第 2 章 二阶张量
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第二章_2张量知识要点
( A B ) A B 、结合律 ( ) A ( A) 。
(二)缩并 在张量的并矢记法中，对某两个基矢量进行点积，则原 张量降低两阶成为一个新的张量。如 A Aijkl ei e j ek el ，对 指标 j 和 l 缩并(即对 e j 和 e l 进行点积)后得
f df f du i du df e i du j e j du u i u i
(2.54)
称为 f 对 u 的导数，是一个矢量。
3.矢量的矢量函数 其微分为
设矢量 u ui ei 是矢量 v vi ei 的函数， 则
u i u i du dv dv j e i du e i e j vk e k dv v j v j
(2.3)
其中 ij 称为 Kronecker delta 符号。 矢量 a 和 b 的点积可用分量表示成
a b ai ei b j e j ai b j ei e j ai b j ij ai bi
(2.4)
矢量 a 的模(大小)为 a a a a a i a i 。
(2.56b)
其分量记法为
dui
ui dv j v j
(2.56a)
4.二阶张量的标量函数
f
设标量 f 是二阶张量 Tij 的函数。 若
对 Tij 的偏导数连续，则
f df f : dT e i e j : dTkl e k e l dTij df dT Tij Tij
使得
S a a
§2.5
即
(S I ) a 0
(2.44a)
第 2 章 二阶张量
第 2 章 二阶张量
研究定义在一个固定点（张量的元素是实常数， gi 也是常数）上的二阶张量随坐标系转动的
不同形式，不涉及与另一个张量的关系，也不涉及张量运动。
2.1 二阶张量的元素
T = Tij g i g j = Ti• j g i g j = T•ii gi g j = T ij gi g j
k n
(2) T 的不变量由无限多个（不变量的组合仍是不变量），通常关心的有两组：
主不变量（ T 特征多项式的三个系数）
2
η1 = T•11 + T•22 + T•33 = G : T = T•mm = GmnT mn = GmnTmn = Tm•m
( )( ) η2
=
T•11 T•21
T•12 T•22
、 Ni• j
=
N•ji
，
（而一般： N•i j
≠
N
j •i
、
N
• i
j
≠
N •i j
在相同的，混变分量的转置 ≠ 系数矩阵的转置）
N ⋅u=u⋅N
(4) 反对称张量 Ω = −ΩT
性质： Ωij
=
−Ω 、 Ω ij ji
=
−Ω
ji
Ω 、 i •j
=
Ω − Ω 、 •i
•j
j
i
=
−Ω•ij ，
（而一般：
+ T•22 T•32
T•23 T•33
+ T•11 T•31
T•13 T•33
=
1 2
⎣⎡
G :T
G :T − T ⋅⋅T ⎦⎤
=
1 2
⎡⎣T•mmT•nn
− T•pqT•qp ⎤⎦
研究定义在一个固定点（张量的元素是实常数， gi 也是常数）上的二阶张量随坐标系转动的
不同形式，不涉及与另一个张量的关系，也不涉及张量运动。
2.1 二阶张量的元素
T = Tij g i g j = Ti• j g i g j = T•ii gi g j = T ij gi g j
k n
(2) T 的不变量由无限多个（不变量的组合仍是不变量），通常关心的有两组：
主不变量（ T 特征多项式的三个系数）
2
η1 = T•11 + T•22 + T•33 = G : T = T•mm = GmnT mn = GmnTmn = Tm•m
( )( ) η2
=
T•11 T•21
T•12 T•22
、 Ni• j
=
N•ji
，
（而一般： N•i j
≠
N
j •i
、
N
• i
j
≠
N •i j
在相同的，混变分量的转置 ≠ 系数矩阵的转置）
N ⋅u=u⋅N
(4) 反对称张量 Ω = −ΩT
性质： Ωij
=
−Ω 、 Ω ij ji
=
−Ω
ji
Ω 、 i •j
=
Ω − Ω 、 •i
•j
j
i
=
−Ω•ij ，
（而一般：
+ T•22 T•32
T•23 T•33
+ T•11 T•31
T•13 T•33
=
1 2
⎣⎡
G :T
G :T − T ⋅⋅T ⎦⎤
=
1 2
⎡⎣T•mmT•nn
− T•pqT•qp ⎤⎦
二阶张量与四阶张量双点积的结果
二阶张量与四阶张量双点积的结果二阶张量与四阶张量双点积的结果导语：在数学和物理学中，张量是一种用于描述物理量或几何概念的数学工具。
