【全国市级联考】北京市顺义区2018届高三第二次统练（二模）数学理试题
【全国市级联考】北京市顺义区2018届高三第二次
统练（二模）数学理试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 设集合，，则
A．B．C．D．
2. 若满足则的最大值为
A．1 B．3 C．4
D．
3. 执行如图所示的程序框图，输出的值为
A．2 B．3 C．4 D．5
4. 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是( )
C．D．
A．B．
5. 已知直线,其中在平面内.则“”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6. 若a=log3，b=log39.1，c=20.8，则a，b，c的大小关系为（）A．B．C．D．
7. 已知是正△的中心．若，其中，，则的值为（）
D．2
A．B．C．
8. 已知点．若曲线上存在两点，使为正三角形，则称为“正三角形”曲线．给定下列三条曲线：
①；②；③．
其中，“正三角形”曲线的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
9. 若,则_____
10. 已知为等差数列，为其前项和，若，则
_______.
三、双空题
11. 设双曲线经过点(4,1),且与具有相同渐近线,则的方程为________________;渐近线方程为__________________.
四、填空题
12. 曲线为参数)的对称中心到直线的距离为
_____.
13. 在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,他们的终边关于轴对称,若,则______.
五、双空题
14. 已知是集合是非空子集，且当时，有．记满足条件的集合的个数为，则__________；
__________．
六、解答题
15. 在中，内角所对的边分别为.已知，，
的面积为9.
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求及的值.
16. 如图，在正三棱柱中，侧棱长和底面边长均为1，是的中点．
（1）求证：∥平面；
（2）求与平面所成角的正弦值；
（3）试问线段上是否存在点，使？若存在，求的
值，若不存在，说明理由．
17. 已知函数，其中．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若不等式在定义域内恒成立，求实数的取值范围．
18. 已知椭圆的左焦点为，左顶点为，离心率为，点
满足条件.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于两点，记和的面积分别为，证明：.
19. 已知数列.如果数列满足，
，其中，则称为的“陪伴数列”.
（Ⅰ）写出数列的“陪伴数列”；
（Ⅱ）若的“陪伴数列”是.试证明：成等差数列.
（Ⅲ）若为偶数，且的“陪伴数列”是，证明：.。
2019年4月北京市顺义区高三理科顺义区2019届高三第二次统练理科数学试卷参考答案顺义二模
顺义区2019届高三第二次统练数学试卷答案(理科)一、A B A D C B B D 二、填空题9. 1+i 10. 060 11. 141622=-y x ,x y 21±=. 12. 54-. 13. )21,2( (答案不唯一) 14. 9, 4三、解答题15解(Ⅰ)在△ABC 中,由余弦定理得A bc c b a cos 2222-+=,-----------------2分 所以2138238222⨯⨯⨯-+=a =49,即7=a . --------------------------- 4分 由正弦定理CcA a sin sin =, --------------------------- 6分 得14337233sin sin =⨯==aAc C . --------------------------- 8分 (Ⅱ)在△ABC 中,BC边上的高为sin 8b C ==.:------------13分 或法2：ABC 1=sin 2s bc A ∆=又ABC 1=BC h 2S ∆⋅,所以h = 16.(Ⅰ)证明:∵平面⊥PCD 平面ABCD平面 PCD 平面CD ABCD =⊂AD 平面ABCD CD AD ⊥∴⊥AD 平面PCD --------------------------- 4分(Ⅱ)取CD 的中点O ,连结OB ,OP ∵PD PC = ∴CD OP ⊥∵CD AB 21=,∴OD AB =又∵ 90=∠=∠ADC BAD ∴四边形ABOD 是平行四边形 ∴AD OB // ∴OC OB ⊥ ∵⊥AD 平面PCD ∴OP AD ⊥ ∴OP OB ⊥建立如图所示空间直角坐标系xyz O -, ----------------------------------------5分 则)0,1,1(-A ,)0,0,1(B ,)0,1,0(C ,)3,0,0(P ,)23,21,0(-M .)23,23,0(-=CM ,)0,1,1(-=CB 设),,(z y x m =为平面MBC 的一个法向量,由 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0CB m得⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-002323y x z y 令1=x ,得1=y ,3=z ,所以)3,1,1(=m ------------------------------------7分因为z 轴垂直于平面BCD ,所以取平面BCD 的一个法向量)1,0,0(=n -------------------------------------------------8分515153,cos =⨯=>=<------------------------------------------------9分所以二面角D BC M --的余弦值为515. --------------------------- 10分(Ⅲ)解：直线CM 与平面PAB 不平行,--------------------------------------------11分理由如下：)0,1,0(=)3,0,1(-=设),,(z y x v =为平面PAB 的一个法向量,由 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0得⎩⎨⎧=-=030z x y 令1=z ,得3=x ,所以)1,0,3(=v 023)1,0,3()23,23,0(≠=⋅-=⋅ --------------------------------------------13分所以CM 与v 不垂直,又因为⊄CM 平面PAB所以直线CM 与平面PAB 不平行. ------------------------------------------14分 或法2：(反证法)假设//CM PAB 面,因为D //C PAB 面,且CM CD C ⋂= 所以//PAB PCD 面面,又PAB=P PCD ⋂面面(矛盾) 所以假设不成立,故直线CM 与平面PAB 不平行.17. 解：(Ⅰ)记“在2008年和2018年都达到了“富裕” 或更高生活质量”为事件M .因为在2008年和2018年都达到了“富裕” 或更高生活质量的只有家庭C.所以51)(=M P------------------------------------------4分 (Ⅱ) X 的可能取值为1,2,3103)1(352213===C C C X P ,106)2(351223===C C C X P ,101)3(350233===C C C X P------------------------------------------10分X 的分布列为：分(Ⅲ)生活质量方差最大的家庭是C,方差最小的家庭是E.------------------------------------------13分18. 解：(I)因为点()1,1在曲线()y f x =上,所以1a =,()ln f x x=------------------------------------------1分又()1f x x'=-=,------------------------------------------3分 所以()112f '=-------------------------------------------4分在该点处曲线的切线方程为()1112y x -=--即230x y +-=------------------------------------------5分(II)定义域为()0,+∞,()1222f x x x x '=-=--------------------------------------6分 讨论：(1)当0a ≤时,()0f x '<此时()f x 在()0,+∞上单调递减,所以不存在极小值------------------------------8分 (2)当0a >时,令()=0f x '可得24=x a------------------------------------------9分 列表可得所以()f x 在240,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在24,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增----------------------11分 所以()24=f x f a ⎛⎫⎪⎝⎭极小值=242ln a -,所以242ln a -=2解得()2a =舍负------------------------------------------13分19. 解：(I)设()()1122,,,M x y N x y ,则依题意可知：2211224,4y x y x ==相减可得：22121244y y x x -=-即()()()1212124y y y y x x -+=-又124y y +=,所以12121y y k x x -==-,即直线MN 的斜率为1.------------------------------------------4分(II)由(I)知直线MN 的斜率为1,所以可设直线MN 的方程为y x a =+ 讨论：当(1)()()1122,,,M x y N x y 在x 轴异侧时,由OBM OBN ∠=∠知0BM BN k k +=,---------------------6分又1212,22BM BN y y k k x x ==++所以1212022y y x x +=++即()()()()12211222022y x y x x x +++=++ --------------------7分 又1122,y x a y x a =+=+,所以()()()()1221220x a x x a x +++++= 化简得()()12122240x x a x x a ++++=(1) ---------------------8分联立方程组24y x a y x=+⎧⎨=⎩消去y 得()22240x a x a +-+=所以1242x x a +=-,212x x a =---------------------12分代入(1)式可得2a =-所以直线MN 的方程为2y x =---------------------13分(2)当()()1122,,,M x y N x y 在x 轴同侧时,由OBM OBN ∠=∠知=BM BN k k即直线MN 过点B,所以此时直线方程为2y x =+,经验证,此时直线与抛物线无交点,故舍去 --------------------14分综上可知：直线MN 的方程为2y x =-.20. 