微积分复习资料
基本知识复习
一、 不定积分
1． 不定积分概念，第一换元积分法
（1） 原函数与不定积分概念
设函数()F x 与()f x 在区间(),a b 内有定义，对任意的(),x a b ∈，有
()()'F x f x =或()()dF x f x dx =，
就称()F x 是()f x 在(),a b 内的一个原函数。
如果()F x 是函数()f x 的一个原函数,称()f x 的原函数全体为()f x 的不定积分,记作
()(),f x dx F x C =+?
（2） 不定积分得基本性质
1．
()()d
f x dx f x dx
=?2。()()'F x dx F x C =+? 3。()()()().Af x Bg x dx A f x dx B g x dx +=+???????
（3）基本不定积分公式表一
()(
)12
2
222(1)2)1,
1
3l n C ,
x (4)a r c t a n ,1(5a r c s i n ,
(6)c o s s i n ,(7)s i n c o s
,(8)
s e c t a n ,c o s (9)c s c c o t
,
sin (10)sec t kdx kx C k x x dx C dx x dx x C x x C xdx x C xdx x C dx xdx x C x dx xdx x C x
x μμ
μμ+=+=+≠-+=+=++=+=+=-+==+==-
+??????????是常数，（1（）2
2an sec ,(11)csc cot csc ,(12),
ln (13),(14),1
(15),1
(16).
x
x
xdx x C x xdx x C a a dx C a
shxdx chx C chxdx shx C dx thx C ch x dx cthx C sh x =+=-+=+=+=+=+=-+??????
?
（3） 第一换元积分法（凑微分法）
设()f u 具有原函数, ()u x ?=可导,则有换元公式
()()()()
'
.u x f x x dx f u du ???=??=??????
??
2． 第二换元积分法，分部积分法
（1） 第二换元积分法
设()x t ψ=是单调的、可导的函数,并且()'
0t ψ≠.又设()()'
f t t ψψ????具有原函数,
则有换元公式
()()()()
1'
,t x f x dx f t t dt ψψψ-=??=??????
??
其中()1
x ψ
-是()x t ψ=的反函数.
（2） 分部积分法
设函数()u u x =及()v v x =具有连续导数,那么,
()
'
'',uv u v uv =+
移项,得 ()'
''.uv uv u v =-
对这个等式两边求不定积分,得
''.uv dx uv u vdx =-??
这个公式称为分部积分公式.它也可以写成以下形式:
.udv uv vdu =-??
（3） 基本积分公式表二
(2222
(17)tan ln cos )cot ln sin ,sec ln sec tan C,(20)csc ln csc cot ,1(21)arctan ,
1(22)ln ,2(23)arcsin ,
(24)ln ,
(2xdx x C xdx x C xdx x xdx x x C dx x C a x a a dx x a
dx C x a a x a x
C a x C =-+=+=++=-+=++-=+-+=+=++?????
?，（18
（19）5)ln .
x C =+ （3）有理函数的积分，三角函数有理式的积分，某些简单无理式的积分
一、有理函数的积分 两个多项式的商
()
()
P x Q x 称为有理函数，又称为有理分式.我们总假定分子多项式()P x 与分母多项式()Q x 之间是没有公因式的.当分子多项式()P x 的次数小于分母多项式
()Q x 的次数时,称这有理函数为真分式,否则称为假分式.
利用多项式的除法,总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分式之和的形式,由于多项式的积分容易求,故我们将重点讨论真分式的积分方法.
对于真分式
()
()
n m P x Q x ,首先将()m Q x 在实数范围内进行因式分解,分解的结果不外乎两种
类型:一种是()k
x a -,另外一种是()
2
l
x px q ++,其中,k l 是正整数且2
40p q -<;其次,根
据因式分解的结果,将真分式拆成若干个分式之和.
具体的做法是:
若()m Q x 分解后含有因式()k
x a -,则和式中对应地含有以下k 个分式之和:
()()
()
12
2
,k
k
A A A x a x a x a +++
---
其中:1,
,k A A 为待定常数.
若()m Q x 分解后含有因式()
2
l
x px q ++,则和式中对应地含有以下l 个分式之和:
()()
()
1122
222
2
,l l
l
M x N M x N M x N x px q x px q x
px q ++++++
++++++
其中:(),1,2,
,i i M N i l =为待定常数.
以上这些常数可通过待定系数法来确定.上述步骤称为把真分式化为部分分式之和,所以,有理函数的积分最终归结为部分分式的积分.
二、可化为有理函数的积分举例 例4 求
()1sin .sin 1cos x
dx x x ++?
解 由三角函数知道,sin x 与cos x 都可以用tan
2x
的有理式表示,即 2222
22222tan 2tan
22sin 2sin cos ,22sec 1tan 22
1tan 1tan 22cos cos sin .22sec 1tan 22
x x x x x x x
x x
x x x x x ===+--=-=
=+
如果作变换()tan
2
x
u x ππ=-<<,那么 2
22
21sin ,cos ,11u u x x u u -=
=++ 而2arctan ,x u =从而
2
2
.1dx du u =+ 于是
()222222
21sin sin 1cos 2211121111112212ln 2211tan tan ln tan .42222
x
dx x x u du u u u u u u u du u u u u C x x x
C ++??+ ?
++??=??
-+ ?++??
??
=
++ ???
??=+++ ???=+++??
?
例5
求
. 解
u =,于是2
1,2,x u dx udu =+=从而所求积分为
(
)2
22222111212arctan 12
.
u u dx udu du
x u u du u u C u C =?=++?
?=-=-+ ?
+??=+???? 例6
求
解
u =,于是32
2,3,x u dx u du =-=从而所求积分为
2
2
3113113ln 13ln 1.2
u du
u u du
u u u u C C =+?
?=-+ ?+????=-+++=+ ?
??
??
例7 求
解 设6x t =,于是5
6,dx t dt =从而所求积分为
(
)(
)52
223
266111616arctan 16
arctan .
t t dt dt t t t
dt t t C t C ==++?
?=-=-+ ?+??=+???
例8
求
.
解
t =,于是()
2222112,,,11x tdt
t x dx x t t +===---
从而所求积分为 ()()(
)22
222222*********ln 1122ln 1ln 12ln 1ln .t t t t dt dt
t t t dt t C
t t t t t C x C -=-?=----?
?=-+=--+ ?-+??=-++--+?=-++???
???
