2019年暑假北师大版九年级数学上册 第一章特殊平行四边形提高培优讲义教案设计(含答案)
2019年暑假北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形提高培优讲义：特殊四边形的存在性问题一、坐标系下平行四边形的存在性问题 1．已知三点求第四点构成平行四边形：如图所示，已知11(,)B x y ，22(,)C x y ，33(,)D x y ，在平面内找一点(,)A x y ，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为平行四边形．2．解决方法，分两步走：（1）找点：连接BC 、CD 、BD 得到BCD △，以三角形中任意一条边作为平行四边形的对角线，另外两条边作为平行四边形的一组邻边，依次做两邻边的平行线，分别相交于A 、A'、A''三点．（2）求点定点：分类讨论，以哪条线为对角线分类讨论． ①几何中心法（适用解答大题）：在平行四边形ABCD 中，连接其对角线AC 、BD 相交于点00(,)E x y ，则E 是BD 的中点，∴E 点坐标可表示为1313,22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭， 同理E 也是AC 的中点，∴E 点坐标也可表示为22,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭， ∴13222x x x x ++=，13222y y y y ++=，由此即可求出A 点坐标． 同理可以求得，A'、A''的坐标． ②公式法（填空选择题）：直接利用对角的点的横坐标的和相等，纵坐标的和相等，即132x x =x x ++，132y y =y y ++．3．例题讲解：例1、（1）在平面直角坐标系内A ，B ，C 三点的坐标分别是15,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，19,22⎛⎫⎪⎝⎭，(2,0)，以A ，B ，C 三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点坐标为_________________．（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线P A 是一次函数(0)y x m m =+>的图象，直线PB 是一次函数3()y x n n m =-+>的图象，y "A D A xBEC OA'点P 是两直线的交点，点A 、B 、C 、Q 分别是两条直线与坐标轴的交点．若四边形PQOB 的面积是5.5，且:1:2CQ AO =，若存在一点D ，使以A 、B 、P 、D 为顶点的四边形是平行四边形，则点D 的坐标为__________．【解析】（1）(2,7)-，(3,2)，(1,2)-；（2）159,22D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭、2119,22D ⎛⎫- ⎪⎝⎭、3139,22D ⎛⎫⎪⎝⎭．例2、如图，已知一次函数6y =+的图像分别交x 轴，y 轴于A ，B 两点，点(0,2)D ，点N 在x 轴上，直线AB 上是否存在点M ，使以M 、N 、B 、D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】由题意得，(0,6)B ，(0,2)D ，设6M m ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，(,0)N n ， ①当BD 为对角线时，由题意得，860m n ++=⎧=，解得m n ⎧=⎪⎨=-⎪⎩∴M ； ②当BM 为对角线时，由题意得，122m n =⎧=+，解得m n ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩(4)M --，③当DM 为对角线时，由题意得，86m n =⎧=+，解得m n ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩(M -，综上所述，M或(4)M --或(4)M --．例3、如图3-1，在平面直角坐标中，直角梯形OABC 的顶点A 的坐标为(4,0)，直线134y x =-+经过顶点B ，与y 轴交于顶点C ，AB//OC ．（1）求顶点B 的坐标；备用图（2）如图3-2，直线l 经过点C ，与直线AB 交于点M ，点O '为点O 关于直线l 的对称点，连接CO '，并延长交直线AB 于第一象限的点D ，当5CD =时，求直线l 的解析式； （3）在（2）的条件下，点P 在直线l 上运动，点Q 在直线OD 上运动，以P 、Q 、B 、C 为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出点P 的坐标；若不能，说明理由．【解析】（1）∵(4,0)A ，AB//OC ，设点B 的坐标为(4,)y ，把4x =代入134y x =+中，得2y =，∴(4,2)B ；（2）过C 点作CN AB ⊥于N ， ∵AB//OC ，∴OCM DMC ∠=∠， 由题意DCM OCM ∠=∠， ∴DCM DMC ∠=∠ ∴5CD MD ==，∵134y x =-+，当0x =时3y =，∴3OC =， ∵4CN OA ==， ∴2NM =， ∴1AM =， ∴(4,1)M设l 解析式y kx b =+把(03)，，(4,1)代入得备用图1314b k b =⎧⎨=+⎩，解得123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴l 的解析式132y x =-+；（3）∵6AD =，BC 为一边， ∴(4,6)D ， ∴OD 的解析式为32y x =， 过P 作y 轴垂线交直线AD 于点U ，过点Q 作x 轴平行线与y 轴交于点V ， 设点1,32P x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∵OCQ ABP ∠=∠,90CVQ PUB ∠=∠=︒，且CQ PB =， ∴CVQ BUP △≌△，则4PU QV x ==-，∴14,42Q x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入32y x =中，得5x =，∴115,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，如图，同理2(2,4)P -，当BC 为对角线时，设1,32P a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，3,2Q b b ⎛⎫⎪⎝⎭，即4133522a b a b +=⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 解得22a b =⎧⎨=⎩，∴3(2,2)P ． 