第1讲：矩形的性质及判定
矩形的性质与判定ppt课件
随堂练习
如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，
AB=6，AO=4，求BD与AD的长. (填空)
A
D
O
知识技能
B
C
1. 一个矩形的对角线长为6，对角线与一边的夹角是45°，求这个
矩形的各边长. (填空)
2. 一个矩形的两条对角线的一个夹角为60°，对角线长为15，求这个 矩形较短边的长. (填空)
O
B
C
(2)图中有哪些等腰三角形？这些等腰三角形中哪些是全等三角形？
解：(2)△AOB，△BOC ，△COD， △DOA
(3)△AOB 、△BOC 、△COD 、△DOA的面积相等么？为什么？ 解：(3)S△AOB=S△BOC =S△COD=S△DOA
议一议:
如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E，那么BE是Rt△ABC
①对角相等，邻角互补 ②对边平行且相等 ③对角线互相平分 ④对角线相等
⑤每条对角线平分对角 ⑥四条边相等 ⑦四个内角都相等 ⑧对角线垂直
探究二：矩形的性质
想一想 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.
(1)线段OA，OB，OC，OD有什么数量关系？ A
D
解：(1) OA=OB=OC=OD
B
C
证明： (1)∵四边形ABCD是矩形
∴ ∠ABC=∠ADC，∠BCD=∠BAD，
AB∥DC.
∴∠ABC+∠BCD=180°
又∵∠ABC = 90°
∴∠BCD= 90°.
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°
探究二：矩形的性质 证明矩形的性质
已知： 如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与DB
1.2.1矩形的性质
利用几何画板的平行四边形进行演示，使平行四边形的一个
内角变化，请同学们注意观察.
怎样由平行四边形得到矩形？
矩形
自主探究 （10min）
1.请同学们阅读课本11-14页.
2.请同学们拿出一张矩形纸片出来，我们来动手试试看.用矩形纸片
折一折，回答下列问题：
①矩形是轴对称图形吗? 如果是，它有几条对称轴?
点O.点 E,F 分别是AO,AD的中点,连接EF,则△AEF的周长为( )
A.12
B.18
C.20D.16来自例精讲【题型一】利用矩形的性质求线段的长度
例 2: 如图,在矩形 ABCD中,对角线 AC,BD 相交于点O,已知
∠AOB=120°,AB=1,则BC 的长为
.
典例精讲
【题型二】利用矩形的性质求角度
【知识点 1】矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
注意： 矩形定义的两个要素是①是平行四边形；②有一个角是
直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这
个特殊条件.
教师讲评
【知识点 2】矩形的性质
矩形的性质包括四个方面：
①矩形具有平行四边形的所有性质；
②矩形是轴对称图形，它有两条对称轴；
如图，一张矩形纸片ABCD，画出两条对角线，且交于点O，
沿着对角线AC剪去一半.
问题：在Rt△ABC中，BO的长度与斜边AC有什么关系？
（学生观察、思考后发现：BO=
AC.由此归纳出直角三角形的
一个性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
小组展示
越展越优秀
提疑惑：你有什么疑惑？
教师讲评
对称轴之间有什么位置关系?
矩形的性质与判定知识点
矩形的性质与判定知识点矩形是我们日常生活中最常见的几何形状之一，因为它有很多明显的性质和特点，所以在数学、物理等领域中也被广泛应用。
本文旨在介绍矩形的性质与判定知识点，以帮助读者更好地理解和应用矩形。
一、矩形的基本定义和性质在几何学中，矩形是一个四边形，其中对角线相等，且所有内角均为直角。
它的两条对边平行且长度相等，两条相邻边的内角均为90度。
由此可以得到矩形的以下基本性质：1. 对角线相等设矩形的两条对角线为AC和BD，则AC=BD，即对角线相等。
2. 边角关系设矩形的边长为a和b，则它的周长为C=2a+2b，面积为S=ab。
3. 内角和由于矩形的内角均为90度，因此它的任意两个内角的和均为180度。
4. 三角函数关系设矩形的一条边长为a，另一条边长为b，则其对角线长为D=sqrt(a^2+b^2)。
根据三角函数关系，可得矩形各角的正切值和余切值：tanA=a/b，tanB=b/a，cotA=b/a，cotB=a/b。
二、矩形的性质扩展除了以上基本性质外，矩形还有一些特殊的性质，它们在具体的数学问题中往往会有实际的应用。
下面介绍一些常见的扩展性质。
1. 中线定理设矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，线段AB与线段CD交于点E，线段AD与线段BC交于点F。
则OE、OF为矩形的中线，且OE=OF=1/2AC。
证明：由于AC=BD，因此OC=OD。
又由于AB∥CD，因此∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠OCB。
因此三角形OAB和OCD，三角形OBA和OCB均为全等三角形，故OA=OC，OB=OD。
又因为OE是线段AB上的中线，OF是线段AD上的中线，因此OE=1/2AB=1/2CD，OF=1/2AD=1/2BC。