二、 定积分
（1） 定积分概念，微积分基本定理，定积分得基本性质 （1） 定积分的概念
1。定积分的定义
定义(定积分) 设函数()f x 在区间[],a b 上有定义.用分点
0121,n n a x x x x x b -=<<<
<<=
将区间[],a b 任意分成n 个小区间,小区间的长度为
()11,2,
,,i i i x x x i n -?=-=
记{}1max .i i n
x λ≤≤=?在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1i i i i x x ξξ-≤≤,作乘积
()()1,2,
,.i i f x i n ξ??=
将这些乘积相加,得到和式
()1
,n
n i i i f x σξ==??∑
这个和称为函数()f x 在区间[],a b 上的积分和.令0λ→,若积分和n σ有极限I (这个值I 不依赖于[],a b 的分法以及中间点i ξ的取法()1,2,,i n =),则称此极限值为()f x 在[]
,a b 上的定积分,记作
()()0
1
lim ,n
b
i i a
i I f x f x dx λξ→==??=∑?
其中a 和b 分别称为定积分的下限与上限，[],a b 称为积分区间.
函数的可积性
定理1 若()f x 在[],a b 上连续,则()f x 在[],a b 上可积.
定理2 若()f x 在[],a b 上只有有限个间断点,并且有界,则()f x 在[],a b 上可积.
定积分的几何定义
在[],a b 上()0f x ≥时,我们已经知道,定积分
()b
a
f x dx ?在几何上表示由曲线
()y f x =、两条直线,x a x b ==与x 轴所围成的曲边梯形的面积;在[],a b 上()0f x ≤时,
由曲线()y f x =、两条直线,x a x b ==与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方,定积分
()b
a
f x dx ?在几何上表示上述曲边梯形面积的负值;在[],a b 上()f x 既取得正值又取得负
值时,函数()f x 的图形某些部分在x 轴的上方,而其它部分在x 轴下方.此时定积分
()b
a
f x dx ?表示x 轴上方图形面积减去x 轴下方图形面积所得之差(图4-2).
定积分的基本性质
为了以后计算及应用方便起见,对定积分做以下两点补充规定: (1) 当a b =时,()0b
a
f x dx =?;
(2) 当a b >时,()().b
a
a
b
f x dx f x dx =-?
?
性质1
1.b
a
dx b a =-?
性质2 (线性性质)
()()()()1212.b
b b
a
a a k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+?????
??
推论1 ()()()().b
b
b
a a a f x g x dx f x dx g x dx ±=±???
???? 推论2 ()().b
b
a a kf x dx k f x dx =?
?
性质3
()()().b
c
b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx =+???
性质4 若()(),a b f x g x <≤,则()().b b
a
a
f x dx
g x dx ≤??
推论3 若(),0a b f x <≥,则
()0.b
a
f x dx ≥?
推论4 若(),a b m f x M <≤≤,则()()().b
a
m b a f x dx M b a -≤≤-?
推论5
()()().b
b
a
a
f x dx f x dx a b ≤
?
性质5(定积分中值定理)（图4-6） 若()f x 在[],a b 上连续,则至少有一点[],a b ξ∈,使得
()()().b
a
f x dx f b a ξ=-?
积分上限的函数及其导数
定理1 如果函数()f x 在区间[],a b 上连续,则积分上限的函数
()()x
a
x f t dt Φ=?
在[],a b 上可导,并且它的导数
()()()()'.x
a d x f t dt f x a x
b dx
Φ=
=≤≤? 定理2 如果函数()f x 在区间[],a b 上连续,则函数
()()x
a
x f t dt Φ=?
就是()f x 在[],a b 上的一个原函数.
一、牛顿---莱布尼茨公式
定理3 如果函数()F x 是连续函数()f x 在区间[],a b 上的一个原函数,则
()()().b
a
f x dx F b F a =-?
通常也把牛顿----莱布尼茨公式叫做微积分基本公式.
（2） 定积分的换元积分法与分部积分法
()f x 在[],a b 上连续,作变换()x t ?=,其中()t ?满足 ()()(1),,a b ?α?β==且当[],t αβ∈时,()[],t a b ?∈;
(2)()t ?在[],αβ上具有连续导数,则
()()()'
.b
a
f x dx f t t dt β
α
??=?????
?
定积分的分部积分法：()()()()()()'
'
b
b
b
a
a
a
u x v x dx u x v x v x u x dx
=-??
例28 证明:
1. 若()f x 在[],a a -上是连续的偶函数,则
()()0
2.a
a
a
f x dx f x dx -=?
?
2. 若()f x 在[],a a -上是连续的奇函数,则
()0.a
a
f x dx -=?
例29 若()f x 在[]0,1上连续,证明:
(1)
()()2
20
sin cos ;f x dx f x dx π
π
=??
(2)
()()0
sin sin .2xf x dx f x dx π
π
π
=
?
?
例31 设()f x 是连续的周期函数，周期为T ，证明:
(1)
()()0
;a T
T
a
f x dx f x dx +=??
(2)
()()()0
.a nT T
a
f x dx n f x dx n N +=∈?
?
例9 证明:
220
sin cos 1331,2422
n-1342,.n 253n
n n I xdx xdx
n n n n n n n n π
ππ
==--??????-=?
-????-?
??为正偶数；为正奇数 证:令,2
x t π
=
-则
220
2
sin cos cos .n
n
n xdx tdt xdx π
π
π=-=?
??
当2n ≥时,
()()()()()1220
1
22220
2
220
2sin sin cos cos sin
1sin cos 1sin
1sin 11.
n
n n n n n n n n I xdx xd x x x n x xdx
n xdx n xdx
n I n I π
π
π
ππ
π
-----==-=-+-=---=---?????
这样,我们得递推公式:
21
.n n n I I n --=
当n 为正偶数时,013
31;242n n n I I n n --=?
?- 当n 为正奇数时,113
32.2
43
n n n I I n n --=?
?- 又
210
200
sin 1,
.
2
I xdx I dx π
π
π
====
??
故
1331,2422
n-1342,.n 253n n n n n n I n n n π
--??????-=?
-????-?为正偶数；为正奇数
在一些实际问题中,常会遇到积分区间为无穷区间,或者被积函数为无界函数的积分,它
反常积分
无穷限的反常积分
定义1 设函数()f x 在区间[),a +∞上连续,取t a >,如果极限
()lim t
a
t f x dx →+∞?
存在,则称此极限为函数()f x 在无穷区间[),a +∞上的反常积分,记作
(),a
f x dx +∞
?
即
()()lim ,t
a
a
t f x dx f x dx +∞
→+∞=?
?
这时也称反常积分
()a
f x dx +∞
?