而二阶张量和四阶张量则是最常见的两种形式。
本文将探讨二阶张量与四阶张量之间的双点积运算，以及该运算的结果。
一、什么是二阶张量和四阶张量1. 二阶张量：二阶张量是一种具有两个索引的张量。
它的表达式通常为 Tij，其中i和j是两个索引的取值范围。
二阶张量可以表示为一个二维矩阵，其中每个元素代表了对应位置上的物理量或几何概念的值。
应力张量、应变张量和惯性张量都是二阶张量的实例。
2. 四阶张量：四阶张量是一种具有四个索引的张量。
它的表达式通常为Tijkl，其中i、j、k和l是四个索引的取值范围。
四阶张量可以表示为一个四维矩阵，其中每个元素代表了对应位置上的物理量或几何概念的值。
弹性张量、扭转刚度张量和应力-应变敏感度张量都是四阶张量的实例。
二、二阶张量与四阶张量双点积的定义1. 双点积的定义：双点积是一种张量之间的运算，用于将两个张量相互作用。
对于二阶张量与四阶张量的双点积，其定义如下：Bijkl = Aijmn * Cmnkl其中，Bijkl、Aijmn和Cmnkl分别表示双点积的结果、二阶张量和四阶张量的元素。
2. 双点积的运算规则：二阶张量与四阶张量的双点积运算规则如下：- 对于二阶张量Aijmn的第i和j索引与四阶张量Cmnkl的第m和n 索引，进行求和运算。
- 将运算结果放入双点积的结果张量Bijkl的第i和j索引。
- 对于二阶张量Aijmn的第m和n索引与四阶张量Cmnkl的第k和l 索引，进行求和运算。
- 将运算结果放入双点积的结果张量Bijkl的第k和l索引。
三、二阶张量与四阶张量双点积的结果二阶张量与四阶张量的双点积的结果是一个四阶张量。
它的表达式为Bijkl，其中i、j、k和l是四个索引的取值范围。
该四阶张量的元素代表了二阶张量和四阶张量相互作用后得到的物理量或几何概念的值。
二阶张量主不变量的推导
二阶张量主不变量的推导二阶张量主不变量是描述二阶张量的一个重要指标，它可以帮助我们了解张量的性质和特征。
在本文中，我们将推导二阶张量主不变量的计算公式，并解释其物理意义。
我们回顾一下二阶张量的定义。
二阶张量是一个具有两个下标的矩阵，可以表示为一个2x2的矩阵。
在三维空间中，二阶张量可以表示为一个对称矩阵，其中的元素表示了不同方向上的物理量的关系。
为了推导二阶张量主不变量的计算公式，我们先考虑二阶张量的特征值和特征向量。
特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念，它们可以帮助我们了解矩阵的性质。
对于一个二阶张量T，我们可以通过解特征值问题来求得其特征值和特征向量。
特征值问题可以表示为以下形式：T·v = λ·v其中，T表示二阶张量，v表示特征向量，λ表示特征值。
我们可以将特征值问题转化为一个线性方程组来求解。
假设特征向量v为非零向量，我们可以得到以下方程组：(T - λ·I)·v = 0其中，I表示单位矩阵。
由于v非零，所以方程组有非零解的条件是矩阵(T - λ·I)的行列式为0。
计算矩阵(T - λ·I)的行列式，我们可以得到一个关于特征值λ的二次方程，形式如下：det(T - λ·I) = 0将行列式展开并进行计算，我们可以得到一个关于特征值λ的二次方程。
通过求解这个二次方程，我们可以得到二阶张量的两个特征值。
特征值表示了二阶张量在特征向量方向上的伸缩比例。
通过计算特征值，我们可以得到二阶张量在不同方向上的伸缩程度。
二阶张量主不变量可以由特征值计算得到。
具体而言，二阶张量主不变量的计算公式如下：I1 = λ1 + λ2其中，I1表示二阶张量的主不变量，λ1和λ2表示二阶张量的特征值。
二阶张量主不变量的物理意义是描述了二阶张量在不同方向上的伸缩总和。
通过计算主不变量，我们可以了解二阶张量的整体伸缩情况。
总结起来，二阶张量主不变量是描述二阶张量的一个重要指标，它可以通过计算二阶张量的特征值得到。
第2章 张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有)
( Nij ij )a j 0 det( Nij ij ) 0
利用指标升降关系 a为非0矢量 利用主不变量
N ( ) 3 J1N 2 J 2 J3N 0
二阶张量的标准形: 张量最简单的形式
非对称二阶张量
•
请研究以下领域的同学关注。 1、应变梯度理论，偶应力理论 2、电流场，电磁流变（有旋场）
x
x
椭圆曲线的坐标变换
正交变换可使椭圆曲线的方程由以下一般形式
ax bxy cy d 0
任意二阶张量将一线性相关的矢量集映射为线性相 关的矢量集：
