几何概型

几何概型

最新考纲 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；2.了解几何概型的意义.

知识梳理

1.几何概型的定义

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.

2.几何概型的两个基本特点

(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；

(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性.

3.几何概型的概率公式

P(A)＝

构成事件A的区域长度（面积或体积）

试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）

.

基础自测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( )

(2)从区间[1，10]内任取一个数，取到1的概率是1

10

.( )

(3)概率为0的事件一定是不可能事件.( )

(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.( )

答案(1)√(2)×(3)×(4)√

2.(必修3P140练习1改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )

解析 如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝1

3，所以P (A )＞P (C )＝P (D )＞P (B ). 答案 A

3.(必修3P146B4改编)如图，正方形的边长为2，向正方形ABCD 内随机投掷200个点，有30个点落入图形M 中，则图形M 的面积的估计值为____________.

解析 由题意可得正方形面积为4，设不规则图形的面积为S ，由几何概型概率

公式可得S 4＝30200，∴S ＝0.6.

答案 0.6

4.(2016·全国Ⅱ卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( ) A.710

B.58

C.38

D.310

解析 至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝5

8

. 答案 B

5.(2018·深圳模拟)一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( ) A.1

8

B.16

C.127

D.38

解析 由题意知小蜜蜂的安全飞行范围为以这个正方体的中心为中心，且棱长为1的小正方体内.

这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为27，故安全飞行的概率为p ＝1

27.

答案 C

6.(2018·全国Ⅰ卷)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边

AB ，AC .△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( )

A.p 1＝p 2

B.p 1＝p 3

C.p 2＝p 3

D.p 1＝p 2＋p 3

解析 不妨设△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝AC ＝2，则BC ＝22，所以区域Ⅰ的面积即△ABC 的面积，为S 1＝12×2×2＝2，区域Ⅲ的面积S 3＝π×（2）2

2－S 1

＝π－2.区域Ⅱ的面积为S 2＝π·? ????

222

－S 3＝2.根据几何概型的概率计算公式，

得p 1＝p 2＝2π＋2，p 3＝π－2

π＋2，所以p 1≠p 3，p 2≠p 3，p 1≠p 2＋p 3.

答案 A

考点一 与长度(角度)有关的几何概型

【例1】 (1)(2019·孝感期末)在区间[－1，4]内任取一个实数a ，使得关于x 的方程x 2＋2＝a 有实数根的概率为( ) A.2

3

B.25

C.35

D.34

(2)如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ︵

，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为

________.

解析 (1)若方程x 2＋2＝a 有实根，可知a －2≥0，即a ≥2，那么p ＝4－24－（－1）＝2

5

.

(2)连接AC ，如图所示tan∠CAB ＝

CB AB ＝13＝33

，所以∠CAB ＝π

6，满足条件的事件是直线AP 在∠CAB 内且AP 与BC 相交时，即直线AP 与线段BC 有公共点，所以所求事件的概率p ＝∠CAB ∠DAB ＝π

6π

2

＝1

3

.

答案 (1)B (2)1

3

规律方法 1.解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置.

2.(1)第(2)题易出现“以线段BD 为测度”计算几何概型的概率，导致错求p ＝12

. (2)当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率.事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比.

【训练1】(1)(2016·全国Ⅰ卷)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )

A.1

3

B.

1

2

C.

2

3

D.

3

4

(2)如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在π

6

角的终边上，任作一条射线

OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________.

解析(1)如图所示，画出时间轴：

小明到达的时间会随机的落在图中线段AB上，而当他的到达时间落在线段AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率p＝

10＋10 40＝

1

2

.

(2)因为射线OA在坐标系是等可能分布的，所以OA落在∠yOT内的概率为p＝

π2－π

6

2π＝

1

6

.

答案(1)B (2)1

6

考点二与面积有关的几何概型多维探究

角度1 与平面图形面积有关的问题

【例2－1】(1)(2019·烟台诊断)七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )

A.14

B.18

C.38

D.316

(2)(2018·黄冈、黄石联考)若张三每天的工作时间在6小时至9小时之间随机均匀分布，则张三连续两天平均工作时间不少于7小时的概率是( ) A.29

B.13

C.23

D.79

解析 (1)不妨设小正方形的边长为1，则两个小等腰直角三角形的边长分别为1，1，2，两个大等腰直角三角形的边长为2，2，22，即最大正方形的边长为22，则较大等腰直角三角形的边长分别为2，2，2， 故所求概率p ＝1－12×2×2＋1×1×2＋1

2×22×228＝1

8

.

