人教版初一数学下册平行线(定义,平行公理及定理)
《平行线》教案
张小红
【学习目标】
1.了解平行线的概念、平面内两条直线的相交和平行的两种位置关系，知道平行公理以及平行公理的推论.
2.会用符号语言表示平行公理推论，会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.
【学习重点】探索和掌握平行公理及其推论.
【学习难点】对平行线本质属性的理解，用几何语言描述图形的性质.
【学前准备】分别将木条a、b与木条c钉在一起，做成图示的教具.
一．【问题探索】
1.两条直线相交有几个交点？相交的两条直线有什么特殊的位置关系？
2.在平面内，两条直线除了相交外，还有别的位置关系吗？
3.把三根木条看成三条直线，观察三根木条之间的关系，有几种可能性？
4.自我演示.
顺时针转动木条a两圈，然后思考：把a、b想象成两端可以无限延伸的两条直线，顺时针转动a时，直线b与直线a的交点位置将发生什么变化？在这个过程中，有没有直线b与a不相交的位置？
5.同学交流并形成共识.
转动a时，直线b与c的交点从在直线a上A点向左边距离A点很
远的点逐步接近A点，并垂合于A点，然后交点变为在A点的右边，
逐步远离A点.继续转动下去，b与a的交点就会从A点的右边又转
动A点的左边……可以想象一定存在一个直线a的位置，它与直线a
左右两旁都如下图
二．【自主学习】---平行线定义、表示法
1.结合演示的结论，用自己的语言描述平行线的认识：
①平行线是同一的两条直线
②平行线是交点的两条直线
2．尝试用数学语言描述平行定义
特别注意：直线a与b是平行线，记作“”，这里“”是平行符号. b
c
b
a
a C 思考：如何确定两条直线的位置关系？
三．【合作探究】----画图、观察、探索平行公理及平行公理推论
1.在转动教具木条a 的过程中，有几个位置能使b 与a 平行？
2.用直线和三角尺画平行线.
已知：直线a ，点P ，过点P 画直线a 的平行线，能画几条？
3.观察画图、归纳平行公理及推论.
(1)对照垂线的第一性质说出画图所得的结论.平行公理：
(2)比较平行公理和垂线的第一条性质.
共同点：都是“ ”，这表明与已知直线平行或垂直的直线存在且是 的. 不同点：平行公理中所过的“一点”要在已知直线 ，两垂线性质中对“一
点”没有限制，可在直线 ，也可在直线 .
4.探索平行公理的推论.
(1)直观判定过B 点、C 点的a 的平行线b 、c 是互相 .
(2)从直线b 、c 产生的过程说明直线b ∥直线c .
(3)用三角尺与直尺用平推方法验证b ∥c.
(4)用数学语言表达这个结论
用符号语言表达为：如果 那么
(5)简单应用. 将一张长方形纸片对折两次，得到三条折痕，这三条折痕有什么关系，请说明理由.
尝试总结画平行线的步骤，猜想结论。
步骤：一贴，二靠，三移，四画，五写。
结论：平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
注意：点在直线外与已知直线平行的直线有无数条。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
如图：AB ∥EF, CD ∥EF,直线AB 与CD 相交吗？为什么？
平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
（简单说成：平行于同一条直线的两直线平行。
）
符号语言：∵a ∥b,b ∥c ∴a ∥c
四．新知应用
1.在同一平面内，直线a 与b 满足下列条件
①、a 与b 没有公共点，则a 与b 的位置关系＿＿＿＿＿。
c b a
②、a与b有且只有一个公共点，则a与b的位置关系＿＿＿。
③、若AB∥CD且AB∥EF，则____∥_____,理由是_______________________
2、下列说法中正确的是（）
A、在同一平面内，两条直线的位置关系有相交、垂直、平行。
B、在同一平面内如果两条线段不相交，那么这两条线段平行。
C、在同一平面内，不相交的两条射线是平行线。
D、在同一平面内，不相交的两直线是平行线。
3.下列四个命题中，正确的个数是：（）
①在同一平面内，两条直线的位置关系只有平行和相交。
②过一点有且只有一条直线与已知直线平行。
③说两条射线或线段平行是指他们所在的直线平行。
④两条不相交的直线是平行线。
⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
A1个B2个C3个 D 4个
五．课堂检测
1、如下图，AD∥BC，在AB上取一点M，过M画MN∥BC交CD于N，并说明MN与AD的位置关系，为什么？
2.判断正错（正打“√”，错打“×”）
①.两条不相交的直线叫平行线.
