极限的运算
《极限的运算》课件
无穷小量的运算包括无穷小量的加法、 减法、乘法和除法。在运算过程中，无 穷小量可以与其他量进行加减乘除运算
，但需要注意运算结果的极限状态。
无穷小量在极限运算中常常用于等价变 换和泰勒展开等技巧，可以帮助我们简
化复杂的极限问题。
极限运算的注意事项
01
02
03
04
在进行极限运算时，需要注意 一些关键的点，以确保结果的
极限存在定理的证明方法
极限存在定理可以通过多种方法证明，如数学归纳法、反证法、直接证明法等 。这些方法都基于实数完备性定理，通过排除不可能的情况来证明极限的存在 。
极限存在定理的应用
函数极限的求解
极限存在定理是求解函数极限的基础 ，通过判断函数在某点的极限是否存 在，可以进一步研究函数的性质和变 化趋势。
极限的性质
极限具有一些重要的性质，如 唯一性、局部有界性、局部保 号性等。
这些性质在研究函数的极限行 为时非常重要，可以帮助我们 推导一些重要的结论和定理。
了解和掌握这些性质对于深入 理解极限的概念和应用极限的 方法具有重要意义。
02
极限的四则运算
极限的四则运算法则
加法法则
如果lim(x→a) f(x) = M1 和 lim(x→a) g(x) = M2，那么 lim(x→a) [f(x) + g(x)] = M1 + M2。
这种定义方式具有高度的严谨性 和精确性，是数学分析中研究函
数的重要基础。
极限的直观理解
极限的直观理解可以描述为函数在某一点附近的变化趋势。
当x逐渐接近这一特定点时，函数值会逐渐接近其极限值，或者保持一定的距离，或 者趋近于无穷。
这种变化趋势可以通过图形或表格进行可视化，帮助我们更好地理解极限的概念。
经济数学基础12第二章极限的四则运算法则
经济数学基础12第二章极限的四则运算法则
在极限都存在的情况下，和差积商的极限，等于极限的和差积商。
用数学的话表达就是：
lim(A+B)limA+limB
lim(A-B)=limA-limB
limAB=limA×limB
lim(A/B)limA/limB
前提是以上各个极限都存在。
极限的四则运算法则是两个函数的极限都存在，并且分母的极限还不等于0的情况下，当这两个条件都满足的，那么两个函数在和、差、积、商的极限和这两个函数的极限的和、差、积、商都相等。
对于一个常数与一个函数的乘积的极限的情况，其结果等于这个常数与这个函数的极限乘积﹔并且一个函数的乘方的极限和这个函数的极限乘方也是相等的。
在解决具体问题时，需要根据实际情况进行运算和解答，重视实际应用。
极限运算法则
与已知矛盾，
故假设错误．
16
2. 求
解法 1
原式 = lim
x
x lim x2 1 x x
1
1
1
1 x2
1
2
解法 2 令 t 1 , 则 t 0
x
原式 = lim 1
t0 t
1 t2
1
1 t
lim
t0
1t2 1 t2
lim 1 1 t0 1 t2 1 2
17
3.试确定常数 a 使
解: 令t1,则 x
lim f ( x) lim (1 x) 1,
x0
x0
lim f ( x) lim ( x2 1) 1,
x0
x0
左右极限存在且相等,
故 lim f ( x) 1. x0
y y 1 x
1
o
y x2 1 x
10
练习题 设 求
是多项式 , 且
解: 利用前一极限式可令
f (x) 2x3 2x2 a x b
u
定理中条件 ( x) a 不可少
12
例8. 求
解:
令
u
x3 x2 9
已知
lim u 1 x3 6
( 见 P46 例3 )
∴ 原式 =
1 6 ( 见 P33 例5 )
66
13
例9 . 求
解: 方法 1 令 u x , 则 limu 1,
x1
x 1 u2 1 u 1 x 1 u 1
3x2 4x2
5 1
lim
x
2 7
3
x 4
x
5 x3 1 x3
2. 7
(无穷小因子分出法)
极限的运算法则及计算方法
极限的运算法则及计算方法极限是微积分中的一个重要概念，用于研究函数在接近其中一点时的趋势。
在许多情况下，计算极限可以通过应用一些运算法则来简化。
本文将介绍极限的运算法则以及一些常用的计算方法。
