2020届湖南省益阳市高三上学期普通高中期末考试数学理试题
秘密★启用前
姓 名
准考证号
2020届湖南省益阳市高三上学期普通高中期末考试
高三理数
本试卷共4页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴答题卡上的指定位置。
2、选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在 答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结朿后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 A={5|≤x x } ,B= {9<3|x x }，则=B A
A. ]2,(-∞
B. ]5,(-∞
C. (2,5]
D. )5,2()2,( -∞
2.已知复数1,21211=⋅-=z z i z ，则复数2z 的虚部为
A. 52
B. 52-
C. 51
D. 5
1- 3. 已知函数x e x x x f )1()(2++=，则)(x f 在(0，)0(f )处的切线方程为
A.01=++y x
B.01=+-y x
C.012=++y x
D.012=+-y x
4.设y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≤-≤-≥+022262y y x y x ,则y x z -=2的最大值是
A. 2
B. 6
C. 10
D.14
5. 已知函数]cos )3[cos(sin 2)(x x x x f +-
=π，则函数)(x f 的最小正周期是 A. 2
π B. π C. π2 D. π4 6.若输入的值为7,则输出结果为
A.
47 B. 4
3 C. 87 D. 23 7.如图，在各棱长均为2的正三棱柱(底面为正三角形且侧棱垂直底面的棱柱）111C B A ABC -中， P ，E, F 分别是AC C A AA ,,111的中点，则四棱锥1EFBB P -
的体积为
A. 33
B. 2
3 C.
332 D. 334 8.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若4
3,26,2π===
C c b ，则ABC ∆的面积为 A. 2 B. 22 C. 3 D. 23 9. 5)3)(1(-+x x
x 展开式中含x 的项的系数为
A.-112
B.112
C.-513
D.513 10.已知双曲线C: 0)>b 0,>(122
22a b y a
x =-的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是C 的右支上一点，连接PF 1与y 轴交于点M ，若||2||1OM O F = (O 为坐标原点），21PF PF ⊥，则双曲线C 的渐近线方程为
A. x y 3±=
B. x y 3±=
C. x y 2±=
D. x y 2±=
11.已知三棱锥P —ABC 中，PA 丄平面ABC ，4,3
2==∠PA ABC π,若三棱锥P —ABC 外接球的表面积为π32，则直线PC 与平面ABC 所成角的正弦值为
A. 77
B. 66
C. 772
D. 7
2 12.已知定义在R 上的奇函数)(x f 恒有)1()1(+=-x f x f ，当)1,0[∈x 时，1
212)(+-=x x x f ，则 当函数3
1)()(--=kx x f x g 在[0,7]上有三个零点时，k 的取值范围是 A. )152,41[-- B. ]15
2,92(-- C. )61,92(-- D. ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧---31]152,92( 第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第 22〜23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
13.已知在平行四边形ABCD 中，BC y BD x AE BC BE +==
,3
1，则=-y x . 14.已知α是第四象限的角，且满足1792sin cos 2=+αα，则=αtan . 15.—个不透明的箱中原来装有形状、大小相同的1个绿球和3个红球.甲、乙两人从箱中轮流摸球，每次摸取一个球.规则如下:若摸到绿球，则将此球放回箱中可继续再摸;若摸到红球，则将此球放回箱中改由对方摸球，甲先摸球，则在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿球的概率是 .
16.已知抛物线C: x y 42=的准线为l ，过点（-1，0)作斜率为正值的直线l 交C 于A ，B 两点， AB 的中
点为M ，过点A ，B ，M 分别作x 轴的平行线，与l 分别交于D ，E ，Q ，则当|
|||DE MQ 取最小值时，=||AB .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分）
已知数列{n a }的前n 项和为n S ，111)22(,2
1++-==
n n n a S a . (1)求2a 及数列{n a }的通项公式；
(2)若n
n n n n b a c a a a b 11),...(log 2121+=
=，求数列{n c }的前n 项和n T . 18.(本小题满分12分）
某服装加工厂为了提高市场竞争力，对其中一台生产设备提出了甲、乙两个改进方案：甲方案是引进一台新的生产设备，需一次性投资1000万元，年生产能力为30万件；乙方案是将原来的设备进行升级改造，需一次性投资700万元，年生产能力为20万件.根据市场调查与预测，该产品的年销售量的频率分布直方图如图所示，无论是引进新生产设备还是改造原有的生产设备，设备的使用年限均为6年，该产品的销售利润为15元/件.
(1)根据年销售量的频率分布直方图，估算年销量的平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)将年销售量落入各组的频率视为概率，各组的年销售量用该组区间的中点值作年销量的估计值，并假设每年的销售量相互独立.
①根据频率分布直方图估计年销售利润不低于270万元的概率；
②若以该生产设备6年的净利润的期望值作为决策的依据，试判断该服装厂应选择哪个方案.(6年的净利润=6年销售利润一设备一次性投资费用）
19.(本小题满分12分）
如图1所示，在直角梯形DCEF 中，DF//CE ，FD 丄DC ，AB//CD,BE =AB = 2AF =2AD=4,将四边形ABEF 沿AB 边折成图2.
(1)求证:AC//平面DEF;
(2)若EC=32，求平面DEF 与平面EAC 所成锐二面角的余弦值.
20.(本小题满分12分）
已知椭圆C: 0)>b >(122
22a b y a
x =+的离心率为23，点（4,1)
在椭圆C 上.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若直线3:-=kx y l 与C 交于A ，B 两点，是否存在l ，使得点M(0，1)在以AB 为直径的圆外，若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.
21.(本小题满分12分）
已知R m x m x
m x x f ∈-+=,ln 1)(. (1)讨论)(x f 的单调区间；
(2)当2
＜02
e m ≤时，证明m x
f e x -+1)(x -x >2. 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.(本小题满分10分)选修4一4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为θθθ(sin 54cos 53⎩⎨
⎧+-=+=y x 为参数），以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C 的极坐标方程；
(2)过点P(2,0)，倾斜角为4
π的直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求||1||1PN PM +的值. 23.(本小题满分10分)选修4一5:不等式选讲
已知函数|2||4|)(--+=ax x x f .
(1)当2=a 时，解不等式x x f 3)(≥
(2)当2
1≥
x 时，不等式24)(x x f -≥成立，求实数a 的取值范围.。
2020届湖南省益阳市高三上学期期末数学(理)试题(含答案解析)
2020届湖南省益阳市高三上学期期末数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}{}|5,|39xA x xB x =≤=<，则A B =U （ ）A ．(],2-∞B ．(,5]-∞C ．(2,5]D ．(,2)(2,5)-∞⋃【答案】B【解析】解指数不等式求得集合B ，由此求得A B U 【详解】由2339x <=，解得2x <，即{}|2B x x =<，所以(,5]A B -∞⋃=. 故选：B. 【点睛】本小题主要考查集合并集的概念和运算，考查指数不等式的解法，属于基础题. 2．已知复数112i z =-，121z z ⋅=，则复数2z 的虚部为（ ） A ．25B ．25-C ．15D ．15-【答案】B【解析】利用复数四则运算求得复数2125iz -=，从而得到复数2z 的虚部。
【详解】因为112z i =+，121z z ⋅=， 所以21121212(12)(12)5i iz i i i --===++-， 所以其虚部为25-. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的四则运算、虚部的概念，考查对概念的理解与应用。
3．已知函数()2()1xf x x x e =++，则()f x 在(0, (0))f 处的切线方程为（ ）A ．10x y ++=B ．10x y -+=C ．210x y ++=D ．210x y -+=【答案】D【解析】对函数求导得()2()32x f x e x x '=++，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程求得答案。
【详解】因为()2()32x f x e x x '=++，所以(0)2f '=，又因为(0)1f =，所以切点为(0)1，， 所以曲线()f x 在(0, (0))f 处的切线方程为210x y -+=. 故选：D. 【点睛】本题考查导数的几何意义、曲线在某点处的切线方程，考查数形结合思想和运算求解能力。
2020届高三上学期期末教学质量检测数学理试题含答案及评分标准
理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项： 1．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．答第Ⅱ卷时，必须答题卡上作答．在试题卷上作答无效． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =棱柱的体积公式V Sh =，其中S 、h 分别表示棱柱的底面积、高．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1．12i i +=A ．i --2B ．i +-2C ．i -2D ．i +22．集合{||2|2}A x x =-≤，2{|,12}B y y x x ==--≤≤，则A B =IA ．RB ．{|0}x x ≠C ．{0}D ．∅3．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合，则p 的值为 A ．2- B ．2 C ．4- D ．44．不等式10x x->成立的一个充分不必要条件是 A ．10x -<<或1x > B ．1x <-或01x << C ．1x >- D ．1x > 5．对于平面α和共面的两直线m 、n ，下列命题中是真命题的为 A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α B ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊂，//n α，则//m nD ．若m 、n 与α所成的角相等，则//m n6．平面四边形ABCD 中0AB CD +=u u u r u u u r r ，()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r，则四边形ABCD 是A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．梯形 7．等比数列{}n a 中5121=a ，公比21-=q ，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯L （即n ∏表示 数列{}n a 的前n 项之积），8∏ ，9∏，10∏，11∏中值为正数的个数是 A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 48．定义域R 的奇函数()f x ，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<恒成立，若3(3)a f =，(log 3)(log 3)b f ππ=⋅，()c f =－２－２，则A ．a c b >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ． a b c >>第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二 填空题：本题共6小题，共30分，把答案填在答题卷相应的位置上．9．某校有4000名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为______．10．如果实数x 、y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x y -的最大值为______．11．在ABC ∆中角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若(2)cos cos b c A a C -=， 则cos A =________． 12．右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值 的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是i >___？13．由数字0、1、2、3、4组成无重复数字的 五位数，其中奇数有 个． 14．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这 个正三棱柱的体积为__________．三．解答题（本大题共6小题，共80分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题共12分）已知函数()sin cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数． （1）求函数()()'()g x f x f x =⋅的最小值及相应的x 值的集合； （2）若()2()f x f x '=，求tan()4x π+的值．16．（本题满分12分）近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳题12图 主视图 俯视图左视图族”．数据如下表（计算过程把频率当成概率）．（1）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；（2）A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A小区中任选25个人，记X表示25个人中低碳族人数，求()E X．17．（本小题满分14分）已知点(4,0)M、(1,0)N，若动点P满足6||MN MP NP=⋅u u u u r u u u r u u u r．（1）求动点P的轨迹C；（2）在曲线C上求一点Q，使点Q到直线l：2120x y+-=的距离最小．18．(本小题满分14分)已知梯形ABCD中，AD∥BC，2π=∠=∠BADABC，42===ADBCAB，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，xAE=．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如图)．G是BC的中点，以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为()f x．（1）当2=x时，求证：BD⊥EG；（2）求()f x的最大值；（3）当()f x取得最大值时，求异面直线AE与BD所成的角的余弦值．19．（本题满分14分）数列{}na中112a=，前n项和2(1)n nS n a n n=--，1n=，2，…．（1）证明数列1{}nnSn+是等差数列；（2）求nS关于n的表达式；（3）设3n nnb S=１，求数列{}nb的前n项和nT．20．（本题满分14分）二次函数()f x满足(0)(1)0f f==，且最小值是14-．A小区低碳族非低碳族频率p0.50.5B小区低碳族非低碳族频率p0.80.2（1）求()f x 的解析式；（2）设常数1(0,)2t ∈，求直线l ： 2y t t =-与()f x 的图象以及y 轴所围成封闭图形的面积是()S t ；（3）已知0m ≥，0n ≥，求证：211()()24m n m n +++≥．答案及评分标准：8~1：CCDD ；CBB A ；9．30；10．1；11．12；12．10；13．36；14．以下是各题的提示：1．21222i i i i i i+-+==-．2．[0,4]A =，[4,0]B =-，所以{0}A B =I ．3．双曲线22122x y -=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =．4．画出直线y x =与双曲线1y x=，两图象的交点为(1,1)、(1,1)--，依图知10x x->10x ⇔-<<或1x >(*)，显然1x >⇒(*)；但(*)⇒/1x >．5．考查空间中线、面的平行与垂直的位置关系的判断．６．由0AB CD +=u u u r u u u r r ，得AB CD DC =-=u u u r u u u r u u u r，故平面四边形ABCD 是平行四边形，又()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r ，故0DB AC =⋅u u u r u u u r，所以DB AC ⊥，即对角线互相垂直．７．等比数列{}n a 中10a >，公比0q <，故奇数项为正数，偶数项为负数，∴110∏<，100∏<，90∏>，80∏>，选B ．8．设()()g x xf x =，依题意得()g x 是偶函数，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<，即'()0g x <恒成立，故()g x 在(,0)x ∈-∞单调递减，则()g x 在(0,)+∞上递增，3(3)(3)a f g ==，(log 3)(log 3)(log 3)b f g πππ==⋅，2(2)(2)(2)c f g g =--=-=．又log 3123π<<<，故a c b >>． 9．依表知400020002000x y z ++=-=，0.24000x=，于是800x =， 1200y z +=，高二抽取学生人数为112003040⨯=．10．作出可行域及直线l ：20x y -=，平移直线l 至可行域的点(0,1)-时2x y -取得最大值．11．由(2)cos cos b c A a C -=，得2cos cos cos b A c A a C =+，2sin cos sin cos sin cos B A C A A C =+，故2sin cos sin()B A A C =+，又在ABC ∆中sin()sin 0A C B +=>，故1cos 2A =，12．考查循环结构终止执行循环体的条件．13．1132336636C C A =⨯=⋅⋅．14．由左视图知正三棱柱的高2h =，设正三棱柱的底面边长a ，=，故4a =，底面积142S =⨯⨯=，故2V Sh === 15．解：（1）∵()sin cos f x x x =+，故'()cos sin f x x x =-， …… 2分∴()()'()g x f x f x =⋅(sin cos )(cos sin )x x x x =+-22cos sin cos 2x x x =-=， ……… 4分∴当22()x k k Z ππ=-+∈，即()2x k k Z ππ=-+∈时，()g x 取得最小值1-，相应的x 值的集合为{|,}2x x k k Z ππ=-+∈． ……… 6分评分说明：学生没有写成集合的形式的扣1分． （2）由()2()f x f x '=，得sin cos 2cos 2sin x x x x +=-，∴cos 3sin x x =，故1tan 3x =， …… 10分 ∴11tan tan34tan()2141tan tan 143x x x πππ+++===--． …… 12分 16．解：（1）设事件C 表示“这4人中恰有2人是低碳族”． …… 1分2222112222222222()0.50.20.50.50.20.80.50.8P C C C C C C C =+⨯⨯⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅0.010.160.160.33=++=． …… 4分 答：甲、乙、丙、丁这4人中恰有2人是低碳族的概率为0.33； …… 5分（2）设A 小区有a 人，两周后非低碳族的概率20.5(120%)0.32a P a⨯⨯-==．故低碳族的概率10.320.68P =-=． ………… 9分 随机地从A 小区中任选25个人，这25个人是否为低碳族相互独立，且每个 人是低碳族的概率都是0.68，故这25个人中低碳族人数服从二项分布，即17~(25,)25X B ，故17()251725E X =⨯=． ………… 12分 17．解：（1）设动点(,)P x y ，又点(4,0)M 、(1,0)N ，∴(4,)MP x y =-u u u r ，(3,0)MN =-u u u u r ，(1,)NP x y =-u u u r． ……… 3分由6||MN MP NP =⋅u u u u r u u u r u u u r，得3(4)x --= ……… 4分∴222(816)4(21)4x x x x y -+=-++，故223412x y +=，即22143x y +=， ∴轨迹C 是焦点为(1,0)±、长轴长24a =的椭圆； ……… 7分 评分说明：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不规范的扣1分． （2）椭圆C 上的点Q 到直线l 的距离的最值等于平行于直线l ：2120x y +-=且与椭圆C 相切的直线1l 与直线l 的距离．设直线1l 的方程为20(12)x y m m ++=≠-． ……… 8分由22341220x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，消去y 得2242120x mx m ++-= （*）． 依题意得0∆=，即0)12(16422=--m m ，故216m =，解得4m =±．当4m =时，直线1l ：240x y ++=，直线l 与1l 的距离5d ==当4m =-时，直线1l ：240x y +-=，直线l 与1l 的距离d ==由于55<，故曲线C 上的点Q 到直线l 的距离的最小值为5．…12分 当4m =-时，方程（*）化为24840x x -+=，即2(1)0x -=，解得1x =．由1240y +-=，得32y =，故3(1,)2Q ． ……… 13分 ∴曲线C 上的点3(1,)2Q 到直线l 的距离最小． ……… 14分18．（法一）（1）证明：作EF DH ⊥，垂足H ，连结BH ，GH ， ∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，DH ⊂平面EBCF ， ∴⊥DH 平面EBCF ，又⊂EG 平面EBCF ，故DH EG ⊥， ∵12EH AD BC BG ===，//EF BC ，90ABC ∠=o ． ∴四边形BGHE 为正方形，故BH EG ⊥．又BH 、DH ⊂平面DBH ，且BH DH H =I ，故⊥EG 平面DBH ． 又⊂BD 平面DBH ，故BD EG ⊥．（2）解：∵AE EF ⊥，平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ．∴AE ⊥面EBCF ．