二、菱形的存在性问题1．题型描述：已知两个定点A 、B ，在定直线l 上有一点C ，在平面内有一点D 使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为菱形．2．解决方法，分两步走：（1）转化：转化为等腰三角形的存在性问题．（2）等腰三角形存在性问题： ①找点：两圆一线；②求点：以谁为顶点分类讨论． 4．例题讲解：例4、（1）已知如图，直线2y =+与坐标轴交于A 、B 两点，若点P 是直线AB 上的一个动点，试在坐标平面内找一点Q ，使以O 、B 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形，则Q 的坐标是__________．（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的边OC 、OA 分别与x 轴、y 轴重合，AB//OC 90AOC ∠=︒，45BCO ∠=︒，BC =C 的坐标为(18,0)-． ①求点B 的坐标；②若点P 是直线:4DE y x =-+上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q ，使以O 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）1)-（或(3,或3（）或(3,--．（2）①过点B 作BF x ⊥轴于F ，在Rt BCF △中，∵45BCO ∠=︒，BC =12CF BF ==， ∵C 的坐标为(18,0)-，∴6AB OF ==， ∴点B 的坐标为(6,12)-．②结论：存在．将菱形的问题转化成等腰三角形的问题． 1）当OP 为对角线，即EO EP =，则有124PE P E OE ===，∴114PN NF ===-∴1P -，∴1Q -；2(P -+，∴2(Q -；2）当EP 为对角线，即OE OP =， ∴3(4,0)P ，∴3(4,4)Q ；3）当OE 为对角线，即EP OP =， ∴4(2,2)P ，∴4(2,2)Q -．综上所述，存在点Q ，使以O 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形； 点Q的坐标为：1Q -，2(Q -，3(4,4)Q ，4(2,2)Q -例5、如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是平行四边形，6AD =，4OA =、3OB =，若点M 在平面直角坐标系内，则在直线AB 上是否存在点F ，使以A 、C 、F 、M 为顶点的四边形为菱形？若存在，求F 点的坐标，若不存在，请说明理由．【解析】1(3,8)F ；2(3,0)F -；37522147F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，；44244,2525F ⎛⎫- ⎪⎝⎭．三、矩形的存在性问题1．题型描述：已知两个定点A 、B ，在定直线l 上有一点C ，在平面内有一点D 使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为矩形．2．解决方法，分两步走：（1）转化：转化为直角三角形的存在性问题． （2）直角三角形存在性问题： ①找点：两线一圆；②求点：以谁为直角分类讨论． 3. 例题讲解：例6、如图，平面直角坐标系xOy 中，直线l 的函数解析式为23y x =+，点P 在直线l 上，已知(1,0)A -、32B （，），在坐标平面内是否存在一点Q ，使得以P 、A 、Q 、B 为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出P 、Q 两点的坐标，若不存在，请说明理由．【解析】存在，将矩形的问题转化成直角三角形的问题．由题意得，(1,0)A -、32B （，），∴直线AB 为：1122y x =+． ①当90A ∠=︒时，则AP AB ⊥，点P在过点A 且垂直于AB 的直线上， 此时直线AP 的解析式为：22y x =--， 由题意得，2223y x y x =--⎧⎨=+⎩，解得5412x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴51,42P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，115,42Q ⎛⎫⎪⎝⎭，②当90B ∠=︒，则BP AB ⊥，点P 在过点B 且垂直于AB 的直线上， 此时直线BP 的解析式为：28y x =-+，由题意得，2823y x y x =-+⎧⎨=+⎩，解得54112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴511,42P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，117,42Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，③当90P ∠=︒，则PA PB ⊥，设点(,23)P m m +， 由题意得，(23)(21)1(1)(3)m m m m ++=-+-，即2560m m +=，解得10m =，265m =-，∴()0,3P 或63,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴(2,1)Q -或167,55Q ⎛⎫⎪⎝⎭，综上所述，51,42P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，511,42P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,3)P ，63,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，对应的点Q 为115,42Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，117,42Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2,1)Q -，167,55Q ⎛⎫⎪⎝⎭．四、复习巩固及课后作业1、如图，已知直线1:22l y x =-+与x 轴，y 轴交于M ，N 两点，直线y x m =+与直线l 交于点P ．（1）若点P 在第一象限，试求出m 的取值范围．（2）当直线y x m =+经过线段OM 的中点B ，求出两直线交点P 的坐标．（3）若点M 关于原点的对称点为C ，过C 作x 轴的垂线x n =，点A 在x 轴上，与原点O关于直线x n =对称，设点Q 在直线122y x =-+上，点E 在直线x n =上，若以A ，O ，E ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点E 的坐标．