(2)设第一天工作的时间为x 小时，第二天工作的时间为y 小时，则??

?6≤x ≤9，

6≤y ≤9，因为连续两天平均工作时间不少于7小时，所以

x ＋y 2

≥7，即x ＋y ≥14，

???6≤x ≤9，6≤y ≤9

表示的区域面积为9，其中满足x ＋y ≥14的区域面积为9－12×2×2

＝7，∴张三连续两天平均工作时间不少于7小时的概率是7

9

.

答案 (1)B (2)D

角度2 与线性规划有关的问题

【例2－2】 (2019·福州期末)关于x ，y 的不等式组???x ≤4，

y ≥2，x －y ＋2≥0

所表示的平面

区域记为M ，不等式(x －4)2＋(y －3)2≤1所表示的平面区域记为N ，若在M 内随机取一点，则该点取自N 的概率为( ) A.π16

B.π8

C.14

D.12

解析

关于实数x ，y 的不等式组???x ≤4，

y ≥2，x －y ＋2≥0

所表示的平面区域记为M ，面积为

1

2

×4×4＝8，不等式(x －4)2＋(y －3)2≤1所表示的区域记为N ，且满足不等式组???

x ≤4，

y ≥2，x －y ＋2≥0

的面积为1

2π，所以在M 内随机取一点，则该点取自N 的概率为

12π8

＝π16. 答案 A

规律方法 (1)几何概型与平面几何的交汇问题：要利用平面几何的相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率；

(2)几何概型与线性规划的交汇问题：先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率.

【训练2】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(

)

A.14

B.

π8 C.12

D.

π4

(2)(2018·石家庄调研)在满足不等式组???x －y ＋1≥0，

x ＋y －3≤0，y ≥0

的平面内随机取一点

M (x 0，y 0)，设事件A ＝“y 0＜2x 0”，那么事件A 发生的概率是( ) A.14

B.34

C.13

D.23

解析 (1)设正方形的边长为2，则面积S 正方形＝4. 又正方形内切圆的面积S ＝π×12＝π. 所以根据对称性，黑色部分的面积S 黑＝

π2. 由几何概型的概率公式，概率p ＝

S 黑S 正方形

＝

π8

. (2)作出不等式组???x －y ＋1≥0，

x ＋y －3≤0，y ≥0

表示的平面区域(即△ABC )，其面积为4.事件A

＝“y 0＜2x 0”表示的区域为△AOC ，其面积为3.所以事件A 发生的概率是3

4

.

答案 (1)B (2)B

考点三 与体积有关的几何概型

【例3】 (1)在5升水中有一个病毒，现从中随机地取出1升水，含有病毒的概率是________.

(2)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M －ABCD 的体积小于1

6

的概率为________.

解析 (1)“取出1升水，其中含有病毒”这一事件记作事件A ，则P (A )＝取出的水的体积所有水的体积＝15.从而所求的概率为1

5

.

(2)设四棱锥M －ABCD 的高为h ，由于S 正方形ABCD ＝1，V 正方体＝1，且h

3S 正方形ABCD <16.

∴h <12，则点M 在正方体的下半部分，故所求事件的概率p ＝1

2V 正方体V 正方体＝1

2.

答案 (1)15 (2)12

规律方法 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求. 【训练3】 已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P －ABC ＜1

2V S －ABC 的概率是( )

A.78

B.34

C.12

D.14

解析 由题意知，当点P 在三棱锥的中截面A ′B ′C ′以下时，满足V P －ABC <1

2V S －

ABC

，又V 锥S －A ′B ′C ′＝12×14V 锥S －ABC ＝1

8

V 锥S －ABC .

∴事件“V P －ABC <12V S －ABC ”的概率P ＝V 台体A ′B ′C ′－ABC V 锥S －ABC ＝V 锥S －ABC －V 锥S －A ′B ′C ′V 锥S －ABC ＝7

8

.