又由（1）⊥DH 平面EBCF ，故//AE DH ，∴四边形AEHD 是矩形，DH AE =，故以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱 锥D BCF - 的高DH AE x ==，又114(4)8222BCF S BC BE x x ∆==⨯⨯-=-⋅． ∴三棱锥D BCF -的体积()f x =13BFC S DH ∆⋅13BFC S AE ∆=⋅2128(82)333x x x x =-=-+2288(2)333x =--+≤．∴当2x =时，()f x 有最大值为83．（3）解：由（2）知当()f x 取得最大值时2AE =，故2BE =，由（2）知//DH AE ，故BDH ∠是异面直线AE 与BD 所成的角． 在Rt BEH ∆中222422BH BE EH AD =+=+=，由⊥DH 平面EBCF ，BH ⊂平面EBCF ，故DH BH ⊥ 在Rt BDH ∆中222823BD BH DH AE =+=+=，∴3cos 323DH BDH BD ∠===． ∴异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 法二：（1）证明：∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ，EF AE ⊥，故AE ⊥平面EBCF ，又EF 、BE ⊂平面EBCF ，∴AE ⊥EF ，AE ⊥BE ，又BE ⊥EF ，取EB 、EF 、EA 分别为x 轴、y轴、z 轴，建立空间坐标系E xyz -，如图所示． 当2x =时，2AE =，2BE =，又2AD =，122BG BC ==． ∴(0,0,0)E ，(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)G ，(0,2,2)D ．∴(2,2,2)BD =-u u u r ，(2,2,0)EG =u u u r，∴440BD EG ⋅=-+=u u u r u u u r．∴BD EG ⊥u u u r u u u r，即BD EG ⊥；（2）解：同法一；（3）解：异面直线AE 与BD 所成的角θ等于,AE BD <>u u u r u u u r或其补角．又(0,0,2)AE =-u u u r ， 故3cos ,3|||2444|AE BD AE BD AE BD <>===-++⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ∴3cos 3θ=，故异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 19．（1）证明：由2(1)n n S n a n n =--，得21()(1)(2)n n n S n S S n n n -=---≥．∴221(1)(1)n n n S n S n n ---=-，故111(2)1n n n nS S n n n -+-=≥-．…２分 ∴数列由1{}n n S n+是首项11221S a ==，公差1d =的等差数列； …… 4分 （2）解：由（1）得112(1)11n n S S n d n n n+=+-=+-=．……… 6分∴21n n S n =+； ………８分（3）由（２），得3n n nb S =１＝321n n n +g １＝111(1)1n n n n =-++．…… 10分∴数列{}n b 的前n 项和1211111111122311n n n T b b b b n n n n -=++++=-+-++-+--+L L …１２分 1111n n n =-=++． ……… 14分 20．解：（1）由二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==．设()(1)(0)f x ax x a =-≠，则221()()24af x ax ax a x =-=--． ……………… ２分 又()f x 的最小值是14-，故144a -=-．解得1a =．∴2()f x x x =-； ………………４分（2）依题意，由22x x t t -=-，得x t =，或1x t =-．（1t -p ｔ）……６分由定积分的几何意义知3232222002()[()()]()|3232t tx x t t S t x x t t dx t x tx =---=--+=-+⎰…… ８分（3）∵()f x 的最小值为14-，故14m -，14n ≥-． …… １０分∴12m n +-≥-，故12m n ++． ……… 12分∵1()02m n +，102m n ++≥≥， ……… 13分∴11()()22m n m n +++≥=，∴211()()24m n m n +++≥． ……… 14分。
数学(理)检测卷03- 2020届高三上学期期末教学质量检测卷(考试版)【测试范围：高中全部内容】
理科数学试题第1页（共6页）理科数学试题第2页（共6页）绝密★启用前2020届高三上学期期末教学质量检测卷03理科数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
5．测试范围：高中全部内容。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设z =i （2+i ），则z =A ．1+2i B ．–1+2i C．1–2iD ．–1–2i2．已知集合M ={x |x 2+x –2<0}，N ={x |log 2x <1}，则M ∩N =A ．（–2，1）B ．（–1，2）C ．（0，1）D ．（1，2）3．二项式（12x –2y ）5的展开式中x 3y 2的系数是A．5B ．–20C ．20D ．–54．已知变量x ，y满足240260x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≥⎩，，则k 13y x +=-的取值范围是A ．k 12>或k ≤–5B ．–5≤k 12<C ．–5≤k 12≤D ．k 12≥或k ≤–55．已知甲、乙、丙三人中，一人是数学老师、一人是英语老师、一人是语文老师．若丙的年龄比语文老师大；甲的年龄和英语老师不同；英语老师的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是A ．甲是数学老师、乙是语文老师、丙是英语老师B ．甲是英语老师、乙是语文老师、丙是数学老师C ．甲是语文老师、乙是数学老师、丙是英语老师D ．甲是语文老师、乙是英语老师、丙是数学老师6．若ππ2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且sin 5α=，()sin 10αβ-=-，则sin β=A ．10B ．2C ．12D ．1107．某省在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成绩是按照“语文、数学、英语”+“6选3”的模式设置的其中，“6选3”是指从物理、化学、生物、思想政治、历史、地理6科中任选3科．某考生已经确定选一科物理，现在他还要从剩余的5科中再选2科，则在历史与地理两科中至少选一科的概率为A ．310B ．35C ．710D ．458．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为A ．BC ．2D ．49．函数()sin 22f x x x =-在区间ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的零点之和是A ．π3-B ．π6-C ．π6D ．π3理科数学试题第3页（共6页）理科数学试题第4页（共6页）………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………此卷只装订不密封………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………10．已知正方体ABCD–A1B1C1D1，则异面直线A1D与B1D1所成角为A．π6B．π4C．π3D．π211．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F的直线l1与C交于M，N两点，则M，N两点到直线l2：x–y+1=0的距离之和的最小值为A．2B．2C．34D．12．已知A，B，C，D四点均在以点O1为球心的球面上，且AB=AC=AD=2，BC=BD，CD=8．若球O2在球O1内且与平面BCD相切，则球O2直径的最大值为A．1B．2C．4D．8第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知|a|=1，|b|=2，向量a与b的夹角为2π3，=c2+a b，|c|等于__________．14．已知O是椭圆E的对称中心，F1，F2是E的焦点．以O为圆心，OF1为半径的圆与E的一个交点为A．若1AF与2AF的长度之比为2：1，则E的离心率等于__________．15．设函数f（x）=ln x+ax232x-，若x=1是函数f（x）是极大值点，则函数f（x）的极小值为__________．16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos B+b cos A=2，sin sin sin2AB C⋅=，则△ABC周长的最小值为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）数列{a n}中，a1=1，a n+a n+1=λn+1，且a1，a2，a4成等比数列．（1）求λ的值；（2）求数列{a n}的前n项和S n．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P–ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=1，AD=2，CD=（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）若M是棱PC上的一点，且满足3PM MC=，求二面角M–BQ–C的大小．19．（本小题满分12分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额（元）支付方式（0，1000]（1000，2000]大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；（2）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；理科数学试题第5页（共6页）理科数学试题第6页（共6页）（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．20．（本小题满分12分）已知圆(2264Mx y ++=：及定点()N ，点A 是圆M 上的动点，点B 在NA 上，点G 在MA 上，且满足20NA NB GB NA =⋅=，，点G 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）设斜率为k 的动直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，与直线12y x =和12y x =-分别交于P 、Q 两点，当1|2k >时，求△OPQ （O 为坐标原点）面积的取值范围．21．（本小题满分12分）设函数23()ln(1)f x x x a x =-++，其中0a ≠．（1）若4a =-，求曲线y =()f x 在点(0,(0))A f 处的切线方程；（2）若函数23()()2g x f x x =+在定义域内有3个不同的极值点，求实数a 的取值范围；（3）是否存在最小的正整数N ，使得当n N ≥时，不等式311ln n n n n+->恒成立？若存在，求出N ，若不存在，请说明理由．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 1：ρ=4cos θ+4sin θ，直线l 的参数方程为11212x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．（1）求直线l 及曲线C 1的直角坐标方程，并判断曲线C 1的形状；（2）已知点P （1，1），直线l 交曲线C 1于A ，B 两点，求11PA PB+的值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知f （x ）=|x –1|+|2x +3|．（1）求不等式f （x ）>4的解集；（2）若关于x 的不等式|x +1|–|x –m |≥|t –1|+|2t +3|（t ∈R ）能成立，求实数m 的取值范围．。
湖南省益阳市2020届高三数学上学期期末考试(1月)试题 理(含答案)
" ""
r "%&'
#* 0J & Fjj^Y
""
" " ""
U "%(&
#+ /J #! 3^ :3$:
""
""
"
` "%'"
¡H¢F£y:¤¥L¦§ #' /J #!
^¨©
" " " " " " " " r "%*&
jª«i 7 0 1 $ t #$ /J #!
第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。
1.已知集合 A={ x | x 5 } ,B= { x | 3x < 9 }，则 A B
A. (,2]
B. (,5]
C. (2,5]
D. (,2) (2,5)
2.已知复数 z1 1 2i, z1 z2 1 ，则复数 z2 的虚部为
B.
C.
D.
7
6
7
7
12.已知定义在 R 上的奇函数
f
(x) 恒有
f
(x 1)
f
(x 1) ，当 x [0,1) 时，
f
(x)
2x 2x
1
，
1
则 当函数 g(x) f (x) kx 1 在[0,7]上有三个零点时， k 的取值范围是 3
A. [ 1 , 2 ) B. ( 2 , 2 ]
4 15
2019-2020学年湖南省益阳市高三(上)期末数学试卷(理科)
2019-2020学年湖南省益阳市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|5}A x x =„，{|39}x B x =<，则(A B =U ) A ．(-∞，2]B ．(-∞，5]C ．(2，5]D ．(-∞，2)(2⋃，5)2．（5分）已知复数112z i =-，121z z =g ，则复数2z 的虚部为( ) A ．25B ．25-C ．15D ．15-3．（5分）已知函数2()(1)x f x x x e =++，则()f x 在(0，(0))f 处的切线方程为( ) A ．10x y ++=B ．10x y -+=C ．210x y ++=D ．210x y -+=4．（5分）设x ，y 满足约束条件262220x y x y y +⎧⎪-⎨⎪-⎩…„„，则2z x y =-的最大值是( )A ．2B ．6C ．10D ．145．（5分）已知函数()2sin [cos()cos ]3f x x x x π=-+，则函数()f x 的最小正周期是( )A ．2π B ．π C ．2π D ．4π6．（5分）若输入的值为7，则输出结果为( )A ．74B ．34C ．78D ．327．（5分）如图，在各棱长均为2的正三棱柱（底面为正三角形且侧棱垂直底面的棱柱）111ABC A B C -中，P ，E ，F 分别是1AA ，11A C ，AC 的中点，则四棱锥1P EFBB -的体积为( )A 3B 3C 23D 438．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若32,26,4b c C π==，则ABC ∆的面积为( ) A ．2B ．22C ．3D ．329．（5分）51()(3)x x x+-展开式中含x 的项的系数为( )A ．112-B ．112C ．513-D ．51310．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 的右支上一点，连接1PF 与y 轴交于点M ，若1||2||(FO OM O =为坐标原点），12PF PF ⊥，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．3y x =±B ．y =C ．2y x =±D ．y =11．（5分）已知三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2,43ABC PA π∠==，若三棱锥P ABC -外接球的表面积为32π，则直线PC 与平面ABC 所成角的正弦值为( )A B C D ．2712．（5分）已知定义在R 上的奇函数()f x 恒有(1)(1)f x f x -=+，当[0x ∈，1)时，21()21x xf x -=+，则当函数1()()3g x f x kx =--在[0，7]上有三个零点时，k 的取值范围是( )A ．12[,)415--B ．22(,]915--C ．21(,)96--D ．221(,]9153⎧⎫---⎨⎬⎩⎭U二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知在平行四边形ABCD 中，1,3BE BC AE xBD yBC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则x y -= ．14．（5分）已知α是第四象限的角，且满足29cos sin 217αα+=，则tan α= ． 15．（5分）一个不透明的箱中原来装有形状、大小相同的1个绿球和3个红球．甲、乙两人从箱中轮流摸球，每次摸取一个球．规则如下：若摸到绿球，则将此球放回箱中可继续再摸；若摸到红球，则将此球放回箱中改由对方摸球，甲先摸球，则在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿球的概率是 ．16．（5分）已知抛物线2:4C y x =的准线为l ，过点(1,0)-作斜率为正值的直线l 交C 于A ，B 两点，AB 的中点为M ，过点A ，B ，M 分别作x 轴的平行线，与l 分别交于D ，E ，Q ，则当||||MQ DE 取最小值时，||AB = ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1111,(22)2n n n a S a ++==-．（1）求2a 及数列{}n a 的通项公式； （2）若112211log (),n n n n nb a a ac a b =⋯=+，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 18．（12分）某服装加工厂为了提高市场竞争力，对其中一台生产设备提出了甲、乙两个改进方案：甲方案是引进一台新的生产设备，需一次性投资1000万元，年生产能力为30万件；乙方案是将原来的设备进行升级改造，需一次性投资700万元，年生产能力为20万件．根据市场调查与预测，该产品的年销售量的频率分布直方图如图所示，无论是引进新生产设备还是改造原有的生产设备，设备的使用年限均为6年，该产品的销售利润为15元/件． （1）根据年销售量的频率分布直方图，估算年销量的平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）将年销售量落入各组的频率视为概率，各组的年销售量用该组区间的中点值作年销量的估计值，并假设每年的销售量相互独立．①根据频率分布直方图估计年销售利润不低于270万元的概率；②若以该生产设备6年的净利润的期望值作为决策的依据，试判断该服装厂应选择哪个方案．(6年的净利润6=年销售利润一设备一次性投资费用）19．（12分）如图1所示，在直角梯形DCEF 中，//DF CE ，FD DC ⊥，//AB CD ，224BE AB AF AD ====，将四边形ABEF 沿AB 边折成图2．（1）求证：//AC 平面DEF ；（2）若23EC =，求平面DEF 与平面EAC 所成锐二面角的余弦值．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>3，点(4,1)在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:3l y kx =-与C 交于A ，B 两点，是否存在l ，使得点(0,1)M 在以AB 为直径的圆外，若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由． 21．（12分）已知1()mf x x mlnx x-=+-，m R ∈． （1）讨论()f x 的单调区间；（2）当202e m <„时，证明2()1x e x xf x m >-+-．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为35cos (45sin x y θθθ=+⎧⎨=-+⎩为参数），以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）过点(2,0)P ，倾斜角为4π的直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求11||||PM PN +的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|4||2|f x x ax =+--． （1）当2a =时，解不等式()3f x x …．（2）当12x …时，不等式2()4f x x -…成立，求实数a 的取值范围．2019-2020学年湖南省益阳市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|5}A x x =„，{|39}x B x =<，则(A B =U ) A ．(-∞，2]B ．(-∞，5]C ．(2，5]D ．(-∞，2)(2⋃，5)【解答】解：{|5}A x x =Q „，{|2}B x x =<， (A B ∴=-∞U ，5]．故选：B ．2．（5分）已知复数112z i =-，121z z =g ，则复数2z 的虚部为( ) A ．25B ．25-C ．15D ．15-【解答】解：由112z i =-，121z z =g ， 得2111121212(12)(12)55i z i z i i i +====+--+， ∴复数2z 的虚部为25． 故选：A ．3．（5分）已知函数2()(1)x f x x x e =++，则()f x 在(0，(0))f 处的切线方程为( ) A ．10x y ++=B ．10x y -+=C ．210x y ++=D ．210x y -+=【解答】解：由2()(1)x f x x x e =++，得22()(21)(1)(32)x x x f x x e x x e x x e '=++++=++， 则(0)2f '=，又(0)1f =，()f x ∴在(0，(0))f 处的切线方程为21y x =+，即210x y -+=． 故选：D ．4．（5分）设x ，y 满足约束条件262220x y x y y +⎧⎪-⎨⎪-⎩…„„，则2z x y =-的最大值是( )A ．2B ．6C ．10D ．14【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线2z x y =-过点B 点时，目标函数2z x y =-截距最小，Z 取最大值， 由222y x y =⎧⎨-=⎩，解得(6,2)B 时，在y 轴上截距最小，此时z 取得最大值：26210⨯-=． 故选：C ．5．（5分）已知函数()2sin [cos()cos ]3f x x x x π=-+，则函数()f x 的最小正周期是( )A ．2π B ．π C ．2π D ．4π【解答】解：函数()2sin [cos()cos ]3f x x x x π=-+，132sin (cos cos )2x x x x =++，332sin (cos )2x x x =，23sin cos 3sin x x x =+，31cos2sin 2322xx -=+， 333sin 22x x =， 33sin(2)6x π=-+所以函数的最小正周期为22T ππ==． 故选：B ．6．（5分）若输入的值为7，则输出结果为( )A ．74B ．34C ．78D ．32【解答】解：模拟程序的运行过程，如下；输入7x =，则7y =，6x =，0x …； 72x =，72y =，52x =，0x …； 74x =，74y =，34x =，0x …； 78x =，78y =，18x =-，0x <； 713884z =-=； 所以输出结果为34． 故选：B ．7．（5分）如图，在各棱长均为2的正三棱柱（底面为正三角形且侧棱垂直底面的棱柱）111ABC A B C -中，P ，E ，F 分别是1AA ，11A C ，AC 的中点，则四棱锥1P EFBB -的体积为( )A ．3 B ．3 C ．23D ．