②.在同一平面内的两条直线不平行就相交
③.一条直线的平行线有且只有一条
④.过一点,有且只有一条直线与这条直线平行
⑤.a,b,c是三条直线，如果a∥b且b∥c则a∥c
⑥.有且只有一个公共点的两直线是相交直线
4.下列说法中错误的个数是：（）
①一条直线的平行线只有一条
②过一点与已知直线平行的直线有且只有一条
③过直线外一点与这条已知直线平行的直线有且只有一条
A 、0
B 、1
C 、2 D、3 六．课堂小结：
D
C
B
1、平行线的定义：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
2、平行线的表示法:通常用符号“//”表示平行。
AB//CD或a//b
3、平行线的两条性质:
①平行公理：（唯一性）平面内，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
②推论：如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线也互相平行. （平行线的传递性）如果a//c,b//c;那么a//b
板书设计
5.2.1平行线
1.平行线的概念：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
2.平行线的表示：a∥b
3.探究同一平面内两条直线的位置关系问题：
在同一平面内，两直线的位置关系只有两种：相交和平行。
4.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
5.平行公理的推论：平行于同一条直线的两直线平行。
七．课后反思：。
七年级数学下《平行线及其判定》笔记
七年级数学下《平行线及其判定》笔记
一、平行线的定义
平行线是指在同一平面内，两条直线没有交点，或者说两条直线之间的距离处处相等。
二、平行线的判定定理
1.同位角相等：当两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，则这两条直线
平行。
2.内错角相等：当两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，则这两条直线
平行。
3.同旁内角互补：当两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补（即角度和
为180°），则这两条直线平行。
三、应用实例
1.交通标志：在公路上，车道线通常都是平行的，这些线可以帮助驾驶员判断车
辆是否在正确的车道上行驶。
2.建筑设计：在建筑设计中，为了确保建筑物的稳定性，通常会使用平行线来构
建平行的梁和柱子。
3.机械制造：在机械制造中，为了确保机器的精确度，常常需要使用平行线来检
测和调整机器的部件。
四、注意事项
1.平行线必须在同一平面内定义。
2.平行线的判定定理必须同时满足，不能只满足其中一条。
3.在实际应用中，要结合具体情境判断两条线是否平行。
五、练习与巩固
1.判断题：给出一些线段的图片，判断它们是否平行。
2.选择题：给出一些关于平行线的描述，选择正确的判定定理。
3.应用题：结合实际问题，例如计算平行线的距离、判断两条线是否平行等。
人教版七年级下册数学：平行线(定义、平行公理及推论)
平行线画法❸:如图,已知直线 a 和 a 外两点 B、C,分
别过这两点画 a 的平行线.
问题:根据作图可知,
直线b∥a, c∥a,那么直线
b 和直线 c 会不会平行呢?
答：b∥c .
C B
D
c b d a
平行公理的推论 如果两条直线都与第三条直线平行,那
4. 下列各图中, AB∥CD, 先分别过点 E 画直线EF∥AB, 然后 判断EF会不会平行于CD. 并说明理由.
C E
D
A
B
F
E
A
B
图1
C
D
图2
答：EF∥CD
∵ EF∥AB, CD∥AB,
∴ EF∥CD .
本节课你学到了什么？有什么收获和体会？ 还有什么困惑？
问题 为什么当直线 b∥a, c∥a 时, 直线 b 和直线 c 也 会平行?
C
c
D
B
b
a
分析 如果直线b 和直线 c 不平行，那它们就要相交，
假设它们的交点是D，那么直线CD、BD都和直线 a平行，
但过一点只能有一条直线和直线 a 平行， 所以直线b 和直线 c 不可能相交， 既然直线b 和直线 c 不相交，就只平行线
平行公理 经过直线外一点,有且只有一条直线与这 条直线平行.
平行线画法❸:如图,已知直线 a 和 a 外两点 B、C,分
别过这两点画 a 的平行线.
