可以求解出直角坐标的值。
这个关系可以是线性、二次方程或其他形式的函数关系。
3. 参数方程的求解：通过确定参数的取值范围和参数与直角坐标的关系，可以求解出满足条件的参数方程。
总结极坐标和参数方程是数学中常用的求解曲线问题的方法。
在使用这些方法时，需要掌握相应的求解技巧和公式。
通过熟练掌握这些求解方法，我们可以更好地理解和解决与曲线相关的数学问题。
极坐标与参数方程解题思路
极坐标与参数方程解题思路在数学中，极坐标和参数方程是两种不同的表示数学对象的方法。
它们在解决几何和物理问题时非常有用。
本文将介绍极坐标和参数方程的基本概念以及解题思路。
极坐标极坐标是一种表示平面点的方法，它使用距离和角度来确定点的位置。
在极坐标中，点被表示为(r, θ)，其中 r 表示点到原点的距离，θ 表示点与正半轴的夹角。
解题时，可以将问题转化为在极坐标下求解。
首先需要了解如何在直角坐标系和极坐标之间进行转换。
使用以下公式将直角坐标系中的点 (x, y) 转换为极坐标 (r, θ)：r = √(x^2 + y^2)θ = arctan(y / x)使用这些转换公式，可以将直角坐标系中的问题转化为极坐标下的问题。
例如，我们要求一个极坐标方程所描述的曲线的极点、极值等特性。
另外，要注意极坐标中的角度是弧度制。
如果需要将角度转换为度数，可以使用以下公式：θ(度) = θ(弧度) * 180 / π参数方程参数方程是一种使用参数来表示平面上点的方法。
在参数方程中，点的位置由参数 t的函数表示，通常用 (x(t), y(t)) 表示一个点。
常见的参数方程形式包括直角坐标系下 x 和 y 的函数表示。
如果已知 x 和 y 的参数方程，可以通过解方程组来计算点的坐标。
同样地，如果已知直角坐标系下的点，可以使用参数方程来描述点的运动。
解题时，可以使用参数方程来刻画复杂曲线和图形。
通过选择合适的参数和函数，可以准确地表示出曲线的形状。
解题思路在解题过程中，首先需要了解问题的要求和条件。
根据问题所给的信息，判断是应该使用极坐标还是参数方程来解决问题。
若问题涉及到角度、距离等与原点的关系，可以选择使用极坐标表示。
通过将直角坐标系下的点转换成极坐标，可以更加直观地理解和分析问题。
若问题需要描述一个曲线的形状、运动或其他特性，可以选择使用参数方程。
通过选取合适的参数和函数，可以描述出复杂曲线的特性。
在解题过程中，要注意数学推理和计算的准确性。
解析几何中的参数方程与极坐标系
解析几何中的参数方程与极坐标系在解析几何中，参数方程和极坐标系是两种常用的坐标系统，它们在描述曲线和曲面的特征方程中起到了重要作用。
本文将对参数方程和极坐标系进行解析和比较，并探讨它们在几何学中的应用。
一、参数方程参数方程是一种用参数表示的函数方程，其中自变量和因变量都是参数的函数。
在解析几何中，参数方程常用于描述平面曲线和空间曲线。
以平面曲线为例，设曲线上的点坐标为(x, y)，则可以用参数t表示，即x = x(t)，y = y(t)。
参数t的取值范围可以是一个区间，例如t∈[a, b]，也可以是整个实数集。
通过参数方程，我们可以灵活地描述各种曲线，包括直线、抛物线、椭圆等。
例如，对于直线来说，可以选择参数t为直线上的点到某一点的距离，这样就可以用参数方程表示直线的方程。
在空间曲线的描述中，参数方程同样起到了重要作用。
例如，对于螺旋线来说，可以选择参数t为螺旋线上的点到某一轴线的距离，这样就可以用参数方程表示螺旋线的方程。
参数方程的优点在于可以简化对曲线的描述，而且可以方便地求解曲线上的点和曲线之间的关系。
但是参数方程也存在一些问题，比如在计算曲线的长度和曲率时相对复杂。
二、极坐标系极坐标系是一种用极径和极角表示的坐标系统，常用于描述平面上的曲线和曲面。
在极坐标系中，一个点的坐标由极径r和极角θ确定，记作(r, θ)。
其中，极径表示点到原点的距离，极角表示点与极轴的夹角。
通过极坐标系，我们可以方便地描述各种曲线，包括圆、椭圆、双曲线等。
例如，对于圆来说，可以选择极径r为圆心到圆上任一点的距离，这样就可以用极坐标系表示圆的方程。
在极坐标系中，曲线的方程通常是一个关于极径r和极角θ的函数。
通过改变极径和极角的取值，我们可以得到曲线上的不同点。
极坐标系的优点在于可以简化对曲线的描述，特别适用于具有对称性的曲线。
而且在计算曲线的长度和曲率时相对简单。
但是极坐标系也存在一些问题，比如在描述某些非对称曲线时相对困难。
【高中数学】参数方程和极坐标方程常考题型及解题方法归纳
