2020年高考数学一轮复习第三章三角函数与解三角形第5讲两角和与差及二倍角的三角函数公式课件理
简写形式 Sα－β Cα－β
正切
Tα－β
2.二倍角的三角函数
三角 函数
二倍角
正弦
sin 2α＝___2_s_in__α_c_o_s_α___
简写形式 S2α
余弦 cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α C2α
正切
T2α
3.降次公式
D
C B
考点 1 给角求值问题 例1：(1)(2015 年新课标Ⅰ) sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10° ＝( )
第5讲 两角和与差及二倍角的 三角函数公式
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正 切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内 在联系.
1.两角和与差的三角函数
三角函数
两角和
正弦
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
余弦
cos(α＋β)＝_c_o_s_α__co_s__β_－__s_in__α_si_n__β_
简写式 Sα＋β Cα＋β
正切
Tα＋β
(续表) 三角函数 正弦 余弦
两角差 sin(α－β)＝sin αcos β－ cos αsin β cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
故选 D. 答案：D
答案：B
(3)(2015 年四川)sin 15°＋sin 75°＝________. 解析：方法一，sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝
【规律方法】三角函数的给角求值，关键是把待求角用已 知角表示：
①已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差； ②已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系” 或“互余、互补”的关系.
考点 2 给值求值问题
答案：A
故选 B. 答案：B
考点 3 给值求角问题
∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B
【规律方法】(1)已知三角函数值求角的解题步骤：①求出 角的某一三角函数值；②确定角的范围；③根据角的范围确 定角.
(2)给值求角的原则：①已知正切函数值，选正切函数； ②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是
【互动探究】
难点突破 ⊙ 利用转化化归的思想探讨三角函数的求值问题
【规律方法】求cosβ的值，注意β＝(α＋β)－α的转化.
【互动探究】 则 cos α＝__________.
高三数学理第一轮复习：两角和与差的三角函数、二倍角的正弦、余弦和正切人教版知识精讲
高三数学理第一轮复习：两角和与差的三角函数、二倍角的正弦、余弦和正切人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：两角和与差的三角函数，二倍角的正弦，余弦和正切二. 重点、难点：1. 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式；能正确运用上述公式，进行简单三角函数的化简、求值和恒等式的证明。
2. 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；能正确运用上述公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式的证明。
【典型例题】[例1]（1）已知53)4cos(=-απ，135)43sin(=+βπ，其中434παπ<<，40πβ<<，求)sin(βα+的值；（2）已知βα、都是锐角，且55sin =α，1010sin =β，求βα+。
解：（1）∵40,434πβπαπ<<<<∴πβππαππ<+<<-<-4343,042∴)4(cos 1)4sin(2απαπ---=-54)53(12-=--=)43(sin 1)43cos(2βπβπ+--=+ 1312)135(12-=--= )]4()43cos[()](2cos[απβπβαπ--+=++)4sin()43sin()4cos()43cos(απβπαπβπ-++-+=6556)54(13553)1312(-=-⨯+⨯-=∴6556)](2cos[)sin(=++-=+βαπβα（2）∵20,20πβπα<<<<∴πβα<+<0 又∵10103cos ,552cos ==βα ∴βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+2210105510103552=⨯-⨯=又∵在π~0之间，余弦值为22的角只有4π，∴4πβα=+[例2] 已知锐角ABC ∆中，51)sin(,53)sin(=-=+B A B A 。
（1）求证：B A tan 2tan =；（2）设3=AB ，求AB 边上的高。
高三数学一轮复习 第3章第5课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式精品课件
已知 α∈0，π2，tan α＝12，求 tan 2α 和 sin2α＋π3的值．
解析：
tan 2α＝1－2tatnanα2α＝12－×21122＝43.
∵α∈0，π2，2α∈(0，π)，tan 2α＝43＞0，
∴2α∈0，2π，
∴sin 2α＝45，cos 2α＝35，
∴sin2α＋π3＝sin 2α·cos
＝2csoisn
1100°°－sin
cos 10°·1
10°
2sin 10°
＝2csoisn
1100°°－2cos
10°＝cos
10°－2sin 2si0° 2sin 10°
cos ＝
10°－212cos 10°－ 2sin 10°
3 2 sin
10°＝
解析： (1)方法一：∵cosβ－π4＝cosπ4cos β＋sinπ4sin β
＝
2 2 cos
β＋
2 2 sin
β＝13，
∴cos β＋sin β＝ 32，∴1＋sin 2β＝29，
∴sin 2β＝－79.
方法二：sin 2β＝cosπ2－2β ＝2cos2β－π4－1＝－79. (2)∵0＜α＜2π＜β＜π， ∴π4＜β－4π＜34π，2π＜α＋β＜32π， ∴sinβ－π4＞0，cos(α＋β)＜0.
• tan(α±β)＝ • 其变形为： • tan α＋tan β＝
tan α±tan β 1∓tan αtan β.