问题:根据作图可知,
直线b∥a, c∥a,那么直线
b 和直线 c 会不会平行呢?
答：b∥c .
C
c
B
b
a
平行公理的推论 如果两条直线都与第三条直线平行,那 么这两条直线也互相平行.
新人教版七年级数学下册平行线及判定
③过一点可以而且只可以画一条直线与已知直线
平行。
(╳)
D 2、用符号“∥”表示图中平行四
C
边形的两组对边分别平行。
AB∥ CD，AD∥ BC。 A
B
巩固练习
下列说法正确的是（ D ）
A、在同一平面内，两条直线的位置关系有相交， 垂直，平行三种。
B、在同一平面内，不垂直的两直线必平行。 C、在同一平面内，不平行的两直线必垂直。 D、在同一平面内，不相交的两直线一定不垂直。
5.2 平行线及其判定 5.2.2 平行线的判定
平行线的画法
一放 二靠 三移 四画
从画图过程，三角板起到什么作用？
要判断直线a //b，你有办法了吗?
平行线的判定定理1: 两条直线被第三条直线所截， 如果同位角相等，那么两直线 平行。简单地说： 同位角相等，两直线平行。 如图： ∵ ∠1=∠2（已知）
C
相交的两
Hale Waihona Puke 条直线。 abB
直线AB平行
AB D
CD 于直线CD
a b 直线a平行
于直线b
平面内的两条直线除平行 外还有什么位置关系？
同一平面内的两条不重 合的直线的位置关系只有两种：
相交或平行
课内练习
1、判断下列说法是否正确，并说明理由。
①不相交的两条直线是平行线。
(╳)
②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线。(╳)
E
A
B
4
C
7
D
F
两条直线被第三条直线所截， 如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.
简单地说:同旁内角互补,两直线平行.
判定两条直线平行的方法
文字叙述
符号语言
5-2-2平行线的判定-七年级下册人教版数学课件
课堂练习
1.如图5.2-35，己知∠1=145°，∠2=145°，则AB∥CD，依据是 _同___位__角__相__等___，__两__直__线___平__行___.
图5.2-35
课堂练习
2.如图5.2-36 是一条街道的两个拐角,∠ABC与∠BCD均为140°,则 街道AB与CD的关系是_________，这是因___________________.
中考在线 考点：平行线的判定
【例1】如图5.2-27,下列说法错误的是（ C ）.
A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．若∠1=∠2，则a∥c
C．若∠3=∠2，则b∥c
D．若∠3+∠5=180°，则a∥c
知识梳理
图5.2-27
【解析】根据平行线的判定进行判断：A.若a∥b，b∥c，则a∥c，利用了 平行公理，正确；B.若∠1=∠2，则a∥c，利用了内错角相等，两直线平行， 正确；C.∠3=∠2，不能判断b∥c，错误；D.若∠3+∠5=180°，则a∥c，利 用同旁内角互补，两直线平行，正确；故选C．
【答案】证明：∵AB⊥BC，BC⊥CD， ∴∠ABC=∠DCB=90°，∵∠1=∠2， ∴∠ABC-∠1=∠DCB-∠2， ∴∠CBE=∠BCF，∴BE∥CF．
图5.2-51
课后习题
9.如图5.2-52所示，已知∠1=50°，∠2=65°，CD平分∠ECF，则 CD∥FG．请说明理由.
图5.2-52
第5章 相交线与平行线
5.2.2 平行线的判定
教学新知
方法1：平行线的定义. 方法2：两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行. 方法3：同位角相等，两直线平行. 方法4：内错角角相等，两直线平行. 方法5：同旁内角互补，两直线平行.