因此OE=OF=1/2AC。
2. 对称性质设矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，则AO=CO，BO=DO。
由此可知，点O是矩形的对称中心。
证明：因为AC=BD，所以OC=OD，且三角形AOC和COD的第一边、第三边、第五边相等，因此它们一定全等。
2 矩形的性质与判定1 第1课时 矩形的性质
1.2 矩形的性质与判定第1课时 矩形的性质1．掌握矩形的定义，理解矩形与平行四边形的关系．2．理解并掌握矩形的性质定理；会用矩形的性质定理进行推导证明．(重点)3．会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力．(难点)阅读教材P11～13，完成下列问题：(一)知识探究1．有______________的平行四边形叫做矩形．2．生活中你见到过的矩形有________、________.3．矩形是________的平行四边形，具有平行四边形的________性质．4．矩形的________都是直角．5．矩形的对角线________．6．直角三角形斜边上的中线等于斜边的________．(二)自学反馈1．矩形是轴对称图形吗？如果是的话，它有几条对称轴？2．请用所学的知识诊断下面的语句，若正确请在括号里打“√”，若“有病”请开药方：(1)矩形是特殊的平行四边形，特殊之处就是有一个角是直角．( )(2)平行四边形是矩形．( )(3)平行四边形具有的性质(如平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分)矩形也具有．( )3．已知△ABC 是直角三角形，∠ABC ＝90°，BD 是斜边AC 上的中线．若BD ＝3 cm ，则AC ＝________cm.活动1 小组讨论例 如图，在矩形ABCD 中，两条对角线相交于点O ，∠AOD ＝120°，AB ＝2.5 cm ，求矩形对角线的长．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD(矩形的对角线相等)，OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD. ∴OA ＝OD.∵∠AOD ＝120°，∴∠ODA ＝∠OAD ＝12×(180°－120°)＝30°. 又∵∠DAB ＝90°(矩形的四个角都是直角)，∴BD ＝2AB ＝2×2.5＝5.利用矩形的对角线相等及直角三角形的性质是解决这类问题的关键．活动2 跟踪训练1．矩形具有一般平行四边形不具有的性质是( )A ．对边相互平行B ．对角线相等C ．对角线相互平分D ．对角相等2．如果矩形的两条对角线所成的钝角是120°，那么对角线与矩形短边的长度之比为( )A．3∶2 B．2∶1 C．1.5∶1 D．1∶13．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是( )A．8 B．6 C．4 D．24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E为AB、AC的中点．则下列结论中错误的是( ) A．CD＝AD B．∠B＝∠BCD C．∠AED＝90° D．AC＝2DE5．在直角三角形中，两条直角边的长分别为12和5，则斜边上的中线长为________．6．矩形的一条对角线长10 cm，且两条对角线的一个夹角为60°，则矩形的宽为________cm.7．如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F.求证：DF＝DC.活动3 课堂小结1．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2．矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．。
矩形的性质与判定(第1课时矩形的定义与性质)
中点，由此可联想到应用“直角三角形斜边上的中线等于斜
边的一半”这一定理．
解：连接EG，DG. ∵BD，CE是△ABC的高， ∴∠BDC＝∠BEC＝90°. ∵点G是BC的中点，
∴EG＝12
BC，DG＝
1 2
BC.
∴EG＝DG.
又∵点F是DE的中点，
∴GF⊥DE.
课堂小结
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形.
在Rt△ABD中， 由勾股定理，得AB2+AD2=BD2 ,
∴ x2 82 x 42
解得x=6，则 AB=6cm. ∵AE×DB= AD×AB,解得 AE= 4.8cm.
“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式 ，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式： AE×DB= AD×AB.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∠C=90°, ∴∠A=∠C=90° ∠B+∠C=180 °, ∴∠B=180－∠C=90°, ∴∠D=∠B=90°, 即∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
几何语言： ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
矩形的对角线相等
A
D
已知：四边形ABCD是矩形,
AC.
在矩形ABCD中，找出相等的线段与相等的角.
