复习专题1--分段函数

复习专题1—分段函数专题不务正业收集、整理、点评知识点梳理一、定义：分段函数是指自变量在不同范围内，有不同对应法则的函数。

二、注意:１、分段函数是一个函数,而不是几个函数； 2、分段函数的定义域是自变量各段取值的并集; ３、分段函数的值域是各段函数值的并集。

4、解决分段函数的方法：先分后合三、涉及的内容及相应的常用方法:１、求解析式: 利用分段中递推关系,如平移、周期、对称关系,已知其中一段的解析式,得到整个定义域的解析式； ２、求值、解不等式：注意只有自变量在相应的区间段才可以代入对应的解析式。

不能确定时常需要分情况讨论; 3、单调性： 各段单调(如递增）+连接处不等关系。

（如()()()12,(,],[,)f x x a f x f x x a ∈-∞⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩在Ｒ上是增函数，则()()()()1212(,)[,)f x a f x a f a f a ⎧-∞↑⎪⎪+∞↑⎨⎪≤⎪⎩①在上②在上③）；4、奇偶性： 分段讨论，各段均符合相同的定义中的恒等式,才有奇偶性，否则为非奇非偶函数;5、图像性质或变换等: 作图、赋值等，注意变量的范围限制；6、最值： 求各段的最值或者上下界再进行比较；7、图像： 分类讨论，如零点分段法得到各段解析式再作图；例题讲解：题型一、分段函数的图像。

１．作出函数()1y x x =+的图象 2. 函数ln |1|xy ex =--的图象大致是（ D )题型二、分段函数的奇偶性 1、判断函数(1)(0),()(1)(0).x x x f x x x x -<⎧=⎨+>⎩的奇偶性2、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,且当20,()2 3.x f x x x>=-+时求f(ｘ)的解析式。

题型三、分段函数的最值1、（2005上海高考题)对定义域分别是,fgD D的函数(),()y f x y g x ==.规定：函数()(),,()(),(),f gf g g f f x g x x x h x f x x x g x x x D D D D D D ⎧∈∈⎪⎪=∈∉⎨⎪∈∉⎪⎩当且当且当且(I ）若函数21(),()1f xg x x x ==-，写出函数()h x 的解析式； (II)求问题（I ）中函数()h x 的值域;题型四、与分段函数有关的不等式与方程1、已知1(0)()1(0)x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ ,则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集是________2、(2０11年高考北京卷理科13)已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩若关于ｘ 的方程f(x)=k 有两个不同的实根,则数k 的取值范围是______＿3、(2011年高考陕西卷理科１1)设20lg ,0()3,0a x x f x x t dt x >⎧=⎨+⎰≤⎩,若((1))1f f =,则a =题型五、分段函数创新题1、定义运算⎩⎨⎧>≤=*)()(y x yy x xy x ,若,11-=*-m m m 则m 的取值范围是（ )Ａ.21≥m B. 1≥m Ｃ. 21<m Ｄ. 0>m 2、(2011年高考天津卷理科8)对实数a 与b ，定义新运算“⊗”:,1,, 1.a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩ 设函数()()22()2,.f x x x x x R =-⊗-∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点,则实数c 的取值范围是( ）A ．(]3,21,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭B ．(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃-- ⎪⎝⎭ C.11,,44⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. 总结：１、分段函数是高考的一个热点，它可以考查函数的很多重要知识，如求值、作图、解方程、求解析式、求周期和最值、函数的定义域、单调性、奇偶性等。

2、解分段函数的问题时，关键的是根据自变量的分段情况选择相应解析式。

３、解不等式或求范围时应根据自变量的分段情况，转化为若干个不等式(组)求解，然后取这些不等式（组)解集的并集。

４、研究分段函数的最值问题时,应先分段进行，再整体进行判断。

课后作业：1、设f(x)= 1232,2,log (1),2,x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩ 则不等式ｆ（ｘ)>2的解集为 (Ａ)（1，２）⋃(3，+∞）(B ）(10,+∞)(C)(1，２）⋃ （10 ，+∞)(D)（1，２）２、已知(3)4,1()log ,1aa x a x f x x x --⎧=⎨≥⎩＜，是(-∞，＋∞)上的增函数，那么a 的取值范围是( )（A ）(1，+∞)ﻩ(B ）(-∞,3) (Ｃ)[53,３） ﻩﻩ (D ）(１,３) 3、4、设定义为Ｒ的函数lg 1,1,()0,1.x x f x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩则关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有7个不同的实数解的充要条件是 ( )311,,44⎛⎫⎡⎫--⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭Ａ. 0b <且0c > B. 0b >且0c < C ． 0b <且0c = D. 0b ≥且0c =5、定义在R 上的函数)(x f 满足⎩⎨⎧>---≤-=,0),2()1(,0),1(log )(2x x f x f x x x f 则)2009(f 的值为（ ）A.-1 B ．0 C ．1 D ．2 6、７、求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩的最大值８、（2011年高考湖北卷理科17）（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下，大桥上的车流速度ｖ（单位:千米/小时）是车流密度x （单位:辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞,此时车速度为0；当车流密度不超过20辆／千米时，车流速度为60千米,/小时，研究表明：当20200x ≤≤时，车流速度ｖ是车流密度x 的一次函数.(Ⅰ）当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；(Ⅱ)当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位:辆/小时)()()f x x v x =可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）A参考答案：题型一、分段函数的图像。