(i)u(i) 0
i 1
l
l l 0 T (i)u(i) (i)(T u(i)) i 1 i 1
正则与退化的二阶张量
•
3D空间中任意二阶张量T将任意矢量组u，v，w映射 为另一矢量组，满足：
N S
1 p
S S1e1e1 S2e2e2 S3e3e3
Si N i
1 p
几种特殊的二阶张量
正张量的对数
N N1e1e1 N2e2e2 N3e3e3
ln N ln N1 e1e1 ln N2 e2e2 ln N3 e3e3
Nij N ji Ni j Nij Nij N ji N ij N ji
N 1 NT 1
( ) , ( ) , ( ) ,
N T 1 N 2 N T 3 N 3 N T 2 N 4
NT 4
N T ( 4 )
反对称张量与其转置张量分量及二者所对应的矩阵
二阶张量的行列式
张量分析提纲及部分习题答案
y
对静止的连续介质，有
ζ n fd 0 ， ζd fd 0 ，
A
ζ f 0。
（21） 证明应力是一个张量； 记 ij ：表示在给定基 g i 下，在面 g j 上，单位面积受力 F j 在 g i 方向上的分量为
对斜圆锥面上任一点 （图中黑点处） ， 不难由相似三角形得到，
z z R cos C i R sin j zk ，进而可得， H H r Rz sin zR cos r R cos C R g i j， gz i sin j k ， H H z H H r
dx g dx I g dx II 1 4 x I 2 dx I 6 x I x II 2 dx II Pdx I Q dx II 11 12 1 1 I 。 2 4 dxII g 21dx I g 22 dx II 6 x I x II dx I 9 x II dx II P2 dx I Q2 dx II
Pi Qi 时，坐标 xI , xII 才可能存在。即向量场 P, Q 无旋时，其在两点间 x II x I Pi Qi 的路径积分与路径无关，积出的值就是坐标。本例中， II I ，故相应的“协 x x
当 变坐标”不存在。 （正因为如此，坐标也没有逆变、协变之说。 ） （9） 有点类似曲面第一基本型（1.3.12） 。 （10） Lame 常数定义（1.3.13）在非正交系中也成立，但此时（1.3.12a）不成立。
1.9-1.13：略； 1.14： 注意，所谓斜圆锥是指， O 点沿 z 方向在大圆平面上的投影 M 在大圆的直径上。
张量分析课件-2.3 二阶张量的不变量
3 J1 T 11 T 2 T 2 3
J2
T 11 T 12 T
2 1
T
2 2
2 T2 T 2 3
T
3 2
T
3 3
3 T3 T 3 1
T 13 T 11
T 11 T 12 T 13 2 2 J3 T 2 T T 1 2 3 3 3 3 T 1 T 2 T 3
张量分析 及连续介质力学
2.3 二阶张量的不变量
2.3.1 张量的标量不变量
对随坐标转换而变化的张量分量进行一定的运算，可 以得到一些不随坐标转换而变化的标量，这种标量称为张 量T 的标量不变量，简称为张量的不变量。
2.3.2
二阶张量的三个主不变量
J1 G : T liT li T ii
若u，v，w为任意线性无关的矢量，则
T u
T u
v w u T v w u v T w J1T u v w
T u v w T v w u T v T w T u v T w J 2
T u
T u v w T v T w J3
若T为正则二阶张量，则有Nanson 公式
T u T v J
T 3
T u v
T 1
2.3.3
二阶张量的矩
J 二阶张量T 的n 阶矩 n ，其中来自J trT T 1
i i
j J2 trT T T i jT i
j k J3 trT T T T i jT T k i
1 ij l m 1 i l i l J 2 lmT iT j T iT l T lT i 2 2
J2
T 11 T 12 T
2 1
T
2 2
2 T2 T 2 3
T
3 2
T
3 3
3 T3 T 3 1
T 13 T 11
T 11 T 12 T 13 2 2 J3 T 2 T T 1 2 3 3 3 3 T 1 T 2 T 3
张量分析 及连续介质力学
2.3 二阶张量的不变量
2.3.1 张量的标量不变量
对随坐标转换而变化的张量分量进行一定的运算，可 以得到一些不随坐标转换而变化的标量，这种标量称为张 量T 的标量不变量，简称为张量的不变量。
2.3.2
二阶张量的三个主不变量
J1 G : T liT li T ii
若u，v，w为任意线性无关的矢量，则
T u
T u