【解析】（1）∵直线122y x =-+和直线y x m =+相交点P ，∴可得：122y x y x m ⎧=-+⎪⎨⎪=+⎩，解得42343m x m y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∴点P 的坐标为424,33m m -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵点P 在第一象限，可得4203403mm -⎧>⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩，解得24m m <⎧⎨>-⎩，解得42m -<<，∴m 的取值范围为42m -<<．（2）∵直线122y x =-+与x 轴交于M 点，把0y =分别代入解析式中，可得：点(4,0)M ，∵B 为OM 的中点，∴点B 的坐标为(2,0)，∵(2,0)B 在y x m =+上， ∴得：20m +=，解得：2m =-，∴直线的解析式为：2y x =-，∴82,33P ⎛⎫⎪⎝⎭．（3）∵(4,0)M ，∴(4,0)C -，∴可得直线的解析式为：4x =-，且可得(8,0)A -，又(0,0)O ，设(4,)E m -，1,22Q n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭①当OA 为对角线时，由题意得，4801202n m n -+=-+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得44m n =-⎧⎨=-⎩，∴(4,4)E --， ②当OE 为对角线时，由题意得，84012002n n m -+=-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得04m n =⎧⎨=⎩，∴(4,0)E -（舍去）③当AE 为对角线时，由题意得，04812002n n m +=--⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得812m n =⎧⎨=-⎩，∴(4,8)E -，综上所述，(4,4)E --或(4,8)E -．2、如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 轴、y 轴上，线段OA 、OB 的长()OA OB ＜是方程218720x x -+=的两个根，点C 是线段AB 的中点，点D 在线段OC 上，2OD CD =． （1）求点C 的坐标； （2）求直线AD 的解析式；（3）P 是直线AD 上的点，在平面内是否存在点Q ，使以O 、A 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）由题意得，218720x x -+=，解得16x =，212x =，∴6OA =，12OB =，∴(6,0)A ，(0,12)B ，∴(3,6)C ．（2）作DF x ⊥轴于点F ，CE x ⊥轴于点E ， 则OFD OEC △△∽，∴23OF OD OE OC ==， 可得2OF =，4DF =．∴(2,4)D ． 设直线AD 的解析式为y kx b =+．∴6024k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得16k b =-⎧⎨=⎩，∴6y x =-+．∴直线AD 的解析式为6y x =-+．（3）存在．如图：分为P 在x 轴上方和P 在x 轴下方两种情况，1(Q -；2Q -；3(3,3)Q -；4(6,6)Q ．3、如图，在平面直角坐标系中，已知Rt AOB △的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，且OA 、OB 的长满足2|8|(60OA OB -+-=），ABO ∠的平分线交x 轴于点C 过，点C 作AB 的垂线，垂足为点D ，交y 轴于点E ． （1）求线段AB 的长； （2）求直线CE 的解析式；（3）若M 是射线BC 上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P ，使以A 、B 、M 、P 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）10AB =；2019年暑假北师大版九年级数学上册 第一章特殊平行四边形提高培优讲义教案设计（含答案）11 / 11 （2）443y x =--； （3）1(3,2)P 或2(4,8)P -．。
北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形教案1.1菱形的性质与判定综合
菱形性质的探究
教学过程
菱形的面积公式：
1.根据菱形是平行四边形求菱形的面积
2.求证：菱形的面积等于其对角线长的乘积的一半
已知：
求证：
例1.如图，菱形花坛ABCD的周长为80m，∠ABC＝60度，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（分别精确到0.01m和0.01m）
A. B. C. D.3.
3.如图所示,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个钝角为120°的菱形,剪口与第二次折痕所成角的度数应为()
A.15°或30°B.30°或45°C.45°或60°D.30°或60°
4．如图1－1－38，在给定的一张平行四边形纸片ABCD上作一个菱形，甲、乙两人的作法如下：
5.如图所示,在菱形ABCD中,AE垂直平分BC,垂足为E,AB=4 cm.那么,菱形ABCD的面积是________,对角线BD的长是________.
6.如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，E，F分别是BC，DC上的点，∠EAF=60°，连接EF，则△AEF的面积最小值是．
7如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．
8.如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．
求证：（1）求∠BGD的度片叠放在一起得到如图29所示的四边形ABCD.
(1)求证：四边形ABCD是菱形．
第一章特殊的平行四边形
课题
§1.1菱形的性质与判定
总课时
2019九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形 1.1.2 菱形的性质与判定教案 (新版)北师大版
课 题 菱形的性质和判定（二） 课标 P34 探究并证明菱形的判定定 理 课程标准
1. 通过教师引导，学生独立思考，能正确表述菱形的判定定理；
课时安排
共（3
）课时
学习目标
2. 通过实际画图操作，能独立探索菱形判定定理的证明过程，并能用规范严谨的数学语
言证明；
3. 通过对具体问题的分析，能灵活应用菱形的判定定理解决实际问题.
