函数的零点与极值点
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函数的零点与极值点
摘要：函数的零点和极值点是高中数学研究函数时两个重要的概念，正确理解它们，可以帮助我们更好的研究函数问题。
关键词 零点 极值点 极值
函数的零点和极值点是高中数学研究函数时两个重要的概念，正确理解它们，可以帮助我们更好的研究函数问题。对于函数的零点，在《函数的零点和不动点》一文中，我有详细论述（本文不再赘述）。本文主要论述如何从函数极值的概念来理解函数的极值点以及函数的零点与极值点之间的关系。
1. 函数的极大值与极小值、极值点
1.1函数极值和极值点的一般定义
设函数()f x 在其定义域内某一点0x 附近总有定义。
如果对于0x 附近的所有点，都有0()()f x f x <，那么0()f x 是函数的一个极大值，记作；0=()y f x 极大值。点0x 叫做函数()f x 的极大值点。
如果对于0x 附近的所有点，都有0()()f x f x >，那么0()f x 是函数的一个极小值，记作；0=()y f x 极小值。点0x 叫做函数()f x 的极小值点。
函数的极大值和极小值统称为函数的极值，极大值点和极小值点统称为函数的极值点。
1.2对函数极值定义的理解
函数的极值反映了函数在其定义域内某一点附近的大小情况，刻
画的是函数的一个局部性质。
极值点不是一个点，而是函数定义域内的一个实数，是函数取极值时相应的一个自变量的值。
注意函数的极值和最值的区别。最值是考察函数在定义域内的函数值的一个有界性问题，是考察函数的整体性质，不是局部性质。利用求函数极值的方法有时可求出函数的最值。
2．可导函数的极值、极值点
2.1利用导函数可以研究函数的极值、极值点
设函数()f x 在其定义域内某一点0x 附近总有定义，并且处处可
导。
如果对于0x 附近的所有点，都有0()()f x f x <，且'0()0f x =，那么0()f x 是函数的一个极大值，记作；0=()y f x 极大值。而且在0x 附近的左侧
有'()0f x >，右侧有'()0f x <。
如果对于0x 附近的所有点，都有0()()f x f x >，且'0()0f x =，那么0()f x 是函数的一个极小值，记作；0=()y f x 极小值。而且在0x 附近的左侧
有'()0f x <，右侧有'()0f x >。
根据可导函数与其极值间的上述关系可知，函数曲线在其极值点处的切线斜率为0，而在其极大值点处左侧切线的斜率为正，右侧切线的斜率为负；在其极小值点处左侧切线的斜率为负，右侧切线的斜率为正。据此，我们可以对可导函数的极值概念作进一步的理解：函数()f x 在点0x 及其附近有定义，是指在点0x 处及其左右邻域有意义；
极值是一个局部概念，仅对定义域内的某一点左右两邻域而言；极值
点总是函数定义域的某个开区间内的点，而区间端点绝不是函数的极值点；连续函数在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能一个也没有，函数的极大值和极小值也没有必然的大小关系，即函数的一个极大值不一定大于函数的一个极小值，函数的极小值不一定比极大值小。
2.2可导函数的极值点与其导函数的零点的关系
可导函数的极值点是其导函数的异号零点，导函数的异号零点也是可导函数的极值点；导函数的同号零点是可导函数拐点，而可导函数的拐点未必是其导函数的同号零点。弄清可导函数的极值点、拐点与其导函数的零点之间的关系，便于研究函数一些相关的问题。注意，拐点是高中数学不作要求的，本文不再作进一步阐述。
同时，我们还应注意：导数为0的点未必是极值点。如函数3()f x x =在0x =处的导数为0，但它不是极值点。对于可导函数，极值点处的导数必为0，因此，对于可导函数，导数为0是点为极值点的必要而不充分条件。另外，函数的导数不存在的点也可能是极值点。如函数()f x x =在0x =处的导数不存在，但它是函数()f x x =的极小值点。
2.3求可导函数的极值与极值点的方法
根据可导函数的极值点和其导函数的零点之间的关系，我们可得求函数极值的方法。解方程'()0f x =，求'()0f x =的解，即函数'()f x 的零点。当'0()0f x =时，如果在0x 附近的左侧'()0f x >，右侧'()0f x <，
那么0()f x 是极大值；如果在附近的左侧'()0f x <，右侧'()0f x >，那么
0()f x 是极小值。
由此，我们可得求可导函数极值的步骤：确定可导函数的定义域；求可导函数的导函数；令导函数为零，求出导函数的全部零点；判断所求导函数的零点是否是异号零点；根据异号零点的情况再求出可导函数的极大（小）值。
总之，我们通过对函数的极值和极值点的分析和研究，弄清了与函数相关的概念，理清了思路，找准了关系，为我们更进一步的研究函数及其性质打下一个坚实的基础。
专题复习之--函数零点问题
专题复习之--函数零点问题 （一）零点所在区间问题（存在性，根的分布） 1.函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为（ ） A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，+∞) 变式：函数b x a x f x -+=)(的零点))(1,(0Z n n n x ∈+∈，其中常数b a ,满足 23,32==b a ， 则=n （ ） A. 0 B.1 C.2- D.1- 2.已知a 是实数，函数2 ()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，则a 的取值范围是____________． （二）零点个数问题（重点，常用数形结合） 3.函数()44f x x x = ++-的零点有 个. 4.讨论函数2()1f x x a =--的零点个数. 5.若存在区间[,]a b ,使函数[]()2(,)f x k x x a b =+ +∈的值域是[,]a b ,则实数k 的范围 是__________. 6. 已知偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =-,且当10<≤x 时，x x f =)(,则x x f lg )(=的零点个数是________. 7.（选作思考）函数f （x ）=234 20122013123420122013x x x x x x ??+-+-+-+ ?? ? cos2x 在区间[-3，3]上的零点的个数为_________.
