第二章数列极限知识课件

第二章 数列极限
习题课
第二章 数列极限
数列收敛、发散的定义 收敛数列的性质 子列 单调有界定理 柯西收敛准则
本章题型
证明题 计算题
习题
设 {an},{bn},{cn}均为非负数列，且 ln i m a n 0 ,ln i m b n 1 ,ln i m cn ，则必有
（单调有界定理、柯西收敛准则）
求数列的极限
四则运算法则 迫敛性 一个数列有界，另一个是无穷小数列，
则它们的乘积仍然是无穷小。 极限不存在
需记住的结论
lni m n1 0 (0)。
limqn0 (|q|1) 。
n
limn a1 (a0)。
n
lim n n 1 。
n
1n
lim(1 ) e。 , n
何非平凡子列都收敛。
单调有界定理
在实数系中，有界的单调数列必有极限。
柯西收敛准则
数列 { a n } 收敛的充要条件是： 0， 整数N0，使得 n,mN，都有
| an am | 。
证明题
证明
lim
n
an
A 。（定义）
已知
lim
n
an
a
，证明
lim
n
|
an
|
存在。
证明数列 { a n } 收敛。
n
lim(1
n
1 n
1 n2
)n
lim
sinncosn n n
lni m[13n32n1n]
ln i m (n 2 1 n 1 n 2 2 n 2 n 2 n n n )
习题
证明
lim n2
n n24n5
0。
证明 限。
lni m (12 123 1 2
n 12)存在，并求极
x1 2,xn1 2xn 。
设{ a n } 为数列， a 是常数。若 0 0 ，对 N 0，都 n0 N，使得 | an0 a|0， 则称数列 { a n } 不收敛于 a 。
收敛数列的性质
唯一性 有界性 保号性 保不等式性 迫敛性 四则运算法则*
子列
数列 { a n } 收敛的充要条件是：{ a n } 的任
极限不存在，发散
数列发散的定义
存在子列发散，或两个子列的极限不同
常见：带有三角函数的数列、带有 ( 1 ) n
的数列等，如
sin
n
、
1
(
2
1
)
n
、 n 2。
谢谢！
A. a n bn 对任意的n成立
B. bn c n 对任意的n成立
C.
lim
n
a
n
c
n
不存在
D.
lim
n
b
n
c
n
不存在
习题
设数列的通项为
xn
n2n1n
n
,
,
n为奇数，
n为偶数
则 n时， { x n } 是（ ）
A. 无穷大量 C. 有界变量
B. 无穷小量 D. 无界变量
习题
lim n[ln(n1)ln(n1)]
已知数列 { x n } 中每一项都是正的，并且
(1xn)xn11 4(n N )，证明数列是收敛
的，并证明
lim
n
xn
1 2
。
数列收敛：
设{ a n } 为数列，a 是常数。若 0,整数 N 0 ，使得 n N 有 | an a| ，则 称数列 { a n } 收敛于 a 。
数列发散：
n amnmam1nm1
a1na0
am bm
lim 0, nbknkbk1nk1 b1nb0
km, km.
迫敛性
若 N 0 0 ，对 n N0 有 an cn bn ，
且满足 lni m anlni m bna，则
lim
n
cn
a。
构造技巧：如何找到 a n 和 b n ，使得 lni m ຫໍສະໝຸດ Baidun lni m bn a。