参数方程和极坐标方程常考题型及解题方法归纳一、根据直线参数方程中ｔ的几何意义求与距离有关的问题经过点Ｐ（ｘ０，ｙ０），倾斜角为α的直线ｌ的参数方程为ｘ＝ｘ０＋ｔｃｏｓαｙ＝ｙ０＋ｔｓｉｎ烅烄烆α（ｔ为参数），参数ｔ的几何意义是：直线上定点Ｐ到动点Ｍ的有向线段，ｔ表示参数ｔ对应的点Ｍ到定点Ｐ的距离，即｜ｔ｜＝｜ＰＭ｜．若Ａ，Ｂ为直线ｌ上两点，其对应的参数分别为ｔ１与ｔ２，则有：①ＡＢ＝｜ｔ１－ｔ２｜；②当Ａ，Ｂ在点Ｐ的同侧时，ｔ１与ｔ２同号；当Ａ，Ｂ分别在点Ｐ的两侧时，ｔ１与ｔ２异号．需要注意的是：有时候直线的参数方程也可写为ｘ＝ｘ０＋ａｔｙ＝ｙ０＋烅烄烆ｂｔ（ｔ为参数），如果ａ２＋ｂ２≠１，则参数ｔ没有上述几何意义．例１ 在直角坐标系中，以原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线Ｃ：ρｌｌ与ｌ的普通方程；（２）若ＰＭ，ＭＮ，ＰＮ成等比数列，求ａ的值．分析 （１）利用ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ即可将曲线Ｃ的极坐标方程转化为直角坐标方程，在直线ｌ的参数方程中消去参数ｔ即可得直线ｌ的普通方程；（２）将直线ｌ的参数方程代入曲线Ｃ的直角坐标方程，利用参数的几何意义结合韦达定理即可建立关于ａ的方程求解．解 （１）由ρｓｉｎ２θ＝ａｃｏｓθ得ρ２ ｓｉｎ２θ＝ａρｃｏｓθ，可得曲线Ｃ的平面直角坐标方程ｙ２＝ａｘ（ａ＞０）．由直线ｌ的参数方程消去参数ｔ，可得直线ｌ的普通方程为ｘ－ｙ－１＝０．（２）设点Ｍ，Ｎ对应的参数分别为ｔ１，ｔ２，则ＰＭ＝ｔ１，ＰＮ＝ｔ２，ＭＮ＝ｔ１－ｔ２．将ｘ＝－１＋槡２２ｔ，ｙ＝－２ ＋槡２２ｔ代入ｙ２＝ａｘ，得ｔ２－（槡４ ２ ＋槡２ａ）ｔ＋８＋２ａ＝０．所以Δ＝（槡４ ２ ＋槡２ａ）２－４（８＋２ａ）＝２ａ２＋８ａ＞０，ｔ１＋ｔ２＝槡４ ２ ＋槡２ａ，ｔ１ｔ２＝８＋２ａ．由ＰＭ，ＭＮ，ＰＮ成等比数列，可以得到ｔ１－ｔ２２＝ｔ１ｔ２，所以（ｔ１＋ｔ２）２－４ｔ１ｔ２＝ｔ１ｔ２，即（槡４ ２ ＋槡２ａ）２－５（８＋２ａ）＝０，解得ａ＝１（ａ＝－４舍去）．例２ （２０１５年高考湖南卷）已知直线ｌ：ｘ＝５ ＋槡３２ｔｙ ＝槡３＋１２烅烄烆ｔ（ｔ为参数），以坐标原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Ｃ的极坐标方程为ρ＝２ｃｏｓθ．（Ⅰ）将曲线Ｃ的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设点Ｍ的直角坐标为（５，槡３），直线ｌ与曲线Ｃ的交点为Ａ，Ｂ，求｜ＭＡ｜·｜ＭＢ｜的值．分析 （Ⅰ）利用ρ２＝ｘ２＋ｙ２，ｘ＝ρｃｏｓθ即可将已知条件中的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）注意到点Ｍ在直线ｌ上，将直线ｌ的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用参数的几何意义结合韦达定理即可求解．解 （Ⅰ）ρ＝２ｃｏｓθ等价于ρ２＝２ρｃｏｓθ，将ρ２＝ｘ２＋ｙ２，ρｃｏｓθ＝ｘ代入即得曲线Ｃ的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２－２ｘ＝０．（Ⅱ）结合直线ｌ的参数方程，注意到点Ｍ在直线ｌ上，且（槡３２）２＋（１２）２＝１，可设点Ｍ，Ｎ对应的参数分别为ｔ１，ｔ２，则ＭＡ＝｜ｔ１｜，ＭＢ＝｜ｔ２｜，所以ＭＡ·ＭＢ＝ｔ１ｔ２． 将直线ｌ的参数方程代入曲线Ｃ的直角坐标方程，整理得ｔ２ ＋槡５ ３ｔ＋１８＝０，则ＭＡ·ＭＢ＝ｔ１ｔ２＝１８．例３ 已知圆锥曲线Ｃ：ｘ＝２ｃｏｓαｙ＝ｓｉｎ｛α（α为参数）和定点Ａ（０，，槡３），Ｆ１，Ｆ２是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点Ｏ为极点，以ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（１）求直线ＡＦ２的极坐标方程；（２）经过点Ｆ１且与直线ＡＦ２垂直的直线ｌ交此圆锥曲线于Ｍ，Ｎ两点，求ＭＦ１－ＮＦ１的值．解 （１）消去参数α即可将曲线Ｃ的方程化为普通方程ｘ２４＋ｙ２＝１，从而可求得Ｆ１（－槡３，０），Ｆ２（槡３，０），于是可得直线ＡＦ２的普通方程为ｘ＋ｙ－槡３＝０，利用互化公式化为极坐标方程为ρｃｏｓθ＋ρｓｉｎθ＝槡３．（２）由（１）可得ｋＡＦ２＝－１，所以直线ｌ的倾斜角为４５°，从而可得直线ｌ的参数方程为ｘ＝－槡３ ＋槡２２ｔｙ ＝槡２２烅烄烆ｔ（ｔ为参数），代入椭圆Ｃ的直角坐标方程：ｘ２４＋ｙ２＝１，得５ｔ２－槡２ ６ｔ－２＝０，设点Ｍ，Ｎ对应的参数分别为ｔ１，ｔ２，注意到点Ｍ，Ｎ，Ｆ１都在直线ｌ上且点Ｍ，Ｎ在点Ｆ１两侧，所以｜ＭＦ１｜－｜ＮＦ１｜＝｜ｔ１＋ｔ２｜＝槡２ ６５．评注 对于直线上与定点距离有关的问题，利用直线参数方程中参数ｔ的几何意义，能避免通过解方程组求交点坐标的繁琐运算，使解题过程得到简化．二、利用参数方程求最值和取值范围利用曲线的参数方程求解两曲线间的最值问题，是解决这类问题的常用方法，优点是解题过程比较简洁．为此，需要熟悉常见曲线的参数方程、参数方程与普通方程的互化以及参数方程的简单应用．例４ 已知曲线Ｃ１：ｘ＝８ｃｏｓｔｙ＝２ｓｉｎ｛ｔ（ｔ为参数），以坐标原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线Ｃ２的极坐标方程为ρ＝７ｃｏｓθ－ｓｉｎθ．（１）将曲线Ｃ１的参数方程化为普通方程，将曲线Ｃ２的极坐标方程化为直角坐标方程．（２）设Ｐ为曲线Ｃ１上的点，点Ｑ极坐标为（２槡２，π４），求ＰＱ的中点与曲线Ｃ２上的点的距离的最小值．分析 （１）利用参数方程和普通方程之间的关系进行互化即可，（２）先把点Ｑ的极坐标化为直角坐标，设出点Ｐ的参数形式的直角坐标（ｔ为参数），进而得到ＰＱ的中点Ｍ的直角坐标，可用公式得到点Ｍ到直线Ｃ２的距离ｄ的表达式（用参数ｔ表示），再求最值即可．