答案 A

[思维升华]

1.区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限个.

2.判断几何概型中的几何度量形式的方法： (1)当题干是双重变量问题，一般与面积有关系.

(2)当题干是单变量问题，要看变量可以等可能到达的区域；若变量在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几何度量是面积(体积)，即一个几何度量的形式取决于该度量可以等可能变化的区域. [易错防范]

1.准确把握几何概型的“测度”是解题关键，无论长度、面积、体积，“测度”只与大小有关，而与形状和位置无关.

2.几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.

基础巩固题组 (建议用时：35分钟)

一、选择题

1.(2019·安庆二模)中国人民银行发行了2018中国戊戌(狗)年金银纪念币一套，如图所示是一枚3克圆形金质纪念币，直径为18 mm ，小米同学为了测算图中装饰狗的面积，他用1枚针向纪念币上投掷500次，其中针尖恰有150次落在装饰狗的身体上，据此可估计装饰狗的面积大约是( )

A.

486π

5 mm 2

B.

243π

10 mm 2 C.243π

5

mm 2 D.

243π

20

mm 2

解析 设装饰狗的面积为S mm 2.由题意得

S

π×? ??

?

?1822

＝150500

，∴S ＝243π10 mm 2. 答案 B

2.已知以原点O 为圆心，1为半径的圆以及函数y ＝x 3的图象如图所示，则向圆内任意投掷一粒小米(视为质点)，该小米落入阴影部分的概率为(

)

A.12

B.14

C.16

D.18

解析 由图形的对称性知，所求概率为1

4π×12π×12＝1

4.

答案 B

3.(2018·潍坊一中质检)在区间[0，2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12? ?

???x ＋12≤1”发生的概率为( )

A.3

4

B.23

C.13

D.14

解析 由－1≤log 12

? ?

???x ＋12≤1，得12≤x ＋12≤2，

解得0≤x ≤32，所以事件“－1≤log 12

? ?

?

??x ＋12≤1”发生的

概率为322＝34.

答案 A

4.如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆

心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为( )

A.π8

B.π16

C.1－π8

D.1－π16

解析 正方形的面积为82＝64，内切圆半径为4，中间黑色大圆的半径为2，黑色小圆的半径为1，所以白色区域的面积为π×42－π×22－4×π×12＝8π，所以黑色区域的面积为64－8π，所以在正方形图案上随机取一点，该点取自黑色区域的概率p ＝64－8π64＝1－π

8.

答案 C

5.有一底面半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( ) A.1

3

B.23

C.34

D.14

解析 设点P 到点O 的距离小于等于1的概率为P 1，由几何概型，则p 1＝V 半球

V 圆柱

＝2π

3×13π×12×2＝1

3

.

故点P 到点O 的距离大于1的概率p ＝1－13＝2

3.

答案 B

6. “割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，作为求圆周率的一种方法.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了 3 072边形，并由此而求得了圆周率为3.141 5和3.141 6这两个近似值.我国南北朝时期的数学家祖冲之继承并发展了刘徽的“割圆术”，求得π的范围为(3.141

592 6，3.141 592 7).如果按π＝3.142计算，那么当分割到圆内接正六边形时，如图，向圆内随机投掷一点，那么落在图中阴影部分的概率为(3≈1.732，精确到小数点后两位)(

)

A.0.16

B.0.17

C.0.18

D.0.19

解析 设圆的半径为r ，则圆的面积为πr 2，正六边形的面积为

6×12×r ×32r ＝332r 2，故所求概率为1－332r 2

πr 2＝1－33

2π≈0.17，故选B.

答案 B

7.(2019·西安调研)若函数f (x )＝???e x

，0≤x <1，

ln x ＋e ，1≤x ≤e

在区间[0，e]上随机取一

个实数x ，则f (x )的值不小于常数e 的概率是( ) A.1e

B.1－1e

C.e

1＋e

D.11＋e

解析 当0≤x <1时，恒有f (x )＝e x

当1≤x ≤e 时，f (x )＝ln x ＋e.由ln x ＋e≥e，得1≤x ≤e.∴所求事件的概率p ＝

e －1e ＝1－1

e

. 答案 B

8.(2016·全国Ⅱ卷)从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，

y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A.4n

m

B.

