您的位置：360文档中心› 2023年各地中考几何压轴题汇编附详解

2023年各地中考几何压轴题汇编附详解

合集下载

2023年河南省各地市中考数学三模压轴题精选之四边形和相似三角形(含解析)

2023年河南省各地市中考数学三模压轴题精选之四边形和相似三角形(含解析)

2023年河南省各地市中考数学三模压轴题精选之四边形和相似三角形1.(2023·河南省商丘市·三模)如图，平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y轴的正半轴上，对角线AC和OB交于点D，作∠ABO的平分线，交OA于点P，交AC于点Q.若OP=2，则点Q的坐标为( )A. (3,2)B. (2+1,1)C. (2+2,2)D. (3,1)2.(2023·河南省天宏大联考·三模)如图，已知点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD、DC延长线的垂线，垂足分别为点E、F.若∠ABC=120°，AB=2，则PE―PF的值为( )A. 32B. 3 C. 2 D. 523.(2023·河南省天一大联考·三模)如图，△ABC是边长为8的等边三角形，以AC为底边在右侧作等腰三角形ADC，连接BD，交AC于点O，过点D作DF//AB交AC于点E，交BC于点F，若AD=5，则DF的长为( )A. 32B. 3+3C. 4+3D. 3+324.(2023·河南省天宏大联考·三模)如图，在△ABC中，OA=4，OB=3，C点与A点关于直线OB对称，动点P、Q分别在线段AC、AB上(点P不与点A、C重合)，满足∠BPQ=∠BAO.当△PQB为等腰三角形时，OP的长度是______．5.(2023·河南省天一大联考·三模)如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60°，BC=1，点E是直线AB上一点，连接CE，将△BCE沿直线CE折叠，点B落在点B′处，若四边形BEB′C是菱形，则CE的长为______．6.(2023·河南省商丘市·三模)如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AD=6，∠ABD=30°，点E为CD 的中点，点P为BC，AB上一个动点，将△PEC沿PE折叠得到△PEQ，点C的对应点为点Q，当点Q落在矩形ABCD的对角线上时，PC的长为______．7.(2023·河南省郑州市外国语学校·三模)如图，直角△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，点E是边AC 上一点，将BE绕点B顺时针旋转60°到点F，则CF长的最小值是．8.(2023·河南省郑州一中·三模)如图，在△ABC中，AB=AC=3+1，∠BAC=120°，P、Q是边BC上两点，将△ABP沿直线AP折叠，△ACQ沿直线AQ折叠，使得B、C的对应点重合于点R.当△PQR为直角三角形时，线段AP的长为______．9.(2023·河南省洛阳市·三模)如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别在E，F.且点F在矩形内部，MF的延长线交边BC于点G，EF交边BC于点H.EN=1，AB=4，当点H为GN三等分点时，MD的长为______．10.(2023·河南省濮阳市·三模)矩形ABCD中，AB=3，BC=4，对角线AC、BD交于点O，点M是BC边上一动点，连接OM，以OM为折痕，将△COM折叠，点C的对应点为E，ME与OB交于点G，若△BGM为直角三角形，则BM的长为______．11.(2023·河南省商丘一中·三模)折纸游戏：小明剪出一个直角三角形的纸片ABC，其中，∠A=60°，AC=1，找出BC的中点M，在AB上找任意一点P，以MP为对称轴折叠△MPB，得到△MPD，点B的对应点为点D，小明发现，当点P的位置不同时，DP与△ABC的三边位置关系也不同，请帮小明解决问题：当DP⊥BC 时，AP的长为______．12.(2023·河南省驻马店市二中·三模)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=15，AC=12，E为AB上的点，将EB绕点E在平面内旋转，点B的对应点为点D，且点D在△ABC的边上，当△ADE恰好为直角三角形时，BE的长为______．13.(2023·河南省驻马店市确山县·三模)如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=23，∠B=30°，点D在AB上且AD=2，点P为AC的中点，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ、DQ.当∠DAQ=60°时，DQ的长为______．14.(2023·河南省周口市西华县·三模)如图1，将两个等腰直角△ABC和△DEF如图1放置，∠C=∠F=90°，AC=DF=2，D为AB的中点.如图2，将△DEF绕点D在平面内旋转，当△DEF的边恰好经过点C时，AF的长为______．15.(2023·河南省天宏大联考·三模)(1)如图1，正方形ABCD和正方形DEFG(其中AB>DE)，连接CE，AG交于点H，请直接写出线段AG与CE的数量关系______，位置关系______；(2)如图2，矩形ABCD和矩形DEFG，3AD=2DG，3AB=2DE，DC=DG，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α(0°<α<360°)，连接AG，CE交于点H，(1)中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AG，CE的数量关系和位置关系，并说明理由；(3)矩形ABCD和矩形DEFG，3AD=2DG=6，3AB=2DE=12，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α(0°<α<360°)，直线AG，CE交于点H，当点B、E、G在同一条直线上时，请直接写出线段BE的长．16.(2023·河南省天一大联考·三模)综合与实践【问题发现】(1)如图1，在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，且EG⊥FH于点O.试猜想线段EG与FH的数量关系为______；【类比探究】(2)如图2，在矩形ABCD中，AB=a，BC=2a，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，连接EG，FH，且EG⊥FH，垂足为O.试写出线段EG与FH的数量关系，并说明理由；【拓展应用】(3)如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠BCD=60°，点M，N分别在边AB，BC上，连接CM，DN，且CM⊥DN，垂足为O.已知AB=3，BC=DC=4，若点M为AB的三等分点，直接写出线段DN的长．17.(2023·河南省郑州市外国语学校·三模)【问题发现】小明在一次利用三角板作图的过程中发现了一件有趣的事情：如图1，在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=6，点M和点P分别是斜边AB上的动点，并且满足AM=BP，分别过点M和点P作AC边的垂线，垂足分别为点N和点Q，那么MN+PQ的值是一个定值．问题：若AM=BP=2时，MN+PQ值为______；【操作探究】如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AB=m；爱动脑筋的小明立即拿出另一个三角板进行了验证，发现果然和之前发现的结论一样，于是他猜想，对于任意一个直角三角形，当AM=BP时，MN+PQ的值都是固定的，小明的猜想对吗？如果对，请利用图2进行证明，并用含α和m的式子表示MN+PQ的值．【解决问题】如图3，在菱形ABCD中，AB=8，BD=14.若M、N分别是边AD、BC上的动点，且AM=BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E、F，则ME+NF的值为______．18.(2023·河南省郑州市十九中·三模)如图，在矩形ABCD中，点M、N分别为AD、BC上的点，将矩形ABCD 沿MN折叠，使点B落在CD边上的点E处(不与点C，D重合)，连接BE，过点M作MH⊥BC于点H．(1)如图①，若BC=AB，求证：△EBC≌△NMH；(2)如图②，当BC=2AB时，①求证：△EBC∽△NMH；②若点E为CD的三等分点，请直接写出AM的值．BN【问题背景】如图(1)，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，点E为边BC上一点，沿直线DE将矩形折叠，使点C落在AB边上的点C′处．(1)【问题解决】填空：AC′的长为______；(2)如图(2)，展开后，将△DC′E沿线段AB向右平移，使点C′的对应点与点B重合，得到△D′BE′，D′E′与BC 交于点F，求线段EF的长．(3)【拓展探究】如图(3)，在△DC′E沿射线AB向右平移的过程中，设点C′的对应点为C″，则当△D′C″E′在线段BC上截得的线段PQ的长度为1时，直接写出平移的距离．=k，F是AC边上一动点，将△AFB沿着BF翻折得点A 【问题情景】如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,ACBC的对应点D，连接CD，将射线CD绕点C顺时针旋转90°交BF于点E．【问题发现】(1)如图1，若k=1，设∠ABF=α．①求∠DAC的度数.(用含α的式子表示)②求证：CD=CE．【拓展应用】(2)如图2，若k=3，BC=2，在点F移动的过程中，当△ACD为直角三角形时，请直接写出BE的长．21.(2023·河南省商丘一中·三模)如图，矩形ABCD中，点M为CD上一点，AM⊥BM，点P为直线CD上一个动点，将射线PB绕点P逆时针旋转90°交直线AM于点Q．(1)当△AMB为等腰直角三角形时，①如图1，当点Q落在线段MA上时，试判断MB，MQ，MP的数量关系______；②如图2，当点Q落在射线MA上时，①中的结论是否变化，若不变，请证明.若变化，请说明理由；(2)如图3，若其他条件不变，Rt△AMB中，∠ABM=60°，AB=4，MQ=3，请直接写出MP的长．22.(2023·河南省周口市西华县·三模)实践发现：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平：再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．(1)折痕BM______(填“是”或“不是”)线段AN的垂直平分线；请判断图中△ABN是什么特殊三角形？答______；进一步计算出∠MNE=______；(2)继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，则∠GBN=______；拓展延伸：(3)如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A′处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA′交ST于点O，连接AT、A′S.求证：四边形SATA′是菱形．解决问题：(4)如图④，矩形纸片ABCD中，AB=10，AD=26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A′处，并且折痕交AB 边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9．请写出以上4个数值中你认为正确的数值______．23.(2023·河南省驻马店二中·三模)阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．《数学的发现》是2006年科学出版社出版的图书，作者是(美)乔治⋅波利亚.本书通过对各种类型生动而有趣的典型问题(有些是非数学的))进行细致剖析，提出它们的本质特征，从而总结出各种数学模型．共高三角形：有一条公共高的三角形称为共高三角形．共高定理：如图①，设点M在直线AB上，点P为直线外一点，则有S△PAMS△PBM =AMBM．下面是该结论的证明过程：证明：如图①，过点P作PQ⊥AB于点Q，……按要求完成下列任务：(1)请你按照以上证明思路，结合图①完成剩余的证明；(2)如图②，△ABC，①画出∠BAC的平分线(不写画法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图)；②若∠BAC的平分线交BC于D，求证：ABAC =BDCD．(3)如图③，E是平行四边形ABCD边CD上一点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，连接AE，CF，若△ADE的面积为2，则△CEF的面积为______．24.(2023·河南省新乡市封丘县·三模)综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断操作一：正方形透明纸片ABCD，点E在BC边上，如图1，连接AE，沿经过点B的直线折叠，使点E的对应点E′落AE在上，如图2，把纸片展平，得到折痕BF，如图3，折痕BF交AE于点G．根据以上操作，请直接写出图3中AE与BF的位置关系：______，BE与CF的数量关系：______．(2)迁移探究小华将正方形透明纸片换成矩形透明纸片，继续探究，过程如下：将矩形透明纸片ABCD按照(1)中的方式操作，得到折痕BF，折痕BF交AE于点G，如图4.若mAB=nAD，改变点E在BC上的位置，那么BFAE 的值是否能用含m，n的代数式表示？如果能，请推理BFAE的值，如果不能，请说明理由；(3)拓展应用如图5，已知正方形纸片ABCD的边长为2，动点E在AD边上由点A向终点D匀速运动，动点F在DC边上由点D 向终点C匀速运动，动点E，F同时开始运动，且速度相同，连接AF，BE，交于点G，连接DG，则线段DG长度的最小值为：______，点G的运动路径长度为：______(直接写出答案即可)．参考答案1.【答案】B【解析】解：如图，过顶点P作PE⊥OB于点E，∵四边形ABCD为正方形，∴OC=BC=AB=OA，∠OAB=90°，∴∠AOB=45°，∵PE⊥OB，∴△OPE为等腰直角三角形，∴PE=OP2=22=2，∵BP为∠ABO的平分线，PA⊥AB，PE⊥OB，∴PE=PA=2，∴OA=OP+PA=2+2，∴C(0,2+2)，A(2+2,0)，P(2,0)，B(2+2,2+2)，设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0)，将C(0,2+2)，A(2+2,0)代入得，b=2+2(2+2)k+b=0，解得：k=―1b=2+2，∴直线AC的解析式为y=―x+2+2，设直线BP的解析式为y=mx+n(m≠0)，将P(2,0)，B(2+2,2+2)代入得，2m+n=0(2+2)m+n=2+2，解得：m=2+1n=―22―2，∴直线BP的解析式为y=(2+1)x―22―2，联立直线AC 与直线BP 的解析式得，y =―x +2+ 2y =( 2+1)x ―2 2―2，解得：x = 2+1y =1，∴Q( 2+1,1)．故选：B ．过顶点P 作PE ⊥OB 于点E ，根据矩形的性质可得∠AOB =45°，则△OPE 为等腰直角三角形，PE =OP 2= 2，根据角平分线的性质可得PE =PA = 2，进而求出OA =2+ 2，于是C(0,2+ 2)，A(2+ 2,0)，P(2,0)，B(2+ 2,2+ 2)再利用待定系数法分别求出直线AC 与直线BP 的解析式，最后联立求解即可．本题主要考查正方形的性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质、角平分线的性质、用待定系数法求一次函数解析式，解题关键是利用待定系数法正确求出一次函数解析式是解题关键．2.【答案】B【解析】解：设AC 交BD 于O ，如图：∵菱形ABCD ，∠ABC =120°，AB =2，∴∠BAD =∠BCD =60°，∠DAC =∠DCA =30°，AD =AB =2，BD ⊥AC ，Rt △AOD 中，OD =12AD =1，OA = AD 2―OA 2= 3，∴AC =2OA =2 3，Rt △APE 中，∠DAC =30°，PE =12AP ，Rt △CPF 中，∠PCF =∠DCA =30°，PF =12CP ，∴PE ―PF =12AP ―12CP =12(AP ―CP)=12AC ，∴PE ―PF = 3，故选：B ．设AC 交BD 于O ，根据已知可得AC =2 3，而PE ―PF =12AP ―12CP =12(AP ―CP)=12AC ，即可得到答案．本题考查菱形的性质及应用，解题的关键是求出AC ，把PE ―PF 转化为12AC ．3.【答案】C【解析】解：在等边△ABC 中，AB =BC =AC =8，在等腰△ADC 中，AD =DC =5，∴BD 垂直平分AC ，∴AO =4，∠AOD =∠AOB =90°，∴∠ABO =∠CBO =30°，根据勾股定理，得OD = AD 2―AO 2= 52―42=3，BO = AB 2―AO 2= 82―42=4 3，∴BD =3+4 3，∵DF//AB ，∴∠FDB =∠ABD =30°，∴∠FDB =∠FBD =30°，∴DF =BF ，过点F 作FH ⊥BD 于点H ，则H 是BD 的中点，∴DH =12BD =3+432，设DF =x ，则FH =12x ，根据勾股定理，得(12x )2+(3+4 32)2=x 2，解得x =4+ 3或x =―4― 3(舍去)，∴DF =4+ 3，故选：C ．根据等边三角形和等腰三角形的性质可知BD 垂直平分AC ，再根据勾股定理求出OD 和BO 的长，进一步可得BD 的长，根据平行线的性质进一步可得DF =BF ，过点F 作FH ⊥BD 于点H ，根据等腰三角形的性质可得DH 的长，设DF =x ，则FH =12x ，根据勾股定理列方程，求解即可．本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，勾股定理等，熟练掌握这些性质是解题的关键．4.【答案】1或78【解析】【分析】分为三种情况：①PQ =BP ，②BQ =QP ，③BQ =BP ，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求解．本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质的应用，题目综合性比较强，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题，注意分类讨论．【解答】解：∵OA=4，OB=3，C点与A点关于直线OB对称，∴BC=AB=42+32=5，分为3种情况：①当PB=PQ时，∵C点与A点关于直线OB对称，∴∠BAO=∠BCO，∵∠BPQ=∠BAO，∴∠BPQ=∠BCO，∵∠APB=∠APQ+∠BPQ=∠BCO+∠CBP，∴∠APQ=∠CBP，在△APQ与△CBP中，∠QAP=∠PCB∠APQ=∠CBP，QP=PB∴△APQ≌△CBP(AAS)，∴PA=BC=5，此时OP=5―4=1；②当BQ=BP时，∠BPQ=∠BQP，∵∠BPQ=∠BAO，∴∠BAO=∠BQP，根据三角形外角性质得：∠BQP>∠BAO，∴这种情况不存在；③当QB=QP时，∠QBP=∠BPQ=∠BAO，∴PB=PA，设OP=x，则PB=PA=4―x在Rt△OBP中，PB2=OP2+OB2，∴(4―x)2=x2+32，解得：x=7；8∵点P在AC上，∴点P在点O左边，．此时OP=78∴当△PQB为等腰三角形时，OP的长度是1或7．8故答案为：1或7．85.【答案】1【解析】解：∵四边形BEB′C是菱形，∴BC=BE=B′E=B′C=1，∵∠B=60°，∴△BCE是等边三角形，∴CE=BC=1，故答案为：1．根据菱形的性质证明△BCE是等边三角形，进而可以解决问题．本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，菱形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．6.【答案】3或63【解析】解：当点P在BC上时，如图：由折叠的性质可知，DE=EQ，PC=PQ，∠EQP=90°，∵∠ABD=30°，四边形ABCD是矩形，∴∠EDQ=∠EQD=30°，∠PBQ=60°，∴∠PQB=60°，∴△PBQ是等边三角形，BC=3，∴PC=PQ=PB=12当点P在AB上时，Q刚好和点D重合，如图：由勾股定理得AB=63，∵E是中点，∴DE=33，由折叠的性质知PE⊥DC，在Rt△PEC中，CE=33，PE=6，∴PC=CE2+PE2=63．故答案为：3或63．分两种情况讨论，当点P在BC上时，可得△PBQ是等边三角形，从而得出PC=PQ=PB，此时PC=3，当点P在AB上时，Q刚好和点D重合，此时PC=63．本题考查矩形的性质和折叠的性质及勾股定理，本题要数形结合即可解答．7.【答案】2【解析】【分析】取AB的中点D，连接DE，过点D作DH⊥AC于点H，可证得△BCF≌△BDE(SAS)，得出CF=DE，当且仅当AD=2为DE的最小值，即可得出CF的最小值为2．DE⊥AC，即点E与点H重合时，DE=DH=12本题考查了直角三角形性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．【解答】解：如图，取AB的中点D，连接DE，过点D作DH⊥AC于点H，则AD =BD =12AB ，∠AHD =∠ACB =90°，∵∠A =30°，BC =4，∴AB =2BC =8，∠ABC =90°―30°=60°，由旋转得：BF =BE ，∠EBF =60°，∴∠EBC +∠CBF =60°，∵∠EBC +∠DBE =60°，∴∠CBF =∠DBE ，∵AD =BD =12AB =4，∴BC =BD ，在△BCF 和△BDE 中BF =BE ∠CBF =∠DBE BC =BD∴△BCF ≌△BDE(SAS)，∴CF =DE ，当且仅当DE ⊥AC ，即点E 与点H 重合时，DE =DH =12AD =2为DE 的最小值，∴CF 的最小值为2．故答案为：2．8.【答案】 2或 6+ 22【解析】【分析】由翻折的性质，等腰三角形的性质可得∠PRQ =60°，要使△PQR 为直角三角形，于是有两种情况：即∠RPQ =90°或∠RQP =90°，分别画出相应的图形，根据等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系以及勾股定理进行计算即可．本题考查翻折变换的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系，掌握翻折变换的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系以及勾股定理是正确解答的前提．【解答】解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，由翻折可知，∠ARQ =∠C ，∠ARP =∠B ，在△ABC 中，∠BAC =120°，AB =AC = 3+1，∴∠B =∠C =30°，AD =12AB = 3+12，BD =CD = 32AB =3+32，∴∠PRQ =∠B +∠C =60°，①当∠RPQ =90°时，如图1，设AR 与BC 交于点E ，∴RP//AD ，∴∠EAD =∠ERP =∠B =30°，在Rt △ADE 中，AD =3+12，∠EAD =30°，∴DE = 33AD =3+ 36，设BP =a ，则PR =a ，PE =BD ―BP ―DE =3+ 32―a ―3+ 36=3+33―a ，在Rt △PRE 中，∠PRE =30°，∴PR = 3PE ，即a = 3×(3+33―a)，解得a =1，∴BP =PR =1，PE =3+ 33―1=33，∴PD =PE +DE = 33+3+ 36=3+12=AD ，∴△PAD 是等腰直角三角形，∴AP = 2AD = 6+22；②当∠RQP =90°时，如图2，由①可得，CQ =QR =1，DQ =AD =3+12，设PD =b ，则BP =PR =BD ―PD =3+32―b ，在Rt △PQR 中，由勾股定理得，PR 2―PQ 2=QR 2，即(3+ 32―b )2―( 3+12+b )2=1，解得b =3―12，即PD =3―12，在Rt △APD 中，由勾股定理得，AP 2=AD 2+PD 2=( 3+12)2+(3―12)2=2，∴AP=2，综上所述，AP=2或AP=6+22，故答案为：2或6+22．9.【答案】73―12或3【解析】【分析】根据点H为GN三等分点，分两种情况分别计算，根据折叠的性质和平行线的性质证明∠GMN=∠MNG，得到MG=NG，证明△FGH∽△ENH，求出FG的长，过点G作GP⊥AD于点P，则PG=AB=4，设MD=MF=x，根据勾股定理列方程求出x即可．本题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，考查了分类讨论的思想，根据勾股定理列方程求解是解题的关键．【解答】解：当HN=13GN时，GH=2HN，∵将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，∴MF=MD，CN=EN，∠E=∠C=∠D=∠MFE=90°，∠DMN=∠GMN，AD//BC，∴∠GFH=90°，∠DMN=∠MNG，∴∠GMN=∠MNG，∴MG=NG，∵∠GFH=∠E=90°，∠FHG=∠EHN，∴△FGH∽△ENH，∴FG EN =GHHN=2，∴FG=2EN=2，过点G作GP⊥AD于点P，则PG=AB=4，设MD=MF=x，则MG =GN =x +2，∴CG =x +3，∴PM =3，∵GP 2+PM 2=MG 2，∴42+32=(x +2)2，解得：x =3或―7(舍去)，∴MD =3；当GH =13GN 时，HN =2GH ，∵△FGH ∽△ENH ，∴FG EN =GH HN =12，∴FG =12EN =12，∴MG =GN =x +12，∴CG =x +32，∴PM =32，∵GP 2+PM 2=MG 2，∴42+(32)2=(x +12)2，解得：x =73―12或― 73―12(舍去)，∴MD = 73―12；故答案为：73―12或3．10.【答案】0.5或1.5【解析】解：①∠BMG 是直角，如图，过O 点作OH ⊥BC 于H ，∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4，∴AC=5，∴BH=CH=2，∴CO=2.5，∴OH=1.5，由折叠的性质可得∠OMH=45°，∴MH=OH=1.5，∴BM=BH―MH=4―2―1.5=0.5；②∠BGM是直角，如图，由折叠的性质可得OE=OC=2.5，∠ACB=∠E，∵∠ABC=∠EGO=90°，∴△OEG∽△ACB，∴OG：OE=AB：AC，即OG：2.5=3：5，解得OG=1.5，∴BG=2.5―1.5=1，∵∠ACB=∠MBG，∠ABC=∠MGB=90°，∴△ABC∽△MGB，∴BM：BG=CA：CB，即BM：1=5：4，解得BM=1.25．综上所述，线段BM的长为0.5或1.25．故答案为：0.5或1.25．分两种情况：①∠BMG是直角和②∠BGM是直角，进行讨论即可求解．本题考查了矩形的性质、勾股定理、翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握矩形和翻折变换的性质，勾股定理是解决问题的关键．11.【答案】12或32【解析】【分析】分两种情形：如图1中，当DP ⊥BC ，延长DP 交BC 于点J.如图2中，当PD ⊥BC 于点J 时，分别求出PB ，可得结论．本题考查翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．【解答】解：如图1中，当DP ⊥BC ，延长DP 交BC 于点J ．∵∠C =90°，AC =1，∠A =60°，∴∠B =30°，∴AB =2AC =2，BC = 3AC = 3，由翻折变换的性质可知，∠D =∠B =30°，DM =BM =32，∴JM =12DM =34，∴BJ =BM ―JM =34，∴PB =BJ cos 30∘=12，∴AP =AB ―PB =2―12=32．如图2中，当PD ⊥BC 于点J 时，同法可得MJ =JC =34，∴BJ =334，∴PB =BJ cos 30∘=32，∴AP =AB ―PB =2―32=12．综上所述，AP 的值为12或32．故答案为：12或32．12.【答案】458或457【解析】解：∵∠ACB =90°，AB =15，AC =12，∴BC = 152―122=9.△ADE 为直角三角形时分两种情况：①如图，当∠ADE =90°时，设DE =x =BE ，由∠ADE =∠ACB ，∠A =∠A ，∴△ADE ∽△ACB ，∴DE CB =AE AB，∴x 9=15―x 15，解得x =458；②当∠AED =90°时，设DE =y =BE ，同理可得：△AED ∽△ACB ，∴DE CB =AE AC，∴y 9=15―y 12，解得y =457．故答案为：458或457．先求解BC =9，再分两种情况讨论：如图，当∠ADE =90°时，当∠AED =90°时，再利用相似三角形的判定与性质解答即可．本题考查的是勾股定理的应用，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，作出正确的图形是解本题的关键．13.【答案】 7或 3【解析】解：∵∠ACB =90°，BC =2 3，∠B =30°，点P 为AC 的中点，∴∠BAC =60°，AC =BC ⋅tan30°=2，AP =12AC =1，AB AC 2+BC 2= 22+(2 3)2=4．∵AD =2，∴D 是AB 的中点．当∠DAQ =60°时，存在两种情况，当点Q 与点P 重合时，如图1所示，AQ =AP =1，此时DQ 为△ABC 的中位线，∴DQ=1BC=3；2当点Q在AP延长线上时，连接DP、DQ，如图2所示，∵PD为△ABC的中位线，∴PD//BC，∴∠DPQ+∠ACB=180°，∴∠DPQ=90°，∴DQ=PD2+PQ2=(3)2+22=7，综上，DQ的长为7或3，故答案为：7或3．AC=1，AB AC2+BC2=根据直角三角形的性质得到∠BAC=60°，AC=BC⋅tan30°=2，AP=1222+(23)2=4.求得D是AB的中点．当∠DAQ=60°时，存在两种情况，当点Q与点P重合时，如图1所示，AQ=AP=1，当点Q在AP延长线上时，连接DP、DQ，根据三角形的中位线定理即可得到结论．本题考查了旋转的性质，勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．14.【答案】2或6【解析】【分析】分两种情况讨论，由等腰直角三角形的性质可得AD=CD=2，利用勾股定理和平行四边形的性质可求解．本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．【解答】解：如图，当点C落在DF上时，∵AC=DF=2，∠CAB=∠EDF=45°，∠ACB=∠DFE=90°，△ACB和△DFE都是等腰直角三角形，∴AB=DE=22，∵点D是AB的中点，∴AD=CD=2，∴AF=AD2+DF2=2+4=6；当点C落在DE上时，连接CF，∵DE=AB=22，CD=2，∴CE=CD=2，∵△EFD是等腰直角三角形，∴CF=CD=2=AD，CF⊥DE，∴CF//AD，∴四边形ADCF是平行四边形，∴AF=CD=2，故答案为：2或6．15.【答案】相等垂直【解析】解：(1)如图1，在正方形ABCD和正方形DEFG中，∠ADC=∠EDG=90°，∴∠ADE+∠EDG=∠ADC+∠ADE，即∠ADG=∠CDE，∵DG=DE，DA=DC，∴△GDA≌△EDC(SAS)，∴AG=CE，∠GAD=∠ECD，∵∠COD=∠AOH，∴∠AHO=∠CDO=90°，∴AG⊥CE，故答案为：相等，垂直；(2)不成立，新结论：3CE=2AG，AG⊥CE，理由如下：如图2，由(1)知，∠EDC=∠ADG，∵3AD=2DG，3AB=2DE，AD=DE，∴DG AD =32，DECD=DEAB=32，∴DG AD =EDDC=32，∴△GDA ∽△EDC ，∴AG CE =AD DC =32，即3CE =2AG ，∵△GDA ∽△EDC ，∴∠ECD =∠GAD ，∵∠COD =∠AOH ，∴∠AHO =∠CDO =90°，∴AG ⊥CE ；(3)①当点G 在线段BE 上时，如图3―1，连接BD ，过点D 作DT ⊥BE 于点T ．∵3AD =2DG =6，3AB =2DE =12，∴AD =2，DG =3，AB =4，DE =6，∵∠A =∠EDG =90°，∴BD = AD 2+AB 2= 22+42=2 5，EG = DG 2+DE 2= 32+62=3 5，∵DT ⊥EG ，∴12⋅DE ⋅DG =12⋅EG ⋅DT ，∴DT =3×63 5=6 55，∴ET =DE 2―DT 2=12 55，BT =BD 2―DT 2=(25)2―(655)2=855，∴BE =ET +BT =4 5．②当点G在EB放延长线上时，如图3―2，同法可得BE=ET―BT=1255―855=455，综上所述，满足条件的BE的值为45或455．(1)证明△GDA≌△EDC(SAS)，即可求解；(2)根据两边对应成比例且夹角相等证明△GDA∽△EDC，即可求解；(3)①当点G在线段BE上时，如图3―1，利用勾股定理求出ET，TB即可；②当点G在EB的延长线上时，如图3―2，同法可解．本题是四边形综合题，涉及旋转的性质，矩形的性质，三角形全等和相似的性质和判定，勾股定理等知识，难度适中，其中(3)正确画图和分类讨论是解题的关键．16.【答案】EG=FH【解析】(1)证明：过点H作HN⊥BC交于N，过点G作GM⊥BA交于M，∵四边形ABCD是正方形，∴MG=HN，∵HF⊥EG，∴∠MGE=∠NHF，∴△HFN≌△GEM(ASA)，∴HF=EG；故答案为：HF=EG；(2)解：EG=2FH；理由：过点H作HQ⊥BC交于Q，过点G作GP⊥AB交于P，由(1)可得，∠QHF=∠PGE，∴△QHF∽△PGE，∴HF GE =HQPG，∵AB=a，BC=2a，∴PG=2a，HQ=a，∴HF GE =a2a=12；∴EG=2FH；(3)解：如图3，过点D作DS⊥BC于S，∴∠DSN=∠DSC=∠B=90°，∵∠DCS=60°，CD=4，∴DS=32CD=23，∵点M为AB的三等分点，AB=3，∴BM=2或BM=1，∵BC=4，∴CM=BC2+BM2=25或17，由(1)知△BCM∽△SDN，∴CM DN =BCSD，∴25DN =423或17DN=423，解得DN=15或512．(1)过点H作HN⊥BC交于N，过点G作GM⊥BA交于M，证明△HFN≌△GEM(ASA)即可求解；(2)过点H作HQ⊥BC交于Q，过点G作GP⊥AB交于P，由(1)可得△QHF∽△PGE；(3)如图3，过点D作DS⊥BC于S，根据垂直的定义得到∠DSN=∠DSC=∠B=90°，根据已知条件得到BM=2或BM=1，根据勾股定理得到CM=BC2+BM2=25或17，根据勾股定理即可得到结论．本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．17.【答案】解：【问题发现】3；【操作探究】对，证明：∵MN⊥AC于点N，PQ⊥AC于点Q，AM=BP，∴∠ANM=∠AQP=∠C=90°，∵∠A=∠A，∴△AMN∽△ABC，△APQ∽△ABC，∴MNBC =AMAB，PQBC=APAB，∵AP=AM+MP=BP+MP=MB，∴PQ BC =MBAB，∴MNBC +PQBC=AMAB+MBAB=ABAB=1，∴MN+PQ=BC，∵BCAB=sinA，∠A=α，AB=m，∴BC=AB⋅sinA=m⋅sinα，∴MN+PQ=m⋅sinα，∴MN+PQ的值为定值，MN+PQ=m⋅sinα．【解决问题】15．【解析】【分析】此题重点考查直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、锐角三角函数、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、菱形的性质等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．【问题发现】由∠ANM =∠AQP =∠C =90°，∠A =30°，得MN =12AM ，PQ =12AP =12(AM +PM)，而AM =BP ，则MN +PQ =12AM +12BM =12AB =3，于是得到问题的答案．【操作探究】由∠ANM =∠AQP =∠C =90°，∠A =∠A ，可证明△AMN ∽△ABC ，△APQ ∽△ABC ，得MN BC=AM AB ，PQ BC =APBC ，因为AP =AM +MP =BP +MP =MB ，则PQ BC =MB AB ，于是可推导出MN BC +PQ BC =AB AB=1，所以MN +PQ =BC =m ⋅sinα；【解决问题】连AC 交BC 于点O ，在BC 上截取BL =DM ，作LI ⊥BO 于点I ，由菱形的性质得BC =AB =AD =8，BO =DO =12BD =7，∠BOC =90°，可求得CO = BC 2―BO 2= 15，再由AD =BC ，AM =BN ，证明DM =CN ，再证明△BLI ≌△DME ，得LI =ME ，则BL =CN ，由∠BOC =90°，LI ⊥BO ，NF ⊥BO ，得LI +NF =CO = 15，则ME +NF = 15．【解答】解：【问题发现】∵MN ⊥AC 于点N ，PQ ⊥AC 于点Q ，∴∠ANM =∠AQP =∠C =90°，∵∠A =30°，∴MN =12AM ，PQ =12AP =12(AM +PM)，∵AM =BP ，∴PQ =12(BP +PM)=12BM ，∴MN +PQ =12AM +12BM =12AB ，∵AB =6，∴MN +PQ =12×6=3，故答案为：3．【操作探究】见答案；【解决问题】如图3，连AC 交BC 于点O ，在BC 上截取BL =DM ，作LI ⊥BO 于点I ，∵四边形ABCD 是菱形，AB =8，BD =14，∴BC =AB =AD =8，BO =DO =12BD =12×14=7，AC ⊥BD ，∴∠BOC =90°，∴CO = BC 2―BO 2= 82―72= 15，∵AD =BC ，AM =BN ，∴AD ―AM =BC ―BN ，∴DM =CN ，∵BC//AD ，∴∠LBI =∠MDE ，∵ME ⊥BD ，LI ⊥BO ，∴∠BIL =∠DEM =90°，在△BLI 和△DME 中，∠LBI =∠MDE∠BIL =∠DEM =90°BL =DM ,∴△BLI ≌△DME(AAS)，∴LI =ME ，∵AM =BN ，AD =BC ，∴DM =CN ，∴BL =CN ，∵∠BOC =90°，LI ⊥BO ，NF ⊥BO ，∴△BIL ∽△BFN ∽△BOC ，∴LI CO =BL BC ,NF CO =BN BC ，∴LI CO +NF CO =BL BC +BNBC ，即LI +NF CO =BL +BNBC=1，∴LI +NF =CO = 15，∴ME +NF = 15，故答案为： 15．18.【答案】(1)证明：如图①，BE 与MN 的交点记作点O ，由折叠知，∠BON =90°，∴∠CBE+∠BNM=90°，∵MH⊥BC，∴∠MHN=90°，∴∠HMN+∠BNM=90°，∴∠CBE=∠HMN，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠ABC=∠C=90°=∠BHM，∴四边形ABHM是矩形，∴AB=MH，∵BC=AB，∴BC=MH，在△EBC和△NMH中，∠C=∠BHMBC=MH∠CBE=∠HMN，∴△EBC≌△NMH(ASA)；(2)①证明：同(1)的方法得，∠C=∠BHM，∠CBE=∠HMN，∴△EBC∽△NMH；②解：设DE=x(x>0)，∵点E为CD的三等分点，Ⅰ、当CE=2DE时，∴CE=2x，CD=3x，∵BC=2BA，∴BC=6x，同①的方法得，四边形CDMH是矩形，∴MH=CD=3x，由①知，△EBC∽△NMH，∴EC NH =BCMH，∴2xNH =6x 3x，∴NH =x ，设AM =y(y >0)，同①的方法得，四边形AMHB 是矩形，∴BH =AM =y ，∴BN =x +y ，∴CN =BC ―BN =5x ―y ，由折叠知，EN =BN =x +y ，在Rt △ECN 中，根据勾股定理得，CN 2+CE 2=EN 2，∴(5x ―y )2+(2x )2=(x +y )2，∴y =73x 或x =0(舍)，∴AM =73x ，BN =x +y =103x ，∴AM BN =73x 103x =710，Ⅱ、当DE =2DE 时，同Ⅰ的方法得．AM BN=3137，即AMBN=710或3137． 【解析】(1)根据同角的余角相等得出∠CBE =∠HMN ，再判断出四边形ABHM 是矩形，得出AB =MH ，进而判断出△EBC ≌△NMH ；(2)①同(1)的方法得，∠C =∠BHM ，∠CBE =∠HMN ，即可得出结论；②设DE =x(x >0)，Ⅰ、当CE =2DE 时，则CE =2x ，CD =3x ，BC =6x ，进而得出MH =CD =3x ，再根据△EBC ∽△NMH ，得出NH =x ，设AM =y(y >0)，表示出BH =AM =y ，BN =x +y ，CN =BC ―BN =5x ―y ，再根据勾股定理得，CN 2+CE 2=EN 2，建立方程得出y =73x 或x =0(舍)，Ⅱ、当DE =2CE 时，同Ⅰ的方法，即可求出答案．此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，利用勾股定理得出y =73x 是解本题的关键．19.【答案】解：(1)3．(2)由(1)得：AC′=3，∴BC′=AB ―AC′=2，由折叠的性质得：C′E =CE ，设BE =x ，则C′E =CE =4―x ，在Rt △BEC′中，BE 2+BC′2=C′E 2，即x 2+22=(4―x )2，解得x =32，即BE =32，CE =4―32=52，连接EE′，如图所示：由平移的性质得：E′E =BC′=2，EE′//AB//CD ，D′E′//DE ，∴△FEE′∽△FCD′∽△ECD ，∴EF EE′=CE CD =525=12，∴EF =12EE′=1．(3)45或195．【解析】【分析】本题考查四边形综合，矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平移的性质、平行四边形的判定等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、平移的性质以及勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型．(1)由矩形的性质得∠A =90°，AB =CD =5，BC =AD =4，再由折叠的性质得C′D =CD =5，然后由勾股定理求解即可；(2)由折叠的性质得C′E =CE ，设BE =x ，则C′E =CE =4―x ，在Rt △BEC′中，由BE 2+BC′2=C′E 2求出BE =32，CE =52，连接EE′，根据相似三角形的判定可得△FEE′∽△FCD′∽△ECD ，即可求解；(3)分类讨论：当C″在AB 内(B 的左侧)时，连接EE′，根据相似三角形的判定和性质可得E′E E′Q =45，根据平移的性质和等角对等边的性质可得PQ =QE′=1，即可求得；当C″在射线AB 上(B 的右侧)时，连接EE′，根据相似三角形的判定和性质可得CD′=2CP ，CD′=34CQ ，求解可得CP =35，即可求得．【解答】解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠B =90°，AB =CD =5，BC =AD =4，由折叠的性质得：C′D =CD =5，∴AC′= C′D 2―AD 2= 52―42=3，故答案为：3．(2)见答案．(3)当C″在AB 内(B 的左侧)时，连接EE′，如图所示：由平移的性质得：E′E =C′C″，EE′//AB ，C″E′//C′E ，∴△QEE′∽△QBC″∽△EBC′，∴E′E E ′Q =C′B C ′E =252=45，∵∠CPD′=∠EPE′=∠CED =∠D′E′Q ，∴PQ =QE′=1，∴E′E =45E′Q =45；当C″在射线AB 上(B 的右侧)时，连接EE′，如图，由平移的性质得：E′E =DD′，DE//D′E ，DC′//D′C″，∴△CD′P ∽△CDE ，△CD′Q ∽△AC′D ，。