4.判定定理的应用
（1）完成课本 P6 做一做
学生独立思考， 教师引导说出 理论依据，加强概念的巩固。 （2）已知:如图,在□ABCD 中,对角线 AC 的垂直平分线分别与 AD、
AC、BC 相较于点 E、O、F.
求证: 四边形 AECF 是菱形
学生独立 思考并写出解析过程，个别提问，教师规范板书。并点 出本体证明的要点和易错点。这里让学生运用刚刚证明的两个判定定 理解决问题，进一步发展学生的推理能力，同时，通过对教材 P7 随堂 练习的解决，让学生找寻不同的解题方法，培养学生的分析能力，深 环 节 三 刻体会数学思想的多样性和灵活性。在一题多解的过程中，贯彻分层 教学的理念，让学生在思维最活跃的时候，最大化地提高学生能力.
7.课堂小结
边形,AC 交 BD 于点 O，添加一个条件： ________________,判定它为菱形.
（2）
课后作业设计： 1.课本 习题 1.2 2.《全品学练考》作业手册
（修改人： 1-3 题 P3-4 必做 1-12 题（必做）
成 形 终 最 的 场 市 界 世 和 命 革 业 工 次 两 17讲 第 练 标 达 下 课 8) 满 钟 45分 ： 间 (时 8) 4分 小 每 12， 共 大 (本 题 择 选 、 一 () 了 映 反 这 术 技 新 用 雇 少 耗 消 本 入 投 多 能 可 发 开 来 汁 脑 尽 绞 都 业 行 各 是 于 。 宜 便 为 极 却 格 价 的 炭 煤 而 惊 得 高 平 水 资 人 工 象 现 种 一 成 形 渐 逐 国 英 ， 期 8中 到 纪 6世 1． 成 形 始 初 的 断 垄 业 行 A． 赖 依 的 炭 煤 对 动 启 化 代 近 B． 锐 尖 渐 日 的 盾 矛 资 劳 C． 件 条 特 独 的 启 命 革 力 动 D． 误 B错 化 近 映 反 未 并 除 排 体 无 在 AC两 ； 确 正 项 故 件 条 特 独 其 有 启 命 革 力 见 可 生 而 运 应 明 汽 蒸 动 劳 替 代 器 机 源 能 以 后 此 术 技 新 佣 雇 少 耗 消 多 出 发 开 投 法 设 方 想 业 行 各 是 于 ， 象 现 的 宜 便 为 极 却 格 价 炭 煤 、 惊 得 高 资 人 工 了 成 形 渐 逐 国 英 8期 到 纪 16世 中 料 材 D。 选 ： 析 解 () 期 初 命 革 业 出 映 反 这 。 恩 尼 奥 · 得 彼 头 他 和 特 科 主 厂 法 拌 搅 铁 熟 产 生 兼 个 顿 普 伦 克 骡 ， 工 织 是 原 斯 夫 里 格 哈 者 明 发 的 机 纱 纺 妮 珍 2． 合 结 正 真 未 尚 术 技 和 学 科 A． 现 新 的 学 科 于 赖 依 明 发 术 技 B． 术 技 新 了 断 垄 主 场 工 手 C． 衡 平 不 而 慢 缓 程 进 播 传 术 技 新 D． D 关 无 程 进 播 传 新 符 不 原 斯 夫 里 格 哈 机 妮 珍 C与 误 B错 系 联 接 直 太 有 没 并 ； 确 项 故 合 结 正 真 未 尚 学 了 映 反 人 熟 娴 术 技 是 都 大 者 明 发 命 革 业 次 一 第 知 可 ， 息 信 等 头 的 他 和 特 科 主 厂 兼 纱 纺 ” 工 织 “ 料 材 据 A。 选 ： 析 解 () 这 力 持 保 能 又 时 同 闲 休 何 任 让 不 换 更 流 里 大 卜 萝 麦 小 、 菁 芜 植 种 上 土 块 的 场 在 别 分 即 ” 制 作 轮 四 “ 做 叫 新 项 一 中 其 。 命 革 术 技 业 农 了 生 发 区 地 部 东 国 英 7， 至 代 160年 3． 程 进 市 城 和 化 业 工 国 英 动 推 A． 给 自 食 粮 现 实 国 英 成 促 B． 大 扩 距 差 济 经 部 西 东 国 英 致 导 C． 幕 序 动 运 地 圈 国 英 开 揭 D． D 关 无 产 生 目 题 与 力 劳 由 量 大 供 它 ” 人 吃 羊 “ 动 运 C圈 较 比 展 发 济 经 西 不 行 进 部 东 仅 误 B错 给 自 食 粮 明 说 未 并 ； 确 正 项 故 础 基 定 奠 化 为 率 用 利 地 土 了 高 提 法 做 一 这 ， 术 技 农 前 命 革 业 工 国 英 是 的 映 反 中 料 材 A。 选 ： 析 解 () 确 准 最 解 理 点 观 者 作 对 ” 。 卒 为 成 则 钟 时 而 ， 狱 监 的 新 种 一 是 厂 工 “ ： 说 曾 斯 德 兰 · 卫 大 人 国 英 4． 