平行线分线段成比例定理

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4.平行线分线段成比例.详解

4.平行线分线段成比例.详解

相交的平行直线a、b、c.分别度量l1,l2被直线a、b、 A1 B1 AB 与 c截得的线段AB,BC,A1B1,B1C1的长度. B1C1 BC 相等吗?任意平移直线c,再度量AB,BC,A1B1,B1C1 AB AB 与 1 1 还相等吗? 的长度, B1C1 BC
AB BC
=
A1 B1 B1C1
AD AE DB EC
如图,过点A作直线MN,使MN∥DE.
∵ DE∥BC , ∴ MN∥DE∥BC. 因此AB,AC被一组平行线MN,DE,BC 所截, 则由平行线分线段成比例可知, AD AE AD AE AB AC DB EC DB EC DB EC , . 同时还可以得到 AD AE AB AC
由于 AD DB
1 1 , AB BE EF FC BC . 2 3
因此 AD DB BE EF FC .
由于a∥d∥b∥e∥f∥c, 因此 A1D1=D1B1 =B1E1 =E1F1 = F1C1.
A1 B1 2 A1 D1 2 . 从而 B1C1 3 B1 E1 3B D NhomakorabeaA
4
E F
2
C
图1 12
8
解 因为 DE // BC, 所以 AD AE 4 2 1 . AB AC 6 3 AD CF 因为 DF // AC , 所以 . AB CB
2
2 CF 16 16 8 由12式得 , 即CF .所以 BF 8 . 3 8 3 3 3
观察 下图是一架梯子的示意图.由生活常识可以知
道:AA1,BB1,CC1,DD1互相平行,且若AB=BC, 则A1B1=B1C1.由此可以猜测:若两条直线被一组平 行线所截,如果在其中一条直线上截得的线段相等, 那么在另一条直线上截得的线段也相等.这个猜测是 真的吗?

平行线分线段成比例定理证明方法

平行线分线段成比例定理证明方法

平行线分线段成比例定理证明方法平行线分线段成比例定理是数学中的一条重要定理,它描述了当两条平行线与一条横切线相交时,所形成的线段之间的比例关系。

本文将通过证明该定理,来展示其严谨的数学推导过程。

我们先来描述一下该定理的内容:设有两条平行线l和m,它们被一条横切线n相交于A、B、C三点。

如果在l上任取一点D,并且连接BD和AC,那么我们有以下结论:\(\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC}\)接下来,我们将通过严格的证明来验证这一结论。

证明过程如下:假设在平行线l上任取一点D,并连接BD和AC。

根据平行线的性质,我们可以得到以下两个对应角相等的等角关系:∠ACB = ∠DBC (对应角相等)∠ADC = ∠BCD (对应角相等)由于三角形ABC和三角形DBC中有两个角相等,根据三角形的基本性质,我们可以得到这两个三角形是相似的。

根据相似三角形的性质,我们可以得到下面的比例关系:\(\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC}\)从上述推导过程可以看出,平行线分线段成比例定理是由两个等角关系推导得到的,而等角关系是由平行线的性质所决定的。