解 （１）由曲线Ｃ１的参数方程消去参数ｔ得曲线Ｃ１的普通方程ｘ２６４＋ｙ２４＝１．由曲线Ｃ２的极坐标方程得ρｃｏｓθ－ρｓｉｎθ＝７，于是可得它的直角坐标方程为ｘ－ｙ－７＝０．（２）由点Ｑ的极坐标（槡２ ２，π４）可得它的直角坐标为（２，２），设Ｐ（８ｃｏｓｔ，２ｓｉｎｔ），则ＰＱ的中点Ｍ的直角坐标为（４ｃｏｓｔ＋１，ｓｉｎｔ＋１），所以，点Ｍ到直线Ｃ２的距离ｄ＝４ｃｏｓｔ－ｓｉｎｔ－７槡２＝槡１７ｃｏｓ（ｔ＋φ）－７槡２，其中φ为锐角，且ｔａｎφ＝１４．当ｃｏｓ（ｔ＋φ）＝１时，ｄ取得最小值ｄｍｉｎ＝槡７ ２ －槡３４２．所以，ＰＱ的中点Ｍ与曲线Ｃ２上的点的距离的最小值为槡７ ２ －槡３４２．例５ （２０１４年全国卷Ⅰ）已知曲线Ｃ：ｘ２４＋ｙ２９＝１，直线ｌ：ｘ＝２＋ｔｙ＝２－２｛ｔ（ｔ为参数）．（Ⅰ）写出曲线Ｃ的参数方程和直线ｌ的普通方程；（Ⅱ）过曲线Ｃ上任一点Ｐ作与ｌ夹角为３０°的直线，交ｌ于点Ａ，求｜ＰＡ｜的最大值与最小值．分析 （Ⅰ）利用椭圆的普通方程及直线的参数的特征进行互化即可；（Ⅱ）由椭圆的参数方程建立｜ＰＡ｜的三角函数表达式，再求最值．图１解 （Ⅰ）曲线Ｃ的参数方程为ｘ＝２ｃｏｓθｙ＝３ｓｉｎ｛θ（θ为参数），直线ｌ的普通方程为２ｘ＋ｙ－６＝０．（Ⅱ）如图１，在曲线Ｃ上任意取一点Ｐ（２ｃｏｓθ，３ｓｉｎθ），它到直线ｌ的距离为：ｄ＝槡５５４ｃｏｓθ＋３ｓｉｎθ－６，则｜ＰＡ｜＝ｄｓｉｎ３０°＝槡２ ５５｜５ｓｉｎ（θ＋α）－６｜，其中α为锐角，且ｔａｎα＝４３．当ｓｉｎ（θ＋α）＝－１时，｜ＰＡ｜取得最大值，最大值为槡２２ ５５；当ｓｉｎ（θ＋α）＝１时，｜ＰＡ｜取得最小值，最小值为槡２ ５５．例６ （２０１５年高考陕西卷）在直角坐标系ｘΟｙ中，直线ｌ的参数方程为ｘ＝３＋１２ｔｙ ＝槡３２烅烄烆ｔ（ｔ为参数）．以原点为极点，ｘ轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙Ｃ的极坐标方程为ρ＝槡２ ３ｓｉｎθ．（Ⅰ）写出⊙Ｃ的直角坐标方程；（Ⅱ）Ρ为直线ｌ上一动点，当Ρ到圆心Ｃ的距离最小时，求Ρ的直角坐标．分析 （Ⅰ）利用ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ，由⊙Ｃ的极坐标方程可得它的直角坐标方程；（Ⅱ）先设点Ρ的参数坐标，可得ΡＣ的函数表达式，再利用函数的性质可得ΡＣ的最小值，进而可得Ρ的直角坐标；或将直线ｌ的方程化为普通方程，再求过圆心且垂直于直线ｌ的直线方程，联立两方程可解得点Ｐ的直角坐标．解 （Ⅰ）由ρ＝槡２ ３ｓｉｎθ，得ρ２ ＝槡２ ３ρｓｉｎθ，从而，⊙Ｃ的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２ ＝槡２ ３ｙ，即ｘ２＋（ｙ－槡３）２＝３．（Ⅱ）设Ｐ（３＋１２ｔ，槡３２ｔ），又Ｃ（０，槡３），则｜ＰＣ｜＝（３＋１２ｔ）２＋（槡３２ｔ －槡３）槡２＝ｔ２＋槡１２，易知：当ｔ＝０时，ΡＣ取得最小值，此时Ρ点的直角坐标为（３，０）．评注 将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，常用的技巧有：代入消参、加减消参、整体消参、平方后加减消参等．如果题目中涉及圆、椭圆上的动点求相关最值（范围）问题时，可考虑用其参数方程设出点的坐标，将问题转化为函数问题来解决，可以使解题的过程更简洁．例７ （２０１６年全国卷Ⅱ理科第２０题）已知椭圆Ｅ：ｘ２ｔ＋ｙ２３＝１的焦点在ｘ轴上，Ａ是Ｅ的左顶点，斜率为ｋ（ｋ＞０）的直线交Ｅ于Ａ，Ｍ两点，点Ｎ在Ｅ上，ＭＡ⊥ＮＡ．（Ⅰ）当ｔ＝４，ＡＭ＝ＡＮ时，求△ＡＭＮ的面积；（Ⅱ）当２ ＡＭ＝ＡＮ时，求ｋ的取值范围．分析 （Ⅰ）先结合已知条件设出直线ＡＭ的参数方程，代入椭圆方程，可求得ＡＭ，进而求得△ＡＭＮ的面积；（Ⅱ）设出直线ＡＭ、ＡＮ的参数方程（以直线ＡＭ的倾斜角α为参数），代入椭圆方程，用ｔ和α表示｜ＡＭ｜和｜ＡＮ｜，再利用２ ＡＭ＝ＡＮ将ｔ表示为ｋ的函数，结合ｔ＞３，可求得ｋ的取值范围．解 （Ⅰ）当ｔ＝４，ＡＭ＝ＡＮ时，可得点Ａ（－２，０），ｋ＝１．设直线ＡＭ的参数方程为ｘ＝－２＋槡２２ｍｙ ＝槡２２烅烄烆ｍ（ｍ为参数），代入椭圆方程，整理得７２ｍ２－槡６ ２ ｍ＝０，故ＡＭ ＝槡１２ ２７，所以Ｓ△ＡＭＮ＝１２ＡＭ·ＡＮ＝１４４４９．（Ⅱ）设直线ＡＭ的倾斜角为α，又点Ａ（－槡ｔ，０），可设直线ＡＭ的参数方程为ｘ＝－槡ｔ＋ｍｃｏｓαｙ＝ｍｓｉｎ烅烄烆α（ｍ为参数），代入椭圆方程，整理得（３ｃｏｓ２α＋ｔ ｓｉｎ２α）ｍ２－６ｔｃｏｓα·ｍ＝０，所以ＡＭ＝６ｔｃｏｓα３ｃｏｓ２α＋ｔ ｓｉｎ２α．因为ＭＡ⊥ＮＡ，故直线ＡＮ的倾斜角为α＋π２，同理可得：ＡＮ＝６ｔｃｏｓ（α＋π２）３ｃｏｓ２（α＋π２）＋ｔ ｓｉｎ２（α＋π２）＝６ｔｓｉｎα３ｓｉｎ２α＋ｔ ｃｏｓ２α．由２ ＡＭ＝ＡＮ，ｋ＝ｔａｎα，代入化简得ｔ＝６ｋ２－３ｋｋ３－２．又因为椭圆Ｅ：ｘ２ｔ＋ｙ２３＝１的焦点在ｘ轴上，所以ｔ＞３，即６ｋ２－３ｋｋ３－２＞３，解得３槡２＜ｋ＜２．所以，ｋ的取值范围是（３槡２，２）．评注 本题属于圆锥曲线试题，常规思路是利用直角坐标直接求解，过程比较复杂．