第四章哈肯的半经典激光理论
激光原理第4章
m、n分别为沿镜面极坐标系的径向暗 环数和角向暗直径数（不含中心点）
(2) 本征值σmn和单程衍射损耗、单程相移 损耗主要指衍射损耗。对于一次渡越的衍射损耗（单程衍射 损耗）用δ表示。定义为
uq uq 1 uq
2
2
2
uq1 uq
功率损耗
2 mn 1 mn
积分方程的核 umn为本征函数 ，σmn 为本征值
mn umn ( x, y ) K ( x, y, x' , y ' )umn ( x' , y ' )ds'
umn和σmn的下标表示该方程存在一系列的不连续的本征函数解与本征 值解，说明在某一给定开腔中，可以存在许多不同的自再现模
积分方程解的物理意义
例题
1、He-Ne激光器的中心波长是6328Å，其线宽是Δvf＝ 1.5×109Hz，试计算腔长分别为L1 =10 cm 以及L2 =30 cm时， 激光腔内可能存在的最多纵模数？
vq
c 2L
＝ .5 109 Hz, 0.5 109 Hz 1
L=10cm, n=2 L=30cm, n=3
单程衍射损耗:
衍射损耗定义： mn 1 mn
2
mn e
i[ kL( mn1) ] 2
mn 0
单程附加相移与谐振频率:
一般忽略不计
单程附加相移： mn kL arg mn (m n 1) 谐振频率： νmnq
激光原理第四章
激光原理与技术
4.3输出功率与能量
一、连续或长脉冲激光器的输出功率 如果一个激光器的小信号增益系数恰好等于 阈值，激光输出是非常微弱的。实际的激光器 总是工作在阈值水平以上，腔内光强不断增加。 那么，光强是否会无限增加呢?实验表明．在 一定的激发速率下，即当g0(v)一定时，激光器 的输出功率保持恒定，当外界激发作用增强时， 输出功率随之上升，但在一个新的水平上保持 恒定。
hvP nV hvP V t EPt 1 1 21l
激光原理与技术
三能级系统须吸收的光泵能量的阈值为
EPt
hvP nV 21
对于脉冲宽度t0可与相比拟的情况，泵浦能量 的阈值不能用一个简单的解析式表示。但可以 用数字计算的办法求出EPt的值。实验说明，当 固体激光器的氖灯储能电容越大因而光泵脉冲 持续时间t0增长时，光泵的阈值能量也增大。这 是由于t0越长自发辐射的损耗越严重所致。
假设光束直径沿腔长均匀分布，则上式可 化简为
dNl f2 l Nl L' (n2 ) 21 (v, v0 )cNl , Rl dt f1 L ' Rl c
dN l 当 0 dt
0
腔内辐射场由起始的微弱的自 发辐射场增长为足够强的受激 辐射场。
n nt 21 (v, v0 )l
A21 (t t0 ) 2
结论：当t＝t0时,n2(t)达到最大值,当t>t0时,因 自发辐射而指数衰减。 1W13n t0 2 ( 2 1/( A21 S21 )), n2 (t ) A21 1W13
2
在整个激励持续期间n2(t)处在不断增长的非稳 定状态
激光原理与技术
如不采取特殊措施，以均匀加宽为主的固体 激光器一般为多纵模振荡。在含光陷离器的 环形行波腔内，光强沿轴向均匀分布，因而 消除了空间烧孔，可以得到单纵模振荡
激光物理6.3.2半经典激光的自洽场方程
ω & ω & ）、忽略 && （6）、忽略 E0m(t)、m E0m(t)、m φm(t)、&&(t)、&(t)E0m(t) ）、 φ φ &
Q m Q m
& (t) + ωm E (t) +Ω E (t ) = ω P (t) & & Em m m m m Q ε0 m
2 m
• 并比较方程两端正弦项和余弦项，可得： 并比较方程两端正弦项和余弦项，可得：
• 即可得激光器振荡一阶理论结果。在三 即可得激光器振荡一阶理论结果。 阶近似下， 阶近似下，分别将 C (t) ≈C(1) (t) +C(3) (t) m m m • 即可得激光器振荡 三阶理论结果。 三阶理论结果。
(1 (3 Sm(t) ≈ Sm) (t) +Sm) (t)
• 于是第 个模可写成下述驻波形式： 于是第n个模可写成下述驻波形式： 个模可写成下述驻波形式
An (t ) sin(k n z )
