第8章 非线性规划
非线性规划
1. 非线性规划我们讨论过线性规划,其目标函数和约束条件都是自变量的线性函数。
如果目标函数是非线性函数或至少有一个约束条件是非线性等式(不等式),则这一类数学规划就称为非线性规划。
在科学管理和其他领域中，很多实际问题可以归结为线性规划，但还有另一些问题属于非线性规划。
由于非线性规划含有深刻的背景和丰富的内容，已发展为运筹学的重要分支，并且在最优设计,管理科学,风险管理,系统控制,求解均衡模型,以及数据拟合等领域得到越来越广泛的应用。
非线性规划的研究始于三十年代末,是由W.卡鲁什首次进行的，40年代后期进入系统研究，1951年.库恩和.塔克提出带约束条件非线性规划最优化的判别条件,从而奠定了非线性规划的理论基础,后来在理论研究和实用算法方面都有很大的发展。
非线性规划求解方法可分为无约束问题和带约束问题来讨论，前者实际上就是多元函数的极值问题，是后一问题的基础。
无约束问题的求解方法有最陡下降法、共轭梯度法、变尺度法和鲍威尔直接法等。
关于带约束非线性规划的情况比较复杂，因为在迭代过程中除了要使目标函数下降外，还要考虑近似解的可行性。
总的原则是设法将约束问题化为无约束问题；把非线性问题化为线性问题从而使复杂问题简单化。
求解方法有可行方向法、约束集法、制约函数法、简约梯度法、约束变尺度法、二次规划法等。
虽然这些方法都有较好的效果，但是尚未找到可以用于解决所有非线性规划的统一算法。
非线性规划举例[库存管理问题] 考虑首都名酒专卖商店关于啤酒库存的年管理策略。
假设该商店啤酒的年销售量为A 箱,每箱啤酒的平均库存成本为H 元,每次订货成本都为F 元。
如果补货方式是可以在瞬间完成的,那么为了降低年库存管理费用,商店必须决定每年需要定多少次货,以及每次订货量。
我们以Q 表示每次定货数量,那么年定货次数可以为QA,年订货成本为Q A F ⨯。
由于平均库存量为2Q,所以,年持有成本为2Q H ⨯,年库存成本可以表示为:Q HQ A F Q C ⨯+⨯=2)( 将它表示为数学规划问题:min Q H Q A F Q C ⋅+⋅=2)( ..t s 0≥Q其中Q 为决策变量,因为目标函数是非线性的,约束条件是非负约束,所以这是带约束条件的非线性规划问题。
非线性规划高考知识点归纳总结
非线性规划高考知识点归纳总结非线性规划是运筹学中的一个重要分支，它主要研究在非线性目标函数和非线性约束条件下的优化问题。
在高考数学中，非线性规划通常不会作为主要考点，但了解其基本概念和简单应用对于提高数学素养和解决实际问题具有重要意义。
首先，非线性规划问题可以定义为：给定一个目标函数 \( f(x_1,x_2, ..., x_n) \) 和一组约束条件 \( g_i(x_1, x_2, ..., x_n) \leq 0 \)（对于 \( i = 1, 2, ..., m \)），以及 \( h_j(x_1,x_2, ..., x_n) = 0 \)（对于 \( j = 1, 2, ..., p \)），求 \( x \) 的值，使得目标函数 \( f \) 达到最大值或最小值。
在高考中，非线性规划的知识点通常包括以下几个方面：1. 目标函数与约束条件：理解目标函数和约束条件在非线性规划中的作用，以及它们如何影响问题的解。
2. 可行域：掌握如何根据约束条件确定可行域，这是求解非线性规划问题的基础。
3. 拉格朗日乘数法：了解拉格朗日乘数法的基本原理，以及如何利用它求解带有等式约束的非线性规划问题。
4. KKT条件：掌握KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件，这是求解非线性规划问题的必要条件。
5. 数值方法：了解一些基本的数值方法，如梯度下降法、牛顿法等，这些方法在实际求解非线性规划问题时非常有用。
6. 实际应用：能够将非线性规划的概念应用到实际问题中，如资源分配、成本最小化等。
在复习非线性规划时，建议从以下几个步骤进行：- 理解概念：首先，要理解非线性规划的基本概念，包括目标函数、约束条件、可行域等。
- 掌握方法：其次，要掌握求解非线性规划问题的基本方法，如拉格朗日乘数法和KKT条件。
- 练习题目：通过大量的练习题目来巩固知识点，提高解题能力。
- 实际应用：尝试将非线性规划的概念应用到实际问题中，提高解决实际问题的能力。
非线性规划
非线性规划非线性规划是一种涉及非线性目标函数和/或非线性约束条件的优化问题。
与线性规划不同，非线性规划可能存在多个局部最优解，而不是全局最优解。
非线性规划在许多领域都有广泛的应用，如经济学、工程学和管理学等。
非线性规划的一般形式可以表示为：最小化或最大化 f(x)，其中 f(x) 是一个非线性函数，x 是决策变量向量。
满足一组约束条件g(x) ≤ 0 和 h(x) = 0，其中 g(x) 和 h(x) 是非线性函数。