利用直线的参数方程来求解本题，使问题的求解过程变得简洁．三、利用极坐标中ρ的几何意义求有关距离或相关问题我们知道，极坐标中的ρ为极径，表示曲线上一点与原点Ｏ之间的距离，因此，与原点Ｏ有关的距离、面积等问题都可考虑运用极坐标中ρ的几何意义来解决，这是一种有效的解题策略，很多时候比化为直角坐标运算更简便．例８ （２０１５年高考全国卷Ⅱ）在直角坐标系ｘＯｙ中，曲线Ｃ１：ｘ＝ｔｃｏｓα，ｙ＝ｔｓｉｎα｛，（ｔ为参数，ｔ≠０），其中０≤α＜π，在以Ｏ为极点，ｘ轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线Ｃ２：ρ＝２ｓｉｎθ，曲线Ｃ３：ρ＝２ 槡３ｃｏｓθ．（Ⅰ）求Ｃ２与Ｃ１的交点的直角坐标；（Ⅱ）若Ｃ２与Ｃ１相交于点Ａ，Ｃ３与Ｃ１相交于点Ｂ，求ＡＢ的最大值．分析 （Ⅰ）可将曲线Ｃ２与Ｃ１的极坐标方程化为直角坐标方程后联立求交点的直角坐标，也可以直接联立极坐标方程求得交点的极坐标，再化为直角坐标；（Ⅱ）分别联立Ｃ２与Ｃ１、Ｃ３与Ｃ１的极坐标方程，求得Ａ，Ｂ的极坐标，由极径的概念用α表示出ＡＢ，转化为求关于α的三角函数的最大值．解 （Ⅰ）曲线Ｃ２的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２－２ｙ＝０，曲线Ｃ３的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２ －槡２ ３ｘ＝０．联立两方程解得：ｘ１＝０，ｙ１＝０烅烄烆，ｘ２＝槡３２，ｙ２＝３２烅烄烆，所以，Ｃ２与Ｃ１的交点的直角坐标为（０，０）和（槡３２，３２）．（Ⅱ）曲线Ｃ１的极坐标方程为θ＝α（ρ∈Ｒ，ρ≠０），其中０≤α＜π．于是可得：点Ａ的极坐标为（２ｓｉｎα，α），点Ｂ的极坐标为（槡２ ３ｃｏｓα，α）．所以ＡＢ＝２ｓｉｎα－槡２ ３ｃｏｓα＝４｜ｓｉｎ（α－π３）｜，又０≤α＜π，所以，当α＝５π６时，ＡＢ取得最大值，最大值为４．评注 如果用直角坐标来处理本题，计算量较大．例９ （２０１６年全国卷Ⅱ理科第２３题）在直线坐标系ｘＯｙ中，圆Ｃ的方程为（ｘ＋６）２＋ｙ２＝２５．（Ⅰ）以坐标原点为极点，ｘ轴正半轴为极轴建立极坐标系，求Ｃ的极坐标方程；（Ⅱ）直线ｌ的参数方程是ｘ＝ｔｃｏｓα，ｙ＝ｔｓｉｎα｛，（ｔ为参数），ｌ与Ｃ交于Ａ，Ｂ两点，｜ＡＢ｜＝槡１０，求ｌ的斜率．分析 （Ⅰ）利用ρ２＝ｘ２＋ｙ２，ｘ＝ρｃｏｓθ可得Ｃ的极坐标方程；（Ⅱ）先将直线ｌ的参数方程化为极坐标方程，再利用弦长公式可求得ｌ的斜率．解 （Ⅰ）由ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ可得Ｃ的极坐标方程ρ２＋１２ρｃｏｓθ＋１１＝０．（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线ｌ的极坐标方程为θ＝α（ρ∈Ｒ），与Ｃ的极坐标方程联立得ρ２＋１２ρｃｏｓα＋１１＝０．设点Ａ，Ｂ所对应的极径分别为ρ１，ρ２，则ρ１＋ρ２＝－１２ｃｏｓα，ρ１ρ２＝１１，所以｜ＡＢ｜＝｜ρ１－ρ２｜＝（ρ１＋ρ２）２－４ρ１ρ槡２＝１４４ｃｏｓ２α－槡４４．又｜ＡＢ｜＝槡１０，所以１４４ｃｏｓ２α－槡４４ ＝槡１０，解得ｃｏｓ２α＝３８，故ｔａｎα＝±槡１５３，所以，直线ｌ的斜率为槡１５３或－槡１５３．例１０ （２０１５年高考全国卷Ⅰ理科第２３题）在直角坐标系ｘＯｙ中，直线Ｃ１：ｘ＝－２，圆Ｃ２：（ｘ－１）２＋（ｙ－２）２＝１，以坐标原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求Ｃ１，Ｃ２的极坐标方程；（Ⅱ）若直线Ｃ３的极坐标方程为θ＝π４（ρ∈Ｒ），设Ｃ２与Ｃ３的交点为Ｍ，Ｎ，求△Ｃ２ＭＮ的面积．分析 （Ⅰ）根据公式ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ，ｘ２＋ｙ２＝ρ２即可求得Ｃ１，Ｃ２的极坐标方程；（Ⅱ）联立直线Ｃ３和圆Ｃ２的极坐标方程得到关于ρ的方程，可求得ＭＮ，进而可求出△Ｃ２ＭＮ的面积．解 （Ⅰ）因为ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ，所以，可求得：Ｃ１的极坐标方程为ρｃｏｓθ＝－２，Ｃ２的极坐标方程为ρ２－２ρｃｏｓθ－４ρｓｉｎθ＋４＝０．（Ⅱ）将Ｃ３的极坐标方程θ＝π４代入Ｃ２的极坐标方程ρ２－２ρｃｏｓθ－４ρｓｉｎθ＋４＝０，得ρ２ －槡３ ２ρ＋４＝０，解得ρ１＝槡２ ２，ρ２＝槡２，所以，ＭＮ＝ρ１－ρ２＝槡２．又因为Ｃ２的半径为１，∠Ｃ２ＭＮ＝π４，所以△Ｃ２ＭＮ的面积为Ｓ＝１２×槡２×１×ｓｉｎπ４＝１２．评注 过坐标原点、倾斜角为θ０的直线的极坐标方程为θ＝θ０，其上两点Ｐ（ρ１，θ０），Ｑ（ρ２，θ０）间的距离为ＰＱ＝ρ１－ρ２．【一点感悟】参数方程和极坐标虽然是选考内容，也应得到充分的重视，如果能够将它们和普通方程有机联系，相互补充，可以优化解题思路，简化计算过程，减少运算量，提高解题的效率．。
极坐标与参数方程解题策略及教学建议
π
ꎬ点 Ｍ 的
２
轨迹是以线段 ＯＣ１ 为直径的圆ꎬ
即点 Ｍ 的轨迹方程为
因此ꎬＣ 的普通方程为
ｘ ２ －ｙ ２ ＝ ４( 其中 ｙ≠０) .