因此,该定理的证明是严谨而准确的。

值得注意的是,平行线分线段成比例定理的证明过程中没有使用到具体的数值,而仅仅是通过等角关系和相似三角形的性质进行了推导。

因此,该定理具有普适性,适用于任意情况下的平行线。

通过平行线分线段成比例定理,我们可以解决很多实际问题。

例如,在建筑工程中,我们可以利用该定理来计算建筑物的高度。

通过测量建筑物的影子长度和测量仪的高度,我们可以利用平行线分线段成比例定理来计算建筑物的实际高度。

在几何学的研究中,平行线分线段成比例定理也是解决一些复杂问题的重要工具。

通过应用该定理,我们可以得到一些关于平行线和三角形的性质,进而推导出更多的几何定理。

总结起来,平行线分线段成比例定理是数学中的一条重要定理,它描述了当两条平行线与一条横切线相交时,所形成的线段之间的比例关系。

平行线分线段成比例定理 课件

平行线分线段成比例定理   课件
图 1-2-2 则有:AADB=AACE,ADDB=EACE,DABB=EACC.
1.平行线分线段成比例定理有哪些变式? 【提示】 变式有DABE=BECF,DABE=DACF,BECF=DACF. 2.平行线分线段成比例定理的逆命题是什么?它是正 确的吗? 【提示】 平行线分线段成比例定理的逆命题是:如果 三条直线截两条直线所得的对应线段成比例,那么这三条直 线平行,这个命题是错误的.
3.怎样理解平行线分线段成比例定理的推论? 【提示】 (1)这个推论也叫三角形一边平行线的性质定 理.(2)它包括以下三种基本图形(其中 DE 为截线).
习惯上称前两种为“A 型”,第三种为“X 型”.
(3)此推论的逆命题也正确,即如果一条直线截三角形的 两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直 线平行于三角形的第三边.
1.解答本题的关键是添加辅助线,构造平行四边形. 2.比例线段常由平行线产生,因而研究比例线段问题 应注意平行线的应用,在没有平行线时,可以添加平行线来 促成比例线段的产生. 3.利用平行线转移比例是常用的证题技巧,当题中没 有平行线条件而有必要转移比例时,也常添加辅助平行线, 从而达到转移比例的目的,如本题中,EFPP=MCNN=AGMC=AACB.
如图 1-2-7 所示,在梯形 ABCD 中,AD∥BC, EF 经过梯形对角线的交点 O,且 EF∥AD.
(1)求OADE+OBCE的值; (2)求证:A1D+B1C=E2F.
【思路探究】 (1)利用比例线段转化所求; (2)证出 EF=2OE,再利用(1)的结果证明.
【自主解答】 (1)∵OE∥AD,∴AODE=BAEB. ∵EF∥AD,AD∥BC,∴EF∥AD∥BC, ∴OBCE=AAEB, ∴OADE+OBCE=BAEB+AAEB=BEA+BAE=1.

2.平行线分线段成比例定理

2.平行线分线段成比例定理

且l , l ¢ 分别与 l1 , l2 , l3相交于 A, B, C , D, E , F .
L2
F A L3 L1 L2 F
一般
C
特殊
(如图所示)那么 AB DE = ; BC EF
AB DE = ; AC DF BC EF = . AC DF
一般
特殊
L3
若将下图中的直线L2看成是平行于△ABC 的边BC的直线,那么可得: AD = AE .
C
F
L3
D
A
L1 L2
D B (E)
A
L1 L2
B C
E F
L3
C
F
L3
平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
如果l1 // l2 // l3 ,
A B D E L1 L2 F D B C A E F L3 L1 L2 L3 C C D B (E) B A (D) E L1
证明:过点E作EF//AB,交BC于点F, ∵DE//BC, ∴AD:AB=AE:AC. 为了证明AE:AC=DE:BC, ∵EF//AB, ∴BF:BC=AE:AC. 需要构造一组平行线,使 且四边形DEFB为平行四边形. ∴DE=BF.∴ DE:BC=AE:AC. AE、AC、DE、BC成为 AD AE DE . 由这组平行线截得的线段. AB AC BC 故作EF//AB.
B Q R C A P D S E T G L2 L1
∴ AB:BC=DE :EF=2:3
FБайду номын сангаас
L3
AB AB DE 一般地,当l1 // l2 // l3,且 =q(q Î R)时, = =q. BC BC EF l1 , l2 , l3不等距!

平行线分线段成比例定理

平行线分线段成比例定理

AB C E F平行线分线段成比例定理【知识要点】导入:如图分别与321221,////l l l b a l l l 交于A,B,G ,D,E,F 则1. 假设21,l l 分别被同一组平行线截得线段;,;,,2121n n b b b a a a 则n n b b b b a a a a ::::::321321 = 或nn b a b a b a b a ==== 332211这就是平行线分线段成比例定理。

2. 平行线分线段成比例定理可简记为:⎪⎭⎫⎝⎛==⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎭⎫ ⎝⎛==∴全上全上全下全下下上下上DF DE AC AB DF EF AC BC EF DE BC AB l l l 321////特别地,当A 与D 重点时: 当B 与E 重点时:AF AEAC AB EFAEBC AB ==DFDB ACABBFDB BC AB== 3.推论: A 型CEBDAE AD AC AB DE ADBC AB === a b A BCFE D 1l 2l3lA B 1l2l CFE D 3l ADBF C1l2l 1b 1a 2a 2b na n bX 型ECADBE DB BC AB ==【典型例题】例1 已知:如图,a//b//c ,时BD=2AB ,EF=3cm,HF=5cm,求FG 和HQ 的长;例2 如图:在ABC ∆中,DE//BC ,EF//C (1)求证:AF:AD=AD:AB (2)若AF=4,FB=5,求FD 的长。