43【解答】解：Q 在各棱长均为2的正三棱柱（底面为正三角形且侧棱垂直底面的棱柱）111ABC A B C -中，P ，E ，F 分别是1AA ，11A C ，AC 的中点， AF BF ∴⊥，AF EF ⊥，EF BF F =Q I ，AF ∴⊥平面1BB EF ，22213BF =-=，∴四棱锥1P EFBB -的体积为：1231132133BB EF V S AF =⨯⨯=⨯⨯⨯=矩形． 故选：C ．8．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若32,26,4b c C π==，则ABC ∆的面积为( ) A ．2B ．22C ．3D ．32【解答】解：Q 34b c C π==， ∴由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，可得：22622(a a =+-，即22240a a +-=， ∴解得4a =，（负值舍去），113sin 4sin 2224ABC S ab C π∆∴==⨯=．故选：A ．9．（5分）51()(3)x x x+-展开式中含x 的项的系数为( )A ．112-B ．112C ．513-D ．513【解答】解：51()(3)x x x+-展开式中含x 的项的系数：52351(3)(3)513C ⨯-+-=-，故选：C ．10．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 的右支上一点，连接1PF 与y 轴交于点M ，若1||2||(FO OM O =为坐标原点），12PF PF ⊥，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A ．3y x =±B．y =C ．2y x =±D．y =【解答】解：由题意双曲线的图形如图，设1PF m =，2PF n =，点P 是C 的右支上一点， 连接1PF 与y 轴交于点M ，若1||2||(FO OM O =为坐标原点），12PF PF ⊥， 可得：112OM n OF m ==，所以2m n =，2n a =，所以4m a =， 可得22222164444a a c a b +==+， 解得2ba=， 所以双曲线的渐近线方程为：2y x =±． 故选：C ．11．（5分）已知三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2,43ABC PA π∠==，若三棱锥P ABC -外接球的表面积为32π，则直线PC 与平面ABC 所成角的正弦值为( ) A 7 B 6 C 27D ．27【解答】解：PA ⊥Q 平面ABC ，2,43ABC PA π∠==， 外接球球心为O ，ABC ∆外接圆的圆心为M ，连接OA ，OM ，AM ， 则有222OA OM AM =+ 由题可知，122OM PA ==； 且AM 为ABC ∆外接圆的半径，设为r ， OA 为球的半径，设为R ，则有2222R r =+Q 三棱锥P ABC -外接球的表面积为223248R R ππ=⇒=；2r ∴=；Q2244sin 23sin 3AC r AC ABC π==⇒==∠22228PC PA AC ∴=+=； 27PC ∴=；因为直线PC 与平面ABC 所成角为PCA ∠； 27sin 27PA PCA PC ∴∠===；即直线PC 与平面ABC 所成角的正弦值为27． 故选：C ．12．（5分）已知定义在R 上的奇函数()f x 恒有(1)(1)f x f x -=+，当[0x ∈，1)时，21()21x xf x -=+，则当函数1()()3g x f x kx =--在[0，7]上有三个零点时，k 的取值范围是( )A ．12[,)415--B ．22(,]915--C ．21(,)96--D ．221(,]9153⎧⎫---⎨⎬⎩⎭U【解答】解：(1)(1)f x f x -=+Q ，()f x ∴的周期为2， 又()f x Q 为奇函数，()()f x f x =--，令1x =，得f （1）(1)f =--，又(1)f f -=（1），f ∴（1）(1)0f =-=，且(1,1)x ∈-时，212()12121x x xf x -==-++， 由221x y =+单调递减得函数()f x 在(1,1)-上单调递增，(1)()f f x f ∴-<<（1），得11()33f x -<<，作出函数图象如图，由图象可知当13y kx =+经过1(3,)3-时，29k =-当13y kx =+经过1(5,)3-时，215k =-，当13y kx =+经过(1,0)时，13k =-，∴当函数1()()3g x f x kx =--在[0，7]上有三个零点时， 22915k -<-…或13k =-， 故选：D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知在平行四边形ABCD 中，1,3BE BC AE xBD yBC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则x y -= 73- ．【解答】解：Q 13AE AB BE AB BC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，AB DC BC BD ==-u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴1433AE BC BD BC BD BC =-+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，由AE xBD yBC =+u u u r u u u r u u u r 得41,3x y =-=，∴73x y -=-． 故答案为：73-．14．（5分）已知α是第四象限的角，且满足29cos sin 217αα+=，则tan α= 29- ． 【解答】解：Q 29cos sin 217αα+=， ∴22222sin cos 12tan 9117cos sin cos tan ααααααα++==++，即29tan 34tan 80αα--=，∴解得2tan 9α=-，或4， αQ 是第四象限的角，tan 0α<，2tan 9α∴=-．故答案为：29-．15．（5分）一个不透明的箱中原来装有形状、大小相同的1个绿球和3个红球．甲、乙两人从箱中轮流摸球，每次摸取一个球．规则如下：若摸到绿球，则将此球放回箱中可继续再摸；若摸到红球，则将此球放回箱中改由对方摸球，甲先摸球，则在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿球的概率是15128． 【解答】解：设甲、乙两人摸到的球为红球分别为事件A ，事件B ， 前四次摸球中甲恰好摸到两次绿球为事件C ， 则P （A ）P =（B ）34=则P （C ）()P AAAB AAAB AABA ABAA =+++11331131133133114444444444444444=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ 15128=． 则在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿球的概率为15128． 故答案为：15128． 16．（5分）已知抛物线2:4C y x =的准线为l ，过点(1,0)-作斜率为正值的直线l 交C 于A ，B 两点，AB 的中点为M ，过点A ，B ，M 分别作x 轴的平行线，与l 分别交于D ，E ，Q ，则当||||MQ DE 取最小值时，||AB = 【解答】解：由题意如图所示：设直线l 的斜率为(0)k k >，(,)A x y ，(,)B x y ''， 设x x '>，由题意设直线l 的方程为：(1)y k x =+，将直线与抛物线联立整理得：2222(24)0k x k x k +-+=，△224(24)40k k =-->，解得21k <，又斜率k 为正，故01k <<，2224k x x k -'+=-，1xx '=，所以AB 的中点M 的横坐标2222M x x k x k'+-==-，所以22222 ||1kMQk k-=-=，2222422441||2()22224A Bk k kDE y y x x x x xxk---'''=-=-=+-=-==所以24222||||112122()24MQDE k k k kk===--+--+，所以当212k=时，||||MQDE取最小值，这时22212412||1()41()4143122AB k x x xx-''=++-=+--=gg，故答案为：43．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{}na的前n项和为nS，1111,(22)2nn na S a++==-．（1）求2a及数列{}na的通项公式；（2）若112211log(),n n nn nb a a a ca b=⋯=+，求数列{}nc的前n项和nT．【解答】解：（1）1111,(22)2nn na S a++==-Q，∴2112(22)S a a==-，即214a=，当2n…时，1(22)nn nS a-=-，两式相减得：11(22)(22)n nn n na a a++=---，整理得：12(2)n n a a n +=…， 由112a =，214a =，可得122a a =，12n n a a +∴= (*)n N ∈，由10a ≠，得0(*)n a n N ≠∈，∴11(*)2n n a n N a +=∈， 则数列{}n a 是以12为首项，以12为公比的等比数列， ∴1111()()222n nn a -=⨯=； （2）由（1）知，1()2n n a =，∴121121221(1)()()1222n n n n n b log a a a log n ++⋯++=⋯==++⋯+=． ∴11211222()(1)1n n n n n c a b n n n n =+=+=+-++． 12311111(2222)2[(1)()()]2231n n T n n ∴=+++⋯++-+-+⋯+-+12(12)122(1)21211n n n n +-=+-=--++． 18．（12分）某服装加工厂为了提高市场竞争力，对其中一台生产设备提出了甲、乙两个改进方案：甲方案是引进一台新的生产设备，需一次性投资1000万元，年生产能力为30万件；乙方案是将原来的设备进行升级改造，需一次性投资700万元，年生产能力为20万件．根据市场调查与预测，该产品的年销售量的频率分布直方图如图所示，无论是引进新生产设备还是改造原有的生产设备，设备的使用年限均为6年，该产品的销售利润为15元/件． （1）根据年销售量的频率分布直方图，估算年销量的平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）将年销售量落入各组的频率视为概率，各组的年销售量用该组区间的中点值作年销量的估计值，并假设每年的销售量相互独立．①根据频率分布直方图估计年销售利润不低于270万元的概率；②若以该生产设备6年的净利润的期望值作为决策的依据，试判断该服装厂应选择哪个方案．(6年的净利润6=年销售利润一设备一次性投资费用）【解答】解：（1）年销量的平均数为0.05120.35160.3200.2240.12819.8x=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（万件）．（2）①该产品的销售利润为15元/件，由频率分布直方图得只有当年平均销量不低于18万件时年销售利润才不低于270万，P=--=．∴年销售利润不低于270万的概率为10.050.350.6②设甲方案的净利润为：19.81561000782⨯⨯-=（万元），乙方案的年销售量期望为19.8EX=，6年的净利润期望值为：19.81567001082⨯⨯-=（万元）．乙方案的净利润的期望值大于甲方案的净利润的期望值，∴企业应该选择乙方案．19．（12分）如图1所示，在直角梯形DCEF中，//AB CD，DF CE，FD DC⊥，// ====，将四边形ABEF沿AB边折成图2．BE AB AF AD224（1）求证：//AC平面DEF；（2）若23EC=，求平面DEF与平面EAC所成锐二面角的余弦值．【解答】解：（1）证明：连接BD交AC于点O，取DE的中点为G，连接FG，OG，则//OG BE ，12OG BE =， 又Q 1//,2AF BE AF BE =，∴//AF OG =，∴四边形AOGF 为平行四边形，//AC FG ∴，又FG 在平面DEF 内，AC 不在平面DEF 内， //AC ∴平面DEF ；（2）Q 4,2EC BE BC ===，222BE EC BC ∴=+， EC BC ∴⊥，Q EC AC AE ===222AE EC AC ∴=+， EC AC ∴⊥，又AC BC C =I ，且都在平面ABCD 内， EC ∴⊥平面ABCD ，CB ∴，CD ，CE 两两互相垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,4,0),(2,4,0),(2,0,0)C D E A B ， 由12AF BE =u u u r u u u r，得F ，设平面DEF 的一个法向量为(,,)m x y z =r，又(0,DE DF =-=u u u r u u u r ，∴400m DE y m DF x ⎧=-+=⎪⎨=+=⎪⎩u u u r r g u u u r r g，可取(m =-r ， 设平面EAC 的一个法向量为(,,)n a b c =r，又(2,4,0)CE CA ==u u u r u u u r ，∴0240n CE n CA a b ⎧==⎪⎨=+=⎪⎩u u u r r gu u u rr g，可取(2,1,0)n =-r ，∴cos ,||||m n m n m n <>==r rg r rr r∴平面DEF 与平面EAC 所成锐二面角的余弦值为285．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>3，点(4,1)在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:3l y kx =-与C 交于A ，B 两点，是否存在l ，使得点(0,1)M 在以AB 为直径的圆外，若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意知：3c a =，221611a b +=，222b a c =-，解得：220a =，25b =，所以椭圆的标准方程为：221205x y +=；（2）假设存在直线l 满足条件，设(,)A x y ，(,)B x y ''，联立直线与椭圆的方程整理得：22(14)24160k x kx +-+=，22414k x x k '+=+，21614xx k '=+，26()614y y k x x k -''+=+-=+，所以AB 的中点D 的坐标212(14kk +，23)14k -+，4222221234111()(1)1414k k k DM k k ++=++=++弦长2242222222246454121()41(14)14k k k AB r k x x xx kk k +-''==++-+-=++，所以42541k k r +-=，要使得点(0,1)M 在以AB 为直径的圆外，则DM r >， 所以整理为：4247k k <，解得77(k ∈，所以k的权责范围：(． 21．（12分）已知1()mf x x mlnx x-=+-，m R ∈．（1）讨论()f x 的单调区间；（2）当202e m <„时，证明2()1x e x xf x m >-+-．【解答】解：（1）22221(1)(1)[(1)]()1m m x mx m x x m f x x x x x --+----'=+-==．(0)x >． 2m >时，11m ->．则函数()f x 在(0,1)，(1,)m -+∞上单调递增，在(1,1)m -上单调递减．2m =时，22(1)()0x f x x -'=…，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； 12m <<时，011m <-<，则函数()f x 在(0,1)m -，(1,)+∞上单调递增，在(1,1)m -上单调递减．1m „时，2(1)(1)()0x x m f x x -+-'=…，函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．（2）证明：22()10.02xxe e x xf x m e mxlnx m >-+-⇔-><„．令()x g x e mxlnx =-．0x +→，()0g x →．((0,))x ∈+∞． ()(1)x g x e m lnx '=-+．()x mg x e x''=-在(0,)+∞上单调递增． 存在0x 使得00x me x =，00lnx x lnm ∴+=．可得x x =时，()g x '取得极小值20000001()(1)(1)()2(2)202x m e g x e m lnx m lnm x m x mlnm m mlnm m ln mln x x '=-+=-+-=+---=>厖．∴函数()g x 在(0,)x ∈+∞上单调递增．()(0)0g x g ∴>=．0xe mxlnx ∴->成立，即当202e m <„时，不等式2()1x e x xf x m >-+-成立． 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为35cos (45sin x y θθθ=+⎧⎨=-+⎩为参数），以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）过点(2,0)P ，倾斜角为4π的直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求11||||PM PN +的值． 【解答】解：（1）曲线C 的参数方程为35cos (45sin x y θθθ=+⎧⎨=-+⎩为参数），转换为直角坐标方程为22(3)(4)25x y -++=，转换为极坐标方程为28sin 6cos 0ρρθρθ+-=，化简为6cos 8sin ρθθ=-．（2）过点(2,0)P ，倾斜角为4π的直线l，整理得参数方程为2(x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得：280t +-=，所以12t t +=-128t t =-，所以121212||11||||||t t PM PN t t -+====． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|4||2|f x x ax =+--．（1）当2a =时，解不等式()3f x x …．（2）当12x …时，不等式2()4f x x -…成立，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）当2a =时，不等式()3f x x …．即|4||22|3x x x +--…． 1x …时，不等式化为：4(22)3x x x +--…，解得：32x „．312x ∴剟． 41x -<<时，不等式化为：4(22)3x x x ++-…，化为：40…，41x ∴-<<． 4x -„时，不等式化为：(4)(22)3x x x -++-…，解得：3x -„．4x ∴-„． 综上可得：32x „，即不等式的解集为3(,]2-∞； （2）依题意，当12x …时，不等式2|4||2|4x ax x +---…成立，即2|2|x x ax +-…， ∴2211x a x x x-+-++剟，当12x …时，由基本不等式可得211x x ++，当且仅当“x = 因为函数21y x x =-+-在1[,)2+∞上单调递减， 所以当12x =时，21y x x =-+-取得最大值为52，∴实数a 的取值范围为5[1]2．。
20-20学年湖南省益阳市高三上学期期末数学复习卷 (有解析)
20-20学年湖南省益阳市高三上学期期末数学复习卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1,2，3，4}，B={2,4，6，8}，则A∩B中元素的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 42.已知复数z满足z·i=1−i，则复数z在复平面内对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.随着人口老龄化的不断加快，我国出现了一个特殊的群体——“空巢老人”.这些老人或经济困难，或心理寂寞，亟需来自社会的关心关爱．为此，社区志愿者开展了“暖巢行动”，其中A，B两个小区“空巢老人”的年龄如图所示，则A小区“空巢老人”年龄的平均数和B小区“空巢老人”年龄的中位数分别是()A. 83.5；83B. 84；84.5C. 85；84D. 84.5；84.54.已知a=17117,b=log16√17,c=log17√16，则a,b,c的大小关系为()A. a>b>cB. a>c>bC. b>a>cD. c>b>a5.民间有一种五巧板拼图游戏，这种五巧板(图1)可以说是七巧板的变形，它是由一个正方形分割而成(图2).若在图2所示的正方形中任取一点，则该点取自标号为③和④的巧板的概率为()A. 518B. 13C. 718D. 496.cos(−11π6)=()A. 12B. −12C. −√32D. √327.f(x)的部分图象如图所示，则其解析式可能为()A. x2+sinxB. x2+cosxC. 2x+sinxD. 2x+cosx8.已知向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=1，a⃗⊥b⃗ ，则向量a⃗−2b⃗ 在向量a⃗方向上的投影为()A. 0B. 1C. 2D. −19.执行如图所示的程序框图，则输出的S=()A. 1023B. 512C. 511D. 25510.已知点F是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个交点，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A. (1,2)B. (1,3)C. (1,1+√2)D. (2,1+√2)11.若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2bsin2A=3asinB，且c=2b，则ab等于()A. √22B. √33C. √2D. √312.设θ∈(π4,π2),sin2θ=116,则cosθ−sinθ的值是()A. √154B. −√154C. 34D. −34二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线f(x)=ln x−x在点(1,f(1))处的切线方程为_________．14.已知F1、F2是椭圆C：x236+y227=1的两个焦点，点P为椭圆C上的点，|PF1|=8，若M为线段PF1的中点，则线段OM的长为______．15.设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，S6−5S3=0，则a7的值为________．16.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)，点(2π3,0)和(7π6,0)是函数f(x)图象上相邻的两个对称中心，则φ=________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=n2+n，n∈N∗(1)求{a n}的通项公式；(2)求数列{1(n+1)a n}的前n项和．18.某舆情机构为了解人们对某事件的关注度，随机抽取了100人进行调查，其中女性中对该事件关注的占23，而男性有10人表示对该事件没有关注．(1)根据以上数据补全2×2列联表：(2)能否有90％的把握认为“对事件是否关注与性别有关”?附表：P(K2≥k)0.1500.1000.0500.0250.010 k 2.0722.7063.8415.0246.635K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，BC⊥平面PBD，底面ABCD为平行四边形，△PAD为等腰三角形，∠ABD=30°，AB=2．(1)证明：BD⊥平面PAD；(2)求点D到平面PAB的距离．20.在平面直角坐标系xOy中，已知圆Q过定点D(2,0)，且在y轴上截得的弦长|MN|=4，设动圆圆心Q的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)过点(4,0)作直线交曲线C于A，B两点，问在曲线C上是否存在一点P，使得点P在以AB为直径的圆上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．21.已知函数．(1)求f(x)的单调区间；(2)讨论g(x)=f(x)x +(b−12)x零点的个数．22.在直角坐标系中，l是过点P(−1,0)且倾斜角为π4的直线．