.
tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)
；
• tan α－tan β＝ tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)
；
• tan αtan β＝
1－tatnanα＋α＋taβnβ
数学总复习 第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第5课时二倍角的正弦、余弦和正切公式 含解析
第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第5课时二倍角的正弦、余弦和正切公式(对应学生用书（文）、(理)49～50页)考情分析考点新知掌握二倍角公式(正弦、余弦、正切)，能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．能从两角和公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，体会化归思想的应用.1。
（必修4P105例1改编)已知sinα＝－错误!，α∈错误!，则sin2α＝__________．答案：－错误!解析:∵sinα＝－错误!，α∈错误!，∴α∈错误!，cosα＝错误!。
∴sin2α＝2sinαcosα＝－错误!.2. （必修4P108习题3.2第5(2)题改编)已知α为第二象限角，sin α＋cosα＝错误!，则cos2α＝________．答案：－错误!解析：∵sinα＋cosα＝错误!，∴(sinα＋cosα）2＝错误!，∴2sinαcosα＝－错误!，即sin2α＝－错误!.∵α为第二象限角且sinα＋cosα＝33〉0，∴2kπ＋π2<α〈2kπ＋错误!π（k∈Z），∴4kπ＋π〈2α<4kπ＋错误!π(k∈Z)，∴2α为第三象限角，∴cos2α＝－错误!＝－错误!。
3. (必修4P108习题3.2第3题改编）若sin(错误!＋θ）＝错误!，则cos2θ＝________．答案:－错误!解析：∵ sin错误!＝错误!，∴cosθ＝错误!,∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－错误!。
4。
（必修4P106练习第1（1）题改编)函数f（x)＝sinxcosx的最小正周期是________．答案：π解析：∵f（x)＝sinxcosx＝错误!sin2x,∴T＝错误!＝π.5. (必修4P108习题3.2第5（3)题改编）若错误!≤α≤错误!，则错误!＋错误!＝________．答案:－2sin α2解析：∵错误!≤α≤错误!，∴错误!≤错误!≤错误!。
∴1＋sinα＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝－错误!－错误!＝－2sin错误!。
【名师推荐资料】新2020版高考数学一轮复习 第三章 三角函数与解三角形 第5讲 两角和与差及二倍角的三角函
第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式1．(2016年新课标Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( ) A.725 B.15 C ．－15 D ．－7252．4cos 50°－tan 40°＝( )A. 2B.2＋32C. 3 D ．2 2－13．(2017年上海师大附中统测)函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－1是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数4．(2015年上海)已知点A 的坐标为(4 3，1)，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标为( )A.3 32 B.5 32 C.112 D.1325．(2017年江苏)若tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝16， 则tan α＝________. 6．(2017年北京)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，cos(α－β)＝________.7．(2016年新课标Ⅲ)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移______个单位长度得到．8．(2016年上海)若函数f (x )＝4sin x ＋a cos x 的最大值为5，则常数a ＝________. 9．(2016年上海)方程3sin x ＝1＋cos 2x 在区间[0,2π]上的解为__________．10．(2015年浙江)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，最小值是________，单调递减区间是____________________．11．(2014年江苏)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值．12．(2017年北京)已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式1．D 解析：cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝－725，且cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin 2α.故选D. 2．C 解析：原式＝4sin 40°－sin 40°cos 40°＝4cos 40°sin 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝－－sin 40°cos 40°＝3cos 40°＋sin 40°－s in 40°cos 40°＝3cos 40°cos 40°＝ 3.故选C.3．A 解析：由y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin2x ，∴T ＝π，且y ＝sin 2x 是奇函数，即函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－1是奇函数．故选A. 4．D 解析：设直线OA 的倾斜角为α，B (m ，n )(m ＞0，n ＞0)，则直线OB 的倾斜角为π3＋α.因为A (4 3，1)，所以tan α＝14 3，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝n m ，nm ＝3＋14 31－3·14 3＝133 3，即m 2＝27169n 2.因为m 2＋n 2＝(4 3)2＋12＝49，所以n 2＋27169n 2＝49.所以n ＝132或n ＝－132(舍去)．所以点B 的纵坐标为132.5.75 解析：tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4tanπ4＝16＋11－16＝75.6．－79解析：因为角α与角β它们的终边关于y 轴对称，所以α＋β＝2k π＋π()k ∈Z ，sin α＝sin β＝13，cos α＝－cos β，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsinβ＝－cos 2α＋sin 2α＝2sin 2α－1＝－79.7.