2019数学人教A版选修2-2优化练习：第二章 章末优化总结 Word版含解析

章末检测(二)

时间：120分钟 满分：150分

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．根据偶函数定义可推得“函数f (x )＝x 2在R 上是偶函数”的推理过程是( ) A ．归纳推理 B ．类比推理 C ．演绎推理

D ．非以上答案

解析：根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C. 答案：C

2．下面四个推理不是合情推理的是( ) A ．由圆的性质类比推出球的有关性质

B ．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°

C ．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分

D ．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的

解析：A 是类比推理，B 、D 是归纳推理，C 不是合情推理． 答案：C

3．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以a 2>0”，你认为这个推理( )

A ．大前提错误

B ．小前提错误

C ．推理形式错误

D ．是正确的

解析：这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a 是实数”，结论是“a 2>0”．显然结论错误，原因是大前提错误．

答案：A

4．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1

n

，计算得

f (2)＝32，f (4)>2，f (6)>52，f (8)>3，f (10)>7

2，观察上述结果，可推测出一般结论为( )

A ．f (2n )＝n ＋22

B ．f (2n )>n ＋2

2

C ．f (2n )≥n ＋2

2

D ．f (n )>n

2

解析：观察所给不等式，不等式左边是f (2n )，右边是n ＋2

2，故选B.

答案：B

5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，…，可归纳猜想出S n 的表达式为( )

A.2n n ＋1

B.3n －1n ＋1

C.2n ＋1n ＋2

D.2n n ＋2

解析：由a 1＝1，得a 1＋a 2＝22a 2，∴a 2＝13，S 2＝4

3；

又1＋13＋a 3＝32a 3，∴a 3＝16，S 3＝32＝6

4；

又1＋13＋16＋a 4＝16a 4，得a 4＝110，S 4＝85；

……

由S 1＝22＝2×11＋1，S 2＝43＝2×22＋1，S 3＝64＝2×33＋1，

S 4＝85＝2×4

4＋1，…，

可以猜想S n ＝2n

n ＋1.

答案：A

6．如果两个数之和为正数，则这两个数( ) A ．一个是正数，一个是负数 B ．两个都是正数 C ．至少有一个是正数 D ．两个都是负数

解析：这两个数中至少有一个数是正数，否则，若这两个数都不是正数，则它们的和一定是非正数，这与“两个数之和为正数”相矛盾．

答案：C

7．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－

12＋13－14＋…＋1n －1

＝2????1n ＋2＋1n ＋4＋…＋1

2n 时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )

A ．n ＝k ＋1时等式成立

B ．n ＝k ＋2时等式成立

C ．n ＝2k ＋2时等式成立

D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立

解析：因为假设n ＝k (k ≥2为偶数)，故下一个偶数为k ＋2，故选B. 答案：B

8．用数学归纳法证明12

＋22

＋…＋(n －1)2

＋n 2

＋(n －1)2

＋…＋22

＋12

＝n 2(n 2＋1)

3

时，从

n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )

A ．(k －1)2＋2k 2

B ．(k ＋1)2＋k 2

C ．(k ＋1)2

D.1

3

(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1] 解析：当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2…＋22＋12，当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，

∴从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边应添加的式子为(k ＋1)2＋k 2. 答案：B

9.如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →

时，其离心率为

5－1

2

，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )

A.

5＋1

2

B.

5－1

2

C.5－1

D.5＋1

解析：如图所示，设双曲线方程为x 2

a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)，则F (－c,0)，

B (0，b )，A (a,0)．

∴FB →＝(c ，b )，AB →

＝(－a ，b )． 又∵FB →⊥AB →，∴FB →·AB →＝b 2－ac ＝0. ∴c 2－a 2－ac ＝0.∴e 2－e －1＝0.

∴e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故应选A.

答案：A

10．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >13

24的过程中，由n ＝k 到n ＝k ＋1

时，不等式左边的变化情况为( )

A ．增加

1

2(k ＋1)

B ．增加12k ＋1＋1

2(k ＋1)

C ．增加1(k ＋1)＋(k ＋1)，减少1

k ＋1

D ．增加

12(k ＋1)，减少1

k ＋1

解析：当n ＝k 时，不等式的左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1

k ＋k ，当n ＝k ＋1时，不等式的左

边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1(k ＋1)＋(k ＋1)，所以1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1(k ＋1)＋(k ＋1)－(1k ＋1＋

1

k ＋2＋…＋

1k ＋k )＝1(k ＋1)＋(k ＋1)－1

k ＋1

，所以由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式的左边增加1(k ＋1)＋(k ＋1)，减少1

k ＋1

.