以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．(1)求直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C交于两点A，B，求|PA|+|PB|．23.设函数f(x)=|2x−1|−|x+1|．(1)求不等式f(x)≤0的解集；(2)若f(x)>a−2|x+1|恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查求集合的交集.求出A∩B即可．解：A∩B={2,4}，有2个元素．故选B．2.答案：C解析：本题主要考查复数的几何意义，结合复数的运算法则进行是解决本题的关键．根据复数的运算法则进行化简，结合复数的几何意义进行求解即可．解：由zi=1−i得z=1−ii =(1−i)i−1=−1−i对应复平面的坐标为(−1,−1)，位于第三象限，故选C．3.答案：B解析：本题考查茎叶图以及中位数和平均数的求法，属于基础题．根据茎叶图和平均数和中位数的求法求解即可．解：根据茎叶图可知A小区“空巢老人”年龄的平均数为78+78+81+85+84+85+90+918=84，B小区“空巢老人”年龄的中位数为84+852=84.5．故选B．4.答案：A解析：解：∵a=17117>170=1，0=log171<c=log17√16<log17√17<b=log16√17<log1616=1，∴a，b，c的大小关系为a>b>c．故选：A．利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5.答案：C解析：本题考查与面积有关的几何概型问题，属于基础题．设出大正方形的面积，求出阴影部分的面积，从而求出满足条件的概率即可．解：设桥板①的边长为1，则正方形的边长为3，其面积为S=32=9，其桥板③是等腰直角三角形，面积为S3=12×2×1=1，桥板④是边长为√2的正方形和腰长为1的等腰三角形，故面积为S4=12×1×1+(√2)2=52，故所求概率为P=S3+S4S =718，故选C．6.答案：D解析：解：cos(−11π6)=cos11π6=cos(2π−π6)=cosπ6=√32．故选：D．运用诱导公式及特殊角的三角函数值即可化简求值．本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．7.答案：C解析：本题考查的知识点是函数的图象和性质，函数图象的解法一般采用排除法．根据函数图象过(0,1)点及零点个数，利用排除法，可得答案．解：由函数图象过(0,1)点，可排除A，D，当x<−1时，x2+cosx>0恒成立，函数图象不会再与x轴相交，可排除B，故选：C．8.答案：B解析：本题考查了平面向量投影的定义与向量的数量积的运算，涉及向量垂直的条件，是基础题目．一般的两个向量p⃗,q⃗，，其中叫做p⃗在q⃗上的投影，计算公式为再结合向量垂直的条件等价于向量的数量积为0，以及向量的数量积的运算公式运算求解即可．解：∵a⃗⊥b⃗ ,∴a⃗·b⃗ =0∴向量a⃗−2b⃗ 在向量a⃗方向上的投影为∴(a⃗−2b⃗ )·a⃗|a⃗|=a⃗2−2b⃗ ·a⃗|a⃗|=12−01=1故选B．9.答案：C解析：解：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的是：S=2°+21+22+23+⋯+28=1−291−2=29−1=511．故选：C．根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行后输出的S值．本题考查了程序框图的应用问题，也考查了数列求和的应用问题，是基础题目．10.答案：A解析：解：∵过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)右焦点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个交点，∴该双曲线的一条渐近线y=ba x的斜率k=ba<tan60°=√3，∴b2a2<3，又b2=c2−a2，e=ca，∴c2−a2a2<3，∴c2a2<4，即e2<4，又e>1，∴1<e<2．故选A．依题意，双曲线的一条渐近线的斜率k=ba<tan60°，从而可求得其离心率e的取值范围．本题考查双曲线的简单性质，理解题意得到ba<tan60°是关键，也是难点，属于中档题．11.答案：C解析：解：由2bsin2A=3asinB，利用正弦定理可得：4sinBsinAcosA=3sinAsinB，由于：sinA≠0，sinB≠0，可得：cosA=34，又c=2b，可得：a2=b2+c2−2bccosA=b2+4b2−2b⋅2b⋅34=2b2，则ab=√2．故选：C．利用正弦定理化简已知等式，结合sinA≠0，sinB≠0，可得cosA=34，又c=2b，利用余弦定理即可计算得解ab的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．12.答案：B解析：本题主要考察三角函数的运算以及二倍角公式的运用，sin2θ=2sinθcosθ，又根据θ∈(π4,π2)，从而判断cosθ−sinθ的符号，构造(cosθ−sinθ)2=1−2sinθcosθ，从而计算出结果.此题难度一般．由题可知：sin2θ=2sinθcosθ=116，(cosθ−sinθ)2=1−2sinθcosθ=1516，又θ∈(π4,π2)，所以cosθ−sinθ=−√154，故选B．13.答案：y=−1解析：本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程．先对f(x)进行求导得到f′(x)=1x−1，分别求得x=1时，f(x)与f′(x)的值即可．解：曲线f(x)=ln x−x，∴f′(x)=1x−1，，∴切点为(1,−1)，切线方程的斜率为k=f′(1)=0．即过曲线C：f(x)=ln x−x上点(1,f(1))处的切线方程为y=−1．故答案为y=−1．14.答案：2解析：解：F1、F2是椭圆C：x236+y227=1的两个焦点，可得F1(−3,0)，F2(3,0).a=6．点P为椭圆C上的点，|PF1|=8，则，|PF2|=4，M为线段PF1的中点，则线段OM的长为：12|PF2|=2．故答案为：2．求出椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义转化求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．15.答案：16解析：解：∵等比数列{a n}，a1=1，S6−5S3=0，显然q≠1，1−q6 1−q −5×1−q31−q=0，整理可得，q3=4，a7=a1q6=16故答案为：16由已知结合等比数列的求和公式可q3，然后再结合等比数列的通项公式即可求解a7．本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．16.答案：2π3解析：本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质，属于基础题．由题意可得πω=7π6−2π3=π2，求出ω的值，再根据将(2π3,0)代入函数解析式可得2×2π3+φ=kπ，结合φ的取值范围即可得解．解：因为点(2π3,0)和(7π6,0)是函数f(x)图象上相邻的两个对称中心，所以πω=7π6−2π3=π2，解得ω=2，又因为点(2π3,0)在函数图像上，即sin(2×2π3+φ)=0，所以2×2π3+φ=kπ，即φ=kπ−4π3(k∈Z)，又因为0<φ<π，所以φ=2π3．17.答案：解：(1)由S n=n2+n，得a1=S1=2；当n≥2时，a n=S n−S n−1=(n2+n)−[(n−1)2+(n−1)]=2n．a1=2适合上式，∴a n=2n；(2)设{1(n+1)a n}的前n项和为T n，由(1)得：1(n+1)a n =12×1n(n+1)=12(1n−1n+1)则T n=12(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)=12(1−1n+1)=n2(n+1)．解析：(1)由已知数列的前n项和求得首项，再由a n=S n−S n−1(n≥2)求得数列通项公式；(2)把{a n}的通项公式代入数列{1(n+1)a n}，由裂项相消法求其前n项和．本题考查数列递推式，考查了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．18.答案：解：(1)根据已知数据得到如下列联表(2)根据列联表中的数据，得到k2的观测值k2=100×(45×15−10×30)255×45×75×25=10033≈3.030>2.706．所以有90％的把握认为“对事件是否关注与性别有关”．解析：本题考查独立性检验的应用，题目难度一般．(1)根据题中所给数据，按照比例关系得到：男55人中45人关注，10人没关注；女有45人，期中30人关注，15人没关注，填入表中即可．(2)将上面数据代入所给公式中，求出k2，即可判断．19.答案：证明：(1)∵BC⊥平面PBD，BD⊂平面PBD，∴BC⊥BD，∵BC//AD，∴AD⊥BD，∵PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PD⊥BD，又∵AD、PD为平面PAD内两条相交直线，∴BD⊥平面PAD．解：(2)∵△PAD是等腰三角形，∠ABD=30°，AB=2，AD⊥BD，∴PD=AD=1，BD=√3，PA=√2，PB=√12+(√3)2=2，∴S△PAB=12×√2×(√22)=√72，设点D到平面PAB的距离为d，由V P−ABD=V D−ABP，得13×12×AD×BD×PD=13×S△PAB×d，即13×12×1×√3×1=13×√72×d，解得d=√217．∴点D 到平面PAB 的距离为√217．解析：本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查运用求解能力，是中档题．(1)推导出BC ⊥BD ，AD ⊥BD ，PD ⊥BD ，由此能证明BD ⊥平面PAD ．(2)设点D 到平面PAB 的距离为d ，由V P−ABD =V D−ABP ，能求出点D 到平面PAB 的距离． 20.答案：解：(1)设圆心Q(x,y)，作QH ⊥MN 于点H ．由题知QD 2=QM 2=MH 2+QH 2，故(x −2)2+y 2=22+x 2．所以y 2=4x ，即动圆圆心Q 的轨迹为抛物线y 2=4x;(2)若直线方程为y =0，直线与抛物线只有一个交点，不合题意;设直线方程为x =my +4，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立{x =my +4,y 2=4x得，y 2−4my −16=0， Δ=16m 2+64>0，y 1+y 2=4m ，y 1·y 2=−16，假设存在一点P(y 024,y 0)，满足题设， 则PA ⊥PB ，即PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，又 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−y 024,y 1−y 0)， PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−y 024,y 2−y 0). x 1+x 2=m(y 1+y 2)+8=4m 2+8， x 1x 2=y 12y 2216=16， 所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2−y 024(x 1+x 2)+y 0416+y 1y 2−y 0(y 1+y 2)+y 02 =y 0416−(m 2+1)y 02−4my 0=0， 所以y 0=0．综上，存在点P(0,0)满足题设．解析：本题考查了解析几何的相关知识，其中包括圆的轨迹问题，抛物线的相关问题，属于较难题．(1)设圆心Q(x,y)，作QH ⊥MN 于点H ，根据题意可知，由题知QD 2=QM 2=MH 2+QH 2，即可得到曲线C 的方程．(2)由题意可设直线方程为x =my +4，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立{x =my +4,y 2=4x得，y 2−4my −16=0，假设存在一点P(y 024,y 0)，可得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =y 0416−(m 2+1)y 02−4my 0=0，所以y 0=0，存在点P(0,0)满足题设．21.答案： 解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=−4x +x =x 2−4x ，当0<x <2时，f′(x)<0，所以f(x)在(0,2)单调递减；当x >2时，f′(x)>0，所以f(x)在(2,+∞)单调递增， 所以函数f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2,+∞)；(2)由题意，， 函数g(x)有零点等价于方程有实数根， 令x 2=t(t >0)，则方程转化为，令，(t >0)， 则， 令ℎ′(t)=0，得t =e ，∴t ∈(0,e)，ℎ′(t)>0，t ∈(e,+∞)，ℎ′(t)<0，ℎ(t)max =ℎ(e)=2e ，当t =1e 时，ℎ(t)=−2e <0，当t >e 时，ℎ(t)>0，作出的图象，如图，可知：①当b ≤0时，函数ℎ(t)和函数y =b 有唯一交点，即g(x)有唯一零点；②当0<b <2e 时，函数ℎ(t)和函数y =b 有两个交点，即g(x)有两个零点；③当b =2e 时，函数ℎ(t)和函数y =b 有唯一交点，即g(x)有唯一零点；④b >2e 时，函数ℎ(t)和函数y =b 没有交点，即g(x)此时无零点．解析：本题考查导数的运用，求函数的单调区间，同时考察函数的单调性的运用和函数的零点的个数，运用参数分离和分类讨论的思想方法是解题的关键．(1)求出函数的导数，即可求出函数的单调区间；(2)求出导数，求得单调区间和最值，结合图像对b 讨论，即可判断零点的个数．22.答案：解：(1)直线l 的参数方程为{x =−1+√22t y =√22t(t 为参数)． 由曲线C 的极坐标方程ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，把x =ρcosθ，y =ρsinθ，代入得曲线C 的直角坐标方程为(x −2)2+y 2=4．(2)把{x =−1+√22t y =√22t，代入圆C 的方程， 得(√22t −3)2+(√22t)2=4， 化简得t 2−3√2t +5=0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则{t 1+t 2=3√2t 1t 2=5， ∴t 1>0，t 2>0，则|PA|+|PB|=t 1+t 2=3√2．解析：本题考查的是参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用及相关的运算问题的应用，属于基础题型．(1)直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；(2)利用直线和曲线的位置关系建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果． 23.答案：解：(1)当x <−1时，1−2x −(−x −1)≤0，即x ≥2，此时x 无解，当−1≤x ≤12时，1−2x −(x +1)≤0，即x≥0，可得0≤x≤12；当x>12时，2x−1−(x+1)≤0，即x≤2，可得12<x≤2；综上可得，原不等式的解集为[0,2]；(2)f(x)>a−2|x+1|恒成立，即为|2x−1|+|x+1|>a恒成立，令g(x)=|2x−1|+|x+1|，当x<−1时，g(x)=1−2x+(−x−1)=−3x，可得g(x)>3；当−1≤x≤12时，g(x)=1−2x+(x+1)=2−x，可得g(x)∈[32,3]；当x>12时，g(x)=2x−1+(x+1)=3x，可得g(x)>32．则g(x)的最小值为32，即有a<32，则实数a的取值范围是(−∞,32).解析：本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论的思想方法，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和函数的单调性，属于中档题．(1)对x讨论，分当x<−1时，当−1≤x≤12时，当x>12时，去掉绝对值，解不等式，最后求并集即可；(2)由题意可得|2x−1|+|x+1|>a恒成立，令g(x)=|2x−1|+|x+1|，对x讨论，分当x<−1时，当−1≤x≤12时，当x>12时，去掉绝对值，运用单调性可得最小值，即可得到a的范围．。
2019-2020学年湖南省益阳市高三(上)期末数学试卷(文科)
2019-2020学年湖南省益阳市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合21{|}4A x y x ==-，{|23B x x =-<…，}x Z ∈，则A B I 中元素的个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．52．（5分）若复数满足1i z i =--g ，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）随着人口老龄化的不断加快，我国出现了一个特殊的群体-- “空巢老人”．这些老人或经济困难，或心理寂寞，亟需来自社会的关心关爱．为此，社区志愿者开展了“暖巢行动”，其中A ，B 两个小区“空巢老人”的年龄如图所示，则A 小区“空巢老人”年龄的平均数和B 小区“空巢老人”年龄的中位数分别是( )A ．83.5；83B ．84；84.5C ．85；84D ．84.5；84.54．（5分）已知2a ln =，b ln π=，12524c ln =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b c a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．a c b <<5．（5分）民间有一种五巧板拼图游戏，这种五巧板（图1)可以说是七巧板的变形，它是由一个正方形分割而成（图2)．若在图2所示的正方形中任取一点，则该点取自标号为③和④的巧板的概率为( )A ．518 B ．13C ．718D ．496．（5分）4sin cos()36(15tan4πππ-=)A．34B．34C．34-D．14-7．（5分）已知函数()y f x=的部分图象如图所示，则()f x的解析式可能为()A．21cos1xx-+B．2||1sin1xx++C．2sin1xx+D．2sin1x xx+g8．（5分）已知向量(1,2)a=r，(2,1)b=-r，(,)c x y=r，若()a b c+⊥rr r，则br在cr上的投影为( )A．102±B．105±C．102-D．105-9．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为()A．2-B．6-C．8-D．12-10．（5分）设F是双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的右焦点，过点F作斜率为3-的直线l与双曲线左、右支均相交，则双曲线离心率的取值范围为()A．10)B．5)C．((10,)+∞D．(5,)+∞11．（5分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin sin sin B A C =g ．若对于任意实数x，不等式22(2sin 2)sin()]14x B B π++++g …恒成立，则实数t 的取值范围为( )A ．(-∞，1][1-U ，)+∞B ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞C．(1]-U D．[1][1-U12．（5分）已知函数2cos 12cos ()1sin cos ,(0,)2f x x x θθπθθθ+=-+++∈，若存在(0,1)x ∈，使不等式()0f x <成立，则θ的取值范围为( ) A ．(0,)12πB ．5(,)122ππC ．5(0,)(,)12122πππU D ．5(,)1212ππ二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知函数2()f x lnx x =+，则曲线()f x 在点(1，f （1）)处的切线在y 轴上的截距为 ．14．（5分）已知椭圆222:1(0)9x y C a a +=>的右焦点为F ，点M 在C 上，点N 为线段MF 的中点，点O 为坐标原点，若||2||4MF ON ==，则C 的离心率为 ．15．（5分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，424a =，696a =，且90a >，则满足不等式93n S >成立的最小正整数n 为 ．16．（5分）已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>„，(,0)18π-为()f x 图象的一个对称中心，79x π=为()f x 图象的一条对称轴，且()f x 在710[,]99ππ上单调，则符合条件的ω值之和为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{}n a 中，有为21232(*)n a a a a n n n N +++⋯+=+∈． （1）证明：数列{}n a 为等差数列，并求其通项公式； （2）记11n n n b a a +=g ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（12分）第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行．它是中国政府坚定支持贸易自由化和经济全球化，主动向世界开放市场的重要举措，有利于促进世界各国加强经贸交流合作，促进全球贸易和世界经济增长，推动开放世界经济发展．某机构为了解人们对“进博会”的关注度是否与性别有关，随机抽取了100名不同性别的人员（男、女各50名）进行问卷调查，并得到如下22⨯列联表：男性 女性 合计 关注度极高 35 14 49 关注度一般 15 36 51 合计5050100（1）根据列联表，能否有99.9%的把握认为对“进博会”的关注度与性别有关； （2）若从关注度极高的被调查者中按男女分层抽样的方法抽取7人了解他们从事的职业情况，再从7人中任意选取2人谈谈关注“进博会”的原因，求这2人中至少有一名女性的概率．附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：20()P K k …0.050 0.010 0.001 0k3.8416.63510.82819．（12分）在如图所示的三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，12AB AA a ==． （1）若AB BC ⊥，证明：1BC AB ⊥；（2）若底面ABC 为正三角形，求点1B 到平面1A BC 的距离．20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，点(,)M x y 22(1)|1|x y y +-+． （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）作曲线C 关于1x 轴对称的曲线，记为C '，在曲线C 上任取一点0(P x ，0)y ，过点P 作曲线C 的切线l ，若切线l 与曲线C '交于A ，B 两点，过点分别作曲线C '的切线1l ，2l ，且1l ，2l 的交点为Q ，试问以Q 为直角的AQB ∆是否存在，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数2()1f x lnx mx =++，m R ∈． （1）当2m =-时，求函数()f x 的单调区间及极值； （2）讨论函数()f x 的零点个数．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4一4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为35cos (45sin x y θθθ=+⎧⎨=-+⎩为参数），以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）过点(2,0)P ，倾斜角为4π的直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求11||||PM PN +的值． [选修4一5：不等式选讲]23．