大连理工大学数学物理方法及量子力学近年真题
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2011 年
数理
第一大题：10 个小题 б 函数的定义和用法， 格林函数法求解步骤， 极坐标系下柯西黎曼条件证明， 简单的洛朗展开的计算， 勒让德函数自然边界条件以及本征值本证函数， 用拉普拉斯变换把一个数学物理方程变换式变换出来（含边界和初始条件）
二：写出贝塞尔函数的母函数，并由此推导出贝塞尔函数的递推公式（这个公式就是书上 的一个公式，我暂时想不出来了） 三：两道计算题： 第一是用留数定理计算积分（好像是第二种情况） ；第二是用柯西积分公式计算积分。 四：稳定场方程在指定条件下的求解（边界是其次的） 。 五：球函数的应用题，很常规的，跟 ΘΦ 有关。 六：利用傅里叶变换求解半无界区域的数理方程。
2、如果该体系为一维谐振子，且 F（x）=x，结果将如何？
P164
大连理工大学 2013 量子力学真题（完整版）
一．简答题 1 已知[A,B]=iC,问 AB 可否同时有确定值？为什么 2 已知[A,B]=C,C 为常数，问 AB 可否同时有确定值，为什么 3 ψ ( x ) = δ ( x − x0 ) 位置，动量的不确定度 4 写出泡利矩阵及其对易关系 5 在量子力学中为什么说静止的粒子不存在？ 6 写出坐标，动量的不确定度并解释其物理意义 7 试估算一维谐振子的零点能 8 举例说明，AB 同时与 C 対易，但 AB 可能不対易（ABC 都是算符） 9 为什么幺正变换不改变力学量的本征值？ 10AB 均为厄米算符，证 C=-i[A,B]也是厄米算符 11 用全同性原理解释泡利不相容原理 12 一个混态能否幺正演化为一个纯态？为什么？ 二.计算题 1 一电子处于自旋态|Ψ〉=
→ → → →
1 0
的几率 2
5 在阱宽为 a 的一维无限深方势阱内放入两个质量均为 m 的无自旋粒子， 两个粒子之间相互 作用势 v( x, x2 ) = v0δ ( x −ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx2 ) （1）写出不考虑两个粒子的相互作用时，体系的 H，能量本征值和本证函数。 （2）试求在微扰 H = V0δ ( X 1 − X 2 ) 的作用下基态能量的一级修正值。
1 ﹛|↑x〉＋|↓x〉﹜ 2
求在自旋态下， S X 的可能测值及相应几率 在自旋态下， S Z 的可能测值及几率 2 设一个质量为 m 的粒子束缚在势场 V(x)中做一维运动，其能量本征值和本证函数分别为
En
，ψ n
，n=1,2……，求证 ψ mψ n dx = 0(m ≠ n)
−∞
∞
∫
3 证明，两个厄米算符满足关系 [ A, B ] = i 算符 A、B 将满足 Heisenberg 不确定关系 4 磁矩为 µ =的电子置于方向为 n = (sin θ cos ϕ , sin θ sin ϕ , cos θ ) 的均匀磁场 B = B0 n 中 求该系统的能量本征值和本征态 设 t=0 时刻，电子的自旋处于 态，求任意时刻粒子处于 S x = ±
′
考研专业课培训专家
网址：http://www.kaoyanmeng.com
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量子
一.空间自由粒子 t=0时候波函数为 ψ（0）=coskx 1、求任意时间的波函数表达式 2、求任意时刻的动量可能值和相应的概率 二.设一维无限深势阱中运动粒子的波函数为 ψ（x）=4/√a sin（πx/a）cos²（πx/a） ，求 在此任意态下，粒子能量的可能值和相应的概率 练习册 p40 三. 四.求证：P×L+L×P=2ihP p50 练习册 p87 p110
五.求氢原子1s 电子的动能，势能的平均值。 （1s 的波函数给出） 六.求在 Sz 的本征态 I↑z>=﹙10）下，求 σ•n 的可能值及相应几率
七.有一量子态体系， 其 hamilton 量为 Ho， 并已知 Ho 的本征值和本证函数分别为 En 和 ψn， （n=1,2,3…..）.在初始时刻 t=0，体系处于 ψo 态，当 t>0时体系开始受到一微扰 H′=F（x） exp（-βt）的作用。在一级近似下求 1、经过充分长的时间后，体系跃迁到 ψn 的几率