A
D
相等的线段：
AB=CD AD=BC
AC=BD
OA=OC=OB=OD
11
=2
AC=
2
BD
B
O
C
相等的角：
∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
∠AOB=∠DOC ∠AOD=∠BOC
∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD
∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB
矩形的性质及判定方法
矩形的性质及判定方法
一分耕耘一份收获，付出了就能收获回报，想要了解矩形的性质的小伙伴快来瞧瞧吧！下面由小编为你精心准备了“矩形的性质及判定方法”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！
矩形的性质
1、从边看，标准矩形对边平行且相等。
2、从角看，标准矩形四个角都是直角。
3、从对角线看，标准矩形对角线互相平分且相等。
标准矩形是轴对称图形，它有两条对称轴，它也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
4、具有不稳定性（易变形）。
矩形的常见判定方法如下：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）对角线相等的平行四边形是矩形。
（3）有三个角是直角的四边形是矩形。
（4）定理：经过证明，在同一平面内，任意两角是直角，任意一组对边相等的四边形是矩形。
（5）对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
矩形的面积公式
四个内角都是直角的四边形是矩形，矩形也叫长方形，面积公式为S=a×b，其中S为长方形面积，a为长方形的长，b为长方形的宽。
矩形与平行四边形的区别
矩形：
一、定义
在几何中，长方形（又称矩形）定义为四个内角相等的四边形，即是说所有内角均为直角。
二、性质
是特殊的平行四边形；两组对边平行且相等；四个角都为90度；对角线互相平分。
平行四边形：
一、定义
在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形，称为平行四边形。
二、性质
两组对边平行且相等；两组对角分别相等；对角线互相平分；内角和为360度；相邻两边的夹角大于0度小于180度。
矩形的性质与判定
矩形的性质与判定
矩形是平面几何中的一种基本图形，具有许多重要的性质和判定方法。
本文将
介绍矩形的性质以及如何判定一个四边形是否是矩形。
矩形的性质
1.四边相等：矩形的四条边相互平行且相等长。
2.四个角均为直角：矩形的四个角均为90度，即直角。
3.对角线相等且互相平分：矩形的两条对角线相等且互相平分。
4.对角线垂直且相交于中点：矩形的两条对角线互相垂直，且相交于
各自的中点。
判定一个四边形是否为矩形
1.判定四条边是否相等：如果一个四边形的四条边相等并且相互平行，
则该四边形为矩形。
2.判定四个角是否为直角：可以使用角度计算方法，通过测量四个角
的度数是否均为90度来确定一个四边形是否为矩形。
3.判定对角线是否相等且互相平分：通过测量对角线的长度是否相等
来判断一个四边形是否为矩形。
4.判定对角线是否垂直且相交于中点：可以通过测量对角线的交点是
否为对角线中点以及两条对角线的斜率乘积是否为-1来判断一个四边形是否
为矩形。
综上所述，矩形的性质包括四边相等、四个直角、对角线相等且互相平分、对
角线垂直且相交于中点四个方面，通过判定四边形的边长、角度、对角线等特征可以确定一个四边形是否为矩形。
结语
矩形是几何学中重要的基本图形之一，具有许多独特的性质和判定方法。
通过
深入理解矩形的性质和判定方法，可以更好地理解和运用这一基本几何形状。
愿本文对您理解矩形有所帮助。
以上是关于矩形的性质与判定的介绍，希望对您有所启发。
1.2.1 矩形的性质与判定(第一课时)
矩形的性质与判定
学习目标
1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与 联系.（重点）
2.会证明矩形的性质，会用矩形的角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用. （重点）
下面图片中都含有一些特殊的平行四边形. 观察这些特殊的 平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
矩形的四个角都是直角，对角线相等. 下面我们证明这些结论.
已知：如图1，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90° ，对角线AC与DB相交 于点O.
求证：（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°. （2）AC＝DB.
证明：（1）∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ABC=∠CDA，∠BCD=∠DAB（矩形的对角相等），
证明：（2）∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB=DC，（矩形的对边相等）.
在△ABC和△DCB中，
∵ AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，
图1
∴ △ABC≌△DCB.
∴ AC=DB.
归纳小结
定理 矩形的四个角都是直角. 定理 矩形的对角线相等.
问题1：请你总结一下矩形有哪些性质？
归纳概括矩形的性质： 从边来说，矩形的对边平行且相等； 从角来说，矩形的四个角都是直角； 从对角线来说，矩形的对角线相等且互相平分； 从对称性来说，矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形.
(2)若∠C = 30°, AB = 5cm, 则AC =__1_0__cm, BD = __5___cm.
A D
B
C
2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分 别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF=__2_._5__cm．
矩形的性质与判定
∴四边形DEMN是平行四边形．
∵BD＝2AB，BD＝2BO，∴AB＝OB.又∵M是AO的中点，∴BM⊥AO. ∴∠AMB＝∠EMN＝90°. ∴四边形DEMN是矩形． ∵AB＝5，DN＝BM＝EM＝4，∴AM＝3＝MO. ∴MN＝6. ∴矩形DEMN的面积为6×4＝24.
理由如下： ∵△ABC 是等腰三角形且 AD⊥BC，
A
E N
∴BD = CD,
F
又∵ADCE是矩形，∴AE = CD，AE∥CD，
∴BD=AE, BD∥AE,
B
D
C
∴四边形 ABDE 是平行四边形.