为了求解非线性规划问题，可以使用不同的优化算法，如梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。
这些算法的目标是找到目标函数的最小值或最大值，并满足约束条件。
非线性规划的难点在于寻找全局最优解。
由于非线性函数的复杂性，这些问题通常很难解析地求解。
因此，常常使用迭代算法来逼近最优解。
非线性规划的一个重要应用是在经济学中的生产计划问题。
生产活动通常受到多个因素的限制，如生产能力、原材料和劳动力等。
非线性规划可以帮助确定最佳的生产数量，以最大化利润或最小化成本。
另一个应用是在工程学中的优化设计问题。
例如，优化某个结构的形状、尺寸和材料以满足一组要求。
非线性规划可以帮助找到最佳设计方案，以最大程度地提高性能。
在管理学中，非线性规划可以用于资源分配和风险管理问题。
例如，优化一个公司的广告预算，以最大程度地提高销售额。
非线性规划可以考虑多种因素，如广告投入和市场需求，以找到最佳的广告投放策略。
总之，非线性规划是一种重要的优化方法，用于解决涉及非线性目标函数和约束条件的问题。
它在经济学、工程学和管理学等领域有广泛的应用。
尽管非线性规划的求解难度较大，但通过合适的优化算法，可以找到最佳的解决方案。
非线性规划知识点讲解总结
非线性规划知识点讲解总结1. 非线性规划的基本概念非线性规划是指目标函数和/或约束条件包含非线性项的优化问题。
一般来说，非线性规划问题可以表示为如下形式：\[\min f(x)\]\[s.t. \ g_i(x) \leq 0, \ i=1,2,...,m\]\[h_j(x)=0, \ j=1,2,...,p\]其中，\(x \in R^n\)是优化变量，\(f(x)\)是目标函数，\(g_i(x)\)和\(h_j(x)\)分别表示不等式约束和等式约束。
目标是找到使目标函数取得最小值的\(x\)。
2. 非线性规划的解决方法非线性规划问题的求解是一个复杂的过程，通常需要使用数值优化方法来解决。
目前，常用的非线性规划求解方法主要包括梯度方法、牛顿方法和拟牛顿方法。
（1）梯度方法梯度方法是一种基于目标函数梯度信息的优化方法。
该方法的基本思想是在迭代过程中不断沿着梯度下降的方向更新优化变量，以期望找到最小值点。
梯度方法的优点是简单易实现，但缺点是可能陷入局部最优解，收敛速度慢。
（2）牛顿方法牛顿方法是一种基于目标函数的二阶导数信息的优化方法。
该方法通过构造目标函数的泰勒展开式，并利用二阶导数信息来迭代更新优化变量，以期望找到最小值点。
牛顿方法的优点是收敛速度快，但缺点是计算复杂度高，需要计算目标函数的二阶导数。
（3）拟牛顿方法拟牛顿方法是一种通过近似求解目标函数的Hessian矩阵来更新优化变量的优化方法。
该方法能够克服牛顿方法的计算复杂度高的问题，同时又能保持相对快速的收敛速度。
拟牛顿方法的典型代表包括DFP方法和BFGS方法。
3. 非线性规划的应用非线性规划方法在实际生活和工程问题中都有着广泛的应用。
以下将介绍非线性规划在生产优化、资源分配和风险管理等领域的应用。
（1）生产优化在制造业中，生产线的优化调度问题通常是一个非线性规划问题。
通过对生产线的机器设备、生产工艺和生产速度等因素进行建模，并设置相应的目标函数和约束条件，可以使用非线性规划方法来求解最优的生产调度方案，以最大程度地提高生产效率和减少成本。
非线性规划ppt课件
g3(x) x1 x2 x3 0
;
20
一维搜索方法
目标函数为单变量的非线性
规划问题称为一维搜索问题
min t0 (0ttmax )
其中 t R 。
(t)
➢精确一维搜索方法 0.618法 Newton法
➢非精确一维搜索方法 Goldstein法 Armijo法
;
21
0.618法（近似黄金分割法）
定义 4.1.2 对于非线性规划(MP)，若 x* X ，并且存在 x* 的一个
领域 N ( x* ) x Rn x x* ( 0, R) ，使
f (x* ) f (x), x N (x* ) X ，
则称 x* 是(MP)的局部最优解或局部极小点，称 f ( x* ) 是(MP)的局部
函数(t) 称为在[a,b]上是单谷的，如果存在一个 t * [a, b] ，使得(t) 在[a, t * ]上严格递减，且在[t * , b] 上严格递增。区间[a,b]称为(t) 的单 谷区间。
第 1 步 确定单谷区间[a,b]，给定最后区间精度 0 ;
第 2 步 计算最初两个探索点
t1 a 0.382(b a) b 0.618(b a)
;
22
0.618法例题
• 例4.3.1 用0.618法求解
min(t) t3 2t 1 t0
(t) 的单谷区间为[0,3]， 0.5
解答
例4.3.1解答 • 迭换换代tbtb 过程0311..62..∧✓18可0036145436481由-00下101.2.∧...0✓871110650431表48611 给0-0100.2.∨...0✓1470出2064308168821 --000100...∨...00✓4178376340791868681 01..7140486 a2112a