• 在无源无损腔 在无源无损腔(P=0，σ＝0)情形下 ， 情形下
在有源腔(P≠0，σ≠ 情形下， 情形下， 在有源腔 ≠ ，σ≠0)情形下
(6.3.31)
En ( z ,t ) = E0 n cos( Ω nt + φn ) sin(k n z )
因此有源腔的辐射场表示为： 因此有源腔的辐射场表示为：
E( z,t ) = ∑E0n(t) sin( knz )cos(ωnt +φn(t) )
(6.3.36) • （3）、在一个光频周期内，E0n(t)和φn(t)为时间 的 ）、在一个光频周期内 为时间t的 ）、在一个光频周期内， 和 为时间 慢变函数。 慢变函数。
第四章哈肯的半经典激光理论
ψ (r , t ) = Ca (t )e −iω tφa (r ) + Cb e− iω tφb (r )
a b
p = −{Ca Cb*e − iωtθba + CbCa*eiωtθ ab }
p = p(+) + p(−) p ( + ) = −α (t )θba p ( − ) = −α * (t )θ ab
麦克斯韦方程的应用
4.2 光学布洛赫方程的简明推导
φa ωa φb ωb φa ωa
本征态 能量本征值
φb
ωb
原子跃迁角频率
ω = ( Ea − Eb ) / = ωa − ωb
波函数
ψ (r , t ) = Ca (t )e −iω tφa (r ) + Cb e− iω tφb (r )
a b
引入量纲为1的光场
Eλ ( + ) = i =Ω λ /(2ε 0 )aλ Eλ ( − ) = −i =Ω λ /(2ε 0 )a*λ
(+) 用原子偶极矩 α μ 表示场方程中的极化强度 Pλ
P ( + ) ( x, t ) = −∑ δ ( x − xμ )θ baα μ (t )
μ
P ( + ) ( x, t ) = ∑ Pλ ′( + ) (t )uλ ′ ( x)
α (t ) = −iωα − γ ⊥α −
考虑泵浦 和衰减
1 α (t ) = −iωα − γ ⊥α − E (t )θ ab d i 2 d = −γ (d − d 0 ) + E (t )(θ abα * − αθ ba ) i
光学布洛赫方程(3.4)
ρab = − ( iω + γ ⊥ ) ρab + i
第五章拉姆的半经典激光理论.
a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b
ab e−iω t ρab = ρ =0 ρ ab
n
ρ aa − ρbb 1 μ En ρ ab ( x, t ) = − i Un ( x) exp ⎡ −i (ωnt + φn ) ⎤ ⎣ ⎦ i ( ω − ωn ) + γ ⊥ 2 =
aa = λa − γ a ρ aa − R ( ρ aa − ρbb ) ρ bb = λb − γ b ρbb + R ( ρ aa − ρbb ) , ρ
拉姆的场方程
1 ωn Im ( Pn ) , En + κ n En = − 2 ε0 1 ωn 1 Re ( Pn ) , ωn + φn = Ωn − 2 ε 0 En
对场方程的讨论 （1）空腔，无激活介质 Pn = 0
+κ E = 0 E n n n =Ω ω +φ
n n n
d0 d = ( ρ aa − ρbb ) = R 1+ Rs
进而可求得原子偶极矩
d0 1 μ En 1 ρ ab ( x, t ) = − i −i (ωnt + φn ) ⎤ Un ( x) exp ⎡ ⎣ ⎦ 2 = i ( ω − ωn ) + γ ⊥ 1 + R Rs
均匀加宽介质的极化强度
光强
I n (t ) = I n (0)e −2κ nt
′ = 2κ n = κn
ωn
Qn
, κn =
ωn
2Qn
频率
ωn = Ωn
（2）对线性介质 ′ + iχn ′′) En Pn = ε 0 χ n En = ε 0 ( χ n 将此极化强度代入场方程 1 ωn 1 ′′En En + En = − ωn χn 2 Qn 2 1 ′ ωn + φn = Ωn − ωn χn 2 d 1 2 ′′) En 2 ( En ) = −( + χ n dt Qn 吸收介质