2022-2023学年九年级数学中考复习《几何图形变换综合压轴题》专题提升训练(附答案)

2022-2023学年九年级数学中考复习《几何图形变换综合压轴题》专题提升训练(附答案)

2022-2023学年九年级数学中考复习《几何图形变换综合压轴题》专题提升训练（附答案）1．如图，已知∠DAC＝90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB并延长交直线AD于E．（1）如图1，猜想∠QEP＝；（2）如图2，若当∠DAC是锐角时，其他条件不变，猜想∠QEP的度数，并证明；（3）如图3，若∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，且AC＝6，求BQ的长．2．如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD为中线，将线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接BE交直线AD于点F，连接CF．（1）若∠BAC＝30°，则∠FBC＝°；（2）若∠BAC是钝角时，①请在图2中依题意补全图形，并标出对应字母；②探究图2中△BCF的形状，并说明理由；③若AB＝5，BC＝8，则EF＝．3．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在射线BC上（不与点B、点C重合），将线段AD绕A逆时针旋转90°得到线段AE，作射线BA与射线CE，两射线交于点F．（1）若点D在线段BC上，如图1，请直接写出CD与EF的关系．（2）若点D在线段BC的延长线上，如图2，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）在（2）的条件下，连接DE，G为DE的中点，连接GF，若tan∠AEC＝，AB＝，求GF的长．4．已知△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后，点A的对应点为点D，点C的对应点为点E，直线DE与直线AC交于点F，连接FB．（1）如图1，当∠BAC＜45°时，①求证：DF⊥AC；②求∠DFB的度数；（2）如图2，当∠BAC＞45°时，①请依意补全图2；②用等式表示线段FC，FB，FE之间的数量关系，并证明．5．实验探究：如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BD、CE延长线交于点P．【问题发现】（1）把△ABC绕点A旋转到图1，BD、CE的关系是（“相等”或“不相等”），请直接写出答案；【类比探究】（2）若AB＝3，AD＝5，把△ABC绕点A旋转，当∠EAC＝90°时，在图中作出旋转后的图形，并求出此时PD的长；【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，请直接写出旋转过程中线段PD的最小值为．6．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（0，3）与点B关于x轴对称，点C（n，0）为x轴的正半轴上一动点．以AC为边作等腰直角三角形ACD，∠ACD＝90°，点D在第一象限内．连接BD，交x轴于点F．（1）如果∠OAC＝38°，求∠DCF的度数；（2）用含n的式子表示点D的坐标；（3）在点C运动的过程中，判断OF的长是否发生变化？若不变求出其值，若变化请说明理由．7．[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连接AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连接EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△，可推证△CEF是三角形，从而求得∠DCE＝°．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．8．如图，在等边△ABC中，点D为BC的中点，点E为AD上一点，连EB、EC，将线段EB绕点E顺时针旋转至EF，使点F落在BA的延长线上．（1）在图1中画出图形：①求∠CEF的度数；②探究线段AB，AE，AF之间的数量关系，并加以证明；（2）如图2，若AB＝4，点G为AC的中点，连DG，将△CDG绕点C顺时针旋转得到△CMN，直线BM、AN交于点P，连CP，在△CDG旋转一周过程中，请直接写出△BCP 的面积最大值为．9．在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，BM⊥直线a于点M．CN⊥直线a于点N，连接PM，PN．（1）如图1，若点B，P在直线a的异侧，延长MP交CN于点E．求证：PM＝PE；（2）若直线a绕点A旋转到图2的位置时，点B，P在直线a的同侧，其它条件不变，此时S△BMP+S△CNP＝7，BM＝1，CN＝3，求MN的长度．（3）若过P点作PG⊥直线a于点G，试探究线段PG、BM和CN的数量关系．10．在Rt△ABC中与Rt△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BAC＝∠DEC＝30°，AC＝DC＝，将Rt△DCE绕点C顺时针旋转，连接BD，AE，点F，G分别是BD，AE的中点，连接CF，CG．（1）观察猜想如图1，当点D与点A重合时，CF与CG的数量关系是，位置关系是；（2）类比探究当点D与点A不重合时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请仅就图2的情形给出证明；如果不成立，请说明理由．（3）问题解决在Rt△DCE旋转过程中，请直接写出△CFG的面积的最大值与最小值．11．如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，点E是AB边上一点，且点E不与A、B重合，ED ⊥AC于点D．（1）当sin B＝时，①求证：BE＝2CD；②当△ADE绕点A旋转到如图2的位置时（60°＜∠CAD＜90°），BE＝2CD是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（2）当sin B＝时，将△ADE绕点A旋转到∠DEB＝90°，若AC＝10，AD＝2，请直接写出线段CD的长．12．如图，已知点A（0，8），B（16，0），点P是x轴上的一个动点（不与原点O重合），连接AP，把△OAP沿着AP折叠后，点O落在点C处，连接PC，BC，设P（t，0）．（1）如图1，当AP∥BC时，试判断△BCP的形状，并说明理由．（2）在点P的运动过程中，当∠PCB＝90°时，求t的值．（3）如图2，过点B作BH⊥直线CP，垂足为点H，连接AH，在点P的运动过程中，是否存在AH＝BC？若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由．13．如图，点B，C，D在同一条直线上，△BCF和△ACD都是等腰直角三角形．连接AB，DF，延长DF交AB于点E．（1）如图1，若AD＝BD，DE是△ABD的平分线，BC＝1，求CD的长度；（2）如图2，连接CE，求证：DE＝CE+AE；（3）如图3，改变△BCF的大小，始终保持点F在线段AC上（点F与点A，C不重合）．将ED绕点E顺时针旋转90°得到EP．取AD的中点O，连接OP．当AC＝2时，直接写出OP长度的最大值．14．综合与实践问题情境从“特殊到一般”是数学探究的常用方法之一，类比特殊图形中的数量关系和探究方法可以发现一般图形具有的普遍规律．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD为BC边上的中线，E为AD上一点，将△AEC以点C为旋转中心，逆时针旋转90°得到△BFC，AD的延长线交线段BF于点P．探究线段EP，FP，BP之间的数量关系．数学思考（1）请你在图1中证明AP⊥BF；特例探究（2）如图2，当CE垂直于AD时，求证：EP+FP＝2BP；类比再探（3）请判断（2）的结论在图1中是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．15．在Rt△ABC中，AB＝AC，OB＝OC，∠A＝90°，∠MON＝α，分别交直线AB、AC于点M、N．（1）如图1，当α＝90°时，求证：AM＝CN；（2）如图2，当α＝45°时，求证：BM＝AN+MN；（3）当α＝45°时，旋转∠MON至图3位置，请你直接写出线段BM、MN、AN之间的数量关系．16．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．2．线段垂直平分线我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线MN 是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连接P A、PB．将线段AB沿直线MN对折，我们发现P A与PB完全重合．由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点求证：P A＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得P A ＝PB．（1）请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程；（2）如图②，在△ABC中，直线l，m，n分别是边AB，BC，AC的垂直平分线．求证：直线l、m、n交于一点；（请将下面的证明过程补充完整）证明：设直线l，m相交于点O．（3）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，若∠ABC＝120°，AC＝15，则DE的长为．17．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（x，y）中的横坐标x与纵坐标y 满足+|y﹣8|＝0，过点A作x轴的垂线，垂足为点D，点E在x轴的负半轴上，且满足AD﹣OD＝OE，线段AE与y轴相交于点F，将线段AD向右平移8个单位长度，得到线段BC．（1）直接写出点A和点E的坐标；（2）在线段BC上有一点G，连接DF，FG，DG，若点G的纵坐标为m，三角形DFG 的面积为S，请用含m的式子表示S（不要求写m的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当S＝26时，动点P从D出发，以每秒1个单位的速度沿着线段DA向终点A运动，动点Q从A出发，以每秒2个单位的速度沿着折线AB→BC向终点C运动，P，Q两点同时出发，当三角形FGP的面积是三角形AGQ面积的2倍时，求出P点坐标18．如图1，在Rt△ACB中，AC＝BC，过B点作BD⊥CD于D点，AB交CD于E．（1）如图1，若AC＝6，tan∠ACD＝2，求DE的长；（2）如图2，若CE＝2BD，连接AD，在AD上找一点F，使CF＝DF，在FD上取一点G，使∠EGF＝∠CFG，求证：AF＝EG；（3）如图3，D为线段BC上方一点，且∠BDC＝90°，AC＝6，连接AD，将AD绕A 点逆时针旋转90°，D点对应点为E点，H为DE中点，求当AH有最小值时，直接写出△ACH的面积．19．（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．则：①∠AEB的度数为°；②线段AD、BE之间的数量关系是．（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，若AD＝a，AE＝b，AB＝c，求a、b、c之间的数量关系．（3）探究发现：图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．20．类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到．小明在数学学习中遇到了这样一个问题：“如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝α，点P在AB边上，过点P作PQ⊥AC于点Q，△APQ绕点A逆时针方向旋转，如图2，连接CQ．O 为BC边的中点，连接PO并延长到点M，使OM＝OP，连接CM．探究在△APQ的旋转过程中，线段CM，CQ之间的数量关系和位置关系”小明计划采用从特殊到一般的方法探究这个问题．特例探究：（1）填空：如图3，当α＝30°时，＝，直线CQ与CM所夹锐角的度数为；如图4，当α＝45°时，＝，直线CQ与CM所夹锐角的度数为；一般结论：（2）将△APQ绕点A逆时针方向旋转的过程中，线段CQ，CM之间的数量关系如何（用含α的式子表示）？直线CQ与CM所夹锐角的度数是多少？请仅就图2所示情况说明理由；问题解决（3）如图4，在Rt△ABC中，若AB＝4，α＝45°，AP＝3，将△APQ由初始位置绕点A逆时针方向旋转β角（0°＜β＜180°），当点Q到直线AC的距离为2时，请直接写出线段CM的值．参考答案1．解：（1）∠QEP＝60°；证明：如图1，QE与CP的交点记为M，∵PC＝CQ，且∠PCQ＝60°，∴∠PCQ＝∠ACB＝60°，∴∠BCQ＝∠ACP，则△CQB和△CP A中，，∴△CQB≌△CP A（SAS），∴∠CQB＝∠CP A，在△PEM和△CQM中，∠EMP＝∠CMQ，∴∠QEP＝∠QCP＝60°．故答案为：60°；（2）∠QEP＝60°．理由如下：如图2，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，∴CP＝CQ，∠PCQ＝6O°，∴∠ACB+∠BCP＝∠BCP+∠PCQ，即∠ACP＝∠BCQ，在△ACP和△BCQ中，，∴△ACP≌△BCQ（SAS），∴∠APC＝∠Q，∵∠BOP＝∠COQ，∴∠QEP＝∠PCQ＝60°；（3）作CH⊥AD于H，如图3，与（2）一样可证明△ACP≌△BCQ，∴AP＝BQ，∵∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，∴∠APC＝30°，∠PCB＝45°，∴∠HAC＝45°，∴△ACH为等腰直角三角形，∴AH＝CH＝AC＝3，在Rt△PHC中，PH＝CH＝3，∴P A＝PH﹣AH＝3﹣3，∴BQ＝3﹣3．2．解：（1）如图1中，∵AB＝AC，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣30°）＝75°，∵AE⊥AC，∴∠EAC＝90°，∴∠BAE＝30°+90°＝120°，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠E＝（180°﹣120°）＝30°，∴∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝75°﹣30°＝45°．故答案为：45．（2）①图形如图2所示．②结论：△BCF是等腰直角三角形理由如下：如图2中，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线，∴FB＝FC，又AB＝AC，AF＝AF，∴△ABF≌△ACF（SSS），∴∠1＝∠2，由旋转可知AE＝AC，又AB＝AC，∴AB＝AE，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3．又∠4＝∠5，∴∠CFE＝∠CAE＝90°即∠CFB＝90°，又FB＝FC，∴△BCF为等腰直角三角形．③如图3中，作EH⊥DF交DF的延长线于H．∵AB＝AC＝5，BD＝CD＝4，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴AD＝＝＝3，∵∠ADC＝∠EAC＝∠H＝90°，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠DAC+∠HAE＝90°，∴∠ACD＝∠HAE，∵AE＝AC，∴△ADC≌△EHA（AAS），∴EH＝AD＝3，∵△BDF是等腰直角三角形，FD⊥BC，∴∠DFB＝∠BFC＝45°，∴∠HEF＝∠HFE＝45°，∵∠H＝90°，∴∠EHF＝∠HFE＝45°，∴EH＝FH＝3，∴EF＝EH＝，故答案为：3．3．解：（1）CD＝EF，CD⊥EF，理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC∠ACB＝45°，∵将线段AD绕A逆时针旋转90°得到线段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴CD⊥EF，又∵∠ABC＝45°，∴∠BFC＝∠ABC，∴BC＝CF，∴CD＝EF；（2）结论仍然成立，理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC∠ACB＝45°，∵将线段AD绕A逆时针旋转90°得到线段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴CD⊥EF，又∵∠ABC＝45°，∴∠BFC＝∠ABC，∴BC＝CF，∴CD＝EF；（3）如图，过点A作AN⊥CE于点N，过点G作GH⊥CE于H，∵AB＝AC＝，∴BC＝CF＝2，∵AN⊥CE，∠ACF＝45°，∴AN＝CN＝1，∵tan∠AEC＝＝，∴EN＝2，∴EC＝CN+EN＝3，∴EF＝EC﹣CF＝1＝CD，∵GH⊥CE，∠ECD＝90°，∴HG∥CD，∴＝＝，且EG＝DG，∴HG＝，EH＝，∴FH＝EH﹣EF＝∴GF＝＝＝4．解（1）①由旋转知，∠ABD＝∠ABC＝90°，∠D＝∠A，∴∠D+∠BED＝90°，∴∠A+∠BED＝90°，∵∠BED＝∠AEF，∴∠A+∠AEF＝90°，∴∠AFE＝90°，∴DF⊥AC；②如图1，过点B作BG⊥BF交DF于G，∴∠FBG＝90°，由旋转知，∠D＝∠A，BD＝AB，∠ABD＝90°，∴∠FBG＝∠ABD，∴∠DBG＝∠ABF，∴△BDG≌△BAF（ASA），∴BG＝BF，∵∠FBG＝90°，∴∠BFD＝45°；（2）①如图2所示，②CF﹣EF＝BF．过点B作BG⊥BF交AC于G，∴∠FBG＝90°，由旋转知，∠C＝∠E，BC＝BE，∵∠ABC＝90°，∴∠FBG＝∠ABC，∴∠CBG＝∠EBF，∴△BCG≌△BEF（ASA），∴CG＝EF，BG＝BF，∵∠FBG＝90°，∴∠BFD＝45°，∴FG＝BF，∵CF＝FG+CG，∴FG＝CF﹣CG＝CF﹣EF＝BF，即：CF﹣EF＝BF．5．解：（1）BD、CE的关系是相等．理由：∵△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，DA＝EA，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD＝CE．故答案为：相等．（2）如图2，3即为旋转后的图形．①如图2，当C在AD上时，由（1）知△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC又∵∠PCD＝∠ACE，∴△PCD∽△ACE，∴又∵CE＝＝＝CD＝AD﹣AC＝5﹣3＝2∴，解得；如图3，当C在AD反向延长线上时，同理△PEB∽△ABD＝∵BD＝BE＝AE﹣AB＝5﹣3＝2∴＝解得PB＝∴PD＝DB+PB＝+＝．答：此时PD的长为或．（3）如图4所示，以点A为圆心，AC长为半径画圆，当CE在圆A下方与圆A相切时，PD的值最小．在Rt△ACE中，CE＝＝＝4在Rt△ADE中，DE＝＝＝5∵四边形ABPC是正方形，∴PC＝AB＝3∴PE＝PC+CE＝3+4＝7在Rt△DEP中，PD＝＝＝1∴线段PD的最小值为1．故答案为：1．6．解：（1）∵∠AOC＝90°，∴∠OAC+∠ACO＝90°，∵∠ACD＝90°，∴∠DCF+∠ACO＝90°，∴∠DCF＝∠OAC，∵∠OAC＝38°，∴∠DCF＝38°；（2）如图，过点D作DH⊥x轴于H，∴∠CHD＝90°∴∠AOC＝∠CHD＝90°，∵等腰直角三角形ACD，∠ACD＝90°∴AC＝CD，由（1）知，∠DCF＝∠OAC，∴△AOC≌△CHD（AAS），∴OC＝DH＝n，AO＝CH＝3，∴点D的坐标（n+3，n）；（3）不会变化，理由：∵点A（0，3）与点B关于x轴对称，∴AO＝BO，又∵OC⊥AB，∴x轴是AB垂直平分线，∴AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC，又∵AC＝CD，∴BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，∵∠ACD＝90°，∴∠ACB+∠DCB＝270°，∴∠BAC+∠ABC+∠CBD+∠CDB＝90°，∴∠ABC+∠CBD＝45°，∵∠BOF＝90°，∴∠OFB＝45°，∴∠OBF＝∠OFB＝45°，∴OB＝OF＝3，∴OF的长不会变化．7．解：[问题初探]如图2，过点E作EF⊥BC交直线BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝135°，故答案为：ADB，等腰直角，135；[继续探究]如图3，过点E作EF⊥BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝45°；[拓展延伸]如图4，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴∠ACB＝45°当点D在射线BC上时，由[问题初探]知，∠BCM＝135°，∴∠ACM＝∠BCM﹣∠ACB＝90°，当点D在线段CB的延长线上时，由[继续探究]知，∠BCE＝45°，∴∠ACN＝∠ACB+∠BCM＝90°，∴点E是过点C垂直于AC的直线上的点，∴当BE⊥MN时，BE最小，∵∠BCE＝45°，∴∠CBE＝45°＝∠BCE，∴BE＝CE，∴BE最小＝BC＝，即：BE的最小值为．8．解：（1）如图1所示：延长BE，①∵等边△ABC中，点D为BC的中点，∴AD是BC的垂直平分线，∠BAD＝∠CAD＝30°，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB，∵将线段EB绕点E顺时针旋转至EF，∴BE＝EF，∴∠EBF＝∠EFB，∵∠CEF＝∠FEH+∠HEC＝∠EBF+∠BFE+∠EBC+∠ECB＝2∠ABE+2∠EBC，∴∠CEF＝2∠ABC＝120°；②AB＝AF+AE，理由如下：如图1﹣1，在AB上截取BM＝AF，连接ME，过点E作EN⊥AB于N，∵BM＝AF，∠AFE＝∠EBM，BE＝EF，∴△BME≌△F AE（SAS），∴AE＝EM，又∵EN⊥AB，∴AN＝MN＝AM，∵∠BAD＝30°，∴AE＝2NE，AN＝NE，∴AN＝AE，∴AM＝AE，∴AB＝BM+AM＝AF+AE；（3）如图2，∵△ABC是等边三角形，AB＝4，点G为AC的中点，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，CG＝CD＝2，∵将△CDG绕点C顺时针旋转得到△CMN，∴CM＝CN＝CG＝CD＝2，∠MCN＝∠ACB＝60°，∴∠ACN＝∠BCM，∴△BCM≌△ACN（SAS），∴∠CAN＝∠CBM，∴点A，点B，点C，点P四点共圆，∴∠BPC＝∠BAC＝60°，∵将△CDG绕点C顺时针旋转得到△CMN，∴点M在以点C为圆心，CM为半径的圆上，∴当BM与⊙C相切于点M时，△BCP的面积有最大值，如图所示，过点P作PH⊥BC 于H，∵BM是⊙C的切线，∴∠BMC＝90°＝∠PMC，又∵∠BPC＝60°，∴∠PCM＝30°，∴CM＝PM＝2，∴MP＝，∵BM＝＝＝2，∴BP＝BM+MP＝，∵sin∠PBC＝，∴PH＝＝，∴△BCP的面积最大值＝×4×＝，故答案为．9．（1）证明：如图1中，∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，∴∠BMA＝∠CNM＝90°，∴BM∥CN，∴∠MBP＝∠ECP，又∵P为BC边中点，∴BP＝CP，又∵∠BPM＝∠CPE，∴△BPM≌△CPE（ASA），∴PM＝PE（2）解：延长MP与NC的延长线相交于点E．∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，∴∠BMN＝∠CNM＝90°∴∠BMN+∠CNM＝180°，∴BM∥CN∴∠MBP＝∠ECP，又∵P为BC中点，∴BP＝CP，又∵∠BPM＝∠CPE，∴△BPM≌△CPE（ASA），∴PM＝PE，S△PBM＝S△PCE，∴AE＝CN+CE＝4，∵S△BMP+S△CNP＝7，∴S△PNE＝7，∴S△MNE＝2S△PNE＝14，∴×MN×4＝14，∴MN＝7．（3）解：如图1﹣1中，当点B，P在直线a的异侧时，∵PG⊥a，CN⊥a，∴PG∥CN，∵PM＝PE，∴MG＝GN，∴PG＝EN＝（CN﹣EC），∵EC＝BM，∴PG＝（CN﹣BM）．如图2﹣2中，当点B，P在直线a的同侧时，延长MP交NC的延长线于Q．∵PG⊥a，CN⊥a，∴PG∥CN，∵BM∥CQ，∴∠BMP＝∠Q，∵∠BPM＝∠CPQ，BP＝CP，∴△PMB≌△PQC（AAS），∴PM＝PQ，BM＝CQ，∴MG＝GN，∴PG＝AQ＝（CN+BM）．综上所述，PG＝（CN﹣BM）或PG＝（CN+BM）．10．解：（1）观察猜想∵在Rt△ABC中与Rt△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BAC＝∠DEC＝30°，AC ＝DC＝，∴AE＝2DC＝2，AC＝BC＝，AB＝2BC，∠CDE＝60°，∴BC＝1，AB＝2，∵点F，G分别是BD，AE的中点，∴CG＝AE＝，CG＝AG，CF＝AB＝1，CF＝AF，∴CG＝CF，∠GDC＝∠GCD＝60°，∠ACF＝∠F AC＝30°，∴∠FCG＝90°，∴CF⊥CG，故答案为：CG＝CF，CF⊥CG；（2）类比探究仍然成立，理由如下：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BAC＝∠DEC＝30°，AC＝DC＝，∴∠BCD＝∠ACE，AC＝BC，CE＝CD，∴＝，∴△BCD∽△ACE，∴，∠CAE＝∠CBD，∵点F，G分别是BD，AE的中点，∴BF＝BD，AG＝AE，∴∴△ACG∽△BCF，∴，∠BCF＝∠ACG，∴CG＝CF，∠ACB＝∠FCG＝90°，∴CF⊥CG；（3）问题解决如图，延长BC至H，使BC＝CH＝1，连接DH，∵点F是BD中点，BC＝CH＝1，∴CF＝DH，由（2）可知，CF⊥CG，∴△CFG的面积＝×CF×CG＝CF2，∴△CFG的面积＝DH2，∴当DH取最大值时，△CFG的面积有最大值，当DH取最小值时，△CFG的面积有最小值，∵CD＝，∴点D在以点C为圆心，为半径的圆上，∴当点D在射线HC的延长线上时，DH有最大值为+1，∴△CFG的面积最大值＝（+1）2＝，当点D在射线CH的延长线上时，DH有最小值为﹣1，∴△CFG的面积最小值＝（﹣1）2＝．11．解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝，∴∠B＝30°，∴∠A＝60°，①如图1，过点E作EH⊥BC于点H，∵ED⊥AC∴∠ADE＝∠C＝90°，∴四边形CDEH是矩形，即EH＝CD，∴在Rt△BEH中，∠B＝30°，∴BE＝2EH∴BE＝2CD；②BE＝2CD成立，理由：∵△ABC和△ADE都是直角三角形，∴∠BAC＝∠EAD＝60°，∴∠CAD＝∠BAE，又∵，，∴，∴△ACD∽△ABE，∴，又∵Rt△ABC中，＝2，∴＝2，即BE＝2CD；（2）∵sin B＝，∴∠ABC＝∠BAC＝∠DAE＝45°，∵ED⊥AD，∴∠AED＝∠BAC＝45°，∴AD＝DE，AC＝BC，将△ADE绕点A旋转∠DEB＝90°，分两种情况：①如图3所示，过A作AF⊥BE交BE的延长线于F，则∠F＝90°，当∠DEB＝90°时，∠ADE＝∠DEF＝90°，又∵AD＝DE，∴四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF＝EF＝2，∵AC＝10＝BC，根据勾股定理得，AB＝10，在Rt△ABF中，BF＝＝6，∴BE＝BF﹣EF＝4，又∵△ABC和△ADE都是直角三角形，且∠BAC＝∠EAD＝45°，∴∠CAD＝∠BAE，∵，，∴，∴△ACD∽△ABE，∴＝，即＝，∴CD＝2；②如图4所示，过A作AF⊥BE于F，则∠AFE＝∠AFB＝90°，当∠DEB＝90°时，∠DEB＝∠ADE＝90°，又∵AD＝ED，∴四边形ADEF是正方形，∴AD＝EF＝AF＝2，又∵AC＝10＝BC，∴AB＝10，在Rt△ABF中，BF＝＝6，∴BE＝BF+EF＝8，又∵△ACD∽△ABE，∴＝，即＝，∴CD＝4，综上所述，线段CD的长为2或4．12．解：（1）等腰直角三角形，理由如下：∵AP∥BC，∴∠APC＝∠BCP，∠APO＝∠CBP，∵△OAP沿着AP折叠，∴∠APO＝∠APC，OP＝PC，∴∠PCB＝∠PBC，∴PC＝PB＝OP＝8，∴△BCP是等腰三角形，∵OA＝OP＝8，∴∠OP A＝∠APC＝45°，∴∠OPC＝90°，∴△BCP是等腰直角三角形；（2）当t＞0时，如图，∵△OAP沿着AP折叠，∴∠AOP＝∠ACP＝90°，OP＝PC＝t，∴∠ACP+∠BCP＝180°，∴点A，点C，点B三点共线，∵点A（0，8），B（16，0），∴OA＝8，OB＝16，∴AB＝＝＝8，∵tan∠ABO＝，∴，∴t＝4﹣4；当t＜0时，如图，同理可求：t＝﹣4﹣4；（3）∵△OAP沿着AP折叠，∴AC＝AO＝8，∠ACP＝∠AOP＝90°，∵BH⊥CP，∴∠ACP＝∠BHC＝90°，∵AH＝BC，CH＝CH，∴Rt△ACH≌Rt△BHC（HL）∴AC＝BH，∴四边形AHBC是平行四边形，如图2，当0≤t≤16时，点H在PC上时，连接AB交CH于G，∵四边形AHBC是平行四边形，∴AG＝BG＝4，HG＝CG，AC＝BH＝8，∴HG＝＝＝4，在Rt△PHB中，PB2＝BH2+PH2，∴（16﹣t）2＝64+（t﹣8）2，∴t＝8；如图3，当0≤t≤16时，点H在PC的延长线上时，∵四边形AHBC是平行四边形，∴AG＝BG＝4，HG＝CG，AC＝BH＝8，∴HG＝＝＝4，在Rt△PHB中，PB2＝BH2+PH2，∴（16﹣t）2＝64+（t+8）2，∴t＝；如图4，当t＜0时，同理可证：四边形ABHC是平行四边形，又∵AH＝BC，∴四边形ABHC是矩形，∴AC＝BH＝8，AB＝CH＝8，在Rt△PHB中，PB2＝BH2+PH2，∴（16﹣t）2＝64+（t+8）2，∴t＝16﹣8；当t＞16时，如图5，∵四边形ABHC是矩形，∴AC＝BH＝8，AB＝CH＝8，CP＝OP＝t，在Rt△PHB中，PB2＝BH2+PH2，∴（t﹣16）2＝64+（t﹣8）2，∴t＝16+8．综上所述：当t＝8或或16﹣8或16+8时，存在AH＝BC．13．（1）解：∵△BCF和△ACD都是等腰直角三角形，∴AC＝CD，FC＝BC＝1，FB＝，∵AD＝BD，DE是△ABD的平分线，∴DE垂直平分AB，∴F A＝FB＝，∴AC＝F A+FC＝，∴CD＝；（2）证明：如图2，过点C作CH⊥CE交ED于点H，∵△BCF和△ACD都是等腰直角三角形，∴AC＝DC，FC＝BC，∠ACB＝∠DCF＝90°；∴△ABC≌△DFC（SAS），∴∠BAC＝∠CDF，∵∠ECH＝90°，∴∠ACE+∠ACH＝90°，∵∠ACD＝90°，∴∠DCH+∠ACH＝90°，∴∠ACE＝∠DCH．在△ACE和△DCH中，，∴△ACE≌△DCH（ASA），∴AE＝DH，CE＝CH，∴EH＝CE．∵DE＝EH+DH＝CE+AE；（3）解：如图3，连接OE，将OE绕点E顺时针旋转90°得到EQ，连接OQ，PQ，则OQ＝OE．由（2）知，∠AED＝∠ABC+∠CDF＝∠ABC+∠BAC＝90°，在Rt△AED中，点O是斜边AD的中点，∴OE＝OD＝AD＝AC＝，∴OQ＝OE＝，在△OED和△QEP中，，∴△OED≌△QEP（SAS），∴PQ＝OD＝．∵OP≤OQ+PQ＝，当且仅当O、P、Q三点共线时，取“＝”号，∴OP的最大值是．14．证明：（1）如图1，∵将△AEC以点C为旋转中心，逆时针旋转90°得到△BFC，∴△AEC≌△BFC，∴∠CAE＝∠CBF，∵∠ACB＝90°，∴∠CAE+∠EAB+∠CBA＝90°，∴∠CBF+∠EAB+∠CBA＝90°，∴∠APB＝90°，∴AP⊥BF；（2）如图2，∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°＝∠CEP，∵将△AEC以点C为旋转中心，逆时针旋转90°得到△BFC，∴△AEC≌△BFC，∠ECF＝90°，∴∠AEC＝∠BFC＝90°，CE＝CF，∴四边形CEPF是正方形，∴EP＝PF＝CE＝CF，∠EPF＝90°，∵AD为BC边上的中线，∴CD＝BD，又∵∠CDE＝∠BDP，∠CED＝∠BPD＝90°，∴△CDE≌△BDP（AAS），∴CE＝BP，∴EP＝PF＝BP，∴EP+FP＝2BP；（3）结论仍然成立，理由如下：如图1，过点C作CN⊥AD于N，作CM⊥BF，交BF的延长线于M，∵将△AEC以点C为旋转中心，逆时针旋转90°得到△BFC，∴∠CAE＝∠CBF，CE＝CF，∵∠ACB＝90°，∴∠CAE+∠EAB+∠CBA＝90°，∴∠CBF+∠EAB+∠CBA＝90°，∴∠APB＝90°，又∵CN⊥AD，CM⊥BM，∴四边形CNPM是矩形，∵∠CAE＝∠CBF，∠ANC＝∠BMC＝90°，AC＝BC，∴△ACN≌△BCM（AAS），∴CM＝CN，∴四边形CNPM是正方形，∴CN＝CM＝NP＝MP，∵AD为BC边上的中线，∴CD＝BD，又∵∠CDN＝∠BDP，∠CND＝∠BPD＝90°，∴△CDN≌△BDP（AAS），∴CN＝BP，∴CN＝BP＝NP＝MP，∴EP+FP＝EN+NP+FP＝NP+MF+PF＝NP+MP＝2BP．15．证明：（1）如图1，连接OA，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OB＝OC，∴AO⊥BC，OA＝OB＝OC，∠ABO＝∠ACO＝∠BAO＝∠CAO＝45°，∴∠MON＝∠AOC＝90°，∴∠AOM＝∠CON，且AO＝CO，∠BAO＝∠ACO＝45°，∴△AOM≌△CON（ASA）∴AM＝CN；（2）证明：如图2，在BA上截取BG＝AN，连接GO，AO，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OB＝OC，∴AO⊥BC，OA＝OB＝OC，∠ABO＝∠ACO＝∠BAO＝∠CAO＝45°，∵BG＝AN，∠ABO＝∠NAO＝45°，AO＝BO，∴△BGO≌△AON（SAS），∴OG＝ON，∠BOG＝∠AON，∵∠MON＝45°＝∠AOM+∠AON，∴∠AOM+∠BOG＝45°，∵∠AOB＝90°，∴∠MOG＝∠MON＝45°，∵MO＝MO，GO＝NO，∴△GMO≌△NMO（SAS），∴GM＝MN，∴BM＝BG+GM＝AN+MN；（3）MN＝AN+BM，理由如下：如图3，过点O作OG⊥ON，连接AO，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OB＝OC，∴AO⊥BC，OA＝OB＝OC，∠ABO＝∠ACO＝∠BAO＝∠CAO＝45°，∴∠GBO＝∠NAO＝135°，∵MO⊥GO，∴∠NOG＝90°＝∠AOB，∴∠BOG＝∠AON，且AO＝BO，∠NAO＝∠GBO，∴△NAO≌△GBO（ASA），∴AN＝GB，GO＝ON，∵MO＝MO，∠MON＝∠GOM＝45°，GO＝NO，∴△MON≌△MOG（SAS），∴MN＝MG，∵MG＝MB+BG，∴MN＝AN+BM．16．证明：（1）如图①中，∵MN⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB＝90°．在△P AC和△PBC中，，∴△P AC≌△PBC（SAS），∴P A＝PB．（2）如图②中，设直线l、m交于点O，连接AO、BO、CO．∵直线l是边AB的垂直平分线，又∵直线m是边BC的垂直平分线，∴OB＝OC，∴OA＝OC，∴点O在边AC的垂直平分线n上，∴直线l、m、n交于点O．（3）解：如图③中，连接BD，BE．∵BA＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，∵边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，∴DA＝DB，EB＝EC，∴∠A＝∠DBA＝30°，∠C＝∠EBC＝30°，∴∠BDE＝∠A+∠DBA＝60°，∠BED＝∠C+∠EBC＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴AD＝BD＝DE＝BE＝EC，∵AC＝15，∴DE＝AC＝5．故答案为5．17．解：（1）∵+|y﹣8|＝0，又∵≥0，|y﹣8|≥0，∴x＝2，y＝8，∴A（2，8），∵AD⊥x轴，∴OD＝2，AD＝8，∵AD﹣OD＝OE，∴E（﹣6，0）．（2）如图1中，连接OG．由题意G（10，m）．∵AD＝DE＝8，∠ADE＝90°，∴∠AED＝45°，∴∠OEF＝∠OFE＝45°，∴OE＝OF＝6，∴F（0，6），∴S＝S△ODG+S△OFG﹣S△OFD＝×2×m+×6×10﹣×2×6＝m+24（0≤m≤8）．（3）如图2中，设FG交AD于J，P（2，t），当点P在DJ上，点Q在AB上时，当S＝26时，m＝2，∴G（10，2），∴直线FG的解析式为y＝﹣x+6，∴J（2，），由题意，•（﹣t）×10＝2××2t×6，解得t＝，∴P（2，），当点P在AJ上，点Q在BG上时，同法可得，•（t﹣）×10＝2××（14﹣2t）×8，解得t＝，∴P（2，）．综上所述，满足条件的点P的坐标为（2，）或（2，）．18．解：（1）如图1中，过点E作EH⊥BC于H．∵BD⊥CD，∴∠D＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝90°，∠DCB+∠DBC＝90°，∴∠ACD＝∠DBC，∴tan∠DBC＝tan∠ACD＝2，∴＝2，∵AC＝BC＝6，∴BD＝，CD＝，∵EH⊥BC，∠EBH＝45°，∴∠EHB＝90°，∠EHB＝∠HBE＝45°，∴EH＝BH，设EH＝BH＝m，则HC＝2EH＝2m，∴3m＝6，∴m＝2，∴EH＝2，CH＝4，∴EC＝＝＝2，∴DE＝CD﹣CE＝﹣2＝．（2）如图2中，过点A作AT⊥CE于T，在AG上取一点J，使得EJ＝EG．∵EJ＝EG，∴∠EJG＝∠EGJ，∵∠CFG＝EGJ，∴∠CFG＝∠EJG，∴∠AFC＝∠AJE，∵∠ATC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，∴∠ACT+∠DCB＝90°，∠DCB+∠CBD＝90°，∴∠ACT＝∠CBD，∵AC＝BC，∴△ATC≌△CDB（AAS），∴CT＝BD，∵EC＝2BD，∴CT＝ET，∵AT⊥EC，∴AC＝AE，∴∠ACT＝∠AEC，∴∠ACF+∠FCD＝∠EAJ+∠FDC，∵FC＝FD，∴∠FCD＝∠FDC，∴∠ACF＝∠EAJ，∴△ACF≌△EAJ（AAS），∴AF＝EJ＝EG．（3）如图3中，取BC的中点T，连接DT，AT．∵AC＝BC＝6，∠ACT＝90°，CT＝TB＝3，∴AT＝＝＝3，∵CD⊥BD，∴∠CDB＝90°，∴DT＝BC＝3，∴AD≥AT﹣DT，∴AD≥3﹣3，∴AD的最小值为3﹣3，∵△ADE是等腰直角三角形，AH⊥DE，∴DH＝EH，∴AH＝DE＝AD，∴AH的最小值为﹣，此时，A，D，T共线，如图3﹣1中，过点D作DQ⊥AC于Q，过点E作EP⊥CA交CA 的延长线于P，过点H作HJ⊥AC于J．∵DQ∥CT，∴＝＝，∴＝＝，∴DQ＝，AQ＝，由△AQD≌△EPQ，可得PE＝AQ＝，∵EP∥HJ∥DQ，EH＝HD，∴PJ＝JQ，∴JH＝（PE+DQ）＝∴△ACH的面积＝×6×＝．19．解：（1）①如图1，∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠ADC＝∠BEC．∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°，∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝120°，∴∠BEC＝120°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°，故答案为：60；②∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，故答案为：AD＝BE；（2）∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD，∠ADC＝∠BEC，∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝135°．∴∠BEC＝135°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°，∴AD2+AE2＝AB2，∵AD＝a，AE＝b，AB＝c，∴a2+b2＝c2；（3）如图3，由（1）知△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，∵∠CAB＝∠CBA＝60°，∴∠OAB+∠OBA＝120°，∴∠AOE＝180°﹣120°＝60°，如图4，同理求得∠AOB＝60°，∴∠AOE＝120°，∴∠AOE的度数是60°或120°．20．解：（1）如图3中，连接PB，延长BP交CQ的延长线于J，延长QC到R，设AC交BJ于点K．∵∠P AQ＝∠BAC，∴∠CAQ＝∠BAP，∵＝＝cos30°＝，∴△QAC∽△P AB，。