（三）复合函数与分段函数零点问题（由里及外，画图分析） 8.已知函数???<≥=) 0()-(log )0(3)(3x x x x f x ，函数)()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的 零点，下列判断不正确．．． 的是（ ） A.若)(,41x g t =有一个零点 B.若)(,4 12-x g t <<有两个零点 C.若)(,2-x g t =有三个零点 D.若)(,2-x g t <有四个零点 变式一：设定义域为R 的函数1251,0()44,0 x x f x x x x -?-≥?=?++0)()-2(0) x x f x x x x ?=?-≤? 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为______. 变式三：已知函数(0)()lg()(0) x e x f x x x ?≥=?-0 B. b >-2且c <0 C. b <-2且c =0 D. b 2c=0≥-且
专题分段函数与函数零点答案
11. 已知函数f(x)＝???x ，x ≥0，x 2，x ＜0， 则关于x 的不等式f(x 2)＞f(3－2x)的解集是__________ 11. (－∞，－3)∪(1，3) 解析：x≤32 时原不等式化为x 2＞3－2x ，解得x ＜－3或1＜x≤32；x ＞32时原不等式化为x 2＞(3－2x)2，解得32 ＜x ＜3.综上x ＜－3或1＜x ＜3.本题考查分类讨论的思想，考查解不等式的能力．本题属于中等题． 11. 已知定义在实数集R 上的偶函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝－x ＋2，则不等式f(x)－x 2≥0的解集为________． 11. [－1，1] 解析：∵ f(x)≥x 2，而f(x)示意图如下： 令x 2＝－x ＋2，得x ＝1(x>0)，从而由图象知，原不等式解集为[－1，1]． 本考查了函数的综合运用，以及数形结合数学思想．本题属于中等题． 13. 已知奇函数f(x)是R 上的单调函数，若函数y ＝f(x 2)＋f(k －x)只有一个零点，则实数k 的值是__________． 13. 14 解析：不妨设f(x)＝x ，则x 2＋k －x ＝0只有一个解，从而1－4k ＝0，得k ＝14 . 12. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝－x 2－3x ，则不等式f(x －1)＞－x ＋4的解集是____________． 12. (4，＋∞) 解析：由题意得f(x)＝???－x 2－3x ，x ≤0，x 2－3x ，x>0， f(x －1)＝? ??－（x －1）2－3（x －1），x －1≤0，（x －1）2－3（x －1），x －1>0， 即f(x －1)＝? ??－x 2－x ＋2，x ≤1，x 2－5x ＋4，x>1， 所以不等式f(x －1)＞－x ＋4可化为???－x 2－x ＋2>－x ＋4，x ≤1， 或???x 2－5x ＋4>－x ＋4，x>1， 解得x ＞4. 11. 已知f(x)＝???x 2＋x （x≥0），－x 2＋x （x<0）， 则不等式f(x 2－x ＋1)<12的解集是________． 11. (－1，2) 解析：由函数图象知f(x)为R 上的增函数且f (3)
函数与函数的零点知识点总结
函数及函数的零点有关概念 函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域． 要点一：函数三要素及分段函数 (一)函数三要素 1.定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。 1.1求函数的定义域时从以下几个方面入手： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)指数为零底不可以等于零。 (6)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合即交集.(7)三角函数正切函数tan y x =中()2 x k k Z π π≠+ ∈. (8)实际问题或几何问题中的函数的定义域不仅要考虑使其解析式有意义,还要保证实际问题或几何问题有意义. (9)以上这些在题目中都没出现，则函数的定义域为R. 1.2复合函数定义域的求法： 复合函数：如果y=f(u)(u ∈M),u=g(x)(x ∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x ∈A) 称为f 、g 的复合函数。 (1)已知f(x)的定义域是[a,b],求f[g(x)]的定义域，是指满足()a g x b ≤≤的x 的取值范围； (2)已知f[g(x)]的定义域是[a,b],求f(x)的定义域，是指在[,]x a b ∈的条件下，求g(x)的值域； (3) 已知f[g(x)]的定义域是[a,b],求f[h(x)]的定义域，是指在[,]x a b ∈的条件下，求g(x)的值域,g(x)的值域就是h(x)的值域,再由h(x)的范围解出x 即可。 2).求函数的解析式的常用求法： 1、定义法； 2、换元法； 3、待定系数法； 4、函数方程法； 5、参数法； 6、配方法 3).值域 : 先考虑其定义域 3.1求函数值域的常用方法 1、图像法； 2、层层递进法； 3、分离常数法； 4、换元法； 5、单调性法； 6、判别式法； 7、有界性； 8、奇偶性法； 9、不等式法；10、几何法； 3.2分段函数的值域是各段的并集 3.3复合函数的值域
