4.2由平行线截得的比例线段
《由平行线截得的比例线段》教学设计
《4.2 由平行线截得的比率线段》教课方案一、教课内容剖析《由平行线截得的比率线段》是浙教版九年级上册第四章的第二节课。
本节课要求掌握一个基本领实：“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比率” 。
这个基本领实又被称为“平行线截割定理” 。
它属于客观存在的事实性知识，因为其证明过程比较复杂，在教课中对学生不作要求。
所以教材中是以基本领实的形式进行表现的，经过实验让学生感觉，并无给出严格的证明过程。
而后教材经过两个例题的应用帮助学生稳固对定理使用条件和结论的认识，特别是例 2 要经过增添协助线来知足定理使用的条件，表现了数学转变思想。
二、教课目的1、知识与技术：能应用平行线截割定理找出比率线段并解决有关计算问题，能利用定理将线段随意平分。
2、过程与方法：经历平行线截割定理的发现过程，能利用转变思想联合定理解决相应问题。
3、感情态度、价值观：培育学生独立思虑能力及团结协作意识，加强研究数学识题的信心。
三、学情剖析学生在学习本节课前已经学习了比率的基天性质、比率线段的观点，能依据线段的长度计算比率和利用比率计算有关线段的长度，拥有益用转变思想解决问题的经验。
要完成本节课的教课目的，学生需要具备从教课活动中发现并概括出数学规律的能力；能依据比率线段计算有关线段的长度；在不知足定理使用条件的问题中，能先合理的创建定理使用条件，再利用定理解决问题。
四、要点难点要点：学生在经历数学活动后发现和概括出平行线截割定理。
难点：例 2 的作法思路不易形成，是本节的难点。
关于要点，教师能够设计合理的问题串来指引学生一步步发现平行线截割定理，经过相互议论增补的形式帮助学生概括出定理。
关于难点，依据支架式教课策略，教师能够设计出更为特别简单的支架型问题，帮助学生利用特别到一般的思想过程形成例 2 的解题思路，以此来打破难点。
五、教课策略依据以上剖析，本节课将采纳支架式教课策略和小组合作学习策略。
本节课的定理需要学生去概括发现，但学生发现问题与概括小结的能力有差距，所以经过小组合作学习策略，让能力强的学生有更多的表现时机，经过生生互动让能力衰的学生也能获取成长。
数学4.2 由平行线截得的比例线段教学设计
4.2 由平行线截得的比例线段教材简介平行线分线段成比例定理是本章的重点。
它是研究相似三角形的最重要和最基本的理论，它一方面可以直接判定线段成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理把两条线段的比“转移”成另两条线段的比来证明。
教学目标1．了解平行线分线段成比例定理的证明，掌握定理的内容。
2．能应用定理证明线段成比例、平行等问题，并会进行有关的计算。
教学重点：平行线分线段成比例定理及其理解。
教学难点：平行线分线段成比例定理及其应用。
教学关键： 1.恰当运用类比。
2.比例式的变形。
教学方法：类比启发、探索发现教学用具：教学多媒体课件教学内容设计意图教学过程一、创设问题情境，导入新课:1．平行线等分线段定理的内容是什么？2．如图1，l1//l2//l3，AB＝BC, AB/BC＝？，DE/EF＝?，AB/BC与DE/EF有什么关系？A D A DB EB EC F C F图1 图2二、问题类比，提出猜想：问题一、如图2，l1//l2//l3,AB≠BC,AB/BC＝2/3,DE/EF＝?,AB/BC与DE/EF有什么关系？创设问题情境，导入新课的二个问题由教学多媒体集成。
1.是起到创设问题情景的作用。
2.是为了引入新课。
3．为问题一的类比做好铺垫。
问题一是为引导学生发现“平行线分线段成比例定理”而设计的。
１教学过程引导学生类比问题2进行猜想。
将学生分组，讨论上述第三个问题。
可以提出一个猜想（命题）：命题：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
（学生对命题的叙述不一定准确，教师引导学生得出叙述准确的命题，并提出应对命题的正确性加以说明。
）学生根据问题2的结果可以猜想出DE/EF＝2/3,AB/BC＝DE/EF，为什么呢？说明：设线段AB的中点为P1，线段BC的三等分点为P2、P3，这时AP1＝P1B＝BP2＝P2P3＝P3C。
分别过点P1、P2、P3作直线P1P4、P2P5、P3P6平行于l1，与l4交于点P4、P5、P6。
4.2由平行线截得的比例线段分析
E C
2、填空题:
E
D
如图:DE∥BC, 2 已知: AD ＝ — 求 : —— 2 AE 5 AB —— —— ＝ — AC 5
A B C
例题2 解: ∵
已知：DE//BC, AB=15,AC=9, BD=4 . 求：AE=?