2023年辽宁省沈阳市第一二六中学中考数学压轴题专项训练

2023年辽宁省沈阳市第一二六中学中考数学压轴题专项训练

辽宁省沈阳市第一二六中学中考数学压轴题专项训练（学生版）中考数学压轴题（1）一次函数、反比例函数与几何综合1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，9），与直线OC交于点C（8，3）．（1）求直线AB的函数表达式；（2）过点C作CD⊥x轴于点D，将△ACD沿射线CB平移得到的三角形记为△A′C′D′，点A，C，D的对应点分别为A′，C′，D′，若△A′C′D′与△BOC重叠部分的面积为S，平移的距离CC′＝m，当点A′与点B重合时停止运动．①若直线C′D′交直线OC于点E，则线段C′E的长为（用含有m的代数式表示）；②当0＜m＜时，S与m的关系式为；③当S＝时，m的值为．2．如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线y＝kx+15（k≠0）经过点C（3，6），与x 轴交于点A，与y轴交于点B．线段CD平行于x轴，交直线y＝x于点D，连接OC，AD．（1）填空：k＝，点A的坐标是（，）；（2）求证：四边形OADC是平行四边形；（3）动点P从点O出发，沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线DO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒．①当t＝1时，△CPQ的面积是．②当点P，Q运动至四边形CP AQ为矩形时，请直接写出此时t的值．3．在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4（k≠0）交x轴于点A（8，0），交y轴于点B．（1）k的值是；（2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上．①如图，点E为线段OB的中点，且四边形OCED是平行四边形时，求▱OCED的周长；②当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，连接DE，若△CDE的面积为，请直接写出点C的坐标．4．如图，直线y＝x+6分别与x轴、y轴交于点A、B，点C为线段AB上一动点（不与A、B重合），以C为顶点作∠OCD＝∠OAB，射线CD交线段OB于点D，将射线OC绕点O顺时针旋转90°交射线CD 于点E，连结BE．（1）证明：＝；（用图1）（2）当△BDE为直角三角形时，求DE的长度；（用图2）（3）点A关于射线OC的对称点为F，求BF的最小值．（用图3）5．如图，△AOB是等边三角形，过点A作y轴的垂线，垂足为C，点C的坐标为（0，）．P是直线AB上在第一象限内的一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为D，交AO于点E，连接AD，作DM⊥AD交x轴于点M，交AO于点F，连接BE，BF．（1）填空：若△AOD是等腰三角形，则点D的坐标为；（2）当点P在线段AB上运动时（点P不与点A，B重合），设点M的横坐标为m．①求m值最大时点D的坐标；②是否存在这样的m值，使BE＝BF？若存在，求出此时的m值；若不存在，请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD，A在y轴的正半轴上，B，C在x轴上，AD∥BC，BD平分∠ABC，交AO于点E，交AC于点F，∠CAO＝∠DBC．若OB，OC的长分别是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，且OB＞OC．请解答下列问题：（1）求点B，C的坐标；（2）若反比例函数y＝（k≠0）图象的一支经过点D，求这个反比例函数的解析式；（3）平面内是否存在点M，N（M在N的上方），使以B，D，M，N为顶点的四边形是边长比为2：3的矩形？若存在，请直接写出在第四象限内点N的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个实数根．（1）求C点坐标；（2）求直线MN的解析式；（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．8．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（6，0），点B坐标为（2，﹣2），直线AB与y轴交于点C．（1）求直线AB的函数表达式及线段AC的长；（2）点B关于y轴的对称点为点D．①请直接写出点D的坐标为；②在直线BD上找点E，使△ACE是直角三角形，请直接写出点E的横坐标为．9．在平面直角坐标系中，y关于x的一次函数y＝x+5﹣c（c为常数），其图象与y轴交于点A，与x轴交于点B．（1）当c＝4时，求线段OA的长；（2）若△OAB的面积为18．①求出满足条件的一次函数表达式；②若点A在y轴正半轴，点B在x轴负半轴上，且点C在直线AB上，当S△OAC＝5S△OBC时，请直接写出点C的坐标．10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+12的图象分别交x，y轴于点A和B，与经过点C（，0），D（0，﹣3）的直线交于点E．（1）求直线CD的函数解析式及点E的坐标；（2）点P是线段DE上的动点，连接BP．①当BP分△BDE面积为1：2时，请直接写出点P的坐标；②将△BPE沿着直线BP折叠，点E对应点E'，当点E'落在坐标轴上时，直接写出点P的坐标．11．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴交于点A，与x轴交于点B，OB＝2OA，点N在线段OB 上，过点N作NM⊥AB于M，当动点D从点A匀速运动到点M时，动点E恰好从点B匀速运动点O；当点D运动到线段AM中点时，动点E恰好运动到点N，设AD＝x，OE＝y，且．（1）求线段OA的长；（2）求线段BM的长；（3）连接DE，当△DEB的面积最大时，直接写出x的值．12．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，OA＝3，OC＝．动点P从C点出发沿折线CB﹣BA向终点A运动、在边CB上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，在边BA上以每秒个单位长度的速度匀速运动．过点P作线段PD与射线OA相交于点D，且∠PDO＝60°，连接PO，BO，PD与BO相交于点E．设点P的运动时间为t，△OPD与△OAB重合部分的面积为S．（1）直接写出点B的坐标（，）；（2）当点P与点C重合时，求OD的长；（3）当点P在边BA上运动时，求BP的长（用含t的代数式表示）；（4）直接写出S关于t的函数关系式及自变量t的取值范围．13．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，∠C＝120°，边OA＝8．点P从原点O出发，沿x轴正半轴以每秒1个单位长度的速度做匀速运动：点Q从点A出发，沿边AB→BC→CO以每秒2个单位长度的速度做匀速运动．过点P作直线EP垂直于x轴并交折线OCB于E，交对角线OB于F，点P和点Q同时出发，分别沿各自路线运动，点Q运动到原点O时，P 和Q两点同时停止运动．（1）请直接填写点A的坐标（，），B的坐标（，），C的坐标（，）；（2）当t＝1时，求线段EF的长；（3）求t为何值时，点E与点Q重合；（4）设△AEQ的面积为S，当4≤t≤8，请直接写出s与t的函数关系式．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB的表达式为y＝kx+2，且经过点（1，4），与x轴、y轴分别交于点A、B，将直线AB向下平移4个单位得到直线l．（1）求直线l的表达式；（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A′OB′（点A的对应点是点A′，点B的对应点是点B′），求直线A′B′与直线AB的交点坐标；（3）设直线l与x轴交于点C，点D为该平面直角坐标系内的点，如果以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将线段AB绕点A顺时针旋转90°，得到线段AC，过点B，C作直线，交x轴于点D．（1）点C的坐标为；求直线BC的表达式；（2）若点E为线段BC上一点，且△ABE的面积为，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在点P，使以点A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P的坐标16．已知，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝kx+3与x轴交于点B，与y轴交于点A，OA ＝OB．（1）如图1，求直线AB的解析式；（2）如图2，点C是第一象限内一点，BC⊥OB，AD⊥AC交x轴负半轴于点D，若点D的横坐标为t，线段BC的长为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，当d＝﹣2t时，点E是线段AB上，点F在线段OA上，OF＝BE，连接CE，作FG∥x轴，连接CG交线段AB于点H，连接DF、AG，若∠ECG＝45°，DF＝AG，求点H的坐标．17．如图，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），P是x轴上的动点．（1）求k的值．（2）连结PB，当∠PBA＝90°时，求OP的长．（3）过点P作AB的平行线，交y轴于点M，点Q在直线x＝2上．是否存在点Q，使得△PMQ是等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，若不存在，请说明理由．18．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+1交y轴于点A，交x轴于点B（4，0），过点E（2，0）的直线l2平行于y轴，交直线l1于点D，点P是直线l2上一动点（异于点D），连接P A、PB．（1）求直线l1的解析式；（2）设P（2，m），求△ABP的面积S的表达式（用含m的代数式表示）；（3）当△ABP的面积为3时，则以点B为直角顶点作等腰直角△BPC，请直接写出点C的坐标．19．如图1，在平面直角坐标系中，已知直线l：y＝kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线CD相交于点D，其中AC＝14，C（﹣6，0），D（2，8）．（1）求直线l函数表达式；（2）如图2，点P为线段CD延长线上的一点，连接PB，当△PBD的面积为7时，将线段BP沿着y 轴方向平移，使得点P落在直线AB上的点P'处，求点P'到直线CD的距离；（3）若点E为直线CD上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点F，使以点A、D、E、F为顶点的四边形为菱形，若存在请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝﹣x，直线l2与l1交于点A（a，﹣a），与y轴交于点B（0，b），其中a，b满足﹣a＝3．（1）求直线l2的解析式．（2）在平面直角坐标系中第二象限有一点P（m，5），使得S△AOP＝S△AOB，请求出点P的坐标．（3）已知平行于y轴左侧有一动直线，分别与l1，l2交于点M、N，且点M在点N的下方，点Q为y 轴上一动点，且△MNQ为等腰直角三角形，请求出满足条件的点Q的坐标．21．如图1，已知直线y＝2x+2与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式；（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD＝AC，求证：BE＝DE．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于点M，P（﹣，k）是线段BC上一点，在x轴上是否存在一点N，使△BPN面积等于△BCM面积的一半？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．22．把正方形纸片放在直角坐标系中，如图所示，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在BC、CD 上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知3BE＝BC．（1）请直接写出D、E两点的坐标，并求出直线EF的解析式；（2）在直线EF上是否存在点M，使得△AFM的面积是△AEF的面积的一半，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．（3）若点P、Q分别是线段AG、AF上的动点，则EP+PQ的最小值是多少？并求出此时点Q的坐标．23．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣，0），点B在直线l：上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．①若BA＝BO，求证：CD＝CO．②若∠CBO＝45°，求四边形ABOC的面积．（2）是否存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．24．如图，平面直角坐标系中，直线AC解析式为y＝mx+b与y轴交于点A，与x轴交于点C，直线BE解析式为y＝nx+b﹣10交y轴于点E，与x轴交于点B．（1）求线段AE长；（2）连接AB，K为线段AB上一点，F为线段AC上一点，连接FK交y轴于点G，若直线FK解析式为y＝﹣x+k，求tan∠AGK的值；（3）在（2）的条件下，若∠ABE＝45°，∠ACB＝2∠EBO，AC＝15，取AG中点H，连接KH，若KH ＝3，求F点坐标．25．如图在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+b分别交x轴，y轴于点A、B，OA＝4，∠OBA的外角平分线交x轴于点D．（1）求点D的坐标；（2）点P是线段BD上一点（不与B、D重合），过点P作PC⊥BD交x轴于点C，设点P的横坐标为t，△BCD的面积为S，求S与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，PC的延长线交y轴于点E，当PC＝PB时，将射线EP绕点E旋转45°交直线AB于点F，求F点坐标．26．如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线l2交于点C（m，3），直线l2与x轴交于点D（﹣2，0）．（1）求直线l2的解析式；（2）如图2，点P在线段CD上，连接AP，3S△APD＝2S△ACD，过点P的直线交x轴负半轴于点M，交y轴正半轴于点N，请问：+是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．（3）当点E在直线l1上运动时，平面内是否存在一点F，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．27．在正方形ABCD中，点E是直线BC上一点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）如图1，若点E是BC的中点．求证：AE＝EF；（2）如图2，若点E是BC边上任意一点（不含B，C），结论“AE＝EF”还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若点E是BC延长线上任意一点，结论“AE＝EF”还成立吗？若成立，请证明若不成立，请说明理由；（4）如图4，在平面直角坐标系xOy中，点O与点B重合，正方形的边长为4，若点F恰好落在直线y ＝x+7上，请直接写出此时点E的坐标．28．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的正半轴上，OA＝OB＝10．（1）求直线AB的解析式；（2）若点P是直线AB上的动点，当S△OBP＝S△OAP时，求点P的坐标；（3）将直线AB向下平移10个单位长度得到直线l，点M，N是直线l上的动点（M，N的横坐标分别是x M，x N，且x M＜x N），MN＝4，求四边形ABNM的周长的最小值，并说明理由．29．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝ax+10a分别交x轴、y轴于点A、B，△AOB 的面积为25．（1）求a的值；（2）如图2，点D为AB上一点（D不与A、B重合），C为x轴正半轴一点，连接CD交y轴于点E，C、D关于点E对称，设点D的横坐标为t，∠DCA的正切值为s，求s关于t的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，F为DE上一点，K为CF的中点，连接BK，2∠ACD＝90°﹣∠BKF，P为第一象限一点，CP⊥OC，连接FP、FB，将FP沿FB翻折交BD于点Q，FQ＝FP，当s＝时，求直线PQ的解析式．30．直线y＝kx+10k交x轴、y轴于A、B两点．（1）如图1，求点A坐标；（2）如图2，点D为第三象限内一点，连接DB交x轴于点C，若BA＝BD，∠DAC＝∠ABD，设点D 的横坐标为t，求AC长（用t的代数式来表示）；（3）如图3，在（2）的条件下，作射线DO，当DO∥AB时，在射线DO上是否存在一点E，使得∠AEB ＝45°，若存在，请求出直线BE的解析式；若不存在，请说明理由．31．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB：y＝﹣x+3与直线CD：y＝kx﹣2相交于点M（4，a），分别交坐标轴于点A、B、C、D，点P是线段CD延长线上的一个点，△PBM的面积为15．（1）求直线CD解析式和点P的坐标；（2）如图2，当点P为线段CD上的一个动点时，将BP绕点B逆时针旋转90°得到BQ，连接PQ与OQ．点Q随着点P的运动而运动，请求出点Q运动所形成的线段所在直线的解析式，以及OQ的最小值．（3）在（1）的条件下，直线AB上有任意一点F，平面直角坐标系内是否存在点N，使得以点B、D、F、N为顶点的四边形是菱形，如果存在，请直接求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．32．如图，直线y＝k（x﹣6）交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，且△AOB的面积等于27．（1）求直线AB的解析式；（2）P为线段AB上一点，过点B作BD∥x轴，交OP延长线于点D，设点P的横坐标为m，线段BD 的长为d，求d与m的函数关系式；（3）在（2）的条件下，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，连接AE交OP于点F，Q为PE延长线上一点，若DE+EF＝AF，∠AQD＝45°，求PQ的长．33．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+m与y轴交于点A（0，3），直线l2：y＝x﹣与x轴交于点B，点M，N分别是直线l1，l2在第一象限内的动点，且∠MON＝60°，连接MN．（1）直接写出m的值，点B的坐标，∠OAM及∠OBN的度数；（2）求AM•BN的值；（3）当△MON是直角三角形时，直接写出点M的坐标．34．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（8，4），连接AC．动点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿对角线AC向终点C匀速运动，动点Q从点C出发，以每秒4个单位长度的速度沿C→O→A路线，向终点A匀速运动，两点同时出发，一点到达终点，另一点即停，连接PQ．设运动时间为t秒（t＞0）．（1）用含t的代数式表示：CQ＝；CP＝；（2）当点Q在边OC上，且△PQC为直角三角形时，直接写出t的值：t＝；（3）过点P作PE⊥AB交AB于点E，连接EQ交对角线AC于点F，①t＝时，S△EFP：S△EF A＝2：3；②当0＜t＜2时，t＝，EQ取得最小值；当2＜t＜3时，QE的最小值为．35．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+6与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C（3，0），连接AC 作点O关于直线AB的对称点E，线段OE交直线AB于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，连接EB．（1）求证：△EHO∽△BOA；（2）①设HE＝a，用含a的代数式表示HO＝；②求a的值，并直接写出直线BE的表达式；（3）点M在直线BE上，连接AM，以线段AM为边作正方形AMPN（点A、M、P、N以逆时针方向排序），点Q在平面内，当四边形BCNQ为菱形时，连接PQ，请直接写出PQ的长度．36．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点B的坐标是（6，4），动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB运动，动点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度沿线段OC运动，连接OB，连接PQ与线段PQ相交于点D，两点同时出发，当点Q到达点O时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t（t＞0）．（1）AP＝，OQ＝；（请用含t的代数式表示）（2）当时，求t的值；（3）在P、Q运动的过程中，将矩形AOCB沿PQ折叠，点A，点O的对应点分别是点E，点F，①当点F恰好落在线段OB上时，直接写出此时的t值；②连接PF，连接OF，当∠PFO＝45°时，直接写出此时点F的坐标．37．如图1，在坐标系中的△ABC，点A、B在x轴，点C在y轴，且∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝4，D是AB的中点．（1）求直线BC的表达式．（2）如图2，若E、F分别是边AC，CD的中点，矩形EFGH的顶点都在△ACD的边上．①请直接写出下列线段的长度：EF＝，FG＝．②将矩形EFGH沿射线AB向右平移，设矩形移动的距离为m，矩形EFGH与△CBD重叠部分的面积为S，当S＝时，请直接写出平移距离m的值．（3）如图3，在（2）的条件下，在矩形EFGH平移过程中，当点F在边BC上时停止平移，再将矩形EFGH绕点G按顺时针方向旋转，当点H落在直线CD上时，此时矩形记作E1F1GH1，由H1向x轴作垂线，垂足为Q，则＝．38．如图，点A、B在x轴上，点C在y轴上，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，直线MN过AB的中点且与y 轴平行，与直线BC交于点M，与x轴交于点N．（1）求点M的坐标．（2）若点P是直线MN上的一个动点，直接写出点P的坐标，使以P、C、M为顶点的三角形与△MNB 相似．（3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到直线MN上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请直接写出点E、F的坐标，并直接写出最短路程．（4）点Q是y轴上的一点，点R在x轴上，直接写出使△MQR为等腰直角三角形的Q的坐标．39．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x 轴交于点B．（1）点B坐标，直线l2的表达式；（2）点P是直线l2上的一个动点，过点P作EF⊥x轴于点E，交直线l1于点F，利用（1）中的结论，解答下列各问：①若PF＝AB，求点P的横坐标；②过点P作PQ⊥l1于点Q，若PQ＝2PE，请直接写出点P的坐标；③直线l1与y轴交于点D，过点B作y轴的平行线l3，在x轴上方的l3上有一点G，在线段BD上有一点H，若DH＝BG，请直接写出OG+OH的最小值．40．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（6，0）和点B（0，9）．与直线y＝x相交于点C，过点C作CE⊥x轴于点E，将△OCE沿射线OC平移，移动后的三角形记为△O′C′E′（点O，C，E的对应点分别记为点O′，C′，E′），点O′与点C重合时运动停止．（1）求直线AB的表达式及点C的坐标；（2）①如图，当点E′落在线段AB上时，设点E′的横坐标为a，求a的值；②设△O′C′E′与△ACE重叠部分面积为S，△OCE沿射线OC平移的距离OO′为t，直接写出S＝时，t的值．41．如图①，在矩形OABC中，OA＝4，OC＝3，分别以OC、OA所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的坐标系，连接OB，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，并与矩形的两边交于点E和点F，直线l：y＝kx+b经过点E和点F．（1）求反比例函数的解析式；（2）在第一象限内，请直接写出关于x的不等式kx+b≤的解集：．（3）如图②，将线段OB绕点O顺时针旋转一定角度，使得点B的对应点H恰好落在x轴的正半轴上，连接BH，作OM⊥BH，点N、点G为线段OM．上的动点，且GN＝．①的值为；②求四边形CGNH周长的最小值．42．已知，矩形OCBA在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为（4，2），反比例函数y＝的图象经过AB的中点D，且与BC交于点E，设直线DE的解析式为y＝mx+n，连接OD，OE．（1）求反比例函数y＝的表达式和点E的坐标；（2）点M为y轴正半轴上一点，若△MBO的面积等于△ODE的面积，求点M的坐标；（3）点P为x轴上一点，点Q为反比例函数y＝图象上一点，是否存在点P、Q使得以点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．43．如图1，矩形OABC的顶点A、C分别落在x轴、y轴的正半轴上，点B（4，3），反比例函数y＝（x ＞0）的图象与AB、BC分别交于D、E两点，BD＝1，点P是线段OA上一动点．（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；（2）如图2，连接PE、PD，求PD+PE的最小值；（3）如图3，当∠PDO＝45°时，求线段OP的长．44．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+1与反比例函数y＝的图象在第四象限相交于点A（2，﹣1），一次函数的图象与x轴相交于点B．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）当一次函数值小于反比例函数值时，请直接写出x的取值范围是；（3）点C是第二象限内直线AB上的一个动点，过点C作CD∥x轴，交反比例函数y＝的图象于点D，若以O，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点C的坐标为．45．如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB＝CD，点C关于直线AD的对称点为点E．（1）点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；（2）连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形．①求k、b的值；②若点P在y轴上，当|PE﹣PB|最大时，求点P的坐标．46．如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（a，3），与y轴交于点B．（1）求a，k的值；（2）直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB．①求△ABC的面积；②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标．47．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+5的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A、B两点（点A在点B左边），交x轴于点C，延长AO交反比例函数y＝（k＞0）的图象于点E，点F为第四象限内一点，∠AFE＝90°，连接OF．（1）填空：FO AO（填“＞”、“＝”或“＜”）；（2）连接CF，若AF平分∠OAC．①若△AFC的面积为10，求k的值；②连接BF，四边形AOFB能否为菱形？若能，直接写出符合条件的k的值；若不能，说明理由．48．如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y＝﹣2x+2与x轴交于点A，将直线l绕着点A顺时针旋转45°后，与y轴交于点B，过点B作BC⊥AB，交直线l于点C．（1）求点A和点C的坐标；（2）如图2，将△ABC以每秒3个单位的速度沿y轴向上平移t秒，若存在某一时刻t，使A、C两点的对应点D、F恰好落在某反比例函数的图象上，此时点B对应点E，求出此时t的值；（3）在（2）的情况下，若点P是x轴上的动点，是否存在这样的点Q，使得以P、Q、E、F四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．49．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y＝的第一象限内的图象上，OA＝6，OC＝10，动点P在x轴的上方，且满足S△P AO＝．（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；（2）连接PO、P A，求PO+P A的最小值；（3）若点Q是平面内一点，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．50．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO为矩形，B（5，4），D（﹣3，0），点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB方向向终点B运动；点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿DC方向向终点C运动，已知动点P、Q同时出发，当点P、Q有一点到达终点时，P、Q都停止运动，设运动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示：BP＝cm，CQ＝cm；（2）函数y＝的图象在第一象限内的一支双曲线经过点P，且与线段BC交于点M，若出△POM的面积为7.5cm2，试求此时t的值；（3）点P、Q在运动过程的中，是否存在某一时刻t，使坐标平面上存在点E，以P、Q、C、E为顶点的四边形刚好是菱形？若存在，请求出所有满足条件的t的值，若不存在，请说明理由．51．在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，并与反比例函数y＝（k≠0）的图象在第一象限相交于点C，且点B是AC的中点．（1）如图1，求反比例函数y＝（k≠0）的解析式；（2）如图2，若矩形FEHG的顶点E在直线AB上，顶点F在点C右侧的反比例函数y＝（k≠0）图象上，顶点H，G在x轴上，且EF＝4．①求点F的坐标；②若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，且在点F的左侧，连结MG，并在MG左侧作正方形GMNP．当顶点N或顶点P恰好落在直线AB上，直接写出对应的点M的横坐标．52．如图（一），平面直角坐标系中，已知A（2，0）、B（0，4），以AB为直角边作等腰直角△ABC，其中∠BAC＝90°，AC＝AB，点C在第一象限内．双曲线y＝经过点C．（1）求双曲线y＝的表达式；（2）过点B的直线BE交x轴于点E，交线段AC于点D，若∠DBC＝∠OBA．求直线BE的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BE沿y轴正方向平移，恰好经过点C时，与双曲线k的另一个交点为F （m，n），如图（二）．①连接FB、FD，则四边形ABFD的面积是；②连接OF，求OF的长度．53．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝x﹣2的图象与反比例函数（k≠0）的图象交于A（﹣2，a）、B（m，2）两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，连接OA、OB．（1）求反比例函数（k≠0）的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）点N为坐标轴上一点，点M为y2的图象上一点，当以点C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有满足条件的N点的坐标．54．如图，一次函数y1＝k1x+4与反比例函数y2＝的图象交于点A（2，m）和B（﹣6，﹣2），与y轴交于点C．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线OP与线段AD交于点E，当S四边形ODAC：S△ODE＝5：1时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点M是直线OP上的一个动点，当△MBC是以BC为斜边的直角三角形时，求点M的坐标．55．如图，等边△OAB和等边△AEF的一边都在x轴上，双曲线y＝（k＞0）经过OB的中点C和AE的中点D．已知等边△OAB的边长为4．（1）求k的值；（2）求等边△AEF的边长；（3）将等边△AEF绕点A任意旋转，得到等边△AE'F'，P是E'F'的中点（如图2所示），连结BP，直接写出BP的最大值．56．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+b经过点A（﹣1，0），与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点C，且AC＝3AB，BD∥x轴交反比例函数y＝（x＞0）于点D．（1）求b、k的值；（2）如图1，若点E为线段BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作EF∥BD，交反比例函数y＝（x ＞0）于点F．若EF＝BD，求m的值．（3）如图2，在（2）的条件下，连接FD并延长，交x轴于点G，连接OD，在直线OD上方是否存在。

2023年九年级数学中考复习 圆综合压轴题 解答题专题训练(含解析)

2023年九年级数学中考复习 圆综合压轴题 解答题专题训练(含解析)