激光原理第四章答案
第四章 电磁场与物质的共振相互作用1 静止氖原子的4223P S →谱线中心波长为632.8nm ，设氖原子分别以0.1c 、0.4c 、0.8c 的速度向着观察者运动，问其表观中心波长分别变为多少？解：根据公式νν=c λν=可得：λλ=代入不同速度，分别得到表观中心波长为： nm C 4.5721.0=λ，0.4414.3C nm λ=，nm C 9.2109.0=λ2．设有一台迈克尔逊干涉仪，其光源波长为λ。
试用多普勒原理证明，当可动反射镜移动距离L 时，接收屏上的干涉光强周期地变化2/L λ次。
证明：如右图所示，光源S 发出频率为ν的光，从M 上反射的光为I '，它被1M 反射并且透过M ，由图中的I 所标记；透过M 的光记为II '，它被2M 反射后又被M 反射，此光记为II 。
由于M 和1M 均为固定镜，所以I 光的频率不变，仍为ν。
将2M 看作光接收器，由于它以速度v 运动，故它感受到的光的频率为：因为2M 反射II '光，所以它又相当于光发射器，其运动速度为v 时，发出的光的频率为这样，I 光的频率为ν，II 光的频率为(12/)v c ν+。
在屏P 上面，I 光和II 光的广场可以分别表示为：S2M (1)vcνν'=+2(1)(1)(12)v v v c c cνννν'''=+=+≈+0cos(2)I E E t v πν=⎡⎤因而光屏P 上的总光场为光强正比于电场振幅的平方，所以P 上面的光强为它是t 的周期函数，单位时间内的变化次数为由上式可得在dt 时间内屏上光强亮暗变化的次数为(2/)mdt c dL ν=因为dt 是镜2M 移动dL 长度所花费的时间，所以mdt 也就是镜2M 移动dL 过程中屏上光强的明暗变化的次数。
对上式两边积分，即可以得到镜2M 移动L 距离时，屏上面光强周期性变化的次数S式中1t 和2t 分别为镜2M 开始移动的时刻和停止移动的时刻；1L 和2L 为与1t 和2t 相对应的2M 镜的空间坐标，并且有21L L L -=。
激光原理知识点汇总201905
激光原理知识点汇总第一章电磁场和物质的共振相互作用1.相干光的光子描述，光的受激辐射基本概念1)1960年7月Maiman报道第一台红宝石固体激光器，波长694.3nm。
2)光的基本性质：能量ε=hνh: Planck常数，ν :光波频率运动质量m=ε/c2=hv/c2静止质量0动量knhnchnmcp=•===22λππν3)光子的相干性：在不同的空间点、不同时刻的光波场某些特性的相关性相干体积相干面积，相干长度，相干时间光源单色性越好，相干时间越长：相格空间体积以及一个光波摸或光子态占有的空间体积度等于相干体积属于同一状态的光子或同一模式的光波是相干的4)黑体辐射的planck公式在温度T的热平衡下，黑体辐射分配到腔内每个模式上的平均能量1-=kThehEνν腔内单位体积、单位频率间隔内的光波摸式数338chnνπν=Planck公式：11833-==kThechνννπρ单色能量密度，k：Boltzmann常数Bohr定则：νhEE=-125)光的受激放大a.普通光源在红外和可见光波段是非相干光，黑体是相干光黑体辐射的简并度KTnmnmKTnmKTncmKTkThhEn50000,1,110,6.0,3001,60,30010,30,3001)exp(1353=≈=≈==≈==≈==→-==-μλμλμλλννb.让特定、少数模式震荡，获得高的光子简并度21212121338AWABchn===ννρνπρ6)光的自激振荡a.自激振荡概念分数单位距离光强衰减的百自损耗系数)(1)(zIdzzdI-=αdzzIIgzdI)(])([)(..α-=考虑增益和损耗])ex p[()(0zgIzIα-=αααsmsmIgIIIgIg)(1)(0-=→=+=光腔作用: (1)模式选择; (2）提供轴向光波摸的反馈；b.震荡条件等于号是阈值振荡ααα≥→≥-=000)(gIgI sm是工作物质长度llgL...........0δδα≥→=lg0单程小信号增益因子7)激光的特性：单色性、相干性、方向性、高亮性。