v w u T v w u v T w J1T u v w
T u v w T v w u T v T w T u v T w J 2
T u
T u v w T v T w J3
若T为正则二阶张量，则有Nanson 公式
T u T v J
T 3
T u v
T 1
2.3.3
二阶张量的矩
J 二阶张量T 的n 阶矩 n ，其中来自J trT T 1
i i
j J2 trT T T i jT i
j k J3 trT T T T i jT T k i
1 ij l m 1 i l i l J 2 lmT iT j T iT l T lT i 2 2
2.6二阶张量的分解
N =P+D
于是 其中
T = N + = P + D+ 1 T i 1 T i j j P = P j g i g = J 1 δ j g i g = J1 G 3 3 1 k P T N J1 = J1 = J1 = N k 3 1 N 2 1 N 3 P P J 2 = J1 J3 = J1 3 27
i3
1 (i1 + i2 + i3 ) n= 3
N 在八面体等斜面上作用的矢量分量： 在八面体等斜面上作用的矢量分量：
σ
i3' n i2' pn
1 (N1i1 + N 2 i2 + N 3i3 ) pn = N n = 3
pn 的法向分矢量： 的法向分矢量：
i1
i1'
ω τ
i2
1 1 N σ = ( N : nn )n = (N1 + N 2 + N 3 )n = J1 n 3 3
π J cos ω 3
D 2
π J cos ω + 3
D 2
2 D3 = 3
J 2D cosω
就可满足前述三式。 就可满足前述三式。利用其中第三式可证
cos3ω =
27 J 3D 2J
D 32 2
不失广泛性， 不失广泛性，可设 D1 ≥ D2 ≥ D3 ，因此必有 D1 ≥ 0, D3 ≤ 0, 从而
2
T T T = H T QT Q H = H 2 > O
后二式存在方根，且其方根也是正张量， 后二式存在方根，且其方根也是正张量，即
H = T T T > O
H1 = T T T > O
张量第二章
上述变换都是通过正变换系数 和逆变换系数 来实现的。若确定了变换系数，则可确定物理量在坐标变换中的变换规律。
【例】求直角坐标系和柱坐标的变换系数
直角坐标 与柱坐标 间的关系为
z=z
z=z
置 , , 及 , , 。则：
， ，
， ，
， ，
， ，
， ，
， ，
二、基矢量的变换
设旧坐标系中协变基矢和逆变基矢为 和 。
对直线坐标系，两者没有区别。对曲线坐标系，采用活动标架会带来极大方便。考查柱坐标，在A点安上协变基矢量构成的活动标架 ， 是相互正交的单位矢量。
过A点的某线元矢量 为
， ， 是 的逆变分量。若稍作变化，取坐标的微分为矢量 的逆变分量。前边的系数作为协变基矢量，即：
则：
四、任意坐标系
对任意坐标系，可把线元矢量表示成下述形式：
反变换存在的条件式变换函数在 取值范围内单值连续，存在一阶导数，而且Jacobian行列式
1、坐标微分的变换
由变换式和互变换式，有：
记
并称为变换系数， 称为逆变换系数， 为正变换系数。
2、梯度分量的变换
的分量是 ， ， 。现对任一坐标 ， ， 定义三个分量 ， ， ，考察其变换关系：
设
类似地，反变换为：
笛卡儿直角坐标系中， 和 是重合的，无须区分。
二、笛卡儿斜角坐标系
设三个不共面的单位向量 ， ， 构成斜角坐标系的协变基矢量。
pi为矢量 的逆变分量。此时，矢量的逆变分量并不等于矢量在坐标轴上的投影。若位移为 ，则功：
以二维为例，两轴夹角为
现在引入一个新的基矢量 ， , 逆变矢量
可知：
1、
2、逆变基矢量 不是单位向量。
取 ，
【例】求直角坐标系和柱坐标的变换系数
直角坐标 与柱坐标 间的关系为
z=z
z=z
置 , , 及 , , 。则：
， ，
， ，
， ，
， ，
， ，
， ，
二、基矢量的变换
设旧坐标系中协变基矢和逆变基矢为 和 。
对直线坐标系，两者没有区别。对曲线坐标系，采用活动标架会带来极大方便。考查柱坐标，在A点安上协变基矢量构成的活动标架 ， 是相互正交的单位矢量。
过A点的某线元矢量 为
， ， 是 的逆变分量。若稍作变化，取坐标的微分为矢量 的逆变分量。前边的系数作为协变基矢量，即：
则：
四、任意坐标系
对任意坐标系，可把线元矢量表示成下述形式：
反变换存在的条件式变换函数在 取值范围内单值连续，存在一阶导数，而且Jacobian行列式
1、坐标微分的变换
由变换式和互变换式，有：
记
并称为变换系数， 称为逆变换系数， 为正变换系数。