2022-2023学年九年级数学中考复习《圆综合压轴题》解答题专题训练（附答案）1．如图．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边的中点，连接CD．以CD为直径作⊙O，分别与AC，BC相交于点M，N．过点N作⊙O的切线交AB于点E．（1）求证：∠BEN＝90°．（2）若AB＝10，请填空：①迮接OE，ON，当NE＝时，四边形OEBN是平行四边形；②连接DM，DN，当AC＝时，四边形CMDN为正方形．2．如图，以AB为直径的半圆中，点O为圆心，点C在圆上，过点C作CD∥AB，且CD ＝OB．连接AD，分别交OC，BC于点E，F，与⊙O交于点G，若∠ABC＝45°．（1）求证：①△ABF∽△DCF；②CD是⊙O的切线．（2）求的值．3．如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，点D为半径OA上一点，过点D作AB的垂线交AC于点E，交BC的延长线于点P，点F在线段PE上，且PF＝CF．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）连接AP与⊙O相交于点G，若∠ABC＝2∠P AC，求证：AB＝BP；（3）在（2）的条件下，若AC＝4，BC＝3，求CF的长．4．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．（1）判断直线AF与⊙O的位置关系并说明理由；（2）若⊙O的半径为6，AF＝2，求AC的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接AD．（1）求证：EF是⊙O的切线．（2）求证：△FBD∽△FDA．（3）若DF＝4，BF＝2，求⊙O的半径长．6．如图1，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过O点作OF⊥AB交⊙O于点D，交AC于点E，交BC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG．（1）判断CG与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：2OB2＝BC•BF；（3）如图2，当∠DCE＝2∠F，DG＝2.5时，求DE的长．7．已知：△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，且AD⊥BC于点D．（1）如图1，求证：∠B＝∠C；（2）如图2，点E在上，连接AE，CE，∠ACE＝∠ACB，求证：∠CAE＝2∠ACE；（3）如图3，在（2）的条件下，过点A作AF⊥CE交CE的延长线于点F，若AE＝5，AB＝13，求AF的长．8．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，∠B＝30°，点M是AB上的动点，以M为圆心，MB为半径作圆交BC于点D，（1）若圆M与AC相切，如图1，求圆的半径；（2）若AM＝2MB，连接AD，如图2．①求证：AD与圆M相切；②求阴影部分的面积．9．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF＝EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）求证：△OAC∽△ECF；（3）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求EC的长．10．如图，已知以BC为斜边的Rt△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AB的延长线于点E，连接DB，DC．（1）求证：ED为⊙O的切线；（2）求证：BC2＝2ED•FC；（3）若tan∠ABC＝2，AD＝，求BC的长．11．已知△ABC内接于⊙O，D是弧AC上一点，连接BD、AD，BD交AC于点M，∠BMC ＝∠BAD．（1）如图1，求证：BD平分∠ABC；（2）如图2，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点F，求证：DF∥AC；（3）如图3，在（2）的条件下，BC是⊙O的直径，连接DC，AM＝1，DC＝，求四边形BFDC的面积．12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，P为弧AD上一点．（1）如图1，连接AC、PC、P A，求证：∠APC＝∠ACD；（2）如图2，连接PB，PB交CD于E，过点P作⊙O的切线交CD的延长线于点F，求证：FE＝PF；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AE，且∠P AE＝∠F，过点A作AG⊥PF，垂足为G，若PG＝6，，求BH的长．13．如图，⊙O的半径为1，点A是⊙O的直径BD延长线上的一点，C为⊙O上的一点，AD＝CD，∠A＝30°．（1）求证：直线AC是⊙O的切线；（2）求△ABC的面积；（3）点E在上运动（不与B、D重合），过点C作CE的垂线，与EB的延长线交于点F．①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，求CF的长；②当点E运动到什么位置时，CF取到最大值，并求出此时CF的长．14．如图所示，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF ⊥PC于点F，连接CB．（1）求证：AC平分∠F AB．（2）求证：BC2＝CE•CP．（3）当AB＝4时，求劣弧BC长度（结果保留π）．15．已知：如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，连接CE，BD是⊙O的切线与OE的延长线相交于点D．（1）求证：∠D＝∠AEC；（2）求证：CE2＝EH•EA；（3）若⊙O的半径为5，，求FH的长．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，8），点B是x轴正半轴上一点，连接AB，过点A作AC⊥AB，交x轴于点C，点D是点C关于点A的对称点，连接BD，以AD为直径作⊙Q交BD于点E，连接并延长AE交x轴于点F，连接DF．（1）求线段AE的长；（2）若∠ABE＝∠FDE，求EF的值．（3）若AB﹣BO＝4，求tan∠AFC的值．17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC，交BC于点E，点D在AC上，以AD为直径的⊙O经过点E，点F在⊙O上，且EF平分∠AED，交AC于点G，连接DF．（1）求证：△DEF∽GDF；（2）求证：BC是⊙O的切线；（3）若cos∠CAE＝，DF＝10，求线段GF的长．18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，过圆心O的直线PF⊥AB于D，交⊙O于E，F，PB是⊙O的切线，B为切点，连接AP，AF．（1）求证：直线P A为⊙O的切线；（2）求证：AC2＝4OD•OP；（3）若BC＝6，，求AC的长．19．如图，AB是半圆O的直径，AB＝10．C是弧AB上一点，连接AC，BC，∠ACB的平分线交AB于点P，过点P分别作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为E、F．（1）求证：四边形CEPF是正方形；（2）当sin A＝时，求CP的长；（3）设AP的长为x，图中阴影部分的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出y 的最大值．20．问题提出（1）如图①，△ABC为等边三角形，若AB＝2，则△ABC的面积为．问题探究（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝3，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥BD交BC边于点E．若AD＝1，求图中阴影部分的面积．问题解决（3）如图③，是某公园的一个圆形施工区示意图，其中⊙O的半径是4米，公园开发部门计划在该施工区内设计一个四边形绿化区域ABCD，连接AC、BD，现准备在△ADC 区域种植花卉供游人欣赏．按设计要求，A、B、C、D四个点都在圆上，∠ADB＝∠BDC ＝60°．设BD的长为x米，△ADC的面积为y平方米．①求y与x之间的函数关系式；②按照设计要求，为让游人有更好的观赏体验，△ADC花卉区域的面积越大越好，那么请求出花卉区域△ADC面积的最大值．参考答案1．（1）证明：如图，连接ON，DN，∵CD是⊙O的直径，∴∠CND＝∠DNB＝90°，∵NE是⊙O的切线，∴∠ONE＝90°，∴∠BNE＝∠OND，∵ON＝OD，∴∠ODN＝∠OND，∴∠ODN＝∠BNE，∵D是斜边AB的中点，∴CD＝AD＝BD，∴∠B＝∠BCD，∵∠BCD+∠ODN＝90°，∴∠B+∠BNE＝90°，∴∠NEB＝90°；（2）解：①∵四边形OEBN是平行四边形，∴BE＝ON＝，∵E为BD的中点，∴N为BC的中点，∴NE为△BCD的中位线，∴NE∥CD，且NE＝CD＝．故答案为：；②∵四边形CMDN为正方形，∴∠MCD＝∠MDC＝45°，∠CMD＝90°，∴MC＝MD＝CD，∵AD＝DC，∴M是AC的中点，AC＝2MC＝CD，∴CD＝AB＝5，∴AC＝5．故答案为：5．2．（1）证明：①∵CD∥AB，∴∠F AB＝∠D，∵∠AFB＝∠DFC，∴△ABF∽△DCF；②∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，∵CD∥AB，∴∠DCO＝∠AOC＝90°，∵OC是半圆的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：过点F作FH∥AB交OC于H，设圆的半径为2a，∵CD＝OB＝OA，CD∥AB，∴CE＝OE＝a，AE＝DE，由勾股定理得：AE＝＝a，∴AD＝2a，∵△ABF∽△DCF，∴＝＝，∵FH∥AB，∴＝＝，∵FH∥AB，∴＝＝，∴EF＝，∵CD是⊙O的切线，∴DC2＝DG•DA，即（2a）2＝DG•2a，解得：DG＝，∴FG＝a﹣﹣＝，∴＝＝．3．（1）证明：连接OC，∵PF＝FC，OC＝OB，∴∠PCF＝∠CPF，∠OCB＝∠OBC，∵PD⊥AB，∴∠PDB＝90°，∴∠CPF+∠OBC＝90°，∴∠PCF+∠OCB＝90°，∴∠FCO＝90°，∴OC⊥CF，∴CF是⊙O的切线．（2）证明：连接BG，∵，∴∠P AC＝∠PBG，∵∠PBA＝2∠P AC，∴∠PBA＝2∠PBG，∵AB为⊙O的直径，∴∠AGB＝∠PGB＝90°，∴∠APB＝∠P AB，∴AB＝BP；（3）解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5，∴AB＝BP＝5，∴PC＝2，∵∠PDA＝∠PCA＝90°，P A＝P A，∠APB＝∠P AB，∴△APC≌△APD（AAS），∴AD＝PC＝2，PD＝AC＝4，∠P AC＝∠APD，∴AE＝PE，设DE＝x，AE＝PE＝4﹣x，在Rt△AED中，AD2+DE2＝AE2，即22+x2＝（4﹣x）2，解得x＝，∴EP＝4﹣x＝，∵∠PEC＝90°﹣∠EPC，∠FCE＝90°﹣∠PCF，即∠PEC＝∠FCE，∴EF＝CF＝PF，∴CF＝．4．解：（1）直线AF与⊙O相切．理由如下：连接OC，∵PC为圆O切线，∴CP⊥OC，∴∠OCP＝90°，∵OF∥BC，∴∠AOF＝∠B，∠COF＝∠OCB，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∴∠AOF＝∠COF，∵在△AOF和△COF中，，∴△AOF≌△COF（SAS），∴∠OAF＝∠OCF＝90°，∴AF⊥OA，又∵OA为圆O的半径，∴AF为圆O的切线；（2）∵∠AOF＝∠COF，OA＝OC，∴E为AC中点，即AE＝CE＝AC，OE⊥AC，∵∠OAF＝90°，OA＝6，AF＝2，∴tan∠AOF＝，∴∠AOF＝30°，∴AE＝OA＝3，∴AC＝2AE＝6；（3）∵AC＝OA＝6，OC＝OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC＝60°，OC＝6，∵∠OCP＝90°，∴CP＝OC＝6，∴S△OCP＝OC•CP＝＝18，S扇形AOC＝＝6π，∴阴影部分的面积为S△OCP﹣S扇形AOC＝18﹣6π．5．（1）证明：连接OD，如图所示：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∴AD⊥BC．∵AB＝AC，∴CD＝BD＝BC．∵OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC．∵EF⊥AC，∴EF⊥OD．∵OD是半径，∴EF与⊙O相切．（2）证明：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∵OD⊥DE，∴∠FDB+∠ODB＝90°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠BAD＝∠FDB，∵∠F＝∠F，∴△FBD∽△FDA；（3）解：设⊙O的半径为r，则AB＝2r，∵△FBD∽△FDA，∴，∵DF＝4，BF＝2，∴，∴r＝3．6．解：（1）CG与⊙O相切，理由如下：如图1，连接CO，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ACF＝90°，∵点G是EF的中点，∴GF＝GE＝GC，∴∠AEO＝∠GEC＝∠GCE，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵OF⊥AB，∴∠OAC+∠AEO＝90°，∴∠OCA+∠GCE＝90°，即OC⊥GC，∵OC是圆的半径，∴CG与⊙O相切；（2）证明：∵∠AOE＝∠FCE＝90°，∠AEO＝∠FEC，∴∠OAE＝∠F，又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△FBO，∴，即BO•AB＝BC•BF，∵AB＝2BO，∴2OB2＝BC•BF；（3）由（1）知GC＝GE＝GF，∴∠F＝∠GCF，∴∠EGC＝2∠F，又∵∠DCE＝2∠F，∴∠EGC＝∠DCE，∵∠DCE＝∠AOD＝45°，∴∠EGC＝45°，又∵∠OCG＝90°，∴△OCG为等腰直角三角形，∴GC＝OC，OG＝OC，∴OD+DG＝OC，即OC+2.5＝OC，解得OC＝，∵GF＝GE＝GC＝OC，∴DE＝GE﹣DG＝OC﹣DG＝．7．（1）证明：∵AD⊥BC，AD过圆心O，∴BD＝CD，且AD⊥BC，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C；（2）证明：连接BE，设∠ACE＝α，则∠ACB＝3α，∴∠ABC＝∠ACB＝3α，∵∠ABE＝∠ACE＝α，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝3α﹣α＝2α，∴∠CAE＝∠CBE＝2α＝2∠ACE；（3）解：过点E作EG⊥AC于点G，在CG上截取GH＝AG，连接EH，∴EH＝AE＝5，∴∠AHE＝∠EAH＝2α，∴∠CEH＝∠AHE﹣∠ECH＝2α﹣α＝α＝∠ECH，∴CH＝EH＝5，∵AC＝AB＝13，∴AH＝AC﹣CH＝13﹣5＝8，∴AG＝GH＝4，∴CG＝4+5＝9，在Rt△AEG中，EG＝＝＝3，在Rt△CEG中，CE＝＝＝3，∵，∴，∴．8．解：（1）过点M作MN⊥AC于点N，∵圆M与AC相切，∴MN＝MB，∵∠ACB＝90°，AC＝6，∠B＝30°，∴AB＝12，设MN＝MB＝R．∴AM＝12﹣R，∵∠ACB＝90°，MN⊥AC，∴MN∥BC，∴∠B＝∠AMB＝30°，∴，∴，解得R＝24﹣36．（2）①连接DM，由题意可知MB＝MD，∴∠B＝∠MDB＝30°，∴∠AMD＝60°，∵AM＝2MB，∴AM＝2MD，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AC，∠BAC＝60°，∴△AMD∽△ABC，∴∠ADM＝∠ACB＝90°，∴AD与圆M相切；②∵AB＝12，AM＝2MB，∴BM＝4，AM＝8，∵∠ADM＝90°，∴AD＝＝4，∴S阴影部分＝4．9．（1）证明：∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∵DE⊥AB，∴∠OBC+∠DFB＝90°，∵EF＝EC，∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB，∴∠OCB+∠ECF＝90°，∴OC⊥CE，∴EC是⊙O的切线；（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BFD＝90°，∴∠BFD＝∠A，∴∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∴△OAC∽△ECF；（3）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OB＝5，∴AB＝10，∴AC＝＝＝6，∵cos∠ABC＝，∴，∴BF＝5，∴CF＝BC﹣BF＝3，∵△OAC∽△ECF，∴，∴EC＝＝．10．（1）证明：如图1，连接OD．∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°．∵AD平分∠BAC，∴．∴OD⊥BC，∵DE∥BC，∴OD⊥ED，又∵OD为半径，∴ED为⊙O的切线；（2）证明：由（1）可得△BCD为等腰直角三角形．∵DE∥BC，∴∠E＝∠ABC＝∠ADC，∠BDE＝∠DBC＝∠DCB＝45°．∴△BED∽△FDC，∴，即BD2＝DE•FC，又，∴BC2＝2ED•FC；（3）解：如图2，过点D作DG⊥AD，交AC的延长线于点G．∴∠CDG+∠ADC＝90°，∠DGC＝∠DAG＝45°．又∵∠ADB+∠ADC＝90°，∴∠ADB＝∠GDC，∵DB＝DC，∠BAD＝∠DGC＝45°，∴△ABD≌△GCD（AAS），∴AB＝CG．∵∠DAG＝45°，∠ADG＝90°，∴△ADG为等腰直角三角形，∴AB+AC＝AG＝AD＝＝3，∵tan∠ABC＝2，∴设AB＝x，则AC＝2x．∴3x＝3，∴x＝1．即AB＝1，AC＝2．∴BC＝＝＝．11．（1）证明：∵∠BMC＝∠BAD，又∵∠BMC＝∠BAC+∠ABD，∠BAD＝∠BAC+∠DAM，∴∠ABD＝∠DAC，又∵弧DC＝弧DC，∴∠DAC＝∠DBC，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC；（2）证明：连接OA、OB、OD，OD交AC于点N，∵FD是⊙O的切线，D为切点，OD是⊙O的半径，∴OD⊥FD，∴∠FDO＝90°，又∵∠AOD＝2∠ABD，∠DOC＝2∠DBC，∠ABD＝∠CBD，∴∠AOD＝∠COD，又∵AO＝CO，∴ON⊥AC，∴∠ANO＝90°，∴∠ANO＝∠FDO，∴AC∥FD；（3）解：连接OD，交AC于N，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝∠BDC＝90°，∴∠F AC＝180°﹣∠BAC＝90°，又∵∠ANO＝∠FDN＝90°，∴四边形ANDF是矩形，∴AF＝DN，∠F＝90°，又∵ON⊥AC，∴AN＝CN，∴设MN＝a，则AN＝CN＝MN+AM＝a+1，∴CM＝MN+CN＝2a+1，在Rt△MDC中，cos∠ACD＝，在Rt△NDC中，cos∠ACD＝，∴，解得a1＝﹣（舍去），a2＝1，∴MN＝1，CN＝a+1＝2，∴DN＝AF＝＝，又∵MN＝AM＝1，∠AMB＝∠NMD，∠BAM＝∠MND＝90°，∴△BAM≌△DNM（AAS），∴BA＝ND＝，∴BF＝AB+AF＝2，∴AN＝FD＝a+1＝2，∴BD＝＝2，∴S△BFD＝，S△DBC＝BD•CD＝＝3，∴S四边形BFDC＝S△BFD+S△BDC＝2．12．（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴，∴∠ACD＝∠DC，∵，∴∠APC＝∠ADC，∴∠APC＝∠ACD；（2）证明：连接OP，∵PF是⊙O的切线，∴OP⊥PF，即∠EPF+∠OPE＝90°，∵OP＝OB，∴∠OPB＝∠OBP，∵CD⊥AB，∴∠HEB+∠HBE＝90°，∵∠PEF＝∠HEB，∴∠PEF＝∠FPE，∴FE＝PF；（3）解：过E作EM⊥PF，垂足为M，∵AG⊥PF，∴∠GAP+∠GP A＝90°，∵∠APE＝90°，∴∠GP A+∠EPM＝90°，∵∠AGP＝∠EMP＝90°，∴△GP A∽△MEP，∴，∵∠P AE＝∠F，∴tan∠P AE＝tan∠F，则，∵，∴，∴MF＝PG＝6，设PM＝x，∵PE2﹣PM2＝EF2﹣FM2，∴，解得：x1＝﹣10，x2＝4，即PM＝4，∴EM＝＝8，∵，即，∴P A＝3，∵CD⊥AB，AB是直径，∴∠BHE＝∠APB＝90°，∴∠HEB＝∠BAP，∵∠MPE＝∠HEB，∴tan∠P AB＝，即，∴PB＝6，∴BE＝PB﹣PE＝2，∵sin∠HEB＝，即，∴BH＝4．13．（1）证明：连接OC，如图1，∵AD＝CD，∠A＝30°，∴∠ACD＝30°，∴∠CDB＝60°，∵OD＝OC，∴∠OCD＝60°，∴∠ACO＝∠ACD+∠OCD＝90°，∵OC是半径，∴直线AC是⊙O的切线；（2）解：∵∠OCD＝60°，OC＝OD，∴△DCO是等边三角形，∴CD＝AD＝OD＝1，作CH⊥BD于点H，则DH＝，如图2，∴CH＝＝＝，∵AB＝AD+BD＝3，∴S△ABC＝＝．（3）①当点E运动到与点C关于直径AB对称时，CE⊥AB于点K，如图3，∵BD为⊙O的直径，CK＝，∴CE＝2CK＝，∵CF⊥CE，∴∠ECF＝90°，∵∠CDB＝∠CEB＝60°，∴CF＝CE•tan60°＝＝3，②∵点E在上运动过程中，∠CDB＝∠CEB＝60°，在Rt△ECF中，tan60°＝，∴CF＝CE，∴当CE最大时，CF取得最大值，∴当CE为直径，即CE＝2时，CF最大，最大值为2．14．（1）证明：连接AC，BC，∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC，∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，∴∠OCP＝∠F＝90°，∴AF∥OC，∴∠F AC＝∠OCA，∴∠F AC＝∠OAC，∴CA平分∠F AB．（2）证明：∵CD是直径，∴∠CBD＝90°，∴∠CBP＝90°，∵CE⊥OB，∴∠CEB＝∠CBP＝90°，∵PC切⊙O于点C，∴∠PCB＝∠CAB，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠CAB＝90°，∠BCE+∠ABC＝90°，∵∠CAB＝∠BCE，∴∠PCB＝∠BCE，∴△BCE∽△PCB，∴，∴BC2＝CE•CP；（3）解：，设CF＝3a，CP＝4a，∵BC2＝CE•CP＝3a•4a＝12a2，∴BC＝2a，在Rt△BCE中，sin∠CBE＝，∴∠CBE＝60°，∴∠BCE＝30°，∴△COB是等边三角形，∵AB＝4，∴OB＝BC＝2，∴劣弧BC的长＝＝π．15．（1）证明：∵BD是⊙O的切线，∴∠OBD＝90°，∠ABC+∠DBC＝90°，∵BC⊥OD，∴∠D+∠DBC＝90°，∴∠ABC＝∠D，∵∠AEC＝∠ABC，∴∠D＝∠AEC；（2）证明：连接AC，如图所示：∵OF⊥BC，∴，∴∠CAE＝∠ECB，∵∠CEA＝∠HEC，∴△CEH∽△AEC，∴，∴CE2＝EH•EA；（3）解：连接BE，过O作OG⊥BE于G，如图所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵⊙O的半径为5，∴AB＝10，∵cos∠BCE＝，∴cos∠BAE＝＝，∴AE＝8，∴BE＝＝＝6，∵，∴BE＝CE＝6，∵CE2＝EH•EA，∴EH＝，在Rt△BEH中，BH＝．∵OG⊥BE，OB＝OE，∴BG＝3，∴OG＝＝＝4，∴BF•OE，∴BF＝，∴HF＝BH﹣BF＝．16．解：（1）∵点A（0，8），∴AO＝8，∵AD是⊙Q的直径，∴∠AEB＝∠AED＝90°，∴∠AEB＝∠AOB＝90°，∵BA垂直平分CD，∴BC＝BD，∴∠ABO＝∠ABE在△ABE和△ABO中，，∴△ABE≌△ABO（AAS），∴AE＝AO＝8；（2）∵∠ABE＝∠FDE，∴AB∥DF，∴△CAB∽△CDF，∴，又∵∠ABE＝∠FDE，∠AEB＝∠FED∴△DEF∽△BEA，∴，∴EF＝2AE＝16；（3）设BO＝x，则AB＝x+4，在Rt△ABO中，由AO2+OB2＝AB2得：82+x2＝（x+4）2，解得：x＝6，∴OB＝BE＝6，AB＝10，∵∠EAB+∠ABE＝90°，∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠EAB＝∠ACB，∵∠BF A＝∠AFC，∴△BF A∽△AFC，∴；设EF＝m，则AF＝8+m，BF＝（8+m），∵在Rt△BEF中，BE2+EF2＝BF2，∴62+m2＝[（8+m）]2，解得：m＝，即EF＝，∴tan∠AFC＝．17．（1）证明：如图1，∵EF平分∠AED，∴∠AEF＝∠FED，∵∠AEF＝∠ADF，∴∠FED＝∠ADF，∵∠GFD＝∠DFE，∴△GFD∽△DFE；（2）证明：如图2，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠EAO，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠OEA，∴∠BAE＝∠OEA，∴AB∥OE，∴∠OEC＝∠B，∵∠B＝90°，∴∠OEC＝90°，∵OE为半径，∴BC是⊙O的切线；（3）解：如图3，连接OF、AF，∵AD为直径，∴∠AFD＝∠AED＝90°，∵EF平分∠AED，∴∠AEF＝∠FED＝45°，∴∠AFD＝∠AEF＝45°，∴△AFD为等腰直角三角形，∵DF＝10，OA＝OD∴AD＝DF＝×10＝20，OF⊥AD，OA＝OD＝OF＝10，∵cos∠CAE＝，∴AE＝AD•cos∠CAE＝20×＝10，∵∠AEF＝∠ADF，∠AGE＝∠FGD，∴△AGE∽△FGD，∴，∴AG＝GF，∵AG＝AO+OG＝10+OG，∴10+OG＝GF，∴OG＝GF﹣10，在Rt△FOG中，GF2＝OF2+OG2，∴GF2＝102+（GF﹣10）2，解得：GF＝或（不符合题意，舍去），∴线段GF的长为．18．（1）证明：连接OB，∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO＝90°，∵OA＝OB，BA⊥PO于D，∴AD＝BD，∠POA＝∠POB，又∵PO＝PO，∴△P AO≌△PBO（SAS），∴∠P AO＝∠PBO＝90°，∵OA为圆的半径，∴直线P A为⊙O的切线；（2）证明：∵∠P AO＝∠PDA＝90°，∴∠OAD+∠AOD＝90°，∠OP A+∠AOP＝90°，∴∠OAD＝∠OP A，∴△OAD∽△OP A，∴，∴OA2＝OD•OP，又∵AC＝2OA，∴AC2＝4OD•OP；（3）解：∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，∴OD＝BC＝3，设AD＝x，∵tan∠F＝，∴FD＝2x，OA＝OF＝2x﹣3，在Rt△AOD中，由勾股定理，得，（2x﹣3）2＝x2+32，解之得，x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去），∴AD＝4，OA＝2x﹣3＝5，∵AC是⊙O的直径，∴AC＝2OA＝10．∴AC的长为10．19．（1）证明：∵∠ACB＝90°，PE⊥AC，PF⊥BC，∴四边形PECF是矩形，∵CP平分∠ACB，PE⊥AC，PF⊥BC，∴PE＝PF，∴四边形CEPF是正方形；（2）解：∵sin A＝，AB＝10，∴，∴BC＝8，∴AC＝＝＝6，∴tan A＝，设PE＝CE＝m，则AE＝6﹣m，∴tan A＝，∴m＝，∴PC＝PE＝；（3）解：∵四边形CEPF是正方形，∴PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，∴将△APE绕点P顺时针旋转90°，得到△A′PF，P A′＝P A，如图所示：则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，∴∠A′PF+∠BPF＝90°，即∠A′PB＝90°，∴S△P AE+S△PBF＝S△P A′B＝P A′•PB＝x（10﹣x），∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣+5x，∵y＝﹣+5x＝﹣，∴x＝5时，y有最大值为．20．解：（1）如图①，AD⊥BC，∵△ABC为等边三角形，AB＝2，∴∠B＝60°，BC＝AB＝2，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，＝sin B＝sin60°，∴＝，∴AD＝，∴△ABC的面积＝AB•AD＝×2×＝，故答案为：；（2）如图②，过点D作DH⊥BC于点H，∵∠ABC＝90°，BD是△ABC的角平分线，∴∠DBC＝∠ABD＝45°，∵DE⊥BD，∴∠BDE＝90°，∴∠DEB+∠DBE＝90°，∴∠DEB＝90°﹣∠DBE＝90°﹣45°＝45°，∴BD＝ED，∵DH⊥BC，∴BH＝EH，∴DH＝BE＝BH＝EH，设DH＝BH＝EH＝a，∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，∵DH⊥BC，∴AB∥DH，∴△CDH∽△CAB，∴＝＝，∵AD＝1，AC＝3，∴CD＝3﹣1＝2，∴＝＝，∴AB＝a，CE＝a，∴BC＝CE+BE＝a+2a＝3a，∵AB2+BC2＝AC2，∴a2+9a2＝9，∴a2＝1，∴S阴影＝S△ABC﹣S△BDE＝AB•BC﹣BE•DH＝×a•3a﹣×2a•a＝a2﹣a2＝a2＝1；（3）①设AC与BD相交于点E，连接OB，OA，OC，过点O作OH⊥AB于点H，∵∠ADB＝∠BDC＝60°，∴AB＝BC，∠BAC＝∠BDC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC，在△ABO和△ACO中，，∴△ABO≌△ACO（SSS），同理△ABO≌△CBO（SSS），∴S△ABO＝S△ACO＝S△CBO，∴S△ABC＝3S△ABO，∵∠AOB＝2∠ACB，∴∠AOB＝120°，在Rt△OAH和Rt△OBH中，，∴Rt△OAH≌Rt△OBH（HL），∴∠AOH＝∠BOH，AH＝BH，在Rt△OAH中，OA＝4，∠AOH＝∠AOB＝60°，∴cos∠AOH＝cos60°＝＝，sin∠AOH＝sin60°＝＝，∴OH＝OA＝2，AH＝OA＝2，∴AB＝2AH＝4，∴S△ABC＝3S△ABO＝3××4×2＝12，∵∠ABE＝∠DBA，∠BAE＝∠BDA＝60°，∴△ABE∽△DBA，∴＝＝＝，即S△DBA＝S△ABE，∵∠CBE＝∠DBC，∠BCE＝∠BDC＝60°，∴△CBE∽△DBC，∴＝＝＝，即S△DBC＝S△CBE，∴S四边形ABCD＝S△DBA+S△DBC＝S△ABE+S△CBE，＝（S△ABE+S△CBE）＝S△ABC＝×12＝x2，∴S△ADC＝S四边形ABCD﹣S△ABC＝x2﹣12，即y＝x2﹣12；∵BD的长度大于AB，小于等于直径，∴4＜x≤8，∴y与x之间的函数关系式为y＝x2﹣12（4＜x≤8）；②由①知，y与x之间的函数关系式为y＝x2﹣12，则对称轴为y轴，∵＞0，∴x＞0时，y随x的增大而增大，∵4＜x＜8，∴当x＝8时，y有最大值，即当BD为⊙O的直径时，y取最大值，即y＝×82﹣12＝4，∴花卉区域△ADC面积的最大值是4．。

2023年九年级数学中考复习：几何探究题压轴题附答案

2023年九年级数学中考复习：几何探究题压轴题附答案

试卷第1页，共12页2023年九年级数学中考复习：几何探究题压轴题附答案1．（1）如图所示，正方形ABCD 及等腰Rt △AEF 有公共顶点A ，∠EAF ＝90°，连接BE 、DF ．将Rt △AEF 绕点A 旋转，在旋转过程中，BE 、DF 数量关系和位置关系是分别是．（2）将（1）中的正方形ABCD 变为矩形ABCD ，等腰Rt △AEF 变为Rt △AEF ，且AD ＝kAB ，AF ＝kAE ，其他条件不变．（1）中的结论是否发生变化？结合图（2）证明．（3）将（2）中的矩形ABCD 变为平行四边形ABCD ，将Rt △AEF 变为△AEF ，且∠BAD ＝∠EAF ＝a ，其他条件不变．（2）中的结论是否发生变化？结合图（3），如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用k 表示出线段BE 、DF的数量关系2．如图，在ABC中，90∠=︒==ACB AC BC D 是边AB 上一点，连接CD ，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90︒至CE ，连接,AE BE ，取AE 的中点M ，连接CM．(1)求证：BE AD =；(2)问CM 与BD 有何数量关系？写出你的结论并证明；(3)若点D 在AB 上运动，则四边形BECM 能否形成平行四边形？若能，请直接写出此时CM 的长；若不能，说明理由．3．在ABC 中，AB AC =，D 是边BC 上一动点，连接AD ，将AD 绕点A 逆时针旋转试卷第2页，共12页到的AE 的位置，使得180DAE BAC ∠+∠=︒；(1)如图1，当90BAC ∠=︒，连接BE 交AC 于点F ，若BE 平分ABC ∠，2BD =，则CF =_________．(2)在（1）的条件下，求AF 的长；(3)如图2，连接BE ，取BE 的中点G ，连接AG ，猜想AG 与CD 存在的数量关系，并证明．4．阅读理解图1是边长分别为a 和b （a b >）的两个等边三角形纸片ABC 和C DE '叠放在一起（C 与C '重合）的图形．操作与证明：(1)操作：固定ABC ，将C DE ' 绕点C 按顺时针方向旋转30°，连接AD 、BE ，如图2，在图2中，线段BE 与AD 之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；(2)若将图1中的C DE ' 绕点C 按顺时针方向任意旋转一个角度α，连接AD 、BE ，如图3，图3中线段BE 与AD 之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；猜想与发现：(3)根据上面的操作和思考过程，请你猜想当α为______度时，线段AD 的长度最大，当α为某个角度时，线段AD 的长度最小，最小是______．5．如图1所示，将一个长为6宽为4的长方形ABEF ，裁成一个边长为4的正方形ABCD试卷第3页，共12页和一个长为4、宽为2的长方形CEFD 如图2．现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至CE F D '''，旋转角为a．(1)当点D ¢恰好落在EF 边上时，求旋转角a 的值；(2)如图3，G 为BC 中点，且0°＜a ＜90°，求证：GD E D ''=；(3)小军是一个爱动手研究数学问题的孩子，他发现在小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，DCD ' 与CBD '△存在两次全等，请你帮助小军直接写出当DCD ' 与CBD '△全等时，旋转角a 的值．6．将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC 和AFE 按如图1所示位置放置，现将Rt AEF 绕A 点按逆时针方向旋转()090αα︒<<︒．如图2，AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点P．(1)若AMC 是等腰三角形，则旋转角α的度数为______．(2)在旋转过程中，连接AP ，CE ，求证：AP 所在的直线是线段CE 的垂直平分线．(3)在旋转过程中，CPN V 是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由．7．（1）如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，当△DCE 旋转至点A ，D ，E 在同试卷第4页，共12页一直线上，连接BE ．填空：①∠AEB 的度数为；②线段AD ，BE 之间的数量关系为．（2）如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，90ACB DCE ∠∠== ，点A ，D ，E 三点在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ，请判断∠AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE 之前的数量关系．并说明理由．（3）图1中的△ACB 和△DCE ，在△DCE 旋转中当点A ，D ，E 在不同一直线上时，设AD 与BE 相交于点O ，旋转角θ)(0180θ<< 尝试在图中探索∠AOE 的度数，直接写出结果，不必说明理由．8．在△ABC 中，90°＜∠BAC ＜120°，将线段AB 绕点A 逆时针旋转120°得到线段AD ，连接CD．(1)如图1，若AB ＝8，∠ABC ＝45°，BA ⊥CD ，延长BA ，CD 交于点K ，求四边形ABCD 的面积；(2)如图2，点E 是CA 延长线上一点，点G 是AE 的中点，连接BE ，BG ，点F 在线段AC 上，点H 在线段BG 上，连接HF ，若BG ＝GF ，HF ＝BE ，GA ＝GH ，2∠ACB ＝∠EBG +∠ABC ，求证：BC +CD；(3)如图3，在（1）的条件下，点P 是线段BC 上的一个动点，连接DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转45°得到线段DP '，连接AP '，BP '，点M 是△ABP '内任意一点，点P 在运动过程中，AM +BM +P 'M 是否存在最小值；若存在，请直接写出：AM +BM +P 'M 的最小值；若不存在，请说明理由．试卷第5页，共12页9．如图①，在ABC 中，AB AC ABC n =∠=︒，，D 是BC的中点．小明对图①进行了如下探究：在线段AD 上任取一点P ，连接PB ，将线段PB 绕点P 按逆时针方向旋转2n ︒，点B 的对应点是点E ，连接BE ，得到BPE ，小明发现，随着点P 在线段AD 上位置的变化，点E 的位置也在变化，点E 可能在直线AD 的右侧，也可能在直线AD 上，还可能在直线AD 的右侧，请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：(1)若点P 在线段AD 上，①若40ABC ∠=︒，当点E 在直线AD 上时，如图②所示，①BEP ∠=___________；②若35ABP ∠=︒，点E 落在直线AD 的___________（填“左侧”或“右侧”或“直线AD 上”）．(2)当4590n ︒<︒<︒，点P 在线段AD 上，如图③所示，连接CE ，试判断直线CE 与直线AB 的位置关系．并说明理由．(3)在（2）的条件下，若AB AC ==，ABC 的面积为12，求AE 的最小值．10．在ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，点D 在直线AB 上，连接CD ，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°得到线段CE ，连接DE ，点F 是线段DE 的中点，连接AF．(1)如图1，当点D 在BA 的延长线上时，连接AE ，若DE=4，求线段AF 的长度；(2)如图2，当点D 在AB 的延长线上时，若点G 是线段AD 的中点，连接FG ，求证：2BD FG =；试卷第6页，共12页(3)如图3，连接CF 和BE ，若BC =当线段CF 取最小值时，请直接写出BCE 的面积．11．如图①，ABC 和ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点P 为射线,BD CE的交点．(1)如图②，将ADE 绕点A 旋转，当C 、D 、E 在同一条直线上时，连接BD 、BE ，求证：BD CE =且BD CE ⊥．(2)若8,4AB AD ==，把ADE 绕点A 旋转，①当90EAC ∠=︒时，求PB 的长；②旋转过程中线段BP 长的最小值是_______．12．探究题∶(1)特殊情景：如图（1），在四边形ABCD 中，AB =AD ，以点A 为顶点作一个角，角的两边分别交BC ，CD 于点E ，F ，且∠EAF =12∠BAD ，连接EF ，若∠BAD =∠B =∠D =90°，探究：线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由(2)类比猜想：类比特殊情景，在上述（1）条件下，把“∠BAD=∠B=∠D=90°”改成一股情况“∠BAD=α，∠B+∠D=180°，”如图（2），小明猜想：线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你写出结论；若不成立，请你写出成立时α的取值范围．(3)解决问题：如图（3），在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BDDE的长度．13．（1）模型探究：如图1，已知△ABC，以A为旋转中心将边AB顺时针旋转至AD，将边AC逆时针旋转至AE，旋转角均为α（0º＜α＜180º），连接BE，CD．①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②△ABE可以认为是由△ADC经过怎样的变换得到的？（2）创新应用：如图2，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,0)，点P为坐标平面内一动点，且2PO=，连接PA，以点A为旋转中心，将线段PA顺时针旋转60º至BA，连接OB，请直接写出AOB∠的最大值及此时点P的坐标．14．菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O．试卷第7页，共12页试卷第8页，共12页(1)如图1，过菱形ABCD 的顶点A 作AE BC ⊥于点E ，交OB 于点H ，若6AB AC ==，求OH 的长；(2)如图2，过菱形ABCD 的顶点A 作AF AD ⊥，且AF AD =，线段AF 交OB 于点H ，交BC 于点E ．当D ，C ，F三点在同一直线上时，求证：2OH OA BH +=；(3)如图3，菱形ABCD 中，45ABC ∠=︒，点P 为直线AD 上的动点，连接BP ，将线段BP 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BQ ，连接AQ ，当线段AQ 的长度最小时，直接写出BAQ ∠的度数．15．如图①，在矩形ABCD 中，AD nAB =，点M ，P 分别在边,AB AD 上（均不与端点重合），且AP nAM =，以AP 和AM 为邻边作矩形AMNP ，连接,AN CN．(1)【问题发现】如图②，当1n =时，BM 与PD 的数量关系为__________，CN 与PD 的数量关系为________．(2)【类比探究】如图③，当3n =时，矩形AMNP 绕点A 顺时针旋转，连接PD ，则CN 与PD 之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图③给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图③说明理由；(3)【拓展延伸】在（2）的条件下，已知9,6AD AP ==，当矩形AMNP 旋转至C ，N ，M 三点共线时，请直接写出线段CN 的长．试卷第9页，共12页16．如图：(1)如图1，已知锐角△ABC 的边BC ＝3，S △ABC ＝6，点M 为△ABC 内一点，过点M 作MD ⊥BC 交BC 于点D ，连接AM ，则AM +MD 的最小值为．(2)如图2．点P 是正方形ABCD 内一点，PA ＝2，PBPC ＝4．求∠APB 的度数．(3)如图3，在长方形ABCD 中，其中AB ＝600，AD ＝800点P 是长方形内一动点，且S △ABC ＝2S △PBC ，点Q 为△ADP 内的任意﹣点，是否存在一点P 和一点Q ．使得AQ +DQ +PQ 有最小值？若存在，请求出此时PQ 的长度，若不存在，请说明理由．17．如图，四边形ABCD 是正方形，△ECF 为等腰直角三角形，∠ECF ＝90°，点E 在BC 上，点F 在CD 上，P 为EF 中点，连接AF ，G 为AF 中点，连接PG ，DG ，将Rt △ECF 绕点C 顺时针旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°）．(1)如图1，当α＝0°时，DG 与PG 的关系为；(2)如图2，当α＝90°时①求证：△AGD ≌△FGM ；②（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．试卷第10页，共12页18．如图，P 是等边ABC 内的一点，且5,4,3PA PB PC ===，将APB △绕点B 逆时针旋转，得到CQB △．(1)旋转角为_____度；(2)求点P 与点Q 之间的距离；(3)求BPC ∠的度数；(4)求ABC 的面积ABC S ．19．【问题情境】如图1，点E 为正方形ABCD 内一点，2AE =，4BE =，90AEB =︒∠，将直角三角形ABE 绕点A 逆时针方向旋转α度（0180α≤≤︒），点B 、E 的对应点分别为点B '、E '．(1)【问题解决】如图2，在旋转的过程中，点B '落在了AC 上，求此时CB '的长；(2)【问题解决】若90α=︒，如图3，得到ADE '△（此时B '与D 重合），延长BE 交B E ''于点F ，①试判断四边形AEFE '的形状，并说明理由；②连接CE ，求CE 的长；(3)【问题解决】在直角三角形ABE 绕点A 逆时针方向旋转过程中，求线段CE '长度的取值范围．20．【发现奥秘】(1)如图1，在等边三角形ABC 中，2AB =，点E 是ABC 内一点，连接,,AE EC BE ，分别将,AC EC 绕点C 顺时针旋转60°得到,DC FC ，连接,,AD DF EF ．当B ，E ，F ，D 四个点满足______时，BE AE CE ++的值最小，最小值为_______．【解法探索】(2)如图2，在ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，点P 是ABC 内一点，连接,,PA PB PC ，请求出当PA PB PC ++的值最小时BCP ∠的度数，并直接写出此时::PA PB PC 的值．（提示：分别将,PC AC 绕点C 顺时针旋转60°得到,DC EC ，连接,,PD DE AE ）【拓展应用】(3)在ABC 中，90,30,2ACB BAC BC ︒︒∠=∠==，点P 是ABC 内一点，连接,,PA PB PC ，直接写出当PA PB PC ++的值最小时，::PA PB PC 的值．21．如图1，在等腰三角形ABC 中，120,A AB AC ∠=︒=，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连接BE ．点M 、N 、P 分别为DE BE BC 、、的中点．(1)观察猜想．图1中，线段,NM NP 的数量关系是__________，MNP ∠的大小为__________︒．(2)探究证明把ADE 绕点A 顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP BD CE 、、，判断MNP△的形状，并说明理由；(3)拓展延伸将图1中的ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若2,6AD AB ==，请直接写出MNP △面积的最大值．参考答案：1．（1）DF与BE相等且互相垂直．（2）数量关系改变，位置关系不变．DF＝kBE，DF⊥BE．（3）数量关系不改变．DF＝kBE，位置关系改变，DF与BE的夹角为180°﹣a．2．(2)2BD CM=，(3)能，103 CM=3．(1)2(3)AG=12CD，4．(1)BE=AD，(2)BE=AD，(3)180°，a-b5．(1)30°(3)135°，315°6．(1)60°或15°(3)能，30α∠=︒或60︒7．（1）①60°；②AD=BE；（2）∠AEB=90°；AE=BE+2CM；（3）∠AOE的度数是60°或120°．8．(1)S四边形ABCD＝72﹣(3)AM+BM+P'M的最小值为：9．(1)50°，左侧(2)CE∥AB，(3)510．(1)AF=2(3)BCE 的面积为211．(2)①PB =4-12．(1)BE +DF ＝EF(2)EF ＝BE +DF 成立，(3)DE 3=13．（1）①DC ，理由见解析；②以点A 为旋转中心，逆时针旋转角α得到的；（2）90°；(1,P -．14．(3)75︒15．(1)BM PD =，CN =(2)变化，2CN PD =，22+16．(1)4(2)135°(3)存在，PQ 的长度为4003-17．(1)DG PG =且DG GP⊥(2)①见解析；②成立，18．(1)60(2)4(3)150°9．19．(1)-(2)①正方形，②(3)2CE '≤≤20．(1)四点共线，(2)PA PB PC ++的值最小时45BCP ∠= ，此时)::2:2:1PA PB PC =(3)::4:2:1PA PB PC =21．(1)NM =NP ；60°；(2)MNP △是等边三角形，(3)MNP △的最大面积为。