答案：C

11．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列{a n }的第2 012项与5的差，即a 2 012－5＝( )

A ．2 018×2 012

B ．2 018×2 011

C ．1 009×2 012

D ．1 009×2 011

解析：由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：n ＝1时，a 1＝2＋3＝12×(2＋3)×2；n ＝2时，a 2＝2＋3＋4＝12×(2＋4)×3……由此我们可以推断：

a n ＝2＋3＋…＋(n ＋2)＝1

2

×[2＋(n ＋2)]×(n ＋1)

∴a 2 012－5＝1

2×[2＋(2 012＋2)]×(2 012＋1)－5＝1 008×2 013－5＝1 009×2 011，故选

D.

答案：D

12．语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种．若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好．”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，并且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的．问满足条件的最多有多少学生( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

解析：假设A 、B 两个同学的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩高的同学比另一个同学“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾．因此，没有任意两个同学数学成绩是相同的．同理，没有任意两个同学语文成绩是相同的．因为语文、数学两学科成绩各有3种，因而同学数量最大为3.即 3位同学成绩分别为(优秀，不合格)、(合格，合格)、(不合格，优秀)

时满足条件．

答案：B

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．已知x ，y ∈R ，且x ＋y <2，则x ，y 中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．

解析：“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”，故其对立面为“x ，y 都大于1”．

答案：x ，y 都大于1

14．已知f (x )＝x

e x ，定义

f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝

[f 1(x )]′，…，f n ＋1(x )＝[f n (x )]′，n ∈N.经计算

f 1(x )＝1－x e x ，f 2(x )＝x －2e x ，f 3(x )＝3－x

e x ，…，照此规律，则

f n (x )＝________.

解析：观察各个式子，发现分母都是e x ，分子依次是

－(x －1)，(x －2)，－(x －3)，(x －4)，…，括号前是(－1)n ，括号里是x －n ， 故f n (x )＝(－1)n (x －n )

e x .

答案：(－1)n (x －n )e x

15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16

T 12成等比

数列．

解析：由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比到等比数列为依次每4项的积的商成等比数列．即T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16

T 12

成等比数列．

答案：T 8T 4 T 12

T 8

16．在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O -LMN ，如果用S 1、S 2、S 3表示三个侧面面积，S 表示截面面积，那么类比得到的结论是________．

解析：类比如下：

正方形?正方体；截下直角三角形?截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方?三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和?三棱锥三个侧面面积的平方和，

结论S 2＝S 21＋S 22＋S 2

3.

证明如下：如图，作OE ⊥平面LMN ，垂足为E ，连接LE 并延长交MN 于F ，连接NE ，ME ，OF .

∵LO ⊥OM ，LO ⊥ON ，∴LO ⊥平面MON ， ∵MN ?平面MON ，∴LO ⊥MN ，

∵OE ⊥MN ，∴MN ⊥平面OFL ，∴S △OMN ＝12MN ·OF ，S △MNE ＝12MN ·FE ，S △MNL ＝1

2MN ·LF ，

OF 2＝FE ·FL ，∴S 2△OMN ＝(1

2

MN ·OF )2＝ (12MN ·FE )·(1

2

MN ·FL )＝S △MNE ·S △MNL ，同理S 2△OML ＝S △MLE ·S △MNL ，S 2△ONL ＝S △NLE ·S △MNL ，∴S 2△OMN ＋S 2△OML ＋S 2△ONL ＝(S △MNE ＋S △MLE ＋S △NLE )·S △MNL ＝S 2△MNL ，即S 21＋S 22＋S 23＝S 2.