解：(Ⅰ)由{}n b 是“平方等差数列”,121,2b b ==,有22213D =-=,于是2232437b b D =+=+=, 22437310b b D =+=+=------------------------------------------4分 (Ⅱ)设数列是等比数列,所以,(为公比且)则,若为“平方等差数列”,则有2222222422(2)21111(1)n n n n n a a a q a q a q q D -----=-=-=(D 为与无关的常数)所以21q =, 即或.-------------------------------------8分{}n a 11n n a a q -=q 0q ≠22221n n a a q -={}n a n 1q =1q =-(Ⅲ)因为数列{}n c 是“平方等差数列”,122,0n c c c ==>,则4D =,221(1)44(1)4n c c n D n n=+-=+-=∴nc =所以数列1n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和 -------------------------------------10分假设存在正整数,p k使不等式1)12n+++>对一切都成立.1)n++> 当时, 11)>,∴94p k +<又,p k 为正整数, ∴1p k ==.------------------------------------------11分对一切都成立.所以存在1pk ==使不等式1n T>对一切都成立.(注：也可用数学归纳法证明)------------------------------------------13分n 1...2nT =++*n N ∈1n =...1)+++>*n N ∈*)n N =>=∈...1)...1)+>+++=*n N ∈。
北京市顺义区高考数二模试卷解析版
2018-2019学年北京市顺义区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．若集合A={﹣2，0，1}，B={x|x＜﹣1或x＞0}，则A∩B=（）A．{﹣2}B．{1}C．{﹣2，1}D．{﹣2，0，1}2．二项式的展开式的第二项是（）A．6x4B．﹣6x4C．12x4 D．﹣12x43．已知实数x，y满足则2x+y的最小值为（）A．11 B．3 C．4 D．24．圆x2+y2﹣2y=0与曲线y=|x|﹣1的公共点个数为（）A．4 B．3 C．2 D．05．已知{a n}为无穷等比数列，且公比q＞1，记S n为{a n}的前n项和，则下面结论正确的是（）A．a3＞a2B．a1+a2＞0C．是递增数列D．S n存在最小值6．已知f（x）是R上的奇函数，则“x1+x2=0”是“f（x1）+f（x2）=0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是（）A．①B．①②C．②③D．①②③8．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为x1，x2，x3，x4，大圆盘上所写的实数分别记为y1，y2，y3，y4，如图所示．将小圆盘逆时针旋转i（i=1，2，3，4）次，每次转动90°，记T i（i=1，2，3，4）为转动i次后各区域内两数乘积之和，例如T1=x1y2+x2y3+x3y4+x4y1．若x1+x2+x3+x4＜0，y1+y2+y3+y4＜0，则以下结论正确的是（）A．T1，T2，T3，T4中至少有一个为正数B．T1，T2，T3，T4中至少有一个为负数C．T1，T2，T3，T4中至多有一个为正数D．T1，T2，T3，T4中至多有一个为负数二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．在二项式的展开式中，常数项等于______．10．设x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值是______．11．执行如图所示的程序框图，输出的S值为______．12．设双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=x，则其离心率为______；若点（4，2）在C上，则双曲线C的方程为______．13．如图，△ABC为圆内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC，过点A做圆的切线与DB 的延长线交于点E，AD与BC交于点F，若AB=AC=4，BD=5，则=______；AE=______．14．在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优．若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影，已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部，就称此部电影为优秀影片，那么在这10部微电影中，最多可能有______部优秀影片．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f（x）=（1+tanx）cos2x．（1）若α为第二象限角，且sina=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的定义域和值域．16．某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）写出a的值；（2）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（3）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列和数学期望．17．如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为BC，DA的中点，将正方形ABCD沿着线段EF折起，使得∠DFA=60°，设G为AF的中点．（1）求证：DG⊥EF；（2）求直线GA与平面BCF所成角的正弦值；（3）设P，Q分别为线段DG，CF上一点，且PQ∥平面ABEF，求线段PQ长度的最小值．18．设a∈R，函数f（x）=．（1）若函数f（x）在（0，f（0））处的切线与直线y=3x﹣2平行，求a的值；（2）若对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f（x2）＜f（x1），求a的取值范围．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点B（0，m）（m＞0）的直线l与椭圆C相交于E，F两点，点B关于原点的对称点为D，若点D总在以线段EF为直径的圆内，求m的取值范围．20．已知任意的正整数n都可唯一表示为n=a0•2k+a+…+a+a k•20，其中a0=1，a1，a2，…，a k∈{0，1}，k∈N．对于n∈N*，数列{b n}满足：当a0，a1，…，a k中有偶数个1时，b n=0；否则b n=1，如数5可以唯一表示为5=1×22+0×21+1×20，则b5=0．（1）写出数列{b n}的前8项；（2）求证：数列{b n}中连续为1的项不超过2项；（3）记数列{b n}的前n项和为S n，求满足S n=1026的所有n的值．（结论不要求证明）2018-2019学年北京市顺义区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．若集合A={﹣2，0，1}，B={x|x＜﹣1或x＞0}，则A∩B=（）A．{﹣2}B．{1}C．{﹣2，1}D．{﹣2，0，1}【考点】1E：交集及其运算．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={﹣2，0，1}，B={x|x＜﹣1或x＞0}，∴A∩B={﹣2，1}．故选：C．2．二项式的展开式的第二项是（）A．6x4B．﹣6x4C．12x4 D．﹣12x4【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：二项式的展开式的第二项==﹣12x4．故选：D．3．已知实数x，y满足则2x+y的最小值为（）A．11 B．3 C．4 D．2【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出可行域，设z=2x+y，利用目标函数的几何意义其最小值．【解答】解：由已知得到平面区域如图：设z=2x+y，则y=﹣2x+z，由它在y轴的截距最小，得到z最小，由图可知当直线过A（0，3）时，z 最小，所以最小值为3；故选：B．4．圆x2+y2﹣2y=0与曲线y=|x|﹣1的公共点个数为（）A．4 B．3 C．2 D．0【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】求出圆心到直线的距离，即可得出结论．【解答】解：圆x2+y2﹣2y=0，可得x2+（y﹣1）2=1，圆心为（0，1），半径为1，圆心（0，1）到直线y=x﹣1的距离d==＞1，圆心（0，1）到直线y=﹣x﹣1的距离d==＞1，∴圆x2+y2﹣2y=0与曲线y=|x|﹣1的公共点个数为0，故选D．5．已知{a n}为无穷等比数列，且公比q＞1，记S n为{a n}的前n项和，则下面结论正确的是（）A．a3＞a2B．a1+a2＞0C．是递增数列D．S n存在最小值【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】在A中，当a1＜0时，a3＜a2；在B中，当a1＜0时，a1+a2＜0；在C 中，是递增数列；在D中，当a1＜0时，S n不存在最小值．【解答】解：由{a n}为无穷等比数列，且公比q＞1，记S n为{a n}的前n项和，知：在A中，当a1＜0时，a3＜a2，故A错误；在B中，当a1＜0时，a1+a2＜0，故B错误；在C中，=，∴是递增数列，故C正确；在D中，当a1＜0时，S n不存在最小值，故D错误．故选：C．6．已知f（x）是R上的奇函数，则“x1+x2=0”是“f（x1）+f（x2）=0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，∴若x1+x2=0，则x1=﹣x2，则f（x1）=f（﹣x2）=﹣f（x2），即f（x1）+f（x2）=0成立，即充分性成立，若f（x）=0，满足f（x）是奇函数，当x1=x2=2时，满足f（x1）=f（x2）=0，此时满足f（x1）+f（x2）=0，但x1+x2=4≠0，即必要性不成立，故“x1+x2=0”是“f（x1）+f（x2）=0”的充分不必要条件，故选：A．7．现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是（）A．①B．①②C．②③D．①②③【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】根据题意，画出编号为①、②、③的三棱锥的直观图，判断是否存在侧面与底面互相垂直的情况即可．【解答】解：编号为①的三棱锥，其直观图可能是①，其侧棱VC⊥底面ABC，∴侧面VAC⊥底面ABC，满足条件；编号为②的三棱锥，其直观图可能是②，其侧面PBC⊥平面ABC，满足条件；编号为③的三棱锥，其直观图可能为③，其中不存在侧面与底面互相垂直的情况．综上，满足题意的序号是①②．故选：B．8．