图１
２
∗ 收文日期:２０１９￣１１￣２８ꎻ修订日期:２０１９￣１２￣２８
首先ꎬ学生容易根据平时做题的经验ꎬ想当然
{
ｘ ＝ ２ ＋ｔ ｃｏｓ θꎬ
当ｔ为
ｙ ＝ １ ＋ｔ ｓｉｎ θ
审题、注意细节. 并且当 ｔ 为参数时ꎬ曲线为一条直
线ꎬ这时对于曲线的普通方程ꎬ学生常通过移项后
两式作商来消参ꎬ往往忽视对 θ 是否为
１
( ｘ ＋ ２) . 设 Ｐ( ｘꎬｙ) ꎬ由题设得
ｋ
ìïｙ ＝ ｋ( ｘ － ２) ꎬ
ï
í １
ïｙ ＝ ( ｘ ＋ ２) ꎬ
ｋ
î
２
２
－
＝
消去 ｋ 得
ｘ ｙ ４( 其中 ｙ≠０) ꎬ
２
ｙ２
＝ １( 其中 ｘ≠ － １) ꎬ
４
ｌ 的直角坐标方程为
２ｘ ＋ ３ ｙ ＋ １１ ＝ ０.
为 Ｐꎬ当 ｋ 变化时ꎬＰ 的轨迹为曲线 Ｃ.
ｘ ＝ ｓｉｎ θ ＋ ｃｏｓ θ ＝ ２ ｓｉｎ
æπ ö
＋θ ÷ ꎬ
ç
è４ ø
２) 略.
(２０１９ 年全国数学高考卷Ⅰ理科试题第 ２２ 题)
１ －ｔ ２
分析 因为 － １< ２ ≤１ꎬ且
１ ＋ｔ
所以 ｘ∈[ － ２ ꎬ ２ ] . 因此与参数方程等价的普通
方程是 ｘ ２ ＝ ｙꎬ其中 ｘ∈[ － ２ ꎬ ２ ] ꎬ这是抛物线的
极坐标系与参数方程问题的处理
【知识要点】一、在平面内取一个定点O 为极点，引一条射线OX 为叫做极轴，再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系.对于平面内的点M ，设||OM =ρ，θXOM =∠，称ρ、θ为点M 的极径、极角，有序数对(,)ρθ就叫做M 的极坐标.二、直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.平面内任意一点P 的直角坐标与极坐标分别为),(y x 和),(θρ，则由三角函数的定义可以得到：cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩（求点的直角坐标的公式），222tan x y yx ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（求点的极坐标的公式,求极角时要先定位后定量）.=R θαρ∈（）表示过原点且倾斜角为α的直线,=0θαρ≥（）表示过原点且倾斜角为α的向上的射线.三、参数方程的定义：一般地，在平面直角坐标中，如果曲线C 上任一点M 的坐标,x y 都是某个变数t的函数()()x f t y g t ì=ïí=ïî，反过来，对于t 的每个允许值，由函数式()()x f t y g t ì=ïí=ïî所确定的点(,)M x y 都在曲线C 上，那么方程()()x f t y g t ì=ïí=ïî叫做曲线C 的参数方程，联系变数,x y 的变数t 是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的叫普通方程．四、常见曲线的参数方程：（1）圆22200()()x x y y r -+-=的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数）；（2）椭圆12222=+b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）；（3）双曲线12222=-by a x 的参数方程⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x （θ为参数）；（4）抛物线22y px =参数方程222x pt y pt⎧=⎨=⎩(t 为参数）；（5）过定点),(00y x P 、倾斜角为α的直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）.当动点A 在定点),(00y x P 上方时,0,||t t PA >=且.当动点B 在定点),(00y x P 下方时,0,||t t PB <=-且.【方法讲评】方法一转化法解题步骤先把已知条件都化成直角坐标，再利用解析几何的知识解答.【例1】【2017课标3，理科22】在直角坐标系xoy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．（1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ+sin θ=0，M为l 3与C 的交点，求M 的极径.【点评】本题就是转化法解答极坐标与参数方程问题的典型例子.第2问直接把条件化成直角坐标再解答，比较直接，解题效率也比较高.【反馈检测1】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 1,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）求曲线1C 和2C 公共弦的长度．方法二用极坐标解决解析几何问题解题步骤把已知条件化成极坐标，再利用极坐标的知识解答.【例2】【2017课标II，理22】在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=.（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值.（2）设点B 的极坐标为()()，＞0B Bραρ,由题设知cos =2，=4BραOA,1sin 4cos sin 232sin 223B S OA AOB πρααπα⎛⎫=⋅⋅∠=⋅- ⎪⎝⎭⎛⎫=-- ⎪⎝⎭当=-12πα时，S 取得最大值，所以△OAB 面积的最大值为.【点评】(1)本题的两问，如果用直角坐标来解答，思路难找，计算量大，解题效率低.如果用极坐标来解答，问题就简单了很多.(2)怎么联想到利用极坐标解答呢？因为已知里面有信息，譬如，第1问中，|OM |就是点M 的极径，|OP |就是点P 的极径，并且点,M P 的极角相同，所以用极坐标解答就自然了，所以我们要注意观察已知的信息.第2小问的观察和思维类似.学.科.网【反馈检测2】在直角坐标系xOy 中，曲线1:4C x y +=，曲线21cos :(sin x C y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线12,C C 的极坐标方程；（2）若射线():0l p θα=>分别交12,C C 于,A B 两点，方法三用圆锥曲线参数方程解决解析几何的问题解题步骤先把某些已知条件化成参数方程，再利用参数方程的知识解答.【例3】【2017课标1，理22】在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）.（1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l a .从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-.【点评】(1)本题就是利用圆锥曲线解决解析几何问题的典型例子.本题如果把已知条件都化成直角坐标再解答，计算量比较复杂，解题效率比较低.但是如果利用圆锥参数方程设点的坐标，再利用三角函数的知识来解答，计算量小，解题效率高了很多.(2)圆锥曲线的参数方程的一个重要作用就是设点.所以一般情况下，设点有三种方式，一是利用直角坐标设点，这是最普遍的一种.二是利用参数方程设点，三是利用极坐标设点，大家要注意灵活选用.【反馈检测3】（2016年全国III 高考）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin(224ρθπ+=.（I）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（II）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.方法四用直线参数方程解决解析几何的问题解题步骤先把某些已知条件化成参数方程，再利用参数方程的知识解答.【例4】在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为232(22x t t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρθ=.