七年级-人教版-数学-下册-第2课时--平行线的判定
观察下面的动图，进一步理解“同位角相等，两直线平行”．
思考
两条直线被第三条直线所截，同时得到同位角、内错角和同旁
内角．由同位角相等，可以判定两条直线平行，那么能否利用内错
角，或同旁内角来判定两条直线平行呢？
如图，如果∠2＝∠3，能得出 a∥b 吗？
c1
因为∠2＝∠3，而∠3＝∠1（对顶角相等）， 3 4
第2课时 平行线的判定
1．平行线：在_同__一__平__面__内，_不__相__交__的两条直线叫做平行线． 2．平行公理：经过直线__外___一点，_有__且__只__有__一条直线与这条 直线_平__行__． 3．平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线_平__行__，那么 这两条直线也_互__相__平__行__． 也就是说：如果 b∥a，c∥a，那么 b_∥__c．
A
B
直线 AB，CD 被直线 EF 截得的同位
G2
角．这说明，如果同位角相等，那么
F
AB∥CD．
归纳
判定方法 1
文字语言：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，
那么这两条直线平行．
简单说成：同位角相等，两直线平行．
符号语言：因为∠1＝∠2，
c1 a
所以 a∥b．
2
b
观察下面的动图，进一步理解“同位角相等，两直线平行”．
方法 3：添加∠EBD＋∠BDF＝180°．
方法 4：添加 EB⊥MN，FD⊥MN．
M
EC 1
B
F 2
DN
同位角相等，两直线平行
平行线的判定
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
a
所以∠1＝∠2，即同位角相等，从而 a∥b．
第3课时平行线及其性质七年级数学下册考点知识清单+例题讲解+课后练习(人教版)(原卷版)
第3课时——平行线及其性质（答案卷）知识点一：平行线：1.平行线的定义：在同一平面内，的两条直线叫做平行线。
若直线a平行于直线b，则记作，读作。
注意：一定要在同一平面内。
且一定要时直线。
2.平行线的画法：过直线外一点画直线与已知直线平行的具体步骤：①将直角三角板的一条直角边与已知直线重合。
②将直尺与三角尺的另一直角边紧靠在一起。
③固定直尺不变，平移三角尺，使三角尺原来与已知直线重合的直角边与已知点重合。
④沿着三角尺该直角边画直线。
【类型一：确定平行线】1．在同一个平面内，不重合的两条直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．平行或相交D．无法确定2．在长方体中，对任意一条棱，与它平行的棱共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条3．观察如图所示的长方体，与棱AB平行的棱有几条（）A．4B．3C．2D．1【类型二：作图】4．如图所示，在∠AOB内有一点P．（1）过P画l1∥OA；（2）过P画l2∥OB；（3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？5．在下面的方格纸中经过点C 画与线段AB 互相平行的直线l 1，再经过点B 画一条与线段AB 垂直的直线l 2．知识点二：平行公理及其推论：1. 平行公理：经过直线外一点， 条直线与这条直线平行。
有且只有：存在且唯一。
2. 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
即若c b b a ∥，∥， 则a c 。
3. 垂直于同一直线的两直线平行：若c a b a ⊥⊥，，则b c 。
【类型一：对平行公理及其推论的判断理解】6．下列说法正确的是（ ）A ．垂直于同一条直线的两直线互相垂直B ．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行C ．如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等D ．从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离7．下列说法正确的是（ ）A ．a 、b 、c 是直线，若a ⊥b ，b ∥c ，则a ∥cB ．a 、b 、c 是直线，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥cC ．a 、b 、c 是直线，若a ∥b ，b ⊥c ，则a ∥cD ．a 、b 、c 是直线，若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c8．同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则c、d的位置关系为（）A．互相垂直B．互相平行C．相交D．没有确定关系9．下列说法中，正确的个数为（）（1）过一点有无数条直线与已知直线平行（2）如果a∥b，a∥c，那么b∥c（3）如果两线段不相交，那么它们就平行（4）如果两直线不相交，那么它们就平行A．1个B．2个C．3个D．4个10．下列说法不正确的是（）A．过马路的斑马线是平行线B．100米跑道的跑道线是平行线C．若a∥b，b∥d，则a⊥dD．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行知识点三：平行线的性质：1.两直线平行，同位角相等：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
人教版七年级数学课件《平行线》
两端可以无限延伸的三条直线.转动直线a，想象一下，在这个过
程中，有没有直线a与直线b不相交的位置呢？
平行线定义：
在同一个平面内，不相交的两条直线叫
做平行线．
(在同一平面内，不重合的两条直线只有
两种位置关系：相交和平行.)