答案：S 2＝S 21＋S 22＋S 2

3

三、解答题(本大题共6小题，共74分，必要的解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分12分)设a ，b ∈(0，＋∞)，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 证明：要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立， 即需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立． 又因a ＋b >0，

故只需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立， 即需证a 2－2ab ＋b 2>0成立， 即需证(a －b )2>0成立．

而依题设a ≠b ，则(a －b )2>0显然成立． 由此命题得证．

18．(本小题满分12分)用综合法或分析法证明： (1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b 2

；

(2)已知m ＞0，a ，b ∈R ，求证：? ????a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 2

1＋m . 证明：(1)当a ，b >0时，有a ＋b

2

≥ab ， ∴lg

a ＋

b 2≥lg ab ，∴lg a ＋b 2≥12lg ab ＝lg a ＋lg b

2

. (2) ∵m ＞0，∴1＋m ＞0.所以要证原不等式成立， 只需证(a ＋mb )2≤(1＋m )(a 2＋mb 2)， 即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0，

即证(a －b )2≥0，而(a －b )2≥0显然成立，故原不等式得证． 19. (本小题满分12分)已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)．

(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．

证明：(1)任取x 1、x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 10，ax 2－x 1>1且ax 1>0， ∴ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0，又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)， 于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，

故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． (2)设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，

则ax 0＝－x 0－2x 0＋1，且0

2

故方程f (x )＝0没有负数根．

20．(本小题满分12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：

①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.

(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解析：(1)选择②式，计算如下：

sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝3

4

.

(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝3

4.

证明如下：

sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)

＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)

＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.

21．(本小题满分13分) 设数列a 1，a 2，…，a n ，…中的每一项都不为0.证明{a n }为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N *，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n

a 1a n ＋1

.

证明：先证必要性．

设数列{a n }的公差为d .若d ＝0，则所述等式显然成立．

若d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ? ????a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2

a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1 ＝1d ????????1a 1－1a 2＋????1a 2－1a 3＋…＋????1a n －1a n ＋1＝1d ????1a 1－1a n ＋1＝a n ＋1－a 1da 1a n ＋1＝

n

a 1a n ＋1. 再证充分性． (直接证法)依题意有

1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1

，① 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＋1

a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2.② ②－①得1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2－n a 1a n ＋1

，

在上式两端同乘a 1a n ＋1a n ＋2，得a 1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2.③ 同理可得a 1＝na n －(n －1)a n ＋1(n ≥2)，④ ③－④得2na n ＋1＝n (a n ＋2＋a n )， 即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，⑤

又由①当n ＝2时，得等式1a 1a 2＋1a 2a 3＝2

a 1a 3，两端同乘a 1a 2a 3，即得a 1＋a 3＝2a 2，知a 3

－a 2＝a 2－a 1，故⑤对任意n ∈N *均成立．所以{a n }是等差数列．

22．(本小题满分13分)(2014·高考北京卷)对于数对序列P ：(a 1，b 1)，(a 2，b 2)，…，(a n ，b n )，记T 1(P )＝a 1＋b 1，T k (P )＝b k ＋max{T k －1(P )，a 1＋a 2＋…＋a k }(2≤k ≤n )，其中max{T k －

1(P )，a 1＋a 2＋…＋a k }表示

T k －1(P )和a 1＋a 2＋…＋a k 两个数中最大的数．

(1)对于数对序列P ：(2,5)，(4,1)，求T 1(P )，T 2(P )的值；

(2)记m 为a ，b ，c ，d 四个数中最小的数，对于由两个数对(a ，b )，(c ，d )组成的数对序列P ：(a ，b )，(c ，d )和P ′：(c ，d )，(a ，b )，试分别对m ＝a 和m ＝d 两种情况比较T 2(P )

和T2 (P′)的大小；

(3)在由五个数对(11,8)，(5,2)，(16,11)，(11,11)，(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值．(只需写出结论)．

解析：(1)T1(P)＝2＋5＝7，T2(P)＝1＋max{T1(P)，2＋4}＝1＋max{7,6}＝8.

(2)T2(P)＝max{a＋b＋d，a＋c＋d}，

T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}．

当m＝a时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋d＋b.

因为a＋b＋d≤c＋b＋d，且a＋c＋d≤c＋b＋d，所以T2(P)≤T2(P′)．

当m＝d时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b.

因为a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2(P)≤T2(P′)．

所以无论m＝a还是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立．

(3)数对序列P：(4,6)，(11,11)，(16,11)，(11,8)，(5,2)的T5(P)值最小，

T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，

T5(P)＝52.