非线性规划
1 1 x1 2 1 2 x2 2 0 x1 x 0 2
2
4 x2 6 x2
H=[2 -4; -2 4]; c=[-2 ;-6];A=[1 1; -1 2];b=[2;2]; Aeq=[];beq=[]; VLB=[0;0];VUB=[]; [x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)
6
n)
G j , I j , Aj 分别表示第j年进入政府，工业界，科学界
为了有根据地衡量这个模型的可靠性，必须了解 进入这三各部门的实际人数G j , I j , A j 与预计人数 G j，， I j A j间的差别，按最小二乘法估计为使得
2 2 2 [( G N ) ( I N ) ( A N ) ], j 1 j j 1 j j 1 j j 1 n
10
非线性规划的基本解法
SUTM外点法
1、罚函数法 SUTM内点法（障碍罚函数法）
2、近似规划法
11
罚函数法 罚函数法基本思想是通过构造罚函数把 约束问题转化为一系列无约束最优化问题，
进而用无约束最优化方法去求解．这类方法
称为序列无约束最小化方法．简称为SUMT
法．
其一为SUMT外点法，其二为SUMT内点 法．
(4) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’) (5)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’,options)
输出极值点
M文件
迭代的初值
变量上下限
参数说明
非线性规划的基本概念及问题概述
牛顿法在凸优化问题上表现较好，但在非凸问题 上可能陷入局部最优解。
拟牛顿法
01
拟牛顿法是一种改进的牛顿法，通过构造海森矩阵 的近似来降低计算成本。
02
拟牛顿法在每一步迭代中更新搜索方向，并逐渐逼 近最优解。
03
拟牛顿法在处理大规模非线性规划问题时表现较好 ，但仍然需要计算目标函数的二阶导数。
共轭梯度法
共轭梯度法结合了梯度法和牛 顿法的思想，通过迭代更新搜 索方向来寻找最优解。
共轭梯度法的迭代方向是梯度 方向和上一次迭代方向的线性 组合，可以加快收敛速度。
共轭梯度法适用于大规模优化 问题，尤其在约束条件较多或 非凸函数情况下表现较好。
05
非线性规划的挑战与解决方 案
局部最优解问题
局部最优解问题
案例二：生产计划优化问题
总结词
生产计划优化问题旨在通过合理安排生 产计划，降低生产成本并满足市场需求 。
VS
详细描述
生产计划优化问题需要考虑生产过程中的 各种因素，如原材料需求、设备能力、劳 动力成本等。目标函数通常是非线性的， 因为生产成本和产量之间的关系是非线性 的。约束条件可能包括资源限制、交货期 限制等。
例子
最小化成本函数，其中成本是生产量 的函数，生产量受到资源、生产能力 等约束。
最大化问题
最大化目标函数
在给定的约束条件下，找到一组变量 ，使得目标函数达到最大值。
例子
最大化收益函数，其中收益是销售量 的函数，销售量受到市场需求、价格 等约束。
约束条件下的优化问题
01
在满足一系列约束条件下，寻找最优解，使得目标函数达到最 优值。
梯度法适用于目标函数和约束条件比较简单的情况，但对于非凸函数或约束条件复 杂的情况可能不收敛或收敛到局部最优解。
非线性规划
全局极小 global minimum
假设f ( x )为定义在n维欧氏空间E n的某一区域R上 的n元实函数， 若存在x * R使得对所有x R都有 f ( x ) f ( x * ), 则称f ( x * )为f ( x )在R上的全局极小值， x 为f ( x )在R上的全局极小点。
f ( X 0 ) ( f ( X 0 ) f ( X 0 ) f ( X 0 ) T , , , ) x1 x 2 x n
f ( X )是 f ( X )的等值面（线）在 X 处的法线方向
梯度方向是函数值增加最快的方向，负梯度 方向是函数值减少最快的方向。
二阶可微 (second order differentiable)
（3）
图解法(Graphical Solution)
非线性规划二维问题的图解法步骤与线性规划相似，但是 作ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ相对比较复杂，也很难求出坐标的值。
例4
Minf ( X ) ( x1 2) 2 ( x 2 1) 2 s.t. x1 x 2 5x 2 0 x1 x 2 5 0 x1 , x 2 0
由向量内积的性质知， 必有 ▽f (X* ) = 0。
满足（3）式的点称为平稳点或驻点，在区
域内部极值点一定是平稳点，而平稳点不 一定是极值点
分析
假设下月玩具的生产量为x个