知识精讲
人教版数学七年级下册
平行线在生活中是很常见的，你能在下面的图片中找出平行线吗？
A．3个
B．2个
②若与相交，与相交，则与相交；
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
C．1个
D．0个
【分析】根据平行线公理及推论可知，①正确；
若与相交，与相交，则与可能相交或平行，②错误；
对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，③错误；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，④错误．
情景引入
人教版数学七年级下册
你喜欢滑雪运动吗？早在5000年前，人们就把滑雪作为雪上
旅行的一种方式，今天滑雪在许多国家和地区都是一项十分普及
的运动.
你知道滑雪运动最关键是什么吗？
滑雪运动最关键是要保持两只雪橇板
的平行!
知识精讲
人教版数学七年级下册
如图，分别将木条a、b与木条c钉在一起，并把它们想象成
人教版数学七年级下册
第五章第2节—
PEOPLE
EDUCATION
学校：XXXX
VERSION
OF
老师：XXXX
THE
平行线
SEVEN
GRADE
MATH
VOLUME
学习目标
1.理解平行线的定义；
2.掌握平行线的画法及平行公理及其推论.（重
点、难点）
人教版数学七年级下册
平行线(定义、平行公理及推论)-人教版七年级数学下册教案
平行线（定义、平行公理及推论）一、定义本文将以人教版七年级数学下册为基础，介绍平行线的定义、平行公理及推论。
在几何学中，平行线是指在同一平面内，永远不会相交的两条直线。
这两条直线被称为平行线。
二、平行公理平行公理是欧几里得几何学中的五大公理之一，也被称为第五公理或者平行公设。
平行公理有多种表述方式，本文采用较为经典的一种表述方式：给定一条直线和一点，可以且只可以在这个平面内，过这个点作与所给直线垂直的直线。
这个公理表达的意思是：如果一条直线L和一点P在同一个平面内，那么可以通过在P点作一条与L线垂直的线，最终得到与L线永远不相交的直线。
这条与L线平行的直线被称为L线的平行线。
三、推论平行公理的一个重要推论是：给定一线段和一个不在这线段上的点，则可以且只可以有一条直线过这个点且与线段平行。
这个推论表达的意思是：如果给定一条线段AB和一个点C（不在AB线段上），那么只能存在一条通过点C且与线段AB平行的直线。
在这个推论中，AB线段被称为给定线段，C点被称为不在线段上的点。
在欧氏几何学中，这个推论又被称作“唯一直线公设”，因为它表达了只能存在一条直线通过点C且与线段平行的事实。
另一个重要的平行线推论是：两条平行线与第三条直线相交，那么对这些相交的线上的对应角相等。
这个推论被称为平行线的性质，并且常被大家用来解决许多几何问题。
另外，还有一个重要结论，即“如果两条直线与第三条直线的相应角相等，则这两条线平行”。
这个结论有时被称为“等角推平行定理”，它是几何中常用的用于证明两条直线平行的方法之一。
总结本文介绍了平行线的定义、平行公理及推论。
平行线是在同一平面内永远不会相交的两条直线。
平行公理表述在同一平面内任意一条直线和一点，可以且只可以作一条经过这个点且与这条直线垂直的直线。
平行公理的一个重要推论是“给定一线段和一个不在这线段上的点，则只有唯一一条直线过这个点且与这条线段平行”。
此外，两条平行线与第三条直线相交，那么对这些相交的线上的对应角相等，这条性质十分重要。
人教版初一数学下册平行线(定义,平行公理及判定)
特别注意：直线a 与b 是平行线，记作“ ”，这里“ ”是平行符号【学习目标】1. 了解平行线的概念、平面内两条直线的相交和平行的两种位置关系，知道平行公理以及平行公理的推论. 2. 会用符号语言表示平行公理推论，会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.【学习重点】探索和掌握平行公理及其推论【学习难点】对平行线本质属性的理解，用几何语言描述图形的性质【学前准备】分别将木条a 、b 与木条c 钉在一起，做成图示的教具一•【问题探索】1. 两条直线相交有几个交点？相交的两条直线有什么特殊的位置关系？2. 在平面内，两条直线除了相交外，还有别的位置关系吗？3. 把三根木条看成三条直线，观察三根木条之间的关系，有几种可能性?4. 自我演示.顺时针转动木条a 两圈，然后思考：把a 、b 想象成两端可以无限延伸的两条直 线，顺时针转动a 时，直线b 与直线a 的交点位置将发生什么变化？在这个过程 中，有没有直线b 与a 不相交的位置？ 5. 同学交流并形成共识.