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为x1，x2，x3，x4，大圆盘上所写的实数分别记为y1，y2，y3，y4，如图所示．将小圆盘逆时针旋转i（i=1，2，3，4）次，每次转动90°，记T i（i=1，2，3，4）为转动i次后各区域内两数乘积之和，例如T1=x1y2+x2y3+x3y4+x4y1．若x1+x2+x3+x4＜0，y1+y2+y3+y4＜0，则以下结论正确的是（）A．T1，T2，T3，T4中至少有一个为正数B．T1，T2，T3，T4中至少有一个为负数C．T1，T2，T3，T4中至多有一个为正数D．T1，T2，T3，T4中至多有一个为负数【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】由（x1+x2+x3+x4）（y1+y2+y3+y4）═T1+T2+T3+T4＞0即可得到T1，T2，T3，T4中至少有一个为正数．【解答】解：由题意可知：（x1+x2+x3+x4）（y1+y2+y3+y4）＞0，则（x1+x2+x3+x4）（y1+y2+y3+y4）=x1y1+x1y2+x1y3+x1y4+x2y1+x2y2+x2y3+x2y4+x3y1+x3y2+x3y3+x4y4+x4y1+x4y2+x4y3+x4y4，=T1+T2+T3+T4＞0∴T1，T2，T3，T4中至少有一个为正数，故选A．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．在二项式的展开式中，常数项等于160．【考点】二项式定理．【分析】展开式的通项为=，要求常数项，只要令6﹣2r=0可得r，代入即可求【解答】解：展开式的通项为=令6﹣2r=0可得r=3常数项为=160故答案为：16010．设x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值是．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数图象求出z的最大值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：由，解得A（，），由z=x+3y得：y=﹣x+，显然直线过A时，z最大，z的最大值是z=+3×=，故答案为：．11．执行如图所示的程序框图，输出的S值为．【考点】程序框图．【分析】根据所给数值执行循环语句，然后判定是否满足判断框中的条件，一旦满足条件就退出循环，输出结果．【解答】解：模拟执行程序，可得i=2，S=1S=，i=3满足条件i＜10，执行循环体，i=5，S==，i=6满足条件i＜10，执行循环体，i=11，S=×=，i=12不满足条件i＜10，退出循环，输出S的值为．故答案为：．12．设双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=x，则其离心率为；若点（4，2）在C上，则双曲线C的方程为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线渐近线和a，b的关系建立方程进行求解即可求出离心率的大小，利用待定系数法求λ，即可得到结论．【解答】解：∵双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=x，∴=，即==e2﹣1=，则e2=，则e=，设双曲线方程为﹣y2=λ，λ＞0，∵若点（4，2）在C上，∴λ==8﹣4=4，即双曲线方程为﹣y2=4，即，故答案为：13．如图，△ABC为圆内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC，过点A做圆的切线与DB 的延长线交于点E，AD与BC交于点F，若AB=AC=4，BD=5，则=；AE=6．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】利用平行线的性质，求出；利用弦切角定理、切割线定理，求AE．【解答】解：∵BD∥AC，AC=4，BD=5∴==．由弦切角定理得∠EAB=∠ACB，又因为，AB=AC，所以∠EAB=∠ABC，所以直线AE∥直线BC，又因为AC∥BE，所以是平行四边形．所以BE=AC=4．由切割线定理，可得AE2=EB•ED=4×（4+5）=36，所以AE=6．故答案为：；6．14．在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优．若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影，已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部，就称此部电影为优秀影片，那么在这10部微电影中，最多可能有10部优秀影片．【考点】进行简单的合情推理．【分析】记这10部微电影为A1﹣A10，设这10部微电影为先退到两部电影的情形，若A1的点播量＞A2的点播量，且A2的专家评分＞A1的专家评分，则优秀影片最多可能有2部，以此类推可知：这10部微电影中，优秀影片最多可能有10部．【解答】解：记这10部微电影为A1﹣A10，设这10部微电影为先退到两部电影的情形，若A1的点播量＞A2的点播量，且A2的专家评分＞A1的专家评分，则优秀影片最多可能有2部；再考虑3部电影的情形，若A1的点播量＞A2的点播量＞A3的点播量，且A3的专家评分＞A2的专家评分＞A1的专家评分，则优秀影片最多可能有3部．以此类推可知：这10部微电影中，优秀影片最多可能有10部．故答案为：10．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f（x）=（1+tanx）cos2x．（1）若α为第二象限角，且sina=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的定义域和值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的定义域和值域．【分析】（1）由α为第二象限角及sina的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα及tanα的值，再代入f（α）中即可得到结果．（2）函数f（x）解析式利用二倍角和辅助角公式将f（x）化为一个角的正弦函数，根据x 的范围，即可得到函数值域．【解答】解：（1）∵α为第二象限角，且sina=，∴cosα=﹣，∴tanα=﹣，∴f（α）=（1+tanα）cos2α=（2）函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}，化简f（x）=sin（2x+）+，∵x≠kπ+，k∈Z∴2x+≠2kπ+，k∈Z∴﹣1≤sin（2x+）≤1∴﹣≤f（x）≤∴f（x）的值域为[﹣，]16．某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）写出a的值；（2）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（3）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）根据频率频率直方图的性质，可求得a的值；（2）由分层抽样，求得初中生有60名，高中有40名，分别求得初高中生阅读时间不小于30小时的学生的频率及人数，求和；（3）分别求得，初高中生中阅读时间不足10个小时的学生人数，写出X的取值及概率，写出分布列和数学期望．【解答】解：（1）由频率直方图的性质，（0.005+0.02+a+0.04+0.005）×10=1，a=0.03，（2）由分层抽样可知：抽取的初中生有60名，高中有40名，∵初中生中，阅读时间不小于30小时的学生的频率为（0.03+0.005）×10=0.25，∴所有的初中生阅读时间不小于30小时的学生约有0.25×1800=450人，同理，高中生阅读时间不小于30小时的学生的频率为（0.03+0.005）×10=0.035，学生人数约为0.35×1200=420人，所有的学生阅读时间不小于30小时的学生约有450+420=870，（3）初中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为0.005×10=0.05，样本人数为0.05×60=3人，同理，高中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为0.005×10×40=2，故X的可能取值为：1，2，3，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴X的分布列为：X 1 2 3P∴E（X）=1×+2×+3×=．17．如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为BC，DA的中点，将正方形ABCD沿着线段EF折起，使得∠DFA=60°，设G为AF的中点．（1）求证：DG⊥EF；（2）求直线GA与平面BCF所成角的正弦值；（3）设P，Q分别为线段DG，CF上一点，且PQ∥平面ABEF，求线段PQ长度的最小值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）由矩形性质得出EF⊥DF，EF⊥AF，故EF⊥平面AFD，得出EF⊥DG；（2）证明DG⊥平面ABEF，以G为原点建立空间直角坐标系，求出和平面BCF的法向量的坐标，则GA与平面BCF所成角的正弦值为|cos＜＞|；（3）设P（0，0，k）（0≤k≤），=λ（0≤λ≤1），求出的坐标，令=0得出k与λ的关系，得出||关于λ的函数，根据λ的范围求出函数的最小值．【解答】（1）证明：∵E，F分别正方形ABCD的边BC，DA的中点，∴EF⊥DF，EF⊥AF，又DF⊂平面ADF，AF⊂平面ADF，DF∩AF=F，∴EF⊥平面ADF，∵DG⊂平面ADF，∴DG⊥EF．（2）∵DF=AF，∠DFA=60°，∴△ADF是等边三角形，∵G是AF的中点，∴DG⊥AF．又EF⊥DG，EF，AF⊂平面ABEF，AF∩EF=F，∴DG⊥平面ABEF．设BE中点为H，连结GH，则GA，GD，GH两两垂直，以G为原点，以GA，GH，GD为坐标轴建立空间直角坐标系如图：则G（0，0，0），A（1，0，0），B（1，4，0）．C（0，4，），F（﹣1，0，0）．∴=（1，0，0），=（﹣1，0，），=（﹣2，﹣4，0）．设平面BCF的法向量为=（x，y，z），则，∴，令z=2得=（2，﹣，2）．∴=2，||=，||=1．∴cos＜，＞==．∴直线GA与平面BCF所成角的正弦值为．（3）设P（0，0，k）（0≤k≤），=λ（0≤λ≤1），则=（1，0，k），=（1，4，），∴=（λ，4λ，λ），∴=（λ﹣1，4λ，λ﹣k）．∵DG⊥平面ABEF，∴=（0，0，）为平面ABEF的一个法向量．∵PQ∥平面ABEF，∴，∴=（）=0，∴k=．∴||===．∴当λ=时，||取得最小值．18．设a∈R，函数f（x）=．