π3 解析：因为y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，所以函数y ＝sin x －3cos x的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移π3个单位长度得到．8．±3 解析：f (x )＝16＋a 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝a4，故函数f (x )的最大值为16＋a 2，由已知，得16＋a 2＝5，解得a ＝±3.9.π6或5π6解析：3sin x ＝1＋cos 2x ，即3sin x ＝2－2sin 2x ，所以2sin 2x ＋3sin x －2＝0.解得sin x ＝12或sin x ＝－2(舍)．所以方程在区间[0,2π]上的解为π6或5π6.10．π 3－22 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π，k ∈Z 解析：f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＋1＝12sin 2x －12cos 2x ＋32＝22·sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，所以T ＝2π2＝π，f (x )min ＝32－22.单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π，k ∈Z . 11．解：(1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－2 55.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2 55＋22×55＝－1010. (2)由(1)，得sin 2α＝2sin αcos α＝－45，cos 2α＝2cos 2α－1＝35.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α ＝－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－3 3＋410.12．(1)解：f (x )＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)证明：因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≥sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12. 所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.。
2020届高三数学一轮复习 第3讲 两角和与差及二倍角的
第3讲 两角和与差及二倍角的三角函数★知 识 梳理1两角和与差的三角函数公式sin()αβ±=sin sin cos sin αβαβ+±cos()αβ±=cos cos sin sin αβαβm tan()αβ±=tan tan 1tan tan αβαβ±m2.二倍角公式sin 2α=2sin cos αα cos2α=22cossin αα-= 22cos 1α-=212sin α-tan 2α=22tan 1tan αα-3.半角公式2cos 12sin2αα-=， 2cos 12cos 2αα+= ， αααcos 1cos 12tan 2+-= αααααsin cos 1cos 1sin 2tan -=+= 4.同角正余弦化积公式sin cos )a x b x x φ+=+，其中sin φ=；cos φ问题1。
不查表求值：=_______________考点1 两角和与差的正弦.余弦.正切题型1: 顺用公式例1:已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+等于（ ）例2.sin 155°cos35°－ cos25°cos235°=____________.1. cos 43cos77sin 43cos167oooo+的值为 ．2.若(,)2παπ∈，且4sin 5α=，则sin()cos 42παα--= ． 例3．已知()⎪⎭⎫⎝⎛∈==-ππββαπ,2,53sin ,21tan ,求()βα-2tan 的值.1. （07江苏）若1cos()5αβ+=，3cos()5αβ-=，则tan tan αβ=g _____． 2.不查表求值2cos10sin 20cos 20︒-︒︒= ．题型2: 逆用公式例4．sin105cos105o o 的值为（ ）例5．(广东省揭阳市2008年第一次模拟考试)已知：向量1)a =-r，(sin 2,b x =r cos 2)x ，函数()f x a b =⋅r r，若()0f x =且0x π<<，求x 的值；例6．(2008·惠州市高三第三次调研考试第一问)在△ABC 中，已知角A 为锐角，且A A A AA A A f 222cos )2(sin )22(sin )22sin()2sin(]1)2[cos()(+----+--=πππππ.求f (A )的最大值；基础巩固训练1.求oo15tan 115tan 1-+的值.2．(华南师大附中2020届高三综合测试（二）)设2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，则tan()4πα+=A ．1318B ．1322C ．322D ．163．︒︒+︒︒167cos 43sin 77cos 43cos 的值为 。
高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.5.2两角和差及倍角公式的应用理
x) x)
sin
2(
4
x)
4
1 1 sin 2 2 x来自22 2cos( x )
4 sin( x )
sin
2( 4
x)
4
1 cos22x 2 sin( 2x )
1 2
cos
2x.
2
答案: 1 c o s 2 x 2
4.(2016·武汉模拟)若 1tan 20 1 5 ， 则 1tan2
1tan
co s 2
=
.
【解析】因为1 ta =n 2015, 1 tan
所以 c o s 1 2 ta n 2 1 c o s s in 2 2 1 c o s 2 2 s in s c in o s 2
( c o s s in ) 2 c o s s in 1 ta n 2 0 1 5 . ( c o s s in ) ( c o s s in )c o s s in 1 ta n
【规范解答】(1)方法一:(从“角”入手,倍角→单角)
原式=sin2α·sin2β+cos2α·cos2β- ·(21 cos2α-
1)·(2cos2β-1)
2
=sin2α·sin2β+cos2α·cos2β- (4cos2α·cos2β
1
-2cos2α-2cos2β+1)
2
=sin2α·sin2β-cos2α·cos2β+cos2α+cos2β- 1 2
sin[()]sin sin sin
【规律方法】 1.三角恒等变换的化简、求值问题的求解策略 (1)对于和、差式子,见到平方要降幂、消项、逆用公 式等. (2)对于分式,通分后分子分母化简时尽量出现约分的 式子,或逆用公式.