A
DE∥BC
AB AC ∴ —— ＝ —— （推论） BD CE B 15 9 即 —— ＝ —— 4 CE D 12 ∴ CE ＝ — 5 2 12 ∴ AE= AC+CE=9+ — =11—
l1 l2
A
D
？E ？F
B C
几何语言:
l3
∵直线l1∥l2∥l3 ，AB=BC ∴ DE=EF
已知：如图，直线 l1∥l2∥l3 AB=BC,那么 下列各式成立吗？
AB DE (1) BC EF
AB DE ( 2) AC DF
上 下 上 全 下 全
= =
上
下 上 全
l1 l2 l3
A B C
5 5
C
E
探 究
已知：如图,DE//BC,DE分别交AB、AC于点D、E A AD AE DE 求证： AB AC BC E D
DE//BC
EF//AB
AD AE AB AC
B
F
C
DE AE BF AC BC BF=DE
AD AE DE AB AC BC
例题讲解：
已知：线段ＡＢ 求作：线段ＡＢ的 五等分点。
平行线等分线段定理: 如果一组平行线在 一条直线上截得的线段相等， 那么在其 他直线上截得的线段也相等.
已知：如图，直线 l1∥l2∥l3 AB=BC
浙教版数学九年级上册《4.2 由平行线截得的比例线段》教学设计1
浙教版数学九年级上册《4.2 由平行线截得的比例线段》教学设计1一. 教材分析《4.2 由平行线截得的比例线段》这一节主要让学生掌握利用平行线截得的线段之间的比例关系，通过几何图形和线段的组合，引导学生发现和证明线段之间的比例关系，为后面进一步学习相似三角形和相似多边形打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了平行线的性质，同时也具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
但是，对于证明两个线段之间的比例关系，可能还存在一定的困难，因此，在教学过程中，需要通过具体例题，引导学生发现规律，再进行证明。
三. 教学目标1.理解平行线截得线段之间的比例关系。
2.学会利用平行线截得的线段之间的比例关系解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
四. 教学重难点1.重点：平行线截得线段之间的比例关系的发现和证明。
2.难点：如何引导学生发现并证明平行线截得线段之间的比例关系。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生发现和证明平行线截得线段之间的比例关系。
2.利用几何画板软件，动态展示平行线截得的线段之间的比例关系，帮助学生直观理解。
3.通过小组合作交流，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学课件。
2.几何画板软件。
3.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用几何画板软件，动态展示平行线截得的线段，引导学生关注线段之间的比例关系。
2.呈现（10分钟）呈现一组平行线截得的线段，请学生观察并发现其中的比例关系。
学生可能发现同位角相等，内错角相等等性质。
3.操练（10分钟）请学生利用平行线的性质，证明同位角相等，内错角相等。
通过几何画板软件，引导学生直观理解。
4.巩固（10分钟）请学生利用平行线截得的线段之间的比例关系，解决实际问题。
如：在一条直线上，距离某一点A相等的两条线段AB和AC，求证AB和AC平行。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：在空间中，平行线截得的线段之间是否也存在比例关系？请学生举例说明。
4.2 由平行线截得的比例线段-精选教学文档
4.2 由平行线截得的比例线段两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的________成比例．A 组 基础训练 1．如图，在△ABC 中，D ，E 分别在AB ，AC 上，且DE ∥BC.若AD ＝4，DB ＝2，则AE ∶EC 等于( )A.12 B ．2 C.23 D.32第1题图2．(杭州中考)如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，若AB BC ＝12，则DE EF等于( ) 第2题图A.13B.12C.23D ．1 3．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是( )第3题图A. AD DF ＝BC CEB.BC CE ＝DF ADC.CD EF ＝BC BED.CD EF ＝AD AF4．