激光原理_第四章
x(t) = x0e
− t 2
γ
e
iw0t
作简谐振动的电子和带正电的原子核组成一个作 简谐振动的经典简谐振子模型，其偶极矩为： 简谐振动的经典简谐振子模型，其偶极矩为：
p(t) = −ex(t) = p0e
γ
− t iw t 0 2
γ
e
简谐偶极振子发出的电磁辐射的电场强度： 简谐偶极振子发出的电磁辐射的电场强度：
线型函数和线宽: 线型函数和线宽 为频率的函数。 自发辐射功率 I (ν ) 为频率的函数。设总的辐射功率为 I0 ,有：
I0 =
+∞
−∞
∫ I (v)dν
g(ν ,ν 0 ) = I (ν ) I0
引入谱线的线型函数g(ν,ν0)： 引入谱线的线型函数 ：
(给定了光谱线的轮廓或形状 给定了光谱线的轮廓或形状) 给定了光谱线的轮廓或形状
-χ"(ω) "(ω
0.5
-χ´(ω)
ne 其中： 其中： χ = mw0ε0∆wa
// 0
2
-3
-2
-1
0 1 2 3 )/△ (ω-ω0)/△ωa
时经典振子线性电极化系数的大小。 表示当 w = w0 时经典振子线性电极化系数的大小。
物质的相对介电系数 ε / 与电极化系数
χ 之间的关系： 之间的关系：
γ
1+
1 4(w − w0 )2
γ2
令 ∆wa = γ ，引入参数
∆y =
的相对偏差，得到： 与原子固有频率 w0 的相对偏差，得到：
∆y / // χ = −χ0 1+ (∆y)2 1 χ // = −χ // 0 1+ (∆y)2
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Cb
=
1 i
Vba e − iωt Ca
=
1 i
Eθba e − iωt Ca
∫ p = ψ *(−qr)ψ d 3r
ψ
(r,
t
)
=
Ca
(t
)e−
φ iωat a
(r
)
+
φ C e−iωbt
b
b
(r)
p
=
−{Ca
θ C e* −iωt
b
ba
+
CbCa*eiωtθ ab }
p = p(+) + p(−)
极化强度 偶极矩
Pλ (t) = Pλ(+) (t) + Pλ(−) (t) Pλ (+) (t) = Pλ (+) (t)e−iΩλt = Aλ′ (t)e−iΩλt Pλ (−) (t) = Pλ (−) (t)eiΩλt = Aλ′* (t)eiΩλt
α μ = αμ e−iΩλt
应用旋转波近似，得到
p(+) = −α (t)θba p(−) = −α * (t)θab
α (t) = CaCb*e−iωt α * (t) = CbCa*eiωt
α (t) = −iωα
−1 i
E (t )θ ab d
d = Ca 2 − Cb 2
考虑泵浦 和衰减
d
=
2 i
E(t)(θabα *
− αθba )
α (t) = −iωα
第四章 哈肯的半经典激光理论
4.1 麦克斯韦方程与场方程
麦克斯韦方程组
∇iD = 0
其中
∇iB = 0
∇×E = − ∂B
∂t
∇×H = J + ∂D
∂t
JG JG JG
D= JG
ε
0
E+ JJG
P
电位移矢量
B JG
=
μ0JGH
J =σE
磁感应强度 电流密度
场方程
JG ΔE
−
1 c2
JG ∂2 E ∂t 2
相互作用哈密顿量 V =−p•E
p = er = − e r = −qr GG
H = H0 + qr • E
薛定谔方程
i ψ = Hψ
GG H = H0 + qr • E
ψ
(r,
t)
=
Ca
(t )e −iωatφa
(r)
+
φ C e−iωbt
b
b
(r)
可以得到
Ca
=
1 i
Vab eiωt Cb
Cb
ρab + i
V −1 ab
(ρaa
−
ρbb )
ρaa − ρbb = −γ [(ρaa − ρbb ) − (ρaa − ρbb )0 ] − 2(i
ρ V −1 ab ba
+
c.c.)