高考数学一轮复习 3.3两角和与差及二倍角三角函数公式课件 理
A．7
B．－7
栏 目 链 接
π 7 4 (2)已知 cos α－ ＋sin α＝ 3，则 sin α＋6π的值是( 5 6
A．－
2 3 5
2 3 B. 5 4 D. 5
4 C．－ 5
考点探究
点评： (1) 两角和与差的三角函数公式的内涵是“揭示同
课前自修
基 础 回 顾
一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin αcos β±cos αsin β 简记为Sα±β)； sin(α±β)＝_______________________( 栏 目 链 接
cos(α±β) ＝ _____________________________( 简记为 cos α cos β sin α sin β
π 3 θ＋cos 4 sin θ＝5，即 cos 3 2 18 θ＋sin θ＝ 5 ，平方得 1＋2sin θcos θ＝25， 7 ∴sin 2θ＝－ .故选 B. 25
π 3 π 解析：由 sin ＋θ＝ 得 sin cos 4 4 5
课前自修
π α 1 3．若 cos α＝ ，其中 α∈－ ，0，则 sin 的值是 2 2 2
2tan α tan 2α＝____________( 简记为T2α)． 1－tan2α
课前自修
三、二倍角余弦公式的变式
1＋cos 2α 1－cos 2α 2 1．降幂公式：cos α＝ ，sin α＝ . 2 2
2
2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
栏 目 链 接
4 4 解析：∵tan(π＋2α)＝－ ，∴tan 2α＝－ ，由二倍角公 3 3 2tan α 4 1 式得 ＝－ ，又 α 为第二象限角，∴tan α＝－ . 2 3 2 1－tan α
三角函数解三角形第5讲简单的三角恒等变换第1课时两角和差及倍角公式讲义理-高考数学一轮复习资料
第5讲 简单的三角恒等变换 第1课时 两角和、差及倍角公式1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C (α∓β)：cos(α∓β)＝□01cos αcos β±sin αsin β. (2)S (α±β)：sin(α±β)＝□02sin αcos β±cos αsin β. (3)T (α±β)：tan(α±β)＝□03tan α±tan β1∓tan αtan β⎝ ⎛⎭⎪⎫α，β，α±β≠π2＋k π，k ∈Z . 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin2α＝□012sin αcos α. (2)C 2α：cos2α＝□02cos 2α－sin 2α＝□032cos 2α－1＝□041－2sin 2α. (3)T 2α：tan2α＝□052tan α1－tan 2α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠±π4＋k π，且α≠k π＋π2，k ∈Z . 3.公式的常用变形(1)tan α±tan β＝□01tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (2)cos 2α＝□021＋cos2α2， sin 2α＝□031－cos2α2. (3)1±sin2α＝(sin α±cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4.(4)a sin α＋b cos α其中cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b 2，tan φ＝ba(a ≠0)．1.概念辨析(1)公式C (α±β)，S (α±β)，S 2α，C 2α中的角α，β是任意的．( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (3)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小关系不确定．( )(4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )(5)对任意角α都有1＋sin α3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α6＋cos α62.( )答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√ 2.小题热身(1)若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.－210 B.210 C ．－7210 D.7210答案 C解析 因为cos α＝－45，α是第三象限的角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－7210.(2)计算：cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( ) A.sin(α＋2β) B ．sin α C.cos(α＋2β) D ．cos α答案 D解析 cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝cos[(α＋β)－β]＝cos α. (3)已知cos x ＝34，则cos2x ＝( )A.－14B.14 C ．－18 D.18答案 D解析 cos2x ＝2cos 2x －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫342－1＝18.(4)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若tan α＝35，则tan(α－β)的值为( )A.0B.3034C.916D.158答案 D解析 由角α与角β的始边相同，终边关于y 轴对称可知tan α＝－tan β.又tan α＝35，所以tan β＝－35， 所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－351＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝158，故选D.题型 一 两角和、差及倍角公式的直接应用1.已知角α与角β均以x 轴的非负半轴为始边，它们的终边关于y 轴对称，且角α的终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎪⎫223，13，则sin(α－β)＝________. 答案 －429解析 因为角α的终边与单位圆交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫223，13， 所以sin α＝13，cos α＝223.因为角α与角β的终边关于y 轴对称，所以角β的终边与单位圆交于点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，13，所以sin β＝13，cos β＝－223，所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－223－223×13＝－429. 2.(2018·全国卷Ⅱ)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，则tan α＝________.答案 32解析 tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan α－tan5π41＋tan α·tan5π4＝tan α－11＋tan α＝15，解方程得tan α＝32.3.已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值为________． 答案 －4＋3310解析 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55. 所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.所以sin2α＝2sin αcos α＝－45，cos2α＝cos 2α－sin 2α＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos2α＋sin 5π6sin2α＝－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－4＋3310.应用三角公式化简求值的策略(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.1.(2018·石家庄质检)若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin2α的值为( )A.－429 B ．－229 C.229 D.429答案 A解析 ∵sin(π－α)＝13，∴sin α＝13，又∵π2≤α≤π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－223，∴sin2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－223＝－429. 2.(2018·上饶三模)由射线y ＝43x (x ≥0)按逆时针方向旋转到射线y ＝－512x (x ≤0)的位置所成的角为θ，则cos θ＝( )A.－1665 B ．±1665 C ．－5665 D ．