2、梯度分量的变换
的分量是 ， ， 。现对任一坐标 ， ， 定义三个分量 ， ， ，考察其变换关系：
设
类似地，反变换为：
笛卡儿直角坐标系中， 和 是重合的，无须区分。
二、笛卡儿斜角坐标系
设三个不共面的单位向量 ， ， 构成斜角坐标系的协变基矢量。
pi为矢量 的逆变分量。此时，矢量的逆变分量并不等于矢量在坐标轴上的投影。若位移为 ，则功：
以二维为例，两轴夹角为
现在引入一个新的基矢量 ， , 逆变矢量
可知：
1、
2、逆变基矢量 不是单位向量。
取 ，
连续介质力学第二章
T ip eie p
其中： T ip ekjp jTik
小 结：
哈密顿算子
梯度
i ei gradf f eii f
散度
diva a iai
旋度
curla a
2.2 Laplace算子
公式：
2 f f
展开后有：
原式 (i ei ) ( j f ej ) (i j f )ij
第二章 张量分析
2.1 基础知识
1 偏导数的记法
f
xi
i f
f,i
2 哈密顿算子
i ei
3 梯度
f gradf
标量的梯度：
标量函数：
f f (r)
则梯度为：
f gradf eii f 展开后有： 原式 1 f e1 2 f e2 3 f e3
f i f j f k x y z
a (P、Q、R)
根据Gauss定理有：
左边 (a1n1 a2n2 a3n3)dS S ainidS S
a ndS a d S
S
S
右边 (1a1 2a2 3a3)dV V
iaidV adV
V
V
a d S adV
S
V
2 Stokes定理
Pdx Qdy Rdz
ii f 11 f 22 f 33 f
2 f 2 f 2 f
x2 y2 z2
2.3 物质导数
若 f f (t, r(t))
则：Df f f r f f x f y f z
Dt t r t t x t y t z t
f
x
y
z
t (1 f ) t (2 f ) t (3 f ) t
S
(1a2 2a1)dl1dl2 ]
其中： T ip ekjp jTik
小 结：
哈密顿算子
梯度
i ei gradf f eii f
散度
diva a iai
旋度
curla a
2.2 Laplace算子
公式：
2 f f
展开后有：
原式 (i ei ) ( j f ej ) (i j f )ij
第二章 张量分析
2.1 基础知识
1 偏导数的记法
f
xi
i f
f,i
2 哈密顿算子
i ei
3 梯度
f gradf
标量的梯度：
标量函数：
f f (r)
则梯度为：
f gradf eii f 展开后有： 原式 1 f e1 2 f e2 3 f e3
f i f j f k x y z
a (P、Q、R)
根据Gauss定理有：
左边 (a1n1 a2n2 a3n3)dS S ainidS S
a ndS a d S
S
S
右边 (1a1 2a2 3a3)dV V
iaidV adV
V
V
a d S adV
S
V
2 Stokes定理
Pdx Qdy Rdz
ii f 11 f 22 f 33 f
2 f 2 f 2 f
x2 y2 z2
2.3 物质导数
若 f f (t, r(t))
则：Df f f r f f x f y f z
Dt t r t t x t y t z t
f
x
y
z
t (1 f ) t (2 f ) t (3 f ) t
S
(1a2 2a1)dl1dl2 ]
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a1 ⋅ N ⋅ a2 − a2 ⋅ N ⋅ a1 = (λ2 − λ1 )a1 ⋅ a2 = 0 ⇒ a1 ⋅ a2 = 0
2) 二重根时：如设 λ1 = λ2 ≠ λ3 a3 的方向是确定的，与 a3 垂直平面内的任意方向均是主方向。 ( a1 ⋅ a3 = 0 , a2 ⋅ a3 = 0 )
3) 三重根时： λ1 = λ2 = λ3
(2) 正则T 是单射的： u ≠ v ⇒ T ⋅ u ≠ T ⋅ v (3) 正则T 是满射的： ∀u 所作的线性变换T ⋅ u = v ，必存在唯一的逆变换T −1 ⋅ v = u 定义：正则二阶张量T ，必存在唯一的正则二阶张量T −1 使：T ⋅T −1 = T −1 ⋅T = G
2.3 二阶张量的不变量
Ωi •j
≠
−Ω•ij 、 −Ωi • j
=
−Ωj•i
在相同的
(5) 行列式的值：
定义： detT = T•i j ， Tij = g Ti• j = T•i j g = g 2 T ij ， g = Gij
