中大本科统计学练习五

习题五1、用切贝谢夫不等式估计下列各题的概率：（1）废品率为0.03，1000个产品中废品多于20个且少于40个的概率。

（2）已知每个公共交通路口需要人员职守（处理各类冲突事件）的概率是0.3，求200个公共交通路口，刚好需要50至70个人职守的概率。

解：(1)Eξ= np = 30Dξ= npq = 29.1P(20≤ξ≤40)=p(-10≤ξ-30≤10)=p(-10≤ξ- Eξ≤10)P( ∣ξ- Eξ∣≤10)≥ 1- Dξ/(10×10) = 0.709(2) Eξ= np = 200×0.3=60Dξ= npq = 42P(50≤ξ≤70)=p(-10≤ξ-60≤10)=p(-10≤ξ- Eξ≤10)P( ∣ξ- Eξ∣≤10)≥ 1- Dξ/(100) = 0.582、用积分极限定理（拉普拉斯定理）计算上题的概率。

解：(1) σξ= 5.39P(20≤ξ≤40)= Φ。

{（40-30）/5.39}- Φ。

{（30-40）/5.39}==Φ。

(1.855) - Φ。

(-1.855)= 2Φ。

(1.855)- 1= 0.936(2) σξ= 6.48P(50≤ξ≤70)= Φ。

{（70-60）/6.48}- Φ。

{（50-60）/6.48}==Φ。

(1.543) - Φ。

(-1.543)= 2Φ。

(1.543)- 1= 0.8763、如果X1，…，Xn是n个相互独立、同分布的随机变量，EXi=μ，D i X =8（i=1，2，…，n ）。

对于X=1/ni i n =X ∑，写出X 所满足的切贝谢夫不等式，并估计P （|X-μ|<4）。

解： )EX = E （1/ni i n =X ∑）= ∑E (X i ) / n = n μ /n = μ DX= D (1/n i i n =X ∑) = 8/nP （|X-μ|<4）≥ 1—（8/n ）/（4×4）= 1—1/2n4、一颗骰子连续掷4次，点数总和记为ξ。

估计P （10<ξ<18）。

解： 令ξi= 第i 次抛骰子所得点数（i= 1、2、3、4），ξ=ξ1+ξ2+ξ3+ξ 4 则E ξi= 7/2 D ξi= 35/12于是，E ξ= E （ξ1+ξ2+ξ3+ξ4）= 14 D ξ= D （ξ1+ξ2+ξ3+ξ4）= 35/3 于是P （10<ξ<18）= P （—4<ξ—14<4）= P （∣ξ—E ξ∣<4）≥1— （35/3）/（4×4） =0.2715、ξ～()ϕχ= ，估计P{0＜ξ＜2·（n+1）｝}6、袋装茶叶用机器装袋，每袋的净重为随机变量，其期望值为100克，标准差为10克，一大盒内装200袋，求一盒茶叶净重大于20500克的概率。

!nn χχ- 0χ≤0χ>解： Eξi= 100（克）, σi= 10（克）, Dσi= 100(克克)，一大盒的净重为ξ，则Eξ= 200×100 = 20（公斤）， Dξ= 20（公斤·公斤）,σξ= 141.42(克)= 0.1412（公斤）P（ξ＞20.5）= P（ξ— 20＞ 0.5）= P{（ξ— 20）/0.1412＞ 3.54} = 1— P（η≤00.25）= 1—Φ。

（3.54）= 0.0002(中心极限定理)7、用局部极限定理（拉普拉斯定理）近似计算从一批废品率为0.05的产品中任取1000件，其中有20件废品的概率。

解：n=1000, p=0.05 ,q=0.95, k=20 , = 6.89P(ξ=20)≒Φ。

（）= (1/6.89) Φ。

{(20-50)/6.89}== (1/6.89) Φ。

(-4.35)= 1/6.89{1-Φ。

(4.35)}=1.45×8、生产灯泡的合格率为0.6，求10000个灯泡中合格灯泡数在5800～6200的概率。

（0。

99995）解：Eξ= np = 6000, Dξ= npq = 2400P(5800＜ξ＜6200）＝P(-200＜ξ-6000＜200）= P(∣ξ- Eξ∣＜200）≥1-2400/(200×200)= 0.94另，用积分极限定理：9、从大批发芽率为0.9的种子中随意抽取1000粒，试估计这1000粒种子发芽率不低于0.88的概率。

解：即求1000粒种子中不低于880粒发芽的概率。

n=1000,p=0.9,np=900npq = 9.49p(ξ≥880) = 1- p(ξ＜880) = 1- Φ。

（880-900/9.49）= 1-Φ。

（-2.107）=Φ。

（2.107）= 0.9825710、某车间有同型号机床200部，每部开动的概率为0.7，假定各机床开关是独立的，开动时每部要消耗电能15个单位。

问电厂最少要供应这个车间多少电能，才能以95%的概率，保证不致因供电不足而影响生产。

解： np= 200×0.7= 140, npq = 6.48设其时对应的同时开动的机器数为ξ，满足本题要求的同时开动的机器数上限为K台，则所求问题即P（ξ≤ K）= 0.95 = Φ。

（（K-140）/6.48）反查表：(K-140)/ 6.48 = 1.64k = 151.36（台），此时对应的电能消耗是151.36×15 = 2270（单位）11、一大批种蛋中，良种蛋占80%。