如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，现得到下列结论：AE EC ＝BF FC ，AD BF ＝AB BC ，EF AB ＝DE BC ，CE CF＝EA BF，其中正确的比例式的个数有( ) 第4题图A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．如图，AD 与BC 相交于点E ，AB ∥CD ，若BE ∶EC ＝2∶3，AD ＝4，则AE ＝________．第5题图6.如图，已知l 1∥l 2∥l 3，AM ＝3cm ，BM ＝5cm ，CM ＝4.5cm ，EF ＝12cm ，则DM ＝________cm ，EK ＝________cm ，FK ＝________cm.第6题图7．如图，在△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，AD ∶DF ∶FB ＝1∶2∶3，若EG ＝3，则AC ＝________．第7题图8.如图，点E 是AC 中点，且BC ∶CD ＝3∶2，CG ∥DF 交AB 于点G ，则AF ∶FG ＝________，BG ∶GF ＝________，BF ∶FA ＝________．第8题图9．已知线段AB ，在AB 上求作一点C ，使AC ∶CB ＝2∶3.(保留作图痕迹，不要求写作法)第9题图10．如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，AD ∶DB ＝2∶3，BC ＝20cm ，求BF 的长．第10题图B 组 自主提高11．平行四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，DE 交对角线AC 于F ，过点F 作FG ∥AD 交DC 于G ，则DG ∶GC ∶AB ＝( )第11题图A ．2∶3∶5B ．2∶3∶4C ．1∶2∶3D ．2∶4∶512．如图，DE ∥BC ，且DB ＝AE ，若AD ＝3，CE ＝4，求AB 的长．第12题图13．如图，在△ABC 中，∠ACB 的平分线CD 交AB 于点D ，过点B 作BE ∥CD 交AC 的延长线于点E.(1)求证：BC ＝CE ；(2)求证：AD BD ＝AC BC. (3)若AC ，BC ，AB 的长分别为3，2，4，求AD ，BD 的长．第13题图C 组 综合运用14．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B>∠A ，点D 为边AB 的中点，DE ∥BC 交AC 于点E ，CF ∥AB 交DE 的延长线于点F.(1)求证：DE ＝EF ；(2)连结CD ，过点D 作DC 的垂线交CF 的延长线于点G ，求证：∠B ＝∠A ＋∠DGC.第14题图4．2 由平行线截得的比例线段【课堂笔记】对应线段【课时训练】1－4.BBAB5.1.66.7.5 4.5 7.57.98.1∶1 3∶2 5∶29. 图略．10. BF ＝8cm .11. C12. AB ＝23＋3.13. (1)∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠BCD.∵BE ∥CD ，∴∠CBE ＝∠BCD ，∠CEB＝∠ACD.∴∠CBE ＝∠CEB.∴BC ＝CE ； (2)∵BE ∥CD ，∴AD BD ＝AC CE .又∵BC ＝CE ，∴AD BD＝AC BC . (3)AD ＝125，BD ＝85. 第14题图14．(1)∵DE ∥BC ，∴AD DB ＝AE EC ，∵点D 为边AB 的中点，∴AE ＝EC ，∵CF ∥AB ，∴DE EF＝AE EC＝1，∴DE ＝EF; (2)∵CF ∥AB ，∴∠A ＝∠ACG ，∴∠A ＋∠DGC ＝∠ACG ＋∠DGC ＝∠DHC ，∵∠ACB ＝90°，点D 为边AB 的中点，∴AD ＝DC ，∴∠A ＝∠ACD ，又∵∠ACB ＝∠CDG ＝90°，∴∠B ＝∠DHC.∴∠B ＝∠A ＋∠DGC.。
新浙教版数学九年级上册4.2 由平行线截得的比例线段精品PPT
E 10－x C
x
(2)若AE=8,求AC;
(3)若AC=10,求AE,EC.
谢谢各位老师莅临指导！！
A
M N
B
,
AM AN MB NC
C
（2）如果
AM 2 MB 3
AM m MB n
，那么
AN NC
AN NC
（3）如果
，那么
,
（4）思考：利用比例性质还可以得到哪些比例 式成立呢?为什么?