`Tij
= Tij
、 `T ij
= T ij
、 `Ti • j
=
T•
j i
、
⎡ ⎣
Tij
= Ti•k Gkj
2.4 二阶张量的标准形
1． 实对称张量 N
(1)
定义： Nij
=
N ji 、 N ij
=
N
ji
、
N
i •
j
=
N
•i j
、
Ni•
j
=
N•ji
，而一般：
N
i •
j
≠
N•ji 、 Ni• j
=
N
•i j
N ⋅u=u⋅N
3
(2) 对任一实对称 2 阶张量，总能找到一组正交标准化基： ei
N = N1e1e1 + N2e2e2 + N3e3e3 ， Ni 为主分量， ei 为主方向。
i =1
i =1
i =1
定理：[T ⋅ u, T ⋅ v, T ⋅ w] = detT [u, v, w]
[ det T 为两个平行六面体的体积比，三维空间中 3 个矢量是否线性相关取决与它们的混合积
是否为零] 正则与退化
det T ≠ 0 的二阶张量－正则二阶张量；否则为退化的二阶张量
(1) T 为正则 ⇔ u(i) (i=1,2,3) 性无关，则T ⋅ u(i) 也线性无关。
i j
βj 1′
δβi1′
=
0
⇒
β N 1′ i i •j
−
λδ
i j
β 1′ i
=
0;
β Nj i 1′ • j
−
λδ
i j
βj 1′
=
0
( ) ( ) ⇒
N•i j
−
λδ
i j
β 1′ i
= 0;
N
i •
j
−
λδ
i j
βj 1′
=0
( ) ( ) ⇒ 同理1′ 推广到 i′ :
N•i j
−
λδ
i j
= Ti•k
Gkj
=
g
Ti• k
⎤ ⎦
1
(6) 二阶张量的缩并（求迹）： trT = T•ii ，
tr(T + S ) = T•ii + S•ii ， tr(T ⋅ S ) = T ⋅ ⋅S ， tr (T ⋅ ST ) = T : S
(7) 二阶张量与矢量的点积就是线性变换：
w =T ⋅u，
wi
Ω ⋅ u = ϕe3 × (u1e1+u2e2+u3e3) = ϕ(u1e2−u2e1)
将 u 在 e1 、 e2 平面投影，放大ϕ 倍，绕 e3 旋转 π 2 。
= Ti′j′ g i′ g j′
= Ti′• j′ g i′ g j′
=
T i′ • i′
gi′
g
j′
= T i′j′ gi′ g j′
同一坐标系 另一坐标系
(1) 不同坐标系中实体不变，但其分量不同： Tij ≠ Ti′j′,
T•j i
≠
T• i′
j′
,
Ti •j
≠
T ,i′ • j′
T ij ≠ T i′j′
=
(λ1
+ iλ2 )ai
⇒
ai
必为复数： ai
=αi
+ iβ i
( ) ( ) ⇒
N
i •
j
α
j
+ iβ
j
= (λ1 + iλ2 ) α i + iβ i
( ) ( ) ⇒
N
i •
jα
j
+
iN
i •
j
β
j
=
λ1α i − λ2 β i
+ i λ1β i + λ2α i
( ) ( ) ( ) ( ) ⇒
Ω1•3
2
=ϕ2
(3) 主方向：
特征方程： Ω•i j
−
λδ
i j
= λ3 + λη2Ω
=0
⇒ 一个零根： λ3 = 0 ；一对共轭虚根： λ1,2 = ± η2Ω i = ±ϕi ⇒ λ3 = 0 对应的特征方向的单位矢量为 e3 ， Ω ⋅ e3 = λ3e3 = 0
λ1,2 ± ϕi 对应的特征方向的单位矢量设为 g1 、 g2 ，则在 e3 、 g1 、 g2 坐标中，
、 Ni• j
=
N•ji
，
（而一般： N•i j
≠
N
j •i
、
N
• i
j
≠
N •i j
在相同的，混变分量的转置 ≠ 系数矩阵的转置）
N ⋅u=u⋅N
(4) 反对称张量 Ω = −ΩT
性质： Ωij
=
−Ω 、 Ω ij ji
=
−Ω
ji
Ω 、 i •j
=
Ω − Ω 、 •i
•j
j
i
=
−Ω•ij ，
（而一般：
+ T•22 T•32
T•23 T•33
+ T•11 T•31
T•13 T•33
=
1 2
⎣⎡
G :T
G :T − T ⋅⋅T ⎦⎤
=
1 2
⎡⎣T•mmT•nn
− T•pqT•qp ⎤⎦
=
1 2
δ
ijpqT•jiT•qp
[共有 6 项相加，前后指标一样为正，不一样为负；指标 m, n 和 p, q 可以互换但乘积不
N
i •
jα
j
−
iN
i •
j
β
j
=
λ1α i − λ2β i
− i λ1β i + λ2α i
=
λ1 − iλ2
α i − iβ i
⇒ N ⋅ a = λ a ⇒ λ = λ1 − iλ2 也是复根.