±5665答案 A解析 设y ＝43x (x ≥0)的倾斜角为α，则sin α＝45，cos α＝35，射线y ＝－512x (x ≤0)的倾斜角为β，sin β＝513，cos β＝－1213，∴cos θ＝cos(β－α)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋45×513＝－1665.3.若sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β等于( )A.5 B ．－1 C ．6 D.16答案 A解析 由题意可得sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝13，解得sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，∴tan αtan β＝5.题型 二 两角和、差及倍角公式的逆用和变形用1.计算－sin133°cos197°－cos47°cos73°的结果为( ) A.12 B.33 C.22 D.32 答案 A解析 －sin133°cos197°－cos47°cos73° ＝－sin47°(－cos17°)－cos47°sin17° ＝sin(47°－17°)＝sin30°＝12.2.(1＋tan18°)(1＋tan27°)的值是( ) A. 3 B ．1＋ 2C.2 D ．2(tan18°＋tan27°)答案 C解析 (1＋tan18°)(1＋tan27°)＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝1＋tan45°(1－tan18°tan27°)＋tan18°tan27°＝2. 3.已知sin α＋cos α＝52，则cos4α＝________. 答案 78解析 由sin α＋cos α＝52，得sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋sin2α＝54，所以sin2α＝14，从而cos4α＝1－2sin 22α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝78.条件探究1 将举例说明3的条件改为“sin α－cos α＝43”，求cos4α.解 因为sin α－cos α＝43，所以1－2sin αcos α＝169，所以sin2α＝2sin αcos α＝－79，所以cos4α＝1－2sin 22α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－792＝－1781.条件探究2 将举例说明3的条件改为“cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝23，α∈(π，2π)”，求sin α＋cos α.解 因为cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π22＝1＋sin2α2＝23.所以sin2α＝13>0，又因为α∈(π，2π)，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，所以sin α＋cos α<0，(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋13＝43，所以sin α＋cos α＝－233.1.注意三角函数公式逆用和变形用的两个问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．2．熟记三角函数公式的两类变式 (1)和差角公式变形sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β， cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β， tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan αtan β)． (2)倍角公式变形降幂公式cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2，配方变形：1±sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2±cos α22,1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2.1.若x ∈[0，π]，sin x 3sin 2x 3＝cos x 3cos 2x3，则x 的值是( )A.π6 B.π4 C.π3 D.π2答案 D解析 由已知得，cos x 3cos 2x 3－sin x 3sin 2x 3＝cos x ＝0.∵x ∈[0，π]，∴x ＝π2.2.(2019·湖南郴州质检)已知x ∈(0，π)， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4，则tan x ＝( )A.12 B ．－2 C.22 D. 2 答案 D解析 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4，所以32cos x －12sin x ＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π22，3cos x －sin x ＝1－sin x ，解得cos x ＝33， 因为x ∈(0，π)，所以sin x ＝1－cos 2x ＝63，所以tan x ＝sin xcos x ＝6333＝ 2.3.化简：－α1－tan 2－α·sin αcos αcos 2α－sin 2α＝________. 答案 12解析 原式＝tan(90°－2α)·12sin2αcos2α＝－2α－2α·12sin2αcos2α＝cos2αsin2α·12sin2αcos2α＝12. 题型 三 两角和、差及倍角公式的灵活应用角度1 角的变换1.(2018·南开区模拟)已知0<α＜π2<β<π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45.(1)求sin2β的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值．解 (1)sin2β＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2β＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4－1＝－79.(2)因为0<α<π2<β<π，所以π2<α＋β<3π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4>0，cos(α＋β)<0， 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝223，cos(α＋β)＝－35， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos(α＋β)·cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×13＋45×223＝82－315.角度2 函数名称的变换2.求值：(1)sin10°1－3tan10°＝________；(2)1＋cos20°2sin20°－sin10°⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan5°－tan5°＝________.答案 (1)14 (2)32解析 (1)sin10°1－3tan10°＝sin10°cos10°cos10°－3sin10°＝2sin10°cos10°4⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos10°－32sin10°＝sin20°－＝14. (2)原式＝2cos 210°2×2sin10°cos10°－sin10°·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos5°sin5°－sin5°cos5°＝cos10°2sin10°－sin10°·cos 25°－sin 25°sin5°cos5° ＝cos10°2sin10°－sin10°·cos10°12sin10° ＝cos10°2sin10°－2cos10°＝cos10°－2sin20°2sin10°＝cos10°－－2sin10°＝cos10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos10°－32sin10°2sin10°＝3sin10°2sin10°＝32.三角公式应用中变“角”与变“名”问题的解题思路(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝π2，α2＝2×α4等．(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦.1.若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2等于( )A.33 B ．－33 C.539 D ．－69答案 C解析 ∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4.∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223.∵－π2<β<0，∴π4<π4－β2<π2.∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝13×33＋223×63＝539. 2.