结论: AB AC
MB
NC
AM AN AB AC
平行线分三角形两边成比例定理: 平行于三角形一边的直线截其他两边, 所得的对应线段成比例.
新浙教版数学九年级（上）
4.2 由平行线截得的比例线段
L4 L5
A B C
D E F
L1
L2 L3
三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. L4 L5 定理的符号语言 A D L1 B E L1//L2//L3 L2 DE C AB F L3
BC
=
EF
(平行线分线段成比例定理)
同学们，观察下面变化过程，你觉得 比例线段关系，会发生改变吗？
L4 L5 D A
B
L1
L2
E F
C
L3
L5 L4 A B C D E
L1
L2
F
L3
A
DL1L2Fra bibliotekB F
E C
L3
例1：如图所示，DE=3,EF=6,AB=4，求AC 的长 A B
F E C
D
L1 L2 L3
定理应用1： 如图,在△ABC中，作MN∥BC
AM 1 (1)如果 MB 2
浙教版数学九年级上册《4.2由平行线截得的比例线段》说课稿1
浙教版数学九年级上册《4.2 由平行线截得的比例线段》说课稿1一. 教材分析《4.2 由平行线截得的比例线段》这一节内容，主要让学生掌握由平行线截得的线段之间的比例关系，并能灵活运用这个比例关系解决实际问题。
本节课的内容是在学生已经掌握了平行线的性质，以及比例线段的概念的基础上进行学习的。
通过本节课的学习，让学生体会数学与生活的紧密联系，提高学生学习数学的兴趣。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力，对于平行线的性质和比例线段的概念已经有了一定的了解。
但是，对于如何运用这些知识解决实际问题，还需要进一步的引导和培养。
因此，在教学过程中，要注意引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的解决问题的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握由平行线截得的比例线段的性质，并能灵活运用这个性质解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、交流等活动，培养学生的动手能力和合作意识。
3.情感态度与价值观目标：让学生体会数学与生活的紧密联系，提高学生学习数学的兴趣。
四. 说教学重难点1.教学重点：由平行线截得的比例线段的性质。
2.教学难点：如何引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生解决问题的能力。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用引导发现法、讨论法、实践操作法等教学方法。
同时，利用多媒体课件和实物模型等教学手段，帮助学生直观地理解由平行线截得的比例线段的性质。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示实际生活中的图片，引导学生发现并提出问题，从而引出本节课的内容。
2.探究新知：让学生通过观察、操作、交流等活动，自主发现由平行线截得的比例线段的性质。
3.巩固新知：通过解决实际问题，让学生运用所学的知识，巩固由平行线截得的比例线段的性质。
4.拓展延伸：引导学生进一步探索由平行线截得的比例线段在其他方面的应用。
5.课堂小结：对本节课的内容进行总结，加深学生对由平行线截得的比例线段的性质的理解。
浙教新版九年级上册《4.2 由平行线截得比例线段》2024年同步练习卷(4)+答案解析
浙教新版九年级上册《4.2由平行线截得比例线段》2024年同步练习卷（4）一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在中，点D，E分别在AB，AC边上，若AD：：1，则AE：EC等于()A.3：1B.3：4C.3：5D.2：32.如图，已知直线，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若，则()A.B.C.D.13.如图，已知，那么下列结论正确的是()A. B. C. D.4.如图，已知在中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，，，且AD：：5，那么CF：()A.5：8B.3：8C.3：5D.5：35.平行四边形ABCD中，E是AB上的点，DE交对角线AC于F，过点F作交DC于G，若DF：：1，则DG：GC：()A.2：3：5B.2：3：4C.1：2：3D.2：4：5二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
6.如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段，则线段______7.如图，已知，AD与BC相交于点E，，，，则AE的长等于______.8.如图，中，，AD：DF：：2：3，若，则______.9.如图，点E是AC中点，且BC：：2，交AB于点G，则AF：______，BG：______，BF：______.三、解答题：本题共5小题，共40分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