从中任取500枚，求其中良种蛋率未超过81%的概率。

解：即良种蛋至少有405枚的概率,Eξ= np = 400, Dξ= npq = 80 , σξ=8.94P(ξ≤405)=Φ。

{（405-400）/8.94}=Φ。

（0.559）=0.712312、某商店负责供应某地区1000人商品，某种商品在一段时间内每人需用一件的概率为0.6，假定在这一段时间各人购买与否彼此无关，问商店应预备多少件这种商品，才能以99.7%的概率保证不会脱销（假定该商品在某一段时间内每人最多可以买一件。

）（643）解：设对应的同时购买该商品的人数为K，需预备的该商品数为ξ，依题意， p(ξ≥K)= 99.7%而Eξ= np = 600, Dξ= npq = 240, σξ=15.49p(ξ≥K)= 1- p(ξ＜K)=1-Φ。

{（k-600）/15.49}=0.997=Φ。

{（600-k）/15.49} 反查表，得（600-k）/15.49 = 2.85k = 55613、一个复杂的系统，由100个相互独立起作用的部件所组成。

在整个运行期间，每个部件损环的概率为0.1，为了使整个系统起作用，至少需有85个部件工作。

求整个系统工作的概率。

解：每个部件正常工作的概率为0.9，Eξ= np = 10, Dξ= npq = 9, σξ=3设η为损坏的部件数，依题意，需求如下概率：P(η＜15) = Φ。

{(15-10)/3}=Φ。

（1.666667）= 0.9525414、重复投掷硬币100次，设每次出现正面的概率均为0.5，问“正面出现次数小于50，大于60”的概率是多少？解：设为出现正面的次数，15、现有一大批某种种子，其中良种占1/6，今在其中任选6000粒，试问这些种子中，良种所占的比例与1/6之差小于1%的概率是多少？解：令为6000粒种子中含有良种数；由题意，这是D-L中心极限定理的应用，16、某单位内部有260架电话分机，每个分机有4%的时间要用外线通话，可以认为各个电话分机用不用外线是相互独立的，问总机要备多少条外线才能以95%的把握保证各个分机在用外线时不必等候. 解：令第个分机要用外线；令第个分机不要用外线则有如果260架分机同时要求使用外线的分机数为，显然有据题意要求确定最小数使得成立. 因为比较大，所以有其中. 查分布数值表，知道. 故取于是，将代入并计算得取最接近的整数.所以总机至少应备有16条外线，才能有95%以上的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.17、某药厂断言，该厂生产的某药品对医治一种疑难的血液病治愈率为0.8。

医院检验员任取100个服用此药的病人，如果其中多于75个治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。

（1）若实际上此药对这种病的治愈是0.8，问接受这一断言的概率是多少？（2）若实际上此药对这种病的治愈率是0.7，问接受这一断言的概率是多少？解引入随机变量表示抽查的100个人中被治愈的人数，则（1）实际治愈率为0.8时，接受这一断言的概率为0.8944。

（2）实际治愈率为0.7时，接受这一断言的概率为0.1379。

18问在950环的概率是多少？解设随机变量－第次射击得到的环数，，100次射击的总环数则19、某车间有200台车床独立地工作着，开工率各为0.6，开工时耗电各为1000瓦，问供电所至少要给该车间多少电力，才能使99.9％的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？解设任一时刻工作着的机床数为，则服从参数为，的二项分布，该时刻的耗电量为千瓦，如果用表示供电所给该车间的最少电力，则此题所求即为：取何值时，有于是，此值的后项近似为零，因此查表得解得即只要给该车间141千瓦的电力，就能以99.9％的概率保证该车间不会因电力不足而影响生产。

20、某计算机系统有120个终端，每个终端有5％的时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，试求有10个或更多终端在使用的概率。

解设－表示在某时刻使用的终端数，则即服从参数的二项分布。

思考题：1.已知一本300页的书中每页印刷错误的个数服从泊松分布P(0,2),求这本书印刷错误总数不多于70的概率.泊松分布 E(ξ)=D(ξ)=λ，于是：E(ξ)=D(ξ)=22. 100台车床彼此独立地工作着,每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%.求:(1) 任一时刻有70至86台车床在工作的概率;(2)任一时刻有80台以上车床在工作的概率.淘宝西邦考研 QQ:3658487613.某单位设置一台电话总机,共有200个分机.设每个分机有5%的时间要使用外线通话,并且各个分机使用外线与否是相互独立的.该单位需要多少外线才能保证每个分机要用外线时可供使用的概率达到0.9?4.抽样检查产品质量时,如果发现次品多于10个,则认为这批产品不能接受.应该检查多少个产品,可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9?思考题一：某军事大国的国际战略构想，认为本国应具备同时打3场国际战争的军事机器。

若每年内该国与其他国家开战的概率为1%，按全世界500万人口以上的国家112个（2003年统计数据）计，该国在每年内同时打3场战争的概率是多少？如果按具有一定军事对抗实力的国家60个计，该国在每年内同时打3场战争的概率又是多少？思考题二：假定考虑建设一个国际突发性应急事件救济系统（由人员、设施、设备、器材、物品、药品等组成），假设该系统一年中能够同时救济N个国家，全球（按180个国家、地区计），每个国家（地区）一年中发生突发性应急事件的概率是5%，而每个国家当发生这种事件时需要得到国际突发性应急事件救济系统救济的概率是50%，为了以99.99%的概率保证度使被援国家（地区）得到充分的救济，该国际救济系统的规模应设计为多大（即N值至少应为多大）？。