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，若点P的坐标为(，求PA PB +.【点评】（1）直线参数方程中参数t 的几何意义是这样的：如果点A 在定点P 的上方，则点A 对应的参数A t 就表示点A 到点P 的距离||PA ,即||A t PA =.如果点B 在定点P 的下方，则点B 对应的参数B t 就表示点B 到点P 的距离||PB 的相反数，即||B t PB =-.（2）由直线参数方程中参数的几何意义得：如果求直线上,A B 两点间的距离||AB ,不管,A B 两点在哪里，总有||||A B AB t t =-.学.科.网【反馈检测4】在极坐标系中，曲线C 的方程为2cos 29ρθ=，点．以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系．（1）求直线OP 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线OP 与曲线C 交于A 、B 两点，求【反馈检测5】在直角坐标系xOy 中，直线l 过(2,0)M ，倾斜角为α（0α≠）．以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=．（1）求直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且||2||MA MB =，求直线l 的斜率k ．极坐标系与参数方程问题的处理参考答案【反馈检测1答案】（1）221:23C x y x +-=,222:(2)4C x y +-=；（2【反馈检测2答案】（1）ρ(cos θ＋sin θ)＝4，ρ＝2cos θ；（2）14(2＋1).【反馈检测2详细解析】（1）C 1：ρ(cos θ＋sin θ)＝4，C 2的普通方程为(x－1)2＋y 2＝1，所以ρ＝2cos θ．（2）设A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，－π4＜α＜π2，则ρ1＝4cos α＋sin α，ρ2＝2cos α，|OB||OA|＝ρ2ρ1＝14×2cos α(cos α＋sin α)＝14(cos 2α＋sin 2α＋1)＝14[2cos (2α－π4)＋1]，当α＝π8时，|OB||OA|取得最大值14(2＋1)．【反馈检测3答案】(1)2212:1,C :403x C y x y +=+-=；（2，此时P 的坐标为31(,22.【反馈检测3详细解析】(1)1C 的普通方程为2213x y +=,2C 的直角坐标方程为x+y-4=0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以|PQ|的最小值，即为P 到2C 的距离()d α的最小值,()|sin()2|3d παα==+-.当且仅当2()6k k z παπ=+∈时，()d α此时P 的直角坐标为3122（，）.【反馈检测4答案】（1）3321.2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，229x y -=；.【反馈检测5答案】（1）2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩，24y x =；（2）2k =±.【反馈检测5详细解析】（1）直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），由2sin 4cos ρθθ=，得22sin 4cos ρθρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为24y x =．（2）把2cos x t α=+，sin y t α=代入24y x =得22(sin )(4cos )80t t αα--=，设A ，B 两点对应的参数分别为1t 与2t ，则1224cos sin t t αα+=，1228sin t t α=-，易知1t 与2t 异号，又∵||2||MA MB =，∴122t t =-，消去1t 与2t ，得tan 2α=±，即2k =±．。
极坐标与参数方程解题策略及教学建议
极坐标与参数方程解题策略及教学建议极坐标和参数方程都是数学中常用的表示曲线的方法，它们可以用来解决一些特殊的曲线问题。
下面将介绍极坐标和参数方程的解题策略，并提出一些建议来进行教学。
极坐标是将平面直角坐标系中的点通过极径和极角来表示的方法。
极径表示点到极点的距离，极角表示点到极轴的角度。
极坐标的方程通常可以写为r=f(θ)，其中r表示极径，θ表示极角，f(θ)表示一个与极角有关的函数。
求解极坐标方程的思路是根据题目给出的条件，将极坐标方程转化为一个相应的直角坐标方程，并求解。
解题策略：1.确定曲线的类型：通过观察极坐标方程中f(θ)函数的形式，确定曲线的类型，如圆、椭圆、双曲线等。
2.确定曲线的性质：消去θ，得到直角坐标方程，确定曲线的中心、半径、焦点等。
3.确定方程的解集：通过题目给出的条件，求解方程得到曲线的具体性质。
参数方程是将平面曲线的坐标表示为一个或多个参数的函数。
参数方程可以将曲线的坐标表示为时间的函数，因此常用来描述运动曲线或曲线的演化过程。
参数方程的形式通常为x=f(t)，y=g(t)，其中x和y表示曲线上的点的坐标，t表示参数。
参数方程可以准确地描述曲线上的每个点的坐标，非常适用于绘制曲线图形。
解题策略：1.确定参数方程的类型：通过观察参数方程中的函数形式，确定曲线的类型，如直线、抛物线、椭圆等。
2.确定曲线的性质：求解参数，确定曲线的中心、半径、焦点等。
3.绘制曲线的图像：通过给定的参数范围和步长，计算出一系列坐标点，绘制出曲线的图像。
教学建议：2.案例分析：给学生提供一些具体的问题或案例，引导他们运用极坐标和参数方程进行求解，培养他们的问题解决能力。
3. 绘图软件辅助：利用数学绘图软件，如Geogebra等，在课堂上演示极坐标和参数方程的图形，让学生亲自实践并观察图形的特点。
通过以上策略和建议，可以帮助学生更好地理解和掌握极坐标和参数方程的概念、求解方法和应用。
同时，也能使学生更加灵活地运用这些数学工具解决实际问题。
高考极坐标与参数方程题型及解题方法
高考极坐标与参数方程题型及解题方法1. 引言在高考数学考试中，极坐标与参数方程是比较常见的题型。
掌握这些题型的解题方法对于考生来说非常重要。
本文将针对高考中常见的极坐标与参数方程题型进行介绍，并给出相应的解题方法。
2. 极坐标题型及解题方法2.1 求曲线方程在给定了极坐标方程$r=f(\\theta)$的情况下，求曲线的方程是比较常见的题型。
要解决这类题目，一般有以下步骤：•首先，观察函数$f(\\theta)$的性质，判断是否是一个周期函数，通过实例来确定周期。
•根据这个周期，可以得到对应的关系式。
•使用关系式消去r和$\\theta$，得到曲线的直角坐标方程。
•最后，通过画图或其他方式，验证所得方程是否正确。
2.2 求曲线的长度求曲线的长度也是一个常见的问题，一般分为以下几步：•根据给定的极坐标方程$r=f(\\theta)$，利用弧长公式进行求解。
公式为：$$L=\\int_{\\alpha}^{\\beta}\\sqrt{[f'(\\theta)]^2+f^2(\\theta)}d\\theta$$ •其中$\\alpha$和$\\beta$为曲线所在区间，$f'(\\theta)$为导数。
•确定曲线所在区间，并计算导数$f'(\\theta)$。
•将上述求得的值带入弧长公式中，进行计算。
2.3 求曲线与极轴的夹角有时候，我们需要求出曲线与极轴的夹角。
对于这类问题，一般可以按照以下步骤进行求解：•首先，通过给定的极坐标方程$r=f(\\theta)$求出曲线与极轴的交点。
•然后，求出曲线在交点处的切线斜率k。
斜率的求解公式为：$$k=\\tan(\\pi/2-\\theta)=-\\frac{dr}{d\\theta}/r$$•最后，利用切线的斜率k求出曲线与极轴的夹角。
3. 参数方程题型及解题方法3.1 求曲线方程对于给定的参数方程x=f(t)和y=g(t)，求曲线的方程也是常见的高考题型。
极坐标与参数方程题型及解题方法
极坐标与参数方程题型及解题方法极坐标系是一种特殊的坐标系，它使用极轴（以原点为焦点）和极角来标识一个点。