分段函数零点问题研究
分段函数零点问题研究
分段函数作业 1. 已知函数f(x)＝???（1－2a ）x ＋3a ，x<1，lnx ，x ≥1 的值域为R ，那么实数a 的取值范围是________． 2. 已知函数f(x)＝???（3a －1）x ＋4a ，x<1，log a x ，x ≥1在R 是单调函数，则实数a 的取值范围是______． 3. 已知函数f(x)＝???x ＋2，x ＞a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ， 若函数g(x)＝f(x)－2x 恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是________． 4. 已知函数f(x)＝? ??x 2，x ∈[0，＋∞），x 3＋a 2－3a ＋2，x ∈（－∞，0）在区间(－∞，＋∞)上是增函数，则常数a 的取值范围是________． 5. 已知函数f(x)＝? ????－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x>4，若函数y ＝f(x)在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 6. 已知函数f(x)＝?????（x －a ）2 ，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x>0，若f(0)是f(x)的最小值，则实数a 的取值范围为_____． 7. 已知函数f(x)＝???|x|，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x>m ， 其中m>0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f(x)＝b 有3个不同的根，则m 的取值范围是________． 8. 已知函数f(x)＝?????1x ＋1－3，x ∈（－1，0]，x ，x ∈（0，1]， 且g(x)＝f(x)－mx －m 在(－1，1]内有且仅有2个不同的零点，则实数m 的取值范围是________． 9. 已知函数f(x)＝???（2a －4）x ＋2a －3，x ≤t ，－x 2＋3x ，x>t ， 无论t 取何值，函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上总是不单调，则实数a 的取值范围是________． 10. 设函数f(x)＝???log 2??? ?－x 2，x ≤－1，－13x 2＋43x ＋23，x>－1， 若f(x)在区间[m ，4]上的值域为[－1，2]，则实数m 的取值范围为________．
函数与函数地零点知识点的总结
函数及函数的零点有关概念 函数的概念：设 A 、 B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f ，使对于集合A 中的任意一个数 x ，在 集合B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x) ， x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集 合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域． 要点一：函数三要素及分段函数(一)函数三要素 1.定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 1.1求函数的定义域时从以下几个方面入手：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5) 指数为零底不可以等于零。 (6)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的 集合即交集.(7)三角函数正切函数 tan y x 中()2 x k k Z . (8)实际问题或几何问题中的函数的定义域不仅要考虑使其解析式有意义,还要保证实际问题或几何问题有意义 . (9)以上这些在题目中都没出现，则函数的定义域为R. 1.2复合函数定义域的求法：复合函数：如果y=f(u)(u ∈M),u=g(x)(x ∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x ∈A) 称为f 、g 的复合函数。 (1) 已知f(x)的定义域是[a,b],求f[g(x)] 的定义域，是指满足 () a g x b 的x 的取值范围； (2)已知f[g(x)]的定义域是[a,b],求f(x)的定义域，是指在[,]x a b 的条件下，求g(x)的值域； (3) 已知f[g(x)] 的定义域是[a,b], 求f[h(x)] 的定义域，是指在[,]x a b 的条件下，求g(x)的值域,g(x)的值 域就是h(x)的值域,再由h(x)的范围解出x 即可。2).求函数的解析式的常用求法： 1、定义法； 2、换元法； 3、待定系数法； 4、函数方程法； 5、参数法； 6、配方法3).值域 : 先考虑其定义域3.1求函数值域的常用方法 1、图像法； 2、层层递进法； 3、分离常数法； 4、换元法； 5、单调性法； 6、判别式法； 7、有界性； 8、奇偶性法； 9、不等式法；10、几何法；3.2分段函数的值域是各段的并集3.3复合函数的值域
零点与分段函数综合应用完整版
零点与分段函数综合应用 1、零点：()()=0()f x f x f x x ??有零点有解图像与轴有交点。 2、求零点的主要方法：???? ?????? ?? 解方程图像法 重点零点存在性定理二分法 3、分段函数：???求值图像与零点的综合应用类型一：零点 1、求函数2()=-2f x x x 的零点个数？ 2、求函数(1)ln(1) ()= 3 x x f x x ---的零点个数？ ★3、（2012年高考（湖北文））函数 ()cos 2f x x x =在区间[0,2]π上的零点 个数为 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4、函数1 2 1 ()()2x f x x =-的零点个数为 5、已知()sin f x x π=，1 ()4 g x x =，求 ()()f x g x =的零点个数。 6、求函数()cos f x x x =-的零点个数 ★ 7、（12湖南）设定义在R 上的函数()f x 是最小正周期为2π的偶函数,()f x '是 ()f x 的导函数,当[]0,x π∈时,0()1f x <<; 当(0,)x π∈且2 x π ≠ 时 ,()()02 x f x π '->,则 函数()sin y f x x =-在[2,2]ππ-上的零点个数为 （ ） A ．2 B ．4 C ．5 D ．8 8、函数()23x f x x =+的零点所在的一个区 间是 Ａ．()2,1-- Ｂ．()1,0- Ｃ．()0,1 Ｄ．()1,2 9、函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是 Ａ．()2,1-- Ｂ．()1,0-Ｃ．()0,1 Ｄ．()1,2 ★10、函数32 ()ln 2x f x x =-的零点所在一个区间是 Ａ．()1,2 Ｂ．()2,3Ｃ．()3,4 Ｄ．()4,5 类型二：分段函数 1 、 设 1, ()0, 1, f x ???=??-??0(0)(0) x x x >=<, 1, ()0, g x ??=? ??
专题3---分段函数与函数零点答案
11. 已知函数f(x)＝? ????x ，x ≥0，x 2，x ＜0，则关于x 的不等式f(x 2)＞f(3－2x)的解集是__________ 11. (－∞，－3)∪(1，3) 解析：x ≤32 时原不等式化为x 2＞3－2x ，解得x ＜－3或1＜x ≤32；x ＞32时原不等式化为x 2＞(3－2x)2，解得32 ＜x ＜3.综上x ＜－3或1＜x ＜3.本题考查分类讨论的思想，考查解不等式的能力．本题属于中等题． 11. 已知定义在实数集R 上的偶函数f(x)，当x ≥0时，f(x)＝－x ＋2，则不等式f(x)－x 2≥0的解集为________． 11. [－1，1] 解析：∵ f(x)≥x 2，而f(x)示意图如下： 令x 2 ＝－x ＋2，得x ＝1(x>0)，从而由图象知，原不等式解集为[－1，1]． 本考查了函数的综合运用，以及数形结合数学思想．本题属于中等题． 13. 已知奇函数f(x)是R 上的单调函数，若函数y ＝f(x 2)＋f(k －x)只有一个零点，则实数k 的值是__________． 13. 14 解析：不妨设f(x)＝x ，则x 2＋k －x ＝0只有一个解，从而1－4k ＝0，得k ＝14 . 12. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，f(x)＝－x 2－3x ，则不等式f(x －1)＞－x ＋4的解集是____________． 12. (4，＋∞) 解析：由题意得f(x)＝? ????－x 2－3x ，x ≤0，x 2－3x ，x>0， f(x －1)＝?????－（x －1）2－3（x －1），x －1≤0，（x －1）2－3（x －1），x －1>0， 即f(x －1)＝?????－x 2－x ＋2，x ≤1，x 2－5x ＋4，x>1， 所以不等式f(x －1)＞－x ＋4可化为?????－x 2－x ＋2>－x ＋4，x ≤1， 或? ????x 2－5x ＋4>－x ＋4，x>1， 解得x ＞4.