已知函数()|4||2|f x x ax =+--． （1）当2a =时，解不等式()3f x x …．（2）当12x …时，不等式2()4f x x -…成立，求实数a 的取值范围．2019-2020学年湖南省益阳市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合21{|}4A x y x ==-，{|23B x x =-<…，}x Z ∈，则A B I 中元素的个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：{|2}A x x =≠±，{2B =-，1-，0，1，2}， {1A B ∴=-I ，0，1}， A B ∴I 中元素的个数为3．故选：B ．2．（5分）若复数满足1i z i =--g ，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：由1i z i =--g ，得22(1)1i z i i i i i =--=--=-g ， 则1z i -=-，1z i =-+，对应点的坐标为(1,1)-为第二象限，或法2：由1i z i =--g 得211i i i z i i i ---===-+，对应点的坐标为(1,1)-为第二象限，故选：B ．3．（5分）随着人口老龄化的不断加快，我国出现了一个特殊的群体-- “空巢老人”．这些老人或经济困难，或心理寂寞，亟需来自社会的关心关爱．为此，社区志愿者开展了“暖巢行动”，其中A ，B 两个小区“空巢老人”的年龄如图所示，则A 小区“空巢老人”年龄的平均数和B 小区“空巢老人”年龄的中位数分别是( )A ．83.5；83B ．84；84.5C ．85；84D ．84.5；84.5【解答】解：由茎叶图知，A 小区“空巢老人”年龄的平均数是 1(7878818485859091)848x =⨯+++++++=；B 小区“空巢老人”年龄按从小到大的顺序排列为76，82，83，84，85，86，86，92； 它的中位数是1(8485)84.52⨯+=．故选：B ．4．（5分）已知2a ln =，b ln π=，12524c ln =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b c a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．a c b <<【解答】解：12550121242ln a ln c ln ln lne b ln π=<=<==<=<=Q ，a ∴，b ，c 的大小关系为a c b <<．故选：D ．5．（5分）民间有一种五巧板拼图游戏，这种五巧板（图1)可以说是七巧板的变形，它是由一个正方形分割而成（图2)．若在图2所示的正方形中任取一点，则该点取自标号为③和④的巧板的概率为( )A ．518 B ．13C ．718D ．49【解答】解：设图2所示的正方形的边长为3，则正方形的面积为239S ==，标号为③和④的巧板的面积和为221731(2)22S '=⨯⨯+=，∴由几何概型得在图2所示的正方形中任取一点，则该点取自标号为③和④的巧板的概率为772918p ==．故选：C ．6．（5分）4sincos()36(15tan4πππ-= ) A ．34B ．3 C ．34-D ．14-【解答】解：4133sincos()sin cos 336362215314tan tan 44ππππππ---⨯===-． 故选：A ．7．（5分）已知函数()y f x =的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为( )A ．21cos 1xx -+ B ．2||1sin1x x ++ C ．2sin 1xx + D ．2sin 1x xx +g 【解答】解：依题意，(0)0f =，则可排除B ；()0f π=，则可排除A ；又函数()f x 的图象关于y 轴对称，故可排除C ． 故选：D ．8．（5分）已知向量(1,2)a =r ，(2,1)b =-r ，(,)c x y =r ，若()a b c +⊥r r r ，则b r 在c r上的投影为()A ．10B ．10C ．10D ．10【解答】解：Q 向量(1,2)a =r ，(2,1)b =-r ，(,)c x y =r ，若()a b c +⊥r r r，()(1a b c ∴+=-r r rg ，3)(g x ，)30y x y =-+=，∴(c =r3y ，)y ．设b r 与c r的夹角为θ，则2315||||cos 510|cos b c y y y b c y θθ=-+=-==r r r r g gg g g g g ，求得2cos ||y y θ-=-g ， ∴b r在c r上的投影为210||cos 5()||y b y θ-=-=±rgg g ， 故选：A ．9．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A ．2-B ．6-C ．8-D ．12-【解答】解：模拟执行程序的运行过程，如下； 则10S =，1n =，0S >， 1028S =-=，2n =，0S >， 8412S =+=，3n =，0S >， 1284S =-=，4n =，0S >， 41620S =+=，5n =，0S >， 203212S =-=-，6n =，0S …；输出12S =-． 故选：D ．10．（5分）设F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点，过点F 作斜率为3-的直线l 与双曲线左、右支均相交，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．B ．C ．( )+∞D ．)+∞【解答】解：双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a =±，由斜率为3的直线l 过双曲线1C 的右焦点， 且与双曲线1C 左右支各有一个交点， 则3ba>，即229b a >，2210c a >，可得e > 故选：C ．11．（5分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin sin sin B A C =g ．若对于任意实数x ，不等式22(2sin 2)sin()]14x B B π++++g …恒成立，则实数t 的取值范围为( )A ．(-∞，1][1-U ，)+∞B ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞C ．(1]-UD ．[1][1-U【解答】解：2sin sin sin B A C =g ，由正弦定理可得2b ac =，由余弦定理可得2222cos 22cos b a c ac B ac ac ac B =+-=-…，即1cos 2B …， 即有03B π<„，可得sin cos )(14B B B π++∈，对于任意实数x ，不等式22(2sin 2)sin()]14x B B π++++g …恒成立，即有22222(2sin 2)(2sin 2)(sin cos )10x B x B t B B ++++++-…， 可得△22224(2sin 2)4(2sin 2)4(sin cos )40B B t B B =+-+-++„，即为221(sin cos )t B B +…，由sin cos (1B B +∈，可得211[(sin cos )2B B ∈+，1)， 可得21t …，解得1t …或1t -„． 故选：A ．12．（5分）已知函数2cos 12cos ()1sin cos ,(0,)2f x x x θθπθθθ+=-+++∈，若存在(0,1)x ∈，使不等式()0f x <成立，则θ的取值范围为( ) A ．(0,)12πB ．5(,)122ππC ．5(0,)(,)12122πππU D ．5(,)1212ππ【解答】解：2cos 12cos ()1sin cos ,(0,)2f x x x θθπθθθ+=-+++∈， 可转化为222112cos (12cos )112cos 4sin cos 1()cos ()1sin cos cos ()2cos 4cos 2cos 4cos f x x x θθθθθθθθθθθθθ+++-=--+++=-+，(0,)2πθ∈， 当01x <<，则11x>， 当112cos 2cos x θθ+=时，4sin cos 1()4cos min f x θθθ-=， 由题意可知，()0min f x <，所以4sin cos 10θθ-<，从而得到2sin21θ<，即1sin 22θ<， 所以022πθ<<或526πθπ<<，所以012πθ<<或5122ππθ<<， 故选：C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知函数2()f x lnx x =+，则曲线()f x 在点(1，f （1）)处的切线在y 轴上的截距为 2- ．【解答】解：由2()f x lnx x =+，得1()2f x x x'=+， f ∴'（1）3=，又f （1）1=，∴曲线()f x 在点(1，f （1）)处的切线方程为13(1)y x -=-，取0x =，得曲线()f x 在点(1，f （1）)处的切线在y 轴上的截距为2-． 故答案为：2-．14．（5分）已知椭圆222:1(0)9x y C a a +=>的右焦点为F ，点M 在C 上，点N 为线段MF 的中点，点O 为坐标原点，若||2||4MF ON ==，则C 的离心率为 ． 【解答】解：如图，设椭圆C 的左焦点为F '，由椭圆定义得||||2MF MF a +'=， 即4||2MF a +'=，①O Q 为F F '的中点，N 为线段MF 的中点，||2||4MF ON ∴'==，代入①， 可得28a =，即4a =．∴1697c =-C ∴7． 7． 15．（5分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，424a =，696a =，且90a >，则满足不等式93n S >成立的最小正整数n 为 6 ． 【解答】解：因为424a =，696a =， 由等比数列的性质可得，2644a q a ==， 因为90a >， 所以，0q >， 故2q =，13a =，所以3(12)9312n n S -=>-，则232n >，所以5n >即满足条件的6n =． 故答案为：616．（5分）已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>…，(,0)18π-为()f x 图象的一个对称中心，79x π=为()f x 图象的一条对称轴，且()f x 在710[,]99ππ上单调，则符合条件的ω值之和为275． 【解答】解：函数()sin()f x x ωϕ=+， 由题意知18k πωϕπ-+=，k Z ∈；792k ππωϕπ+=+，k Z ∈； 61()52k ω=+，k Z ∈；()f x 在710[,]99ππ上单调， 1072993T πππ-=…， 2612()523k ππ⨯+…，k Z ∈； 解得2k „，又0ω>，所以0k …；0k =，1，2； 0k =时，35ω=，此时30πϕ=；1k =时，95ω=，此时10πϕ=-；2k =时，3ω=，此时6πϕ=； 所以符合条件的ω值之和为39273555++=．故答案为：275． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{}n a 中，有为21232(*)n a a a a n n n N +++⋯+=+∈． （1）证明：数列{}n a 为等差数列，并求其通项公式； （2）记11n n n b a a +=g ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【解答】（1）证明：由21232(*)n n S a a a a n n n N =+++⋯+=+∈． 得113a S ==，当2n …时，21(1)2(1)n S n n -=-+-， 两式作差可得：21(2)n a n n =+…， 验证13a =适合上式，21n a n ∴=+，由12n n a a +-=，可知数列{}n a 为等差数列，其通项公式为21n a n =+； （2）解：111111()(21)(23)22123n n n b a a n n n n +===-++++g ，∴1111111111()()23557212323233(23)n n T n n n n =-+-+⋯+-=-=++++． 18．（12分）第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行．它是中国政府坚定支持贸易自由化和经济全球化，主动向世界开放市场的重要举措，有利于促进世界各国加强经贸交流合作，促进全球贸易和世界经济增长，推动开放世界经济发展．某机构为了解人们对“进博会”的关注度是否与性别有关，随机抽取了100名不同性别的人员（男、女各50名）进行问卷调查，并得到如下22⨯列联表：（1）根据列联表，能否有99.9%的把握认为对“进博会”的关注度与性别有关； （2）若从关注度极高的被调查者中按男女分层抽样的方法抽取7人了解他们从事的职业情况，再从7人中任意选取2人谈谈关注“进博会”的原因，求这2人中至少有一名女性的概率．附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：【解答】解：（1）根据题意，有22⨯列联表可得：22100(35361415)210017.6510.82850504951119k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，故有99.9%的把握认为对“进博会”的关注度与性别有关；（2）根据题意，在从关注度极高的被调查者中按男女分层抽样的方法抽取7人中，男性有5人，设为a 、b 、c ，d ，e ，女性有2人，设为1，2；从7人中任意选取2人，其基本事件有{a 、}b ，{a 、}c ，{a 、}d ，{a ，}e ，{a ，1}，{a ，2}， {b 、}c ，{b 、}e ，{b 、}d ，{b ，1}，{b ，2}； {c 、}d ，{c ，}e ，{c ，1}，{c ，2}； {d ，}e ，{d ，1}，{d ，2}； {e ，1}，{e ，2}； {1，2}． 共21个，至少有一名女性对应的基本事件有11个； 则这2人中至少有一名女性的概率1121p =． 19．（12分）在如图所示的三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，12AB AA a ==． （1）若AB BC ⊥，证明：1BC AB ⊥；（2）若底面ABC 为正三角形，求点1B 到平面1A BC 的距离．【解答】解：（1）证明：1AA ⊥Q 底面ABC ，BC ⊂平面ABC ，1AA BC ∴⊥， AB BC ⊥Q ，1AB AA A =I ，BC ∴⊥平面11ABB A ， 1AB ⊂Q 平面11ABB A ，1BC AB ∴⊥．（2）解：1AA ⊥Q 底面ABC ，12AB AA a ==，底面ABC 为正三角形， 2211442A B A C a a a ∴==+，∴12221(22)272A BC S a a a a -=V ， 1A 到平面1BBC 22(2)3a a a -，1212222BB C S a a a =⨯⨯=V ，设点1B 到平面ABC 的距离为d ， Q 1111B A BC A BB C V V --=，∴1111333A BC BBC S d S a ⨯⨯=⨯⨯V V ， 11223232217BB C A BCS a a ad a S a ⨯⨯∴===V V ． ∴点1B 到平面1A BC 的距离为221a ．20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，点(,)M x y 22(1)|1|x y y +-+． （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）作曲线C 关于1x 轴对称的曲线，记为C '，在曲线C 上任取一点0(P x ，0)y ，过点P 作曲线C 的切线l ，若切线l 与曲线C '交于A ，B 两点，过点分别作曲线C '的切线1l ，2l ，且1l ，2l 的交点为Q ，试问以Q 为直角的AQB ∆是否存在，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（122(1)|1|x y y +-=+，两边平方并化简， 得24x y =，即214y x =， ∴点M 的轨迹C 的方程为214y x =． （2）依题可设点0(P x ，0)y ，12y x '=，∴曲线C 切于点P 的切线l 的斜率为012x ，∴切线l 的方程为0001()2y y x x x -=-，∴2001124y x x x =-， 依题可知曲线211:,42C y x y x '=-'=-，联立方程组2002112414y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得220020x x x x +-=，△0>， 设2111(,)4A x x -，2221(,)4B x x -，则1202x x x +=-，2120(*)x x x =-． 设曲线C '上点A 处的切线斜率为112x -，切线方程为点M 的轨迹C 的方程，∴2111124y x x x =-+，同理可得曲线C '上点B 处的切线方程为2221124y x x x =-+，联立方程组21122211241124y x x x y x x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，∴121224x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 又由(*)式，得120212244x x x x x x x y +⎧==-⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩，1l ∴，2l 的交点Q 的坐标为200(,)4x x -， 假设以Q 为直角的AQB ∆存在，则有0QA QB =u u u r u u u rg， 而220110(,)44x x QA x x =+--u u u r ，220220(,)44x x QB x x =+--u u u r ，∴由0QA QB =u u u r u u u r g ，∴222200121020(,)(,)04444x x x x x x x x +--+--=g ，即222200121020()()()()04444x x x x x x x x +++++=，∴22224121200121212001616()16()[()2]0x x x x x x x x x x x x x x ++++++-+=， ∴42004x x =，00x ≠Q ，02x ∴=或02x =-，∴点P 的坐标为(2,1)或(2,1)-．21．（12分）已知函数2()1f x lnx mx =++，m R ∈． （1）当2m =-时，求函数()f x 的单调区间及极值； （2）讨论函数()f x 的零点个数．【解答】解：函数的定义域(0,)+∞，1()2f x mx x'=+， （1）当2m =-时，2114()4x f x x x x-'=-=，当102x <<时，()0f x '>，函数单调递增，当12x >时，()0f x '<，函数单调递减，故12x =时，函数取得极大值11()222f ln =-+， （2）2112()2mx f x mx x x+'=+=，①若0m …，则212()0mx f x x +'=>恒成立，即()f x 在(0,)+∞上单调递增，又0x →时，()f x →-∞，x →+∞时，()f x →+∞，故函数只有1个零点，②当0m <时，212()0mx f x x+'==可得x =，x =（舍)，易得函数()f x 在上单调递增，在)+∞上单调递减，故函数在x =时，函数取得极大值12f = 又0x →时，()f x →-∞，x →+∞时，()f x →-∞，()i 若102f ==即12m e =-时，函数有1个零点，()ii 若102f =+<即12m e <-时，函数无零点，()iii 若102f =>即102m e >>-时，函数有2个零点， 综上可得，若12m e =-或0m …时，函数有1个零点，若12m e <-时，函数无零点，若102m e >>-时，函数有2个零点，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4一4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为35cos (45sin x y θθθ=+⎧⎨=-+⎩为参数），以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）过点(2,0)P ，倾斜角为4π的直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求11||||PM PN +的值． 【解答】解：（1）曲线C 的参数方程为35cos (45sin x y θθθ=+⎧⎨=-+⎩为参数），转换为直角坐标方程为22(3)(4)25x y -++=，转换为极坐标方程为28sin 6cos 0ρρθρθ+-=，化简为6cos 8sin ρθθ=-．（2）过点(2,0)P ，倾斜角为4π的直线l，整理得参数方程为22(x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得：280t +-=，所以12t t +=-128t t =-，所以121212||11||||||t t PM PN t t -+====． [选修4一5：不等式选讲]23．已知函数()|4||2|f x x ax =+--． （1）当2a =时，解不等式()3f x x …．（2）当12x …时，不等式2()4f x x -…成立，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）当2a =时，不等式()3f x x …．即|4||22|3x x x +--…． 1x …时，不等式化为：4(22)3x x x +--…，解得：32x „．312x ∴剟． 41x -<<时，不等式化为：4(22)3x x x ++-…，化为：40…，41x ∴-<<． 4x -„时，不等式化为：(4)(22)3x x x -++-…，解得：3x -„．4x ∴-„．综上可得：32x „，即不等式的解集为3(,]2-∞； （2）依题意，当12x …时，不等式2|4||2|4x ax x +---…成立，即2|2|x x ax +-…， ∴2211x a x x x-+-++剟， 当12x …时，由基本不等式可得211x x++，当且仅当“x =因为函数21y x x=-+-在1[,)2+∞上单调递减，所以当12x =时，21y x x =-+-取得最大值为52， ∴实数a的取值范围为5[1]2．。
2020届湖南省益阳市高三上学期期末数学(文)试题(解析版)