探究新知
A 直角三角形斜边上的中
线等于斜边的一半。 B
符号语言：
∵ Rt△ABC，O是AC的中点
∴
BO=
(2)当AB=DC时，求证：AEFD是矩形.
B (2)证明：∵四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，
E
F
C
∴DE=AB，AF=DC.
又AB=DC，
∴DE=AF.
又∵四边形AEFD是平行四边形，
A
D
四边形 判定 条件
平行四边形 有一个角是直角
对角线相等
B
O
C
判定菱形的常见思路：
四条边都相等
四边形 判定 平行四边形 一组邻边相等
条件
对角线互相垂直
菱形
随堂练习
1. 已知：如图，四边形 ABCD 由两个全等的等边三角形 ABD 和 CBD 组 成，M，N 分别是 BC 和 AD 的中点. 求证：四边形BMDN是矩形.
矩形的性质与判定(1)
面积.
A
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC = 2OA，BD = 2OB，
∵△AOB是等边三角形
∴OA = OB，
B
∴AC =BD，
∴□ABCD是矩形.
在Rt△ABC中，
∵AB = 4cm，AC=2AO=8cm,
∴BC=
82 42 4 3(cm),
S ∴ □ABCD=AB·BC = 4×4 3 =16 3(cm2).
D O
C
P16随堂练习
已知：如图，在□ABCD中， M是AD
边的中点，且MB=MC。
求证：四边形ABCD是矩形。
A
M
D
B
C
谈一谈，今天你有何收获？
判定一个四边形是矩形的方法是：
ABCD ∠A=90°
ABCD AC = BD
ABCD 是矩形
∠A= ∠B= ∠C=90°
四边形ABCD 是矩形
1． 有一个内角是直角 的平行四边形是矩形．对角 线 相等 的平行四边形是矩形．有三个角是直角的 四边形是 矩形 形。
6、已知如图四边形ABCD中
AO=BO=CO=DO，
试说明四边形ABCD是矩形。
证明：∵
A
D
A∴OA=OB=OC=OC，O=DO
O
∴四BO边=形DEOFGH是平行四B边形
C
又∵AO+CO=BO+DO
即AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
7、已知： 矩形ABCD的对角线AC、BD相交
于O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、
0
2
C
F
1
N D
∴∠2+∠4=90°即∠ECF=90°
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第1讲：矩形的性质及判定
班级_____ 姓名_____________ 学号______ 评分_________
〖经验分享〗
1.矩形的定义:___________________________________________________________________
2.矩形的性质：
(1)边：__________________________________________________________________________
(2)角：__________________________________________________________________________
(3)线：__________________________________________________________________________
(4)对称性：______________________________________________________________________ 3.矩形的判定：
(1) ______________________________________________________________________________
(2) ______________________________________________________________________________
(3) ______________________________________________________________________________
(4) ______________________________________________________________________________
6.如图，平行四边形ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E，F不重合，若△ACD的面积为3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为_______
7.如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，若BC=BE=2CD，则∠ECD的度数为_________
8.如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，F是CE的中点，若△BDF的面积为6，则矩形ABCD的面积为_____________
9.如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，P是AB上除A，B外的任一点，对角线AC，BD相交于点O，DP，CP分别交AC，BD于点E，F．若△ADE和△BCF的面积之和为4cm2，则四边形PEOF的面积为_______________
10.如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB’C’D的位置，此时AC’的中点恰好与点D重合，AB’交CD于点E．若AB=3，则△AEC的面积为____________
11.如图，在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,P是CD上的动点,PE⊥BD于E,PF⊥AC于F,则PE+PF 的值为____________
12.如图，在矩形ABCD中，已知AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD于E，PF ⊥AC于F，那么PE+PF的值为___________.
12.如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为_____________
13. 如图,矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,若∠CAE=15°,则∠BOE的度数为____________
14．如图，矩形ABCD中，MN∥AD，PQ∥AB，则S1与S2的大小关系是______________ 15.如图，利用四边形的不稳定性改变矩形ABCD的形状，得到▱A1BCD1，若▱A1BCD1的面积是矩形ABCD面积的一半，则∠ABA1的度数是 __________
16.如图，矩形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，△DEF为等腰直角三角形，∠DEF=90°，AD+CD=10，AE=2，求AD的长________________
17.如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：
①S1+S2=S3+S4；②S2+S4=S1+S3；③若S3=2S1，则S4=2S2；④若S1=S2，则P点在矩形的对角线上．其中正确的结论的序号是 ______________（把所有正确结论的序号都填在横线上）
18.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为_________________
19.如图，矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在BC上由B向C移动时，点R不动，那么EF的长度（用“变大”、“变小”和“不变”填空）．20.在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为_________．。