方 地 的 发 频 罪 犯 了 成 厂 工 A． 段 手 理 管 的 狱 监 仿 模 厂 工 B． 削 剥 的 人 个 对 织 组 断 垄 判 批 C． 活 人 工 了 化 异 产 生 器 机 D． 确 正 活 了 化 异 产 生 器 机 下 度 制 知 可 C据 织 组 断 垄 出 已 明 说 能 B还 段 手 理 管 仿 模 迫 压 削 剥 人 对 现 体 要 主 卒 为 成 则 钟 时 而 ； 误 错 故 ， 符 不 思 意 ” 狱 监 的 新 种 一 是 厂 工 “ 料 材 与 A项 D。 选 ： 析 解 () ” 身 脱 中 其 能 人 无 界 卷 席 已 日 今 纪 世 个 过 广 推 欧 西 由 ， 态 形 济 经 代 现 新 全 这 。 面 两 的 体 一 于 当 相 产 生 业 工 与 义 主 本 资 “ 5． 国 各 美 欧 的 期 晚 纪 19世 于 始 开 A． 路 道 义 主 本 资 了 上 走 国 各 界 世 使 B． 体 整 一 统 向 走 展 发 散 分 由 类 人 使 C． 段 阶 明 文 业 工 到 入 进 史 历 类 人 使 D． 确 正 期 时 明 文 入 进 会 社 动 展 发 义 主 本 资 指 ” 身 脱 其 能 无 界 卷 席 已 日 今 个 两 过 广 推 欧 西 态 形 济 经 代 现 全 一 这 “ 中 据 C根 辟 路 航 新 体 整 向 走 散 分 由 类 人 实 史 合 符 不 对 绝 太 法 B说 ； 误 错 A项 故 国 英 纪 19世 于 始 开 ， 产 生 化 业 工 是 的 映 反 料 材 D。 选 ： 析 解 () 是 式 形 织 组 符 相 这 与 此 据 ， ” 变 转 矿 向 物 植 从 了 现 实 先 率 源 来 力 的 中 动 活 产 生 在 家 国 欧 西 “ 期 时 史 历 一 某 6． 坊 作 庭 家 A． 度 制 厂 工 C． D 二 织 组 断 垄 确 正 次 第 于 出 度 制 B厂 一 这 体 有 没 场 手 ； 误 错 A项 故 面 方 是 要 主 坊 作 庭 代 时 汽 蒸 入 进 命 革 业 工 始 开 英 知 可 ， ” 变 转 矿 向 物 植 从 了 现 实 先 率 源 来 力 的 中 动 活 产 生 在 家 国 欧 西 “ 住 抓 C。 选 ： 析 解 () 是 确 准 解 理 料 材 该 对 列 下 ” 供 提 品 成 制 余 剩 为 场 市 国 然 当 行 银 厂 电 山 矿 、 设 建 以 外 了 向 投 也 样 同 本 资 洲 欧 … 。 界 正 真 种 一 植 培 命 革 通 交 路 铁 和 输 运 洋 海 上 加 再 ， 展 发 济 经 的 末 纪 19世 “ ： 出 指 中 》 史 简 明 文 方 西 《 在 尔 格 瓦 皮 斯 7． 力 动 本 根 的 展 发 场 市 界 世 是 命 革 业 工 A． 程 进 的 累 积 始 原 本 资 了 快 加 场 市 界 世 B． 场 市 占 抢 外 海 到 始 开 家 国 义 主 本 资 C． 善 改 到 得 活 生 类 人 中 化 体 整 向 走 在 界 世 D． 9世 “ 中 据 根 选 ： 析 解 ” 真 种 一 出 植 培 通 交 铁 和 输 运 洋 上 加 1再 确 A正 动 推 命 革 业 工 为 因 其 展 发
北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形优秀教学案例
2.分配具有针对性的任务，让学生在实践中掌握特殊的平行四边形的性质。
3.注重小组合作过程中的指导，引导学生正确运用性质定理，提高学生的证明能力。
（四）反思与评价
1.引导学生对自己的学习过程进行反思，发现自身存在的问题，及时调整学习方法。
3.通过示例，讲解特殊的平行四边形的证明方法，引导学生学会运用性质定理进行证明。
4.运用多媒体教学手段，展示特殊的平行四边形的空间结构，培养学生的空间想象能力。
（三）学生小组讨论
1.分配具有针对性的任务，让学生在小组内共同探讨特殊的平行四边形的性质。
2.鼓励学生相互交流、合作探究，共同解决问题。
3.教师巡回指导，给予学生必要的帮助，引导学生正确运用性质定理。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解特殊的平行四边形的定义及性质，包括菱形、矩形、正方形的判定与性质。
2.掌握特殊的平行四边形的证明方法，能够运用性质定理进行证明。
3.学会运用特殊的平行四边形的性质解决实际问题，提高学生的应用能力。