⇒ N ⋅a =λ a → a ⋅ N ⋅a = λ a ⋅a； N ⋅a = λ a → a⋅N ⋅a = λ a ⋅a
•i j
gi
g
j
=T
ji gi g j
协、逆变分量指标交换，混变分量互相交换
= Tij g j gi
= Ti• j g j gi
=
Ti •i
g
j
gi
= T ij g j gi
也可以分量不动，并矢交换
(3) 对称张量 N = N T
性质： Nij
=
N ji 、 N ij
=
N
ji 、 N•i j
=
N
•i j
⎢⎣ 0 0 0⎥⎦
(4) 反偶矢量：定义 ω = − 1 ε : Ω ，称 ω 为 Ω 的反偶矢量 2
Ω = −ε ⋅ ω Ω⋅u = ω×u ω = ϕ e3
(5) 对应的线性变换
Ω ⋅ e1 = ω × e1 = ϕe3 ×e1= ϕe2 Ω ⋅ e2 = ω × e2 = ϕe3 ×e2= −ϕe1 Ω ⋅ e3 = ω × e3 = ϕe3 ×e3= 0
而一般： Ωi• j
≠
−Ω
j •i
、
Ω
• i
j
≠
−Ω
•i j
Ω ⋅ u = −u ⋅ Ω
(2) 不变量：
η1Ω = 0 ；η3Ω = 0 (对角元为零)
5
( ) ( ) ( ) η2Ω
=
0 − Ω1•2
Ω1•2 0
+
0 − Ω•23
Ω•23 0
+
0 − Ω1•3
Ω1•3 0
=
Ω1•2
2+
Ω•23
2+
β i′ i
=0;
N
i •
j
−
λδ
i j
βj i′
=0
⇒
使转换系数
βii
′
和
βj i′
有非零解的条件:
N
i •
j
−
λδ
i j
=0
⇒ 求极值的计算等同于求特征值的计算。
2． 实反对称二阶张量 Ω
(1)
定义： Ωij
= −Ω ji 、 Ωij
=
−Ω
ji
、
Ω
i •
j
=
−Ω
•i j
、
Ωi•
j
=
−Ω
j •i
，
2) 二重根时：如设 λ1 = λ2 ≠ λ3 a3 的方向是确定的，与 a3 垂直平面内的任意方向均是主方向。 ( a1 ⋅ a3 = 0 , a2 ⋅ a3 = 0 )
3) 三重根时： λ1 = λ2 = λ3
(2) 正则T 是单射的： u ≠ v ⇒ T ⋅ u ≠ T ⋅ v (3) 正则T 是满射的： ∀u 所作的线性变换T ⋅ u = v ，必存在唯一的逆变换T −1 ⋅ v = u 定义：正则二阶张量T ，必存在唯一的正则二阶张量T −1 使：T ⋅T −1 = T −1 ⋅T = G
2.3 二阶张量的不变量
Ωi •j
≠
−Ω•ij 、 −Ωi • j
=
−Ωj•i
在相同的
(5) 行列式的值：
定义： detT = T•i j ， Tij = g Ti• j = T•i j g = g 2 T ij ， g = Gij
`Tij
= Tij
、 `T ij
= T ij
、 `Ti • j
=
T•
j i
、
⎡ ⎣
Tij
= Ti•k Gkj
2.4 二阶张量的标准形
1． 实对称张量 N
(1)
定义： Nij
=
N ji 、 N ij
=
N
ji
、
N
i •
j
=
N
•i j
、
Ni•
j
=
N•ji
，而一般：
N
i •
j
≠
N•ji 、 Ni• j
=
N
•i j
N ⋅u=u⋅N
3
(2) 对任一实对称 2 阶张量，总能找到一组正交标准化基： ei
N = N1e1e1 + N2e2e2 + N3e3e3 ， Ni 为主分量， ei 为主方向。
i =1
i =1
i =1
定理：[T ⋅ u, T ⋅ v, T ⋅ w] = detT [u, v, w]
[ det T 为两个平行六面体的体积比，三维空间中 3 个矢量是否线性相关取决与它们的混合积
是否为零] 正则与退化
det T ≠ 0 的二阶张量－正则二阶张量；否则为退化的二阶张量
(1) T 为正则 ⇔ u(i) (i=1,2,3) 性无关，则T ⋅ u(i) 也线性无关。
i j
βj 1′
δβi1′
=
0
⇒
β N 1′ i i •j
−
λδ
i j
β 1′ i
=
0;
β Nj i 1′ • j
−
λδ
i j
βj 1′
=
0
( ) ( ) ⇒
N•i j
−
λδ
i j
β 1′ i
= 0;
N
i •
j
−
λδ
i j
βj 1′
=0
( ) ( ) ⇒ 同理1′ 推广到 i′ :
N•i j
−
λδ
i j
= Ti•k
Gkj
=
g
Ti• k
⎤ ⎦
1
(6) 二阶张量的缩并（求迹）： trT = T•ii ，
tr(T + S ) = T•ii + S•ii ， tr(T ⋅ S ) = T ⋅ ⋅S ， tr (T ⋅ ST ) = T : S