2020届湖南省益阳市高三上学期期末数学（文）试题一、单选题1．已知集合21|4A x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，{|23,}B x x x =-≤<∈Z ，则A B 中元素的个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】化简集合,A B ，根据交集的定义，即可求解. 【详解】 因为21|{|2}4A x y x x x ⎧⎫===≠±⎨⎬-⎩⎭， {|23,}{2,1,0,1,2}B x x x =-≤<∈=--Z ，所以{1,0,1}A B ⋂=-，所以A B 中元素的个数为3.故选:B. 【点睛】本题考查集合的基本运算，化简是解题的关键，属于基础题.2．已知复数z 满足1z i i ⋅=-，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】根据复数的除法运算法则，求出复数z ，即可求解. 【详解】由1z i i ⋅=-，得1i1i iz -==--， 所以复数z 在复平面内对应的点为(1,1)--， 所以对应点位于第三象限. 故选:C. 【点睛】3．随着人口老龄化的不断加快，我国出现了一个特殊的群——“空巢老人”.这些老人或经济困难，或心理寂寞，亟需来自社会的关心关爱.为此，社区志愿者开展了“暖巢行动”，其中A ，B 两个小区“空巢老人”的年龄如图所示，则A 小区“空巢老人”年龄的平均数和B 小区“空巢老人”年龄的中位数分别是（ ）8876545186524361092A BA ．83.5；83B ．84；84.5C ．85；84D ．84.5；84.5【答案】B【解析】根据茎叶图，即可求出“空巢老人”年龄的平均数和B 小区“空巢老人”年龄的中位数. 【详解】A 小区“空巢老人”年龄的平均数为7878818584859091848+++++++=，B 小区“空巢老人”年龄的中位数为848584.52+=.故选:B. 【点睛】本题考查茎叶图数据的处理，涉及到平均数和中位数，考查运算能力，属于基础题. 4．已知ln 2a =，ln b π=，125ln 24c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b c a << B ．c a b <<C ．a b c <<D ．a c b <<【答案】D【解析】化简c ,利用对数函数的单调性，即可得出结论. 【详解】因为12125255ln ln ln 2442c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，又因为ln y x =在(0,)+∞上单调递增， 且522π<<，所以a c b <<.本题考查对数的简单运算，考查利用函数的单调性比较函数值的大小，属于基础题. 5．民间有一种五巧板拼图游戏.这种五巧板（图1）可以说是七巧板的变形，它是由一个正方形分割而成（图2），若在图2所示的正方形中任取一点，则该点取自标号为③和④的巧板的概率为（ ）A ．518B ．13C ．718D ．49【答案】C【解析】分别求出③和④的巧板的面积，根据几何概型的概率关系转化为面积比. 【详解】设巧板①的边长为1，则结合图2可知大正方形的边长为3， 其面积239S ==.其中巧板③是底边长为2的等腰直角三角形， 其面积为112112S =⨯⨯=，巧板④的正方形 与腰长为1的等腰直角三角形的组合图形，其面积为22151122S ⨯⨯+==， 故所求的概率12718S S P S +==. 故选:C . 【点睛】本题考查几何概型的概率求法，转化为面积比，属于中档题 .6．4sincos 3615tan4πππ⎛⎫- ⎪⎝⎭=（ ）331【答案】A【解析】利用诱导公式，将所求的角转化为特殊锐角，即可求解. 【详解】4sincos sin cos 33636221514tan tan 44ππππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选:A. 【点睛】本题考查特殊角三角函数求值，利用诱导公式化简是解题的关键，属于基础题. 7．已知函数()y f x =的部分图象如下图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．21cos 1xx -+ B ．2||1sin1x x ++ C ．2sin 1xx + D ．2sin 1x xx ⋅+ 【答案】D【解析】根据图像的性质，如对称性，可排除选项C ，再取特殊值，即可求解. 【详解】由图可知，该函数的图象关于y 轴对称，所以函数()f x 为偶函数， 所以选项C 不符合；又因为()0f π=，所以选项A ，B 不符合. 故选:D. 【点睛】本题考查由函数图像求解析式，观察图形找出特征是解题的关键，属于中档题. 8．已知向量(1,2)=a ，(2,1)=-b ，(,)c x y =，若()+⊥a b c ，则b 在c 上的投影为（ ） A．2±B．5±C．2D．5-【答案】A【解析】根据已知条件求出,x y 关系，再由投影公式，即可求解.由(1,2)=a ，(2,1)=-b ，得(1,3)a b -+=， 所以由()+⊥a b c ，得303x y x y -+=⇒=， 所以b 在c 上的投影为||cos ,||2b c b b c c ⋅〈〉====±. 故选:A. 【点睛】本题考查向量坐标表示，涉及到向量垂直关系、向量的投影公式，属于中档题. 9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．-2B ．-6C ．-8D ．-12【答案】D【解析】将初始值10S =，1n =代入循环体运算，直至满足条件，退出循环体，即可得出结论. 【详解】当10S =，1n =不满足条件；执行第一次循环：1028S =-=，2n =，不满足条件； 执行第二次循环：28(2)12S =+-=，3n =，不满足条件； 执行第三次循环：312(2)4S =+-=，4n =，不满足条件； 执行第四次循环：44(2)20S =+-=，5n =，满足条件；执行第五次循环：520(2)120S =+-=-≤，6n =，满足条件，退出循环，所以输出S 的值为-12. 故选:D.本题考查循环结构的运算，属于基础题.10．设F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点.过点F 作斜率为-3的直线l 与双曲线左、右支均相交.则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．B ．C ．)+∞D ．)+∞【答案】C【解析】根据双曲线的图像特征，当过点F 的直线的斜率在(,)b ba a-之间，则直线与双曲线左、右支均相交，即可求出ba的范围，从而求出离心率的取值范围. 【详解】因为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为b y x a=±，当过点F 且斜率为-3的直线l 与渐近线by x a=-平行时. 直线l 只与双曲线右支有一个交点，数形结合可知， 当渐近线by x a =-的斜率满足3b a -<-，即3b a>时， 直线l 与双曲线左、右支均相交，所以22223910b a b a c a e >⇒>⇒>⇒>故选:C. 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，数形结合是解题的关键，属于中档题.11．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin sin sin B A C =⋅.若对于任意实数，不等式2(2sin 2)x B ++2sin 14B π⎤⎛⎫+⋅+ ⎪⎥⎭⎦≥⎝恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．(,1][1,)-∞-+∞ B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(1]-⋃D ．[1][1,2]-【答案】A【解析】2sin sin sin B A C =⋅化角为边，由余弦定理求出B 角的取值范围，设4m B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则2sin 21B m =-，并确定m 的取值范围，再由关于x 的一元结果. 【详解】在ABC 中，由正弦定理及2sin sin sin B A C =⋅， 得2b ac =，由余弦定理，得2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=，又因为(0,)B π∈，所以03B π<≤，记4m B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则2sin 21B m =-.因为03B π<≤，所以74412B πππ<+≤，从而1m <≤所以22(2sin 2)sin 14x B B π⎤⎛⎫+++⋅+ ⎪⎥⎭⎦≥⎝可化为()2221()1x mtm +++≥，即，()2222242120x mx mt m m +++++≥恒成立，所以依题有()()22222441420m m t m m +-++≤，化简得221t m ≥，即得221t m ≥恒成立， 又由22111212m m<⇒≤<≤，得211t t ≥⇒≥或1t ≤-. 故选:A. 【点睛】本题以一元二次不等式恒成立为背景，考查三角形边角互化、余弦定理求角的范围、以及同角间的三角函数关系，考查不等式的关系，是一道较难的综合题. 12．已知函数2cos 12cos ()1sin cos f x x x θθθθ+=-+++，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若存在(0,1)x ∈，使不等式()0f x <成立，则θ的取值范围为（ ）A ．0,12π⎛⎫⎪⎝⎭B ．5,122ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．50,,12122πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪⎪ D ．5,1212ππ⎛⎫⎪【解析】将()f x 转化为关于1x的二次函数，配方求出()f x 的最小值，只需min ()0f x <，解关于θ的不等式，即可得出结论. 【详解】2cos 12cos ()1sin cos f x x x θθθθ+=-+++，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可化为222112cos (12cos )()cos 1sin cos 2cos 4cos 112cos 4sin cos 1cos ,2cos 4cos f x x x θθθθθθθθθθθθθ++⎛⎫=--+++ ⎪⎝⎭+-⎛⎫=-+⎪⎝⎭0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.当01x <<时，11x >，所以当112cos 2cos x θθ+=时，min 4sin cos 1()4cos f x θθθ-=，由题意可知，min ()0f x <，所以4sin cos 10θθ-<，从而得到12sin 21sin 22θθ<⇒<， 所以026πθ<<或520612ππθπθ<<⇒<<或5122ππθ<<. 故选:C. 【点睛】本题考查函数存在成立问题，转化为求函数最值，考查配方法求二次函数的最值，以及三角不等式的解法，属于较难题.二、填空题13．已知函数2()ln f x x x =+，则曲线()f x 在点(1, (1))f 处的切线在y 轴上的截距为________. 【答案】2-【解析】求导，求出(1),(1)f f '，即可得出结论. 【详解】由2()ln f x x x =+，得1()2f x x x'=+，所以(1)3f '=，又(1)1f =，所以切点为(1,1)， 所以切线方程为13(1)y x -=-，即32y x =-，故答案为:-2 【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.14．已知椭圆22:1(0)9x y C a a +=>的右焦点为F ，点M 在C 上，点N 为线段MF 的中点，点O 为坐标原点，若||2||4MF ON ==，则C 的离心率为________.【解析】根据椭圆的定义以及三角形的中位线定理，求出a 的值，即可求解. 【详解】设椭圆C 的左焦点为F '，由椭圆定义得|||MF MF '+=即4MF '+=.∵O 为线段FF '的中点，N 为线段MF 的中点，由中位线的性质得2||4MF ON '==，代入（）式，解得16a =，故其离心率4e ==.故答案为. 【点睛】本题考查椭圆定义的应用，以及椭圆简单的几何性质，属于基础题.15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，424a =，696a =，且90a >，则满足不等式93n S >成立的最小正整数n 为________. 【答案】6【解析】由424a =，696a =，且90a >，得0q >，求出公比q ，进而求出{}n a 通项公式和前n 项和n S ，然后解93n S >不等式，即可得结论 【详解】设数列{}n a 的公比为q ，由424a =，696a =，得2644a q a ==，所以2q =或2q =-，从而3411242243a a a =⇒⨯=⇒=，所以()()113211n n n a q S q -==⨯--.令()93329312325nnn S n >⇒⨯>⇒>⇒>-， 又因为*n ∈N ，所以min 6n =. 故答案为:6 【点睛】本题考查等比数列通项公式和前n 项和n S 基本量的计算，考查解指数不等式，属于中档题.16．已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤⎪⎝⎭，,018π⎛⎫-⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，79x π=为()f x 图象的一条对称轴，且()f x 在710,99ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，则符合条件的ω值之和为________. 【答案】275【解析】先由对称中心和对称轴求出ω的所有值，再结合()f x 在710,99ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，确定ω的范围，从而求出ω的可能值，逐个验证是否满足条件，即可得出结论. 【详解】 由题意可得791824nT T ππ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭，n ∈N ， 即521264n ππω+=⋅，n ∈N ，所以3(21)5n ω+=，n ∈N ， 又因为()f x 在710,99ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调， 所以1071299322T πππππωω-=≤=⋅=，即3ω≤， 令3(21)3025n n +≤⇒≤≤，n ∈N ，所以当2n =时，3ω=， 因为79x π=为()f x 图象的一条对称轴，又因为||2πϕ≤，所以6π=ϕ，此时()sin 36f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 易知()f x 在710,99ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，符合条件； 当1n =时，95ω=，因为79x π=为()f x 图象的一条对称轴， 所以97592k ππϕπ⨯+=+，k ∈Z ，即910k πϕπ=-+，k ∈Z ， 又因为||2πϕ≤，所以10πϕ=，此时9sin 51)0(x f x π⎛=⎫+⎪⎝⎭，易知()f x 在74,93ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，符合条件； 当0n =时，35ω=，因为79x π=为()f x 图象的一条对称轴， 所以37592k ππϕπ⨯+=+，k ∈Z ，即30k πϕπ=+，k ∈Z ，又因为||2πϕ≤，所以30πϕ=，此时3()sin 530f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，易知()f x 在722,99ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，符合条件. 综上，符合条件的ω值之和为39273555++=. 故答案为:275. 【点睛】本题考查由三角函数的性质确定参数，三角函数的对称中心和对称轴与三角函数周期的关系是解题的关键，属于难题.三、解答题17．在数列{}n a 中，有()2*1232n a a a a n n n +++⋯+=+∈N.（1）证明：数列{}n a 为等差数列，并求其通项公式； （2）记11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)证明见解析，()*12n N a n n +∈=，(2)3(23)nn +【解析】（1）由前n 项和与通项关系，求出{}n a 的通项公式，再利用等差数列的定义，即可证明；（2）求出数列{}n b 的通项公式，用裂项相消法，即可求解. 【详解】（1）因为()2*1232n a a a a n n n +++⋯+=+∈N，所以当2n ≥时，212312((11))n a a a a n n -+++⋯+=--+，上述两式相减并整理，得21(2)n a n n =+≥.又因为1n =时，211213a =+⨯=，适合上式，所以()*21n a n n =+∈N .从而得到121n an -=-，所以12n n a a --=，所以数列{}n a 为等差数列，且其通项公式为()*12n N a n n +∈=.（2）由（1）可知，111111(21)(23)22123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅+⋅+++⎝⎭.所以12311111111123557792123n n T b b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11123233(23)n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 【点睛】本题考查由数列的前n 项和求通项，考查用定义证明等差数列，以及裂相消法求数列的前n 项和，属于中档题.18．第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行.它是中国政府坚定支持贸易自由化和经济全球化，主动向世界开放市场的重要举措，有利于促进世界各国加强经贸交流合作，促进全球贸易和世界经济增长，推动开放世界经济发展.某机构为了解人们对“进博会”的关注度是否与性别有关，随机抽取了100名不同性别的人员（男、女各50名）进行问卷调查，并得到如下22⨯列联表：（1）根据列联表，能否有99.9%的把握认为对“进博会”的关注度与性别有关；（2）若从关注度极高的被调查者中按男女分层抽样的方法抽取7人了解他们从事的职业情况，再从7人中任意选取2人谈谈关注“进博会”的原因，求这2人中至少有一名女性的概率.附：22(),()()()()n ad bcK n a b c da b c d a c b d-==+++ ++++.参考数据：【答案】（1）有, （2）11 21【解析】（1）根据列联表求出2K，比较数据，即可得结论；（2）按比例分配抽取男性5人，女性2人，对抽取的7人，分别进行编号，列出从7人任意选取2人的所有情况，找出满足条件的基本事件的个数，由古典概型概率公式，即可求解.【详解】18.解：（1）22100(35361514)3005050514917.64710.82178 K⨯⨯-⨯==≈⨯⨯>⨯，所以有99.9%的把握认为对“进博会”的关注度与性别有关.（2）关注度极高的被调查者中男性与女性的比例为5:2，所以抽取的7人中有男性5人，女性2人.记男性5人分别为a，b，e，d，e；女性2人分别为A，B，从7人中任意选取2人的所有情况有：ab，ac，ad，ae，aA，aB，bc，bd，be，bA，bB，cd，ce，cA，cB，de，dA，dB，eA，eB，AB，共21种，其中这2人至少有一名女性的情况有11种，所以1121P =， 所以这2人中至少有一名女性的概率为1121. 【点睛】本题考查两变量间的相关性检验，以及求古典概型的概率，考查计算能力，属于中档题. 19．在如图所示的三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，12AA AB a ==.（1）若AB BC ⊥，证明：1BC AB ⊥；（2）若底面ABC 为正三角形，求点1B 到平面1A BC 的距离.【答案】（1）证明见解析，（2）7a 【解析】（1）AB BC ⊥ ，1AA ⊥ 底面ABC ，可证BC ⊥平面11A ABB ，即可求证； （2）取11B C 的中点F ，连接1A F ，可证1A F ⊥平面11BCC B ，求出三棱锥11A B BC V -，根据等体积法，1111B A BC A B BC V V --=，求出1A BC ∆的面积，即可求解. 【详解】（1）因为1AA ⊥底面ABC ，所以1BC AA ⊥， 又BC AB ⊥，1ABAA A =，所以BC ⊥平面11A ABB ，又1AB ⊂平面11A ABB ，所以1BC AB ⊥.（2）设点1B 到平面1A BC 的距离为d ，所以1111B A BC A B BC V V --=， 由题可知，所有棱长均为2a ，所以在1A BC 中，2BC a =，11A B AC ==，所以12122A BCSa =⨯=. 取11B C 的中点F ，连接1A F ，由题易知111A F B C ⊥，从而得到1A F ⊥平面11BCC B ，所以1A F 是点1A 到平面1B BC 的距离，所以1A F =， 又1212222B BCSa a a =⨯⨯=， 所以由等体积法1111B A BC A B BC V V --=可知，1111133A DCB DCS d S A F ⨯⨯=⨯⨯，2227d a d ⨯=⇒=，所以点1B 到平面1A BC 的距离为7.【点睛】本题考查空间垂直关系的转换和证明，以及利用等体积法求点到平面的距离，属于中档题.20．在平面直角坐标系xOy 中，点(,)M x y |1|y =+. （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）作曲线C 关于x 轴对称的曲线，记为C '，在曲线C 上任取一点()00,P x y ，过点P 作曲线C 的切线l ，若切线l 与曲线C '交于A ，B 两点，过点A ，B 分别作曲线C '的切线1l ，2l ，且1l ，2l 的交点为Q ，试问以Q 为直角的AQB 是否存在，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）214y x =，（2）存在，(2,1)或(2,1)-【解析】（1|1|y =+，即可求解；（2）根据导数的几何意义求出切线l 的方程，与曲线C '方程联立，由韦达定理，确定两交点A ，B 坐标关系，再利用导数的几何意义，求出切线1l ，2l 的方程，并联立求出Q 点坐标，利用0QA QB ⋅=，结合A ，B 坐标关系，即可求解. 【详解】（1|1|y =+， 两边平方并化简，得24x y =，即214y x =， 所以点M 的轨迹C 的方程为214y x =. （2）依题可设点()00,P x y ，12y x '=，曲线C 切于点P 的切线l 的斜率为012x ，切线l 的方程为0001()2y y x x x -=-， 整理得2001124y x x x =- 依题可知曲线2:421,1C y x y x ''=-=-，联立方程组2002112414y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩220020x x x x ⇒+-=，>0∆， 设2111,4A x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2221,4B x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以1202x x x +=-，2120x x x =-.（） 设曲线C '上点2111,4A x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线斜率为112x -， 切线方程为211111()42y x x x x +=--，整理得2111124y x x x =-+， 同理可得曲线C '上点2221,4B x x ⎛⎫-⎪⎝⎭处的切线方程为2221124y x x x =-+， 联立方程组21122211241124y x x x y x x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，121224x x x x x y +⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=-⎪⎩，又由（）式得1202012244x x x x x x x y +⎧==-⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩，所以1l ，2l 的交点Q 的坐标为20,4x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，假设以Q 为直角的AQB 存在，则有0QA QB ⋅=，而221010,44x x QA x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，222020,44x x QB x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭， 所以由0QA QB ⋅=，得222210201200,,04444x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+--⋅+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即()()22221020102004444x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+++++=⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即()()()222241212001212120011602661x x x x x x x x x x x x x x +⎡⎤++++++⎣-=⎦， 化简得42004x x =，因为由题得00x ≠，所以02x =或02x =-，所以点P 的坐标为(2,1)或(2,1)-. 