收敛;如果上述极限不存在,则函数()f x 在无穷区间[),a +∞上的反常积分()a
f x dx +∞
?就没有意义,习惯上称为反常积分()a
f x dx +∞?
发散,这时
记号
()a
f x dx +∞
?
不再表示数值了.
类似地, 设函数()f x 在区间(],b -∞上连续,取t b <,如果极限
()lim b
t
t f x dx →-∞?
存在,则称此极限为函数()f x 在无穷区间(],b -∞上的反常积分,记作
(),b
f x dx -∞
?
即
()()lim ,b
b
t
t f x dx f x dx -∞
→-∞=?
?
这时也称反常积分
()b
f x dx -∞
?
收敛;如果上述极限不存在,则称反常积分()b
f x dx -∞
?
发散.
设函数()f x 在区间(),-∞+∞上连续,如果反常积分
()0
f x dx -∞
?
和()0
f x dx +∞
?
都收敛,则称上述两反常积分之和为函数()f x 在无穷区间(),-∞+∞上的反常积分,记作
(),f x dx +∞
-∞
?
即
()()()0
,f x dx f x dx f x dx +∞
+∞
-∞
-∞
=+?
?
?
这时也称反常积分
()f x dx +∞
-∞
?
收敛;否则就称反常积分()f x dx +∞
-∞
?
发散.
上述反常积分统称为无穷限的反常积分.
由上述定义及牛顿---莱布尼茨公式,可得如下结果.
设()F x 为()f x 在[),a +∞上的一个原函数,若()lim x F x →+∞
存在,则反常积分
()()()lim ;a
x f x dx F x F a +∞
→+∞
=-?
若()lim x F x →+∞
不存在,则反常积分
()a
f x dx +∞
?
发散.
如果记()()()()()lim ,,a x F F x F x F F a +∞
→+∞
+∞==+∞-????则当()F +∞存在时,
()();a a
f x dx F x +∞
+∞
=?????
当()F +∞不存在时, 反常积分
()a
f x dx +∞
?
发散.
类似地,若在(],b -∞上()()'
F x f x =,则当()F -∞存在时,
()();b
b
f x dx F x -∞-∞
=?????
当()F -∞不存在时, 反常积分
()b
f x dx -∞
?
发散.
若在(),-∞+∞内()()'
F x f x =,则当()F -∞与()F +∞都存在时,
()();f x dx F x +∞
+∞
-∞-∞
=?????
当()F -∞与()F +∞有一个不存在时, 反常积分
()f x dx +∞
-∞
?
发散.
例2证明反常积分()0p a
dx
a x
+∞
>?
当1p >时收敛,当1p ≤时发散. 证 当1p =时,
[]ln .p a a
a dx dx x x x
+∞
+∞+∞
===+∞?
? 当1p ≠时,
11,1,
, 1.11p
p p a
a
p dx x a p x p p +∞
-+∞
-+∞-???-?
?
因此,当1p >时,这反常积分收敛,其值为11
p
a p --;当1p ≤时,这反常积分发散.
一、无界函数的反常积分
现在我们把定积分推广到被积函数为无界函数的情形.
如果函数()f x 在点a 的任一邻域内都无界,那么点a 称为函数()f x 的瑕点.无界函数的反常积分又称为瑕积分.
定义2 设函数()f x 在(],a b 上连续,点a 为()f x 的瑕点.取t a >,如果极限
()lim b
t
t a f x dx +
→?
存在,则称此极限为函数()f x 在(],a b 上的反常积分,仍然记作
(),b
a
f x dx ?即
()()lim ,b
b
a
t
t a
f x dx f x dx +→=?
?
这时也称反常积分
()b a
f x dx ?收敛;如果上述极限不存在,则称反常积分()b
a
f x dx ?发散.
类似地, 设函数()f x 在[),a b 上连续,点b 为()f x 的瑕点.取t b <,如果极限
()lim t
a
t b
f x dx -→?
存在,则定义
()()lim ;b
t
a
a
t b f x dx f x dx -
→=??
否则,就称反常积分
()b
a
f x dx ?发散.
设函数()f x 在[],a b 上除点()c a c b <<外连续,点c 为()f x 的瑕点.如果两个反常积分
()c a
f x dx ?和()b
c
f x dx ?
都收敛,则定义
()()(),b
c b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx =+?
??
否则就称反常积分
()b a
f x dx ?发散.
计算无界函数的反常积分,也可借助于牛顿---莱布尼茨公式.
设x a =为()f x 的瑕点,在(],a b 上()()'
F x f x =,如果极限()lim x a
F x +
→存在,则反常积分
()()()()()lim ;b
a
x a
f x dx F b F x F b F a ++→=-=-?
如果()lim x a
F x +
→不存在,则反常积分()b
a
f x dx ?发散.
我们仍用记号()b
a F x ????来表示()()
F b F a +
-,从而形式上仍有
()();b
b
a a
f x dx F x =?????
对于()f x 在[),a b 上连续,b 为瑕点的反常积分,也有类似的计算公式,这里不再详述. 例5 证明反常积分
()
b
q
a
dx
x a -?当01q <<时收敛,当1q ≥时发散.
微分方程
微分方程的基本概念
一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程.未知函数是一元函数的，叫做常微分方程；未知函数是多元函数的，叫做偏微分方程.微分方程有时也简称方程.
微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶. 设函数()y x ?=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，
(),(),(),,()0n F x x x x ???'??≡??，
那么函数()y x ?=就叫做微分方程（10）在区间I 上的解.
如果微分方程的解中含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数
相同，这样的解叫做微分方程的通解.
设微分方程中的未知函数为()y y x =，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的条件是：
0x x =时，0y y =，
或写成 0
0x x y y ==，
其中00x y 、都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的条件是：
0x x =时，00
,y y y y ''==. 或写成 0
00
,x x x x y y y y ==''==， 其中00x y 、和0
y '都是给定的值.上述这种条件叫做初始条件. 确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解.一阶微分方程的初值问题，记作
0(,),
.x x y f x y y y ='=???=?? （12） 微分方程的解的图形是一族曲线，叫做微分方程的积分曲线.初值问题（12）的几何意义，就是求微分方程的通过点00(,)x y 的那条积分曲线.二阶微分方程的初值问题
000(,,)
,x x x x y f x y y y y y y =='''=???''==?? 的几何意义，是求微分方程的通过点00(,)x y 且在该点处的切线斜率为0
y '的那条积分曲线.
可分离变量的微分方程
如果一个一阶微分方程能写成
()()g y dy f x dx = （5）
的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含y 的函数和dy ，另一端只含x 的函数和dx ，那么原方程就称为可分离变量的微分方程.