副题01 分段函数与函数的图象(解析版)
2020届高考数学23题对对碰【二轮精品】 第一篇 副题1 分段函数与函数的图像 【副题考法】本热点考题类型为选择或填空题，考查分段函数的图象、性质及分段函数求值、函数的图象、分段函数求值、复合函数求值及利用图像性质研究函数的零点、方程的解，难度为容易题或中档题或选择填空题的压轴题，长为1-2个小题，每小题5分，共5到10分. 【主题考前回扣】 1.函数的图象 (1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换. (2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究. (3)函数图象的对称性 ①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称； ②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则y ＝f (x )的图象关于点(a ，0)对称. 2.函数图象的基本变换 (1)平移变换 y ＝f (x )――→h ＞0，右移 h <0，左移y ＝f (x －h )， y ＝f (x )――→k ＞0，上移 k <0，下移y ＝f (x )＋k . (2)伸缩变换 y ＝f (x )――→0<ω<1，伸 ω＞1，缩y ＝f (ωx )， y ＝f (x )――→0 微专题分段函数的零点问题 活动一：预习反馈导学 1.已知函数f (x )＝????? －x 2＋12x x ，x ＋x ， 若函数y ＝f (x )－kx 有3个零点，则实数k 的取值范围是________． 2.已知函数311,,()11,, x f x x x x ?>?=?-≤≤??若关于x 的方程()(1)f x k x =+有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 ▲ ． 3.【2014江苏，理13】已知错误！未找到引用源。是定义在错误！未找到引用源。上且周期为3的函数，当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，若函数错误！未找到引用源。在区间错误！未找到引用源。上有10个零点（互不相同），则实数错误！未找到引用源。的取值范围是 . 4.【2015高考江苏，13】已知函数错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，则方程错误！未找到引用源。实根的个数为 活动二. 合作提炼探究 例1.设函数f (x )＝????? x ，x ≤0，x 2－x ，x >0，若方程f (x )＝m 有三个不同的实根，则实数m 的取值范围为________． 变式 已知32,(),x x a f x x x a ?≤=?>?，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是___． 探究1：已知函数(),0 { 21,0lnx x f x x x >=+≤，若直线y ax =与()y f x =交于三个不同的点 ()(),A m f m ， ()(),B n f n ， ()(),C t f t （其中m n t <<），则12n m + +的取值范围是__________． 探究2： 已知k 为常数，函数()2,0{ 1 ,0 x x f x x lnx x +≤=->，若关于x 的方程()2f x kx =+有且只有4个不同解，则实数k 的取值集合为__________． 例2. 【2015高考天津，文8】已知函数错误！未找到引用源。,函数错误！未找到引用源。,则函数错误！未找到引用源。的零点的个数为________. 图像法完美解决“分段函数”零点问题-中学数学论文 图像法完美解决“分段函数”零点问题 南昌大学附属中学(330047)温伟明 函数是中学数学的重要内容，其中分段函数是一类特殊函数。它不仅体现了一般函数所具备的性质、方法、思想，更能有效地考查学生的阅读理解、分类讨论、发散思维、数形结合等多种能力，为学生更加灵活地运用数学知识去分析解决问题留下了一个可供探索、益于创新的思维空间。正是基于这一点，它在高考试题中由一个不起眼的考点迅速成为热点。 分析近几年的高考试题，分段函数不再拘于只对函数解析式的理解，会求解简单的函数值，而开始从图像单调性、对称性、最值、零点等多方面，多种形式考查学生的综合能力。而零点问题在2015年的高考试卷中尤为突出，下面将通过其中两个具体实例，来研究与探讨图像法在分段函数零点问题中的运用。 例1（2015年北京卷）设函数f(x)=2x－a,x1, 4(x－a)(x－2a),x≥1。 ①若a=1，则f(x)的最小值为； ②若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是。 分析：①若a=1，则分段函数各段范围和解析式已经确定，可以分别求出各段的值域，进而求出其最小值；②若f(x)恰有2个零点，则函数与x轴有两个交点，可利用其函数图像分别对两段上的零点进行分析，由于a不确定，所以需要对a 进行分类讨论。 解析：①当a=1时，函数f(x)=2x－1,x1, 4(x－1)(x－2),x≥1。 当x1时，－12x－11；当x≥1时，4(x－1)(x－2)≥－1, 所以f(x)最小值为－1。 ②（1）当a=0时，f(x)=2x,x1, 4x2,x≥1。