(2018·吉林第三次调研)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α2＝________.答案 23解析 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，所以cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α2＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α2＝1＋132＝23.3.(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos2α的值； (2)求tan(α－β)的值．解 (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，因此，cos2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－55， 所以sin(α＋β)＝1－cos 2α＋β＝255，因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－247， 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)] ＝tan2α－α＋β1＋tan2αα＋β＝－211.思想方法 三角恒等变换中的拆角、凑角思想[典例1] (2018·石嘴山一模)已知α满足sin α＝12，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( )A ．－12 B.12 C ．－14 D.14答案 D解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝12cos2α＝12(1－2sin 2α)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14. [典例2] 若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝________. 答案 17解析 因为tan α＝13，tan(α＋β)＝12， 所以tan β＝tan[(α＋β)－α]＝α＋β－tan α1＋α＋βα＝12－131＋12×13＝17. 方法指导 三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系.变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的.。
高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第5节两角和与差及二倍角的三角函数学案理北师大版
第五节 两角和与差及二倍角的三角函数[考纲传真] (教师用书独具)1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．(对应学生用书第57页)[基础知识填充]1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan 2α＝2tan α1－tan α. 3．有关公式的变形、逆用(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；(2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，sin αcos α＝sin 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.[知识拓展] 1．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a .2．sin 15°＝6－24，cos 15°＝6＋24，tan 15°＝2－ 3. 3．tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.4．sin 2α＝2tan α1＋tan 2α，cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α. [基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( ) (3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )(4)y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值是7.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )A ．－32B ．32C ．－12D ．12D [sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D ．]3．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A ．－79B ．－29C ．29D ．79A [∵sin α－cos α＝43，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝169，∴sin 2α＝－79.故选A ．]4．函数 f (x )＝3sin x ＋cos x 的最小值为________．－2 [函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的最小值是－2.]5．若锐角α，β满足tan α＋tan β＝3－3tan αtan β，则α＋β＝________.π3 [由已知可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π3.](对应学生用书第58页)三角公式的基本应用(1)(2017·山西长治二中等五校第四次联考)若cos θ＝23，θ为第四象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值为( ) A ．2＋106 B ．22＋106C ．2－106D ．22－106(2)(2018·南宁、钦州第二次适应性考试)若锐角α，β满足sin α＝45，tan(α－β)＝23，则tan β＝________.(1)B (2)617 [(1)因为cos θ＝23，θ为第四象限角，则sin θ＝－53，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22cos θ－22sin θ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋53＝22＋106，故选B ． (2)因为锐角α满足sin α＝45，所以cos α＝1－sin 2α＝35，则tan α＝sin αcos α＝43，tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan(α－β)1＋tan αtan(α－β)＝43－231＋89＝617.] [规律方法] 三角函数公式的应用策略1使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征. 2使用公式求值，应先求出相关角的三角函数值，再代入公式求值. [跟踪训练] 已知α∈⎛⎪⎫π，π，sin α＝5，则cos ⎛⎪⎫5π－2α的值为________.【导学号：79140121】－4＋3310 [因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45，cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45 ＝－4＋3310.]三角公式的逆用与变形应用(1)计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为( ) A ．－12B ．12C ．32D ．－32(2)(2017·河北名师俱乐部模拟)已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝( )A ．23 B ．43 C ．34D ．32(1)B (2)D [(1)sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°cos 310° ＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.(2)由sin θ－cos θ＝－144， 得sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ＝74，∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴0＜π4－θ＜π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝34.∴2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝cos 2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ＝32.][规律方法] 1.三角函数公式的活用方法1逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式. 2tan αtan β，tan α＋tan β或tan α－tan β，tan α＋β或tan α－β三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用.2.