一、极限的四则运算法则1. 乘法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) * g(x))的极限等于f(x)的极限乘以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
2. 除法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在且g(x)不等于0，则(f(x) / g(x))的极限等于f(x)的极限除以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) / g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)。
3. 加法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) + g(x))的极限等于f(x)的极限加上g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。
4. 减法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) - g(x))的极限等于f(x)的极限减去g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
二、极限的乘方法则1. 幂函数法则：对于任意正整数n，如果函数f(x)的极限存在，则(f(x)^n)的极限等于f(x)的极限的n次方，即lim(x→a) [f(x)^n] = [lim(x→a) f(x)]^n。
2. 平方根法则：如果函数f(x)的极限存在且大于等于0，则√[f(x)]的极限等于f(x)的极限的平方根，即lim(x→a) √[f(x)] =√[lim(x→a) f(x)]。
三、特殊函数的极限计算法则1. 三角函数：常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。
极限的运算
无穷小因子分出法
2 x3 x 2 + 5 例7 求 lim 4 . 2 x →∞ x + 4 x 1
2 1 5 2+ 4 3 2 2x x + 5 x lim 4 = lim x x x →∞ x + 4 x 2 1 x →∞ 4 1 1+ 2 4 x x
解:
=0
当a 0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m 和n为非负整数时有
判断题 若 lim g ( x) = ∞ , lim f ( x) = ∞ 则 x →a x →a
lim kf ( x) = ∞(k为非零常数）
x →a
1 lim =0 x →a f ( x ) + g ( x )
lim[ f ( x) + g ( x)] = ∞
x →a
lim[ f ( x) g ( x)] = 0
说明： 说明：上述法则对自变量 时都成立。 时都成立。
x → x0 及x →∞
(2) lim[ f ( x) g( x)] = A B
推论1 推论1 如果lim f ( x)存 , 而c为常数,则 在
lim[cf ( x)] = c lim f ( x).
即常数因子可以提到极限记号外面. 即常数因子可以提到极限记号外面. 推论2 推论2 如果lim f ( x)存在, 而n是正整数, 则
(x + 2) = lim 2 x→ (x + x +1 1 )
= 1
例9、 求 lim ( x(x + 3) x) 、
x→∞
解：原式= x→∞ 原式
= lim
x→∞
[x(x + 3)] lim
x2 x(x + 3) + x 3x x(x + 3) + x
极限的6种运算方法有哪些
极限的6种运算方法有哪些极限运算是微积分中一个重要的概念，用于描述函数在某个点趋近于一个特定值时的行为。
在微积分中，我们通常使用符号"lim"表示极限运算，其中lim表示极限，而x表示自变量，a表示函数趋近的值。
极限运算有多种不同的方法和技巧，下面将介绍六种常见的极限运算方法以及它们的应用场景。
1. 代入法：代入法是一种最基本的极限运算方法，它适用于一些简单的函数，可以直接将自变量的值代入到极限表达式中，计算出函数在该点的极限值。
例如，计算函数f(x) = x²在x = 2的极限值，可以将x = 2代入到函数中，得到f(2) = 2²= 4。