（1）若函数f（x）在（0，f（0））处的切线与直线y=3x﹣2平行，求a的值；（2）若对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f（x2）＜f（x1），求a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，解方程可得a的值；（2）对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f（x2）＜f（x1），即为f（x）在x≠﹣a不存在最小值，讨论a=0，a＞0，a＜0，求得单调区间和极值，即可得到a的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=的导数为f′（x）=，x≠﹣a，可得函数f（x）在（0，f（0））处的切线斜率为，由题意可得=3，解得a=±1；（2）对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f（x2）＜f（x1），即为f（x）在x≠﹣a不存在最小值，①a=0时，f（x）=无最小值，显然成立；②a＞0时，f（x）的导数为f′（x）=，可得f（x）在（﹣∞，﹣a）递减；在（﹣a，3a）递增，在（3a，+∞）递减，即有f（x）在x=3a处取得极大值，当x＞a时，f（x）＞0；x＜a时，f（x）＜0．取x1＜a，x2≠﹣a即可，当x1＜﹣a时，f（x）在（﹣∞，﹣a）递减，且x1＜x1+|x1+a|＜﹣a，f（x1）＞f（x1+|x1+a|），故存在x2=x1+|x1+a|，使得f（x2）＜f（x1）；同理当﹣a＜x1＜a时，令x2=x1﹣|x1+a|，使得f（x2）＜f（x1）也符合；则有当a＞0时，f（x2）＜f（x1）成立；③当a＜0时，f（x）在（﹣∞，3a）递减；在（3a，a）递增，在（﹣a，+∞）递减，即有f（x）在x=3a处取得极小值，当x＞a时，f（x）＞0；x＜a时，f（x）＜0．f（x）min=f（3a），当x1=3a时，不存在x2，使得f（x2）＜f（x1）．综上可得，a的范围是[0，+∞）．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点B（0，m）（m＞0）的直线l与椭圆C相交于E，F两点，点B关于原点的对称点为D，若点D总在以线段EF为直径的圆内，求m的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=0，|EF|=2，点B在椭圆内，由，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、由此能求出m的取值范围．【解答】解：（1）由题意，得，又∵a2=b2+c2，解得a=，b=1，c=1，∴椭圆C的方程为．（2）当直线l的斜率不存在时，由题意知l的方程为x=0，此时，E，F为椭圆的上下顶点，且|EF|=2，∵点D总在以线段EF为直径的圆内，且m＞0，∴0＜m＜1，∴点B在椭圆内，由方程组，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∵直线l与椭圆C有两个公共点，∴△=（4km）2﹣4（2k2+1）（2m2﹣2）＞0，设E（x1，y1），F（x2，y2），则，，设EF的中点G（x0，y0），则，，∴G（，），∴|DG|==，|EF|==，∵点D总位于以线段EF为直径的圆内，∴|DG|＜对于k∈R恒成立，∴，化简，得2m2k2+7m2k2+3m2＜2k4+3k2+1，整理，得，而g（k）==1﹣≥1﹣=，当且仅当k=0时，等号成立，∴m2，由m＞0，．解得0＜m＜，∴m的取值范围是（0，）．20．已知任意的正整数n都可唯一表示为n=a0•2k+a+…+a+a k•20，其中a0=1，a1，a2，…，a k∈{0，1}，k∈N．对于n∈N*，数列{b n}满足：当a0，a1，…，a k中有偶数个1时，b n=0；否则b n=1，如数5可以唯一表示为5=1×22+0×21+1×20，则b5=0．（1）写出数列{b n}的前8项；（2）求证：数列{b n}中连续为1的项不超过2项；（3）记数列{b n}的前n项和为S n，求满足S n=1026的所有n的值．（结论不要求证明）【考点】数列递推式；数列的求和．×21+a k 【分析】（1）根据题意，分析可得，将n 表示n=a0×2k+a1×2k﹣1+a2×2k﹣2+…+a k﹣1×20，实际是将十进制的数转化为二进制的数，即可求出答案，（2）设数列{b n}中某段连续为1的项从b m开始，则b m=1．由题意，令m=a0×2k+a1×2k ﹣1+a2×2k﹣2+…+a k×21+a k×20，则a1，a2，…，a k中有奇数个1，分当a0=1，a1，a2，…，﹣1a k，中无0时，和当a0=1，a1，a2，…，a k，中有0时两种情况证明，（3）由（2）即可求出n的值．【解答】解：（1）数列{b n}的前8项为1，1，0，1，0，0，1，1．（2）设数列{b n}中某段连续为1的项从b m开始，则b m=1．由题意，令m=a0×2k+a1×2k ﹣1+a2×2k﹣2+…+a k×21+a k×20，﹣1则a1，a2，…，a k中有奇数个1．当a0=1，a1，a2，…，a k，中无0时，∵m=2k+2k﹣1+…+21+20，∴m+1=1×2k+1+0×2k+…+0×21+0×20，m+2=1×2k+1+0×2k+…+0×21+1×20，∴b m=1，b m+1=1，b m+2=0，此时连续2项为1，当a0=1，a1，a2，…，a k，中有0时，①若a k=0，即m=a0•2k+a+…+a+0×20则m+1=a0•2k+a+…+a+1×20，、∵a1，a2，…，a k中有奇数个1，∴b m+1=0，此时连续1项为1，②若a k=1，即m=a0•2k+a+…+0×2s+，则m+1=a0•2k+a+…+1×2s+，m+2=a0•2k+a+…+1×2s++1×20，（其中i∈N）如果s为奇数，那么，b m+1=1，b m+2=0，此时连续2项为1．如果s为偶数，那么b m+1=0，此时仅有1项b m=1．综上所述，连续为1的项不超过2项，（3）n=2051或n=2052．。
北京市高考理科数学二模测试题
2018 年北京市高考理科数学二模测试题( 数学理)一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，满分 60 分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的。
1. 已知会集 M ＝｛ x | x ＜ 3｝，N ＝｛ x |log 2x ＞ 1｝，则 M ∩ N ＝A.B.｛ x |0 ＜ x ＜3｝ C. ｛ x |1 ＜ x ＜ 3｝ D.｛ x |2 ＜ x ＜ 3｝2. 不等式11 的解集是x2A ． (, 2) B ． (2, ) C ． (0, 2) D ． ( ,0) (2,)3．设 P 为ABC 所在平面内一点，且5 AP 2 ABAC0 ，则 PAB 的面积与 ABC 的面积之比为A ．1B．2C ．1D．355454 从圆 x 22xy 22y 1 0 外一点P 3,2 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为A ．1B．3C．3D． 02525. 若曲线 yx 4 的一条切线 l 与直线 x4 y 20080 垂直，则直线 l 的方程为A ． 4x y 3 0B ． x 4y 3 0C. x4 y 2008 0 D ． x 4y 2008 06．已知正整数 a ， b 满足4a b 30 ，使得11 取最小值时，则实数对 ( a, b) 是 ( )a bA ． (5 ， 10)B ．(6 ，6)C ．(10 ， 5)D．(7 ， 2)7． cos20cos103 sin10 tan 702cos 40 =()sin 20A ．1B ．2C ．2D ． 32228．某队伍为了认识战士课外阅读状况，随机检查了 50 名战士，获得他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据．结果用右边的条形图表示，依据条形图可得这 50名战士这天均匀每人的课外阅读时间为 ( )A ．B ．C ．D ．9．从数字 1， 2， 3，4， 5 中，随机抽取 3 个数字 ( 同意重复 ) 构成一个三位数，其各位数字之和等于9 的概率为 ( )A ．13B ． 16C ． 18D． 1912512512512510．计算2 4 x 2 dx 的结果是 ( )A ． 4B ． 2C ．D ．211．设斜率为2的直线 l 与椭圆x 2y 2 1，（ a b 0 ）交于不一样的两点，且这两个交点在x 轴上的2a2b 2 ( )射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为A ．2 B．1C ．3 D ．122 3312．一个圆锥被过极点的平面截去了较小的一部分几何体，余下的几何体的三视图如图，则该圆锥的体积为 ( )A ．4B ． 2C ．8D． 10333二、填空题：本大题共4 小题．每题5 分，满分 20 分。
2019届北京市顺义区高三第二次统练数学理科试卷(word版)
顺义区2019届高三第二次统练数学试卷（理科）一.选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知全集，集合，则A. B. C. D.【答案】A2.若实数满足则的最小值是A. B. C. 0 D. 4【答案】B3.在等比数列中，若，，则=A. 32B. 16C. 8D.【答案】A4.某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的表面积是A. 12B. 2C.D.【答案】D5.过原点作圆（为参数）的两条切线，则这两条切线所成的锐角为A. B. C. D.【答案】C6.已知m，n 是两条不同直线，α，β 是两个不同平面，则A. 若m⊥α，α⊥β，则m∥β`；B. 若m∥α，n⊥α，则m⊥n；C. 若mα，nα，m∥β，n∥β，则α∥β；D. 若m∥α，n∥α，则m∥n.【答案】B7.“或”是“函数存在零点”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B8.已知集合，若对于，，使得成立，则称集合是“互垂点集”．给出下列四个集合：；；；．其中是“互垂点集”的集合为A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】D二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9.__________【答案】1+10.已知向量a，b满足| a |=1，| b |=2，且，则a与b的夹角为_________【答案】11.设双曲线经过点（4,0），且与双曲线具有相同渐近线，则的方程为__________；渐近线方程为__________.【答案】(1). (2). .12.已知为锐角，，则____________.【答案】.13.“当时，能使不等式”成立的一组正数的值依次为_________________．【答案】，（答案不唯一）14.、分别为椭圆：的左、右焦点，是上的任意一点. 则的最大值为___________，若，则的最小值为____________.【答案】(1). 9 (2). 4三、解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.在△ABC中，b=8，,．（Ⅰ）求及的值；（Ⅱ）求边上的高．【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ）【详解】（Ⅰ）在中，由余弦定理得所以由正弦定理得：（Ⅱ）在中，边上的高为【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形的问题，属于基础题.16.如图，在四棱锥中，等边三角形所在的平面垂直于底面，，，是棱的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）判断直线与平面的是否平行，并说明理由．