10.本小题8分已知线段AB，在AB上求作一点C，使AC：：保留作图痕迹，不要求写作法11.本小题8分如图，已知在中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，且，，AD：：3，，求BF的长.12.本小题8分如图，，，若，，求AE的长.13.本小题8分已知：如图，在中，的平分线CD交AB于D，过B作交AC的延长线于点求证：；求证：14.本小题8分已知：如图，在中，，，点D、E分别是边AB、AC的中点，交DE的延长线于点求证：四边形ADCF是菱形；联结BE，如果，求证：答案和解析1.【答案】A【解析】解：，：故选：根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．2.【答案】B【解析】解：，故选：直接根据平行线分线段成比例定理求解．本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．3.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查平行线段成比例定理，确定出对应线段是解题的关键．根据平行线分线段成比例确定出对应线段，进行判断即可．【解答】解：由平行线分线段成比例可知是被平行线所截的线段才有可能是对应线段，、EF不是对应线段，故C、D不正确；和AD对应，CE和DF对应，，故A正确；故选：4.【答案】D【解析】解：：：5，：：8，，：：：8，，：：：：：3，故选：先由AD：：5，求得BD：AB的比，再由，根据平行线分线段成比例定理，可得CE：：AB，然后由，根据平行线分线段成比例定理，可得CF：：AC，则可求得答案．此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键．5.【答案】C【解析】解：平行四边形ABCD中，，∽，，，即E为AB的中点，，，，，，，：GC：：GC：：2：故选：先由平行四边形ABCD得∽，从而，，再由得，从而，，即可得DG：GC：：GC：：2：本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理的和性质定理是解题的关键，6.【答案】9【解析】解：练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，，，故答案为：根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算解答即可．本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．7.【答案】3【解析】解：，∽，，即；又，由于，可证得∽，根据相似三角形所得比例线段，即可求得AE的长．此题主要考查了相似三角形的判定和性质，难度不大．8.【答案】12【解析】【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入已知数据计算即可．【解答】解：，：EG：：DF：：2：3，又，，，，，，故答案为9.【答案】1：13：25：2【解析】解：，，点E是AC的中点，，：：1，，：：：2，：：故答案为：1：1，3：2，5：根据平行线分线段成比例定理得以及BG：：CD，进行解答即可．本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解决此题的关键是清楚三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例．10.【答案】解：如图所示：点C即为所求．【解析】先作出射线AZ，在射线AZ上依次截取线段，连结BH，作交AB于C，点C即为所求．此题主要考查了复杂作图，以及比例线段，关键是正确画出图形．11.【答案】解：，，四边形BFED为平行四边形，，∽，，，【解析】由、可得出四边形BFED为平行四边形，根据平行四边形的性质可得出，根据可得出∽，根据相似三角形的性质结合AD：：3、可求出DE的长度，再由可得出BF的长．本题考查了平行四边形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质求出DE的长度是解题的关键．12.【答案】解：，，，，，，【解析】根据平行线分线段成比例定理得到，再利用等线段代换即可得到，然后根据比例性质计算即可．本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了比例的性质．13.【答案】证明：平分，又，，，，，又，【解析】本题主要考查了等腰三角形的判定及性质和角平分线定理、平行线分线段成比例定理，关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理和平行线的性质．根据CD平分，可知；由，可求出是等腰三角形，故；根据平行线的性质，及可得出结论．14.【答案】证明：点D、E分别是边AB、AC的中点，是的中位线，，，，，，，，四边形DBCF为平行四边形，，，，，四边形ADCF是平行四边形，，四边形ADCF是菱形；如图，设，，则，，，，，，∽，，即，，由勾股定理得：，，，，【解析】先根据三角形的中位线定理可得：，，证明四边形DBCF为平行四边形，可得，再证明，根据对角线互相平分且垂直的四边形是菱形可得结论；如图，设，，则，证明∽，得，并结合勾股定理可得结论．本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的性质和判定，三角形的中位线的性质，直角三角形的性质，第有难度，证明∽是解题的关键．第11页，共11页。