(7) 二阶张量与矢量的点积就是线性变换：
w =T ⋅u，
wi
Ω ⋅ u = ϕe3 × (u1e1+u2e2+u3e3) = ϕ(u1e2−u2e1)
将 u 在 e1 、 e2 平面投影，放大ϕ 倍，绕 e3 旋转 π 2 。
= Ti′j′ g i′ g j′
= Ti′• j′ g i′ g j′
=
T i′ • i′
gi′
g
j′
= T i′j′ gi′ g j′
同一坐标系 另一坐标系
(1) 不同坐标系中实体不变，但其分量不同： Tij ≠ Ti′j′,
T•j i
≠
T• i′
j′
,
Ti •j
≠
T ,i′ • j′
T ij ≠ T i′j′
=
(λ1
+ iλ2 )ai
⇒
ai
必为复数： ai
=αi
+ iβ i
( ) ( ) ⇒
N
i •
j
α
j
+ iβ
j
= (λ1 + iλ2 ) α i + iβ i
( ) ( ) ⇒
N
i •
jα
j
+
iN
i •
j
β
j
=
λ1α i − λ2 β i
+ i λ1β i + λ2α i
( ) ( ) ( ) ( ) ⇒
Ω1•3
2
=ϕ2
(3) 主方向：
特征方程： Ω•i j
−
λδ
i j
= λ3 + λη2Ω
=0
⇒ 一个零根： λ3 = 0 ；一对共轭虚根： λ1,2 = ± η2Ω i = ±ϕi ⇒ λ3 = 0 对应的特征方向的单位矢量为 e3 ， Ω ⋅ e3 = λ3e3 = 0
λ1,2 ± ϕi 对应的特征方向的单位矢量设为 g1 、 g2 ，则在 e3 、 g1 、 g2 坐标中，
、 Ni• j
=
N•ji
，
（而一般： N•i j
≠
N
j •i
、
N
• i
j
≠
N •i j
在相同的，混变分量的转置 ≠ 系数矩阵的转置）
N ⋅u=u⋅N
(4) 反对称张量 Ω = −ΩT
性质： Ωij
=
−Ω 、 Ω ij ji
=
−Ω
ji
Ω 、 i •j
=
Ω − Ω 、 •i
•j
j
i
=
−Ω•ij ，
（而一般：
+ T•22 T•32
T•23 T•33
+ T•11 T•31
T•13 T•33
=
1 2
⎣⎡
G :T
G :T − T ⋅⋅T ⎦⎤
=
1 2
⎡⎣T•mmT•nn
− T•pqT•qp ⎤⎦
=
1 2
δ
ijpqT•jiT•qp
[共有 6 项相加，前后指标一样为正，不一样为负；指标 m, n 和 p, q 可以互换但乘积不
N
i •
jα
j
−
iN
i •
j
β
j
=
λ1α i − λ2β i
− i λ1β i + λ2α i
=
λ1 − iλ2
α i − iβ i
⇒ N ⋅ a = λ a ⇒ λ = λ1 − iλ2 也是复根.
⇒ N ⋅a =λ a → a ⋅ N ⋅a = λ a ⋅a； N ⋅a = λ a → a⋅N ⋅a = λ a ⋅a
•i j
gi
g
j
=T
ji gi g j
协、逆变分量指标交换，混变分量互相交换
= Tij g j gi
= Ti• j g j gi
=
Ti •i
g
j
gi
= T ij g j gi
也可以分量不动，并矢交换
(3) 对称张量 N = N T
性质： Nij
=
N ji 、 N ij
=
N
ji 、 N•i j
=
N
•i j
⎢⎣ 0 0 0⎥⎦
(4) 反偶矢量：定义 ω = − 1 ε : Ω ，称 ω 为 Ω 的反偶矢量 2
Ω = −ε ⋅ ω Ω⋅u = ω×u ω = ϕ e3
(5) 对应的线性变换
Ω ⋅ e1 = ω × e1 = ϕe3 ×e1= ϕe2 Ω ⋅ e2 = ω × e2 = ϕe3 ×e2= −ϕe1 Ω ⋅ e3 = ω × e3 = ϕe3 ×e3= 0
而一般： Ωi• j
≠
−Ω
j •i
、
Ω
• i
j
≠
−Ω
•i j
Ω ⋅ u = −u ⋅ Ω
(2) 不变量：
η1Ω = 0 ；η3Ω = 0 (对角元为零)
5
( ) ( ) ( ) η2Ω
=
0 − Ω1•2
Ω1•2 0
+
0 − Ω•23
Ω•23 0
+
0 − Ω1•3
Ω1•3 0
=
Ω1•2
2+
Ω•23
2+
β i′ i
=0;
N
i •
j
−
λδ
i j
βj i′
=0
⇒
使转换系数
βii
′
和
βj i′
有非零解的条件:
N
i •
j
−
λδ
i j
=0
⇒ 求极值的计算等同于求特征值的计算。
2． 实反对称二阶张量 Ω
(1)
定义： Ωij
= −Ω ji 、 Ωij
=
−Ω
ji
、
Ω
i •
j
=
−Ω
•i j
、
Ωi•
j
=
−Ω
j •i
，