极坐标系很方便表示和解决有关复平面中圆形定位或者曲线的问题，因此极坐标系经常会出现在数学题目中，可以提高解题的效率。
由极坐标可以唯一确定一个点的位置，也就是说，使用极坐标可以确定一个点的横纵坐标。
极坐标系的参数方程是指用参数方程的形式，用极坐标确定一个点的坐标。
参数方程表示为：x=rcosθ，y=rsinθ。
其中，r表示该点与原点的距离，θ表示该点与x轴正方向夹角的大小。
解极坐标方程的思路是，根据极坐标系和参数方程，我们可以先分析极坐标系中给出的两个参数和它们之间的关系，然后才可以求得它们组成的参数方程，最后将这个参数方程求出解析解，就可以得到该点的位置。
求解的过程可以分为两个步骤：1、求解极坐标系中的角θ：r=rcosθ.sinθ＝関数，根据极坐标系中给出的两个参数，可以求得θ的大小；2、求解极坐标系中的半径r：x=rcosθ，y=rsinθ，可以求得r的大小。
有了极坐标中的两个参数r和θ的大小，就可以求出参数方程的解析解，即求出该点的横纵坐标。
把极坐标系中参数求出来以后，可以利用两个步骤进行解题：第一步：把极坐标系的两个坐标(r，θ)代入原参数方程：x=rcosθ，y=rsinθ，得到：x=rcosθ，y=rsinθ.第二步：根据第一个步骤得到的结果，可以求出点P的横坐标和纵坐标，即可求得极坐标系中点P的位置。
总结以上，极坐标与参数方程可能出现在数学试题中，解题步骤是：首先分析极坐标系中给出的两个参数r和θ；其次把极坐标系中的参数代入参数方程；最后根据第一步的结果，求出点的位置。
在解出练习题的参数方程时，尽量利用极坐标系。
专题28 极坐标与参数方程的解题策略(解析版)
专题28极坐标与参数方程的解题策略[高考定位] 高考对本讲内容主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化、常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识考点一 极坐标方程及其应用 [核心提炼]1．直角坐标与极坐标的互化设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x （x ≠0）. 2．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则圆的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r 时：ρ＝r . (2)当圆心为M (a ，0)，半径为a 时：ρ＝2a cos θ. (3)当圆心为M ⎝⎛⎭⎫a ，π2，半径为a 时：ρ＝2a sin θ. 3．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴与此直线所成的角为α，则此直线的极坐标方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0.(2)直线过点M (a ，0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a . (3)直线过M ⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . [规律方法](1)求曲线的极坐标方程的一般思路曲线的极坐标方程问题通常可利用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互换公式即可转化为极坐标方程．熟练掌握互换公式是解决问题的关键． (2)解决极坐标问题的一般思路一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．参数方程与普通方程的互化及参数方程的应用(1)将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．(2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解． 解决极坐标、参数方程的综合问题应关注3点(1)在对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，可以先化成普通方程或直角坐标方程，这样思路可能更加清晰．(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷． (3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件．【题型规律】一．利用椭圆的参数方程求最值 在平面直角坐标系中，曲线12cos ,:sin x C y αα=⎧⎨=⎩（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为2sin ρθ=-. （1）求曲线的普通方程和曲线的普通方程； （2）若P ，Q 分别为曲线，上的动点，求的最大值.【答案】（1），22(1)1x y ++=；（2）【解析】（1）的普通方程为. ∵曲线的极坐标方程为2sin ρθ=-， ∴曲线的普通方程为，即()2211x y ++=. （2）设为曲线上一点， 则点到曲线的圆心的距离d ==∵[]sin 1,1α∈-，∴当时，d 有最大值. 又∵P ，Q 分别为曲线，曲线上动点，∴的最大值为.练习1. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，(为参数)，曲线的参数方程为，(为参数，且)． （1）求与的普通方程，（2）若分别为与上的动点，求的最小值．【答案】（1）的普通方程为2250x y C --=；的普通方程为，；（2） 【解析】（1）消参可得的普通方程为250x y --=； 又因为的参数方程为，可得， 又，所以， 所以的普通方程为，（2）由题意，设的平行直线为20x y c -+=， 联立消元可得：， 令，解得，又因为，经检验可知时直线与相切， 所以5min AB ==.二．直角坐标与极坐标的互化例2.在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l 的参数方程为（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin （θ+）. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求△MON 的面积.【答案】(1) 直线l 的普通方程为x ＋y －4＝0. 曲线C 的直角坐标方程是圆：(x －)2＋(y－1)2＝4. (2)4 【解析】(1)由题意有，()()12⨯+得，x ＋y ＝4，直线l 的普通方程为x ＋y －4＝0.因为ρ＝4sin 所以ρ＝2sinθ＋2cosθ，两边同时乘以得，ρ2＝2ρsin θ＋2ρcos θ，因为，所以x 2＋y 2＝2y ＋2x ，即(x －)2＋(y －1)2＝4， ∴曲线C 的直角坐标方程是圆：(x －)2＋(y －1)2＝4.(2)∵原点O 到直线l 的距离直线l 过圆C 的圆心(，1)，∴|MN |＝2r ＝4，所以△MON 的面积S ＝ |MN |×d ＝4. 练习1. 在极坐标系下，已知圆：cos sin ρθθ=+和直线：20x y -+=. （1）求圆的直角坐标方程（2）求圆上的点到直线的最短距离．【答案】（1）:220x y x y +--=；（2）【解析】（1）圆：cos sin ρθθ=+，即2cos sin ρρθρθ=+，圆的直角坐标方程为：，即220x y x y +--=；（2）由圆的直角坐标方程为220x y x y +--=可知 圆心坐标为，半径为， 因为圆心到直线的距离为， 因此圆上的点到直线的最短距离为.练习2. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标. 【答案】（1）：，：40x y +-=；（2），此时.【解析】（1）的普通方程为，的直角坐标方程为40x y +-=.（2）由题意，可设点的直角坐标为,sin )αα，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.三．直线参数方程的几何意义应用例3. 已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ-=，直线与曲线交于，两点.