Vab = −μab E = θab E
麦克斯韦－布洛赫方程
ΔE
(
x, t )
−
1 c2
E (
x,t )
−
−
μ0σ
JG ∂E ∂t
=
μ0
JG ∂2 P ∂t 2
,
Δ = ∇2 = ∂2 + ∂2 + ∂2 ∂x2 ∂y2 ∂z2
对于非线性介质 如飞秒激光与空气相互作用的非线性薛定谔方程：
Phys. Rev. Lett. 92, 225002 (2004).
麦克斯韦方程的应用
4.2 光学布洛赫方程的简明推导
本征态 φa φb
φa
ωa
能量本征值 ωa ωb
φb
ωb
原子跃迁角频率
ω = (Ea − Eb ) / = ωa − ωb
波函数
ψ
(r,
t)
=
Ca
(t )e −iωatφa
(r)
+
φ C e−iωbt
b
b
(r)
光与原子作用的总哈密顿量
自由哈密顿量
φa φb 正交归一
H = H0 +V
H0φa = =ωaφa H0φb = =ωbφb
Ωλ 2 Eλ (+) + Eλ(+) + (σ / ε 0 )Eλ (+) = (−1/ ε 0 )Pλ (+)
( ) ∑ αμ =
−iωμ − γ ⊥
αμ
−
1 i=
dμ
λ
Eλ (+) (t)uλ (xμ )θab
( ) ∑ ∑ dμ = −γ&
dμ − d0
+
2 i=
⎜⎝⎛α
* μ
λ
Eλ (+) (t)uλ (xμ )θab − αμ
=
1 i
Vba e − iωt Ca
∫ ∫ ∫ Vab = φa*Vφbd 3r = φa*qrEφbd 3r = E φa*qrφbd 3r = Eθab ∫ θab = φa*qrφbd 3r = qrab = −erab = −μab
Ca
=
1 i
Vab eiωt Cb
=
1 i
Eθ ab eiωt Cb
Ωλ2Eλ + Eλ + (σ / ε0 )Eλ = (−1/ ε0 )Pλ
( ) ∑ αμ =
−iωμ − γ ⊥
αμ
−
1 i=
dμ
λ
Eλ (t)uλ (xμ )θab
( ) ( )∑ dμ = −γ&
dμ − d0
+
2 i=
θ
abα
* μ
− αμθba
Eλ (t)uλ (xμ )
λ
ΔE
(
x, t )
−
1 c2
E (
x,t )
−
μ0σ
E
(
x, t )
=
μ0 P (
x,t ),
( ) ( ) αμ =
−iωμ − γ ⊥
αμ
−
1 i=
E
xμ , t
θabdμ ,
( ) ( )( ) dμ = −γ&
dμ − d0
+
2 i=
E
xμ , t
θabα
* μ
− αμθba
,
其中，引入腔模
kλ
=
Ωλ c
再利用慢变振幅近似和旋转波近似对其进行简化
光场
Eλ (t) = Eλ(+) (t) + Eλ(−) (t)
Eλ (+) (t) = Eλ (+) (t)e−iΩλt = Aλ (t)e−iΩλt Eλ (−) (t) = Eλ (−) (t)eiΩλt = Aλ* (t)eiΩλt
μ0σ
E
(
x, t )
=
μ0P( x,t ),
( ) ( ) αμ =
−iωμ − γ ⊥
αμ
−
1 i=
E
xμ , t
θabdμ ,
( ) ( )( ) dμ = −γ&
dμ − d0
+
2 i=
E
xμ , t
θabα
* μ
− αμθba
,
4.3 谐振腔中的麦克斯韦布洛赫方程
麦克斯韦－布洛赫方程
− γ ⊥α
−1 i
E (t )θ ab d
d
= −γ
(d
−
d
0
)
+
2 i
E(t)(θabα * − αθba )
考虑泵浦 和衰减
α (t)
=
−iωα
− γ ⊥α
−1 i
E (t )θ ab d
d
=
−γ
(d
− d0) +
2 i
E(t)(θabα *
− αθba )
光学布洛赫方程(3.4)
( ) ρab = − iω + γ ⊥
对光场和极化强度按照驻波模式展开
一维驻波 驻波模式满足
E ( x,t ) = ∑ Eλ (t)uλ (x) λ
P ( x,tn(kλ x)
Nn =
2 L
∫ uλ′ (x)uλ (x)dx = δλ′λ
将光场和极化强度按照驻波模式的展开式代入M-B方程