三角函数公式逆用和变形应用应注意的问题1公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系. 2注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式. [跟踪训练] (1)cos 15°＋sin 15°＝________.(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是________． (1)33 (2)－45 [法一：原式＝1－tan 15°1＋tan 15°＝tan 45°－tan 15°1＋t an 45°tan 15°＝tan 30°＝33.法二：原式＝2(sin 45°cos 15°－cos 45°sin 15°)2(sin 45°cos 15°＋cos 45°sin 15°)＝sin 30°sin 60°＝1232＝33.法三：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 15°－sin 15°cos 15°＋sin 15°2＝1－sin 30°1＋sin 30°＝13.又cos 15°－sin 15°cos 15°＋sin 15°＞0，∴cos 15°－sin 15°cos 15°＋sin 15°＝33.(2)由cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435，即32sin α＋32cos α＝435，所以3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝435，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45.]角的变换(1)(2017·深圳一模)若α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α－β)＝1010，则cos β＝( ) A ．22B ．210 C ．22或－210D ．22或210(2)(2018·海口调研)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8－α＝15，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋2α的值为( )A ．2325B ．－2325C ．78D ．－78 (1)A (2)A [(1)因为α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α－β)＝1010，所以sin α＝255，cos(α－β)＝31010，从而cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝22，故选A ． (2)因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫π8－α＝15，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2α＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π8－α＝2325，故选A ．] [规律方法] 利用角的变换求三角函数值的策略1当“已知角”有两个时：一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式. 2当“已知角”有一个时：此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.[跟踪训练] (1)已知tan(α＋β)＝1，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3＝3，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫β＋3的值为( )【导学号：79140122】A ．23B ．12C ．34D ．45(2)(2017·山西太原五中4月模拟)已知角α为锐角，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝( )A ．26＋16B ．3－28C ．3＋28D ．23－16(1)B(2)A[(1)tan⎝⎛⎭⎪⎫β＋π3＝tan⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝tan(α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π31＋tan(α＋β)tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝1－131＋1×13＝12. (2)由于角α是锐角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝223，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝223×32＋13×12＝26＋16，故选A ．]。
(江苏专版)2020版高考数学一轮复习讲义： 第三章 三角函数 3.4 两角和与差的三角函数讲义.doc
§3.4两角和与差的三角函数考纲解读分析解读本节内容是高考的重点.主要考查三角函数求值及公式的变形运用.五年高考考点一两角和与差的三角函数的基本运用1.(2017江苏,5,5分)若tan=,则tan α= .答案2.(2015江苏,8,5分)已知tan α=-2,tan(α+β)=,则tan β的值为.答案 33.(2015四川,12,5分)sin 15°+sin 75°的值是.答案4.(2014课标Ⅱ,14,5分)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为. 答案 15.(2014天津,15,13分)已知函数f(x)=cos x·si n-cos2x+,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值.解析(1)由已知,有f(x)=cos x·-cos2x+=sin x·cos x-cos2x+=sin 2x-(1+cos 2x)+=sin 2x-cos 2x=sin.所以f(x)的最小正周期T==π.(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数,f=-, f=-, f=,所以函数f(x)在闭区间上的最大值为,最小值为-.6.(2013安徽理,16,12分)已知函数f(x)=4cos ωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)讨论f(x)在区间上的单调性.解析(1)f(x)=4cos ωx·sin=2sin ωx·cos ωx+2cos2ωx=(sin 2ωx+cos 2ωx)+=2sin+.因为f(x)的最小正周期为π,且ω>0,所以=π,故ω=1.(2)由(1)知, f(x)=2sin+.若0≤x≤,则≤2x+≤.当≤2x+≤,即0≤x≤时, f(x)单调递增;当≤2x+≤,即≤x≤时, f(x)单调递减.综上可知, f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减. 教师用书专用(7)7.(2014福建,16,13分)已知函数f(x)=cos x(sin x+cos x)-.(1)若0<α<,且sin α=,求f(α)的值;(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.解析解法一:(1)因为0<α<,sin α=,所以cos α=.所以f(α)=×-=.(2)因为f(x)=sin xcos x+cos2x-=sin 2x+-=sin 2x+cos 2x=sin,所以T==π.由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.解法二: f(x)=sin x cos x+cos2x-=sin 2x+-=sin 2x+cos 2x=sin.(1)因为0<α<,sin α=,所以α=,从而f(α)=sin=sin=.(2)T==π.由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.考点二公式的综合运用1.(2016课标全国Ⅱ理改编,9,5分)若cos=,则sin 2α= .答案-2.(2015重庆改编,9,5分)若tan α=2tan ,则= .答案 33.(2014课标Ⅰ改编,8,5分)设α∈,β∈,且tan α=,则2α-β= .答案4.(2013课标全国Ⅰ理,15,5分)设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ= . 答案-5.(2016天津理,15,13分)已知函数f(x)=4tan xsin cos-.(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间上的单调性.解析(1)f(x)的定义域为.f(x)=4tan xcos xcos-=4sin xcos-=4sin x-=2sin xcos x+2sin2x-=sin 2x+(1-cos 2x)-=sin 2x-cos 2x=2sin.所以, f(x)的最小正周期T==π.(2)令z=2x-,易知函数y=2sin z的单调递增区间是,k∈Z.由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.设A=,B=,易知A∩B=.所以,当x∈时, f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.6.(2014重庆,17,13分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值;(2)若f=,求cos的值.