中考数学复习专题4.2 由平行线截得的比例线段(解析版)
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A． ＝
B． ＝
C． ＝
D． ＝
【思路点拨】首先证明四边形 DECH 是平行四边形，再利用平行线分线段成比例定理一一判断即可． 【答案】解：∵DE∥BC，DH∥AC， ∴四边形 DECH 是平行四边形， ∴DH＝CE，DE＝CH， ∵DE∥BC， ∴ ＝ ＝ ，故选项 A 正确，不符合题意，
∴AC∥DB．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）
所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边是解题的关键．
6．（2019•萧山区模拟）如图，直线 l1∥l2∥l3，直线 AC 分别交 l1，l2，l3 于 A，B，C；直线 DF 分别交 l1，
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【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理的应用，作出辅助线，利用中间量 EF 即可得出结论．
14．（2018 秋•杨浦区期中）如图，AD、BC 相交于点 O，点 E、F 分别在 BC、AD 上，AB∥CD∥EF，如果
∵DH∥CG， ∴ ＝ ＝ ，故 C 正确，不符合题意，
∵DE∥BC， ∴＝，
∴ ＝ ，故 D 正确，不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握 基本知识，属于中考常考题型． 9．（2019 春•兴宾区校级月考）如图，点 F 是平行四边形 ABCD 的边 CD 上一点，直线 BF 交 AD 的延长线 于点 E，则下列结论正确的有（ ） ① ＝ ；② ＝ ；③ ＝ ；④ ＝ ．
4.2由平行线截得的比例线段课件
研一研
类型之一
例1
利用平行线分线段成比例定理计算
如图7，直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线
l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，已知EF∶DF＝5∶8，AC＝24.
(1)求AB的长； (2)当AD＝4，BE＝1时，求CF的长．
图7
解：(1)∵l1∥l2∥l3，EF∶DF＝5∶8， AC＝24， EF BC 5 ∴ ＝ ＝ ， DF AC 8 BC 5 ∴ ＝ ， 24 8 ∴BC＝15， ∴AB＝AC－BC＝24－15＝9. (2)∵l1∥l2∥l3，
【知识管理】
平行线分线段成比例定理 定理：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所 成比例 ． 得的对应线段__________ 如图1
图1
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)， 对应线段 的比相等． 所得的____________
图2
注意：(1)平行线分线段成比例定理没有逆定理． (2)判断平行线的条件中，只能是被截的两条直线的对应线 段成比例(被判断的平行线本身不能参与作比例)． (3)由于平行线分线段成比例定理中，平行线本身没有参与
【点悟】本Байду номын сангаас应用了平行四 边形的性质和平行线分线段 成比例定理，解此题的关键 BD 是能通过 AD 这个 “ 桥 ” 来 推出结论．
图12
1.如图13，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，
DF∥AC，若AC＝10，BC＝20，DE＝12，求DF的长．
图13
图14
2．如图 14，在△ABC 中，AM 是 BC 边上的中线，直线 DN∥AM，交 AB 于点 D，交 CA 的延长线于点 E，交 BC AD AE 于点 N.求证： AB＝ AC.
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L5
L4 D
L1
L2 L3 B
E A
L1
L2 C L3
数学符号语言 ∵ DE∥BC AD = AE AB AC
数学符号语言 ∵ DE∥BC AD = AE AB AC
∵
∵
推论：
A
平行于三角形一边的直 D E 线截其他两边(或两边的 延长线），所得的对应 C 线段成比例。 B 推论的数学符号语言： E D
平行线等分线段定理: 如果一组平行线在 一条直线上截得的线段相等， 那么在其 他直线上截得的线段也相等.