数理
第一大题：10 个小题 б 函数的定义和用法， 格林函数法求解步骤， 极坐标系下柯西黎曼条件证明， 简单的洛朗展开的计算， 勒让德函数自然边界条件以及本征值本证函数， 用拉普拉斯变换把一个数学物理方程变换式变换出来（含边界和初始条件）
二：写出贝塞尔函数的母函数，并由此推导出贝塞尔函数的递推公式（这个公式就是书上 的一个公式，我暂时想不出来了） 三：两道计算题： 第一是用留数定理计算积分（好像是第二种情况） ；第二是用柯西积分公式计算积分。 四：稳定场方程在指定条件下的求解（边界是其次的） 。 五：球函数的应用题，很常规的，跟 ΘΦ 有关。 六：利用傅里叶变换求解半无界区域的数理方程。
2、如果该体系为一维谐振子，且 F（x）=x，结果将如何？
P164
大连理工大学 2013 量子力学真题（完整版）
一．简答题 1 已知[A,B]=iC,问 AB 可否同时有确定值？为什么 2 已知[A,B]=C,C 为常数，问 AB 可否同时有确定值，为什么 3 ψ ( x ) = δ ( x − x0 ) 位置，动量的不确定度 4 写出泡利矩阵及其对易关系 5 在量子力学中为什么说静止的粒子不存在？ 6 写出坐标，动量的不确定度并解释其物理意义 7 试估算一维谐振子的零点能 8 举例说明，AB 同时与 C 対易，但 AB 可能不対易（ABC 都是算符） 9 为什么幺正变换不改变力学量的本征值？ 10AB 均为厄米算符，证 C=-i[A,B]也是厄米算符 11 用全同性原理解释泡利不相容原理 12 一个混态能否幺正演化为一个纯态？为什么？ 二.计算题 1 一电子处于自旋态|Ψ〉=
→ → → →
1 0
的几率 2
5 在阱宽为 a 的一维无限深方势阱内放入两个质量均为 m 的无自旋粒子， 两个粒子之间相互 作用势 v( x, x2 ) = v0δ ( x −ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx2 ) （1）写出不考虑两个粒子的相互作用时，体系的 H，能量本征值和本证函数。 （2）试求在微扰 H = V0δ ( X 1 − X 2 ) 的作用下基态能量的一级修正值。
1 ﹛|↑x〉＋|↓x〉﹜ 2
求在自旋态下， S X 的可能测值及相应几率 在自旋态下， S Z 的可能测值及几率 2 设一个质量为 m 的粒子束缚在势场 V(x)中做一维运动，其能量本征值和本证函数分别为
En
，ψ n
，n=1,2……，求证 ψ mψ n dx = 0(m ≠ n)
−∞
∞
∫
3 证明，两个厄米算符满足关系 [ A, B ] = i 算符 A、B 将满足 Heisenberg 不确定关系 4 磁矩为 µ =的电子置于方向为 n = (sin θ cos ϕ , sin θ sin ϕ , cos θ ) 的均匀磁场 B = B0 n 中 求该系统的能量本征值和本征态 设 t=0 时刻，电子的自旋处于 态，求任意时刻粒子处于 S x = ±
′
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网址：http://www.kaoyanmeng.com
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量子
一.空间自由粒子 t=0时候波函数为 ψ（0）=coskx 1、求任意时间的波函数表达式 2、求任意时刻的动量可能值和相应的概率 二.设一维无限深势阱中运动粒子的波函数为 ψ（x）=4/√a sin（πx/a）cos²（πx/a） ，求 在此任意态下，粒子能量的可能值和相应的概率 练习册 p40 三. 四.求证：P×L+L×P=2ihP p50 练习册 p87 p110
五.求氢原子1s 电子的动能，势能的平均值。 （1s 的波函数给出） 六.求在 Sz 的本征态 I↑z>=﹙10）下，求 σ•n 的可能值及相应几率
七.有一量子态体系， 其 hamilton 量为 Ho， 并已知 Ho 的本征值和本证函数分别为 En 和 ψn， （n=1,2,3…..）.在初始时刻 t=0，体系处于 ψo 态，当 t>0时体系开始受到一微扰 H′=F（x） exp（-βt）的作用。在一级近似下求 1、经过充分长的时间后，体系跃迁到 ψn 的几率