【点睛】本题考查化简曲线方程，考查直线与圆锥曲线的关系，涉及相交和相切，韦达定理灵活应用，考查向量在垂直中运用，合理应用导数求切线方程是解题的关键，考查计算能力和综合推理能力，属于较难题.21．已知函数2()ln 1f x x mx =++，m ∈R . （1）当2m =-时，求函数()f x 的单调区间及极值； （2）讨论函数()f x 的零点个数. 【答案】（1）增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭，极大值为1ln 22-，无极小值，（2）当2e m <-时，函数()f x 没有零点；当0m ≥或2em =-时.函数()f x 有1个零点；当02em -<<时，函数()f x 有2个零点. 【解析】（1）求导，求出()0,()0f x f x ''><的解，即可求出单调区间，进而求出极值； （2）求导，求出()f x 单调区间，确定极值，根据极值的正负以及零点存在性定理，对m 分类讨论，即可求解.【详解】由题得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞.（1）当2m =-时，2()ln 21f x x x =-+，所以1(12)(12)()4x x f x x xx-+'=-=，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 所以函数()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 所以当12x =时，()f x 有极大值， 且极大值为21111ln 21ln 22222f ⎛⎫⎛⎫=-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，无极小值. （2）由2()ln 1f x x mx =++，得2112()2mxf x mx x x+'=+=. 当0m ≥时，()0f x '>恒成立，函数()f x 单调递增， 当10m x e --<<时，()()211()110m m f x f e m m e ----<=--++≤，又(1)10f m =+>，所以函数()f x 有且只有一个零点；当0m <时，令()0f x x '=⇒=，当x ⎛∈ ⎝时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 所以()f x 的极大值为2111ln 1ln 222f m m ⎛⎫=+⨯+=-+ ⎪⎝⎭， ①当111ln 0222m ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，即得11ln 1ln 2m e ⎛⎫-<-= ⎪⎝⎭时， 解得2em <-，此时函数()f x 没有零点；②当111ln 0222m ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即2e m =-时，函数()f x 有1个零点； ③当111ln 0222m ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即02e m -<<时， ()2442110f e me me ---=-++=-+<.当1x >时，令()ln g x =x-x ， 则1()10g x x'=-<在(1,)+∞上恒成立， 所以()(1)1g x g <=-，即ln 1x x <-， 所以221()ln 1f x x mx x mx mx x+m ⎛⎫=++<+= ⎪⎝⎭， 故当1x >且1x m>-时，()0f x <.当02e m -<<时，有21e m-<<-， 所以函数()f x 有2个零点. 综上所述：当2em <-时，函数()f x 没有零点； 当0m ≥或2em =-时.函数()f x 有1个零点； 当02em -<<时，函数()f x 有2个零点. 【点睛】本题考查导数在研究函数性质的应用，涉及到函数的单调区级、极值、和零点个数判断，以及零点存在性定理的灵活运用，考查分类讨论思想和数形结合思想，属于难题.22．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为35cos 45sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）过点(2,0)P ，倾斜角为4π的直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求11||||PM PN +的值.【答案】（1）6cos 8sin ρθθ=-，（2）8【解析】（1）利用22sin cos 1θθ+=，消去参数，将曲线C 的参数方程化为普通方程，再运用 cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+将曲线C 的直角坐标方程化为极坐标方程；（2）根据条件求出直线l 具有几何意义的参数方程，代入曲线C 普通方程，利用韦达定理以及直线参数的几何意义，即可求解. 【详解】（1）因为曲线C 的参数方程为35cos 45sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩，（θ为参数）， 所以曲线C 的直角坐标方程为222(3)(4)5x y +=-+， 即22680x x y y -++=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+，代入上式得6cos 8sin ρθθ=-.（2）直线l的参数方程为2x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），将2x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22680x x y y -++=，整理得280t +-=，设点M ，N 所对应的参数分别为1t ，2t ，则12t t +=-，128t t =-，1832500∆=+=>， 因为1t ，2t 异号，所以1212121111||||8t t PM PN t t t t -+=+===.【点睛】本题考查参数方程化普通方程，直角坐标方程化极坐标方程，考查直线参数方程几何意义的应用，属于中档题.23．已知函数()|4||2|f x x ax =+--.（1）当2a =时，解不等式()3f x x ≥；（2）当12x ≥时，不等式2()4f x x ≥-成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，（2）512⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ 【解析】（1）分类讨论去绝对值，即可求解方程；（2）去绝对值，分离参数，转化为求函数的最值，利用基本不等式和函数的单调性，即可得出结论.【详解】（1）当2a =时，不等式()3f x x ≥，即为|224||3|x x x -+-≥，当4x ≤-时，由4223x x x --+-≥，得3x ≤-，所以4x ≤-，当41x -<<时，由4223x x x ++-≥，得20≥，所以41x -<<，当1x ≥时，由4223x x x +-+≥，得32x ≤，所以312x ≤≤， 故不等式()3f x x ≥的解集为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. （2）当12x ≥时， 22()4|2|f x x ax x x ≥-⇔-≤+， 由2|2|ax x x -≤+，得2211x a x x x-+-≤≤++，当12x ≥时，由基本不等式得211x x++≥，当且仅当2x x =，即x = 因为函数21y x x =-+-在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减， 所以当12x =时，21y x x=-+-取最大值为52，故实数a 的取值范围是512⎡⎤+⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查分类讨论方法解绝对值不等式，考查恒成立问题，分离参数，转化为求函数的最值，属于中档题.。
2020年湖南省益阳市大荣中学高三数学理期末试卷含解析
2020年湖南省益阳市大荣中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 快递员通知小张中午12点到小区门口取快递，由于工作原因，快递员于11：50到12：10之间随机到达小区门口，并停留等待10分钟，若小张于12：00到12：10之间随机到达小区门口，也停留等待10分钟，则小张能取到快递的概率为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】几何概型．【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={x|0＜x＜30}做出集合对应的线段，写出满足条件的事件对应的集合和线段，根据长度之比得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，∵试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={x|0＜x＜30}，而满足条件的事件对应的集合是A═{x|0＜x＜20}，得到其长度为20，∴小张能取到快递的概率是．故选：C．2. 将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了获得最大利润，每个售价应定为（）A． 95元 B．100元 C． 105元 D． 110元参考答案：A3. 复数z=，则=（）A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，则可求．【解答】解：z==，则=i．故选：A．4. 设集合A={x|x＜2}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}，则A∩B=（）A．（﹣∞，3）B．[2，3）C．（﹣∞，2）D．（﹣1，2）参考答案：D【考点】1E：交集及其运算．【分析】由指数函数的值域和单调性，化简集合B，再由交集的定义，即可得到所求．【解答】解：集合A={x|x＜2}=（﹣∞，2），B={y|y=2x﹣1，x∈A}，由x＜2，可得y=2x﹣1∈（﹣1，3），即B={y|﹣1＜y＜3}=（﹣1，3），则A∩B=（﹣1，2）．故选：D．5. 要得到函数f（x）＝的图象，只需将函数g（x）＝的图象A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位参考答案：B6. 已知函数则下列结论正确的是（）A.是偶函数B. 是增函数C.是周期函数D.的值域为参考答案：D7. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：C【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选C．8. 函数，的单调递增区间是（）A． B．和C． D．参考答案：C.试题分析：因为函数的单调递增区间满足：，即，又因为，所以，故应选C.考点：1、函数的图像及其性质.9. 函数y=sin(4x－)的图象的一条对称轴方程是（）A．x=B．x=C．x=D．x=参考答案：D【考点】正弦函数的图象．【分析】利用正弦函数的图象的对称性，求得函数的图象的一条对称轴方程．【解答】解：对于函数，令4x﹣=kπ+，求得x=+，k∈Z，故函数的图象的对称轴方程为x=+，k∈Z，令k=1，可得函数的提条对称轴方程为x=，故选：D．【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．10. 已知集合，，则（）（A）（B）（C）（D）参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设数列满足，(n∈N﹡)，且，则数列的通项公式为 .参考答案：设，即，所以，即，所以数列是以为首项，公比的等比数列，所以，所以.12. 表面积为的球面上有四点且是等边三角形，球心到平面的距离为，若平面平面,则棱锥体积的最大值为 .参考答案：【知识点】棱锥的体积G727由题意画出几何体的图形如图：因为球的表面积为，，所以球半径为，由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影D落在AB上，由于OO′⊥平面ABC，SD⊥平面ABC，即有OO′∥SD，当D为AB的中点时，SD最大，棱锥S-ABC的体积最大．由于则，则△ABC是边长为6的正三角形，则的面积为：.在直角梯形SDO′O中，作于点E，,,,即有三棱锥S-ABC体积,故答案为27.【思路点拨】由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影D落在AB上，D为AB中点时，SD最大，棱锥S-ABC的体积最大．运用线面垂直的性质，结合勾股定理，即可求得CD，AB，及SD，由三棱锥的体积公式即可得到最大值．【题文】三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）13. 函数的定义域为参考答案：14. 若在区间[﹣5，5]内任取一个实数a，则使直线x+y+a=0与圆（x﹣1）2+（y+2）2=2有公共点的概率为_________．参考答案：略15. 已知集合，集合，则集合。
【期末试卷】2020届湖南省益阳市高三上学期期末数学(文)试题及答案
绝密★启用前2020届湖南省益阳市高三上学期期末数学（文)试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明1．已知集合21|4A x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，{|23,}B x x x =-≤<∈Z ，则A B I 中元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 2．已知复数z 满足1z i i ⋅=-，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．随着人口老龄化的不断加快，我国出现了一个特殊的群一、单选题——“空巢老人”.这些老人或经济困难，或心理寂寞，亟需来自社会的关心关爱.为此，社区志愿者开展了“暖巢行动”，其中A，B两个小区“空巢老人”的年龄如图所示，则A小区“空巢老人”年龄的平均数和B小区“空巢老人”年龄的中位数分别是（）8876545186524361092A BA．83.5；83 B．84；84.5 C．85；84 D．84.5；84.54．已知ln2a=，lnbπ=，125 ln 24c=，则a，b，c的大小关系为（）A．b c a<<B．c a b<<C．a b c<<D．a c b<< 5．民间有一种五巧板拼图游戏.这种五巧板（图1）可以说是七巧板的变形，它是由一个正方形分割而成（图2），若在图2所示的正方形中任取一点，则该点取自标号为③和④的巧板的概率为（）A．518B．13C．718D．496．4sin cos3615tan4πππ⎛⎫- ⎪⎝⎭=（）A．34BC．34-D．14-7．已知函数()y f x =的部分图象如下图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．21cos 1x x -+B ．2||1sin 1x x ++C ．2sin 1x x +D ．2sin 1x x x ⋅+ 8．已知向量(1,2)=a ，(2,1)=-b ，(,)c x y =，若()+⊥a b c ，则b 在c 上的投影为（ ）A ．B ．CD ． 9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．-2B ．-6C ．-8D ．-12 10．设F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点.过点F 作斜率为-3的直线l 与双曲线左、右支均相交.则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．B ．C ．)+∞D ．)+∞11．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin sin sin B A C =⋅.若对于任意实数，不等式2(2sin 2)x B ++2sin 14B π⎤⎛⎫+⋅+ ⎪⎥⎭⎦≥⎝恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A ．(,1][1,)-∞-+∞UB ．(,1)(1,)-∞-+∞UC．(1]-⋃ D．[1]-U12．已知函数2cos 12cos ()1sin cos f x x x θθθθ+=-+++，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若存在(0,1)x ∈，使不等式()0f x <成立，则θ的取值范围为（ ）A ．0,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．5,122ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．50,,12122πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．5,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．已知函数2()ln f x x x =+，则曲线()f x 在点(1, (1))f 处的切线在y 轴上的截距为________.14．已知椭圆22:1(0)9x y C a a +=>的右焦点为F ，点M 在C 上，点N 为线段MF 的中点，点O 为坐标原点，若||2||4MF ON ==，则C 的离心率为________.15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，424a =，696a =，且90a >，则满足不等式93n S >成立的最小正整数n 为________.16．已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，,018π⎛⎫- ⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，79x π=为()f x 图象的一条对称轴，且()f x 在710,99ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，则符合条件的ω值之和为________.三、解答题 17．在数列{}n a 中，有()2*1232n a a a a n n n +++⋯+=+∈N .（1）证明：数列{}n a 为等差数列，并求其通项公式；（2）记11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行.它是中国政府坚定支持贸易自由化和经济全球化，主动向世界开放市场的重要举措，有利于促进世界各国加强经贸交流合作，促进全球贸易和世界经济增长，推动开放世界经济发展.某机构为了解人们对“进博会”的关注度是否与性别有关，随机抽取了100名不同性别的人员（男、女各50名）进行问卷调查，并得到如下22⨯列联表：（1）根据列联表，能否有99.9%的把握认为对“进博会”的关注度与性别有关；（2）若从关注度极高的被调查者中按男女分层抽样的方法抽取7人了解他们从事的职业情况，再从7人中任意选取2人谈谈关注“进博会”的原因，求这2人中至少有一名女性的概率. 附：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++.参考数据：19．在如图所示的三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，12AA AB a ==.（1）若AB BC ⊥，证明：1BC AB ⊥；（2）若底面ABC 为正三角形，求点1B 到平面1A BC 的距离.20．在平面直角坐标系xOy 中，点(,)M x y 满足方程|1|y =+.（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）作曲线C 关于x 轴对称的曲线，记为C '，在曲线C 上任取一点()00,P x y ，过点P 作曲线C 的切线l ，若切线l 与曲线C '交于A ，B 两点，过点A ，B 分别作曲线C '的切线1l ，2l ，且1l ，2l 的交点为Q ，试问以Q 为直角的AQB V 是否存在，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.21．已知函数2()ln 1f x x mx =++，m ∈R .（1）当2m =-时，求函数()f x 的单调区间及极值；（2）讨论函数()f x 的零点个数.22．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为35cos 45sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）过点(2,0)P ，倾斜角为4π的直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求11||||PM PN +的值. 23．已知函数()|4||2|f x x ax =+--.（1）当2a =时，解不等式()3f x x ≥；（2）当12x ≥时，不等式2()4f x x ≥-成立，求实数a 的取值范围.参考答案1．B【解析】【分析】化简集合,A B ，根据交集的定义，即可求解.【详解】 因为21|{|2}4A x y x x x ⎧⎫===≠±⎨⎬-⎩⎭， {|23,}{2,1,0,1,2}B x x x =-≤<∈=--Z ， 所以{1,0,1}A B ⋂=-，所以A B I 中元素的个数为3.故选:B.【点睛】本题考查集合的基本运算，化简是解题的关键，属于基础题.2．C【解析】【分析】根据复数的除法运算法则，求出复数z ，即可求解.【详解】由1z i i ⋅=-，得1i 1i iz -==--， 所以复数z 在复平面内对应的点为(1,1)--，所以对应点位于第三象限.故选:C.【点睛】本题考查复数的除法运算，以及复数的几何意义，属于基础题.3．B【解析】【分析】根据茎叶图，即可求出“空巢老人”年龄的平均数和B 小区“空巢老人”年龄的中位数.【详解】A 小区“空巢老人”年龄的平均数为7878818584859091848+++++++=， B 小区“空巢老人”年龄的中位数为848584.52+=. 故选:B.【点睛】 本题考查茎叶图数据的处理，涉及到平均数和中位数，考查运算能力，属于基础题.4．D【解析】【分析】化简c ,利用对数函数的单调性，即可得出结论.【详解】 因为12125255ln ln ln 2442c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 又因为ln y x =在(0,)+∞上单调递增，且522π<<，所以a c b <<. 故选:D. 【点睛】本题考查对数的简单运算，考查利用函数的单调性比较函数值的大小，属于基础题. 5．C 【解析】 【分析】分别求出③和④的巧板的面积，根据几何概型的概率关系转化为面积比. 【详解】设巧板①的边长为1，则结合图2可知大正方形的边长为3， 其面积239S ==.其中巧板③是底边长为2的等腰直角三角形， 其面积为112112S =⨯⨯=的正方形 与腰长为1的等腰直角三角形的组合图形，其面积为22151122S ⨯⨯+==， 故所求的概率12718S S P S +==. 故选:C . 【点睛】本题考查几何概型的概率求法，转化为面积比，属于中档题 .【解析】 【分析】利用诱导公式，将所求的角转化为特殊锐角，即可求解. 【详解】4sincos sin cos 33636221514tan tan 44ππππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选:A. 【点睛】本题考查特殊角三角函数求值，利用诱导公式化简是解题的关键，属于基础题. 7．D 【解析】 【分析】根据图像的性质，如对称性，可排除选项C ，再取特殊值，即可求解. 【详解】由图可知，该函数的图象关于y 轴对称，所以函数()f x 为偶函数， 所以选项C 不符合；又因为()0f π=，所以选项A ，B 不符合. 故选:D. 【点睛】本题考查由函数图像求解析式，观察图形找出特征是解题的关键，属于中档题.【解析】 【分析】根据已知条件求出,x y 关系，再由投影公式，即可求解. 