转动a 时，直线b 与c 的交点从在直线a 上A 点向左边距离A 点很 远的点逐步接近A 点，并垂合于A 点，然后交点变为在A 点的右边， 逐步远离A 点.继续转动下去，b 与a 的交点就会从A 点的右边又转 动A 点的左边……可以想象一定存在一个直线 a 的位置，它与直线a左右两旁都 _______ 如下图二•【自主学习】---平行线定义、表示法 1. 结合演示的结论，用自己的语言描述平行线的认识：① 平行线是同一 ________ 的两条直线② 平行线是 _______ 交点的两条直线2. 尝试用数学语言描述平行定义 _____________________________________________________ 《平行线》教案 张小红bc a b思考：如何确定两条直线的位置关系?三•【合作探究】----画图、观察、探索平行公理及平行公理推论1. 在转动教具木条a 的过程中，有几个位置能使b 与a 平行?2. 用直线和三角尺画平行线.已知：直线a ,点P,过点P 画直线a 的平行线，能画几条? 3. 观察画图、归纳平行公理及推论.(1) 对照垂线的第一性质说出画图所得的结论.平行公理：_(2) 比较平行公理和垂线的第一条性质 共同点：都是这表明与已知直线平行或垂直的直线存在且是 _________________________ 的. 点”没有限制，可在直线 __________ ，也可在直线 ——4. 探索平行公理的推论.⑴ 直观判定过B 点、C 点的a 的平行线b 、c 是互相 __(2) 从直线b 、c 产生的过程说明直线b //直线c.(3) 用三角尺与直尺用平推方法验证 b // c.(4) _______________________________________________ 用数学语言表达这个结论 ____________________________________________________________用符号语言表达为：如果 _________________ 那么 __________________(5) 简单应用.将一张长方形纸片对折两次，得到三条折痕，这三条折痕有什么关系，请说明理由 尝试总结画平行线的步骤，猜想结论。
人教版七年级下册数学《平行线及其判定》期末复习讲义(含知识点和习题)
第五章《相交线与平行线》期末复习讲义5.2平行线及其判定【知识回顾】一．平行线1.定义：在同一平面内，__________的两条直线叫做平行线2.要点剖析（1）：平行线的特征：在同一平面内；是直线；没有公共点。
（2）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交和平行两种，重合的直线视为一条直线。
（3）平行线是指的两条直线的位置关系，两条射线或线段平行，是指的它们所在的直线平行。
二．平行线的画法1.“一落”把三角尺的一边落在已知直线上2.“二靠”用直尺紧靠三角尺的另一边3.“三推”把三角尺沿着直尺推到三角尺的一边刚好过已知点的位置4.“四画”沿三角尺过已知点的边画直线三．平行公理及其推论1.平行公理：经过直线外一点，_________一条直线与这条直线平行2.平行公理的推论：如果两条直线都与_________直线平行，那么这两条直线也互相平行四．平行线的判定1.同位角相等，两直线_________2.内错角相等，两直线_________3.同旁内角互补，两直线___________4.在同一平面内，垂直于_______________的两条直线互相平行题型拓展题型1 平行公理及其推论的应用例1：1．如图，取一张长方形的硬纸板ABCD，将硬纸板ABCD对折使CD与AB重合，EF 为折痕．把长方形ABEF平放在桌面上，另一个面CDEF无论怎么改变位置，总有CD∥AB存在，你知道为什么吗？例2：2．如图，取一张长方形的硬纸片ABCD对折，MN是折痕，把ABNM平摊在桌面上，另一个面CDMN不论怎样改变位置，总有MN∥∥．因此∥．题型2 综合运用各种判定方法判定两条直线平行例1：3．如图，∠1＝47°，∠2＝133°，∠D＝47°，那么BC与DE平行吗？AB与CD呢？为什么？例2：4．阅读下面的推理过程，在括号内填上推理的依据，如图：因为∠1+∠2＝180°，∠2+∠4＝180°（已知）所以∠1＝∠4，（）所以a∥c．（）又因为∠2+∠3＝180°（已知）∠3＝∠6（）所以∠2+∠6＝180°，（）所以a∥b．（）所以b∥c．（）题型3 平行线判定的开放探究题例1：5．如图，∠A＝60°，∠1＝60°，∠2＝120°，猜想图中哪些直线平行，并证明．例2：6．