由图像易知函数与x轴没有交点，故舍去； （2）当a0时，令h(x)=2x－a(x1)，∴0h(x)2－a，令g(x)=4(x－a)(x－2a)(x≥1)，顶点坐标(32a,－a2)，与x轴交于(a,0),(2a,0)，可以画出其大致图像，如图1，发现函数与x轴也无交点，故舍去； 图1 （3）当a0时，令h(x)=2x－a(x1)，∴－ah(x)2－a，当2－a0时，h(x)与x轴有1个交点，当2－a≤0时，h(x)与x轴无交点； 令g(x)=4(x－a)(x－2a)(x≥1)，与x轴交于(a,0),(2a,0)，当2a1时，g(x)与x轴无交点，当a1≤2a时，g(x)与x轴有1个交点，当a≥1时，g(x)与x轴有2个交点。所以，要使函数f(x)与x轴有2交点，如图所示两种情况： 图2图3 ⅰ)h(x)与x轴有1交点时，0a2；当g(x)与x轴有1交点时，12≤a1; ⅱ)当a≥2，h(x)与x轴无交点；g(x)与x轴有2交点。 综上所述，12≤a1或a≥2。 赏析：本题是分段函数的零点问题，参数出现在各段解析式中，需要分别对其讨论零点个数，即讨论与x轴的交点，而利用图像法能够很清晰直观的将各种情形展示出来。 例2（2015年天津卷）已知函数f(x)= 2－|x|,x≤2, 复习专题1—分段函数专题 不务正业收集、整理、点评 知识点梳理 一、定义：分段函数是指自变量在不同范围内，有不同对应法则的函数。 二、注意: １、分段函数是一个函数,而不是几个函数； 2、分段函数的定义域是自变量各段取值的并集; ３、分段函数的值域是各段函数值的并集。 4、解决分段函数的方法：先分后合 三、涉及的内容及相应的常用方法: １、求解析式: 利用分段中递推关系,如平移、周期、对称关系,已知其中一段的解析式,得到整个定义域的解析式； ２、求值、解不等式：注意只有自变量在相应的区间段才可以代入对应的解析式。不能确定时常需要分情况讨论; 3、单调性： 各段单调(如递增）+连接处不等关系。 （如()()() 12,(,],[,)f x x a f x f x x a ∈-∞??=?∈+∞??在Ｒ上是增函数，则()()()() 1212(,)[,)f x a f x a f a f a ?-∞↑ ??+∞↑??≤??①在上②在上③）； 4、奇偶性： 分段讨论，各段均符合相同的定义中的恒等式,才有奇偶性，否则为非奇非偶函数; 5、图像性质或变换等: 作图、赋值等，注意变量的范围限制； 6、最值： 求各段的最值或者上下界再进行比较； 7、图像： 分类讨论，如零点分段法得到各段解析式再作图； 例题讲解： 题型一、分段函数的图像。 １．作出函数()1y x x =+的图象 2. 函数ln |1|x y e x =--的图象大致是 （ D ) 题型二、分段函数的奇偶性 1、判断函数(1)(0), ()(1) (0).x x x f x x x x -?的奇偶性 2、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,且当2 0,()2 3.x f x x x >=-+时求f(ｘ)的解析式。 题型三、分段函数的最值 1、（2005上海高考题)对定义域分别是 ,f g D D 的函数(),()y f x y g x ==.规定： 函数()(),,()(),(), f g f g g f f x g x x x h x f x x x g x x x D D D D D D ?∈∈?? =∈??? ∈???当且当且当且 (I ）若函数21 (),()1 f x g x x x = =-，写出函数()h x 的解析式； (II)求问题（I ）中函数()h x 的值域; 题型四、与分段函数有关的不等式与方程 1、已知1(0)()1(0)x f x x ≥?=?- 专题10 分段函数的研究 一、题型选讲 题型一、含义抽象函数的求值问题 含有抽象函数的分段函数，在处理里首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响） 例1、(2019南京三模）若函数f (x )＝???2x ， x ≤0 f (x －2)，x ＞0 ，则f (log 23)＝ ． 例2：设函数()( )cos ,0 11,0x x f x f x x π>?=?+-≤?，则 103f ?? - ??? 的值为_________ 题型二 与分段函数有关的方程或不等式 含分段函数的不等式在处理上通常是两种方法：一种是利用代数手段，通过对x 进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解。另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图像的特点解不等式 例3、(2019苏锡常镇调研）. 已知函数f(x)＝? ?? ??log 2（3－x ）， x ≤0， 2x －1，x>0， 若f(a －1)＝1 2，则实数a ＝________． 例4、(2019苏北四市、苏中三市三调） 已知函数2220()20x x x f x x x x ?-=?---的解集 为 ． 题型三、分段函数的值域 分段函数的定义域与值域——各段的并集 例5、（2016苏州期末）函数f (x )＝??? 2x ， x ≤0， －x 2＋1， x >0 的值域为________． 例6、(2018无锡期末） 已知函数f(x)＝??? x 2＋2x －1 x 2，x ≤－12， log 12???? 1＋x 2， x>－12 ， g(x)＝－x 2－2x －2.若存在a ∈R ，使得 f (a )＋ g (b )＝0，则实数b 的取值范围是________． 题型四 分段函数的单调性 分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。 —x 2— 3x ，x < 0， x 2— 3x ，x>0， x , x > 0, 11. 已知函数f(x) = 2 ________________________________________________________ 0贝V 关于x 的不等式f(x 2)>f (3 — 2x)的解集是 ___________________________________________ x , x < 0 , 3 11. (— g,— 3) U (1, 3)解析：x w 2时原不等式化为 x 2> 3— 2x ,解得x v — 3或1 v x < 3; x >I 时原不等式化为 x 2> (3 — 2x)2，解得| v x v 3综上x v — 3或1v x v 3?本题考查 分类讨论的思想，考查解不等式的能力?本题属于中等题. 11. 已知定义在实数集 R 上的偶函数f(x)，当x > 0时，f(x) =— x + 2,则不等式f(x) — x 2> 0 的解集为 _________ ? 11. [ — 1， 1]解析：■/ f(x) > x 2，而 f(x)示意图如下： 令x 2= — x + 2，得x = 1(x>0)，从而由图象知，原不等式解集为 [—1，1] ? 本考查了函数的综合运用，以及数形结合数学思想?本题属于中等题. 13.已知奇函数f(x)是R 上的单调函数，若函数 y = f(x 2) + f(k — x)只有一个零点，则实 数k 的值是 ___________ ? 1 1 13. 解析：不妨设f(x) = x ，则x 2+ k — x = 0只有一个解，从而1 — 4k = 0，得k =-, 4 4 12. 已知函数f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 当 x < 0时，f(x) =— x 2— 3x ，则不等式 f(x — 1)>— x + 4 的解集是 ____________ ? 12. (4，+^ )解析: 由题意得 f(x)= 求分段函数的值域，最值，单调区间，零点的常用方法 梁关化，2015，11，17 分段函数在高考中常常是以小题出现，但有时却是小题中的难题。如今年北京，天津就是把它作为小题中的难题出。分段函数是一个函数，只是自变量取值不同时对应法则不同而已，但它又可以看成若干个函数组成的一个整体。故它的值域是若干个函数值域的并集，最值是由它们的最值比较而定，单调区间，零点也是它们综合起来而定。解题时，一般是先分段求解，再综合整理。其中常常用到数形结合，分类讨论等数学思想，零点问题常与方程结合，单调区间，最值，必要时还需要用导数解决。下面看题。 1、（2015年北京理科卷） 设函数()()()2142 1.x a x f x x a x a x ?- 有三个零点） ② 1） 数形结合法： 若()f x 恰有2个零点，其图象如下： 由图象得 1 12 a ≤<或2a ≥。 2）分段分析方程法： 当0a ≤时，两方程（()()2(1)4201)x a x x a x a x -<--==0, (≥）都无解：当1 02 a <<时，方程2(1)x a x -<=0有一解，而方程()()4201)x a x a x --=(≥无解；当 1 12 a ≤<时，方程2(1)x a x -<=0有一解，而方程()()4201)x a x a x --=(≥也有一解；当12a ≤<时， 分段函数的零点问题 典例剖析 例题1.已知函数,0()1ln ,0 k x f x x x x ?≤?=-??>?，若关于x 的函数(())y f f x =有且只有一个零点，则实数k 的取值范围 . 【变式】已知函数2,0,()1,0,x k x f x x x -+ 例题3. 已知函数11,2(),1(2),22 x x f x f x x ?--?，若函数2()[()](1)()()g x f x a f x a a R =-++∈恰有5个不同零点，则实数a 的取值范围 . 2. 已知函数2221,01()2,1 x mx x f x mx x ?+-≤≤=?+>?，若函数()f x 在区间[0,)+∞上有且只有2个零点， 则实数m 的取值范围 . 分段函数的零点问题 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020. 分段函数的零点问题 典例剖析 例题1.已知函数,0()1ln ,0 k x f x x x x ?≤?=-??>?，若关于x 的函数(())y f f x =有且只有一个零点，则实数k 的取值范围 . 【变式】已知函数2,0, ()1,0,x k x f x x x -+ 例题3. 已知函数11,2(),1(2),22 x x f x f x x ?--?，若函数2()[()](1)()()g x f x a f x a a R =-++∈恰有5个不 同零点，则实数a 的取值范围 . 2. 已知函数2221,01()2,1 x mx x f x mx x ?+-≤≤=?+>?，若函数()f x 在区间[0,)+∞上有且只有2个零点， 则实数m 的取值范围 . 分段函数的零点问题典例剖析 例题1.已知函数,0()1ln ,0 k x f x x x x ?≤?=-??>?，若关于x 的函数(())y f f x =有且只有一个零点，则实数k 的取值范围. 【变式】已知函数2,0,()1,0, x k x f x x x -+?，若函数2()[()](1)()()g x f x a f x a a R =-++∈恰有5个不同零点，则实 数a 的取值范围. 2.已知函数2221,01()2,1 x mx x f x mx x ?