2023年安徽省各地市中考数学三模压轴题精选(含解析)

2023年安徽省各地市中考数学三模压轴题精选(含解析)

2023年安徽省各地市中考数学三模压轴题精选温馨提示：1.本卷共40题，题目均选自2023年安徽省各地市三模真题。

2.本卷共分为四部分，解答题留有足够答题空间，试题部分可直接打印出来练习。

3.本卷难度较大，适合基础较好的同学。

第一部分 反比例函数1.(2023·安徽省芜湖市·三模)如图直线y =12x +1与x 轴交于点A ，与双曲线y =k x(x >0)交于点P ，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，且PC =2，则k 的值为( )A. −4B. 2C. 4D. 32.(2023·安徽省滁州市·三模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A(0,4)，B(3,4)，将△ABO 向右平移到△CDE 位置，A 的对应点是C ，O 的对应点是E ，函数y =kx(k ≠0)的图象经过点C 和DE 的中点F ，则k 的值是 ．3.(2023·安徽省合肥市蜀山区·三模)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y =mx (x >0,m 为常数)的图象与一次函数y =kx +b 的图象交于点A(2,a)和点B ，过点A 、B 分别作x 、y 轴的垂线，交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，AC 与BD 交于点E ，若点E 恰为AC 中点，三角形ADC 的面积为4，则k 的值为______．4.(2023·安徽省池州市·三模)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A是y轴正半轴上一点，过点A作直线AB交(k≠0)的图象于点B，E，过点A作AC//x轴，交反比例函数的图象于点C，连接BC，CE.若反比例函数y=kxAB=BC=5，AC=6，求：(1)反比例函数的解析式；(2)△ACE的面积．第二部分二次函数5.(2023·安徽省合肥市蜀山区·三模)已知，二次函数y=ax2+(2a−1)x+1的对称轴为y轴，将此函数向下平移3个单位，若点M为二次函数图象在(−1≤x≤1)部分上任意一点，O为坐标原点，连接OM，则OM长度的最小值是( )A. 3B. 2C. 132D. 1726.(2023·安徽省合肥市包河区·三模)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大值为a+b+c，若a−b+c=1，则下列结论错误的是( )A. a<0，b>0B. b2−4ac>0C. b2−4ac>−4aD. b2−4aca2<167.(2023·安徽省亳州市·三模)如图，已知抛物线y=x2−2x与直线y=−x+2交于A，B两点．点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移4个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，则点M的横坐标x M的取值范围是( )A. −2≤x M≤2B. −2≤x M≤2且x M≤−1C. −1≤x M<2D. −1≤x M<2或x M=38.(2023·安徽省合肥市·三模)在平面直角坐标系xOy中，线段AB两个端点的坐标分别为A(1,2)，B(2,2)，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点B，过点P(n,4)(n>1)作x轴的垂线PQ，与反比例函数的图象交于点Q.若PQ⩾AB，则点P横坐标n的取值范围是______．9.(2023·安徽省宿州市·三模)已知点(0,1)在二次函数y=x2+bx+c的图象上，且该抛物线的对称轴为直线x=1．(1)求b和c的值；(2)当−12≤x≤72时，求函数值y的取值范围，并说明理由；(3)设直线y=m(m>0)与抛物线y=x2+bx+c交于点A，B，与抛物线y=4(x+3)2交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比．10.(2023·安徽省合肥市·三模)已知抛物线y=x2+bx+c交x轴于C，D两点，其中点C的坐标为(−1,0)，对称轴为x=1.点A，B为坐标平面内两点，其坐标为A(12,−5)，B(4,−5)．(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)连接AB，若抛物线y=x2+bx+c向下平移k(k>0)个单位时，与线段AB只有一个公共点，求k的取值范围．11.(2023·安徽省合肥市·三模)直线y1=x+b经过点A(1,0)，抛物线y2=x2−2ax+4a−6经过点B(2,m)，其中a和b为实数.设抛物线y2=x²−2ax+4a−6的顶点为M，过M作y轴的平行线交直线y1=x+b于点N．(1)求b和m的值；(2)当抛物线顶点M的纵坐标取得最大值时，求线段MN的值；(3)求线段MN的最小值．12.(2023·安徽省亳州市·三模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−(m+n)x+mn(m>n)与x轴相交于A、B两点(点A位于点B的右侧)，与y轴相交于点C．(1)若m=2，n=1，求A、B两点的坐标；(2)若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是(0,−1)，求∠ACB的大小；(3)若m=2，△ABC是等腰三角形，求n的值．13.(2023·安徽省合肥市三十八中·三模)如图是某家具厂的抛物线型木板余料，其最大高度为9dm，最大宽度为12dm，现计划将此余料进行切割．(1)如图1，根据已经建立的平面直角坐标系，求木板边缘所对应的抛物线的函数表达式；(2)如图2，若切割成矩形HGNM，求此矩形的最大周长；(3)若切割成宽为2dm的矩形木板若干块，然后拼接成一个宽为2dm的矩形，如何切割才能使拼接后的矩形的长边最长？请在备用图上画出切割方案，并求出拼接后的矩形的长边长.(结果保留根号)14.(2023·安徽省合肥市·三模)为响应政府巩固脱贫成果的号召，某商场与生产水果的脱贫乡镇签订支助协议，每月向该乡镇购进甲、乙两种水果进行销售.根据经验可知：销售甲种水果每吨可获利0.4万元，销售乙种水果获利如下表所示：销售x(吨)34567获利y(万元)0.9 1.1 1.3 1.5 1.7(1)分别求销售甲、乙两种水果获利y1(万元)、y2(万元)与购进水果数量x(吨)的函数关系式；(2)若只允许商场购进并销售一种水果，选择哪种水果获利更高？(3)支助协议中约定，商场每个月向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为m、n吨，且m，n满足n=20−12 m2，请帮忙商场设计可获得的最大利润的进货方案．15.(2023·安徽省合肥市庐阳中学·三模)纸飞机是同学们很喜欢的娱乐项目.纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，其中纸飞机上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的飞行路径是一条线段，滑行距离受纸飞机滑行比的影响(若纸飞机在1米的高度开始滑行，滑行的水平距离为n米，则滑行比为1：n).如图所示，若小明玩纸飞机，其起抛点的高度为1.9m，当纸飞机的最大高度达到2.8m时，它的水平飞行距离为3m．(1)求这条抛物线的解析式；(2)小明的前方有一堵2.5m高的墙壁，小明至少距离墙壁多远，纸飞机才会顺利飞过墙壁？(不考虑墙壁的厚度)(3)小明根据多次实验得到其折叠的纸飞机的滑行比为1：2.5(受空气阻力的影响，纸飞机开始滑行的高度不超过1.4m)，纸飞机开始滑行时的高度为多少米时，才能使水平飞行距离至少为10米？第三部分圆16.(2023·安徽省滁州市·三模)如图是以O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上.将该纸片沿直线CO 对折，点B落在⊙O上的点D处(不与点A重合)，连接CB，CD，AD.设CD与直径AB交于点E，若AD=ED，则∠B的度数为( )A. 24°B. 30°C. 36°D. 44°17.(2023·安徽省·三模)如图，CD是⊙O的一条弦，直径AB⊥CD于点H，若cos∠CDB=4，BD=5，则AB5长为______．18.(2023·安徽省芜湖市·三模)如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦.过O点作OF⊥AB交⊙O于点D，交AC于点E，交BC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG．(1)证明：CG是⊙O的切线；(2)连接CD，当∠DCA=2∠F，CE=3时，求CF的长．19.(2023·安徽省合肥市·三模)已知⊙O与矩形ABCD的三边相切，CD边的切点为H，与AD交于E，F两点，EG为⊙O的直径，连接EH．(1)求证：∠DEH=∠HEG；(2)若∠DEG=∠DHE，求AB的值．BC20.(2023·安徽省合肥市三十八中·三模)如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，过点A的切线交CD的延长线于点F，连接AD．(1)求证：∠EAD=∠ACE；(2)若AC=45，ED=2，求DF的长．21.(2023·安徽省合肥市包河区·三模)已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，直径DG交边AB于点E，AB、DC的延长线相交于点F.连接AC，若∠ACD=∠BAD．(1)求证：DG⊥AB；(2)若AB=6，tan∠FCB=3，求⊙O半径．第四部分 相似三角形和四边形22.(2023·安徽省合肥市三十八中·三模)如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，∠B =60°，AB =4，若D 是BC 边上的动点，则2AD +DC 的最小值是( )A. 6B. 8C. 10D. 1223.(2023·安徽省合肥市包河区·三模)已知：菱形ABCD 中，AB = 3，AC =2，AC 与BD 交于点O ，点E 为OB 上一点，以AE 为对称轴，折叠△ABE ，使点B 的对应点F 恰好落在边CD 上，则BE 的长为( )A. 3 24B. 22C. 32 D.3 3424.(2023·安徽省合肥市庐阳中学·三模)已知正方形EFGH 的边EF 在△ABC 的边BC 上，点G 、H 分别在AB 和AC 上，BC =6，S 正方形EFGH =4，则AB +AC 的最小值为( )A. 6 2B. 37C. 3 5D. 1025.(2023·安徽省宿州市·三模)如图，在矩形ABCD 和矩形CEFG 中，CD BC =CE CG =34，且CD =CG ，连接DE 交BC于点M ，连接BG 交CE 于点N ，交DE 于点O ，则下列结论不正确的是( )A. BG ⊥DEB. 当CN =EN 时，CN 2=ON ⋅NGC. 当∠BDE =∠BCE 时，△BMD ∽△BNCD. 当∠BCE =60°时，S △BCE S △BCG =3 3426.(2023·安徽省池州市·三模)如图，△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是边AC上一点，沿过点P的一条直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板．(1)判断：△ABC为______(填“锐”“直”或“钝”)角三角形；(2)如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是______．27.(2023·安徽省合肥市包河区·三模)在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=3，BC=8，D是边BC的中点，点5E在边AB上，将△BDE沿直线DE翻折，使得点B落在同一平面内的点F处.请完成下列问题：(1)AB=______；(2)当FD⊥AB时，AE的长为______．28.(2023·安徽省合肥市四十二中·三模)如图，△CAB，△CDE均为等腰直角三角形，AC=BC=25，DC=EC，点A，E，D在同一直线，AD与BC相交于点F，G为AB的中点，连接BD，EG.完成以下问题：(1)∠BDA的度数为______；(2)若F为BC的中点，则EG的长为______．29.(2023·安徽省合肥市蜀山区·三模)如图，△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D是边AC上一点，CD=2AD，连接BD，过点C作CE⊥BD于点E，连接AE．(1)∠AEC=______°；(2)若BC=35，则AE=______．30.(2023·安徽省宿州市·三模)如图，正方形ABCD的边长为4，点M，N分别在AB，CD上.将该正方形沿MN 折叠，使点D落在BC边上的点E处，折痕MN与DE相交于点Q．(1)若E是BC的中点，则DN的长为______；(2)若G为EF的中点，随着折痕MN位置的变化，GQ+QE的最小值为______．31.(2023·安徽省合肥市三十八中·三模)如图，A，B，C，D四点在同一条直线上，E，F，G三点也同在另一条直线上，△ABE，△BCF，△CDG均为等边三角形.请完成下列问题：(1)在BE上取一点P，使得BP=BF，连接AP并延长交EF于Q，则∠AQE=______°.(2)若AB=11，BC=8，则CD的长为______．AB，点M为BC边上一动点，将线32.(2023·安徽省亳州市·三模)如图，Rt△ABC中，AB=AC=8，BO=14段OM绕点O按逆时针方向旋转90°至ON，连接AN、CN，(1)当N点在AB上时AN=______；(2)△CAN周长的最小值为______．33.(2023·安徽省合肥市包河区·三模)如图，共顶点正方形ABCD和AEFG中，AB=13，AE=52，将正方形AEFG绕顶点A逆时针旋转角度α(0°<α<90°)，即∠BAE=α，GF交AD边于H．=______．(1)当α=30°时，HFGH(2)连接BE、CE、CF，当△CEF为直角三角形时，BE的长为______．34.(2023·安徽省合肥市庐阳中学·三模)如图，已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，以BC为直角边作等腰Rt△BCD，且∠BCD=90°．(1)若AB=1，则BD=______；=______．(2)连接AD，交BC于点E，则AEED35.(2023·安徽省·三模)如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，G为AD中点，点E在BC延长线上，F、H分别为CE、GE中点．(1)连接BG，则∠AGB=______°；(2)若∠EHF=∠DGE，CF=27，则AB=______．36.(2023·安徽省芜湖市·三模)如图1，正方形ABCD与正方形CEGF有公共顶点C，连接AC、AG、BE，其中0°<∠BCE<45°．(1)试判断线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；(2)若B、E、F三点共线，如图2，连接CG并延长交AD于点H.若AG=6，GH=22，求BC的长．37.(2023·安徽省宿州市·三模)如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，CE平分∠BCD交AD于点E，F为CE上一点，G为AD延长线上一点，连接DF，FG，DF的延长线交AC于点H，FG交CD于点M，且∠ACB=∠CDH=∠AGF．(1)求证：DH⊥AC；(2)若AC=2，求FD+FG的值；(3)若BC=2AB=2，求S△CFM．38.(2023·安徽省合肥市四十二中·三模)已知：菱形ABCD对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，点E 是线段AO上一个动点，连接ED，把线段ED以点E为旋转中心逆时针旋转，点D的对应点F落在BA的延长线上．(1)如图1，当AF=AO时，①求证：△BEF≌△BED；②求tan∠F的值；(2)如图2，当AF=AE时，求AE的长．39.(2023·安徽省合肥市蜀山区·三模)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=120°，对角线BD平分∠ABC，BD=BC，E为BD上一点，且BA=BE，连接AC交BD于点F，G为BC上一点，满足BF=BG，连接EG交AC 于点H，连接BH．(1)①求证：∠EHF=60°；②若H为EG中点，求证：AF2=2EF⋅EB；(2)若AC平分∠DAB，请直接写出∠ECA与∠ACB的关系：______．40.(2023·安徽省池州市·三模)如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，且AB=AC=5，BC=6，E，F是AD 边上两点，点F在点E的右侧，AE=DF，连接CE并延长，CE的延长线与BA的延长线交于点G．(1)如图1，M是BC边上一点，连接AM，MF，MF与CE交于点N，AE=3．2①若M为BC中点，求证：EN=NC；②求AG的长；(2)如图2，连接GF，H是GF上一点，连接EH.若∠HED=∠CED，且HF=2GH，求EF的长．参考答案1.【答案】C【解析】解：∵PC =2，∴P 点的纵坐标为2，把y =2代入y =12x +1得x =2，所以P 点坐标为(2,2)，把P(2,2)代入y =k x (x >0)得2=k 2，解得k =4．故k 的值为4．故选：C ．先把P 点的纵坐标代入一次函数y =12x +1中可确定P 点坐标，然后把P 点坐标代入双曲线y =k x (x >0)中可计算出k 的值．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．2.【答案】6【解析】解：过点F 作FG ⊥x 轴，FH ⊥y 轴；过点D 作DQ ⊥x 轴．根据题意可知，AC =OE =BD ，设AC =OE =BD =a ，∴四边形ACEO 的面积为4a ，∴k =4a ，∵F 为DE 的中点，FG ⊥x 轴，DQ ⊥x 轴，∴FG 为△EDQ 的中位线，∴FG =12DQ =2，EG =12EQ =32，∴四边形HFGO 的面积为2(a +32)，∴k =4a =2(a +32)，解得：a =32，∴k =6．故答案为：6．【分析】本题主要考查了反比例函数中k 的几何意义，正确作出辅助线构造出矩形是解决本题的关键．根据反比例函数k 的几何意义构造出矩形，利用方程思想解答即可．3.【答案】8【解析】解：∵点A(2,a)，∴OC =2=DE ，AC =a ，∵三角形ADC 的面积为4，即12AC·DE =4，∴a =4，∴点A(2,4)，∵点A(2,4)在反比例函数y =k x的图象上，∴k =2×4=8，故答案为：8．根据三角形面积公式可求出a 的值，进而确定点A 的坐标，再由反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k 的值．本题考查一次函数、反比例函数的交点，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提．4.【答案】解：(1)作BD ⊥AC 于D ，设A(0,n)，则C(6,n)，∵AB =BC =5，AC =6，∴AD =CD =3，∴BD = BC 2−CD 2=4，∴B(3,n +4)，∵反比例函数y =k x (k ≠0)的图象过点B ，C ，∴k =6n =3(n +4)，解得n =4，∴k =6×4=24，∴反比例函数的表达式为y =24x ；(2)设直线AB 的解析式为y =ax +b ，代入A(0,4)，B(3,8)得{b =43a +b =8，解得{a =43b =4，∴直线AB 为y =43x +4，由{y =43x +4y =24x ，解得{x =3y =8或{x =−6y =−4，∴E(−6,−4)，∴S △AEC =12×6×8=24．【解析】(1)设A(0,n)，则C(6,n)，根据等腰三角形的性质得出AD =CD =3，利用勾股定理求得BD =4，即可得到B(3,n +4)，代入y =k x (k ≠0)得到k =6n =3(n +4)，解得n =4，即可求得k =24；(2)利用待定系数法求得直线AB 的解析式，然后与反比例函数解析式联立成方程组，解方程组求得E 的坐标，根据面积公式求得即可．本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数k 的几何意义，反比例函数与一次函数的交点，等腰三角形的性质，体现了方程思想，综合性较强．5.【答案】C【解析】解：∵二次函数y =ax 2+(2a−1)x +1的对称轴为y 轴，∴−2a−12a =0，∴a =12，∴二次函数为y =12x 2+1，将此函数向下平移3个单位，得到y =12x 2−2，∴抛物线开口向上，有最小值−2，∴在−1≤x ≤1范围内的最大值为−32，最高点为(−1,−32)或(1,−32)，∴OM 的最小值= 12+(−32)2= 132．故选：C ．由二次函数y =ax 2+(2a−1)x +1的对称轴为y 轴，利用对称轴公式求得a =12，则二次函数为y =12x 2+1，将此函数向下平移3个单位，得到y =12x 2−2，即可求得在−1≤x ≤1范围内的最高点为(−1,−32)或(1,−32)，利用勾股定理即可求得OM 值的最小值．本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，求得在−1≤x ≤1范围内的最高点为(−1,−32)或(1,−32)是解题的关键．6.【答案】D【解析】解：A.y =ax 2+bx +c(a ≠0)，x =1时，y =a +b +c 为最大值，即x =1为对称轴，且开口向下．∴a <0，b =−2a >0，∴A 正确；B .b 2−4ac ，即判别式Δ，∵a−b +c =1，即x =−1时，y =a−b +c =1．∴最大值a +b +c >1，即开口向下，最大随在轴上则抛物线与抽必有两个交点．Δ=b 2−4ac >0，∴B 正确；C .顶点坐标(b 2a ,4ac−b 24a )，∴4ac−b 24a =a +b +c >1)，又∵a <0，∴4ac−b 2<4a ，∴C 正确；D .b 2−4ac a 2=b 2a 2−4⋅c a =(b a )2−4⋅c a =(−b a )2−4c a =(x 1+x 2)2−4x 1x 2=(x 1−x 2)2，∵x =−1时，y =1，对称轴x =1，则x =1×2−(−1)=3时，y =1，此时(−1,1)和(−3,1)距离为4，则抛物线与x 轴两，交点的距离大于4，∴(x 1−x 2)2>42=16，∴D 错．故选：D ．根据二次函数图象与系数的关系解答即．本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查的是二次函数与一次函数的综合运用、坐标与图形变化−平移，分类求解确定MN 的位置是解题的关键．分类求解确定MN 的位置，进而求解．【解答】解：解{y =x 2−2x y =−x +2得{x =−1y =3或{x =2y =0，∴点A 的坐标为(−1,3)，点B 的坐标为(2,0)，当点M 在线段AB 上时，线段MN 与抛物线只有一个公共点，∵M ，N 的距离为4，而A 、B 的水平距离是3，故此时只有一个交点，即−1≤x M <2；当点M 在点A 的左侧时，线段MN 与抛物线没有公共点；当点M 在点B 的右侧时，当x M =3时，抛物线和MN 交于抛物线的顶点(1,−1)，即x M =3时，线段MN 与抛物线只有一个公共点，综上，−1≤x M <2或x M =3．故选：D ．8.【答案】n⩾43【解析】解：∵A(1,2)，B(2,2)，∴AB =2−1=1，∵反比例函数y =k x (x >0)的图象经过点B ，∴k =2×2=4，∴y =4x ，∵过点P(n,4)(n >1)作x 轴的垂线PQ ，∴Q(n,4n )，∴PQ =|4−4n |，∵PQ⩾AB ，∴|4−4n |⩾1，∴n⩾43或n⩽45，又n >1，∴n⩾43．故答案为：n⩾43．利用待定系数法求得反比例函数的解析式，求得AB 的长度，再表示出点P ，Q 的坐标，进而利用PQ⩾AB ，建立不等式，解不等式，即可得出结论．此题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，解绝对值不等式，掌握解绝对值不等式的方法是解本题的关键．9.【答案】解：(1)将(0,1)代入二次函数y =x 2+bx +c 得：c =1，∵该抛物线的对称轴为直线x =1，∴x =−b 2a =−b 2×1=1，∴b =−2；(2)由(1)得抛物线的解析式为y =x 2−2x +1，∵−12≤x ≤72，对称轴为直线x =1，抛物线开口向上，∴当x =1时，函数有最小值，最小值为y =1−2×1+1=0，∵1−(−12)=32，72−1=52，52>32，且离对称轴越远，y 值越大，∴当x =72时，y 值最大，最大值为y =(72)2−2×72+1=254，∴当−12≤x ≤72时，y 的取值范围为：0≤y ≤254；(3)联立{y =m y =x 2−2x +1得，(x−1)2=m ，解得x 1=1+ m ，x 2=1− m ，∴AB =2 m ，联立{y =m y =4(x +3)2得，4(x +3)2=m ，解得x 1=−3+ m 2，x 2=−3− m 2，∴CD = m ，∴AB ：CD =2：1．【解析】(1)将(0,1)代入二次函数y =x 2+bx +c 可求c ，根据对称轴可求b ；(2)由−12≤x ≤72，对称轴为直线x =1，抛物线开口向上，可知当x =1时，函数有最小值，根据离对称轴越远，y 值越大，可得当x =72时，y 值最大，分别代入即可；(3)联立{y =m y =x 2−2x +1可得AB ，联立{y =m y =4(x +3)2可得CD ，求比即可．本题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的特征，熟练掌握二次函数的相关知识是解决本题的关键．10.【答案】解：(1)∵抛物线对称轴为直线x =1=−b 2，∴b =−2，∴y =x 2−2x +c ，将点C 的坐标代入，解得c =−3，∴y =x 2−2x−3=(x−1)2−4，∴抛物线的顶点为(1,−4)．(2)抛物线平移后的解析式为y =(x−1)2−4，∴平移后的顶点坐标为(1,−4−k)，①当抛物线顶点落在AB 上时，−4−k =−5，解得k =1，②当抛物线经过A 时，−5=(12)2−4−k ，解得k =54，当抛物线经过点B ，−5=32−4−k ，解得k =10，∴54<k ≤10时，满足题意．综上所述，k =1或54<k ≤10．【解析】(1)由抛物线对称轴可得b 的值，代入即可得解析式，再对称轴代入解析式即可得顶点坐标．(2)抛物线向下平移过程中抛物线顶点落在直线AB 上满足题意，分别求出抛物线经过点A 、点B 时k 的值，可得抛物线顶点在直线AB 下方时k 的取值范围．本题考查二次函数的应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．11.【答案】解：(1)把点A 代入y 1得1+b =0，解得b =−1．把点B 代入y 2得m =−2．∴b =−1，m =−2．(2)M 是y 2的顶点，利用顶点公式可得M 的坐标为(a,−a 2+4a−6)，当a =2时，纵坐标有最大值是−10，此时M 的坐标为(2,−10)，N 的坐标为(2,1)，∴MN =1−(−10)=11．(3)点M 的坐标为(a,−a 2+4a−6)，点N 的坐标为(a,a−1)，∴MN =a−1−(−a 2+4a−6)=a 2−3a +5=(a−32)2+114，∴当a =32时，MN 有最小值是114．【解析】(1)直接用待定系数法即可求解．(2)先求出顶点M 的坐标，求出纵坐标最大值时a 的值，然后代入点N 和点M 的坐标即可求出MN ．(3)用含a 的式子表示出点N 和点M 的坐标，再求出MN 的表达式，建立二次函数模型，求出最小值即可．本题是二次函数综合应用问题，熟练用待定系数法、顶点坐标公式、建立函数模型是解题的关键．12.【答案】方法一：解：(1)∵y =x 2−(m +n)x +mn =(x−m)(x−n)，∴x =m 或x =n 时，y 都为0，∵m >n ，且点A 位于点B 的右侧，∴A(m,0)，B(n,0)．∵m =2，n =1，∴A(2,0)，B(1,0)．(2)∵抛物线y =x 2−(m +n)x +mn(m >n)过C(0,−1)，∴−1=mn ，∴n =−1m ，∵B(n,0)，∴B(−1m ,0)．∵AO =m ，BO =1m ，CO =1∴AC = AO 2+OC 2= m 2+1，BC = OB 2+OC 2= m 2+1m， AB =AO +BO =m +1m ，∵(m +1m )2=( m 2+1)2+( m 2+1m)2，∴AB 2=AC 2+BC 2，∴∠ACB =90°．(3)∵A(m,0)，B(n,0)，C(0,mn)，且m =2，∴A(2,0)，B(n,0)，C(0,2n)．∴AO =2，BO =|n|，CO =|2n|，∴AC = AO 2+OC 2=2 1+n 2，BC = OB 2+OC 2= 5|n|，AB =x A −x B =2−n ．①当AC =BC 时，2 1+n 2= 5|n|，解得n =2(A 、B 两点重合，舍去)或n =−2；②当AC =AB 时，2 1+n 2=2−n ，解得n =0(B 、C 两点重合，舍去)或n =−43；③当BC =AB 时， 5|n|=2−n ，当n >0时， 5n =2−n ，解得n =5−12，当n <0时，− 5n =2−n ，解得n =−5+12．综上所述，n =−2，−43，− 5+12， 5−12时，△ABC 是等腰三角形．方法二：(1)略(2)∵C 点的坐标是(0,−1)，∴mn =−1，设A(m,0)，∴B(−1m ,0)，∴m 1=11m即OA OC =OC OB ，∵∠AOC =∠CBO =90°，∴△AOC ∽△COB ，∴∠ACO =∠CBO ，∴∠ACB =90°．(3)∵m =2，∴mn =2n ，∴C(0,2n)，B(n,0)，A(2,0)∵△ABC 是等腰三角形，∴AB =AC ，AB =BC ，AC =BC ，∴(n−2)2+(0−0)2=(2−0)2+(0−2n )2，∴n1=0，n2=−43，(n−2)2+(0−0)2=(n−0)2+(0−2n )2，∴n 1=−1+52，n 2=−1−52，(2−0)2+(0−2n )2=(n−0)2+(0−2n )2，∴n 1=2，n 2=−2，经检验n =0，n =2(舍)∴当n =−2，−43，− 5+12， 5−12时，△ABC 是等腰三角形．(4)过点A 作BC 的平行下交抛物线于点D ，∵m =2，∴n =−12，∴A(2,0)，B(−12,0)，∵AD//BC ，∴K AD =K BC =−2，又A(2,0)，∴{y =−2x +4y =x 2−32x−1，解得x 1=−2(舍)，x 2=−52，∴D 1(−52,32)，过点B 作AC 的平行线交抛物线于点D ，∵BD//AC ，∴K BD =K AC =12，又B(−12,0)，∴{y =12x +14y =x 2−32x−1，解得：x1=−12(舍)，x2=52，∴D 252，9)，综上所述，满足题意的D 点有两个，D 1(−52,32)，D 2(52,9)． 【解析】(1)已知m ，n 的值，即已知抛物线解析式，求解y =0时的解即可．此时y =x 2−(m +n)x +mn =(x−m)(x−n)，所以也可直接求出方程的解，再代入m ，n 的值，推荐此方式，因为后问用到的可能性比较大．(2)求∠ACB ，我们只能考虑讨论三角形ABC 的形状来判断，所以利用条件易得−1=mn ，进而可以用m 来表示A 、B 点的坐标，又C 已知，则易得AB 、BC 、AC 边长．讨论即可．(3)△ABC 是等腰三角形，即有三种情形，AB =AC ，AB =BC ，AC =BC.由(2)我们可以用n 表示出其三边长，则分别考虑列方程求解n 即可．本题考查了因式分解、二次函数性质、利用勾股定理求点与点的距离、等腰三角形等常规知识，总体难度适中，是一道非常值得学生加强练习的题目．13.【答案】解：(1)根据已知可得，抛物线顶点坐标为(0,9)，A(−6,0)，B(6,0)，设抛物线对应的函数表达式为y =ax 2+9，把B(6,0)代入，得0=36a +9，解得a =−14，∴木板边缘所对应的抛物线的函数表达式为y =−14x 2+9．(2)在矩形HGNM 中，设M(m,−14m 2+9)(0<m <6)，由抛物线的对称性可知H(−m,−14m 2+9)，∴矩形HGNM 的周长为2(2m−14m 2+9)=−12(m−4)2+26．∵−12<0，且0<m <6，∴当m =4时，矩形HGNM 的周长有最大值，最大值为26，即矩形HGNM 的最大周长为26dm ．(3)如图是画出的切割方案：在y =−14x 2+9中，令y =2，解得x =±2 7，∴PQ =4 7；在y =−14x 2+9中，令y =4，解得x =±2 5，∴RS =4 5；在y =−14x 2+9中，令y =6，解得x =±2 3，∴TW =4 3；在y =−14x 2+9中，令y =8，解得x =±2，∴KI =4，∴拼接后的矩形的长边长为PQ +RS +TW +KI =(4 7+4 5+4 3+4)dm ．【解析】本题考查了二次函数的应用，熟练应用二次函数的图象和性质是解答本题的关键．(1)根据已知可得抛物线顶点坐标为(0,9)，A(−6,0)，B(6,0)，再设抛物线对应的函数表达式为y =ax 2+9，把B(6,0)代入，可求出a ，即可得出抛物线的函数表达式；(2)在矩形HGNM 中，设M(m,−14m 2+9)(0<m <6)，由抛物线的对称性可知H(−m,−14m 2+9)，所以矩形HGNM 的周长为−12(m−4)2+26，由于−12<0，且0<m <6，当m =4时，矩形HGNM 的周长有最大值，最大值为26；(3)如图是画出的切割方案，分别令y =2，y =4，y =6，y =8，即可求出PQ =4 7，RS =4 5，TW =4 3，KI =4，再加起来即为拼接后的矩形的长边长．14.【答案】解：(1)由题意得y 1=0.4x ，在直角坐标系中描出以(x,y)坐标的对应点，易得y 2的图象成一条直线，设y 2=kx +b ，则{3k +b =0.9 4k +b =1.1 ，解得{k =0.2b =0.3，∴y 2=0.2x +0.3．(2)当y 1=y 2，则0.4x =0.2x +0.3，解得x =1.5；∴当进货数量小于1.5吨时，销售乙种水果获利大；当进货数量等于1.5吨时，销售两种水果获利一样；当进货数量大于1.5吨时，销售甲种水果获利大．(3)当商场向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为m 、n 吨时，获得利润：w =0.4m +0.2n +0.3=0.4m +0.2(20−12m 2)+0.3，即w =−0.1m 2+0.4m +4.3=−0.1(m−2)2+4.7，当m =2时，n =18，w 有最大值，答：当商场向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为2和18吨时，获得利润最大为4.7万元．【解析】(1)通过表格信息建立函数关系式即可；(2)通过购买数量来选择哪种水果即可；(3)建立二次函数关系式，转化为求最值问题即可．本题考查了一次函数二次函数的实际应用，解此题的关键是根据题意熟练掌握函数关系的建立，求出解析式．15.【答案】解：(1)由题意得，抛物线和y 轴的交点为：(0,1.9)，设抛物线的表达式为：y =a(x−3)2+2.8，将(0,1.9)代入上式得：1.9=a(0−3)2+2.8，解得：a =−0.1，则抛物线的表达式为：y =−0.1(x−3)2+2.8；(2)当y =2.5时，即2.5=−0.1(x−3)2+2.8，解得：x =3− 3(不合题意的值已舍去)，即小明至少距离墙壁3− 3m 时纸飞机才会顺利飞过墙壁；(3)设纸飞机开始滑行时的高度为ℎ米，则滑行的距离为2.5ℎ，则ℎ=−0.1(x−3)2+2.8，解得：ℎ=3+28−10ℎ(不合题意的值已舍去)，则x+2.5ℎ=10，即3+28−10ℎ+2.5ℎ=10，(舍去)或1.2，解得：ℎ=145即纸飞机开始滑行时的高度为1.2米时，才能使水平飞行距离至少为10米．【解析】(1)由待定系数法即可求解；(2)当y=2.5时，即2.5=−0.1(x−3)2+2.8，即可求解；(3)设纸飞机开始滑行时的高度为ℎ米，则滑行的距离为2.5ℎ，则ℎ=−0.1(x−3)2+2.8，解得：ℎ=3+28−10ℎ(不合题意的值已舍去)，则x+2.5ℎ=10，即可求解．本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数表达式、新定义、二次函数的图象和性质等，有一定的综合性，难度适中．16.【答案】C【解析】解：∵AD=DE，∴∠DAE=∠DEA，∵∠DEA=∠BEC，∠DAE=∠BCE，∴∠BEC=∠BCE，∵将该圆形纸片沿直线CO对折，∴∠ECO=∠BCO，又∵OB=OC，∴∠OCB=∠B，设∠ECO=∠OCB=∠B=x，∴∠BCE=∠ECO+∠BCO=2x，∴∠CEB=2x，∵∠BEC+∠BCE+∠B=180°，∴x+2x+2x=180°，∴x=36°，∴∠B=36°；故选：C．先根据等边对等角和圆周角定理证明∠BEC=∠BCE，再由折叠的性质得到∠ECO=∠BCO，进一步由等边对等角得到∠OCB=∠B，设∠ECO=∠OCB=∠B=x，则∠BCE=2x，∠CEB=2x，再根据三角形内角和定理得到x+2x+2x=180°，解方程即可得到答案．本题主要考查了圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，证明∠BEC=∠BCE是解题的关键．17.【答案】253【解析】解：连接OD，设⊙O的半径为r，∵AB⊥CD，∴∠OHD=∠BHD=90°，，BD=5，在Rt△BHD中，cos∠CDB=45=4，∴DH=BD⋅cos∠CDB=5×45∴BH=BD2−DH2=52−42=3，在Rt△OHD中，OD2=OH2+DH2，∴r2=(r−3)2+16，，解得：r=256∴AB=2r=25，3．故答案为：253连接OD，设⊙O的半径为r，根据垂直定义可得∠OHD=∠BHD=90°，然后在Rt△BHD中，利用锐角三角函数的定义求出DH的长，从而利用勾股定理求出BH的长，再在Rt△OHD中，利用勾股定理列出方程进行计算，即可解答．本题考查了勾股定理，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．18.【答案】(1)证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦．∴∠ACB=90°，∴∠ECF=180°−90°=90°，在Rt△ECF中，点G是EF的中点，∴CG=DG=FG，∴∠GCE=∠GEC，∵OF⊥AB，∴∠AOE=90°，∴∠AEO+∠A=90°，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA，∵∠AEO=∠GEC=∠GCE，∴∠GCE+∠OCA=90°，即OC⊥CG，∵OC是半径，∴CG是⊙O的切线；(2)解：连接CD，过点D作DH⊥FC，垂足为H，∵OF⊥AB，∴∠AOF=90°，∴∠DCA=1∠AOD=45°，2又∵∠DCA=2∠F，∴∠F=22.5°，∴∠FEC =90°−∠F =67.5°，∴∠CDE =180°−45°−67.5°=∠DEC ，∴CD =CE =3，在Rt △CDH 中，CD =3，∠DCH =90°−45°=45°，∴DH =CH = 22CD =3 22，∵∠FHD =∠FCE =90°，∠F =∠F ，∴△FHD ∽△FCE ，∴FH FC =DH CE ，即FC−3 22FC =3 223，解得FC =3 2+3，经检验，FC =3 2+3是方程的解，答：FC =3 2+3．【解析】(1)根据圆周角定理，等腰三角形的性质以及直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得OC ⊥CG 即可；(2)根据圆周角定理以及三角形内角和定理可求出∠CDE =67.5°=∠DEC ，进而得出CD =CE =3，再根据等腰直角三角形的性质求出DH =HC =3 22，再根据相似三角形的性质，列方程即可求出FC ．本题考查切线的判定和性质，圆周角定理、等腰三角形的性质、直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的判定方法，圆周角定理、等腰三角形的性质以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提．19.【答案】(1)证明：连接OH ，如图：∵H 为CD 边的切点，∴OH ⊥CD ，∴OH//AD ，∴∠DEH =∠OHE ，又∵OE =OH ，∴∠HEG =∠OHE ，∴∠DEH =∠HEG ．(2)解：由(1)知，∠1=∠2，∠2=∠3，又∵∠DEG =∠DHE ，即∠1+∠2=∠4，∴∠4=2∠3，∵∠3+∠4=90°，∴∠3=∠2=∠1=30°，∠4=60°，设⊙O 的半径为r ，连接HG ，如图：∴EH ⊥HG∴HG =12EG =r ，由勾股定理可得EH = 3r ，同理，在△EDH 中，DH =12EH =32r ，∴AB =DC =DH +HC =32r +r ，由图可知，BC =2r ，∴AB BC =( 32+1)r2r =2+ 32． 【解析】(1)根据题意，连接半径，由切线和平行线的性质即可证明．(2)由题意先求出角度的大小，再利用勾股定理表示出AB 、BC 的长即可解答．本题考查圆的切线的性质和矩形的性质，勾股定理，熟悉性质是解题关键．20.【答案】(1)证明：∵CD ⊥AB ，CD 是⊙O 的直径，∴AB =BD ，∴∠EAD =∠ACE ；(2)解：连接OA ，∵CD 是⊙O 的直径，∴∠DAC =90°，∵CD ⊥AB ，∴∠CAD =∠CEA =90°，又∵∠ACD =∠ECA ，∴△CAD ∽△CEA ，∴AC EC =CD CA，∴AC 2=CD ⋅CE =CD(CD−ED)，设⊙O 的半径为r ，∴2r(2r−2)=(4 5)2，解得r =5或r =−4(负值舍去)，∴OE =OD−ED =5−2=3，。