【答案】（Ⅰ）见解析(Ⅱ) （Ⅲ）直线与平面不平行【详解】（Ⅰ）证明：平面平面，平面平面，平面且平面（Ⅱ）取的中点，连结，又四边形是平行四边形平面建立如图所示空间直角坐标系则，，，，，设为平面的一个法向量，由得令，得，，所以因为轴垂直于平面，所以取平面的一个法向量所以二面角的余弦值为（Ⅲ）直线与平面不平行理由如下：，设为平面的一个法向量，由得令，得，所以所以与不垂直，又因为平面所以直线与平面不平行【点睛】本题考查面面垂直的性质、空间向量法解二面角、线面位置关系的判定问题.采用空间向量法解决二面角问题的关键是能够明确二面角大小等于两平面法向量所成角或其补角.17.国际上常用恩格尔系数（食品支出总额占个人消费支出总额的比重）反映一个国家或家庭生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.联合国根据恩格尔系数的大小，对世界各国的生活质量有一个划分标准如下：下表记录了我国在改革开放后某市A，B，C，D，E五个家庭在五个年份的恩格尔系数.（Ⅰ）从以上五个家庭中随机选出一个家庭，求该家庭在2008年和2018年都达到了“富裕” 或更高生活质量的概率；(Ⅱ) 从以上五个家庭中随机选出三个家庭，记这三个家庭在2018年达到“富裕”或更高生活质量的个数为，求的分布列；(Ⅲ) 如果将“贫穷”，“温饱”，“小康”，“相对富裕”，“富裕”，“极其富裕”六种生活质量分别对应数值：0，1，2，3，4，5. 请写出A，B，C，D，E五个家庭在以上五个年份中生活质量方差最大的家庭和方差最小的家庭（结论不要求证明）.【答案】（Ⅰ）(Ⅱ)见解析(Ⅲ)方差最大：；方差最小：【解析】【分析】（Ⅰ）根据古典概型，可求得结果；(Ⅱ)满足超几何分布，根据超几何分布公式求得概率，从而得到分布列；(Ⅲ)利用数字列出统计表格，方差大的数值波动大；方差小的数值波动小；由数值波动情况可确定方差最大和最小的家庭.【详解】（Ⅰ）记“在年和年都达到了“富裕”或更高生活质量”为事件因为在年和年都达到了“富裕” 或更高生活质量的只有家庭所以(Ⅱ)的可能取值为，，的分布列为：(Ⅲ)由题意可得可得如下图表：年年年年年生活质量方差最大的家庭是，方差最小的家庭是【点睛】本题考查古典概型、随机变量的超几何分布、方差问题，属于常规题.18.设函数.（I）若点在曲线上，求在该点处曲线的切线方程；（II）若有极小值2，求.【答案】（I）（II）【解析】【分析】（I）代入求得，得到函数解析式，求导得到，即切线斜率；利用点斜式得到切线方程；（II）求导后经讨论可知当时存在极小值，求得极小值，令，解方程得到.【详解】（I）因为点在曲线上，所以又，所以在该点处曲线的切线方程为，即（II）有题意知：定义域为，（1）当时，此时在上单调递减，所以不存在极小值（2）当时，令可得列表可得所以在上单调递减，在上单调递增所以极小值为：所以【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的极值的问题，关键在于能够通过求导确定函数的单调性，从而根据单调性得到符合题意的极值点，从而问题得到求解.19.已知为抛物线上两点，的纵坐标之和为4，为坐标原点.（I）求直线的斜率；（II）若点满足，求此时直线的方程.【答案】（Ⅰ）1（Ⅱ）【解析】【分析】（I）利用点差法得到，从而求得斜率为；（II）分在轴同侧和异侧两种情况进行讨论；当异侧时，将直线代入抛物线，利用韦达定理表示出和，代入得到关于的方程，求解得到结果；当同侧时，验证可知不符合题意，从而总结得到最终结果.【详解】（I）设，则依题意可知：相减可得：，即又，所以，即直线的斜率为（II）由（I）知直线的斜率为，所以可设直线的方程为（1）当在轴异侧时由知又所以，即又，所以化简得……①联立方程组消去得所以，代入①式可得所以直线的方程为（2）当在轴同侧时由知即直线过点，所以此时直线方程为经验证，此时直线与抛物线无交点，故舍去综上可知：直线的方程为【点睛】本题考查利用点差法解决中点弦问题、直线与抛物线综合应用问题.解决直线和抛物线综合问题时，通常采用联立的方式，采用设而不求的方式，得到韦达定理的形式，再利用韦达定理表示出已知当中的等量或不等关系，从而求得所求结果.20.在数列中，若（，，为常数），则称为“平方等差数列”．（Ⅰ）若数列是“平方等差数列”，，写出的值；（Ⅱ）如果一个公比为的等比数列为“平方等差数列”，求证：；（Ⅲ）若一个“平方等差数列”满足，设数列的前项和为．是否存在正整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析（Ⅲ）【解析】【分析】（Ⅰ）通过求出，再解出，从而求得结果；（Ⅱ）列出等比数列通项公式，根据平方等差数列定义，可得，由于和无关，可证得结论；（Ⅲ）首先求解出，可得到数列的前项和；假设存在，通过，可求得此时，再验证此时是否对于一切均成立；由可进行放缩，从而证得结论成立，从而确定.【详解】（Ⅰ）由是“平方等差数列”，于是，所以（Ⅱ）设数列是等比数列，所以（为公比且）则若为“平方等差数列”，则有因为为与无关的常数，所以即（Ⅲ）因为数列是“平方等差数列”，则，所以数列的前项和假设存在正整数使不等式对一切都成立，即当时，又为正整数下面证明：对一切都成立由于所以：所以存在使不等式对一切都成立【点睛】本题考查新定义问题、等差等比数列综合应用、放缩法证明不等式问题.解决问题首先要明确新定义表示的含义，同时能够利用从特殊到一般的证明思路，先求出的取值，再证明对一切都成立.在此过程中，要对通项进行合理的放缩，也是解决最终证明的关键.11页。
2018北京高三二模数学理分类汇编-数列
2018北京高三二模分类汇编--数列一、选择、填空题1、（2018东城二模）设等比数列 {a n }的公比 q=2 ，前n 项和为S n ，则S4a2= 2、（2018顺义二模）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若11a =-，1035S =，则20a =__________3、（2018丰台二模）已知等比数列中，143527,a a a a ==，则7a =A ．127B ．19C ．13D ．34、（2018通州二模）已知等比数列{}n a 中，11a =，2327a a =，则数列{}n a 的前5项和5=S5、（2018西城二模）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若11a =，23S S >，则数列{}na 的通项公式可以是____ 解答题1、（2018西城二模）（本小题满分13分）数列n A ：12,,,(2)n a a a n L ≥的各项均为整数，满足：1(1,2,,)i a i n -=L ≥，且123123122220n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+=L ，其中10a ≠．（Ⅰ）若3n =，写出所有满足条件的数列3A ； （Ⅱ）求1a 的值；（Ⅲ）证明：120n a a a +++>L ．2、（2018海淀二模）（本小题13分）如果数列{}n a 满足“对任意正整数,,i j i j ≠，都存在正整数k ，使得k a =i a j a ”，则称数列{}n a 具有“性质P ”.已知数列{}n a 是无穷项的等差数列，公差为d （Ⅰ）若1=2a ，公差=3d ，判断数列{}n a 是否具有“性质P ”，并说明理由； （Ⅱ）若数列{}n a 具有“性质P ”，求证：10a ≥且0d ≥；{}n a（Ⅲ）若数列{}n a 具有“性质P ”，且存在正整数k ，使得2018k a =，这样的数列共有多少个？并说明理由.3、（2018东城二模）（本小题13分）设,a λ均是正整数，数列{}n a 满足：1a a =，1,2,nn n n n a a a a a 是偶数，是奇数.λ+⎧⎪=⎨⎪+⎩（I ）若33a =，5λ=，写出1a 的值；（II ）若1a =，λ为给定的正奇数，求证：若n a 为奇数，则n a l £；若n a 为偶数，则2n a l £；（III ）在（II ）的条件下，求证：存在正整数(2)n n ≥，使得1n a =.4、（2018朝阳二模）（本小题满分13分） 若无穷数列{}na满足:存在*(),,p q a a p q p q =∈>N ,并且只要 p q a a =就有p i q i a ta ++=（t 为常数,1,2,3,i =L）,则称{}na具有性质T ．（Ⅰ）若{}n a 具有性质T ,且1245 4,5,1,5,3,a a a ta =====78936a a a ++=,求3a ;（Ⅱ）若无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ,且=2()n n S b b +∈R ,证明存在无穷多个b 的不同取值,使得数列{}n a 有性质T ;（Ⅲ）设{}n b 是一个无穷数列,数列{}n a 中存在*(),,pq a a p q p q =∈>N ,且*1cos n n na b a n +=∈N （）.求证:“{}n b 为常数列”是“对任意正整数1a ,{}n a 都具有性质T ”的充分不必要条件.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1=0a ，2=a m ，当2n ≥时，11,,,,1,.n n n na k t Sa k t n a k t +->⎧⎪==⎨⎪+<⎩其中，k 是数列的前n 项中1i i a a +<的数对1(,)i i a a +的个数，t 是数列的前n 项中1i i a a +>的数对1(,)i i a a +的个数(1,2,3,,1)i n =-L ． （Ⅰ）若5m =，求3a ，4a ，5a 的值； （Ⅱ）若n a (3)n ≥为常数，求m 的取值范围；（Ⅲ）若数列{}n a 有最大项，写出m 的取值范围（结论不要求证明）．6、（2018昌平二模）(本小题13分)7、（2018顺义二模）（本小题满分13分）已知数列12:,,,n n A a a a L .如果数列12:,,,n n B b b b L 满足1n b a =，11k k k k b b a a --+=+，其中2,3,,k n =L ，则称n B 为n A 的“陪伴数列”.（Ⅰ）写出数列4:3,1,2,5A 的“陪伴数列”4B ；（Ⅱ）若9A 的“陪伴数列”是9B .试证明：991,,b a a 成等差数列. （Ⅲ）若n 为偶数，且n A 的“陪伴数列”是n B ，证明：1n b a =.已知集合{}123,,,...n A a a a a =，其中i N +∈，1,2≤≤>i n n ，()1()1i j A a a i j n +≤<≤表示中所有不同值的个数.（Ⅰ）设集合{}{2,4,6,8},2,4,8,16P Q ==,分别求()()11P Q 和；（Ⅱ）若集合{}2,4,8,...,2,nA =求证：()()112-=n n A ；（Ⅲ）()1A 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．9、（2018通州二模）（本小题13分）若数列{}n b 满足：对于*∈N n ，都有d b b n n =-+2（常数），则称数列{}n b 是公差为d 的准等差数列．（Ⅰ）若⎩⎨⎧+-=.9414为偶数时，当为奇数时；，当n n n n c n 判断{}n c 是否为准等差数列，并求出{}n c 的第8项，第9项以及前9项的和9T ；（Ⅱ）设数列{}n a 满足：a a =1，且对于*∈N n ，都有n a a n n 21=++成立，{}n a 的前n 项和为n S ．