☆经典分段函数专题

经典分段函数专题

高考真题

类型一：与周期有关 类型二：与单调性有关 类型三：奇偶性有关

类型四：与零点和交点问题有关 类型五;与求导和函数性质有关 类型六：数形结合

高考真题

2010

11、已知函数21,0()1,

x x f x x ⎧+≥=⎨

<⎩,则满足不等式

2(1)(2)f x f x ->的x 的范围是_____。

【解析】考查分段函数的单调性。2

2

12(1)10x x x x ⎧->⎪⇒∈-⎨->⎪⎩

2011

11、（分类方程求解）已知实数0≠a ，函数⎩⎨

⎧≥--<+=1

,21

,2)(x a x x a x x f ，若

)1()1(a f a f +=-，则a 的值为________

解析：30,2212,2a a a a a a >-+=---=-，3

0,1222,4

a a a a a a <-+-=++=- 2012

10．（方程组求解）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，

0111()201

x x ax f x bx x <+-⎧⎪

=+⎨⎪+⎩≤≤≤，

，，，其中a b ∈R ，．若

1322f f ⎛⎫⎛⎫

= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，则3a b +的值为 ▲ ．

【解析】因为2T =，所以(1)(1)f f -=，求得20a b +=.

由13()()22f f =，2T =得11()()22

f f =-，解得322a b +=-.

联立20322a b a b +=⎧⎨

+=-⎩，解得2

4

a b =⎧⎨=-⎩

所以310a b +=-. 2013

11．（分区间二次不等式求解）已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。当0>x 时，

x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)( 的解集用区间表示为 ．

【答案】(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)

【解析】做出x x x f 4)(2

-= (0>x )的图像，如下图所示。由于)(x f 是定义在R 上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x ＜0的图像。不等式x x f >)(，表示函数y ＝)(x f 的图像在y ＝x 的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)。 2014

13. （周期函数+数形结合求范围）已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数,当)3,0[∈x 时,|2

1

2|)(2+

-=x x x f .若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是 ▲ . 【答案】1(0,)2

【解析】作出函数2

1()2,[0,3)2f x x x x =-+

∈的图象，可见1

(0)2

f =，当1x =时，1()2f x =

极大，7

(3)2

f =，方程()0f x a -=在[3,4]x ∈-上有10个零点，即函数()y f x =和图象与直线y a =在[3,4]-上有10个交点，由于函数()f x 的周期为3，因此直线y a =与

函数2

1()2,[0,3)2f x x x x =-+

∈的应该是4个交点，则有1

(0,)2

a ∈．

2015

13.（绝对值分类讨论+数形结合求根个数）已知函数|ln |)(x x f =，

⎩

⎨⎧>--≤<=1,2|4|1

0,0)(2

x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 利用数形结合法将方程根的个数转化为对应函数零点个数，而函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数．这时函数图像是解题关键，不仅要研究其走势（单调性，极值点、渐近线等），而且要明确其变化速度快慢. 2016

11.（方程求解）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)1,1-上(),10,2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩

其中a ∈R ，若5922f f ⎛⎫

⎛⎫

-=

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，则()5f a 的值是 ． 【答案】2

5

-；

【解析】由题意得511222f f a ⎛⎫

⎛⎫

-=

-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭

，

9121

1225210

f f ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由5922f f ⎛⎫⎛⎫

-=

⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭

可得11210a -+=，则35a =，

则()()()325311155

f a f f a ==-=-+=-+

=- 2017年

14．设()f x 是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪

=⎨∉⎪⎩

其中集合

1

{n D x x n

-==

，*}n ∈N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ ． 【答案】8

【解析】由于()[0,1)f x ∈，则需考虑110x ≤<的情况，

在此范围内，x ∈Q 且x D ∈时，设*,,,2q

x p q p p

=

∈≥N ，且,p q 互质， 若lg x ∈Q ，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2n

x m n m m

=

∈≥N ，且,m n 互质， 因此10

n m

q p

=

，则10()n

m q p =，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，

因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等，

只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点，

画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分，

且1x =处11(lg )1ln10ln10

x x '=

=<，则在1x =附近仅有一个交点，

因此方程()lg 0f x x -=的解的个数为8． 【考点】函数与方程

【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 类型一：与周期有关

1.（拟周期分段函数）设函数⎪⎩⎪

⎨⎧>-<--=,2),2(2

1;2|,1|1)(x x f x x x f 则方程01)(=-x xf 的根的个数有

个。6

2.已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

e x ，x ≤1，

f (x －1)，x >1，

g (x )＝kx ＋1，若方程f (x )－g (x )＝0有两个不同的实根，

则实数k 的取值范围是________.