+-≤≤=?+>?，若函数()f x 在区间[0,)+∞上有且只有2个零点， 则实数m 的取值范围. 3.已知函数2,0()ln ,0x e x f x x x ?-≤=?>? ，则函数[()1]1(0)y f f kx k =++≠的零点数. 第一篇 副题1 分段函数与函数的图像 【副题考法】本热点考题类型为选择或填空题，考查分段函数的图象、性质及分段函数求值、函数的图象、分段函数求值、复合函数求值及利用图像性质研究函数的零点、方程的解，难度为容易题或中档题或选择填空题的压轴题，长为1-2个小题，每小题5分，共5到10分. 【主题考前回扣】 1.函数的图象 (1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换. (2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究. (3)函数图象的对称性 ①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称； ②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则y ＝f (x )的图象关于点(a ，0)对称. 2.函数图象的基本变换 (1)平移变换 y ＝f (x )――→h ＞0，右移 h <0，左移y ＝f (x －h )， y ＝f (x )――→k ＞0，上移 k <0，下移y ＝f (x )＋k . (2)伸缩变换 y ＝f (x )――→0<ω<1，伸 ω＞1，缩y ＝f (ωx )， y ＝f (x )――→0 经典分段函数专题 高考真题 类型一：与周期有关 类型二：与单调性有关 类型三：奇偶性有关 类型四：与零点和交点问题有关 类型五;与求导和函数性质有关 类型六：数形结合 高考真题 2010 11、已知函数21,0 ()1,0x x f x x ?+≥=?的x 的范围是_____。 【解析】考查分段函数的单调性。2212(1)10x x x x ?->??∈-?->?? 2011 11、（分类方程求解）已知实数0≠a ，函数???≥--<+=1 ,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为________ 解析：30,2212,2a a a a a a >-+=---=-，30,1222,4 a a a a a a <-+-=++=- 2012 10．（方程组求解）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，0111()201 x x ax f x bx x <+-??=+??+?≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ????= ? ????? ，则3a b +的值为 ▲ ． 【解析】因为2T =，所以(1)(1)f f -=，求得20a b +=. 由1 3()()22f f =，2T =得11()()22 f f =-，解得322a b +=-. 联立20322a b a b +=??+=-?，解得24 a b =??=-? 所以310a b +=-. 2013 11．（分区间二次不等式求解）已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。当0>x 时， x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)( 的解集用区间表示为 ． 【答案】(﹣5，0) ∪(5，﹢∞) 【解析】做出x x x f 4)(2-= (0>x )的图像，如下图所示。由于)(x f 是定义在R 上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x ＜0的图像。不等式x x f >)(，表示函数y ＝)(x f 的图像在y ＝x 的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)。 2014 13. （周期函数+数形结合求范围）已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数,当)3,0[∈x 时,|2 12|)(2+-=x x x f .若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是 ▲ . 【答案】1 (0,)2 【解析】作出函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的图象，可见1(0)2 f =，当1x =时，1()2f x =极大，7(3)2 f =，方程()0f x a -=在[3,4]x ∈-上有10个零点，即函数()y f x =和图象与直线y a =在[3,4]-上有10个交点，由于函数()f x 的周期为3，因此直线y a =与函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的应该是4个交点，则有1(0,)2 a ∈．微专题分段函数及零点问题1
图像法完美解决“分段函数”零点问题
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2020年高考数学三轮题型突破 1 选择题突破 题型04 副题01 分段函数与函数的图象(教师版含解析)
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