2. 四则运算法：四则运算法是一种常见的极限运算方法，它适用于可以通过四则运算得到的函数。
对于一个由多个函数通过加减乘除组合而成的复合函数，可以通过将每个函数的极限运算分别进行，并利用加法、减法、乘法和除法的性质，计算得到整个函数在某个点的极限值。
3. 复合函数法：复合函数法是一种适用于复合函数的极限运算方法。
对于一个复合函数，可以先计算内部函数的极限值，然后再计算外部函数的极限值。
通过逐层计算，最终可以得到整个复合函数在某个点的极限值。
4. 代入无穷法：代入无穷法是一种适用于函数趋向于无穷大或无穷小的极限运算方法。
当函数在某个点趋势无穷大或无穷小时，可以将无穷代入到函数中，计算函数在无穷处的极限值。
例如，计算函数f(x) = 1/x在x趋向于无穷大时的极限值，可以将x替换为无穷大，得到f(∞) = 1/∞= 0。
5. 夹逼定理：夹逼定理是一种适用于函数无法直接计算极限的方法，它适用于通过找到两个函数，其中一个函数的极限值小于待求函数的极限值，另一个函数的极限值大于待求函数的极限值。
通过夹逼定理，可以确定待求函数的极限值。
夹逼定理在计算一些复杂的极限时非常有用，例如计算正弦函数和余弦函数的极限值。
6. 等价无穷小替换法：等价无穷小替换法是一种适用于一些函数在某个点的极限值难以计算的情况下的方法。
极限的运算法则
lim(
n
1 n2
2 n2
n n2
)
lim
n
1
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2 n
n2
1 2
lim(1
n
n1 )
1. 2
目录
小结
------极限求法;
1.多项式与分母不为零的分式函数代入法求极限;
2.利用无穷小与无穷大的关系求 A型极限;
0
0
3.消去零因子法求 0极限;
4.分子分母同除以x的最高次方法求 (x 型) 极限; 5.通分法求 极限;
0
则来计算的极限
目录
*求未定式极限方法举例、练习 1. 0 型有理式 0
约零因子法（因 式分解）
方法：分子分母分解因式，消去使他们趋于
零的公因子
( 0型) 0
解
目录
x2 9 lim x3 x 3
解 分析：因为 lim（x2 9） 0，lim（x 3） 0.
x3
x3
lim x2 9 lim ( x 3)( x 3) lim( x 3) 6
lim[c f (x)] c lim f (x) （c为常数）
特例2：推广到有限个函数的积
3、除法法则: 商的极限等于极限的商
lim
f (x) g( x)
lim f (x)
lim g(x)
A B
（B 0）
小 结: 函数的和、差、积、商的极限等于函数极限
的和、差、积、商
目录
(1)和函数的极限等于极限的和. (2)积函数的极限等于极限的乘积. (3)商函数的极限等于极限的商(分母不为零).
lim
x
2 3
极限运算法则
= 2 2 − 3 ⋅ 2 + 5 = 3 ≠ 0,
lim x − lim 1 x −1 23 − 1 7 x→2 x→2 = ∴ lim 2 = . = 2 x→2 x − 3 x + 5 3 lim( x − 3 x + 5) 3 x→2
3
3
4x − 1 . 例2 求 lim 2 x →1 x + 2 x − 3
lim [ f ( x ) ⋅ g ( x )] = lim f ( x ) ⋅ lim g ( x )
x → x0 x → x0
x → x0
lim kf ( x ) = k lim f ( x )
x → x0
（k为常 数）
3) 当 lim g ( x ) ≠ 0 时，
x → x0
f ( x) lim = lim f ( x ) / lim g ( x ). x → x0 g ( x ) x → x0 x → x0
( x 2 + 2 x − 3) = 0, x − 1) = 3 ≠ 0,
x →1
x2 + 2x − 3 0 ∴ lim = = 0. x →1 4x − 1 3
∴ lim 4x − 1 x + 2x − 3
2 x →1
= ∞.
小结: 1. 设 f ( x ) = a 0 x n + a1 x n −1 +
=
u→ B ln A
lim e u = e B ln A = A B .