()()g y dy f x dx =??.
设()G y 及()F x 依次为()g y 及()f x 的原函数，于是有
()()G y F x C =+. （6）
齐次方程
一、齐次方程 如果一阶微分方程
(),dy
f x y dx
= 中的函数(,)f x y 可写成y x 的函数，即(,)()y
f x y x
?=，则称这方程为齐次方程，引进新的
未知函数
y
u x
=
, （2） 就可化为可分离变量的方程.因为由（2）有
,
dy du
y ux u x
dx dx ==+， 代入方程（1），便得方程
()du
u x
u dx
?+=， 即 ()du
x u u dx
?=-. 分离变量，得
()du dx
u u x
?=-.
两端积分，得
()du dx
u u x ?=-??.
求出积分后，再以y
x
代替u ，便得所给齐次方程的通解. 可化为齐次的方程
方程
111
dy ax by c dx a x b y c ++=++ (3) 当10c c ==时是齐次的，否则不是齐次的.在非齐次的情形，可用下列变换把它化为齐次方程：令
,x X h y Y k =+=+，
其中h 及k 是待定的常数.于是
,dx dX dy dY ==，
从而方程(3)成为
11111
dY aX bY ah bk c
dX a X bY a h b k c ++++=++++. 如果方程组
111
0ah bk c a h b k c ++=??
++=? 的系数行列式
110a b a b ≠，即11a b
a b
≠，那么可以定出h 及k 使它们满足上述方程组.这样，
方程(3)便化为齐次方程
11dY aX bY
dX a X b Y
+=+. 求出这齐次方程的通解后，在通解中以x h -代X ，y k -代Y ，便得方程(3)的通解.
当
11a b a b =时，h 及k 无法求得，因此上述方法不能应用.但这时令11a b
a b
λ==，从而方程(3)可写成
1
()dy ax by c
dx ax by c λ++=++. 引入新变量v ax by =+，则
dv dy a b dx dx =+，或
1dy dv a dx b dx ??=- ???
. 于是方程(3)成为
1
1dv v c a b dx v c λ+??-= ?+??，
这是可分离变量的方程.
以上所介绍的方法可以应用于更一般的方程
111dy
ax by c f dx a x b y c ??++= ?++??
. 一阶线性微分方程
一、 线性方程
方程
()()dy
P x y Q x dx
+= (1) 叫做一阶线性微分方程，因为它对于未知函数y 及其导数是一次方程.如果()0Q x ≡,则方 程(1)称为齐次的；如果()Q x 不恒等于零，则方程(1)称为非齐次的.
设(1)为非齐次线性方程.为了求出非齐次线性方程(1)的解，我们先把()Q x 换成零而写出
()0dy
P x y dx
+= （2） 方程（2）叫做对应于非齐次线性方程(1)的齐次线性方程.方程（2）是可分离变量的，分离变量后得
()dy
P x dx y
=-， 两端积分，得
1ln ()y P x dx C =-+?，
或 ()
1(),P x dx
C y Ce C e -?
==±， 这是对应的齐次线性方程（2）的通解.这里记号()P x dx ?
表示()P x 的某个确定的原函数.
现在我们使用所谓常数变易法来求非齐次线性方程（1）的通解.这方法是把（2）的通解中的C 换成x 的未知函数()u x ，即作变换
()P x dx
y ue -?=， （3）
于是
()()()P x dx P x dx dy
u e uP x e dx
--??
'=-. （4） 将（3）和（4）代入方程（1）得
()()()()()()P x dx P x dx P x dx u e uP x e P x ue Q x ---???'-+=，
即 ()()(),()P x dx P x dx
u e Q x u Q x e -??''==.
两端积分，得 ()()P x dx
u Q x e dx C ?
=+?
.
把上式代入（3），便得非齐次线性方程（1）的通解
()()(())P x dx P x dx
y e Q x e dx C -??=+?. （5）
将（5）式改写成两项之和
()()()()P x dx P x dx P x dx y Ce e Q x e dx --???=+?
， 上式右端第一项是对应的齐次线性方程（2）的通解，第二项是非齐次线性方程（1）
的一个特解（在（1）的通解（5）中取0C =便得到这个特解）.由此可知，一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和.
二、 伯努利方程 方程
()()(0,1)n dy
P x y Q x y n dx
+=≠ （13）
叫做伯努利（Bernoulli ）方程.当0n =或1n =时，这是线性微分方程.当0,1n n ≠≠时，这方程不是线性的，但是通过变量的代换，便可把它化为线性的.事实上，以n
y 除方程（13） 的两端，得
1()()n
n dy
y P x y Q x dx
--+= （14）
容易看出，上式左端第一项与()1n
d y dx
-只差一个常数因子1n -，因此我们引入新的未知函数
1n z y -=，
那么
(1)n
dz dy
n y dx dx
-=-. 用(1)n -乘方程（14）的两端，再通过上述代换便得线性方程
(1)()(1)()dz
n P x z n Q x dx
+-=-. 求出这方程的通解后，以1n
y
-代z 便得到伯努利方程的通解.
利用变量代换（因变量的变量代换或自变量的变量代换），把一个微分方程化为变量可分离的方程，或化为已经知其求解步骤的方程，这是解微分方程最常用的方法.下面再举一个例子.
例5 解方程
1dy dx x y
=+. 解 若把所给方程变形为
dx
x y dy
=+， 即为一阶线性方程，则按一阶线性方程的解法可求得通解. 也可用变量代换来解所给方程： 令x y u +=，则y u x =-，
1dy du dx dx =-.代入原方程，得 11
1,du du u dx u dx u
+-==
. 分离变量得
1
u
du dx u =+， 两端积分得 ln 1u u x C -+=+. 以u x y =+代入上式，即得
ln 1y x y C -++=，
或 111,()y C
x C e y C e -=--=±.
可降阶的高阶微分方程
一、 ()
()n y
f x =型的微分方程
微分方程 ()
()n y f x = (2)
的右端仅含有自变量x .容易看出，只要把(1)
n y
-作为新的未知函数，那么(2)式就是新未知函
数的一阶微分方程.两边积分，就得到一个1n -阶的微分方程
(1)1()n y f x dx C -=+?.
同理可得 (2)
12()n y
f x dx C dx C -??=++??
??.
依此法继续进行，接连积分n 次，便得方程(2)的含有n 个任意常数的通解.