（i ）求证：{}n a 为准等差数列，并求其通项公式；（ii ）求证：{}n a 为等差数列的充分必要条件是22n n S =.2018北京高三二模数学（理）分类汇编—数列答案选择 1、1522、183、A4、145、2n -+ 解答题1、（2018西城二模）（本小题满分13分）数列n A ：12,,,(2)n a a a n L ≥的各项均为整数，满足：1(1,2,,)i a i n -=L ≥，且123123122220n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+=L ，其中10a ≠．（Ⅰ）若3n =，写出所有满足条件的数列3A ； （Ⅱ）求1a 的值；（Ⅲ）证明：120n a a a +++>L ．解：（Ⅰ）满足条件的数列3A 为：1,1,6--；1,0,4-；1,1,2-；1,2,0-． （Ⅱ）11a =-．否则，假设11a ≠-，因为10a ≠，所以11a ≥．又23,,,1n a a a -L ≥，因此有 12312312222n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+L1232(1)2(1)2(1)2(1)n n n ---+-⋅+-⋅++-⋅+-L ≥123222211n n n ---=-----=L ，这与123123122220n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+=L 矛盾！ 所以11a =-．（Ⅲ）先证明如下结论：{1,2,,1}k n ∀∈-L ，必有12122220n n n k k a a a ---⋅+⋅++⋅L ≤.否则，令 12122220n n n k k a a a ---⋅+⋅++⋅>L ，注意左式是2n k -的整数倍，因此 12122222n n n k n k k a a a ----⋅+⋅++⋅L ≥． 所以有：12312312222n n n n na a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+L 122(1)2(1)2(1)2(1)n kn k n k -----+-⋅+-⋅++-⋅+-L ≥1222221n k n k n k -----=-----L1=，这与123123122220n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+=L 矛盾！ 所以12122220n n n k k a a a ---⋅+⋅++⋅L ≤． 因此有：112123121212312210,20,420,2220,2220.k k k k n n n n a a a a a a a a a a a a a a -------<⋅+⋅+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅+⋅++⋅+LL LL ≤≤≤≤将上述1n -个不等式相加得 12121(21)(21)(21)0n n n a a a ---⋅-+⋅-++⋅-<L ， ① 又123123122220n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+=L，②两式相减即得 120n a a a +++>L ． 2、（2018海淀二模）（本小题13分）如果数列{}n a 满足“对任意正整数,,i j i j ≠，都存在正整数k ，使得k a =i a j a ”，则称数列{}n a 具有“性质P ”.已知数列{}n a 是无穷项的等差数列，公差为d （Ⅰ）若1=2a ，公差=3d ，判断数列{}n a 是否具有“性质P ”，并说明理由； （Ⅱ）若数列{}n a 具有“性质P ”，求证：10a ≥且0d ≥；（Ⅲ）若数列{}n a 具有“性质P ”，且存在正整数k ，使得2018k a =，这样的数列共有多少个？并说明理由.解：（Ⅰ）若12a =，公差3d =，则数列{}n a 不具有性质P ． 理由如下：由题知31n a n =-，对于1a 和2a ，假设存在正整数k ，使得12k a a a =，则有312510k -=⨯=，解得113k =，矛盾！所以对任意的*k ∈N ，12k a a a ≠． （Ⅱ）若数列{}n a 具有“性质P”，则①假设10a <，0d ≤，则对任意的*n ∈N ，1(1)0n a a n d =+-⋅<.设12k a a a =⨯，则0k a >，矛盾！②假设10a <，0d >，则存在正整数t ，使得123120t t t a a a a a a ++<<<⋅⋅⋅<≤<<<⋅⋅⋅设111t k a a a +⋅=，212t k a a a +⋅=，313t k a a a +⋅=，…，1121t t k a a a ++⋅=，*i k ∈N ，1,2,,1i t =+L ，则12310t k k k k a a a a +>>>>⋅⋅⋅>，但数列{}n a 中仅有t 项小于等于0，矛盾！③假设10a ≥，0d <，则存在正整数t ，使得123120t t t a a a a a a ++>>>⋅⋅⋅>≥>>>⋅⋅⋅设112t t k a a a ++⋅=，213t t k a a a ++⋅=，314t t k a a a ++⋅=，…，1122t t t k a a a +++⋅=，*i k ∈N ，1,2,,1i t =+L ，则12310t k k k k a a a a +<<<<⋅⋅⋅<，但数列{}n a 中仅有t 项大于等于0，矛盾！ 综上，10a ≥，0d ≥．（Ⅲ）设公差为d 的等差数列{}n a 具有“性质P”，且存在正整数k ，使得2018k a =．若0d =，则{}n a 为常数数列，此时2018n a =恒成立，故对任意的正整数k ，21220182018k a a a =≠=⋅，这与数列{}n a 具有“性质P”矛盾，故0d ≠．设x 是数列{}n a 中的任意一项，则x d +，2x d +均是数列{}n a 中的项，设 1()k a x x d =+，2(2)k a x x d =+则2121()k k a a xd k k d -==-⋅，因为0d ≠，所以21x k k =-∈Z ，即数列{}n a 的每一项均是整数．由（Ⅱ）知，10a ≥，0d ≥，故数列{}n a 的每一项均是自然数，且d 是正整数．由题意知，2018d +是数列{}n a 中的项，故2018(2018)d ⋅+是数列中的项，设2018(2018)m a d =⋅+，则2018(2018)2018201820172018()m k a a d d m k d -=⋅+-=⨯+=-⋅，即(2018)20182017m k d --⋅=⨯． 因为2018m k --∈Z ，*d ∈N ，故d 是20182017⨯的约数．所以，1,2,1009,2017,21009,22017,10092017d =⨯⨯⨯,210092017⨯⨯．当1d =时，12018(1)0a k =--≥，得1,2,...,2018,2019k =，故12018,2017,...,2,1,0a =，共2019种可能；当2d =时，120182(1)0a k =--≥，得1,2,...,1008,1009,1010k =，故12018,2016,2014,...,4,2,0a =，共1010种可能；当1009d =时，120181009(1)0a k =-⨯-≥，得1,2,3k =，故12018,1009,0a =，共3种可能；当2017d =时，120182017(1)0a k =--≥，得1,2k =，故12018,1a =，共2种可能；当21009d =⨯时，120182018(1)0a k =-⨯-≥，得1,2k =，故12018,0a =，共2种可能；当22017d =⨯时，1201822017(1)0a k =-⨯⨯-≥，得1k =，故12018a =，共1种可能；当10092017d =⨯时，1201810092017(1)0a k =-⨯⨯-≥，得1k =，故12018a =，共1种可能；当210092017d =⨯⨯时，12018210092017(1)0a k =-⨯⨯⨯-≥，得1k =，故12018a =，共1种可能．综上，满足题意的数列{}n a 共有201910103221113039+++++++=（种）． 经检验，这些数列均符合题意． 3、（2018东城二模）（本小题13分）设,a λ均是正整数，数列{}n a 满足：1a a =，1,2,nn n n n a a a a a 是偶数，是奇数.λ+⎧⎪=⎨⎪+⎩（I ）若33a =，5λ=，写出1a 的值；（II ）若1a =，λ为给定的正奇数，求证：若n a 为奇数，则n a l £；若n a 为偶数，则2n a l £；（III ）在（II ）的条件下，求证：存在正整数(2)n n ≥，使得1n a =. 解：（I ）1或12.（II ）①当1,2n =时，11a =为奇数，1a λ≤成立，21a λ=+为偶数，22a λ≤.②假设当n k =时，若k a 为奇数，则k a λ≤，若k a 为偶数，则2k a λ≤. 那么当1n k =+时，若k a 是奇数，则1k k a a λ+=+是偶数，12k a λ+≤； 若k a 是偶数，12kk a a λ+=≤. 此时若1k a +是奇数，则满足1k a λ+≤，若1k a +是偶数，满足12k a λλ+≤≤. 即1n k =+时结论也成立.综上，若n a 为奇数，则n a λ≤；若n a 为偶数，则2n a λ≤（III ）由（II ）知，{}n a 中总存在相等的两项.不妨设()r s a a r s =<是相等两项中角标最小的两项，下证1r =.假设2r ≥.①若r s a a λ=≤，由110,0r s a a -->>知r a 和s a 均是由1r a -和1s a -除以2得到，即有11r s a a --=，与r 的最小性矛盾；②若r s a a λ=>，由112,2r s a a λλ--≤≤知r a 和s a 均是由1r a -和1s a -加上λ得到， 即有11r s a a --=，与r 的最小性矛盾； 综上，1r =，则11s a a ==.即若1a =，λ是正奇数，则存在正整数(2)n n ≥，使得1n a = 4、（2018朝阳二模）（本小题满分13分） 若无穷数列{}na满足:存在*(),,p q a a p q p q =∈>N ,并且只要p q a a =就有p i q i a ta ++=（t 为常数,1,2,3,i =L）,则称{}na具有性质T ．（Ⅰ）若{}n a 具有性质T ,且1245 4,5,1,5,3,a a a ta =====78936a a a ++=,求3a ;（Ⅱ）若无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ,且=2()n n S b b +∈R ,证明存在无穷多个b 的不同取值,使得数列{}n a 有性质T ;（Ⅲ）设{}n b 是一个无穷数列,数列{}n a 中存在*(),,pq a a p q p q =∈>N ,且*1cos n n na b a n +=∈N （）.求证:“{}n b 为常数列”是“对任意正整数1a ,{}n a 都具有性质T ”的充分不必要条件.【解析】（Ⅰ）因为{}n a 具有性质T ,且255,a a ==所以6374859633,33,315,39,a a a a a a a a a =======由78936aa a ++=,得3315936a ++=,所以32a =,经检验符合题意.（Ⅱ）因为无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ,且=2()n nS b b +∈R , 所以1=2,a b +当2n ≥时,11=222nn n n a ---=,若存在(),pq a a p q =>则1q =,取122p b -=-(,p ∈N 且2,p p ≥为常数), 则12p pq a a -==,对12p t-=,有11+1122(1,2,3)p i p p i i i a a ta i +--++====L所以数列{}n a 有性质T ,且b 的不同取值有无穷多个.