2023年九年级数学中考复习《几何图形变换综合压轴题》专题训练+

2023年九年级数学中考复习《几何图形变换综合压轴题》专题训练+

2022-2023学年九年级数学中考复习《几何图形变换综合压轴题》专题训练（附答案）1．△ABC≌△ADE，AB＝1，BC＝2，∠B＝120°，将两个三角形完全重合，保持△ABC 不动，将△ADE绕点A逆时针方向旋转角α．（1）如图1，ED的延长线交BC于G点，求∠DGB（用含α的式子表示）．（2）如图2，若α＝60°，连接CD，求∠ADC的度数．（3）如图3，若α＝90°，连接CD，EC，求△EDC的面积．2．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3．点P从点A出发，沿折线AB﹣BC 以每秒5单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P不与点A、C 重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连结PQ交AC于点E，连结DP、DQ．设点P的运动时间为t秒．（1）当点D与点E重合时，求t的值．（2）用含t的代数式表示线段CE的长．（3）当△PDQ为直角三角形时，求△PDQ与△ABC重叠部分的面积．（4）连结BE，当BE将△ABC的面积分成1：3两部分时，直接写出t的值．3．如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（0，b）两点，且a、b满足+（a+2b﹣1）2＝0，点C（m，0）在射线AO上（不与原点重合）．将线段AB平移到DC，点D与点A对应，点C与点B对应，连接BC，直线AD交y轴于点E．请回答下列问题：（1）求A、B两点的坐标；（2）设三角形ABC面积为S△ABC，若4＜S△ABC≤7，求m的取值范围；（3）设∠BCA＝α，∠AEB＝β，请给出α，β满足的数量关系式，并说明理由．4．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）为；（2）如图2，连接BE，若∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值．5．在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为（3，0），（0，1）．点D是边BC上的动点（与端点B，C不重合），过点D作直线y＝﹣x+b交边OA于点E．（Ⅰ）如图①，求点D和点E的坐标（用含b的式子表示）；（Ⅱ）如图②，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为矩形O1A1B1C1，试探究矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由；（Ⅲ）矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形，请直接写出这个菱形的面积的最小值和最大值．6．如图①，将▱ABCD置于直角坐标系中，其中BC边在x轴上（B在C的左边），点D坐标为（0，4），直线MN：y＝x﹣6沿着x轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被▱ABCD截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图象如图②所示．（1）填空：点C的坐标为；在平移过程中，该直线先经过B、D中的哪一点？；（填“B”或“D”）（2）点B的坐标为，n＝，a＝；（3）在平移过程中，求该直线扫过▱ABCD的面积y与t的函数关系式．7．已知，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，∠A＝90°．取一块含45°角的直角三角尺，将直角顶点放在斜边BC边的中点O处，一条直角边过A点（如图1）．三角尺绕O点顺时针方向旋转，使90°角的两边与Rt△ABC的两边AB，AC分别相交于点E，F（如图2）．设BE＝x，CF＝y．（1）探究：在图2中，线段AE与CF有怎样的大小关系？证明你的结论；（2）求在上述旋转过程中y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）若将直角三角尺45°角的顶点放在斜边BC边的中点O处，一条直角边过A点（如图3）．三角尺绕O点顺时针方向旋转，使45°角的两边与Rt△ABC的两边AB，AC分别相交于点E，F（如图4）．在三角尺绕O点旋转的过程中，△OEF是否能成为等腰三角形？若能，直接写出△OEF为等腰三角形时x的值；若不能，请说明理由．8．如图1，E、F为正方形ABCD对角线AC上两点，∠ABE+∠FBC＝45°，将△BEA绕点B逆时针旋转90°得到△BGC，连接FG，△FGC周长为．（1）若F与G关于BC对称，求∠BEF度数；（2）求AC的长；（3）若图1中∠CBG＝30°，将△BGC从起始位置绕点B顺时针旋转n°（0＜n＜360），设点G在运动过程中到AB的距离为d，当△BGC中的两顶点以及A点成共线且不重合三点时，求n°以及（+1）d值．9．在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，过点A作直线MN，使MN∥BC，点D在直线MN 上，作射线BD，将射线BD绕点B顺时针旋转角α后交直线AC于点E．（1）如图1，当α＝60°，且点D在射线AN上时，探究线段AB，AD，AE的数量关系，并说明理由．（2）如图2，当α＝45°，且点D在射线AN上时，请直接写出线段AB，AD，AE的数量关系．（3）当α＝30°时，若点D在射线AM上，∠ABE＝15°，AD＝3﹣，请直接写出线段AE的长度．10．学习了旋转后，老师对教材的习题进行了改编，得到了下面的问题：已知：如图，△ACB和△DCE都是等边三角形，连接AE，BD交于点O．（1）用旋转的角度观察，图中△ACE以点C为旋转中心，逆时针方向旋转60°后得到的图形是：．（2）试判断线段AE与BD的数量关系，并说明理由．（3）∠AOB＝．11．△ABC是等边三角形，AC＝2，点C关于AB对称的点为C'，点P是直线C'B上的一个动点，连接AP，作∠APD＝60°交射线BC于点D．（1）若点P在线段C'B上（不与点C'，点B重合）．①如图1，若点P是线段C'B的中点，则BP的长为；②如图2，点P是线段C'B上任意一点，求证：PD＝P A；（2）若点P在线段C'B的延长线上．①依题意补全图3；②直接写出线段BD，AB，BP之间的数量关系为：．12．如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD．（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；（3）如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．①试猜想BD与AC的数量关系，并说明理由；②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．13．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB＝4，求BE的长；（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF＝AB．（3）如图3，若∠EDF的两边分别交AB、AC的延长线于E、F两点，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请直接写出线段BE、AB、CF之间的数量关系．14．将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）连接BF，求证：CF＝EF．（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，如图②，求证：AF+EF＝DE．（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图③，你认为（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出AF、EF与DE之间的数量关系．15．在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（a，0），（0，b），其中a，b满足+|2a﹣5b﹣30|＝0．将点B向右平移26个单位长度得到点C，如图①所示．（1）求点A，B，C的坐标；（2）点M，N分别为线段BC，OA上的两个动点，点M从点C向左以1.5个单位长度/秒运动，同时点N从点O向点A以2个单位长度/秒运动，如图②所示，设运动时间为t 秒（0＜t＜15）．①当CM＜AN时，求t的取值范围；②是否存在一段时间，使得S四边形MNOB＞2S四边形MNAC？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．16．已知△ABC是等边三角形，AB＝6，将一块含有30°角的直角三角板DEF如图所示放置，让等边△ABC向右平移（BC只能在EF上移动）．如图1，当点E与点B重合时，点A恰好落在三角板DEF的斜边DF上．（1）若点C平移到与点F重合，求等边△ABC平移的距离；（2）在等边△ABC向右平移的过程中，AB，AC与三角板斜边的交点分别为G，H，连接EH交AB于点P，如图2．①求证：EB＝AH；②若∠HEF＝30°，求EH的长；③判断PG的长度在等边△ABC平移的过程中是否会发生变化？如果不变，请求出PG的长；如果变化，请说明理由．17．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，连接BD，将△ABD绕B点作顺时针方向旋转得到△A′B′D′（B′与B重合），且点D′刚好落在BC的延长线上，A′D′与CD相交于点E．（1）求矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分（如图1中阴影部分A′B′CE）的面积；（2）将△A′B′D′以每秒2cm的速度沿直线BC向右平移，如图2，当B′移动到C 点时停止移动．设矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分的面积为y，移动的时间为x，请你直接写出y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x，使得△AA′B′成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x的值，若不存在，请你说明理由．18．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，（直角三角板只能在直线AB上方旋转）（1）如图1，将三角板MON的一边ON与射线OB重合，则∠MOC＝；（2）如图2，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的角平分线，求旋转角∠BON＝；∠CON＝．（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至∠NOC＝5°，求∠AOM的度数．19．如图1，点O是弹力墙MN上一点，魔法棒从OM的位置开始绕点O向ON的位置顺时针旋转，当转到ON位置时，则从ON位置弹回，继续向OM位置旋转；当转到OM 位置时，再从OM的位置弹回，继续转向ON位置，…，如此反复．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转：第1步，从OA0（OA0在OM上）开始旋转α至OA1；第2步，从OA1开始继续旋转2α至OA2；第3步，从OA2开始继续旋转3α至OA3，…．例如：当α＝30°时，OA1，OA2，OA3，OA4的位置如图2所示，其中OA3恰好落在ON 上，∠A3OA4＝120°；当α＝20°时，OA1，OA2，OA3，OA4，OA3的位置如图3所示，中第4步旋转到ON后弹回，即∠A3ON+∠NOA4＝80°，而OA5恰好与OA2重合．解决如下问题：（1）若α＝35°，在图4中借助量角器画出OA2，OA3，其中∠A3OA2的度数是；（2）若α＜30°，且OA4所在的射线平分∠A2OA3，在如图5中画出OA1，OA2，OA3，OA4并求出α的值；（3）若α＜30°，且∠A2OA4＝20°，求对应的α值．20．定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．理解：如图①，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，那么DE为△ABC的一条中位线．可得DE∥BC且DE＝BC．应用：如图②，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE．点M，N，P分别是DE，BC和CD的中点．已知∠BAC＝α．（1）当α＝90°时，①请直接写出：PM与PN的数量关系；∠MPN＝．②是否存在点D，使得以P，M，N为顶点的三角形与△ADE全等？若存在，请求出点D的位置；若不存在，请说明理由．（2）将△ADE绕点A旋转，当点D在△ABC内时（如图③），①试说明PM与PN的数量关系，并求出∠MPN的度数（用含α的式子表示）；②连接BD，MN，若AD＝BD，直接写出△ADE和△PMN的面积关系：．参考答案1．解：（1）设AC与EG交于点O，∵将△ADE绕点A逆时针方向旋转角α，∴∠EAC＝α，∵△ABC≌△ADE，∴∠C＝∠E，又∵∠AOE＝∠GOC，∴∠EAO＝∠OGC＝α，∴∠DGB＝180°﹣∠EAO＝180°﹣α；（2）连接BD，∵将△ADE绕点A逆时针方向旋转角α，∴∠DAB＝60°，DA＝AB，∴△ABD为等边三角形，∴∠ADB＝∠ABD＝60°，BD＝AB＝1，∵∠ABC＝120°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝60°，在BC上截取BF＝BD，∴△BFD为等边三角形，∴∠BFD＝60°，DF＝BF＝1，又∵BC＝2，∴CF＝1，∴DF＝CF，∴∠FDC＝∠DCF＝30°，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝60°+90°＝150°；（3）过点E作EM⊥AD交AD的延长线于M，过点C作CN⊥AD交AD的延长线于N，∵将△ADE绕点A逆时针方向旋转角α，∴AC＝AE，∠EAC＝90°，∵∠EAM+∠NAC＝90°，∠NAC+∠ACN＝90°，∴∠EAM＝∠ACN，又∵∠AME＝∠ANC，∴△AME≌△CNA（AAS），∴AM＝CN，∵∠ABC＝∠ADE＝120°，∴∠EDM＝60°，∴∠DEM＝30°，∵DE＝AB＝1，∴DM＝1，EM＝，∴AM＝2，∴CN＝2，AE＝＝，∴S△AEC＝＝7，S△ADE+S△ADC＝AD•EM+AD•CN＝，∴S△EDC＝S△AEC﹣（S△ADE+S△ADC）＝7﹣＝．2．解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝＝5，∴sin A＝，cos A＝，当点D与E重合时，AE+CD＝5，∴3t+2t＝5，解得t＝；（2）如图①中，当点P在线段AB上时，在Rt△APE中，AE＝AP•cos A＝4t，∴EC＝5﹣4t．如图②中，当点P在线段BC上时，在Rt△PEC中，PC＝7﹣5t，cos C＝，∴EC＝PC•cos C＝（7﹣5t）＝﹣3t．综上所述，EC＝；（3）当△PDQ是直角三角形时，∵DP＝DQ，∠PDQ＝90°，DE⊥PQ，∴PE＝EQ＝DE，如图③中，当点P在线段AB上时，在Rt△APE中，PE＝P A•sin A＝3t，∵DE＝AC﹣AE﹣CD＝5﹣4t﹣2t＝5﹣6t，∵PE＝DE，∴3t＝5﹣6t，∴t＝，∴PE＝DE＝，∴△PDQ与△ABC重叠部分的面积＝××＝．如图⑤中，当点P在线段BC上时，在Rt△PCE中，PE＝PC•sin C＝（7﹣5t）＝﹣4t，∵DE＝CD﹣CE＝2t﹣（7﹣5t）＝5t﹣，∴﹣4t＝5t﹣，解得t＝，∴PE＝DE＝，∴△PDQ与△ABC重叠部分的面积＝××＝．综上所述：△PDQ与△ABC重叠部分的面积为或；（4）如图①中，当AE＝AB时，即AE＝，满足条件，此时AP＝AE＝，∴t＝．如图②中，当CE＝AC，即EC＝时，满足条件，此时PC＝EC＝，∴AB+PB＝7﹣＝，∴t＝，综上所述，满足条件的t的值为和．3．解：（1）∵+（a+2b﹣1）2＝0，又∵≥0，（a+2b﹣1）2≥0，∴，解得，∴A（﹣3，0），B（0，2）；（2）三角形的面积为，由4＜S△ABC≤7，可得，4＜m+3≤7，∴1＜m≤4；（3）如图1中，当点C在线段OA上时，作ON∥BC，∵AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∵ON∥BC，∴ON∥AD，∴∠ACB＝∠AON，∠AEB＝∠BON，∴α﹣β＝∠BCA﹣∠AEB＝∠NOA﹣∠NOB＝∠AOB＝90°．如图2中，当点C在AO的延长线上时，ON∥BC，∵AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∵ON∥BC，∴ON∥AD，∴∠ACB＝∠AON，∠AEB＝∠BON，∴α+β＝∠BCA+∠AEB＝∠FOA+∠FOB＝∠AOB＝90°．综上所述，α﹣β＝90°或α+β＝90°．4．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝α，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣α），∵∠CBD＝60°，∴∠ABD＝（180°﹣α）﹣60°＝30°﹣α．故答案为：∠ABD＝30°−α；（2）结论：△ABE是等边三角形．理由：如图2，连接AD，CD，∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD，则BC＝BD，∠DBC＝60°，∴△BCD为等边三角形，∵∠ABE＝∠DBC＝60°，∴∠ABD＝∠EBC＝30°−α，∴BD＝CD，在△ABD与△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD＝α，∵∠BCE＝150°，∴∠BEC＝180°−∠BCE﹣∠EBC＝α，∴∠BAD＝∠BEC＝α，在△EBC和△ABD中，，∴△EBC≌△ABD（AAS），∴BE＝AB，∵∠ABE＝60°，∴△ABE是等边三角形；（3）由△BCD为等边三角形，∴∠BCD＝60°，∵∠BCE＝150°，∴∠DCE＝150°−60°＝90°，∵∠DEC＝45°，∴△DEC为等腰直角三角形，∴DC＝CE＝BC，∵∠BCE＝150°，∴∠EBC＝（180°−150°）＝15°，∵∠EBC＝30°−α＝15°，∴α＝30°．5．解：（1）∵四边形OABC是矩形，∴CB∥x轴，由点A，C的坐标分别为（3，0），（0，1）．可得点D的纵坐标为1，当y＝1时，y＝+b，解得：x＝2b﹣2，∴D的坐标为（2b﹣2，1）当y＝0时，y＝+b，解得：x＝2b，∴E的坐标为（2b，0）（Ⅱ）CB与O1A1的交点为M，C1B1与OA的交点为N，如图：∵四边形OABC，四边形O1A1B1C1是矩形，∴CB∥OA，C1B1∥O1A1，∴四边形DMEN是平行四边形，∵矩形OABC关于直线DE的对称图形为矩形O1A1B1C1，∴∠1＝∠2，∵CB∥OA，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴DM＝ME，∴平行四边形DMEN是菱形，过点D作DH⊥OA于点H，由D（2b﹣2，1），E（2b，0），可知CD＝2b﹣2，OE＝2b，OH＝CD＝2b﹣2，∴EH＝OE﹣OH＝2b﹣（2b﹣2）＝2，设菱形DMEN的边长为m，在Rt△DHN中，DH＝1，HN＝EH﹣NE＝2﹣m，DN＝m，由DH2+HN2＝DN2，得12+（2﹣m）2＝m2，解得：m＝，∴，所以重叠部分菱形DMEN的面积不变，为；（Ⅲ）当NE＝1时，菱形面积的最小值是1；当NE＝时，菱形面积的最大值是．（D与C重合，A与E重合，设DN＝AN＝x，在Rt△DNO中利用勾股定理列出方程计算）6．解：（1）令y＝0，则x﹣6＝0，解得x＝8，令x＝0，则y＝﹣6，∴点M（8，0），N（0，﹣6）∴OM＝8，ON＝6，由图2可知5秒后直线经过点C，∴CM＝5，OC＝OM﹣CM＝8﹣5＝3，∴C（3，0），∵10秒～a秒被截线段长度不变，∴先经过点B；故填：（3，0）；B（2）由图2可知BM＝10，∴OB＝BM﹣OM＝10﹣8＝2，∴B（﹣2，0），在Rt△OCD中，由勾股定理得，CD＝＝5，∴BC＝CD＝5，∴▱ABCD是菱形，∵，∴MN⊥CD，∴n＝DO＝4∵设直线MN向x轴负方向平移的速度为每秒1个单位的长度，平移后的直线解析式为y＝（x+t）﹣6，把点D（0，4）代入得，（0+t）﹣6＝4，解得t＝，∴a＝；故答案为：（1）（3，0），B；（2）（﹣2，0），4，；（3）当0≤t≤5时，y＝0；当5＜t≤10，如图1，该直线与BC、CD分别交于F、E，FC＝t﹣5，∵直线CD的解析式为：y＝﹣x+4，∴EF⊥CD，∴△CEF∽△COD，∴，∴，∴EF＝，CE＝，∴y＝××＝＝t2﹣t+6，当10＜t≤，如图2，直线与AB、CD分别交于G、E，与射线CB交于F，FB＝t﹣10，∵△BGF∽△COD，∴∴FG＝，BG＝，y＝S△CEF﹣S△BGF＝﹣＝（10t﹣75）＝t﹣18，当时，如图3，BG＝，AG＝5﹣，∵△EAG∽△DCO，∵＝，∴DG＝×（5﹣），∴y＝20﹣（5﹣）××（5﹣）＝﹣+t﹣，当t≥时y＝20．综上所述：y＝．7．解：（1）AE＝CF．理由：连接AO．如图2，∵AB＝AC，点O为BC的中点，∠BAC＝90°，∴∠AOC＝90°，∠EAO＝∠C＝45°，AO＝OC．∵∠EOF＝90°，∠EOA+∠AOF＝90°，∠COF+∠AOF＝90°，∴∠EOA＝∠FOC，在△EOA和△FOC中，∴△EOA≌△FOC（ASA），∴AE＝CF．（2）∵AE＝CF，∴BE+CF＝BE+AE＝AB＝2，即x+y＝2，∴y与x的函数关系式：y＝2﹣x．x的取值范围是：0≤x≤2．（3）△OEF能构成等腰三角形．当OE＝EF时，如图3，点E为AB中点，点F与点A重合，BE＝AE＝1，即x＝1，当OE＝OF时，如图4，BE＝BO＝CO＝CF＝，即x＝，当EF＝OF时，如图5，点E与点A重合，点F为AC中点，即x＝2，综上所述：△OEF为等腰三角形时x的值为1或或2．8．解：（1）∵F与G关于BC对称，∴BF＝BG，∵将△BEA绕点B逆时针旋转90°得到△BGC，∴BE＝BG，∴BE＝BF，∵∠ABE+∠FBC＝45°，∴∠EBF＝45°，∴∠BEF＝67.5°；（2）∵将△BEA绕点B逆时针旋转90°得到△BGC，∴AE＝CG，∠ABE＝∠CBG，BE＝BG，∵∠ABE+∠FBC＝45°，∴∠EBF＝45°，∠FBC+∠CBG＝45°，∴∠EBF＝∠FBG，又∵BF＝BF，∴△BFE≌△BFG（SAS），∴EF＝FG，∵△FGC周长为a，∴FG+GC+FC＝a＝AE+EF+FC，∴AC＝a；（3）如图，当点G，点A，点B共线时，当点G'在线段AB的延长线上时，∵∠CBG＝30°，∴n°＝60°，d＝0，∴（+1）d＝0，当点G''在线段AB上时，∵∠CBG＝30°，∴n°＝240°，d＝0，∴（+1）d＝0，如图，当点C，点A，点B共线时，过点G'''作G'''H⊥BC'''于H，∴n°＝90°，在如图1，将△BEA绕点B逆时针旋转90°得到△BGC，∴∠BAC＝∠BCG＝45°，∵AC＝a，∴AB＝BC＝a，∵将△BGC从起始位置绕点B顺时针旋转，∴BC＝BC'''＝a，∠BC'''G'''＝45°，∠G'''BC'''＝30°，∵G'''H⊥BC'''，∴G'''H＝C'''H＝d，BH＝G'''H＝d，∴BH+HC'''＝d+d＝（+1）d＝a，综上所述：n°的值为60°或90°或240°，（+1）d的值为0或a．9．解：（1）结论：AE＝AB+AD．理由：∵当α＝60°时，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，又∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝CB，∠ACB＝60°，∴∠BCE＝120°，∵MN∥BC，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝120°，∴∠BAD＝∠BCE，∴△BAD≌△BCE，∴AD＝CE，∴AE＝AC+CE＝AB+AD；（2）结论：AE＝AB+AD．理由：当α＝45°时，∠ABC＝∠DBE＝45°，∴∠ABD＝∠CBE，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∠BAC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝AB，∵MN∥BC，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝135°，∵∠BCE＝180°﹣∠ACB＝135°，∴∠BAD＝∠BCE，∴△BAD∽△BCE，∴＝＝，∴CE＝AD，∴AE＝AC+CE＝AB+AD；（3）由题可得，∠ABC＝∠DBE＝∠BAD＝30°，分两种情况：①如图所示，当点E在线段AC上时，∵∠ABE＝15°＝∠ABC＝∠DBE，∴∠ABD＝∠ABE＝15°，在BE上截取BF＝BD，易得△ABD≌△ABF，∴AD＝AF＝3﹣，∠ABC＝∠BAD＝∠BAF＝30°，∴∠AFE＝∠ABF+∠BAF＝15°+30°＝45°，又∵∠AEF＝∠CBE+∠C＝15°+30°＝45°，∴∠AFE＝∠AEF，∴AE＝AF＝3﹣；②如图所示，当点E在CA的延长线上时，过D作DF⊥AB于F，过E作EG⊥BC于G，∵AD＝3﹣，∠DAF＝30°，∴DF＝，AF＝，∵∠DBF＝15°+30°＝45°，∴∠DBF＝∠BDF，∴BF＝DF＝，AB＝+＝＝AC，∴BC＝3，∵∠EBG＝15°+30°＝45°，∴∠BEG＝∠EBG，设BG＝EG＝x，则CG＝3﹣x，∵Rt△CEG中，tan C＝，即＝，∴x＝＝EG，∴CE＝2EG＝3﹣3，∴AE＝CE﹣AC＝3﹣3﹣＝2﹣3，综上所述所，线段AE的长度为3﹣或2﹣3．10．解：（1）中△ACE以点C为旋转中心，逆时针方向旋转60°后得到的图形是△BCD．故答案为：△BCD；（2）解：结论：AE＝BD．理由：∵△ABC和△DEC都是等边三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD；（3）如图，设DB交AC于点J．∵△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝∠CBD，∵∠AJO＝∠BJC，∴∠AOB＝∠ACB＝60°，故答案为：60°．11．（1）①解：如图1，连接AC′，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，AB＝AC＝2，∵点C'与点C关于对称，∴∠C'BA＝∠CBA＝60°，BC'＝BC＝BA，∴△ABC'是等边三角形，∵PB＝PC'，∴PB＝1，故答案为：1；②证明：如图2，作∠BPE＝60°交射线AB于点E，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵点C'与点C关于对称，∴∠C'BA＝∠CBA＝60°，∴∠PEB＝60°，∴△PBE是等边三角形，∴PB＝PE，∠AEP＝∠PBD＝120°，∵∠BPD+∠DPE＝60°，∠APE+∠DPE＝60°，∴∠BPD＝∠APE，在△PBD和△PEA中，，∴△PBD≌△PEA（ASA），∴PD＝P A；（2）解：①补全图3如图3所示，②BD＝BP+AB，理由如下：如图3，在BD上取一点E，使BE＝BP，连接PE，∵∠EBP＝60°，BE＝BP，∴△EBP是等边三角形，∴∠BPE＝∠APD＝60°，∴∠APB＝∠DPE，在△BP A和△EPD中，，∴△BP A≌△EPD（SAS），∴AB＝DE，∴BD＝BE+ED＝BP+AB，故答案为：BD＝BP+AB．12．解：（1）BD＝AC，BD⊥AC，理由：延长BD交AC于F．∵AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，在△BED和△AEC中∴△BED≌△AEC，∴BD＝AC，∠DBE＝∠CAE，∵∠BED＝90°，∴∠EBD+∠BDE＝90°，∵∠BDE＝∠ADF，∴∠ADF+∠CAE＝90°，∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，∴BD⊥AC；（2）不发生变化，理由是：∵∠BEA＝∠DEC＝90°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中，∴△BED≌△AEC（SAS），∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，∵∠DEC＝90°，∴∠ACE+∠EOC＝90°，∵∠EOC＝∠DOF，∴∠BDE+∠DOF＝90°，∴∠DFO＝180°﹣90°＝90°，∴BD⊥AC；（3）①∵∠BEA＝∠DEC＝90°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中，∴△BED≌△AEC（SAS），∴BD＝AC，②能．理由：∵△ABE和△DEC是等边三角形，∴AE＝BE，DE＝EC，∠EDC＝∠DCE＝60°，∠BEA＝∠DEC＝60°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中，，∴△BED≌△AEC（SAS），∴∠BDE＝∠ACE，BD＝AC．∴∠DFC＝180°﹣（∠BDE+∠EDC+∠DCF）＝180°﹣（∠ACE+∠EDC+∠DCF）＝180°﹣（60°+60°）＝60°，即BD与AC所成的角的度数为60°或120°．13．解：（1）如图1中，∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，BC＝AC＝AB＝4，∵点D是线段BC的中点，∴BD＝DC＝BC＝2，∵DF⊥AC，即∠CFD＝90°，∴∠CDF＝30°，又∵∠EDF＝120°，∴∠EDB＝30°，∴∠BED＝90°∴BE＝BD＝1．（2）如图2中，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N．∵∠B＝∠C＝60°，BD＝DC，∠BDM＝∠CDN＝30°，∴△BDM≌△CDN，∴BM＝CN，DM＝DN，又∵∠EDF＝120°＝∠MDN，∴∠EDM＝∠NDF，又∵∠EMD＝∠FND＝90°，∴△EDM≌△FDN，∴ME＝NF，∴BE+CF＝BM+EM+NC﹣FN＝2BM＝BD＝AB．（3）结论不成立．结论：BE﹣CF＝AB．∵∠B＝∠C＝60°，BD＝DC，∠BDM＝∠CDN＝30°，∴△BDM≌△CDN，∴BM＝CN，DM＝DN，又∵∠EDF＝120°＝∠MDN，∴∠EDM＝∠NDF，又∵∠EMD＝∠FND＝90°，∴△EDM≌△FDN，∴ME＝NF，∴BE﹣CF＝BM+EM﹣（FN﹣CN）＝2BM＝BD＝AB．14．（1）证明：如图1，连接BF，∵△ABC≌△DBE，∴BC＝BE，∵∠ACB＝∠DEB＝90°，在Rt△BCF和Rt△BEF中，，∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），∴CF＝EF；（2）如图2，连接BF，∵△ABC≌△DBE，∴BC＝BE，∵∠ACB＝∠DEB＝90°，在Rt△BCF和Rt△BEF中，，∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），∴EF＝CF，∴AF+EF＝AF+CF＝AC＝DE；（3）如图3，连接BF，∵△ABC≌△DBE，∴BC＝BE，∵∠ACB＝∠DEB＝90°，∴△BCF和△BEF是直角三角形，在Rt△BCF和Rt△BEF中，，∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），∴CF＝EF，∵AC＝DE，∴AF＝AC+FC＝DE+EF．15．解：（1）∵+|2a﹣5b﹣30＝0，且≥0，|2a﹣5b﹣30|≥0，∴，解得：，∴A（30，0），B（0，6），又∵点C是由点B向右平移26个单位长度得到，∴C（26，6）；（2）①由（1）可知：OA＝30，∵点M从点C向右以1.5个单位长度/秒运动，点N从点O向点A以2个单位长度/秒运动，∴CM＝1.5t，ON＝2t，∴AN＝30﹣2t∵CM＜AN，∴1.5t＜30﹣2t，解得t＜，而0＜t＜15，∴0＜t＜；②由题意可知CM＝1.5t，ON＝2t，∴BM＝BC﹣CM＝26﹣1.5t，AN＝30﹣2t，又B（0，6），∴OB＝6，∴S四边形MNOB＝OB（BM+ON）＝3（26﹣1.5t+2t）＝3（26+0.5t），S四边形MNAC＝OB （AN+CM）＝3（30﹣2t+1.5t）＝3（30﹣0.5t），当S四边形MNOB＞2S四边形MNAC时，则有3（26+0.5t）＞2×3（30﹣0.5t），解得t＞＞15，∴不存在使S四边形MNOB＞2S四边形MNAC的时间段．16．解：（1）等边△ABC未平移时，如图1，∵∠ABC＝60°，BD⊥BF，∴∠DBA＝30°，∵∠BDF＝60°，∴BA⊥DF，∴2AB＝BF＝BC+CF，∵AB＝BC，∴CF＝AB＝6，即：点C平移到与点F重合时，等边△ABC平移的距离为6；（2）①作EM⊥DF于点M，EN⊥AB于点N，如图2，由（1）知AB⊥DF，∴MENG是矩形，∴GN＝EM＝AB，∵∠ACB＝60°，∠DFE＝30°，∴∠CHF＝30°，∴∠AHG＝30°，∵EN∥DF，∴∠BEN＝30°＝∠AHG，∵AG+GB＝AB，BN+GB＝NG＝AB，∴BN＝AG，在△EBN和△HAG中，，∴△EBN≌△HAG（AAS），∴EB＝AH；②如图3，作HI⊥EF于点I，∵∠HEF＝30°＝∠HFE，∴IE＝IF，由（1）知EF＝2AB＝12，∴IE＝6，∴IH＝，∴EH＝4；③不变．如图2，∵△EBN≌△HAG，∴GH＝NE，在△ENP和△HGP中，，∴△ENP≌△HGP（AAS），∴GP＝NP＝NG＝＝3．17．解：（1）∵AB＝6cm，AD＝8cm，∴BD＝10cm，根据旋转的性质可知B′D′＝BD＝10cm，CD′＝B′D′﹣BC＝2cm，∵tan∠B′D′A′＝，∴，∴CE＝cm，∴S A′B′CE＝S A′B′D′﹣S CED′＝（cm2）；（2）①当0≤x＜时，CD′＝2x+2，CE＝（x+1），∴S△CD′E＝x2+3x+，∴y＝×6×8﹣x2﹣3x﹣＝﹣x2﹣3x+；②当≤x≤4时，B′C＝8﹣2x，CE＝（8﹣2x）∴y＝×（8﹣2x）2＝x2﹣x+．（3）①如图1，当AB′＝A′B′时，x＝0秒；②如图2，当AA′＝A′B′时，A′N＝BM＝BB′+B′M＝2x+，A′M＝NB＝，∵AN2+A′N2＝36，∴（6﹣）2+（2x+）2＝36，解得：x＝，x＝（舍去）；③如图2，当AB′＝AA′时，A′N＝BM＝BB′+B′M＝2x+，A′M＝NB＝，∵AB2+BB′2＝AN2+A′N2∴36+4x2＝（6﹣）2+（2x+）2解得：x＝．综上所述，使得△AA′B′成为等腰三角形的x的值有：0秒、秒、．18．解：（1）∵∠MON＝90°，∴∠MOC＝∠MON﹣∠BOC＝90°﹣65°＝25°；故答案为：25°；（2）∵OC是∠MOB的角平分线，∴∠MOB＝2∠BOC＝2×65°＝130°，∴旋转角∠BON＝∠MOB﹣∠MON＝130°﹣90°＝40°，∠CON＝∠BOC﹣∠BON＝65°﹣40°＝25°；故答案为：40°，25°；（3）由直角三角板只能在直线AB上方旋转可知：如图2，当ON在∠BOC内部时，∵∠NOC＝5°，∠BOC＝65°，∴∠BON＝∠BOC﹣∠NOC＝60°，∵点O为直线AB上一点，∴∠AOB＝180°，∵∠MON＝90°，∴∠AOM＝∠AOB﹣∠MON﹣∠BON，＝180°﹣90°﹣60°，＝30°；如备用图，当ON在∠AOC内部时，∵∠NOC＝5°，∠BOC＝65°，∴∠BON＝∠NOC+∠BOC＝70°，∵点O为直线AB上一点，∴∠AOB＝180°，∵∠MON＝90°，∴∠AOM＝∠AOB﹣∠MON﹣∠BON，＝180°﹣90°﹣70°，＝20°．综上所述：∠AOM的度数为30°或20°．19．解：（1）如图1所示．∠a＝45°，故答案为：45°；（2）解：如图1.1所示．∵α＜30°，∴∠A0OA3＜180°，4α＜180°．∵OA4平分∠A2OA3，∴2（180°﹣6α）+α＝4α，解得：α＝（）°；（3）分四种情况：①当魔法棒从OM位置绕点O顺时旋转到OA4位置（不到ON位置），即OA4和OA3都不从ON回弹时，如图2，3α+4α＝20，α＝（）°；②当魔法棒从OM位置绕点O顺时旋转到ON被弹回到OA4位置（在ON与OA3之间），（180°﹣6α）+180°﹣20°﹣3α）＝4α，解得α＝（）°（不合实际）；③当魔法棒从OM位置绕点O顺时旋转到ON被弹回到OA4位置（在OA2与OA3之间），如图3，根据题意得：4α﹣（180﹣6α）+20＝3α，α＝（）°；或者2（180°﹣6α）+（3α﹣20°）＝4α，解得，α＝（）°；④当魔法棒从OM位置绕点O顺时旋转到ON被弹回到OA4位置（在OA1与OA2之间），即OA4在OA2的左边时，如图4，根据题意得：4α﹣（180﹣6α）＝3α+20，α＝（）°；或者2（180°﹣6α）+（3α+20°）＝4α，解得，α＝（）°，综上，对应的α值是（）°或（）°或（）°．20．解：（1）①如图：∵AB＝AC，AD＝AE，∴AB﹣AD＝AC﹣AE，即BD＝CE，∵点M，N，P分别是DE，BC和CD的中点，∴MP是△CDE的中位线，PN是△BCD的中位线，∴PM＝CE，PN＝BD，PM∥CE，PN∥BD，∴PM＝PN，∠DPM＝∠DCA，∠DPN＝∠ADC，∵α＝90°，即∠A＝90°，∴∠DCA+∠ADC＝90°，∴∠DPM+∠DPN＝90°，即∠MPN＝90°，故答案为：PM＝PN，90°；②存在点D，使得以P，M，N为顶点的三角形与△ADE全等，理由如下：连接MN，如图：由①知△PMN是等腰直角三角形，若△PMN≌△ADE，则PN＝PM＝AD＝AE，∵PN＝BD，∴AD＝BD，∴AD＝AB，∴D是AB靠近A的三等分点；（2）连接CE，BD，如图：由旋转可得∠CAE＝∠BAD，∵AC＝AB，AE＝AD，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴CE＝BD，∠AEC＝∠ADB，∵点M，N，P分别是DE，BC和CD的中点，∴MP是△CDE的中位线，PN是△BCD的中位线，∴PM＝CE，PN＝BD，PM∥CE，PN∥BD，∴PM＝PN，∠DPM＝∠DCE，∠DPN＝180°﹣∠BDP，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+180°﹣∠BDP＝∠DCE+180°﹣（360°﹣∠ADB﹣∠ADE﹣∠EDC）＝∠DCE+∠AEC+∠ADE+∠EDC﹣180°＝∠DCE+∠AED+∠DEC+∠ADE+∠EDC﹣180°，∵∠DCE+∠DEC+∠EDC＝180°，∴∠MPN＝∠AED+∠ADE，∵∠AED+∠ADE＝180°﹣∠EAC﹣∠CAD＝＝180°﹣∠BAD﹣∠CAD＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，∴∠MPN＝180°﹣α；②过E作EG⊥AD于G，过N作NH⊥MP，交MP的延长线于H，如图：由①知PM＝PN＝BD，∠MPN＝180°﹣α，∵AD＝BD，∴PM＝PN＝AD＝AE，∵∠HPN＝180°﹣∠MPN，∴∠HPN＝α＝∠BAC＝∠DAE，设PM＝PN＝m，则AE＝AD＝2m，在Rt△AEG中，EG＝AE•sinα＝2m•sinα，在Rt△PHN中，HN＝PN•sinα＝m•sinα，∴S△ADE＝×2m×2m•sinα＝2m2sinα，S△PMN＝×m×m•sinα＝m2sinα，∴S△ADE＝4S△PMN，∴△ADE和△PMN的面积关系为S△ADE＝4S△PMN．。