2n

m

C.

4m

n

D.

2m

n

解析如图，数对(x i，y i)(i＝1，2，…，n)表示的点落在边长为1的正方形OABC内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之

一圆(阴影部分)内.由几何概型的概率计算公式知p＝S

扇形

S

正方形

＝

1

4

πR2

R2

＝

π

4

，又p＝

m n ，所以

π

4

＝

m

n

，故π＝

4m

n

.

答案 C

二、填空题

9.在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，在直角边BC上任取一点M，则∠CAM<30°的概率是________.

解析∵点M在直角边BC上是等可能出现的，

∴“测度”是长度.设直角边长为a，

则所求概率为

3

3

a

a

＝

3

3

.

答案

3 3

10.记函数f(x)＝6＋x－x2的定义域为D.在区间[－4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________.

解析由6＋x－x2≥0，得－2≤x≤3，即D＝[－2，3].

故所求事件的概率p＝3－（－2）

5－（－4）

＝

5

9

.

答案5 9

11.由不等式组???x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0

确定的平面区域记为Ω1

，由不等式组???x ＋y ≤1，

x ＋y ≥－2

确

定的平面区域记为Ω2，若在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为________.

解析 如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB ，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD ，易知C ? ??

??

－12，32.

由几何概型的概率公式，所求概率p ＝

S 四边形OACD S △OAB ＝2－

14

2＝7

8

.

答案 7

8

12.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A －A 1BD 内的概率为________.

解析 因为V A －A 1BD ＝V A 1－ABD ＝13AA 1×S △ABD ＝1

6

×AA 1×S

矩形ABCD

＝1

6

V 长方体

，故所求概率为

V A －A 1BD V 长方体＝1

6. 答案 1

6

能力提升题组 (建议用时：15分钟)

13.(2018·西北工大附中调研)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R)，若|z |≤1，则

y ≥x 的概率为( ) A.34＋1

2

π B.12＋1π

C.12－1π

D.14－12π

解析 由|z |≤1得(x －1)2＋y 2≤1，由题意作图如图所示，则满足条件的区域为图中阴影部分，∴y ≥x 的概率为π4－12π＝14－1

2π

.

答案 D

14.(2019·石家庄模拟)已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2PA →

＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( ) A.14

B.13

C.23

D.12

解析 以PB ，PC 为邻边作平行四边形PBDC ， 则PB →＋PC →＝PD →，因为PB →＋PC →

＋2PA →＝0， 所以PB →＋PC →＝－2PA →，得PD →＝－2PA →，

由此可得，P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，点P 到BC 的距离等于A 到BC 的距离的12，

所以S △PBC ＝1

2

S △ABC ，

所以将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为

S △PBC S △ABC ＝1

2

.

答案 D

15.在平面区域???x ＋y －4≤0，

x >0，y >0

内随机取一点(a ，b )，则函数f (x )＝ax 2

－4bx ＋1

在区间[1，＋∞)上是增函数的概率为________.

解析 不等式组表示的平面区域为如图所示的△AOB 的内部及边界AB (不包括边界OA ，OB )，则S △AOB ＝1

2×4×4＝8.函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上

是增函数，则应满足a >0，且x ＝4b

2a ≤1，满足???a >0，a ≥2b ，可得对应的平面区域如图

中阴影部分(包括边界OC ，BC ，不包括边界OB )，由???a ＝2b ，a ＋b －4＝0，解得a ＝8

3，b

＝43，所以S △COB ＝12×4×43＝8

3，根据几何概型的概率计算公式，可知所求的概率为838＝13

.

答案 1

3

16.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，则它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率为________.

解析 设甲、乙两艘船到码头的时刻分别为x 与y ，记事件A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24，0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A ＝{(x ，y )|y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0，24]，y ∈[0，24]}.

A为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部.

所求概率为P(A)＝A的面积

Ω的面积

＝

（24－1）2×

1

2

＋（24－2）2×

1

2

242

＝

506.5

576

＝

1 013

1 152

.

答案1 013 1 152