已知：如图，直线 l1∥l2∥l3 AB=BC
求证： DE=EF
证明：
l1 l2 l3
C B
A
D E
F
注意
实际上相邻两平行线间的 距离相等的情况下得到的。
平行线等分线段定理:
如果一组平行线在一条直线上截得 的线段 相等 ，那么在其他直线上截得 的线段也 相等
5 5
C
E
探 究
已知：如图,DE//BC,DE分别交AB、AC于点D、E A AD AE DE 求证： AB AC BC E D
DE//BC
EF//AB
AD AE AB AC
B
F
C
DE AE BF AC BC BF=DE
AD AE DE AB AC BC
例题讲解：
已知：线段ＡＢ 求作：线段ＡＢ的 五等分点。
平行线分线段成比例定理
两条直线被一组平行线（不少于3条） 所截，所得的对应线段成比例。
a
几何语言
L1//L2//L3 AB =
DE
C
A B
b D E
L1
L2
F
EF BC (平行线分线段成比例定理)
L3
平行线分线段成比例定理与平行线等分线 段定理有何联系？
A D
B
E
AB 当 1 BC
F
A B
D E
D E F
=
BC EF (3) AC DF
下
全
什么是对应线段？
如果平行线间的距离不相等呢？
A B C
a
b D E
L1 L2 L3 L4
AB DE (1) BC EF
上
=
上
下 下 上 AB DE 上 = ( 2) 全 AC DF 全
F
BC EF 下 (3) AC DF 全
下
=
全
两条直线被一组平行线（不少于3条） 所截，所得的对应线段成比例。
C
AB 当 1 BC
C
F
结论：后者是前者的一种特殊情况！
L4 L5
L1
L2 L3
L5L4
L1
L2 L3
L5 L4
L1
L2 L3
L5
L4
L1
L2 L3
A字形L5
A
D
L4
L1
E
L2
B
C
L3
数学符号语言
DE // BC
A
D E
AD = AE AB AC
B
C
L4 L5
A B C
D E F
L1
l1 l2 l3
A
A1 B1 C1
B E
A
D F
B
C
C
做一做：
b （1）在有横格线的练习本 a l1 画直线a，使得a与横线垂 l2 l3 直 ，观察a被各条横线分成 l4 的线段是否相等。 （2）再画一条直线b，那么b被各条横线 分成的线段有何关系？
猜想：
如果一组平行线在一条直线上截得的线 段相等， 那么在其他直线上截得的线段也 相等. 如何来证明？
L2 L3
L4 L5
L1
L2 L3
L5L4
L1
L2 L3
L5 L4
L1
L2 L3
L5
L4
L1L2 L3源自L5L4L1
L2 L3
L5
L4
L1
L2 L3
8字形 L5
E A B
L4 D
L1
L2
C
L3
数学符号语言
DE // BC
E
A
D
AD = AE AB AC
B
C
L5 L4 A D B E C
Ｍ Ｄ Ａ Ｎ
Ｅ
Ｆ
Ｇ
ＨＣ
Ｉ Ｊ Ｋ
Ｌ
Ｂ
作法：１）作射线ＡＣ。 ２）在射线ＡＣ上顺次截取 ＡＤ＝ＤＥ＝ＥＦ＝ＦＧ＝ＧＨ。 ３）连结ＨＢ。 ４）过点Ｇ、Ｆ、Ｅ、Ｄ分别作ＨＢ的平行线ＧＬ、ＦＫ、 ＥＪ、ＤＩ，分别交ＡＢ于点Ｌ、Ｋ、Ｊ、Ｉ。 Ｌ、Ｋ、Ｊ、Ｉ就是所求的五等分点
再 见
∵ DE∥BC AD AE ∴ —— ＝ —— （推论） AB AC B
A
C
练习一: 1、判断题:
如图:DE∥BC, 下列各式是否正确
A
AD ＝ —— AE AD ＝ —— AE ( ) D A: —— B: —— AB AC ( ) BD CE
AD AE AD AB ＝ ＝ —— —— —— —— C: AC ( ) D: ( ) B AB AE AC
E C
2、填空题:
E
D
如图:DE∥BC, 2 已知: AD ＝ — 求 : —— 2 AE 5 AB —— —— ＝ — AC 5
A B C
例题2 解: ∵
已知：DE//BC, AB=15,AC=9, BD=4 . 求：AE=?
A
DE∥BC
AB AC ∴ —— ＝ —— （推论） BD CE B 15 9 即 —— ＝ —— 4 CE D 12 ∴ CE ＝ — 5 2 12 ∴ AE= AC+CE=9+ — =11—
l1 l2
A
D
？E ？F
B C
几何语言:
l3
∵直线l1∥l2∥l3 ，AB=BC ∴ DE=EF
已知：如图，直线 l1∥l2∥l3 AB=BC,那么 下列各式成立吗？
AB DE (1) BC EF
AB DE ( 2) AC DF
上 下 上 全 下 全
= =
上
下 上 全
l1 l2 l3
A B C