二、 (,)y f x y
'''=型的微分方程 方程
(,)y f x y '''= (7)
的右端不显含未知函数y .如果我们设y p '=，那么
dp
y p dx
'''=
=， 而方程 (7)就成为
(,)p f x p '=.
这是一个关于变量x 、p 的一阶微分方程.设其通解为
1(,)p x C ?=.
但是dy
p dx
=
，因此又得到一个一阶微分方程 1(,)dy
x C dx
?=. 对它进行积分，便得方程(7)的通解为
12(,)y x C dx C ?=+?.
三、 (,)y f y y
'''=型的微分方程 方程
(,)y f y y '''= (11)
中不明显地含自变量x .为了求出它的解，我们令y p '=，并利用复合函数的求导法则把y ''化为对y 的导数，即
dp dp dy dp
y p dx dy dx dy
''=
=?=. 这样，方程(11)就成为
(,)dp
p
f y p dy
=. 这是一个关于变数y 、p 的一阶微分方程.设它的通解为
1(,)y p y C ?'==，
分离变量并积分，便得方程 (11)的通解为
21(,)dy
x C y C ?=+?.
题型分析
1． 简单积分法
例：.d 1114
2
2x x
x x ?
--++求
.d 1114
2
2x x
x x ?
--++
?
?
++-=2
2
1d 1d x
x
x
x
微积分知识点小结
第一章 函数 一、本章提要 基本概念 函数，定义域，单调性，奇偶性，有界性，周期性，分段函数，反函数，复合函数，基本初等函数，初等函数 第二章 极限与连续 一、本章提要 1.基本概念 函数的极限，左极限，右极限，数列的极限，无穷小量，无穷大量，等价无穷小，在一点连续，连续函数，间断点，第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第二类间断点. 2.基本公式 (1) 1sin lim 0=→口 口口， (2) e )11(lim 0=+→口口口 (口代表同一变量). 3.基本方法 ⑴ 利用函数的连续性求极限； ⑵ 利用四则运算法则求极限； ⑶ 利用两个重要极限求极限； ⑷ 利用无穷小替换定理求极限； ⑸ 利用分子、分母消去共同的非零公因子求0 0形式的极限； ⑹ 利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求 ∞∞形式的极限； ⑺ 利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限； ⑻ 利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限. 4.定理 左右极限与极限的关系，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性，极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质. 第三章 导数与微分 一、本章提要
瞬时速度，切线，导数，变化率，加速度，高阶导数，线性主部，微分． 2.基本公式 基本导数表，求导法则，微分公式，微分法则，微分近似公式． 3.基本方法 ⑴利用导数定义求导数； ⑵利用导数公式与求导法则求导数； ⑶利用复合函数求导法则求导数； ⑷隐含数微分法； ⑸参数方程微分法； ⑹对数求导法； ⑺利用微分运算法则求微分或导数． 第四章微分学的应用 一、本章提要 1. 基本概念 未定型,极值点,驻点,尖点,可能极值点,极值,最值,曲率,上凹,下凹,拐点,渐近线,水平渐近线,铅直渐近线． 2.基本方法 ⑴用洛必达法则求未定型的极限； ⑵函数单调性的判定； ⑶单调区间的求法； ⑷可能极值点的求法与极大值（或极小值）的求法； ⑸连续函数在闭区间上的最大值及最小值的求法； ⑹求实际问题的最大（或最小）值的方法； ⑺曲线的凹向及拐点的求法； ⑻曲线的渐近线的求法； ⑼一元函数图像的描绘方法． 3. 定理 柯西中值定理,拉格朗日中值定理,罗尔中值定理, 洛必达法则,函数单调性的判定定理,极值的必要条件,极值的第一充分条件,极值的第二充分条件,曲线凹向的判别法则． 第五章不定积分 一、本章提要 1. 基本概念 原函数，不定积分．
大学高等数学重点绝密通用复习资料,绝对有用
高等数学（通用复习） 师兄的忠告：记住我们只复习重点，不需要学得太多，这些是每年必须的重点，希望注意 第一章 函数与极限 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★） (){},|U a x x a δ δ=-< (U a 1．由n x ∴N 2．即对?∴x ∞ →lim ○x →1．由(f ∴δ=2．即对?∴x x →0 lim ○→x 1．由(f ∴X 2．即对?∴x ∞ →lim 第三节 无穷小与无穷大 ○无穷小与无穷大的本质（★） 函数()x f 无穷小?()0lim =x f 函数()x f 无穷大?()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★） （定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ?=????
（定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1 f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且 ()0f x ≠，则()x f 1 -为无穷大 【题型示例】计算：()()0 lim x x f x g x →?????（或∞→x ） 1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U 内是有界的； （∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2． →x （→x 3（x →0lim x x → 3 9 x x →-【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原式()() 2 3 3 3 33 11lim lim lim 9 333 6 x x x x x x x x x →→→--==== -+-+ 其中3x =为函数()2 39 x f x x -= -的可去间断点 倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：
大学高等数学(微积分)下期末考试卷(含答案)
大学高等数学（微积分）<下>期末考试卷 学院： 专业： 行政班： 姓名： 学号： 座位号： ----------------------------密封-------------------------- 一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末 的括号中，本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、设lim 0n n a →∞ =，则级数 1 n n a ∞ =∑（ ）； A.一定收敛，其和为零 B. 一定收敛，但和不一定为零 C. 一定发散 D. 可能收敛，也可能发散 2、已知两点(2,4,7),(4,6,4)A B -----，与AB 方向相同的单位向量是（ ）； A. 623(, , )777 B. 623(, , )777- C. 623( ,, )777-- D. 623(, , )777-- 3、设3 2 ()x x y f t dt = ? ，则dy dx =（ ）； A. ()f x B. 32()()f x f x + C. 32()()f x f x - D.2323()2()x f x xf x - 4、若函数()f x 在(,)a b 内连续，则其原函数()F x （ ） A. 在(,)a b 内可导 B. 在(,)a b 内存在 C. 必为初等函数 D. 不一定存在
二、填空题（将正确答案填在横线上, 本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、级数1 1 n n n ∞ =+∑ 必定____________（填收敛或者发散）。 2、设平面20x By z -+-=通过点(0,1,0)P ，则B =___________ 。 3、定积分1 21sin x xdx -=?__________ _。 4、若当x a →时，()f x 和()g x 是等价无穷小，则2() lim () x a f x g x →=__________。 三、解答题(本大题共4小题，每小题7分，共28分 ) 1、( 本小题7分 ) 求不定积分sin x xdx ? 2、( 本小题7分 ) 若()0)f x x x =+>，求2'()f x dx ?。
(完整)同济版高等数学下册练习题(附答案)