4.培养学生的空间想象能力，能够通过实物模型、图形等展示特殊的平行四边形的性质。
2.设计有趣的数学问题，激发学生的学习兴趣，让学生在解决问题的过程中自然引入特殊的平行四边形的学习。
3.创设互动式教学环境，让学生在课堂上充分参与，激发学生的学习积极性。
（二）讲授新知
1.引导学生回顾平行四边形的性质，为新知识的学习打下基础。
2.讲解特殊的平行四边形的定义及性质，包括菱形、矩形、正方形的判定与性质。
5.通过本章节的学习，使学生认识到数学在实际生活中的重要性，培养学生的数学应用意识。
三、教学策略
北师九年级数学上-教案-第1章特殊平行四边形
新教材完全解读教师用书九年级数学上·新课标（北师）第一章特殊平行四边形1.掌握菱形、矩形、正方形的概念,以及它们之间的关系.2.理解菱形、矩形、正方形的性质定理与判定定理,并能证明其他相关结论.3.掌握直角三角形的性质定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.1.经历探索菱形、矩形、正方形的概念、性质与判定的猜想与证明的过程,丰富数学活动经验,进一步发展合情推理和演绎推理的能力.2.理解菱形、矩形、正方形的概念,了解它们与平行四边形之间的关系,进一步体会从一般到特殊的思考问题的方法,提高发现问题和解决问题的能力.3.在参与观察、试验、猜想、证明等数学活动中,有意识地渗透试验论证、逆向思维的思想,提高学生的能力.1.积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲.2.经历图形的分类、性质探讨的过程,掌握图形与几何的基础知识和基本技能.通过“猜想——总结——证明——应用”的数学活动提升科学素养.3.提高自主探究的能力和增强与他人合作交流的意识、方法.四边形是人们日常生活中应用较为广泛的一种几何图形,尤其是平行四边形、菱形、矩形、正方形等特殊四边形的用处更多.因此,四边形既是几何中的基本图形,也是“空间与图形”领域中主要研究对象之一.本章是在已经学过的多边形、平行线、三角形、平行四边形的基础上对菱形、矩形、正方形的有关性质与常用的判定方法的证明与扩充.它们的探索方法也都与平行四边形的性质和判定的探索方法一脉相承.本章的学习有助于深化对平行四边形的理解,以及对识图、画图等操作技能的掌握,丰富学生的数学活动经验和体验,促进其良好数学观的形成.本章主要渗透归纳、类比、转化等数学思想,注重通过引导探索过程来渗透与展现证明的思路.此外还要注意引导学生探索证明的不同思路与方法,并进行适当的比较和讨论,提高分析、寻求证明思路的能力.【重点】菱形、矩形、正方形的定义、性质与判定.【难点】平行四边形与菱形、矩形、正方形之间的联系与区别.1.本章对菱形、矩形的性质与判定的研究,都需要先探索、猜想得到结论后再证明.教学中,可以利用教科书上的素材,也可以根据实际情况构建更现实、更贴近学生的问题情境,引导学生进行相关的探索、猜想活动.充分调动学生的积极性与主动性,引导学生探索、发现结论、体会探索结论的各种方法,理解猜想后还应该给予证明的意义,感受合情推理与演绎推理的关系.2.在学习本章之前,学生已经掌握几何证明的基本要求、基本步骤和基本方法.本章中的大部分结论都是先通过合情推理探索,再利用演绎推理加以证明.在教学中应把证明作为探索活动的自然延续与必要发展,让学生对发现的结论进行分析说明,然后按照几何证明的要求进行表达,实现合情推理和演绎推理的有机结合.注意通过一定的练习进一步培养学生的几何证明能力,避免过分追求证明题的数量和证明技巧,把握证明的难度.3.探索图形有关性质的过程,往往可以启发证明的思路,在教学过程中,应充分考虑探索与证明的关系,为学生的积极思考创设条件.同时,要鼓励学生大胆探寻新颖独特的证明思路和证明方法,引导学生与同学在交流中比较证明方法的异同,提高演绎推理的能力.4.在菱形、矩形、正方形的性质与判定方法的探索与证明的过程中蕴含着一些数学思想方法,教学中有目的地让学生感悟、领会这些思想方法,并应用于解决相关问题的过程中.本章教学时间约需8课时,具体分配如下:1菱形的性质与判定3课时2矩形的性质与判定3课时3正方形的性质与判定2课时1菱形的性质与判定理解菱形的概念,了解它与平行四边形之间的关系.1.经历菱形的性质定理与判定定理的探索过程,进一步发展合情推理能力.2.能够用综合法证明菱形的性质定理与判定定理,进一步发展演绎推理能力.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学现象.【重点】1.菱形的概念和性质.2.