例3 如图:N 为□ABCD 一边AD 的中点,BM 多AC 于点P ,若AC=6cm,求PC 的值?EADBCA E HB FP Q GDA M PB C例4 如图:若DE//AB,FD//BC,,32=AC AD AB=9cm,BC=6cm,求□BEDF 的周长?例5 如图:再ABC ∆中,D 为AC 上一点,E 为CB 延长先上一点,且FDEFBC AC =求证:AD=EB 。

平行线分线段成比例定理证明过程

平行线分线段成比例定理证明过程

平行线分线段成比例定理是初中数学中的重要概念之一,也是几何学中的基础知识。

在我们探讨这个定理的证明过程之前,首先让我们了解一下平行线分线段成比例定理的概念。

一、平行线分线段成比例定理的概念平行线分线段成比例定理是指:如果一条直线被两条平行线截断,那么它们所截取的线段成比例。

形式化表示就是:设直线l被两条平行线m和n截断,截线段分别为AB和CD,那么有AD/DB=AC/CB。

二、证明过程接下来,我们来探讨平行线分线段成比例定理的证明过程。

1. 利用证明过程所需的前提条件我们需要利用欧几里得几何学的基本公设和定理来证明这个定理。

其中,我们需要用到的包括平行线的性质、相似三角形的性质等。

2. 构造辅助线在证明过程中,我们通常会构造一些辅助线来帮助我们证明定理。

我们可以根据已知条件,构造出一些三角形或平行四边形来辅助证明。

3. 利用相似三角形性质在证明中,我们需要利用到相似三角形的性质。

我们可以利用相似三角形的对应边成比例的性质来帮助我们证明线段的成比例关系。

4. 利用平行线的性质平行线具有许多特殊的性质,其中之一就是平行线与被它们截取的直线所成的各对应角相等。

我们可以利用这一性质来帮助我们证明定理。

5. 运用数学归纳法在证明过程中,我们可能需要通过数学归纳法来确保定理对于所有情况都成立。

6. 总结通过以上的证明过程,我们可以得出平行线分线段成比例定理的证明结果。

三、个人观点和理解从证明过程中,我们可以看到,数学证明不仅需要逻辑思维,还需要创造性地构造辅助线、利用相似三角形等方法来解决问题。

平行线分线段成比例定理的证明过程,让我深刻体会到数学的美妙之处,也让我更加深入地理解了相关概念和定理。

总结通过本文对平行线分线段成比例定理的证明过程的探讨,我们不仅了解了这一定理的基本概念,还深入探讨了其证明的具体步骤和相关思想。

通过这样的学习和探讨,我们不仅可以掌握知识,还能够培养良好的逻辑思维能力和解决问题的能力。

平行线分线段成比例定理

平行线分线段成比例定理

左 左 = 右 右
L5 L4 A D B E C
L5
L4 D
L1
L2
E A
L1
L2
B C 数学符号语言 L3 数学符号语言 ∵ DE∥BC ∵ DE∥BC
L3
AD AE AB AC
AD AE AB AC
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的 延长线),所得的对应线段的比相等.
例1 如图: l1∥l2∥l3 ,
A1 A 要把表示对应角顶点的 字母写在对应的位置上。 注意 B1 C
B
C1
当 ∠A =∠A1,∠B =∠B1, ∠C =∠C1, AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 = k 时, 则△ABC 与△A1B1C1 相似,
记作△ABC ∽ △A1B1C1。
平行线分线段成比例定理:
(1)若AB=3 , DE=2, EF=4,求 BC. 解: l ∥l ∥l A
一般把所求线段 BC EF AB DE 写成比例第一项.
即:
BC EF BCDE 4 AB
1
2
3
B C
D E
F
l1 l2 l3
3
2
BC=6
(2)若AC=8,DE=2,EF=3,求AB.
AB DE DE AB 2 16 AB AC DF DE EF 8 2 3 5
过点E作EF∥AB,EF交BC于点F. ∵DE∥BC,EF∥AB,
AD AE BF AE , . AB AC BC AC DE . BC
E
C
∵四边形DEFB是平行四边形, DE AE AD AE , ∴DE=BF,
BC AC AB AC

平行线分线段成比例定理

平行线分线段成比例定理

平行线分线段成比例定理(一)一、学习目标1.在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理,并会灵活应用。