（Ⅲ）证明:当{}n b 为常数列时,有n b m =(常数),*1cos ()n n a m a n +=∈N对任意正整数1a ,因为存在p q a a =,则由cos cos p q m a m a =,必有+11p q a a +=,进而有+(1,2,3,)p iq i a a i +==⋅⋅⋅,这时1t =,+(1,2,3,)p i q i a ta i +==⋅⋅⋅所以{}n a 都具有性质T .所以,“{}n b 为常数列”是“对任意正整数1a ,{}n a 都具有性质T ”的充分条件.取π,21,20,2,n n k b n k ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩*()k ∈N ,对任意正整数1a ,由*11cos (2,)nn n a b a n n --=≥∈N ,得2112πcos cos 2a b a a ==,因为1a 为正整数,所以20a ≠,且12a a ≠.322433πcos 0,cos ,2a b a a b a ====⋅⋅⋅当3n ≥时,0,21,π,22,2n n k a n k =+⎧⎪=⎨=+⎪⎩*()k ∈N对任意,p q ,则,p q 同为奇数或同为偶数, ①若,p q 同为偶数,则+(1,2,3,)p i q i a a i +==⋅⋅⋅成立; ②若,p q 同为奇数,则+(1,2,3,)p iq i a a i +==⋅⋅⋅成立; 所以若对于任意,p q 满足pq a a =,则取1t =,+1p i q i a a +=⨯,故{}n a 具有性质T ,但{}n b 不为常数列,所以“{}n b 为常数列”是“对任意正整数1a ,{}n a 都具有性质T ”的不必要条件.证毕.5、（2018丰台二模）（本小题共13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1=0a ，2=a m ，当2n ≥时，11,,,,1,.n n n na k t Sa k t n a k t +->⎧⎪==⎨⎪+<⎩其中，k 是数列的前n 项中1i i a a +<的数对1(,)i i a a +的个数，t 是数列的前n 项中1i i a a +>的数对1(,)i i a a +的个数(1,2,3,,1)i n =-L ．（Ⅰ）若5m =，求3a ，4a ，5a 的值； （Ⅱ）若n a (3)n ≥为常数，求m 的取值范围；（Ⅲ）若数列{}n a 有最大项，写出m 的取值范围（结论不要求证明）． 解：（Ⅰ）因为1=0a ，2=5a ， 所以 12a a <，所以 3214a a =-=．因为 23a a >，所以1234341a a a a ++==-．因为34a a >，所以 54+14a a ==． 所以34a =，43a =，54a =． （Ⅱ）当0m =时，30a =，40a =，当0m >时，因为 12a a <，所以 32211a a m a =-=-<， 所以12342133a a a m a ++-==．因为34a a =，所以2113m m --=，所以2m =． 当0m <时，因为 12a a >，所以 32211a a m a =+=+>， 所以12342133a a a m a +++==．因为34a a =，所以 2113m m ++=，所以 2m =-． 所以3n ≥时，1n n a a +=为常数的必要条件是 {2,0,2}m ∈-． 当2m =时，341a a ==，因为当3(3)n k k ≤≤>时，1n a =，都有 102111n n S a n n+++++===L ， 所以当2m =符合题意，同理 2m =-和0m =也都符合题意． 所以m 的取值范围是 {2,0,2}-． （Ⅲ）{|2m m ≤-或02}m ≤≤．（若用其他方法解题，请酌情给分）6、（2018昌平二模）(本小题13分)故1,49p px ==， 即36x p ==.7、（2018顺义二模）（本小题满分13分）已知数列12:,,,n n A a a a L .如果数列12:,,,n n B b b b L 满足1n b a =，11k k k k b b a a --+=+，其中2,3,,k n =L ，则称n B 为n A 的“陪伴数列”.（Ⅰ）写出数列4:3,1,2,5A 的“陪伴数列”4B ；（Ⅱ）若9A 的“陪伴数列”是9B .试证明：991,,b a a 成等差数列. （Ⅲ）若n 为偶数，且n A 的“陪伴数列”是n B ，证明：1n b a =. 解：（Ⅰ）4:5,1,4,3B -.（Ⅱ）证明：对于数列n A 及其“陪伴数列”n B ，因为19b a =，1212b b a a +=+，2323b b a a +=+，……8989b b a a +=+，将上述几个等式中的第2,4,6,8,这4个式子都乘以1-， 相加得1122389122389()()()()()()n b b b b b b b a a a a a a a -+++-++=-+++-++L L即9919912b a a a a a =-+=- 故9912a b a =+所以991,,b a a 成等差数列.（Ⅲ）证明：因为1n b a =，1212b b a a +=+，2323b b a a +=+，……11n n n n b b a a --+=+，由于n 为偶数，将上述n 个等式中的第2,4,6,,n L这2n个式子都乘以1-，相加得11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++--+=-+++--+L L 即1n b a -=-，1n b a =.8、（2018房山二模）（本小题13分）已知集合{}123,,,...n A a a a a =，其中i N +∈，1,2≤≤>i n n ，()1()1i j A a a i j n +≤<≤表示中所有不同值的个数.（Ⅰ）设集合{}{2,4,6,8},2,4,8,16P Q ==,分别求()()11P Q 和；（Ⅱ）若集合{}2,4,8,...,2,nA =求证：()()112-=n n A ；（Ⅲ）()1A 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）由()246,268,2810,4610,4812,68141P =5+=+=+=+=+=+=得由()246,2810,21618,4812,416208+16=241Q =6+=+=+=+=+=，得 （Ⅱ）证明: ()1i j a a i j n +≤<≤Q 最多有()212n n n C -=个值,()()11,2n n A -∴≤又集合{}2,4,8,...,2,nA =任取(),1,1,i j k l a a a a i j n k l n ++≤<≤≤<≤当1j ≠时,不妨设111,22,j ii j j k j a a a a a a +<+<=≤<+则即1,i j k a a a a +≠+当11,,i j k j i k a a a a =≠+≠+时， ∴当且仅当,1i k j ==时1=,i j k a a a a ++ 即所有()1i j a a i j n +≤<≤的值两两不同，()()11=,2n n A -∴（Ⅲ）()1A 存在最小值，且最小值为23n -，不妨设123...,n a a a a <<<<可得1213121......,n n n n a a a a a a a a a a -+++<<+<<<<+，∴()1i j a a i j n +≤<≤中至少有23n -个不同的数，即()123A n ≥-，取{}1,2,3,...,,A n =则，{}3,4,5,...,21,i j a a n +∈-，即i j a a +的不同值共有23n -个， 故()1A 的最小值为23n -．9、（2018通州二模）（本小题13分）若数列{}n b 满足：对于*∈N n ，都有d b b n n =-+2（常数），则称数列{}n b 是公差为d 的准等差数列．（Ⅰ）若⎩⎨⎧+-=.9414为偶数时，当为奇数时；，当n n n n c n 判断{}n c 是否为准等差数列，并求出{}n c 的第8项，第9项以及前9项的和9T ；（Ⅱ）设数列{}n a 满足：a a =1，且对于*∈N n ，都有n a a n n 21=++成立，{}n a 的前n 项和为n S ．（i ）求证：{}n a 为准等差数列，并求其通项公式；（ii ）求证：{}n a 为等差数列的充分必要条件是22n n S =.解：（Ⅰ）解：当n 为奇数时，28n n c c +-=，当n 为偶数时，28n n c c +-=， 所以{}n c 为准等差数列. 且418=c ，359=c.21124)4117(25)353(9=⨯++⨯+=T （Ⅱ）（i ）证明：因为12n n a a n ++=， ①)1(221+=+++n a a n n ②②-①得22=-+n n a a ． 所以，{}n a 为公差为2的准等差数列．当n 为奇数时，12121-+=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-++=a n n a a n ；当n 为偶数时，a n n a a n -=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-+-=2122， ⎩⎨⎧--+=∴为偶数） （为奇数）（n a n n a n a n ,,1. （ii ）证明：若{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则由22=-+n n a a , 得到1d =，又122a a +=，求得12a =，所以12n a n =-. 所以2122n n a a n S n +=⋅=.若22n n S =，则112n n n a S S n -=-=-(其中2n ≥).又 1112a S ==，所以11n n a a --=， 即{}n a 为等差数列.。
北京市顺义区2018届高三第二次统练(高考二模)数学理试卷(解析版)
【解析】
将 ， ， 分为 组， 和 ， 和 ， ，
和 ， 单独一组，每组中 两个数必须同时属于或同时不属于一个满足条件的集合 ，每组属于或不属于 ，共两种情况，所以 的可能性有 ，排除一个空集，
则可能性为 ，即 ， ，
故 ， ．
三、解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
6.若a=log3 ，b=log39.1，c=20.8，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．
【详解】
.
故选C．
【点睛】利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值 的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．7.已知 是正△ 的中心．若 ，其中 ， ，则 的值为（）
① ；② ；③ ．
其中，“正三角形”曲线的个数是
A.0B.1C.2D.3
【答案】C
【解析】
①因为点 不在直线 上，直线与坐标轴的交点坐标为 ，此时 ．因为 所以存在两点 ，使 为正三角形，所以①是“正三角形”型曲线．
②得 ，图形是第三象限内的四分之一圆弧，曲线线与坐 标轴的交点坐标为
，此时弧长 ，最长的弦长为
【答案】(1). (2).
【解析】
与 具有相同渐近线的双曲线方程可设为
∵双曲线 经过点(4,1),
即双曲线方程
即 对应的渐近线方程为 ，
故答案为(1). (2).
