时程分析阻尼模型及数值计算方法

时程分析阻尼模型及数值计算方法
1、阻尼模型
阻尼是用以描述结构在振动过程中能量的耗散方式，是结构的动力特性，是影响结构动力反应的重要因素之一。

结构振动时，由于结构材料的内摩擦、材料的滞回效应等机制导致能量消耗，使结构振动幅值逐渐减少，最后直至完全静止。

结构的耗能机制非常复杂，它与介质的特征、结构粘性等诸多因素有关。

常用的是粘滞阻尼理论，它认为，阻尼力与速度成正比。

试验也证明，对于许多材料，这种阻尼理论是可行的，并且物理关系简单，便于应用和计算。

根据实测去确定阻尼大小是相当困难的，但由于阻尼的影响通常比惯性力和刚度的影响小，所以一般都采用简化的方法考虑阻尼。

本文采用最为广泛应用的瑞雷阻尼。

瑞雷阻尼假设阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵的线性组合，即
[][][]C M K αβ=+ (4.15)
式中，α、β为常数，可以直接给定，或由给定的任意二阶振型的阻尼比i ξ、j ξ反算求得。

根据振型正交条件，待定常数α和β与振型阻尼比之间的关系应满足：
22
k k k βωα
ξω=
+
(k =1,2,3,…,n ) (4.16a) 任意给定两个振型阻尼比i ξ和j ξ后，可按下式确定比例常数
22
2j i i j
i j
i j
ξωξωαωωωω-=- 222j i i j
i j
ξωξωβωω-=- (4.16b)
i ω、j ω分别为第i 、j 振型的原频率。

本文取前两阶振型频率求得α、β值。

2、数值积分方法
多自由度结构体系动力微分方程为：
[]{}[]{}[]{}[]{}()g
M x C x K x M x t I ++=-
(4.17) 其中，[]M －质量矩阵；[]C －阻尼矩阵；[]K －刚度矩阵；{}I －单位对角阵；()
g x t －地面运动加速度；{}x 、{}x 、{}x
－结构楼层相对于地面的位移、速度和加速度反应。

在结构动力计算中，常用的直接积分法有中心差分法、线性加速度法、Wilson-θ法和Newmark-β法等。

数值计算方法的一个基本要求是算法的收敛性好，中心差分法和线性加速度法是条件稳定的，计算时要求积分步长很小才能保证不发散。

如前者要求积分步长0.318n
n T t T π
∆≤=，
后者要求/10n t T ∆≤，n T 为最高阶振型的周期。

Wilson-θ法是线性加速度法的改进。

当 1.37θ≥时为无条件收敛，但该方法在t t θ+∆处满足动力平衡，退回到t t +∆时有一定的平衡误差。

（1）Newmark-β法
ANSYS 软件采用的是Newmark-β法。

Newmark-β法的特点是假定加速度介于{}t x 和{}t t x +∆
之间的某一常量，记为{}x ，即所谓的常平均加速度假设，根据这一假定，{}x 可表示为
{}{}{}{}()t t t t x x x x γ+∆=+-
(4.18) 其中γ为Newmark 积分参数，满足01γ≤≤。

为了获得稳定高精度的算法，引入另一
积分参数β，满足00.5β≤≤，{}x
可表示为 {}{}{}{}()2t t t t x x x x β+∆=+-
(4.19) 以t 为积分原点，通过积分可获得t +△t 时刻的速度和位移分别为
{}{}{}t t t x
x t x +∆=+∆ (4.20a) {}{}{}{}2
12
t t t t x x t x
t x +∆=+∆+∆ (4.20b) 将式（4.18）、（4.19）分别代入式（4.20a ）、（4.20b ）可得
{}(){}{}1t t t x
x t x t γγ+∆∆=-∆+∆ (4.21a) {}{}{}{}2212t t t t x x
t x t x
t ββ+∆⎛⎫
∆=∆+-∆+∆ ⎪⎝⎭
(4.21b) 则由以上两式可得
{}{}{}{}023t t x a x a x a x ∆=∆--
(4.22a) {}{}{}{}145t t x
a x a x a x ∆=∆-- (4.22b) 其中，
201/a t β=∆ 1/a t γβ=∆ 21/a t β=∆ 31/2a β=
4/a γβ= ()5/21a t γβ=-∆
将动力方程改写为增量的形式：
[]{}[]{}[]{}[]{}g
M x C x K x M x I ∆+∆+∆=-∆
(4.23) 其中[]K 为切线刚度。

把式(4.22a)、(4.22b)代入式(4.23)中，可得
{}{}K x P ∆=∆⎡⎤⎣⎦
(4.24)
其中，
[][][]01K K a M a C =++⎡⎤⎣⎦ (4.25a)
{}[]{}[]{}{}()[]{}{}()2345g t t t t P M x M a x a x C a x a x I ∆=-∆++++
（4.25b) 通过对Newmark-β法的积分逼近算子的特征值分析可知，当1
2γ≥，2
11
42βγ≥+⎛⎫ ⎪⎝⎭
时，
其谱半径≤1，故其算法为无条件稳定。

参数γ和β决定了在时间间隔t ∆内加速度变化的规律。

12
γ=
、16
β=
时，相当于在时间间隔t ∆内加速度线性变化，这就演变为线性加速度法。

通常采用12
γ=
、14
β=
，相当于加速度为阶跃式变化，本文采用这一取值。

Newmark-
β法求解迭代过程如下：
（1）初始计算；
（2）形成刚度矩阵[]K 、质量矩阵[]M 和阻尼矩阵[]C ；
（3）确定初值{}0x 、{}0x 和{}0x
； （4）选择时间步长t ∆、参数γ和β，并计算积分常数0a ～5a ；
（5）根据式(4.25a)、(4.25b)形成等效刚度矩阵[]K 和等效荷载矩阵{}P ∆
；
（6）由式(4.24)求得{}x ∆，再由式(4.22a)、(4.22b)求得{}x ∆ 、{}x
∆ ，依次便可得到{}t t x +∆、{}t t x
+∆ 和{}t t x +∆ 。