2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)：专题31 几何综合压轴题(共23道)(解析版)

2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)：专题31 几何综合压轴题(共23道)(解析版)

专题31几何综合压轴题（23道）1．（2023·江苏·统考中考真题）如图1，小丽借助几何软件进行数学探究：第一步，画出矩形ABCD 和矩形EFGH ，点E 、F 在边AB 上（AB EF ），且点C 、D 、G 、H 在直线AB 的同侧；第二步，设置,AB EF m n AD EH ，矩形EFGH 能在边AB 上左右滑动；第三步，画出边EF 的中点O ，射线OH 与射线AD 相交于点P （点P 、D 不重合），射线OG 与射线BC 相交于点Q （点Q 、C 不重合），观测DP 、CQ 的长度．(1)如图2，小丽取4313AB EF m n ，，，，滑动矩形EFGH ，当点E 、A 重合时，CQ ______；(2)小丽滑动矩形EFGH ，使得O 恰为边AB 的中点．她发现对于任意的m n DP CQ ，总成立．请说明理由；(3)经过数次操作，小丽猜想，设定m 、n 的某种数量关系后，滑动矩形EFGH ，DP CQ 总成立．小丽的猜想是否正确？请说明理由．【答案】(1)73(2)见解析(3)小丽的猜想正确，理由见解析【分析】（1）证GOF QOB ∽，利用相似三角形的性质即矩形的性质即可得解；（2）证GOF QOB ∽得BQ OB GF OF ，同理可得AP OA HE OE ，由OA OB ，OE OF ，得BQ AP GF HE，进而有BQ AP ，再根据矩形的性质即可得证；（3）当m n 时，取AB 的中点M ，连接MC 、MD ，由AB EF AD EH，O 恰为边EF 的中点，得AB BC EF O B F F O O ，进而证GOF CMB ∽，得GOF CMB ，于是有CM OQ ，由平行线分线段成比例得CQ CB OM BM ，同理可证：DP AD OM AM，于是有CQ CB AD DP OM BM AM OM ，从而即可得解．解：∵小丽滑动矩形EFGH，使得O恰为边AB∴BQ OB GF OF，同理可得AP OA HE OE ，∵OA OB ，OE OF ，∴OB OA OF OE，∴BQ AP GF HE ，∵GF HE ，∴BQ AP ，∵AD BC ，∴DP CQ ；（3）解：小丽的猜想正确，当m n 时，DP CQ 总成立，理由如下：如下图，取AB 的中点M ，连接MC 、MD ，∵四边形ABCD 和四边形EFGH 都是矩形，∴90B OFG ，AD BC ，GF HE ，∵,AB EF m n AD EH ，m n ，∴AB EF AD EH，∵O 恰为边EF 的中点，M 是AB 的中点，∴MA MB ，OE OF ，∴AB EF AD EH ，∴AB BC EF O B F FO O ，(1)线段AM 与线段AN 的关系是______．(2)若5EF ，4FG ，求AH 的长．(3)求证：2FH BM ．【答案】(1)AM AN(2)815AH (3)见解析【分析】（1）求证(SAS)ABM ADN ≌，即可得证结论AM AN ；（2）由题知，9EH EG ，于是9AM HE ，可证AHM EHF ∽，所以AH AM EH EF ，于是815AH ；（3）连接GH ，令BAM ，则2MAH HEG ，HEG △中，90G EHG ，可求90GFH FEH EHF ，所以G GFH ，得证FH GH ；延长线段MB 至点I ，使BI BM ，可证(SAS)IAM HEG ≌，得GH IM ，于是2FH IM BM ．【详解】（1）解：AM AN∵四边形ABCD 是正方形，∴90ABM ADC ，AB AD .∴90ABM ADN又∵BM DN ，∴(SAS)ABM ADN ≌∴AM AN ．（2）解：由题知，459EH EG ，∴9AM HE ．∵MAH HEG ，AHM EHF ，∴AHM EHF ∽．∴AH AM EH EF ．∴995AH ．∴815AH．（3）解：连接GH ，令BAM ，则2MAH HEG ，HEG △中，EH EG ，∴1(1802)902G EHG ．Rt ABH △中，90903AHB BAH ．∴290390GFH FEH EHF ．∴G GFH ．∴FH GH ．延长线段MB 至点I ，使BI BM ，连接A I ，则AB 垂直平分IM ，∴AI AM ．【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等；添加辅助线，构造全等三角形，从而求证线段之间的相等关系是解题的关键．3．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在（不与点B ，C 重合），连接AD ，过点是AE ，BD 的中点，连接DF ，FG ，BE (1)如图1，点D 在线段BC 上，且点D 不是BC 的中点，FG CD________．(2)如图2，点D 在线段BC 上，当60 ，3k 时，求证：(3)当60 ，3k 时，直线CE 与直线AB 交于点【答案】(1)垂直，12(2)见解析(3)6577CN 或42313【分析】（1）连接BF 并延长交AC 于R ，根据等腰三角形的判定和性质，推出,,,A B E D ，四点共圆，进而得到90ABE ，推出AB 与BE 垂直，利用斜边上的中线以及等腰三角形三线合一，得到FG BC ，证明AFR EFB ≌，得到1,2FG DR FG DR ∥，即可得出结果；（2）作AQ BC 于Q ，作EH CB ，交CB 的延长线于点H ，连接BF ，同（1）推出FG BC ，得到EH FG AQ ∥∥，进而得到2EH AQ FG ，变形得到3323EH AQ FG ，再根据等腰三角形三线合一，以及含30度角的直角三角形的性质，利用线段之间的等量代换，即可得证；（3）分点D 在线段BC 上和在线段BC 的延长线上，两种情况进行讨论求解．【详解】（1）解：连接BF 并延长交AC 于R ，∵,90AB AC BAC ，∴45ABC C ，同理：45AED ，∴AED ABD ，∴,,,A B E D ，四点共圆，∴180ABE ADE ，∵90ADE ，∴90ABE ，∴AB 与BE 垂直；∵F 是AE 的中点，∴12BF DF AB ，AF EF ，∵G 是BD 的中点，∵,60AB AC BAC ，∴ABC 为等边三角形，∴60ABC C ，BC ∵90,3AD ADE DE，∴12BF DF AB ，AF EF ，∵G 是BD 的中点，∴FG BC ，∴EH FG AQ ∥∥，∴1HG EF QG AF，∴HG QG ，∴GF 是梯形AEHQ 的中位线，∴2EH AQ FG ，∴3323EH AQ FG ，∵90,18030H EBH ABE ABC ，∴3BH EH ，∵HG QG ，BG DG ，∴3DQ BH EH ，∵90,60AQC C ，∴33CQ AQ ，∴323DQ CQ FG ，∴ 223DQ CQ CQ FG ，∴23BC CD FG ；（3）①当点D 在BC 上时，作AQ BC 于Q ，作EH CB ，交CB 的延长线于点H ，作CX EB ，交EB 的延长线与点X ，由（2）知：ABC 为等边三角形，90ABE ，同①可知：33,3,AQ CQ DHE AQD ∽，∴383,EH DE DQ CQ CD DQ AD ，∴38333EH DQ ，∴16323BE HE，38BH HE ，∴2CH BH BC ，∴222573CE EH CH ，在Rt BCX 中，6BC ，30BCX EBH ，∴6cos3033BX ，∴733EX EB BX ，∵90ABE CXE ，∴CX BN ∥，∴CN BX CE EX ，即：332577333CN ，∴6577CN ；综上：6577CN或42313．【点睛】本题考查几何的综合应用，难度大，属于中考压轴题，重点考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，斜边上的中线，全等三角形和相似三角形的判定和性质，解直角三角形．解题的关键是添加合适的辅助线，构造特殊图形．4．（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中，90ACB ，AC BC ，点D 在边AC 上，将线段DA 绕点D 按顺时针方向旋转90 得到DA ，线段DA 交AB 于点E ，作A F AB 于点F ，与线段AC 交于点G ，连接,FC GB ．(1)求证：ADE A DG ≌△△；∵,AGF CFG ACF ABC ABG CBG ，∴ACF ABG ，∵A A ，∴ABG ACF ∽ ，∴AG BG AF CF，即AF GB AG FC ；（3）解：如图，连接EG ，∵ADE A DG ≌△△，∴DE DG ，AE A G ，∵8AC ，1tan 2A，∴11tan ,tan 22BC DE EF A A AC AD AF ，∴4,2BC A D AD DE ，2A F EF ，∴45AB ，设DE DG x ，则2A D AD x ，∴5AE A G x ，A E x ，83CG x ，∴525,55EF x A F x，∴355FG x ，65455BF x ，∵A G 平分四边形DCBE 的面积，∴DEG FEG BFG BCG S S S S ，∴11112222DE DG EF FG BC CG BF FG ，即 2115351165354834522552255x x x x x x，(1)如图1，连接BD ，求BDC 的度数和DG BE的值；(2)如图2，当点F 在射线BD 上时，求线段BE 的长；(3)如图3，当EA EC 时，在平面内有一动点P ，满足PE EF ，连接PA 【答案】(1)60BDC ，3(2)3(3)43将AEP △绕点E 顺时针旋转120°，EA 与EC 重合，得到CEP △，进而求出PA P C ，120PEP ，4EP EP ，得出343PP PE ，可得当点P ，C ，P 三点共线时，PA PC 的值最小，此时为43PA PC PP ．【详解】（1）解：∵矩形ABCD 中，2AB ，23AD ，∴90C ，2CD AB ，23BC AD ，∴tan 3BC BDC DC，∴60BDC ，由矩形ABCD 和矩形AEFG 可得，90ABE BAD EAG ADG ，∴EAG EAD BAD EAD ，即DAG BAE ，∴ADG ABE ∽△△，∴3DG AD BE AB；（2）解：如答案图1，过点F 作FM CG 于点M ，由矩形ABCD 和矩形AEFG 可得，90ABE AGF ADG ，AE GF ，∴BAE DAG CGF ，90ABE GMF ，∴ABE GMF ≌△△，∴BE MF ，2AB GM ，∴60MDF BDC ，FM CG ，∴tan tan 603MF MDF MD，∴3MF MD ，设DM x ，则3BE MF x ，∴2DG GM MD x ，∵3DG BE，∴233x x ，解得1x ，∴33BE x ；【点睛】本题考查矩形的性质，三角函数，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键．6．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，矩形折纸游戏．游戏1折出对角线BD ，将点B 翻折到BD 上的点E 处，折痕AF 交BD 于点G ．展开后得到图①，发现点F 恰为BC 的中点．游戏2在游戏1的基础上，将点C 翻折到BD 上，折痕为BP ；展开后将点B 沿过点F 的直线翻折到BP 上的点H 处；再展开并连接GH 后得到图②，发现AGH 是一个特定的角．(1)请你证明游戏1中发现的结论；(2)请你猜想游戏2中AGH 的度数，并说明理由．【答案】(1)证明见详解(2)120 ，理由见解析【分析】（1）由折叠的性质可得AF BD ，根据题意可得BAG ADB GBF ，再设AB a =，然后表示出AD 、BD ，再由锐角三角函数求出BF 即可；（2）由折叠的性质可知GBH FBH ，BF HF ，从而可得出GBH BHF ，进而得到BD HF ，DGH GHF ，由（1）知AF BD ，可得AF HF ，在Rt GFH 中求出GHF 的正切值即可解答．【详解】（1）证明：由折叠的性质可得AF BD ，90AGB ，∵四边形ABCD 是矩形，90BAD ABC ，BAG ADB GBF ，2AD AB ∵，设AB a =，则2AD a ，3BD a ，sin sin BAG ADB ，即BG AB AB BD， 3BG a a a，解得33BG a ，根据勾股定理可得63AG a，cos cos GBF BAG ，即BG AG BF AB， 3633a a BF a．由折叠的性质可知GBH FBHGBH FBH，FBH FHB ，GBH BHFBD HF，，DGH GHF7．（2023·湖南娄底·统考中考真题）鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星．为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等．数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究．延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星．如图，正五边形ABCDE 的边BA DE 、的延长线相交于点F ，EAF 的平分线交EF 于点M ．(1)求证：2AE EF EM ．(2)若1AF ，求AE 的长．(3)求ABCDEAEF S S 正五边形△的值．【答案】(1)见解析(2)512AE(3)5【分析】（1）根据正多边形的性质可以得到72FAE FEA ，再利用三角形的内角和以及角平分线的定义得到MAE F ，再根据FEA AEM ，可得到AEM FEA ∽，进而得到结论；（2）根据等角对等边可以得到1AF FE ，AE AM FM ，再由（1）得结论得到 211AE AE ，解方程可以求出结果；（3）设AEF S S ，AF a 连接AD ，AC ，根据正多边形可以推导出AFE ACD ≌，ABC AED ≌，则可表示出ABCDE S 正五边形，然后求出比值．【详解】（1）证明：∵ABCDE 是正五边形，∴360725FAE FEA ，∴180180727236F FAE FEA ，又∵EAF 的平分线交EF 于点M ，∴11723622FAM MAE FAE ，【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，全等三角形的判定和性质，正多边形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．8．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）如图1，在ABCD Y 纸片中，10AB ，6AD ，60DAB ，点E 为BC 边上的一点（点E 不与点C 重合），连接AE ，将ABCD Y 纸片沿AE 所在直线折叠，点C ，D 的对应点分别为C 、D ¢，射线C E 与射线AD 交于点F ．(1)求证：AF EF ；(2)如图2，当EF AF 时，DF 的长为______；(3)如图3，当2CE 时，过点F 作FM AE ，垂足为点M ，延长FM 交C D 于点N ，连接AN 、EN ，求ANE 的面积．【答案】(1)证明见解析(2)536(3)133【分析】（1）根据平行四边形的性质和平行线的性质，得到180FAE AEC ，再根据折叠的性质，得到AEC AEC ，然后结合邻补角的性质，推出 FAE AEF ，即可证明AF EF ；（2）作AG CB ，交CB 的延长线于G ，先证明四边形AGEF 是正方形，再利用特殊角的三角函数值，求出53AG ，进而得到53AF ，即可求出DF 的长；（3）作AQ CB ，交CB 的延长线于Q ，作MT AF 于T ，交HD 的延长线于G ，作HR MT 于R ，解直sin sin 60AG ABG AB∵，10AB ，3sin6010532AG AB，53AF AG ，6AD ∵，536DF AF AD ，故答案为：536 ；（3）解：如图2，作AQ CB ，交CB 的延长线于Q ，作MT AF 于T ，交HD 的延长线于G ，作HR MT 于R ，∵四边形ABCD 是平行四边形，10AB CD ，6AD BC ，AB CD ∥，CB AD ∥，60ABQ DAB ，在Rt AQB 中，1cos 601052BQ AB ，3sin 6010532AQ AB ，2CE ∵6529EQ BC BQ CE ，在Rt AQE V 中，2222(53)9239AE AQ EQ ，由（1）可知：AF EF ，FM AE ∵，1392AM EM AE ，又∵ABCD Y 纸片沿AE 所在直线折叠，点C ，D 的对应点分别为C ，D ¢，HM MN ，AD BC ∥∵，36k ，5532HR k，sin sin FMT AEQ ∵，HR AQ HM AE，5532239HM ，13HM ，13MN ，112391313322ANE S AE MN ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形、轴对称的性质等知识，正确作辅助线，熟练解直角三角形是解题关键．9．（2023·宁夏·统考中考真题）综合与实践问题背景数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36 的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．探究发现如图1，在ABC 中，36A ，AB AC ．（1）操作发现：将ABC_______DB，则BDE（2）进一步探究发现：拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图 （2）证明见解析，拓展应用：【答案】（1）72,1x【分析】（1）利用等边对等角求出，利用三角形内角和定理求出，,BDC BDE BC BE可；∴ 180236721ABC C ，∵将ABC 折叠，使边BC 落在边BA 上，∴1362ABD CBD ABC，,BDC BDE BC BE x ，∴18072BDC BDE CBD C ，1AE AB BE AB BC x ；故答案为：72,1x ；（2）证明：∵72BDC C ，∴BD BC x ，∵36,A CBD C C ，∴BDC ABC ∽，∴BC CD AC BC，∵36ABD CBD A ，∴AD BD BC x ，∴1CD x ，∴11x x x，整理，得：210x x ，解得：512x（负值已舍掉）；经检验512x 是原分式方程的解．∴512BC AC 底腰；拓展应用：如图，连接AC ，延长AD 至点E ，使AE AC ，连接CE ，(1)当AF DF时，求AED(2)求证：EHG ADG∽△△(3)求证：AE AC EH HC．【答案】(1)60 (2)见详解EAG DAG ，即可得45BAE HEG EHK ，进而可得ABE HKE ∽，则有AE AB HE HK ，结合AB BC ，HK KC ，可得AE AB BC HE HK KC，再证明ABC HKC ∽，即可证明．【详解】（1）∵EF AD ，∴90EFA EFD ，∵EF EF ，AF DF ，∴EFA EFD ≌，∴EA ED ，∵ABC 、CDE 是两个等腰直角三角形，∴45ACB BAC CED CDE Ð=Ð=°=Ð=Ð，AB BC ，∴18090EGC BCA CED Ð=°-Ð-Ð=°，∴GC DE ，∴等腰直角CDE 中，EG GD ，∴GC 是线段ED 的垂直平分线，∴EA AD ，∴EA AD DE ，即EAD 是等边三角形，∴60AED ；（2）在（1）中有GC DE ，EF AD ，∴90AGE AGD AFH Ð=Ð=Ð=°，又∵EHG AHF Ð=Ð，∴HEG HAF Ð=Ð，∴EHG ADG ∽△△；（3）过H 点作HK BC 于点K ，如图，∵HK BC ，45BCH ，(1)当点E 在线段BC 上，=45ABC 时，如图①，求证：AE EC BF ；(2)当点E 在线段BC 延长线上，=45ABC 时，如图②：当点E 在线段CB 延长线上，135ABC 时，如图③，请猜想并直接写出线段AE ，EC ，BF 的数量关系；(3)在（1）、（2）的条件下，若3BE ，5DE ，则CE _______．【答案】(1)见解析(2)图②：AE EC BF ，图③：EC AE BF(3)1或7【分析】（1）求证BEF AED ，AE BE ，得 BEF AED SAS △≌△，所以BF AD ，进而AD BC BF ，所以AE CE BE CE BC BF ；（2）如图②，当点E 在线段BC 延长线上，=45ABC 时，同（1）， BEF AED SAS △≌△，得AD BF ，结合平行四边形性质，得AD BC BF ，所以AE EC BF ；如图③，当点E 在线段CB 延长线上，135ABC 时，求证BAE ABE ，得AE BE ，同（1）可证 BEF AED SAS △≌△，BF AD ，结合平行四边形性质，得AD BC BF ，所以EC AE BF ；（3）如图①，Rt EBF △中，勾股定理，得224BF EF BE =-=，求得1EC BF AE =-=；如图②，3BE ，则3AE ,Rt ADE △中，2222534AD DE AE =-=-=，可得图②中，不存在3BE ，5DE 的情况；如图③，Rt AED △中，勾股定理，得224AD DE AE =-=，求得7EC AE BF =+=．【详解】（1）证明：AE BC ∵，90AEB ．90FED ∵，∴AEB FED∴AEB AEF FED AEFÐ-Ð=Ð-ÐBEF AED ．45ABC ∵，45ABC BAE ．AE BE ．EF ED ∵，BEF AED SAS △≌△．BF AD ．∵四边形ABCD 是平行四边形，AD BC BF ．AE CE BE CE BC BF ；（2）如图②，当点E 在线段BC 延长线上，=45ABC 时，同（1），AE BE ，BEF AED SAS △≌△∴AD BF∵四边形ABCD 是平行四边形，AD BC BF ．∴AE EC BE EC BC BF即AE EC BF ；如图③，当点E 在线段CB 延长线上，135ABC 时，∵135ABC∴18045ABE ABC Ð=°-Ð=°∵AE BC∴90AEB∴18045BAE AEB ABE Ð=°-Ð-Ð=°∴BAE ABE∴AE BE同（1）可证，BEF AED SAS △≌△∴BF AD∵四边形ABCD 是平行四边形，AD BC BF ．∴EC AE EC EB BC BF即EC AE BF（3）如图①，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，∴90EAD AEB∵BEF AED≌△△∴90EAD EBF Ð=Ð=°Rt EBF △中，5EF DE ,3BE AE ，2222534BF EF BE =-=-=由AE EC BF ，得431EC BF AE =-=-=；如图②，3BE ，则3AE ,Rt ADE △中，2222534AD DE AE =-=-=，∴4BC AD ,与3BE 矛盾，故图②中，不存在3BE ，5DE 的情况；如图③，∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD BC∥∴180EAD AEB∵90AEB∴90EADRt AED △中，3AE BE ，2222534AD DE AE =-=-=∴4BF ADk 时，请用等式表示线段AG与线段DF的数量关系______；(1)如图1，当1，和DF之间的数量关系，并说明理由；(2)如图2，当3k 时，写出线段AD DE的值．(3)在（2）的条件下，当点G是AB的中点时，连接BE，求tan EBF【答案】(1)AG DF(2)233AD DF DE【详解】（1）解：当1k 时，,AD BD DG EF ，∵在ABCD Y 中，90ADB ，∴45A ABD ，AB CD ∥，∴45CDB∴135CDF ，在AD 上截取DH DE ，连接H G ，∵FED ADG ，∴ SAS DHG EDF ≌，∴135DHG EDF ，DF HG ，∴45AHG ，90AGH ，∴AG GH DF ，故答案为：AG DF ；（2）233AD DF DE ，理由如下：当3k 时，3AD DG BD EF，∴30A ，60CDB DBA ，过点G 作GM AB 交AD 于点M ，∴120DMG ，∵120FDE ，∴FDE DMG ，∵60BDE ABD ，∴30DEN ，∴1122DN DE x ，32EN x ，∴15322BN BD DN x x x，3x【点睛】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，求角的正切值，熟练掌握各知识点是解题的关键．13．（2023·江苏徐州·统考中考真题）【阅读理解】如图1，在矩形ABCD 中，若,AB a BC b ，由勾股定理，得222AC a b ，同理222BD a b ，故 22222AC BD a b ．【探究发现】如图2，四边形ABCD 为平行四边形，若,AB a BC b ，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由．【拓展提升】如图3，已知BO 为ABC 的一条中线，,,AB a BC b AC c ．求证：222224a b c BO ．【尝试应用】如图4，在矩形ABCD 中，若8,12AB BC ，点P 在边AD 上，则22PB PC 的最小值为_______．【答案】探究发现：结论依然成立，理由见解析；拓展提升：证明见解析；尝试应用：200【分析】探究发现：作AE BC 于点E ，作DF BC 交BC 的延长线于点F ，则90AEB CFD ，证明 Rt Rt HL ABE DCF ≌△△，BE CF ，利用勾股定理进行计算即可得到答案；拓展提升：延长BO 到点C ，使OD BO ，证明四边形ABCD 是平行四边形，由【探究发现】可知， 22222AC BD AB BC ，则 222222c BO a b ，得到 222242c BO a b ，即可得到结论；尝试应用：由四边形ABCD 是矩形，8,12AB BC ，得到8,12AB CD BC AD ，90A D ，设AP x ，12PD x ，由勾股定理得到 22226200PB PC x ，根据二次函数的性质即可得到答案．【详解】探究发现：结论依然成立，理由如下：作AE BC 于点E ，作DF BC 交BC 的延长线于点F ，则90AEB CFD ，∵四边形ABCD 为平行四边形，若,AB a BC b ，∴,,AB DC a AD BC AD BC b ∥，∵AE BC ，DF BC ，∵BO 为ABC 的一条中线，∴OA CO ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵,,AB a BC b AC c ．2222427226200x x x ，∵20 ，∴抛物线开口向上，∴当6x 时，22PB PC 的最小值是200故答案为：200【点睛】此题考查了二次函数的应用、勾股定理、平行四边形的判定和性质、矩形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和数形结合是解题的关键．14．（2023·辽宁·统考中考真题）在Rt ABC 中，90°ACB ，CA CB ，点O 为AB 的中点，点D 在直线AB 上（不与点,A B 重合），连接CD ，线段CD 绕点C 逆时针旋转90°，得到线段CE ，过点B 作直线l BC ，过点E 作EF l ，垂足为点F ，直线EF 交直线OC 于点G ．(1)如图，当点D 与点O 重合时，请直接写出线段AD 与线段EF 的数量关系；(2)如图，当点D 在线段AB 上时，求证：2CG BD BC ；(3)连接DE ，CDE 的面积记为1S ，ABC 的面积记为2S ，当:1:3EF BC 时，请直接写出12S S 的值．【答案】(1)22EF AD(2)见解析(3)59或179【分析】（1）可先证BCD BCE ≌，得到BD BE ，根据锐角三角函数，可得到BE 和EF 的数量关系，进而得到线段AD 与线段EF 的数量关系．（2）可先证ACD GEC ≌△△，得到DA CG ，进而得到CG BD DA BD AB ，问题即可得证．（3）分两种情况：①点D 在线段AB 上，过点C 作CN 垂直于FG ，交FG 于点N ，过点E 作EM 垂直于BC ，交BC 于点M ，设EF a ，利用勾股定理，可用含a 的代数式表示EC ，根据三角形面积公式，即可得到答案．②点D 在线段BA 的延长线上，过点E 作EJ 垂直于BC ，交BC 延长线于点J ,令EF 交AC 于点I ,连接BE ,根据图形旋转的性质可知CD CE 由题意可知，ABC 为等腰直角三角形，CD ∵为等腰直角三角形ABC 斜边45BCD ，AD BD ．又90DCE ，45BCE ．ACD BCE ．BC l ∵，EF l ，BC EF ∥．45G OCB ，GEC BCE ．G A ，ACD GEC ．在ACD 和GEC 中，ACD GEC A G CD CEACD GEC ≌△△．DA CG ．2CG BD DA BD AB BC ．（3）解：当点D 在线段AB 延长线上时，不满足条件:1:3EF BC ，故分两种情况：①点D 在线段AB 上，如图，过点C 作CN 垂直于FG ，交FG 于点N ；过点E 作EM 垂直于BC ，交BC 于点M ．设EF a ，则3BC AC a ．根据题意可知，四边形BFEM 和CMEN 为矩形，GCN 为等腰直角三角形．EF BM a ，2CM NE a ．由（2）证明可知ACD GEC ≌△△，3AC GE a ．NG NC a ．NC EM a ．∵90DCE ACB∴DCE ACE ACB ACE即DCA ECB又∵CD CE ，CA CB∴CDA CEB≌∴DAC EBC而180180DAC CAB Ð=°-Ð=°-∴135EBC18045EBJ EBC Ð=°-Ð=°∴EBJ 是等腰直角三角形，EJ 设EF b ，则3BC IF b ==，EJ ∴4EI EF IF b=+=Rt CIE 中，22CE CI EI =+=CDE 的面积1S 与ABC 的面积2S 之比22122211171722119322CE b S S BC b 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质、勾股定理以及图形旋转的性质，灵活利用全等三角形的判定及性质是解题的关键．15．（2023·贵州·统考中考真题）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC 中，,90CA CB C ，过点B 作射线BD AB ，垂足为B ，点P 在CB 上．(1)【动手操作】如图②，若点P 在线段CB 上，画出射线PA ，并将射线PA 绕点P 逆时针旋转90 与BD 交于点E ，根据题意在图中画出图形，图中PBE 的度数为_______度；(2)【问题探究】根据（1）所画图形，探究线段PA 与PE 的数量关系，并说明理由；(3)【拓展延伸】如图③，若点P 在射线CB 上移动，将射线PA 绕点P 逆时针旋转90 与BD 交于点E ，探究线段,,BA BP BE 之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)作图见解析；135(2)PA PE ；理由见解析(3)2BA BE BP 或2BE BA BP ；理由见解析【分析】（1）根据题意画图即可；先求出190452ABC BAC ，根据90ABD Ð=°，求出4590135CBE ABC ABE ；（2）根据90APE ，90ABE ，证明A 、P 、B 、E 四点共圆，得出45AEP ABP ，求出AEP EAP ，根据等腰三角形的判定即可得出结论；（3）分两种情况，当点P 在线段BC 上时，当点P 在线段BC 延长线上时，分别画出图形，求出,,BA BP BE 之间的数量关系即可．∵,90CA CB C ，∴190452ABC BAC ∵BD AB ，根据旋转可知，90APE ，∵90ABE ，∴A 、P 、B 、E 四点共圆，∴45AEP ABP ，根据解析（2）可知，PA PE ，∵90EFP APE ，∴90EPF PEF EPF APC ，∴PEF APC ，∵90EFP ACP ，∴PEF APC ≌，∴EF PC ，∵18045EBF CBE ，90EFB ，∴EBF △为等腰直角三角形，∴2BE EF ，∵ABC 为等腰直角三角形，∴ 2222222BA BC BP PC BP PC BP EF BP BE ，即2BA BE BP ；当点P 在线段BC 延长线上时，连接AE ，作EF CB 于点F ，如图所示：根据旋转可知，90APE ，∵90ABE ，∴A 、B 、P 、E 四点共圆，∴45EAP EBP ，∴904545AEP ，∴AEP EAP ，∴PA PE ，∵90EFP APE ，∴90EPF PEF EPF APC ，∴PEF APC ，(1)当点P和点B重合时，线段PQ的长为__________；(2)当点Q和点D重合时，求tan PQE的形状始终是等腰直角三角形．如图(3)当点P在边AD上运动时，PQE(4)作点E关于直线PQ的对称点F，连接【分析】（1）证明四边形ABEQ 是矩形，进而在Rt QBE △中，勾股定理即可求解．（2）证明PBE ECD ∽，得出2tan 3PE BE PQE DE CD ；（3）过点P 作PH BC 于点H ，证明PHE ECQ ≌得出PE QE ，即可得出结论（4）分三种情况讨论，①如图所示，当点P 在BE 上时，②当P 点在AB 上时，当,F A 重合时符合题意，此时如图，③当点P 在AD 上，当,F D 重合时，此时Q 与点C 重合，则PFQE 是正方形，即可求解．【详解】（1）解：如图所示，连接BQ ，∵四边形ABCD 是矩形∴90BAQ ABE∵90PEQ ，∴四边形ABEQ 是矩形，当点P 和点B 重合时，∴3QE AB ，2BE 在Rt QBE △中，22223213BQ BE QE ，故答案为：13．（2）如图所示，∵90PEQ ，90PBE ECD ，∴1290,2390 ，∴13∵90PEQ ，PHE ECQ ∴1290,2390 则四边形ABHP 是矩形，∴PH AB 3又∵523EC BC BE ∵3,2QE QF AQ BE 在Rt AQF △中，2AF QF 则35BF ，∵PE t ，则2BP t ，PF在Rt PBF 中，222PF PB FB ，∴ 222352t t 解得：9352t当9352t 时，点F 在矩形内部，符合题意，∴93502t符合题意，②当P 点在AB 上时，当,F A 重合时符合题意，此时如图，则2PB t BE t ，PE 325AP AB PB t t ，在Rt PBE △中，222PE PB BE 222522t t ，解得：176t ，③当点P 在AD 上，当,F D 重合时，此时Q 与点C 重合，则PFQE 是正方形，此时2327t综上所述，93502t 或176t 或7t ．【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，勾股定理，求正切，轴对称的性质，分类讨论，分别画出图形，数形结合是解题的关键．17．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）综合与实践【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD 中，E 是边AB 上一点，DF CE 于点F ，【答案】（1）四边形ABCD 是正方形，证明见解析；（2）FH AH CF 【分析】（1）证明ADG CDF ≌，可得AD CD ，从而可得结论；（2）证明四边形DGHF 是矩形，可得90G DFC ，同理可得： DG DF ，AG CF ，证明四边形DGHF 是正方形，可得HG HF ，从而可得结论；（3）如图，连接AC ，证明90AHE ABC ，2AC AB ，45BAC。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2023年各地中考几何压轴题汇编1.(2023·安徽)在Rt ABC △中.M 是斜边AB 的中点.将线段MA 绕点M 旋转至MD 位置.点D 在直线AB 外.连接,AD BD ．（1）如图1.求ADB ∠的大小；（2）已知点D 和边AC 上的点E 满足,ME AD DE AB ⊥∥．（ⅰ）如图2.连接CD .求证：BD CD =；（ⅱ）如图3.连接BE .若8,6AC BC ==.求tan ABE ∠的值．2.(2023·北京)在ABC 中、()045B C αα∠=∠=︒<<︒.AM BC ⊥于点M .D 是线段MC 上的动点（不与点M .C 重合）.将线段DM 绕点D 顺时针旋转2α得到线段DE ．（1）如图1.当点E 在线段AC 上时.求证：D 是MC 的中点；（2）如图2.若在线段BM 上存在点F （不与点B .M 重合）满足DF DC =.连接AE .EF .直接写出AEF ∠的大小.并证明．3.(2023·福建)如图1.在ABC 中.90,,BAC AB AC D ∠=︒=是AB 边上不与,A B 重合的一个定点．AO BC ⊥于点O .交CD 于点E ．DF 是由线段DC 绕点D 顺时针旋转90︒得到的.,FD CA 的延长线相交于点M ．（1）求证：ADE FMC △∽△；（2）求ABF ∠的度数；（3）若N 是AF 的中点.如图2．求证：ND NO =．4.(2023·广西)如图.ABC是边长为4的等边三角形.点D.E.F分别在边AB.BC.CA==．上运动.