第八章 测 验 题 一、选择题： 1、若a → ，b → 为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→ ?= ( ). (A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→ . 向量a b →→?与二向量a → 及b → 的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 . 3、设向量Q → 与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有( ) ()(); (); ()A Q xoy B Q yoz C Q xoz D Q xoz ⊥r r r r 面； 面面面 5、2 ()αβ→ → ±=( ) (A)22αβ→→±； (B)2 2 2ααββ→→→ →±+； (C)2 2 ααββ→→→ →±+； (D)2 2 2ααββ→→→ →±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠， 则 平面( ). (A) 平行于轴；x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为111122 00A x B y C z D B y D +++=??+=?且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面2 50z xy yz x +--=与直线5 13 x y -=- 10 7 z -= 的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).-- 9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 22160 x y z ?+=?=?，则此球面的方程是( ). (A)2 2 2 6160x y z z ++++=； (B)222 160x y z z ++-=； (C)2 2 2 6160x y z z ++-+=； (D)2 2 2 6160x y z z +++-=. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ). (A)2 2 2 1x y z ++=； (B)22 4x y z +=； (C)22 2 14y x z -+=； (D)2221916 x y z +-=-. 二、已知向量,a b r r 的夹角等于3 π ，且2,5a b →→==，求 (2)(3)a b a b →→→→ -?+ . 三、求向量{4,3,4}a → =-在向量{2,2,1}b → =上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b → → =-=-{}2,1,3b =-，求其面积 . 五、已知,,a b →→ 为两非零不共线向量，求证： ()()a b a b →→→→-?+2()a b →→ =?. 六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距离的一半，试求该动点轨迹曲面与yoz 面的交线方程 . 七、求直线L ：31258x t y t z t =-?? =-+??=+? 在三个坐标面上及平面 π380x y z -++=上的投影方程 . 八、求通过直线 122 232 x y z -+-==-且垂直于平面3250x y z +--=的平面方程 .
微积分下册知识点
微积分（下）知识点 第 1 页 共 18 页 微积分下册知识点 第一章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算 1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、 共面； 2、 线性运算：加减法、数乘； 3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式； 4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ， ),,(z y x b b b b = ， 则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=± , ),,(z y x a a a a λλλλ= ； 5、 向量的模、方向角、投影： 1） 向量的模： 222z y x r ++= ； 2） 两 点 间 的 距 离公式： 212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-= 3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,, 4） 方向余弦：r z r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα 5） 投影：?cos Pr a a j u =，其中?为向量a 与u 的夹角。 （二） 数量积，向量积 1、 数量积：θcos b a b a =? 1）2a a a =? 2）?⊥b a 0=?b a z z y y x x b a b a b a b a ++=? 2、 向量积：b a c ?=
微积分（下）知识点 第 1 页 共 18 页 大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规则 1）0 =?a a 2）b a //?0 =?b a z y x z y x b b b a a a k j i b a =? 运算律：反交换律 b a a b ?-=? （三） 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S 2、 旋转曲面： yoz 面上曲线0),(:=z y f C ， 绕y 轴旋转一周： 0),(2 2=+±z x y f 绕 z 轴旋转一周： 0),(22=+±z y x f 3、 柱面： ),(=y x F 表示母线平行于 z 轴，准线为 ?????==0 ),(z y x F 的柱面 4、 二次曲面（不考） 1） 椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：122 222 2=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 4） 双叶双曲面：122 22 2 2 =--c z b y a x
大一微积分复习资料教学教材
大学的考试比较简单，主要以书本为主，下面的复习指导可作提引作用。 10—11学年第一学期“微积分”期末复习指导 第一章 函数 一．本章重点 复合函数及分解，初等函数的概念。 二．复习要求 1、 能熟练地求函数定义域；会求函数的值域。 2、理解函数的简单性质，知道它们的几何特点。 3、 牢记常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等六类基本初等函数的表达式，知道它们的定义域、值域、性质及图形特点。其中 ⑴. 对于对数函数ln y x =不仅要熟记它的运 算性质，还能熟练应用它与指数函数 x y e =互为反函数的关系，能熟练将幂指函数作如下代数运算： ln v u v u e = ⑵.对于常用的四个反三角函数，不仅要熟习它们的定义域、值域及简单性质，还要熟记它们在特殊点的函数值. 4、 掌握复合函数，初等函数的概念，能熟练地分解复合函数为简单函数的组合。 5、 知道分段函数，隐函数的概念。 . 三．例题选解 例1. 试分析下列函数为哪几个简单函数（基本初等函或基本初等函数的线性函数）复合而成的？ ⑴.2 sin x y e = ⑵.2 1 arctan( )1y x =+ 分析：分解一个复合函数的复合过程应由外层向里层进行，每一步的中间变量都必须是基本初等函数或其线性函数（即简单函数）。 解： ⑴.2,,sin u y e u v v x ===⑵.21 arctan ,, 1.y u u v x v == =+ 例 2. cot y arc x =的定义域、值域各是什么？cot1arc ＝？ 答： cot y arc x = 是cot ,(0,)y x x π=∈ 的反函数，根据反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域，可知cot y arc x =的定义域是 (,)f D =-∞+∞，值域为(0,)f Z π=. cot14 arc π = 四．练习题及参考答案 1. ()arctan f x x = 则f (x )定义域为 ，值域为 f (1) = ；(0)f = . 2.()arcsin f x x = 则f (x )定义域为 ，值域为 f (1) = ；f = . 3.分解下列函数为简单函数的复合： ⑴.3x y e -= ⑵.3 ln(1)y x =- 答案： 1.（-∞ +∞）, (, )2 2 π π - , ,04 π
微积分下册期末试卷附答案
中南民族大学06、07微积分（下）试卷 及参考答案 06年A 卷 评分 阅卷人 1、已知22 (,)y f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________. 2、已知,则= ?∞ +--dx e x x 0 21 ___________. π =? ∞ +∞ --dx e x 2 3、函数 22 (,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则= ')0,1(x f ________. 5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是 ____________________. 二、选择题(每小题3分,共15分) 评分 阅卷人 6 知dx e x p ?∞ +- 0 )1(与?-e p x x dx 1 1 ln 均收敛, 则常数p 的取值范围是( ). (A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >
7 数???? ?=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222 22 2y x y x y x x y x f 在原点间断, 是因为该函数( ). (A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义 (D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8、若 2 2223 11 1x y I x y dxdy +≤= --?? ,22223212 1x y I x y dxdy ≤+≤=--??, 2 2223 324 1x y I x y dxdy ≤+≤=--?? ,则下列关系式成立的是( ). (A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I << 9、方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+= 10、设∑∞ =12n n a 收敛，则∑∞ =-1) 1(n n n a ( ). (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 三、计算题(每小题6分,共60分) 评分 评分 评阅人 11、求由2 3x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.