如图，直线a，b被c所截，∠1＝50°，若要a∥b，则需增加条件（填图中某角的度数）；依据是．题型4 平行线的判定在实际生活中的应用例1：7．如图所示，给你两块同样的三角板和一根直尺（直尺比桌子长），请你设计一个方案，检验桌子的相对边缘线是否平行？例2：8．在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道∠2是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，就可以判断两条直线是否平行？为什么？课后提高训练9．下列说法错误的是（）A．平行于同一条直线的两直线平行B．两直线平行，同旁内角互补C．对顶角相等D．同位角相等10．如图，下面哪个条件不能判断AC∥EF的是（）A．∠1＝∠2B．∠4＝∠C C．∠1+∠3＝180°D．∠3+∠C＝180°11．如图，平面内有五条直线l1、l2、l3、l4、l5，根据所标角度，下列说法正确的是（）A．l1∥l2B．l2∥l3C．l1∥l3D．l4∥l512．如图，在下列条件中，能判断AB∥CD的是（）A．∠1＝∠4B．∠BAD＝∠BCDC．∠BAD+∠ADC＝180°D．∠2＝∠313．如图所示，下列推理正确的是（）A．∵∠1＝∠4（已知）∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）B．∵∠2＝∠3（已知）∴AE∥DF（内错角相等，两直线平行）C．∵∠1＝∠3（已知）∴AB∥DF（内错角相等，两直线平行）D．∵∠2＝∠2（已知）∴AE∥DC（内错角相等，两直线平行）14．下列说法中正确的个数为（）①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直②两条直线被第三条直线所截，同位角相等③经过两点有一条直线，并且只有一条直线④在同一平面内，不重合的两条直线不是平行就是相交A．1个B．2个C．3个D．4个15．如图，下列能判定AB∥CD的条件有（填序号）①∠B+∠BCD＝180°；②∠2＝∠3；③∠1＝∠4；④∠B＝∠5；⑤∠D＝∠5．16．如图，要使BE∥DF，需补充一个条件，你认为这个条件应该是（填一个条件即可）．17．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点C、D重合，若固三角板定ABC，改变三角板AED的位置（其中A点位置始终不变），当∠CAD＝时，ED∥AC．18．如图，直线a、b被直线c所截，现给出的下列四个条件：①∠4＝∠7；②∠2＝∠5；③∠2+∠3＝180°；④∠2＝∠7．其中能判定a∥b的条件的序号是．19．已知：∠A＝∠C＝120°，∠AEF＝∠CEF＝60°，求证：AB∥CD．20．如图，若∠1＝42°，∠2＝53°，∠3＝85°，则直线l1与l2平行吗？判断并说明理由．21．如图，已知CD⊥AD于点D，DA⊥AB于点A，∠1＝∠2，试说明DF∥AE．解：因为CD⊥AD（已知），所以∠CDA＝90°（）．同理∠DAB＝90°．所以∠CDA＝∠DAB＝90°（）．即∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°．因为∠1＝∠2（已知），所以∠3＝∠4（）．所以DF∥AE（）．22．完成下列证明过程，并在括号内填上依据．如图，点E在AB上，点F在CD上，∠1＝∠2，∠B＝∠C，求证AB∥CD．证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠4（），∴∠2＝∠4（等量代换），∴（）．∴∠3＝∠C（）．又∵∠B＝∠C（已知），∴∠3＝∠B（等量代换），∴AB∥CD（）．参考答案与解析1.解：∵四边形FECD是矩形，∴CD∥EF；又∵四边形ABEF是矩形，∴AB∥EF，∴CD∥AB．2.解：∵长方形的硬纸片ABCD对折，MN是折痕，∴MN∥AB，MN∥CD，即MN∥AB∥CD，∴AB∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）．故各空依次填AB、CD、AB、CD．3.解：BC∥DE，AB∥CD．理由如下：∵∠1＝47°，∠2＝133°，而∠ABC＝∠1＝47°，∴∠ABC+∠2＝180°，∴AB∥CD；∵∠2＝133°，∴∠BCD＝180°﹣133°＝47°，而∠D＝47°，∴∠BCD＝∠D，∴BC∥DE．4.解：因为∠1+∠2＝180°，∠2+∠4＝180°（已知），所以∠1＝∠4，（同角的补角相等）所以a∥c．（内错角相等，两直线平行）又因为∠2+∠3＝180°（已知）∠3＝∠6（对顶角相等）所以∠2+∠6＝180°，（等量代换）所以a∥b．