【详解】由(1,2)=a ，(2,1)=-b ，得(1,3)a b -+=， 所以由()+⊥a b c ，得303x y x y -+=⇒=， 所以b 在c 上的投影为||cos ,||b c b b c c ⋅〈〉====. 故选:A. 【点睛】本题考查向量坐标表示，涉及到向量垂直关系、向量的投影公式，属于中档题. 9．D 【解析】 【分析】将初始值10S =，1n =代入循环体运算，直至满足条件，退出循环体，即可得出结论. 【详解】当10S =，1n =不满足条件；执行第一次循环：1028S =-=，2n =，不满足条件； 执行第二次循环：28(2)12S =+-=，3n =，不满足条件；执行第三次循环：312(2)4S =+-=，4n =，不满足条件； 执行第四次循环：44(2)20S =+-=，5n =，满足条件； 执行第五次循环：520(2)120S =+-=-≤，6n =，满足条件， 退出循环，所以输出S 的值为-12. 故选:D. 【点睛】本题考查循环结构的运算，属于基础题. 10．C 【解析】 【分析】根据双曲线的图像特征，当过点F 的直线的斜率在(,)b b a a-之间，则直线与双曲线左、右支均相交，即可求出b a的范围，从而求出离心率的取值范围. 【详解】因为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为b y x a=±，当过点F 且斜率为-3的直线l 与渐近线by x a=-平行时. 直线l 只与双曲线右支有一个交点，数形结合可知， 当渐近线b y x a =-的斜率满足3b a -<-，即3b a>时， 直线l 与双曲线左、右支均相交，所以22223910b a b a c a e >⇒>⇒>⇒>故选:C. 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，数形结合是解题的关键，属于中档题. 11．A 【解析】 【分析】2sin sin sin B A C =⋅化角为边，由余弦定理求出B 角的取值范围，设4m B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则2sin 21B m =-，并确定m 的取值范围，再由关于x的一元二次不等式恒成立，0∆≤，求出,m t 间的不等量关系，利用m 的取值范围，即可求出结果. 【详解】在ABC V 中，由正弦定理及2sin sin sin B A C =⋅， 得2b ac =，由余弦定理，得2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=， 又因为(0,)B π∈，所以03B π<≤，记4m B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则2sin 21B m =-. 因为03B π<≤，所以74412B πππ<+≤，从而1m <≤，所以22(2sin 2)sin 14x B B π⎤⎛⎫+++⋅+ ⎪⎥⎭⎦≥⎝可化为()2221()1x m tm +++≥，即，()2222242120x m x m t m m +++++≥恒成立，所以依题有()()22222441420m m t m m +-++≤，化简得221t m ≥，即得221t m ≥恒成立， 又由22111212m m<⇒≤<≤，得211t t ≥⇒≥或1t ≤-. 故选:A. 【点睛】本题以一元二次不等式恒成立为背景，考查三角形边角互化、余弦定理求角的范围、以及同角间的三角函数关系，考查不等式的关系，是一道较难的综合题. 12．C 【解析】 【分析】将()f x 转化为关于1x的二次函数，配方求出()f x 的最小值，只需min ()0f x <，解关于θ的不等式，即可得出结论.【详解】2cos 12cos ()1sin cos f x x x θθθθ+=-+++，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可化为222112cos (12cos )()cos 1sin cos 2cos 4cos 112cos 4sin cos 1cos ,2cos 4cos f x x xθθθθθθθθθθθθθ++⎛⎫=--+++ ⎪⎝⎭+-⎛⎫=-+⎪⎝⎭0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.当01x <<时，11x >，所以当112cos 2cos x θθ+=时，min 4sin cos 1()4cos f x θθθ-=，由题意可知，min ()0f x <，所以4sin cos 10θθ-<，从而得到12sin 21sin 22θθ<⇒<，所以026πθ<<或520612ππθπθ<<⇒<<或5122ππθ<<. 故选:C. 【点睛】本题考查函数存在成立问题，转化为求函数最值，考查配方法求二次函数的最值，以及三角不等式的解法，属于较难题. 13．2- 【解析】 【分析】求导，求出(1),(1)f f '，即可得出结论. 【详解】由2()ln f x x x =+，得1()2f x x x'=+， 所以(1)3f '=，又(1)1f =，所以切点为(1,1)， 所以切线方程为13(1)y x -=-，即32y x =-， 令0x =，得2y =-，所以切线在y 轴上的截距为-2. 故答案为:-2 【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.14 【解析】 【分析】根据椭圆的定义以及三角形的中位线定理，求出a 的值，即可求解. 【详解】设椭圆C 的左焦点为F '，由椭圆定义得|||MF MF '+=，即4MF '+=*）.∵O 为线段FF '的中点，N 为线段MF 的中点，由中位线的性质得2||4MF ON '==，代入（*）式，解得16a =，故其离心率4e ==. 故答案为【点睛】本题考查椭圆定义的应用，以及椭圆简单的几何性质，属于基础题. 15．6 【解析】 【分析】由424a =，696a =，且90a >，得0q >，求出公比q ，进而求出{}n a 通项公式和前n 项和n S ，然后解93n S >不等式，即可得结论 【详解】设数列{}n a 的公比为q ，由424a =，696a =，得2644a q a ==，所以2q =或2q =-， 又因为90a >，所以2q =，从而3411242243a a a =⇒⨯=⇒=，所以()()113211n n n a q S q -==⨯--.令()93329312325n nn S n >⇒⨯>⇒>⇒>-，又因为*n ∈N ，所以min 6n =.故答案为:6 【点睛】本题考查等比数列通项公式和前n 项和n S 基本量的计算，考查解指数不等式，属于中档题. 16．275【解析】 【分析】先由对称中心和对称轴求出ω的所有值，再结合()f x 在710,99ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，确定ω的范围，从而求出ω的可能值，逐个验证是否满足条件，即可得出结论. 【详解】由题意可得791824nT Tππ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭，n ∈N ，即521264n ππω+=⋅，n ∈N ，所以3(21)5n ω+=，n ∈N ， 又因为()f x 在710,99ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调， 所以1071299322T πππππωω-=≤=⋅=，即3ω≤， 令3(21)3025n n +≤⇒≤≤，n ∈N ，所以当2n =时，3ω=， 因为79x π=为()f x 图象的一条对称轴， 所以7392k ππϕπ⨯+=+，k ∈Z ，即116k πϕπ=-+，k ∈Z ，又因为||2πϕ≤，所以6π=ϕ，此时()sin 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，易知()f x 在710,99ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，符合条件； 当1n =时，95ω=，因为79x π=为()f x 图象的一条对称轴，所以97592k ππϕπ⨯+=+，k ∈Z ，即910k πϕπ=-+，k ∈Z ， 又因为||2πϕ≤，所以10πϕ=，此时9sin 51)0(x f x π⎛=⎫+ ⎪⎝⎭， 易知()f x 在74,93ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，符合条件； 当0n =时，35ω=，因为79x π=为()f x 图象的一条对称轴， 所以37592k ππϕπ⨯+=+，k ∈Z ，即30k πϕπ=+，k ∈Z ， 又因为||2πϕ≤，所以30πϕ=，此时3()sin 530f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，易知()f x 在722,99ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，符合条件. 综上，符合条件的ω值之和为39273555++=.故答案为:275.【点睛】本题考查由三角函数的性质确定参数，三角函数的对称中心和对称轴与三角函数周期的关系是解题的关键，属于难题.17．(1)证明见解析，()*12n N a n n +∈=，(2)3(23)nn + 【解析】 【分析】（1）由前n 项和与通项关系，求出{}n a 的通项公式，再利用等差数列的定义，即可证明；（2）求出数列{}n b 的通项公式，用裂项相消法，即可求解. 【详解】（1）因为()2*1232n a a a a n n n +++⋯+=+∈N ， 所以当2n ≥时，212312((11))n a a a a n n -+++⋯+=--+，上述两式相减并整理，得21(2)n a n n =+≥.又因为1n =时，211213a =+⨯=，适合上式，所以()*21n a n n =+∈N .从而得到121n a n -=-，所以12n n a a --=，所以数列{}n a 为等差数列，且其通项公式为()*12n N a n n +∈=.（2）由（1）可知，111111(21)(23)22123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅+⋅+++⎝⎭. 所以12311111111123557792123n n T b b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L 11123233(23)n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 【点睛】本题考查由数列的前n 项和求通项，考查用定义证明等差数列，以及裂相消法求数列的前n 项和，属于中档题.18．（1）有, （2）1121【解析】 【分析】（1）根据列联表求出2K ，比较数据，即可得结论；（2）按比例分配抽取男性5人，女性2人，对抽取的7人，分别进行编号，列出从7人任意选取2人的所有情况，找出满足条件的基本事件的个数，由古典概型概率公式，即可求解. 【详解】18.解：（1）22100(35361514)3005050514917.64710.82178K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯>⨯， 所以有99.9%的把握认为对“进博会”的关注度与性别有关. （2）关注度极高的被调查者中男性与女性的比例为5:2， 所以抽取的7人中有男性5人，女性2人.记男性5人分别为a ，b ，e ，d ，e ；女性2人分别为A ，B ， 从7人中任意选取2人的所有情况有：ab ，ac ，ad ，ae ，aA ，aB ，bc ，bd ，be ，bA ，bB ，cd ，ce ，cA ，cB ，de ，dA ，dB ，eA ，eB ，AB ，共21种，其中这2人至少有一名女性的情况有11种，所以1121P =， 所以这2人中至少有一名女性的概率为1121.【点睛】本题考查两变量间的相关性检验，以及求古典概型的概率，考查计算能力，属于中档题.19．（1）证明见解析，（2）7a 【解析】 【分析】（1）AB BC ⊥ ，1AA ⊥ 底面ABC ，可证BC ⊥平面11A ABB ，即可求证； （2）取11B C 的中点F ，连接1A F ，可证1A F ⊥平面11BCC B ，求出三棱锥11A B BC V -，根据等体积法，1111B A BC A B BC V V --=，求出1A BC ∆的面积，即可求解. 【详解】（1）因为1AA ⊥底面ABC ，所以1BC AA ⊥， 又BC AB ⊥，1AB AA A =I ，所以BC ⊥平面11A ABB ， 又1AB ⊂平面11A ABB ，所以1BC AB ⊥.（2）设点1B 到平面1A BC 的距离为d ，所以1111B A BC A B BC V V --=，由题可知，所有棱长均为2a ，所以在1A BC V 中，2BC a =，11A B AC ==，所以12122A BC S a =⨯=V . 取11B C 的中点F ，连接1A F ，由题易知111A F B C ⊥， 从而得到1A F ⊥平面11BCC B ，所以1A F 是点1A 到平面1B BC 的距离，所以1A F =， 又1212222B BC S a a a =⨯⨯=V ，所以由等体积法1111B A BC A B BC V V --=可知，1111133A DCB DC S d S A F ⨯⨯=⨯⨯V V ，2227d a d a ⨯=⇒=，所以点1B 到平面1A BC 的距离为7.【点睛】本题考查空间垂直关系的转换和证明，以及利用等体积法求点到平面的距离，属于中档题.20．（1）214y x =，（2）存在，(2,1)或(2,1)- 【解析】 【分析】（1|1|y =+，即可求解；（2）根据导数的几何意义求出切线l 的方程，与曲线C '方程联立，由韦达定理，确定两交点A ，B 坐标关系，再利用导数的几何意义，求出切线1l ，2l 的方程，并联立求出Q 点坐标，利用0QA QB ⋅=u u u r u u u r，结合A ，B 坐标关系，即可求解.【详解】（1|1|y =+，两边平方并化简，得24x y =，即214y x =，所以点M 的轨迹C 的方程为214y x =. （2）依题可设点()00,P x y ，12y x '=，曲线C 切于点P 的切线l 的斜率为012x ，切线l 的方程为0001()2y y x x x -=-， 整理得2001124y x x x =-依题可知曲线2:421,1C y x y x ''=-=-， 联立方程组2002112414y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩220020x x x x ⇒+-=，>0∆， 设2111,4A x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2221,4B x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以1202x x x +=-，2120x x x =-.（*） 设曲线C '上点2111,4A x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线斜率为112x -，切线方程为211111()42y x x x x +=--，整理得2111124y x x x =-+， 同理可得曲线C '上点2221,4B x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线方程为2221124y x x x =-+，联立方程组21122211241124y x x x y x x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，121224x x x x x y +⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=-⎪⎩， 又由（*）式得1202012244x x x x x x x y +⎧==-⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩， 所以1l ，2l 的交点Q 的坐标为20,4x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，假设以Q 为直角的AQB V 存在，则有0QA QB ⋅=u u u r u u u r， 而221010,44x x QA x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭u u u r ，222020,44x x QB x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭u u u r ， 所以由0QA QB ⋅=u u u r u u u r ，得222210201200,,04444x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+--⋅+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()22221020102004444x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即()()()222241212001212120011602661x x x x x x x x x x x x x x +⎡⎤++++++⎣-=⎦， 化简得42004x x =，因为由题得00x ≠，所以02x =或02x =-， 所以点P 的坐标为(2,1)或(2,1)-. 【点睛】本题考查化简曲线方程，考查直线与圆锥曲线的关系，涉及相交和相切，韦达定理灵活应用，考查向量在垂直中运用，合理应用导数求切线方程是解题的关键，考查计算能力和综合推理能力，属于较难题. 21．（1）增区间为10,2⎛⎫⎪⎝⎭，减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，极大值为1ln 22-，无极小值，（2）当2e m <-时，函数()f x 没有零点；当0m ≥或2em =-时.函数()f x 有1个零点；当02em -<<时，函数()f x 有2个零点.【解析】 【分析】（1）求导，求出()0,()0f x f x ''><的解，即可求出单调区间，进而求出极值；（2）求导，求出()f x 单调区间，确定极值，根据极值的正负以及零点存在性定理，对m 分类讨论，即可求解. 【详解】由题得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞.（1）当2m =-时，2()ln 21f x x x =-+， 所以1(12)(12)()4x x f x x xx-+'=-=， 当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 所以函数()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 所以当12x =时，()f x 有极大值，且极大值为21111ln 21ln 22222f ⎛⎫⎛⎫=-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，无极小值.（2）由2()ln 1f x x mx =++，得2112()2mxf x mx x x+'=+=.当0m ≥时，()0f x '>恒成立，函数()f x 单调递增， 当10m x e--<<时，()()211()110m m f x f e m m e ----<=--++≤，又(1)10f m =+>，所以函数()f x 有且只有一个零点；当0m <时，令()0f x x '=⇒=，当x ⎛∈ ⎝时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 所以()f x 的极大值为2111ln 1ln 222f m m ⎛⎫=+⨯+=-+ ⎪⎝⎭， ①当111ln 0222m ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，即得11ln 1ln 2m e ⎛⎫-<-= ⎪⎝⎭时，解得2em <-，此时函数()f x 没有零点；②当111ln 0222m ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即2e m =-时，函数()f x 有1个零点；③当111ln 0222m ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即02e m -<<时，()2442110f e me me ---=-++=-+<.当1x >时，令()ln g x =x-x ，则1()10g x x'=-<在(1,)+∞上恒成立， 所以()(1)1g x g <=-，即ln 1x x <-，所以221()ln 1f x x mx x mx mx x+m ⎛⎫=++<+= ⎪⎝⎭，故当1x >且1x m>-时，()0f x <.当02e m -<<时，有21e m-<<-， 所以函数()f x 有2个零点.综上所述：当2e m <-时，函数()f x 没有零点； 当0m ≥或2em =-时.函数()f x 有1个零点； 当02e m -<<时，函数()f x 有2个零点. 【点睛】本题考查导数在研究函数性质的应用，涉及到函数的单调区级、极值、和零点个数判断，以及零点存在性定理的灵活运用，考查分类讨论思想和数形结合思想，属于难题.22．（1）6cos 8sin ρθθ=-，（2【解析】 【分析】（1）利用22sin cos 1θθ+=，消去参数，将曲线C 的参数方程化为普通方程，再运用 cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+将曲线C 的直角坐标方程化为极坐标方程；（2）根据条件求出直线l 具有几何意义的参数方程，代入曲线C 普通方程，利用韦达定理以及直线参数的几何意义，即可求解. 【详解】（1）因为曲线C 的参数方程为35cos 45sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩，（θ为参数）， 所以曲线C 的直角坐标方程为222(3)(4)5x y +=-+， 即22680x x y y -++=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+， 代入上式得6cos 8sin ρθθ=-.（2）直线l的参数方程为222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），将222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22680x x y y -++=，整理得280t +-=，设点M ，N 所对应的参数分别为1t ，2t ，则12t t +=-，128t t =-，1832500∆=+=>， 因为1t ，2t 异号， 所以1212121111||||8t t PM PN t t t t -+=+===. 【点睛】本题考查参数方程化普通方程，直角坐标方程化极坐标方程，考查直线参数方程几何意义的应用，属于中档题.23．（1）3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，（2）512⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）分类讨论去绝对值，即可求解方程；（2）去绝对值，分离参数，转化为求函数的最值，利用基本不等式和函数的单调性，即可得出结论. 【详解】（1）当2a =时，不等式()3f x x ≥，即为|224||3|x x x -+-≥， 当4x ≤-时，由4223x x x --+-≥，得3x ≤-，所以4x ≤-， 当41x -<<时，由4223x x x ++-≥，得20≥，所以41x -<<，当1x ≥时，由4223x x x +-+≥，得32x ≤，所以312x ≤≤，故不等式()3f x x ≥的解集为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. （2）当12x ≥时， 22()4|2|f x x ax x x ≥-⇔-≤+，由2|2|ax x x-≤+，得2211x a xx x-+-≤≤++，当12x≥时，由基本不等式得211xx++≥+，当且仅当2xx=，即x时取等号，因为函数21y xx=-+-在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以当12x=时，21y xx=-+-取最大值为52，故实数a的取值范围是512⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查分类讨论方法解绝对值不等式，考查恒成立问题，分离参数，转化为求函数的最值，属于中档题.答案第23页，总23页。