下个月的利润为： (100 0.5x)x 100x - 0.5x 2
下月原材料消耗为：x 下月需要的人工为：2x
问题的数学模型为
max z 100x 0.5x x 200 s.t.2x 350 x 0
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股票 1 2 3 预期 风险 收益 （标准差） 21% 30% 8% 25% 45% 5% 投资 组合 1与2 1与3 2与3 交叉风险 （协方差） 0.040 -0.005 -0.010
Excel 2010“规划求解”工具增加了一个新的 搜 索 程 序 （ 算 法 ） ， 称 之 为 Evolutionary Solver（“演化”求解方法）。
Xiang Ye School of Information, Renmin U.1.2 非线性规划的求解方法
第 8章 非 线性规划
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本章内容
8.1 非线性规划的基本概念 8.2 二次规划 8.3 可分离规划
第 8章 非 线性规划
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第 8章 非 线性规划
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8.2.2 运用非线性规划 优化有价证券投资组合
三种股票的投资比例（决策变量）－－投资组合 x1为股票1占总投资的比例 x2为股票2占总投资的比例 x3为股票3占总投资的比例 约束条件：这些比例相加必须等于1： x1+x2+x3=1 根据每种股票的预期收益，计算整个投资组合的总预期收益： 总预期收益＝21％x1＋30％x2＋8％x3 投资者当前选择的最低可接受水平为：最低预期收益＝18％ 运用概率论公式，根据单独（独立）方差和协方差计算投资组合 的总方差。即整个投资组合的风险（总方差）为每种股票的独立 风险（系数为方差＝标准差的平方）＋两种股票交叉风险（系数 为交叉风险＝协方差的2倍），公式为：
8.2.2 运用非线性规划 优化有价证券投资组合
决策变量：三种股票的投资比例（投资组合） x1为股票1占总投资的比例 x2为股票2占总投资的比例 x3为股票3占总投资的比例
第 8章 非 线性规划
这个模型的目标函数 是边际收益递减的。 由于目标函数是二次 的，约束条件又都是 线性的，因此是一个 比较简单的非线性规 目标是整个投资组合的风险（总方差）最小。 划（二次规划）。
例8.2的电子表格模型 （采用“演化”求解方法）
第 8章 非 线性规划
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8.2 二次规划
第 8章 非 线性规划
若某非线性规划的目标函数为决策变量的二次函 数，而且是边际收益递减，约束条件又都是线性的 ，那么就称这种规划为二次规划。 决策变量在有限域内变动的边际收益递减的二次 规划存在最优解，且此最优解与初值无关，即局部 最优解就是全局最优解。
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8.1 非线性规划的基本概念
（1）决策变量 设矩形菜地的长为 x1 米，宽为x2米。 （2）目标函数 菜地的面积最大。 （3）约束条件 ①绳子长度为400米 ②非负
第 8章 非 线性规划
本章主要内容框架图
第 8章 非 线性规划
基本概念：非线性函数 非线性的营销成本问题 非线性规划 二次规划 有价证券投资组合问题 边际收益递减的可分离规划 可分离规划 边际收益递增的可分离规划
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第 8章 非 线性规划
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8.1.2 非线性规划的求解方法
例8.2 求解复杂的非线性规划问题。
第 8章 非 线性规划
max y 0.5 x 6 x 24.5 x 39 x 20 x
最小化 风险 约束条件 收益≥最低可接受水平
这个模型关注投资组合的风险和收益之间 的平衡。
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8.2.2 运用非线性规划 优化有价证券投资组合 例8.4 现要投资三种股票（股票1、股票2和
例8.3 考虑非线性营销成本的例1.1。
在例1.1中，增加考虑新产品（门和窗）的营销成本。 原来估计每扇门的营销成本是 75元、每扇窗的营销成本 是 200 元。因此，当时估计的门和窗的单位利润分别是 300 元和 500 元。也就是说，如果不考虑营销成本，每扇 门的毛利润是375元，每扇窗的毛利润是700元。 由于门和窗的营销成本随着销量的增加而呈现非线性 增长，设 x1 为门的每周产量， x2 为窗的每周产量，而门 每周的营销成本为25x12，窗每周的营销成本为60x22。