极限存在准则、两个重要极限
极限存在准则 两个重要极限
1、极限存在准则
数列极限的夹挤准则
准则Ⅰ 如果数列 x n , y n 及 z n 满足下列条件:
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➢ 1.3.1 极限的运算法则
➢ 1.3.2 两个重要极限 ➢ 1.3.3 无穷小的比较
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1.3.1 极限的运算法则
定理1.5
1.3.1 极限的运算法则
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1.3.1 极限的运算法则
例1 解 一般可以用代入法求多项式函数及有理函数的极限
即
方法总结：直接代入法求极限
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1.3 极限的运算
复习
数列极限 函 数 极 限
lim
n
xn
a
lim f ( x) A
x
lim f ( x) A
x x0
无穷大 lim f (x)
两者的 关系
极限存在的 充要条件
左右极限
无穷小 lim f ( x) 0
无穷小 的性质
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1.3 极限的运算
1.3 极限的运算
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1.3.2 两个重要极限
例13
解 所以
1
lim(1 x)x
x0
lim
t
1
1 t
t
e
第二个重要极限公式的两种形式:
形式1
lim
x
1
1 x
x
e
1
形式2 lim 1 x x e x
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1.3.2 两个重要极限
例14 解法 1 用变量代换法令 t x ，当 x 时， t
1.3.1 极限的运算法则
例2 解
由无穷小与无穷大之间的关系得
方法总结：利用无穷小与无穷大之间的倒数（分母 不为零）关系求极限
高等数学应用教程 例3 解
1.3.1 极限的运算法则
方法总结：无穷小分出法求极限
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1.3.1 极限的运算法则
例4
错解
lim
n
1 n2
2
n2
L
n n2
lim
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1.3.1 极限的运算法则
求极限方法小结
（ 1）运用极限的四则运算法则 时，必须注意只有各项极限存在（求
商时还要规定分母的极限不为零）才
能适用；
（2）如果所求极限是 0 或 等 0
不定 式形式，不 能直接用 极限法则 时，必须先对原 式进行恒等变形（因 式分 解、通分、 有理化、 变量代换 等），然后再求极 限.
；
同样，第二段时间末细菌的数量为：
A0
(1
k
t )2 n
……依此类推，
到最后一段时间末细菌的数量为：A
0
(1
k
t n
)n
.
若对时间间隔无限
细分（即 n ），则可以得到经过时间 t 后细菌的总数 A(t) ：
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1.3.2 两个重要极限
生长函数
y A0ek t
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1.3.2 两个重要极限
2
解法2
高等数学应用教程 例15
1.3.2 两个重要极限
解 将 时 间 间 隔 [0,t] 分 成 n 等 份 . 由 于 细 菌 的 繁 殖 速 度 为
v
kA
0
，此即为单位时间的繁殖数量.在第一段时间
(0,
t) n
内细菌繁
殖的数量为：
kA 0
t n
；第一段时间末细菌的数量为：
A0 (1
k
t) n
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1.3.1 极限的运算法则
课堂练习 P29 习题1-3: 1(1),(2),(3),(6);2
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1.3.2 两个重要极限
1. lim sin x 1 （ 0 ）
x0 x
0
1.3.2 两个重要极限
公式： lim sin x 1 x0 x
结构特点
高等数学应用教程 例9 解
n
1 n2
2 lim
n n 2
L
n lim
n n 2
00L 0 0
错在哪里？
解
lim
n
1 n2
2 n2
L
n n2
高等数学应用教程 例5
1.3.1 极限的运算法则
解 方法总结：消去零因子法（因式分解）法求极限
例6
解
方法总结：消去零因子法（有理化）法求极限
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1.3.1 极限的运算法则
例5
、例 6
中分子与分母的
极限均为零，但它们商的极限却可能会有各种不同的极限 值，因此称这种类型的极限为未定式的极限. 未定式的极 限类型主要有 0 ， ， 0 g ， 、1
0
例7 求
解
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1.3.1 极限的运算法则
例8 求
解 该式是 g0 型的未定式，先对分子有理化，再 用 x 除分子、分母.
课堂练习 P30 习题1-3: 4(1),(4)
高等数学应用教程 小结
1.3 极限的运算
极限的运算法则 两个重要极限 求极限的方法类型 应用——生长函数
作业
P29，习题1-3: 1（3）—（8）； 4（2）， （4） ，（5）， （6）
1.3.2 两个重要极限
例10 解
高等数学应用教程 例11 解
1.3.2 两个重要极限
高等数学应用教程
1.3.2 两个重要极限
例12 证 由P12例1.16得到：圆内接正边形面积为
所以
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2.
lim
x
1
1 x
x
e
（ 1
）
1.3.2 两个重要极限
公式：
lim
x
1
1 x
x பைடு நூலகம்
e
结构特点