【高三数学试题精选】顺义区2018届高三第二次统练数学(理科)测试题及答案
顺义区2018届高三第二次统练数学（理科）测试题及答案
5 c 顺义区2018届高三第二次统练数学（理科）测试
一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1设集合，，则等于
A B
c D
2已知是不共线向量，，，当∥ 时，实数等于
A B 0 c D
3设是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是
A 若，则
B 若，则
c 若，则 D 若，则
4已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则等于
A B c D
5设抛物线的焦点为F,准线为，P为抛物线上一点，，A为垂足，如果直线AF的斜率为，那么
A B c 8 D 16
6极坐标方程和参数方程（为参数）所表示的图形分别为
A 圆，圆
B 圆，直线 c 直线，直线 D 直线，圆
7已知点的坐标满足条，那么点P到直线的距离的最小值为
A B c 2 D 1
8已知定义在区间上的函数的图像关于直线对称，当时，，如果关于的方程有解，记所有解的和为S, 则S不可能为
A B c D
二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9在复平面内，复数对应的点的坐标为________________________。
2018年高考全国二卷(全国卷Ⅱ)理科数学试题及答案
2018年高考全国二卷(全国卷Ⅱ)理科数学试题及答案1.已知复数 $\frac{1+2i}{1-2i}=\frac{-43}{55}$，求其值。
2.已知集合 $A=\{(x,y)|x+y^2\leq 3,x\in Z,y\in Z\}$，求$A$ 中元素的个数。
3.函数 $f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{x^2}$ 的图像大致为什么样子？4.已知向量 $a,b$ 满足 $|a|=1$，$a\cdot b=-1$，求 $a\cdot (2a-b)$ 的值。
5.双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为 $3$，求其渐近线方程。
6.在$\triangle ABC$ 中，$\cos A=\frac{4}{5}$，$BC=1$，$AC=5$，求 $AB$ 的值。
7.设计一个程序框图来计算 $S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots-\frac{1}{100}$。
8.XXX猜想是“每个大于 $2$ 的偶数可以表示为两个素数的和”，在不超过 $30$ 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 $30$ 的概率是多少？9.在长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB=BC=1$，$AA_1=3$，求异面直线$AD_1$ 和$DB_1$ 所成角的余弦值。
10.若 $f(x)=\cos x-\sin x$ 在 $[-a,a]$ 上是减函数，求$a$ 的最大值。
11.已知 $f(x)$ 是定义域为 $(-\infty,+\infty)$ 的奇函数，满足 $f(1-x)=f(1+x)$，且 $f(1)=2$，求$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)$ 的值。
12.已知 $F_1,F_2$ 是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点，$A$ 是椭圆的左顶点，点 $P$ 在过 $A$ 且斜率为 $3$ 的直线上，$\triangle PF_1F_2$ 是等腰三角形，且 $\angleF_1PF_2=120^\circ$，求椭圆的离心率。
最新-2018高三二模(理科)无答案试题 精品
顺义区2018届高三第二次统练数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页，共150分。
考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
2．答题前考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡上填写姓名、准考证号，然后再用2B 铅笔将与准考证号对应的信息点涂黑。
3．答题卡上第Ⅰ卷必须用2B 铅笔作答，将选中项涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。
第Ⅱ卷必须用黑色字迹的签字笔按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{}2|1A x x =<，集合{}2|log 0B x x =<，则A B =I ( ) A.()0,1 B.()1,0- C.()1,1- D. (),1-∞2. 已知复数12z i =+，则1z= ( )A. 1233i -+B. 1233i -C.1255i -D. 1255i -+3. 已知向量(3cos ,2)a α=r ，(3,4sin )b α=r ，且a b r rP ，则锐角α等于 （ ）A.6πB.4πC.3π D.512π4.“1m =”是“直线0x y m ++=与圆221x y +=相交”的 （ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 5.阅读下面的程序框图，执行相应的程序，则输出n=n+1s=s+(-1)n ⋅nn=1, s=0n ≤ 10 ?输出 S 开始是否的结果是 （ ）A. 4B. 5C. 6D. 76. 从5名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生被选中的方法数是 （ ） A. 10 B. 20 C. 25 D. 307. 已知函数31()3f x x x =+，则不等式2(2)(21)0f x f x -++>的解集是（ ）A.()),11,-∞+∞UB.()1C.()(),13,-∞-+∞UD. ()1,3- 8.在区间[]0,1上任取两个实数a 、b ，则函数31()3f x x ax b =+-在区间()1,1-上有且仅有一个零点的概率为 （ ）A. 19B. 29C. 79D. 89第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.一个实心铅质的几何体的正视图、侧视图和俯视图都是半径为1的圆，将8个这样的几何体加热熔解后，浇铸成一个实心球，则该球的表面积为__________. 10．若(nax 的展开式共有6项，并且2x 项的系数为10，则n =______.实数a =_____________.11.如图：PA 切圆O 于A ，割线PBC 经过圆心O ，将OA 绕点O 顺时针旋转060到D ，设1O B P B ==，则POD V 的面积等于______.12.设曲线C 的极坐标方程为θρcos 2= )0(>ρ，DABCOP直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-==2t y tx （t 为参数），则曲线C 与直线l 交点的直角坐标为____________.13.已知双曲线22217x y a -=，直线l 过其左焦点1F ，交双曲线的左支于A 、B 两点，且||4AB =，2F 为双曲线的右焦点，2ABF V 的周长为20，则此双曲线的离心率e =__________.14.如图，2(4)n n ≥个正数排成n 行n 列方阵：11121312122232123nnn n n n na a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅L L符号(1,)ij a i j n ≤≤ 表示位于第i 行第j 列的正数. 已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列， 且各列数的公比都等于q . 若1112a =，241a =，3214a =，则q = ________， ij a =__________.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（本小题共12分）已知函数()sin cos f x x x =+，x R ∈．（Ⅰ）求()4f π的值；（Ⅱ）如果函数()()()g x f x f x =-，求函数()g x 的最小正周期和最大值； 16．（本小题共13分）甲、乙两位同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取5次，绘制成茎叶图如下Ⅰ.现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由；Ⅱ.若将频率视为概率，对乙同学在今后的3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为X ，求X 的分布列及数学期望EX . 17．（本小题共14分）已知：四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是菱形,且2PA AB ==，060ABC ∠=，BC 、PD 的中点分别为E 、F .Ⅰ.求证BC PE ⊥Ⅱ.求二面角F AC D --的余弦值Ⅲ.在线段AB 上是否存在一点G ，使得AF ||平面PCG ?若存在指出G 在AB 上位置并给以证明，若不存在，请说明理由.18．（本小题共14分）设a R ∈，函数2()()x f x e a ax x -=+- （e 是自然对数的底数） Ⅰ.若1a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程 Ⅱ.判断()f x 在R 上的单调性19．（本小题共14分）已知两点(0,1)M (0,1)N -，平面上动点(,)P x y 满足||||0NM MP MN NP ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r Ⅰ.求动点(,)P x y 的轨迹C 的方程；Ⅱ.设(0,)Q m ，(0,)R m -（0m ≠）是y 轴上两点，过Q 作直线与曲线C 交于A 、B 两点，试证：直线RA 、RB 与y 轴所成的锐角相等；Ⅲ.在Ⅱ的条件中，若0m <，直线AB 的斜率为1，EB求RAB V 面积的最大值.20．（本小题共13分）在数列{}n a 、{}n b 中，已知16a =，14b =，且n b 、n a 、1n b +成等比数列，n a 、1n b +、1n a +成等差数列，（n N +∈） Ⅰ.求2a 、3a 、4a 及2b 、3b 、4b ,由此猜想{}n a 、{}n b 的通项公式，并证明你的结论； Ⅱ.证明：1122331111720n n a b a b a b a b +++⋅⋅⋅+<++++.。
普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟(二)数学(理)试题 Word版含答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数(二)本试卷共6页，23题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第I 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知i 为虚数单位，复数()12ai a R i +∈-为纯虚数，则a 的值为 A ．2- B ．12- C ．2 D ．122．已知集合{}{}()22log 3,450,R A x x B x x x A C B =<=-->⋂=则 A ．[－1，8)B.(]05， C ．[－1，5) D ．(0，8)3．已知n S 是各项均为正数的等比数列{}n a 前n 项和，7153564,20a a a a S =+==，则A ．31B ．63C ．16D ．1274．设向量)()(,,3,1,//a b x c b c a b b ==-=-，若，则与的夹角为 A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°5．大约2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果，古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线，用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面再渐渐倾斜得到椭圆．若用周长为24的矩形ABCD 截某圆锥得到椭圆Γ，且Γ与矩形ABCD 的四边相切．设椭圆Γ在平面直角坐标系中的方程为()222210x y a b a b +=>>，测得Γ的离心率为2，则椭圆Γ的方程为 A ．221164x y += B ．2214x y +=C ．2216416x y += D ．22154x y += 6．已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量()q x (单位：百件)关于每件衣服的利润x (单位：元)的函数解析式为()1260,020,190180,x x q x x ⎧<≤⎪+=⎨⎪-<≤⎩则当该服装厂所获效益最大时A ．20B ．60C ．80D ．407.已知,x y 满足不等式组240,20,130,x y x y z x y y +-≥⎧⎪--≤=+-⎨⎪-≤⎩则的最小值为A.2B.C. D.1 8．已知函数()2110sin 10sin ,,22f x x x x m π⎡⎤=---∈-⎢⎥⎣⎦的值域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数m 的取A ．,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 9．已知()2112n x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为42-，则n = A.10 B.8 C.12 D.1110.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．30π+B ．803π+ C. 923π+ D ．763π+ 11．已知双曲线()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是双曲线Γ右支上一点，且212PF F F ⊥，过点P 作1F P 的垂线交x 轴于点A ，且22PM MF = ，若PA的中点E 在1F M 的延长线上，则双曲线Γ的离心率是A ．3B ．2+C ．1D ．4+12．已知函数()()()222f x x x x mx n =+++，且对任意实数x ，均有()()33f x f x -+=--，若方程()f x a =有且只有4个实根，则实数a 的取值范围为A ．()16,9-B ．(]16,9-C ．(]16,0-D ．(]16,5--第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。