满足AD BE CF≌；（1）求证：ADF BED（2）设AD的长为x.DEF的面积为y.求y关于x的函数解析式；（3）结合（2）所得的函数.描述DEF的面积随AD的增大如何变化．5.(2023·河北)如图1和图2.平面上.四边形ABCD 中.8,12,6,90AB BC CD DA A ====∠=︒.点M 在AD 边上.且2DM =．将线段MA 绕点M 顺时针旋转(0180)n n ︒<≤到,MA A MA ''∠的平分线MP 所在直线交折线—AB BC 于点P .设点P 在该折线上运动的路径长为(0)x x >.连接A P '．（1）若点P 在AB 上.求证：A P AP '=；（2）如图2．连接BD ．①求CBD ∠的度数.并直接写出当180n =时.x 的值；①若点P 到BD 的距离为2.求tan A MP '∠的值；（3）当08x <≤时.请直接．．写出点A '到直线AB 的距离．（用含x 的式子表示）．6.(2023·山西)问题情境：“综合与实践”课上.老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开.得到两个全等的三角形纸片.表示为ABC 和DFE △.其中90,ACB DEF A D ∠=∠=︒∠=∠．将ABC 和DFE △按图2所示方式摆放.其中点B 与点F 重合（标记为点B ）．当ABE A ∠=∠时.延长DE 交AC 于点G ．试判断四边形BCGE 的形状.并说明理由．（1）数学思考：谈你解答老师提出的问题；（2）深入探究：老师将图2中的DBE 绕点B 逆时针方向旋转.使点E 落在ABC 内部.并让同学们提出新的问题．①“善思小组”提出问题：如图3.当ABE BAC ∠=∠时.过点A 作AM BE ⊥交BE 的延长线于点,M BM 与AC 交于点N ．试猜想线段AM 和BE 的数量关系.并加以证明．请你解答此问题；①“智慧小组”提出问题：如图4.当CBE BAC ∠=∠时.过点A 作AH DE ⊥于点H .若9,12BC AC ==.求AH 的长．请你思考此问题.直接写出结果．7.(2023·深圳)（1）如图.在矩形ABCD 中.E 为AD 边上一点.连接BE .①若BE BC =.过C 作CF BE ⊥交BE 于点F .求证：ABE FCB ≌△△；②若20ABCD S =矩形时.则BE CF ⋅=______．（2）如图.在菱形ABCD 中.1cos 3A =.过C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E .过E 作EF AD ⊥交AD 于点F .若24ABCD S =菱形时.求EF BC ⋅的值．（3）如图.在平行四边形ABCD 中.60A ∠=︒.6AB =.5AD =.点E 在CD 上.且2CE =.点F 为BC 上一点.连接EF .过E 作EG EF ⊥交平行四边形ABCD 的边于点G .若EF EG ⋅=.请直接写出AG 的长．8.(2023·无锡)如图.四边形ABCD 是边长为4的菱形.60A ∠=︒.点Q 为CD 的中点.P 为线段AB 上的动点.现将四边形PBCQ 沿PQ 翻折得到四边形PB C Q ''．（1）当45QPB ∠=︒时.求四边形BB C C ''的面积；（2）当点P 在线段AB 上移动时.设BP x =.四边形BB C C ''的面积为S .求S 关于x 的函数表达式．9.(2023·武汉)问题提出：如图（1）.E 是菱形ABCD 边BC 上一点.AEF △是等腰三角形.AE EF =.()90,α∠=∠=≥︒AEF ABC a AF 交CD 于点G .探究GCF ∠与α的数量关系．问题探究：（1）先将问题特殊化.如图（2）.当90α=︒时.直接写出GCF ∠的大小；（2）再探究一般情形.如图（1）.求GCF ∠与α的数量关系．问题拓展：（3）将图（1）特殊化.如图（3）.当120α=︒时.若12DG CG =.求BE CE 的值．10.(2023·徐州)【阅读理解】如图1.在矩形ABCD 中.若,AB a BC b ==.由勾股定理.得222AC a b =+.同理222BD a b =+.故()22222AC BD a b+=+．【探究发现】如图2.四边形ABCD 为平行四边形.若,AB a BC b ==.则上述结论是否依然成立？请加以判断.并说明理由．【拓展提升】如图3.已知BO 为ABC 的一条中线.,,AB a BC b AC c ===．求证：222224a b c BO +=-．【尝试应用】如图4.在矩形ABCD 中.若8,12AB BC ==.点P 在边AD 上.则22PB PC +的最小值为_______．11.(2023·黄冈)【问题呈现】CAB △和CDE 都是直角三角形.90,,ACB DCE CB mCA CE mCD ∠=∠=︒==.连接AD .BE .探究AD .BE 的位置关系．（1）如图1.当1m =时.直接写出AD .BE 的位置关系：____________；（2）如图2.当1m ≠时.（1）中的结论是否成立？若成立.给出证明；若不成立.说明理由． 【拓展应用】（3）当4m AB DE ===时.将CDE 绕点C 旋转.使,,A D E 三点恰好在同一直线上.求BE 的长．12.(2023·十堰)过正方形ABCD 的顶点D 作直线DP .点C 关于直线DP 的对称点为点E .连接AE .直线AE 交直线DP 于点F ．（1）如图1.若25CDP ∠=︒.则DAF ∠=___________︒；（2）如图1.请探究线段CD .EF .AF 之间的数量关系.并证明你的结论；（3）在DP 绕点D 转动的过程中.设AF a =.EF b =请直接用含,a b 的式子表示DF 的长．13.(2023·随州)1643年.法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A .B .C .求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置.意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明.该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”.该问题也被称为“将军巡营”问题．（1）下面是该问题的一种常见的解决方法.请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空.①处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空.①处填写角度数.①处填写该三角形的某个顶点） 当ABC 的三个内角均小于120︒时.如图1.将APC △绕.点C 顺时针旋转60︒得到A P C ''.连接PP '.由60PC P C PCP ''=∠=︒，.可知PCP '△为 ① 三角形.故PP PC '=.又P A PA ''=.故PA PB PC PA PB PP A B '''++=++≥.由 ① 可知.当B .P .P '.A 在同一条直线上时.PA PB PC ++取最小值.如图2.最小值为A B '.此时的P 点为该三角形的“费马点”.且有APC BPC APB ∠=∠=∠= ① ； 已知当ABC 有一个内角大于或等于120︒时.“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3.若120BAC ∠≥︒.则该三角形的“费马点”为 ① 点．（2）如图4.在ABC 中.三个内角均小于120︒.且3430AC BC ACB ==∠=︒，，.已知点P 为ABC 的“费马点”.求PA PB PC ++的值；（3）如图5.设村庄A .B .C 的连线构成一个三角形.且已知4km 60AC BC ACB ==∠=︒，，．现欲建一中转站P 沿直线向A .B .C 三个村庄铺设电缆.已知由中转站P到村庄A.B.C的铺设成本分别为a元/km.a元/km元/km.选取合适的P的位置.可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示）14.(2023·东营)（1）用数学的眼光观察．如图.在四边形ABCD 中.AD BC =.P 是对角线BD 的中点.M 是AB 的中点.N 是DC 的中点.求证：PMN PNM ∠=∠．（2）用数学的思维思考．如图.延长图中的线段AD 交MN 的延长线于点E .延长线段BC 交MN 的延长线于点F .求证：AEM F ∠=∠．（3）用数学的语言表达．如图.在ABC 中.AC AB <.点D 在AC 上.AD BC =.M 是AB 的中点.N 是DC 的中点.连接MN 并延长.与BC 的延长线交于点G .连接GD .若60ANM ∠=︒.试判断CGD △的形状.并进行证明．15.(2023·临沂) 如图.90,,,A AB AC BD AB BC AB BD ∠=︒=⊥=+．（1）写出AB 与BD 的数量关系；（2）延长BC 到E .使CE BC =.延长DC 到F .使CF DC =.连接EF ．求证：EF AB ⊥． （3）在（2）的条件下.作ACE ∠的平分线.交AF 于点H .求证：AH FH =．16.(2023· 烟台)如图.点C 为线段AB 上一点.分别以,AC BC 为等腰三角形的底边.在AB 的同侧作等腰ACD 和等腰BCE .且A CBE ∠=∠．在线段EC 上取一点F .使EF AD =.连接,BF DE ．（1）如图1.求证：DE BF =；（2）如图2.若2AD BF =，的延长线恰好经过DE 的中点G .求BE 的长．17.(2023·邵阳)如图.在等边三角形ABC 中.D 为AB 上的一点.过点D 作BC 的平行线DE 交AC 于点E .点P 是线段DE 上的动点（点P 不与D E 、重合）．将ABP 绕点A 逆时针方向旋转60︒.得到ACQ .连接,EQ PQ PQ 、交AC 于F ．（1）证明：在点P 的运动过程中.总有120PEQ ∠=︒． （2）当APDP为何值时.AQF 是直角三角形？18.(2023·湘潭)问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后.进一步进行以下探究活动：在正方形ABCD的边BC上任意取一点G.以BG为边长向外作正方形BEFG.将正方形BEFG绕点B顺时针旋转．特例感知：，相交于点P.小红发现点P恰为DF的中点.如图（1）当BG在BC上时.连接DF AC①．针对小红发现的结论.请给出证明；（2）小红继续连接EG.并延长与DF相交.发现交点恰好也是DF中点P.如图②.根据小∆的形状.并说明理由；红发现的结论.请判断APE规律探究：（3）如图③.将正方形BEFG绕点B顺时针旋转α.连接DF.点P是DF中点.连接AP. EP.AE.APE∆的形状是否发生改变？请说明理由．19.(2023·岳阳)如图1.在ABC 中.AB AC =.点,M N 分别为边,AB BC 的中点.连接MN ．初步尝试：（1）MN 与AC 的数量关系是_________.MN 与AC 的位置关系是_________．特例研讨：（2）如图2.若90,BAC BC ∠=︒=先将BMN 绕点B 顺时针旋转α（α为锐角）.得到BEF △.当点,,A E F 在同一直线上时.AE 与BC 相交于点D .连接CF ．（1）求BCF ∠的度数；（2）求CD 的长．深入探究：（3）若90BAC ∠<︒.将BMN 绕点B 顺时针旋转α.得到BEF △.连接AE .CF ．当旋转角α满足0360α︒<<︒.点,,C E F 在同一直线上时.利用所提供的备用图探究BAE ∠与ABF ∠的数量关系.并说明理由．20.(2023·大连)综合与实践问题情境：数学活动课上.王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质． 已知,90AB AC A =∠>︒.点E 为AC 上一动点.将ABE 以BE 为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：独立思考：小明：“当点D 落在BC 上时.2EDC ACB ∠=∠．”小红：“若点E 为AC 中点.给出AC 与DC 的长.就可求出BE 的长．”实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1.请你回答：问题1：在等腰ABC 中.,90,AB AC A BDE =∠>︒△由ABE 翻折得到．（1）如图1.当点D 落在BC 上时.求证：2EDC ACB ∠=∠；（2）如图2.若点E 为AC 中点.43AC CD ==,.求BE 的长．问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成90A ∠<︒的等腰三角形.可以将问题进一步拓展．问题2：如图3.在等腰ABC 中.90,4,2A AB AC BD D ABD ∠<===∠=∠︒．若1CD =.则求BC 的长．2023年各地中考几何压轴题汇编详解1.(2023·安徽)在Rt ABC △中.M 是斜边AB 的中点.将线段MA 绕点M 旋转至MD 位置.点D 在直线AB 外.连接,AD BD ．（1）如图1.求ADB ∠的大小；（2）已知点D 和边AC 上的点E 满足,ME AD DE AB ⊥∥．（ⅰ）如图2.连接CD .求证：BD CD =；（ⅱ）如图3.连接BE .若8,6AC BC ==.求tan ABE ∠的值．【答案】（1）90ADB ∠=︒ （2）（ⅰ）见解析；（ⅱ）21 【小问1详解】解：①MA MD MB ==.∴,MAD MDA MBD MDB ∠=∠∠=∠.在ABD △中.=180MAD MDA MBD MDB ∠+∠+∠+∠︒. ∴180902ADB ADM BDM ︒∠=∠+∠==︒. 【小问2详解】证明：（ⅰ）证法一：如图.延长BD AC 、.交于点F .则90BCF ∠=︒.∵ME AD ⊥.90ADB ∠=︒.∴EM BD ∥．又∵DE AB ∥.∴四边形BDEM 是平行四边形．∴DE BM =．∵M 是AB 的中点..∴AM BM =．∴DE AM =．∴四边形AMDE 是平行四边形．∵ME AD ⊥.∴AMDE 是菱形．∴AE AM =．∵EM BD ∥. ∴AE AM AF AB=． ∴AB AF =．∵90ADB ∠=︒.即AD BF ⊥.∴BD DF =.即点D 是Rt BCF 斜边的中点．∴BD CD =．证法二：∵90ACB ADB ∠=∠=︒.M 是斜边AB 的中点.∴点A C D B 、、、在以M 为圆心.AB 为直径的M 上．∵ME AD ⊥.∴ME 垂直平分AD ．∴EA ED =．∴EAD EDA ∠=∠．∵DE AB ∥.∴BAD EDA ∠=∠．∴EAD BAD ∠=∠．∴BD CD =．证法三：∵ME AD ⊥.90ADB ∠=︒.∴EM BD ∥．又∵DE AB ∥.∴四边形BDEM 是平行四边形．∴DE BM =．∵M 是AB 的中点.∴AM BM =．∴DE AM =．∴四边形AMDE 是平行四边形．∵ME AD ⊥.∴AMDE 是菱形．∴EAD MAD ∠=∠．∵90ACB ADB ∠=∠=︒.M 是斜边AB 的中点.∴点A C D B 、、、在以M 为圆心.AB 为直径的M 上．∴BD CD =．（2）如图所示.过点E 作EH AB ⊥于点H .①8,6AC BC ==.∴10AB =.则152AE AM AB ===. ∵,90EAH BAC ACB AHE ∠=∠∠=∠=︒.①AHE ACB ∽. ①510EH AH AE BC AC AB ===. ①3,4EH AH ==.∴1046BH AB AH =-=-=.∴31tan 62EH ABE BH ===. 2.(2023·北京)在ABC 中、()045B C αα∠=∠=︒<<︒.AM BC ⊥于点M .D 是线段MC 上的动点（不与点M .C 重合）.将线段DM 绕点D 顺时针旋转2α得到线段DE ．（1）如图1.当点E 在线段AC 上时.求证：D 是MC 的中点；（2）如图2.若在线段BM 上存在点F （不与点B .M 重合）满足DF DC =.连接AE .EF .直接写出AEF ∠的大小.并证明．【答案】（1）见解析 （2）90AEF ∠=︒.证明见解析【小问1详解】证明：由旋转的性质得：DMDE =.2MDE α∠=.∵C α∠=.∴D DEC M E C α∠-∠∠==.∴C DEC ∠=∠.∴DE DC =.∴DM DC =.即D 是MC 的中点；【小问2详解】 90AEF ∠=︒；证明：如图2.延长FE 到H 使FE EH =.连接CH .AH .∵DF DC =.∴DE 是FCH ∆的中位线.∴DE CH ∥.2CH DE =.由旋转的性质得：DMDE =.2MDE α∠=.∴2FCH α∠=.∵B C α∠=∠=.∴ACH α∠=.ABC 是等腰三角形.∴B ACH ∠∠=.AB AC =.设DM DE m ==.CD n =.则2CH m =.CM m n =+.∴DF CD n ==.∴FM DF DM n m =-=-.∵AM BC ⊥.∴BM CM m n ==+.∴()2BF BM FM m n n m m =-=+--=.∴CH BF =.在ABF △和ACH 中.AB AC B ACH BF CH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩.∴()SAS ABF ACH ≅.∴AF AH =.∵FE EH =.∴AE FH ⊥.即90AEF ∠=︒．3.(2023·福建)如图1.在ABC 中.90,,BAC AB AC D ∠=︒=是AB 边上不与,A B 重合的一个定点．AO BC ⊥于点O .交CD 于点E ．DF 是由线段DC 绕点D 顺时针旋转90︒得到的.,FD CA 的延长线相交于点M ．（1）求证：ADE FMC △∽△；（2）求ABF ∠的度数；（3）若N 是AF 的中点.如图2．求证：ND NO =．【答案】（1）见解析 （2）135ABF ∠=︒ （3）见解析.【小问1详解】解： DF 是由线段DC 绕点D 顺时针旋转90︒得到的.45DFC ∴∠=︒.,AB AC AO BC =⊥.12BAO BAC ∴∠=∠． 90BAC ∠=︒.45BAO ABC ∴∠=∠=︒．BAO DFC ∴∠=∠．90,90EDA ADM M ADM ︒∠+∠︒=∠+∠=.EDA M ∴∠=∠．ADE FMC ∴△∽△．【小问2详解】解：如图1：设BC 与DF 的交点为I .45,DBI CFI BID FIC ︒∠=∠=∠=∠.BID FIC ∴△∽△.BI DI FI CI∴=. BI FI DI CI ∴=． BIF DIC ∠=∠.BIF DIC ∴△∽△.IBF IDC ∴∠=∠．又90IDC =︒∠.90IBF ∴∠=︒．45,ABC ABF ABC IBF ∠=∠︒=∠+∠.135ABF ∴∠=︒．【小问3详解】解：如图2：延长ON 交BF 于点T .连接,DT DO .90FBI BOA ∠︒∠==.BF AO ∴∥.FTN AON ∴∠=∠． N 是AF 的中点.AN NF ∴=．又TNF ONA ∠=∠.TNF ONA ∴△≌△.,NT NO FT AO ∴==．90,,BAC AB AC AO BC =︒∠=⊥.AO CO ∴=.FT CO ∴=．由（2）知.BIF DIC △∽△.DFT DCO ∴∠=∠．DF DC .DFT DCO ∴△≌△.,DT DO FDT CDO ∴=∠=∠.FDT FDO CDO FDO ∴∠+∠=∠+∠.即ODT CDF ∠=∠．90CDF ∠=︒.90ODT CDF ∴∠=∠=︒.12ND TO NO ∴==. 4.(2023·广西) 如图.ABC 是边长为4的等边三角形.点D .E .F 分别在边AB .BC .CA 上运动.满足AD BE CF ==．（1）求证：ADF BED ≌；（2）设AD 的长为x .DEF 的面积为y .求y 关于x 的函数解析式；（3）结合（2）所得的函数.描述DEF 的面积随AD 的增大如何变化．【答案】（1）见详解 ; （2）24y x =-+ ; （3）当24x <<时.DEF 的面积随AD 的增大而增大.当02x <<时.DEF 的面积随AD 的增大而减小.【小问1详解】证明：∵ABC 是边长为4的等边三角形.∴60∠=∠=∠=︒A B C .4AB BC AC ===.∵AD BE CF ==.∴AF BD CE ==.在ADF △和BED 中.AF BD A B AD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩.∴()SAS ADF BED ≌；【小问2详解】解：分别过点C 、F 作CH AB ⊥.FG AB ⊥.垂足分别为点H 、G .如图所示：在等边ABC 中.60A B ACB ∠=∠=∠=︒.4AB BC AC ===.∴sin 60CH AC =⋅︒=∴12ABCSAB CH =⋅= 设AD 的长为x .则AD BE CF x ===.4AF x =-.∴)sin 6042FG AF x =⋅︒=-.∴()142ADFSAD FG x =⋅=-. 同理（1）可知ADF BED CFE ≌≌. ∴()344ADFBEDCFESSSx x ===-. ∵DEF 的面积为y .∴()234444ABCADFy SSx xx =-=-=-+ 【小问3详解】 解：由（2）可知：2y x=-+∴04a =>.对称轴为直线2x ==. ∴当2x >时.y 随x 的增大而增大.当2x <时.y 随x 的增大而减小；即当24x <<时.DEF 的面积随AD 的增大而增大.当02x <<时.DEF 的面积随AD 的增大而减小．5.(2023·河北)如图1和图2.平面上.四边形ABCD 中.8,12,6,90AB BC CD DA A ====∠=︒.点M 在AD 边上.且2DM =．将线段MA 绕点M 顺时针旋转(0180)n n ︒<≤到,MA A MA ''∠的平分线MP 所在直线交折线—AB BC 于点P .设点P 在该折线上运动的路径长为(0)x x >.连接A P '．（1）若点P 在AB 上.求证：A P AP '=； （2）如图2．连接BD ．①求CBD ∠的度数.并直接写出当180n =时.x 的值； ①若点P 到BD 的距离为2.求tan A MP '∠的值；（3）当08x <≤时.请直接．．写出点A '到直线AB 的距离．（用含x 的式子表示）． 【答案】（1）见解析 （2）①90CBD ∠=︒.13x =；①76①236 .（3）22816x x +. 【小问1详解】①将线段MA 绕点M 顺时针旋转()0180n n ︒<≤到MA '. ①A M AM '=.①A MA '∠的平分线MP 所在直线交折线AB BC -于点P . ①A MP AMP '∠=∠. 又①PM PM =.①)('SAS AMP MP A ∆≅∆. ①A P AP '=； 【小问2详解】①①8AB =.6DA =.90A ∠=︒.①10BD ==.①=BC 12CD =.①(222210144BC BD +=+=.2212144CD ==.①222BC BD CD +=. ①90CBD ∠=︒； 如图所示.当180n =时.①PM 平分A MA '∠. ①90PMA ∠=︒. ①PM AB ∥.①DNM ∆∽DBA ∆. ①DN DM MNDB DA BA ==. ①2DM =.6DA =. ①21068DN MN==. ①103DN =.83MN =.①203BN BD DN =-=. ①90PBN NMD ∠=∠=︒.PNB DNM ∠=∠. ①PBN ∆∽DMN ∆.①PB BNDM MN=.即203823PB =. ①解得5PB =.①8513x AB PB =+=+=．①如图所示.当P 点在AB 上时.2PQ =.A MP AMP '∠=∠.∵8,6,90AB DA A ==∠=︒.∴10BD ==.63sin 105AD DBA BD ∠===. ∴2103sin 35BQ BP DBA ===∠.①1014833AP AB BP =-=-= ∴1473tan tan 46AP A MP AMP AM '∠=∠===； 如图所示.当P 在BC 上时.则2PB =.过点P 作PQ AB ⊥交AB 的延长线于点Q .延长MP 交AB 的延长线于点H .∵90PQB CBD DAB ∠=∠=∠=︒. ①90QPB PBQ DBA ∠=︒-∠=∠. ①PQB BAD ∽.∴PQ QB PBBA AD BD ==. 即8610PQ QB PB==.∴4855PQ PB ==.3655BQ PB ==. ∴465AQ AB BQ =+=. ∵,PQ AB DA AB ⊥⊥. ∴PQ AD ∥. ∴HPQ HMA ∽.∴HQ PQHA AM=. ∴854645HQHQ =+. 解得：9215HQ =. ∴922315tan tan tan 865HQ A MP AMP QPH PQ '∠=∠=∠===. 综上所述.tan A MP '∠的值为76①236① 【小问3详解】 解：①当08x <≤时. ∴P 在AB 上.如图所示.过点A '作A E AB '⊥交AB 于点E .过点M 作MF A E '⊥于点F .则四边形AMFE 是矩形.①AE FM =.4EF AM ==.①A MP AMP '≌. ①90PA M A '∠=∠=︒. ①90PA E FA M ''∠+∠=︒. 又90A MF FA M ''∠+∠=︒. ∴PA E A MF ''∠=∠. 又∵90A EP MFA ''∠=∠=︒. ∴A PE MA F ''∽. ∴A P PE A EMA A F FM''==''. ∵A P AP x '==.4MA MA '==.设FM AE y ==.A E h '=即44x x y h h y-==-. ∴4hy x=.()()44x y x h -=-. ∴()444h x x h x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 整理得22816x h x =+. 即点A '到直线AB 的距离为22816x x +．6.(2023·山西)问题情境：“综合与实践”课上.老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开.得到两个全等的三角形纸片.表示为ABC 和DFE △.其中90,ACB DEF A D ∠=∠=︒∠=∠．将ABC 和DFE △按图2所示方式摆放.其中点B 与点F 重合（标记为点B ）．当ABE A ∠=∠时.延长DE 交AC 于点G ．试判断四边形BCGE 的形状.并说明理由．（1）数学思考：谈你解答老师提出的问题；（2）深入探究：老师将图2中的DBE 绕点B 逆时针方向旋转.使点E 落在ABC 内部.并让同学们提出新的问题．①“善思小组”提出问题：如图3.当ABE BAC ∠=∠时.过点A 作AM BE ⊥交BE 的延长线于点,M BM 与AC 交于点N ．试猜想线段AM 和BE 的数量关系.并加以证明．请你解答此问题；①“智慧小组”提出问题：如图4.当CBE BAC ∠=∠时.过点A 作AH DE ⊥于点H .若9,12BC AC ==.求AH 的长．请你思考此问题.直接写出结果．【答案】（1）正方形.见解析 .（2）①AM BE =.见解析；①275. 【小问1详解】解：四边形BCGE 为正方形．理由如下： ①90BED ∠=︒.①18090BEG BED ∠=︒-∠=︒． ①ABE A ∠=∠. ①AC BE ∥．①90CGE BED ∠=∠=︒． ①90C ∠=︒.①四边形BCGE 为矩形． ①ACB DEB ≅. ①BC BE =．①矩形BCGE 为正方形． 【小问2详解】 ：①AM BE =．证明：①ABE BAC ∠=∠. ①AN BN =． ①90C ∠=︒. ①BC AN ⊥．①AM BE ⊥.即AM BN ⊥. ①1122ABN S AN BC BN AM =⋅=⋅△． ①AN BN =. ①BC AM =．由（1）得BE BC =. ①AM BE =．①解：如图：设,AB DE 的交点为M .过M 作MG BD ⊥于G . ①ACB DEB ≅.①9,12BE BC DE AC ====.A D ABC DBE ∠=∠∠=∠，. ①CBE DBM ∠=∠； ①CBE BAC ∠=∠. ①D BAC ∠=∠. ①MD MB =. ①MG BD ⊥. ①点G 是BD 的中点；由勾股定理得15AB ==.①11522DG BD ==； ①cos DG DED DM BD∠==.①1515752128DG BD DM DE ⨯⋅===.即758BM DM ==； ①75451588AM AB BM =-=-=； ①,AH DE BE DE ⊥⊥.AMH BME ∠=∠. ①AMH BME .①35AH AM BE BM ==. ①33279555AH BE ==⨯=.即AH 的长为275．7.(2023·深圳)（1）如图.在矩形ABCD 中.E 为AD 边上一点.连接BE . ①若BE BC =.过C 作CF BE ⊥交BE 于点F .求证：ABE FCB ≌△△； ②若20ABCD S =矩形时.则BE CF ⋅=______．（2）如图.在菱形ABCD 中.1cos 3A =.过C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E .过E 作EF AD ⊥交AD 于点F .若24ABCD S =菱形时.求EF BC ⋅的值．（3）如图.在平行四边形ABCD 中.60A ∠=︒.6AB =.5AD =.点E 在CD 上.且2CE =.点F 为BC 上一点.连接EF .过E 作EG EF ⊥交平行四边形ABCD 的边于点G .若EF EG ⋅=.请直接写出AG 的长．【答案】（1）①见解析；②20；（2）32；（3）3或4或32. 【详解】解：（1）①①四边形ABCD 是矩形.则90A ABC ∠=∠=︒. ①90ABE CBF ∠+∠=︒. 又①CF BC ⊥.∴90FCB CBF ∠+∠=︒.90CFB A ∠=∠=︒. ∴FCB ABE ∠=∠. 又∵BC BE =. ∴ABE FCB ≌△△；②由①可得FCB ABE ∠=∠.90CFB A ∠=∠=︒. ∴∽ABE FCB . ∴AB BE CF BC=. 又∵20ABCD S AB CD =⋅=矩形.∴20BE CF AB BC ⋅=⋅=.故答案为：20．（2）①在菱形ABCD 中.1cos 3A =. ∴AD BC ∥.AB BC =.则CBE A ∠=∠.①CE AB ⊥.①90CEB ∠=︒. ①cos BE CBE CB∠=. ∴1cos cos 3BE BC CBE BC A BC =⋅∠=⨯∠=. ①114333AE AB BE AB BC AB AB AB =+=+=+=. ①EF AD ⊥.CE AB ⊥.①90AFE BEC ∠=∠=︒.又CBE A ∠=∠.①AFE BEC △∽△. ∴AE EF AF BC CE BE==. ∴EF BC ⋅2443342433ABCD AE CE AB CE S =⨯==⨯⋅==菱形； （3）①当点G 在AD 边上时.如图所示.延长FE 交AD 的延长线于点M .连接GF .过点E 作EH DM ⊥于点H .①平行四边形ABCD 中.6AB =.2CE =.∴6CD AB ==.624DE DC EC =-=-=.①DM FC ∥.①EDM ECF ∽. ∴422EM ED EF EC ===. ∴2MGE FEG S EM SEF ==. ∴2MGE EFGS S ==EF EG ⋅=在Rt DEH △中.60HDE A ∠=∠=︒.则4EH ===.122DH DE ==. ∴12MG HE ⨯= ∴7MG =.∵,GE EF EH MG ⊥⊥.∴90MEH HEG HGE ∠=︒-∠=∠.∴tan tan MEH HGE ∠=∠.∴HE HM HG HE=. ∴2HE HM HG =⋅.设AG a =.则5GD AD AG a =-=-.527GH GD HD a a =+=-+=-.()77HM GM GH aa =-=--=.∴(()27x x =-.解得：3a =或4a =.即3AG =或4AG =.②当G 点在AB 边上时.如图所示.连接GF .延长GE 交BC 的延长线于点M .过点G 作GN AD ∥.则GN BC ∥.四边形ADNG 是平行四边形.设AG x =.则DN AG x ==.4EN DE DN x =-=-.①GN CM ∥.∴ENG ECM ∽. ∴42EG EN GN x EM EC CM -===. ∴21044GN CM x x ==--. ∴42GEF MEF S EG x S EM -==. ∵EF EG⋅=∴244GEF MEF S S x x==--. 过点E 作EH BC ⊥于点H .在Rt EHC △中.2,60ECECH =∠=︒.①EH =1CH =.①12MEF S MF EH =⨯⨯.则12MF = ∴144MF x =-. ∴14101444x FH MF CM CH x x x=--=--=---.1014144x MH CM CH x x-=+=+=--. 90MEF EHM ∠=∠=︒.∴90FEH MEH M ∠=︒-∠=∠.∴tan tan FEH M ∠=∠. 即FH EH EH HM=. ∴2EH FH HM =⋅.即21444x x x x-=⨯--. 解得：123,82x x ==（舍去）. 即32AG =； ③当G 点在BC 边上时.如图所示.过点B 作BT DC ⊥于点T .在Rt BTC 中.1522CT BC ==.2BT ==.∴115222BTC S BT TC =⨯==∵EF EG ⋅=∴EFG S =< ∴G 点不可能在BC 边上. 综上所述.AG 的长为3或4或32． 8.(2023·无锡)如图.四边形ABCD 是边长为4的菱形.60A ∠=︒.点Q 为CD 的中点.P 为线段AB 上的动点.现将四边形PBCQ 沿PQ 翻折得到四边形PB C Q ''．（1）当45QPB ∠=︒时.求四边形BB C C ''的面积；（2）当点P 在线段AB 上移动时.设BP x =.四边形BB C C ''的面积为S .求S 关于x 的函数表达式．【答案】（1）8（2）212S x =++ 【小问1详解】如图.连接BD 、BQ .四边形ABCD 为菱形.∴4CB CD ==.60A C ∠=∠=︒.∴BDC 为等边三角形． Q 为CD 中点.∴2CQ =.BQ CD ⊥.∴BQ =QB PB ⊥．45QPB ∠=︒.∴PBQ 为等腰直角三角形.∴PB =PQ =翻折.∴90BPB ∠='︒.PB PB '=.∴BB '=PE =同理2CQ =.∴CC '=QF = ∴((2211122228222PBB CQC BB C C PBCQ S S SS ''''=-+=⨯⨯+⨯⨯+⨯=四边形梯形；【小问2详解】 如图2.连接BQ 、B Q '.延长PQ 交CC '于点F ．PB x =.BQ =90PBQ ∠=︒.∴PQ=．∵1122PBQS PQ BE PB BQ =⨯=⨯.∴BQ PBBEPQ⨯==.∴QE=.∴21212QEBSx==+．90BEQ BQC QFC∠=∠=∠=︒.则90EQB CQF FCQ∠=︒-∠=∠.∴BEQ QFC~.∴2213QFCBEQS CQS QB⎛⎫===⎪⎝⎭.∴QFCS=．∵122BQCS=⨯⨯=∴()22222121212QEB BQC QFCS S S Sx x x⎛⎫=++=+=+⎪⎪+++⎝⎭．9.(2023·武汉)问题提出：如图（1）.E是菱形ABCD边BC上一点.AEF△是等腰三角形.AE EF=.()90,α∠=∠=≥︒AEF ABC a AF交CD于点G.探究GCF∠与α的数量关系．问题探究：（1）先将问题特殊化.如图（2）.当90α=︒时.直接写出GCF ∠的大小； （2）再探究一般情形.如图（1）.求GCF ∠与α的数量关系． 问题拓展：（3）将图（1）特殊化.如图（3）.当120α=︒时.若12DG CG =.求BE CE 的值． 【答案】（1）45︒（2）3902GCF α∠=-︒ （3）23BE CE = 【解析】【小问1详解】延长BC 过点F 作FH BC ⊥.∵90BAE AEB ∠+∠=︒.90FEH AEB ∠+∠=︒.∴BAE FEH ∠=∠.在EBA △和FHE 中ABE EHF BAE FEH AE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE BHF ≌.∴AB EH =.BE FH =.∴BC EH =.∴BE CH FH .∴045=∠=∠FCH GCF ．故答案为：45︒．【小问2详解】解：在AB 上截取AN .使AN EC =.连接NE ．180∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒ABC BAE AEB AEF FEC AEB . ABC AEF ∠=∠.∴∠=∠EAN FEC ．AE EF =.∴△≌△ANE ECF ．∴∠=∠ANE ECF ．,AB BC =BN BE ∴=α∠=EBN .1902α︒∴∠=-BNE ． ∴∠=∠-∠=∠-∠GCF ECF BCD ANE BCD()139********ααα⎛⎫=︒+-︒-=-︒ ⎪⎝⎭．【小问3详解】解：过点A 作CD 的垂线交CD 的延长线于点P .设菱形的边长为3m . 1,2DG CGm CG m DG 2==∴，．在Rt ADP 中.0120=∠=∠ABC ADC .60ADP ∴∠=︒.3,2∴==PD m AP ． 120α=︒.由（2）知.390902∠=-︒=︒GCF a ．FGC AGP ∠=∠ .FCG ∽∆∆∴APG ． ∴=AP PG CF CG. 5222=m CF m.5CF m ∴=. 在AB 上截取AN .使AN EC =.连接NE .作BO NE ⊥于点O ． 由（2）知.ANE ECF △≌△.①NE CF =.∵AB BC =.∴BN BE =.12OE EF EN ===． ∵120ABC ∠=︒.∴30BNE BEN ∠=∠=︒. BE OE =0cos30 . ∴6,5BE m m CE 59= . 23BE CE ∴=．。

相关文档
最新文档