1.作出函数()1y x x =+的图象分析:原函数可化为:(1),0(1),0{x x x x x x y +≥-+<=２． 函数ln |1|xy ex =--的图象大致是( D )分析:原函数可化为：1,[1,)11,(0,1){x x x xy ∈+∞+-∈=，很明显,在[1,)x ∈+∞时，图像是一条平等于ｘ轴的射线,当(0,1)x ∈时,是一个对勾函数的形状。

所以选D 。

题型二、分段函数的奇偶性 １、判断函数(1)(0),()(1)(0).x x x f x x x x -<⎧=⎨+>⎩的奇偶性分析:设0x <,则0x ->，则()()[1()](1)()f x x x x x f x -=-+-=--=-,所以函数为奇函数。

(注意：f(0)并不存在,如果存在,一定有f(０)=0)２、已知函数)(x f 是定义在Ｒ上的奇函数,且当20,()2 3.x f x x x>=-+时求f(x)的解析式.分析：设0x <,则0x ->。

22()()2()323f x x x x x -=---+=++又)(x f 是定义在Ｒ上的奇函数,所以()()f x f x -=-，所以有:22x 23,023,0(){x x x x x f x ---<++>=所以:22x 23,023,0(){x x x x x f x ---<++>=题型三、分段函数的最值１、(2００5上海高考题)对定义域分别是,fgD D的函数(),()y f x y g x ==．规定：函数()(),,()(),(),f gf g g f f x g x x x h x f x x x g x x x D D D D D D ⎧∈∈⎪⎪=∈∉⎨⎪∈∉⎪⎩当且当且当且（I)若函数21(),()1f xg x x x ==-，写出函数()h x 的解析式; （I Ｉ)求问题（I)中函数()h x 的值域;本题好像有点问题。

题型四、与分段函数有关的不等式与方程 1、已知1(0)()1(0)x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ ，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集是＿＿__＿___2、(2011年高考北京卷理科13）已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩若关于ｘ 的方程f(x)=k 有两个不同的实根，则数ｋ的取值范围是__＿_＿__ 【答案】（0,1）【解析】画出函数图象与直线y ＝k ，观察,可得结果,考查了函数与方程、数形结合的数学思想． 3、（2011年高考陕西卷理科1１)设20lg ,0()3,0a x x f x x t dx x >⎧=⎨+⎰≤⎩，若((1))1f f =,则a = 【答案】1【解析】((1))(lg1)(0)f f f f ==2330003|a a t dt t a =+⎰==11a =⇒=A ．ａ<0ﻩ Ｂ.0≤a<1ﻩ ﻩ C ．ａ=１ﻩ D.ａ>1题型五、分段函数创新题 1、定义运算⎩⎨⎧>≤=*)()(y x yy x x y x ,若,11-=*-m m m 则m 的取值范围是（A )A ．21≥m B. 1≥m Ｃ. 21<m D. 0>m ２、(2011年高考天津卷理科8)对实数a 与b ,定义新运算“⊗”:,1,, 1.a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩ 设函数()()22()2,.f x x x x x R =-⊗-∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点,则实数c 的取值范围是（ ）Ａ.(]3,21,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭ B.(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃-- ⎪⎝⎭C.11,,44⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Ｄ.【答案】Ｂ【解析】由题意知,若222()1x x x ---≤,即312x -≤≤时， 2()2f x x =-;当222()1x x x --->，即1x <-或32x >时, 2()f x x x =-,要使函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点,只须方程()0f x c -=有两个不相等的实数根即可,即函数()y f x =的图像与直线y c =有两个不同的交点即可,画出函数()y f x =的图像与直线y c =,不难得出答案B.总结:1、分段函数是高考的一个热点，它可以考查函数的很多重要知识，如求值、作图、解方程、求解析式、求周期和最值、函数的定义域、单调性、奇偶性等。