解析(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以f(x)的最小正周期T=π,因为ω>0,所以ω==2.又因为f(x)的图象关于直线x=对称,所以2·+φ=kπ+,k∈Z.由-≤φ<得k=0,所以φ=-=-.(2)由(1)得f=sin=,所以sin=.由<α<得0<α-<,所以cos===.因此cos=sin α=sin=sin cos+cos sin=×+×=.7.(2014四川,16,12分)已知函数f(x)=sin.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若α是第二象限角, f=cos cos 2α,求cos α-s in α的值.解析(1)因为函数y=sin x的单调递增区间为,k∈Z,所以由-+2kπ≤3x+≤+2kπ,k∈Z,得-+≤x≤+,k∈Z.所以,函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.(2)由已知,有sin=cos(cos2α-sin2α),所以sin αcos+cos αsin=(cos2α-sin2α).即sin α+cos α=(cos α-sin α)2(sin α+cos α).当sin α+cos α=0时,由α是第二象限角,知α=+2kπ,k∈Z.此时,cos α-sin α=-.当sin α+cos α≠0时,有(cos α-sin α)2=.由α是第二象限角,知cos α-sin α<0,此时cos α-sin α=-.综上所述,cos α-sin α=-或-.教师用书专用(8)8.(2013四川理,17,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos2cos B-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=-.(1)求cos A的值;(2)若a=4,b=5,求向量在方向上的投影.解析(1)由2cos2cos B-sin(A-B)sin B+cos(A+C)=-,得[cos(A-B)+1]cos B-sin(A-B)sin B-cos B=-, 即cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-.则cos(A-B+B)=-,即cos A=-.(5分)(2)由cos A=-,0<A<π,得sin A=,由正弦定理得sin B==.由题意知a>b,则A>B,故B=.根据余弦定理,有(4)2=52+c2-2×5c×,解得c=1或c=-7(舍去).故向量在方向上的投影为||cos B=.(12分)三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一两角和与差的三角函数的基本运用1.(2017江苏苏州期中,5)已知tan α=-,则tan= .答案72.(2017江苏苏州学情调研,10)已知α∈,β∈,cos α=,sin(α+β)=-,则cos β= . 答案-3.(苏教必4,三,1,变式)若cos α=-,sin β=-,α∈,β∈,则sin(α+β)的值为.答案4.(2017江苏泰州中学质检,15)已知函数f(x)=sin xcos x-cos 2x.(1)求f(x)的值域和最小正周期;(2)若f(x)=-1,求cos的值.解析(1)f(x)=sin xcos x-cos2x=sin 2x-=sin 2x--=sin-, 所以f(x)的值域为,最小正周期T==π.(2)因为f(x)=-1,所以sin-=-1,即sin=-,所以cos=cos=sin=-.5.(2016江苏淮安高中段测,16)已知α∈,β∈,cos 2β=-,sin(α+β)=.(1)求cos β的值;(2)求sin α的值.解析(1)因为β∈,所以cos β<0.又cos 2β=2cos2β-1=-,所以cos β=-.(2)根据(1),得sin β==.而α∈,β∈,所以α+β∈,又sin(α+β)=,所以cos(α+β)=-=-.故sin α=sin[(α+β)-β]=sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=×-×=.考点二公式的综合运用6.(苏教必4,三,1,变式)函数y=sin+sin的最小值为.答案-7.(苏教必4,三,1,变式)若0<α<,-<β<0,cos=,cos=,则cos= .答案8.(2017江苏淮阴中学期中,5)(1+tan 22°)(1+tan 23°)=.答案 29.(2017江苏南京高淳质检,11)设α为锐角,若cos=,则sin的值为.答案10.(2018江苏南通中学阶段练习)函数f(x)=2sin·cos x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期;(2)△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且c=2,f(C)=,若sin B=2sin A,求边a、b的值.解析(1)因为f(x)=2sin cos x=sin 2x-=sin-,所以函数f(x)的最大值f(x)max=,最小正周期T=π.(2)因为f(C)=sin-=,所以sin=1,因为0<C<π,所以-<2C-<,于是2C-=,所以C=.因为sinB=2sin A,所以b=2a,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos ,即a2+b2-ab=12,由解得11.(2018江苏如东中学学情检测)已知α,β都是锐角,且sin α=,tan(α-β)=-.(1)求sin(α-β)的值;(2)求cos β的值.解析(1)因为α,β∈,所以-<α-β<,又因为tan(α-β)=-<0,所以-<α-β<0.结合sin2(α-β)+cos2(α-β)=1,且=-,得sin(α-β)=-.(2)由(1)可得,cos(α-β)==.因为α为锐角,sin α=,所以cos α===.所以cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=×+×=.12.(2018江苏扬州中学月考)已知函数f(x)=sin2x-sin2,x∈.(1)求f(x)的值域;(2)若△ABC的面积为,A,B,C所对的边分别为a,b,c,且f(C)=,c=,求△ABC的周长. 解析(1)f(x)=-=-cos 2x=sin 2x-cos 2x=sin.∵x∈,∴2x-∈,故f(x)∈.(2)由已知得,absin C=.由f(C)=,得C=,所以ab=6.在△ABC中,由余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.所以a+b=5.所以△ABC的周长为5+.B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:50分时间:25分钟)一、填空题(每小题5分,共5分)1.(2017江苏仪征中学高三期初检测,11)已知3tan+tan2=1,sin β=3sin(2α+β),则tan(α+β)= .答案-二、解答题(共45分)2.(2017江苏泰州中学期中,15)已知0<α<<β<π,且sin(α+β)=,tan =.(1)求cos α的值;(2)证明:sin β>.解析(1)将tan =代入t an α=,得tan α=,由及α∈,得cos α=.(2)证明:易得<α+β<,又sin(α+β)=,∴cos(α+β)=-,由(1)可得sin α=,∴sin β=sin[(α+β)-α]=×-×=>.3.(2017江苏海安中学质检,15)已知向量m=(cos x,-sin x),n=(cos x,sin x-2cos x),x∈R.设f(x)=m·n.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若f(x)=,且≤x≤,求sin 2x的值.解析(1)f(x)=cos2x-sin x(sin x-2cos x)=cos2x-sin2x+2sin xcos x=sin 2x+cos 2x=2=2sin,所以f(x)的最小正周期为π.(2)由(1)及题意得sin=,由≤x≤得≤2x+≤π,所以cos=-=-,所以sin 2x=sin=sin cos -cos sin=×+×=.4.(2017南京高三学情调研,15)如图,在平面直角坐标系xOy中,以x轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A,B,若点A的横坐标是,点B的纵坐标是.(1)求cos(α-β)的值;(2)求α+β的值.解析(1)由任意角的三角函数的定义得cos α=,结合α为锐角,得sin α==.同理得sinβ=,cos β=-=-.则cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=-.(2)因为α∈,β∈,所以α+β∈,由(1)得sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=×+×=,结合α+β∈,可得α+β=.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 逆用公式1.求[2sin 50°+sin 10°(1+tan 10°)]·的值.解析原式=·sin 80°=·cos 10°==2[sin 50°cos 10°+sin 10°cos(60°-10°)]=2(sin 50°cos 10°+sin 10°cos 50°)=2sin(50°+10°)=2sin 60°=2×=.方法2 角的变换2.若α,β∈,sin(α+β)=-,sin=,则cos= . 答案-。