探索菱形的判定方法【难点】菱形的概念和性质在生活中的应用.第课时探索并掌握菱形的概念和菱形所具有的特殊性质,会进行简单的推理和运算.在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生合情推理的能力,进一步让学生养成用数学知识说理的习惯,并要求学生能熟练地按规范的推理格式书写.从学生已有的知识出发,通过欣赏、观察、动手操作等活动让学生感受身边的数学图形的和谐美与对称美,激发他们学习数学的兴趣,树立学好数学的信心,体会学习数学的快乐.培养学生主动探究、自主学习和合作交流的意识.【重点】菱形的概念和性质.【难点】菱形性质的灵活应用.【教师准备】1.教师在课前布置学生复习平行四边形的性质,搜集菱形的相关图片.2.多媒体课件.3.教师准备菱形纸片,上课前发给学生上课时使用.【学生准备】复习平行四边形的性质导入一:请同学们观察投影图片中的四边形并回答下列问题:(1)投影图片中有平行四边形吗?(2)这些平行四边形具有哪些特征?其中哪个特征不是平行四边形的性质?【师生活动】复习平行四边形的定义及性质.【学生活动】自主观察,小组合作交流,探究投影图片中平行四边形的新特征.导入二:1.提问:什么是平行四边形?学生回顾交流.2.平行四边形的相邻两边可能相等吗?请同学们讨论一下在我们生活中是否有相邻两边相等的平行四边形形状的图案?[设计意图]通过这个环节,培养了学生的观察和对比分析能力.提高学生发现数学、应用数学的意识和学习兴趣.一、情景交流[过渡语]今天我们来学习一种特殊的平行四边形,让我们一起观察、猜想、探究、归纳、论证吧!结合上面的观察,你能举出和上述图形具有相同特征的实物图形吗?具有这一特征的平行四边形是什么四边形?【学生活动】通过讨论,以小组为单位分别说出生活中具有邻边相等特征的平行四边形形状的实物.【教师活动】投影图片展示一些生活中的具有邻边相等特征的平行四边形形状的实物.二、学生活动,归纳概念思路一请口答下列问题.(1)上述图形都是平行四边形吗?(2)上述图形都有一组邻边相等吗?(3)如果平行四边形有一组邻边相等,那么另一组邻边也相等吗?小组合作交流,类比平行四边形的定义尝试给出菱形的定义.【老师点评】(1)是平行四边形;(2)都有一组邻边相等.【课件展示】像这样,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.思路二【师】同学们,在观察上面图片之后,你能从中发现熟悉的图形吗?你能找出它们的共同特征吗?请同学们观察,图中的平行四边形与黑板上所画的▱ABCD相比较,还有不同点吗?【生】投影图片中的平行四边形不仅对边相等,而且任意两条邻边也相等.【师】同学们观察得很仔细,像这样,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.[设计意图]通过这个环节,培养了学生的观察和对比分析能力.让学生观察图形,从直观上把握菱形的特点,从而给出菱形的定义,让学生明确菱形不但是平行四边形,而且有其特点“一组邻边相等”.同时,让学生去发现生活中因为有了数学而变得更精彩,从而提高学生学习数学的兴趣.三、共同探究【想一想】(1)菱形是特殊的平行四边形,它具有一般平行四边形的所有性质.你能列举一些这样的性质吗?【生】菱形的对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分.(2)同学们,你认为菱形还具有哪些特殊的性质?请你与同伴交流.【学生活动】分小组讨论菱形的性质,组长组织组员讨论,让尽可能多的组员发言,并汇总结果.【教师活动】教师巡视,并参与到学生的讨论中,启发学生类比平行四边形从图形的边、角和对角线三个方面探讨菱形的性质.对学生的结论,教师要及时作出评价,积极引导,激励学生.【做一做】请同学们用菱形纸片折一折,回答下列问题:(1)菱形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴?对称轴之间有什么位置关系?(2)菱形中有哪些相等的线段?【学生活动】分小组折纸探索答案.组长组织,并汇总结果.【教师活动】教师巡视并参与学生活动,引导学生怎样折纸才能得到正确的结论.学生研讨完毕,教师要展示汇总学生的折纸方法以及相应的结论,以便于后面的教学.【师生结论】(1)菱形是轴对称图形,有两条对称轴,且是菱形的两条对角线所在的直线,两条对称轴互相垂直.(2)菱形的四条边相等.[设计意图]通过学生自己操作剪、折菱形纸片,探索菱形的对称性,不仅增加学生学习的兴趣,并为新课归纳菱形的性质做铺垫.