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《高等数学》试卷1（下） 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（ ）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π=b a 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+
A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 23+--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 四.应用题（10分?2） 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ . 试卷1参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-01 21.
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大一经典高数复习资料经典最新(经典全面复习)
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高等数学(本科少学时类型) 第一章 函数与极限 第一节 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）(★★★) ○邻域（去心邻域)(★) (){} ,|U a x x a δδ=-< (){},|0U a x x a δδ=<-< 第二节 数列的极限 ○数列极限的证明（★) 【题型示例】已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞ = 【证明示例】N -ε语言 1．由n x a ε-<化简得()εg n >, ∴()N g ε=???? 2.即对0>?ε,()N g ε?=????,当N n >时,始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}a x n x =∞ →lim 第三节 函数的极限 ○0x x →时函数极限的证明（★） 【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0 lim 【证明示例】δε-语言 １．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<， ∴()εδg = 2．即对0>?ε,()εδg =?,当00x x δ<-<时,始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0 lim ○∞→x 时函数极限的证明（★) 【题型示例】已知函数()x f ,证明()A x f x =∞ →lim 【证明示例】X -ε语言 1.由()f x A ε-<化简得()x g ε>, ∴()εg X = ２.即对0>?ε，()εg X =?，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x =∞ →lim 第四节 无穷小与无穷大 ○无穷小与无穷大的本质(★） 函数()x f 无穷小?()0lim =x f 函数()x f 无穷大?()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★) (定理三）假设()x f 为有界函数,()x g 为无穷小, 则()()lim 0f x g x ?=???? （定理四)在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大,则()1f x -为无穷小;反之，若()x f 为无穷小,且()0f x ≠，则()x f 1 -为无穷大 【题型示例】计算：()()0 lim x x f x g x →?????（或∞→x ） １.∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U 内是有界的； (∵()f x ≤M ,∴函数()f x 在D x ∈上有界；） ２．()0lim 0 =→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小; （()0lim =∞→x g x 即函数()x g 是∞→x 时的无穷小；) 3．由定理可知()()0 lim 0x x f x g x →?=???? （()()lim 0x f x g x →∞ ?=????） 第五节 极限运算法则 ○极限的四则运算法则（★★） (定理一）加减法则 (定理二）乘除法则 关于多项式()p x 、()x q 商式的极限运算 设:()()?????+?++=+?++=--n n n m m m b x b x b x q a x a x a x p 1 101 10 则有()()???????∞=∞→0 lim 0 b a x q x p x m n m n m n >=< ()()() ()000lim 0 0x x f x g x f x g x →?? ??=∞????? ()()()()()0000000,00g x g x f x g x f x ≠=≠== (特别地，当()()00 lim 0 x x f x g x →=（不定型）时，通常分子 分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解) 【题型示例】求值2 3 3 lim 9 x x x →--
微积分下册期末试卷及答案[1]
1、已知22 (,)f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________. 2、已知,则= ?∞ +--dx e x x 21 ___________. π =? ∞ +∞ --dx e x 2 3、函数 22 (,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________. 5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是 ____________________. 6 知dx e x p ?∞ +- 0 )1(与 ? -e p x x dx 1 1ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( c ). (A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p > 7 数 ?? ?? ?=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222 22 2y x y x y x x y x f 在原点间断, 是因为该函数( b ). (A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8 、若2 211 x y I +≤= ?? ,2 2 212x y I ≤+≤= ?? , 2 2 324x y I ≤+≤= ?? ,则下列关 系式成立的是( a). (A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I << 9、方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( d ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+= 10、设∑∞ =12n n a 收敛，则∑∞ =-1) 1(n n n a ( d ). (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 一、填空题(每小题3分,共15分) 1、2(1)1x y y -+. 2 3、) 32 ,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 11、求由2 3x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.解： 32 y x =的函数为
高等数学(下)期末复习题(附答案)
《高等数学（二）》期末复习题 一、选择题 1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=?b a ，则=b （ ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--. 2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ?+-=?=? 代表的图形为 ( ) （A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22 ()D I x y dxdy =+?? ，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ ） (A) 2240 a d a rdr a π θπ=? ? (B) 2240 2a d a adr a π θπ=? ? (C) 2230 02 3 a d r dr a π θπ=? ? (D) 2240 01 2 a d r rdr a π θπ=? ? 4、 设的弧段为：2 3 0,1≤ ≤=y x L ，则=? L ds 6 （ ） （A ）9 (B) 6 （C ）3 (D) 2 3 5、级数 ∑∞ =-1 1 ) 1(n n n 的敛散性为 （ ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑??=→?=n i i i i D f d y x f 1 0),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是（ ） （A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分??-1 010 d ),(d x y y x f x 等于 ( ) （A ）??-1010 d ),(d x x y x f y (B) ??-1010d ),(d y x y x f y (C) ? ?-x x y x f y 10 1 0d ),(d (D) ?? 1 010 d ),(d x y x f y 8、方程2 2 2z x y =+表示的二次曲面是 ( ) （A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ） 椭球面
微积分下册主要知识点
微积分下册主要知识点