2.通过学习定理,再一次培养同学们类比的数学思想。

3.渗透理解从特殊到一般的辩证唯物主义观点。

二、重点、难点、疑点及解析1.重点是平行线分线段成比例定理及其应用。

2.难点是平行线分线段成比例定理的正确性的说明。

3.疑点是由定理可得到六个比例,如图5-5而言,与横线段无关,这里要知道。

定理中“能得的对应线段成比例”,是“被截得的”,要分清是谁截谁。

三、学习过程(一)复习自己叙述平行线等分线段定理。

(二)讲解新课在四边形一章里,我们学过平行线等分线段定理,今天,在此基础上,我们来研究平行线平分线段成比例定理。

首先复习一下平行线等分线段定理,如图5-5:∵l1∥l2∥l3,且AB=BC,∴DE=EF。

自己可以画三条平行线,并作出两条直线分别与这些平行线相交,用尺子进行测量并计算。

(该定理是用举例的方法引入的,没有给出证明,严格的证明要用到我们还未学到的知识,通过测量计算可以得到比例仍成立)由比例性质,还可得到:平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。

平行线等分线段定理可看作是这个定理的特例。

根据此定理,我们可以写出六个比例,为了便于应用,在以后的论证和计算中,可根据情况选用其中任何一个参见图5-6~图5-7。

∵l1∥l2∥l3,其中图5-8,图5-9两种情况仍然成立,下一节我们会学习这部分更具体的内容。

例1 已知:如图5-6,l1∥l2∥l3,若AB=3,DE=2,EF=4,求:BC。

解:自己来完成。

注:在列比例式求某线段长时,尽可能将要求的线段写成比例的第一项,以减少错误,如例1可列比例式为:自己来完成。

提示:设DE=m,EF=n。

小结:(1)熟练掌握由定理得出的六个比例式。

(2)灵活运用定理解决问题。

平行线分线段成比例定理(二)一、学习目标1.在巩固平行线等分线段定理的基础上掌握其推论及推论的应用。

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EF 4
l
D
l1
E
l2
F
l3
考察AB 2 BC 3
设线段AB的中点为P1,线 段BC的三等分点为P2、P3. AP1=P1B=BP2= P2P3= P3C
l A
P1
B
P2 P3
C
l
D
Q1
E
l1 a1
Q2
l2 a1
Q3
F
a3
分别过点P1,P2, P3作直线
l3
a1,a2,a3平行于l1,与l 的交
点分别为Q1,Q2,Q3.
C
B
图3
图5
X (字母
型)
C
比例式 成立,因为 图形中有关的对应线段均没改变
教学设计(3)
猜想:⑴在图4、图5中,原题的条件(三
条平行线)发生了什么变化?⑵结论有没
有变?⑶猜一猜,你能发现什么规律?
A
部分线擦去, 取一部分
D E 一般到特殊 D
A (1)三条平行线剩下两条,且变 为三角形的一边和截三角形另两
BO CO (平行线分线段成比例
FO BO
)
A
FO AO
E
F D
AB // CE
o
EO CO(平行线分线段成比例 BO AO
)B
C
BO EO
图10
FO B O
用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角 形,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成 比例.
已知:如图,DE//BC,DE分别交AB、AC于点D、E
这时你想到了什么?
DQ1=Q1E=EQ2=Q2Q3=Q3F 平行线等分线段定理
则: AB DE 2 . BC EF 3
三条平行线截两条直线(两 条直线被一组平行线所截), 所得的对应线段成比例。
引导材料
观察图1,L1∥L2∥L3,对
照图1说出平行线分线段成比例定理的内
容?且写出比例式?

F
L1
A
F L1
A (F)
L1
D
E L2
DE
L2
( 一般到 特殊 )
怎样变化?
B
C L3
B
C
L3
图1
图2
平行移动直线FC与直线AB相交,交点A在L1上。
教学设计(1)续 续观察
A
F L1
F
A
L1
D
E L2
D (E)
L2
( 一般到特殊 )
B 图1
怎样变化?
C
B
L3
图3
C L3
平行移动直线FC与直线AB相交,交点D在L2上
教学设计(2)
思考:把图2、图3中的部分线擦去,得
到图4、图5,上述比例式还成立吗?
A L1
A
DE L2
D
E
部分线擦去,取一部分
A ( 字母
型)
B
一般到特殊
C
L3
B
C
ห้องสมุดไป่ตู้
图2
图4
比例式 成立 ,因为 图形中有关的对应线段均没改变
教学设计(2)续
续思考
F
A
F
A
D (E)
D (E)
部分线擦去,取一部分
一般到特殊 B