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8.2.2 运用非线性规划 优化有价证券投资组合
第 8章 非 线性规划
这种方法是将 3.2 节的成本收益平衡问题 非线性化。在这种情况下，成本是与投资有 关的风险，收益是投资组合的预期回报。 因此，该模型的一般表达形式为：
5 4 3 2
x 5 s.t. x 0
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8.1.2 非线性规划的求解方法
例8.2的电子表格模型 （采用“非线性GRG”求解方法）
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max S x1 x2 2 x1 x2） 400 （ s.t. x1 , x2 0
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8.1 非线性规划的基本概念
例8.1的电子表格模型 （采用“非线性GRG” 求解方法）
8.1.2 非线性规划的求解方法
第 8章 非 线性规划
正是由于局部最优解的存在，使得非线性规划问题的求 解要比线性规划问题的求解复杂得多。当求得一个最优解 时，常常无法确定该解是否为全局最优解。 处理复杂的有几个局部极大值的非线性规划问题，有一 个方法就是重复应用Excel规划求解（采用“非线性GRG” 求解方法），用不同的初始值进行测试，然后从这些局部 最优解中挑选出最优的一个。虽然这个方法仍然不能保证 找到全局最优解，但它毕竟提供了一个很好的机会去找到 一个相当好的解。因此，对一些相对较小的问题而言，这 是一个合理的方法。
实际上，二次规划是非线性规划中比较简单的一 种，只要问题不是很复杂，Excel“规划求解”工具 就能求解。
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8.2.1 非线性的营销成本问题
第 8章 非 线性规划
在营销过程中，营销成本往往是非线性的，而且随着 销量的增加，单位营销成本也在增加。也就是说，单位 利润随着销量的增加而减少（边际收益递减）。
第 8章 非 线性规划
实用运筹学（第二版）
－－运用Excel2010建模和求解
第 8章 非线性规划 Nonlinear Programming
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本章内容要点
非线性规划的基本概念 二次规划的建模与应用 可分离规划的建模与应用
8.1 非线性规划的基本概念
第 8章 非 线性规划
在前面几章中，所涉及规划问题的目标函数和 约束条件都是线性的。但在许多实际问题中， 往往会遇到目标函数或约束条件是非线性的情 况，这类规划问题就是非线性规划问题。
在规划问题中，如果目标函数或约束条件中有 一个是决策变量的非线性函数，则这类规划问 题称为非线性规划问题。本章将介绍其中一类 比较简单的情形，即目标函数是决策变量的非 线性函数，而约束条件全是线性的。
max z 375x1 25x 700x2 60x
2 1
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2 2
8.2.1 非线性的营销成本问题
第 8章 非 线性规划
（3）约束条件：还是原有的三个车间每周 可用工时限制和非负约束。 例8.3的二次规划模型为：
max z 375 x1 25 x 700 x2 60 x
2 1
2 2
x1 4 2 x 12 2 s.t. 3x1 2 x2 18 x1 , x2 0 Xiang Ye
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8.2.1 非线性的营销成本问题
例8.3的电子表格模型
第 8章 非 线性规划
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8.2.2 运用非线性规划 优化有价证券投资组合
第 8章 非 线性规划
管理大量证券投资组合的职业经理，现在都习 惯于用部分基于非线性规划的计算机模型来指导 他们的工作。因为投资者不仅关心预期收益，还 关注着投资带来的相应风险，所以非线性规划经 常用来确定投资的组合，该投资组合在一定的假 设下可以获得收益和风险之间的最优平衡。 这 种 方 法 主 要 来 自 于 哈 里 马 克 维 茨 （ Harry Markowitz ）和威廉 夏普（ William Sharpe ）开 创性的研究，他们因为该项研究而获得了 1990年 的诺贝尔经济学奖。