（同旁内角互补，两直线平行）所以b∥c．（平行于同一条直线的两条直线平行）．故答案为：同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；对顶角相等；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行．5.解：如图，∵∠A＝60°，∠1＝60°，∴∠A＝∠1，∴DE∥AC．又∵∠A＝60°，∠2＝120°，∴∠A+∠2＝180°，∴EF∥AB．6.解：∵∠3＝50°，1＝50°，∴∠1＝∠3，∴a∥b（同位角相等，两直线平行）．故答案为：∠3＝50°；同位角相等；两直线平行．7.解：（1）将直尺放在桌面上，使其与桌面一组对边相交；（2）将三角板一边贴近直尺，斜边贴近桌面边缘；（3）使另一个三角形同样方法放置，如果相符合说明对边平行，原理如图所示，若∠1＝∠2则a∥b，再检查另一组对边是否平行．8.解：①通过度量∠3的度数，若满足∠2+∠3＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行，就可以验证这个结论；②通过度量∠4的度数，若满足∠2＝∠4，根据同位角相等，两直线平行，就可以验证这个结论；③通过度量∠5的度数，若满足∠2＝∠5，根据内错角相等，两直线平行，就可以验证这个结论．9. D10.C11.D12.C13.B14.B15.解：选项①中∵∠B+∠BCD＝180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），所以正确；选项②中，∵∠2＝∠3，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），所以错误；选项③中，∵∠1＝∠4，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），所以正确；选项④中，∵∠B＝∠5，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），所以正确；选项⑤中，∠D＝∠5，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），所以错误；故答案为：①③④．16.解：添加条件为：∠D＝∠COE．理由如下：∵∠D＝∠COE，∴BE∥DE（同位角相等，两直线平行）．故答案为：∠D＝∠COE（答案不唯一）．17.解：如图所示：当ED∥AC时，∠CAD＝∠D＝30°；如图所示，当ED∥AC时，∠E＝∠EAC＝60°，∴∠CAD＝60°+90°＝150°；故答案为：30°或150°．18.解：当∠4＝∠7时，a∥b，故①正确；当∠2＝∠5时，无法证明a∥b，故②错误；当∠2+∠3＝180°时，无法证明a∥b，故③错误；当∠2＝∠7时，a∥b，故④正确；故答案为：①④．19.证明：∵∠A＝∠C＝120°，∠AEF＝∠CEF＝60°，∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，∴AB∥EF，CD∥EF，∴AB∥CD．20.解：直线l1与l2平行，理由：∵∠1＝∠4，∠2＝∠5，∠1＝42°，∠2＝53°，∴∠4＝42°，∠5＝53°，又∵∠3＝85°，∴∠3+∠5＝85°+53°＝138°，∴∠3+∠5+∠4＝138°+42°＝180°，∴l1∥l2（同旁内角互补，两直线平行）．21.解：因为CD⊥AD（已知），所以∠CDA＝90°（垂直的定义），同理∠DAB＝90°．所以∠CDA＝∠DAB＝90°（等量代换），即∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°．因为∠1＝∠2（已知），所以∠3＝∠4（等式的性质1），所以DF∥AE（内错角相等，两直线平行）．22.证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠4（对顶角相等），∴∠2＝∠4（等量代换），∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行）．∴∠3＝∠C（两直线平行，同位角相等）．又∵∠B＝∠C（已知），∴∠3＝∠B（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．故答案为：对顶角相等；CE∥BF；同位角相等，两直线平行；C；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行．。