E L2
B L4 图1

L3
L5
平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线(两条直线被一组平行 线所截),所得的对应线段成比例。
AD/DB=FE/EC (上/下=上/下) AD/AB=FE/FC (上/全=上/全)
DB/AB=EC/FC (下/全=下/全)
A
F L1
D
E
L2
B
C
L3
L4
L5
图1
答案(2)
DB/AD=EC/FE (下/上=下/上) AB/AD=FC/FE (全/上=全/上) AB/DB=FC/EC (全/下=全/下)
A
F L1
D
E
L2
B
C L3
L4
图1
L5
例:l1∥l2∥l3 AB=4,DE=3, l
EF=6.求BC的长
A
解: ∵l1∥l2∥l3
B
∴AB/BC=DE/EF
(平行线分线段成比例) C ∵AB=4 DE=3 EF=6
成比例线段?
两条直线会有什么结果?
AQ
思考并猜想:根据上述结论,QC
你还能发现什么新的结论?
3 DT 3 2 TF 2
二、定理的引入及推导
l
三条距离不相等的平行线
A
截两条直线会有什么结果?
B
猜 想 :
若 若
AB 2 ,那么,DE ?2
BC 3
EF 3
AB 3 , 那么, DE ? 3
C
BC 4
平行线分线段成比例定理
学习目标: 1、会识别平行线分线段成比例的变式图形。 2、能写出图中的成比例线段。 3、理解平行线分线段成比例定理的推论。 4、会用推论去计算和证明有关的问题。 5、建立一种解题模型。 6、会用“运动”的观点去研究解决问题。 7、欣赏数学的美学文化——理性美、结构美。
一、导入
已知:DE∥BC,AB=14,AC=18,AE=10 求:AD的长?
解:∵DE∥BC
∴AD/AB=AE/AC(平行于三角形一边
的直线截其他两边,所得的对应线段成比
例。)
A
即AD/14=10/18
∴AD=70/9
D
E
B 图7
C
课堂练习(2)及答案
已知:ED∥BC,AB=5,AC=7,AD=2
求:AE的长?
解:∵ED∥BC
∴AD/AB=AE/AC (平行于三角形一边
的直线截其它两边的延长
E
D
2
线,所得的对应线段成比例)
A
5
7
即2/5=AE/7 ∴AE=14/5
B
图8
C
例:已知,点E为平行四边形ABCD的边
CD的延长线上的一点,连接BE,交AC于点
O,交AD于点F。求证:
证明: AF//BC
BO EO
如图: l1//l2//l3//l4//l5,//l6
A
D
L1
且AP=PB=BQ=QR=RC.
P
S
L2
(1)你能推出怎样的结论?
B
Q
由平行线等分线段定理可知.
R
(注意其前提条件是:等距)
C
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相
E L3 T L4 G L5
F L6
等,那么在其他直线上截得的线段也相等
(2)三条距离不相等的平行线截
已知:DE∥BC,AB=15,BD=4,AC=9, 求: AE的长?
证明:∵DE∥BC
∴AB/BD=AC/CE(平行于三角形一边的直线 截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线
段成比例。)
即15/4=9/CE
A
∴CE=12/5
∴AE=AC+CE =9+12/5
B
C
=11.4
D
E
图6
课堂练习(1)及答案
∴4/BC=3/6 ∴BC=8
l
D
l1
E
l2
F
l3
a
b
A
D
E
L1 L2
C
F
L3
AB DE BC EF
基本图形:“A”字形
a A B
b
D (E)
L1 L2
C
AB DE BC EF
基本图形:“x”字形
F
L3
教学设计(1)
观察 1.
图2、图3,说出它们分别是由图1怎样变化得
到的?且写出图2、图3中有关的比例式?
E
边或两边延长线的线段。其中图4 中DE∥BC,图5中AF∥BC
B 图2
FA
CB
图4
部分线擦去,
取一部分 F
(2)结论没变,所得的对应线段 C 成比例。
A
(3)推论:平行于三角形一边的 直线截其他两边(或两边的延长
D(E) 一般到特殊 D (E) 线),所得的对应线段成比例。
B 图3 C
B
C
图5
例题解析
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