4.1不定积分 *基本积分表 *基本积分法：利用基本积分表。 4.2换元积分法 一、第一换元积分法(凑微分法) C x F C u F du u g dx x x g +=+=='??)]([)()()()]([???. 二、常用凑微分公式 三、第二换元法 x u x u x u x u x u x u a u e u x u x u b ax u x d x f dx x x f x d x f dx x x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f da a f a dx a a f de e f dx e e f x d x f dx x x f x d x f dx x x f a b ax d b ax f a dx b ax f x x x x x x x x x x arcsin arctan cot tan cos sin ln ) (arcsin )(arcsin 11 )(arcsin .11) (arctan )(arctan 11 )(arctan .10cot )(cot csc )(cot .9tan )(tan sec )(tan .8cos )(cos sin )(cos .7sin )(sin cos )(sin .6)(ln 1)(.5)()(..4) (ln )(ln 1 )(ln .3) 0()()(1 )(.2)0()()(1 )(.12 2 221==========+=-=-=+-==-=?=?=?=?=?≠=≠++= +??????????????????????-μμμμμμμ 法 分 积元换 一第换元公式积分类型
大一经典高数复习资料经典最新经典全面复习
高等数学（本科少学时类型） 第一章 函数与极限 第一节 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★） (){} ,|U a x x a δδ=-< (){},|0U a x x a δδ=<-
微积分(下册)期末试卷与答案
中南民族大学06、07微积分（下）试 卷及参考答案 06年A 卷 1、已知22 (,)y f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________. 2、已知,则= ?∞ +--dx e x x 21 ___________. π =? ∞ +∞ --dx e x 2 3、函数22 (,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=' )0,1(x f ________. 5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是 ____________________. 二、选择题(每小题3分,共15分) 6 知dx e x p ?∞ +- 0 )1(与 ? -e p x x dx 1 1ln 均收敛,
则常数p 的取值范围是( ). (A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p > 7 数?? ?? ?=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222 222y x y x y x x y x f 在原点间断, 是因为该函数( ). (A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义 (D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8 、若 2211 x y I +≤= ?? , 22212 x y I ≤+≤= ?? , 22324 x y I ≤+≤= ?? ,则下列关系式成立的是( ). (A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I << 9、方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+= 10、设∑∞ =12n n a 收敛，则∑∞ =-1) 1(n n n a ( ). (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 三、计算题(每小题6分,共60分)
微积分(下)期末复习题完整版
期末复习题 一、填空题 1、=?→x t t x x 0 20 d cos lim . 2、若)(x f 在],[b a 上连续, 则=?b x x x f x 2d )(d d . 3、已知)(x F 是)(x f 的原函数，则?>+x x t a t f t )0( d )(1 等于 . 4、若2 e x -是)(x f 的一个原函数，则 ='? 10 d )(x x f . 5、 =++?-112d 1| |x x x x . 6、已知2 1)(x x x f +=，则)(x f 在]2,0[上的平均值为 . 7、设 ? =+π0 ),(sin d )(x f x x x f 且)(x f 连续， 则=)(x f . 8、设曲线k x y =(0,0>>x k )与直线1=y 及y 轴围成的图形面积为3 1 ，则=k . 9、设y x y y x y x f arcsin )1()2(),(22---=，则 =??) 1,0(y f . 10、设y x z 2e =，则 =???y x z 2 . 11、交换积分次序 =? ?x y y x f x ln 0e 1d ),(d . 12、交换积分次序 =? ? ---x x y y x f x 11 1 2 2d ),(d . 13、交换积分次序 ? ?-2 210 d ),(d y y x y x f y ＝ . 二、选择题 1、极限x t t x x cos 1d )1ln(lim 2sin 0 -+?→等于（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 2、设x x t t f x e d )(d d e 0=?-，则=)(x f （ ） (A) 2 1x (B) 21x - (C) x 2e - (D) x 2e -- 3、设)(x f 是连续函数，且C x F x x f +=?)(d )(，则必有（ ）B （A ）)(d )(x F t t f x a =? （B ）)(]d )([x F t t F x a ='? （C ） )(d )(x f t t F x a ='? （D ）)()(]d )([a f x f t t F x a -=''?
微积分(下册)主要知识点汇总
4.1不定积分 *基本积分表 *基本积分法：利用基本积分表。 4.2换元积分法 一、第一换元积分法(凑微分法) C x F C u F du u g dx x x g +=+=='??)]([)()()()]([???. 二、常用凑微分公式 三、第二换元法 C x F C t F dt t t f dx x f +=+='=??)]([)()()]([)(ψ??, 注: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下: 当被积函数中含有 a) ,22x a - 可令 ;sin t a x = b) ,22a x + 可令 ;tan t a x = c) ,22a x - 可令 .sec t a x = x u x u x u x u x u x u a u e u x u x u b ax u x d x f dx x x f x d x f dx x x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f da a f a dx a a f de e f dx e e f x d x f dx x x f x d x f dx x x f a b ax d b ax f a dx b ax f x x x x x x x x x x arcsin arctan cot tan cos sin ln ) (arcsin )(arcsin 11 )(arcsin .11)(arctan )(arctan 11 ) (arctan .10cot )(cot csc )(cot .9tan )(tan sec )(tan .8cos )(cos sin )(cos .7sin )(sin cos )(sin .6)(ln 1)(.5)()(..4) (ln )(ln 1 )(ln .3) 0()()(1 )(.2) 0()()(1 )(.12 2221==========+=-=-=+-==-=?=?=?=?=?≠=≠++=+??????????????????????-μμμμμμμ 法 分 积元换 一第换元公式积分类型
大一上学期微积分复习资料
易错点 10—11学年第一学期“微积分”期末复习指导 第一章 函数 一．本章重点 复合函数及分解，初等函数的概念。 二．复习要求 1、 能熟练地求函数定义域；会求函数的值域。 2、理解函数的简单性质，知道它们的几何特点。 3、 牢记常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等六类基本初等函数的表达式，知道它们的定义域、值域、性质及图形特点。其中 ⑴. 对于对数函数ln y x =不仅要熟记它的运算性质，还能熟练应用它与指数函数 x y e =互为反函数的关系，能熟练将幂指函数 作如下代数运算： ln v u v u e = ⑵.对于常用的四个反三角函数，不仅要熟习它们的定义域、值域及简单性质，还要熟记它们在特殊点的函数值. 4、 掌握复合函数，初等函数的概念，能熟练地分解复合函数为简单函数的组合。 5、 知道分段函数，隐函数的概念。 . 三．例题选解 例1. 试分析下列函数为哪几个简单函数（基本初等函或基本初等函数的线性函数）复合而成的？ ⑴.2 sin x y e = ⑵.2 1 arctan( )1y x =+ 分析：分解一个复合函数的复合过程应由外层向里层进行，每一步的中间变量都必须是基本初等函数或其线性函数（即简单函数）。 解： ⑴. 2, ,sin u y e u v v x ===⑵.21 arctan , , 1.y u u v x v == =+ 例2. cot y arc x =的定义域、值域各是什么？cot1arc ＝？ 答： cot y arc x = 是cot ,(0,)y x x π=∈ 的反函数，根据反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域，可知cot y arc x =的定义域是 (,)f D =-∞+∞，值域为(0,)f Z π=. cot14 arc π = 四．练习题及参考答案 1. ()arctan f x x = 则f (x )定义域为 ，值域为 f (1) = ；(0)f = . 2.()arcsin f x x = 则f (x )定义域为 ，值域为 f (1) = ； 2 f = . 3.分解下列函数为简单函数的复合： ⑴.3x y e -= ⑵.3 ln(1)y x =- 答案：