（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程； （2）已知，求的值.【答案】（1），4370x y --=；（2）.【解析】（1）因为直线的参数方程为（为参数）， 消去参数，可得直线的普通方程为4370x y --=， 因为曲线的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ-=，即22sin 4cos ρθρθ=，因为，所以曲线的直角坐标方程为.（2）将直线的参数方程（为参数）代入，得， 设，，则，， 所以12121212121111t t t t t t t t t P P t A B +-=+==+. 练习1. 已知直线l 的参数方程为(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2ρ2－ρ2cos 2θ＝12.若曲线C 的左焦点F 在直线l 上，且直线l 与曲线C 交于A ，B 两点. (1)求m 的值并写出曲线C 的直角坐标方程； (2)求的值. 【答案】(1)；(2)4.【解析】（1）已知曲线的标准方程为，则其左焦点为， 故，曲线的方程.（2）直线的参数方程为，与曲线的方程联立， 得2220t t ''--=，则，12FA FB t t ''+=-==，故.四．参数方程的灵活应用例4. 已知平面直角坐标系.以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，曲线的极坐标方程为2sin 1ρθ+=（1）写出点的直角坐标及曲线的普通方程；（2）若为上的动点，求中点到直线（为参数）距离的最小值.【答案】（1），22(4x y ++=；（2）.【解析】（1）x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ代入计算，362P x π===，＝， ∴点的直角坐标，由2sin 1ρθ+=，得221x y ++=， 即，所以曲线的直角坐标方程为（2）曲线的参数方程为（为参数），由（为参数），得直线的普通方程为270x y --=.设()2cos ,2sin Q θθ，则中点，那么点到直线的距离，()11d θϕ-+===，所以点到直线的最小距离为.练习1. 在平面直角坐标点xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρsinθ＝6.（1）A 为曲线C 1上的动点，点M 在线段OA 上，且满足|OM |•|OA |＝36，求点M 的轨迹C 2的直角坐标方程；（2）点E 的极坐标为（4，），点F 在曲线C 2上，求△OEF 面积的最大值 【答案】（1）x 2+（y ﹣3）2＝9（y ≠0）（2）【解析】（1）设点A （ρ1，θ），点M （ρ，θ），由于曲线C 1的极坐标方程为ρsinθ＝6，A 为曲线C 1上的动点，故，点M 在线段OA 上，且满足|OM |•|OA |＝36，所以，整理得点M 的轨迹C 2的直角坐标方程为x 2+（y ﹣3）2＝9（y ≠0）.（2）设F 点为（ρ0，α），（），则ρ0＝6sinα，|OF |＝ρ0，且（），或（），|OE |＝4， 所以12OEFSOE OF sin EOF ∠=⋅=123， 由于044ππαπ∈⋃（，）（，），故当α时，6OEF S=+的最大值练习2. 如图，在极坐标系中，曲线C 1是以C 1（4，0）为圆心的半圆，曲线C 2是以为圆心的圆，曲线C 1、C 2都过极点O ．（1）分别写出半圆C 1，C 2的极坐标方程；（2）直线l ：与曲线C 1，C 2分别交于M 、N 两点（异于极点O ），P 为C 2上的动点，求△PMN 面积的最大值．【答案】（1）802cos πρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭；() 0ρθθπ=≤≤；（2）． 【解析】（1）曲线C 1是以C 1（4，0）为圆心的半圆， 所以半圆的极坐标方程为802cos πρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，曲线C 2是以为圆心的圆，转换为极坐标方程为()0ρθθπ=≤≤． （2）由（1）得：|MN |＝|．显然当点P 到直线MN 的距离最大时，△PMN 的面积最大． 此时点P 为过C 2且与直线MN 垂直的直线与C 2的一个交点， 设PC 2与直线MN 垂直于点H ， 如图所示：在Rt △OHC 2中，|22|62HC OC sinπ==，所以点P 到直线MN 的最大距离d 22||22C HC r =+=+=，所以11122PMNS MN d =⨯⋅=⨯=五．极坐标的几何意义应用例5. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程是，曲线C 的参数方程是（φ为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）若是曲线C 上一点，是直线l 上一点，求的最大值. 【答案】（1）sin 2ρθ=；；（2）最大值为.【解析】（1）直线l 的方程是，转换为极坐标方程为sin 2ρθ=， 曲线C 的参数方程是（φ为参数），转换为直角坐标方程为， 将代入，得∴22224=cos 2si 41sin n θθρθ+=+，故. 所以曲线C 的极坐标方程为. （2）点是曲线C 上一点， 所以：，所以， 点是直线l 上一点， 所以，所以， ，当时，最大值为.练习1. ．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为2sin 104πρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭． （1）求曲线的直角坐标方程及直线的普通方程；（2）设直线与曲线交于，两点（点在点左边）与直线交于点．求和的值．【答案】（1）222210x y x y +--+=，3430x y +-=．（2），．【解析】（1）∵22sin 2cos 1ρρθρθ=--+，又∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴曲线的直角坐标方程为222210x y x y +--+= ∵（为参数），消去，得3430x y +-=． ∴直线的普通方程为3430x y +-=． （2）设点，，．∵曲线的极坐标方程为2sin 104πρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，将代入，210ρ-+=． ∴，．∵直线的极坐标方程为， ∴333cos4sin3044ππρρ+-=，解得．∴31||17AM ρρ=-=-，32||17BM ρρ=-=+． 练习2. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数)是曲线上的动点，点满足2OP OM =. （1）求点的轨迹方程；（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与曲线交于不同于原点的点求. 【答案】（1） ；（2）.【解析】（1）设,则由条件知.由于M 点在上, 所以即从而的参数方程为 .(2)曲线的极坐标方程为4sin ρθ=,曲线的极坐标方程为8sin ρθ=. 射线与的交点A 的极径为, 射线与的交点B 的极径为.所以21||AB ρρ=-=练习3. 已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线和曲线的极坐标系方程；（2）曲线分别交直线和曲线于，，求的最大值. 【答案】（1）cos sin 30ρθρθ+-=；（2）【解析】（1）由题可知直线的普通方程为30x y +-=， 直线的极坐标方程为cos sin 30ρθρθ+-=. 曲线的普通方程为， 因为，所以的极坐标方程为.（2）直线的极坐标方程为cos sin 30ρθρθ+-=，令，则3||cos sin OM ραα==+，所以3cos sin ||OM αα=+. 又||cos ON α=，所以3||sin 2cos )(tan 2)||ON OM αααϕϕ+=+=+=， 因为，则的最大值为.。