【验证提升】证明菱形性质【师】通过折纸活动,同学们已经对菱形的性质有了初步的理解,下面我们要对菱形的性质进行严谨的逻辑证明.【教师活动】如图所示,在菱形ABCD中,已知AB＝AD,对角线AC与BD相交于点O.求证:(1)AB＝BC＝CD＝AD;(2)AC⊥BD.【师生共析】(1)菱形不仅对边相等,而且邻边相等,这样就可以证明菱形的四条边都相等了.(2)因为菱形是平行四边形,所以点O是对角线AC与BD的中点.又因为在图形中可以得到相关的等腰三角形,所以就可以利用“三线合一”来证明结论了.【学生活动】写出证明过程,进行组内交流对比,优化证明方法,掌握相关定理.指名学生在黑板上演示证明过程.证明:(1)∵菱形ABCD是平行四边形,∴AB＝CD,AD＝BC(平行四边形的对边相等).∵AB＝AD,∴AB＝BC＝CD＝AD.(2)∵AB＝AD,∴ΔABD是等腰三角形.∵四边形ABCD是菱形,∴OB＝OD(菱形的对角线互相平分).在等腰三角形ABD中,∵OB＝OD,∴AO⊥BD,即AC⊥BD.【教师活动】展示学生的证明过程,进行恰当的点评和鼓励,优化学生的证明方法,规范学生的书写格式,提高学生的逻辑证明能力.【教师活动】请你根据上面的证明,归纳出菱形的性质.【学生活动】 小组交流,共同总结. 【教师活动】 多媒体课件展示 定理:菱形的四条边相等. 定理:菱形的对角线互相垂直.最后强调“菱形的四条边相等”“菱形的对角线互相垂直”,让学生形成牢固记忆,留下深刻印象.[设计意图] 学生通过折纸可以猜想到菱形的相关性质,教师在参与学生活动的过程中,应该关注学生的口述论证过程,并根据学生的认知水平加以引导,尽量减少学生推理论证过程中的困难. 四、展示交流【教师活动】 例题讲解.(教材例1)如图所示,在菱形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O , ∠BAD ＝60°,BD ＝6,求菱形的边长AB 和对角线AC 的长.〔解析〕 因为菱形的邻边相等,一个内角是60°,这样就可以得到等边三角形ABD ,由BD ＝6知菱形的边长也是6.菱形的对角线互相垂直,可以得到直角三角形AOB.菱形的对角线互相平分,可以得到OB ＝3,根据勾股定理就可以求出OA 的长度,再一次根据菱形的对角线互相平分,即AC ＝2OA ,求出AC.解:∵四边形ABCD 是菱形, ∴AB ＝AD (菱形的四条边相等), AC ⊥BD (菱形的对角线互相垂直),OB ＝OD ＝12BD ＝12×6＝3(菱形的对角线互相平分).在等腰三角形ABD 中,∵∠BAD ＝60°, ∴ΔABD 是等边三角形.∴AB ＝BD ＝6. 在Rt ΔAOB 中,由勾股定理,得: OA 2＋OB 2＝AB 2,∴OA ＝√AB 2-OB 2＝√62-32＝3√3, ∴AC ＝2OA ＝6√3.[知识拓展] (1)菱形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质; (2)菱形的定义既可以看做菱形的性质,也可以看做菱形的判定方法.1.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.菱形的性质:(1)菱形是轴对称图形,对称轴是两条对角线所在的直线;(2)菱形的四条边都相等;(3)菱形的对角线互相垂直平分.3.菱形具有平行四边形的所有性质,应用菱形的性质可以进行计算和推理.1.如图所示,在菱形ABCD中,AB＝5,∠BCD＝120°,则对角线AC的长是()A.20B.15C.10D.5解析:因为四边形ABCD是菱形,所以AB＝CB,CD∥BA,所以∠ABC＝180°-∠BCD＝180°-120°＝60°,所以ΔABC是等边三角形,所以AC＝AB＝5.故选D.2.如图所示,菱形ABCD的周长为8 cm.∠BAD＝60°,则AC＝cm.解析:因为菱形ABCD的周长为8 cm,所以AB＝AD＝2 cm.又因为∠BAD＝60°,所以ΔABD是等边三角BD＝1 cm,所以OA＝√AB2-OB2＝√22-12＝√3(cm),所以AC＝2√3形,所以BD＝AB＝2 cm,所以OB＝12cm.故填2√3.3.如图所示,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB＝CD＝BC,则四边形ABCD是菱形吗?为什么?解:四边形ABCD是菱形.理由:∵AB∥CD,AB＝CD,∴四边形ABCD是平行四边形.又∵CD＝BC,∴平行四边形ABCD是菱形.4.如图所示,四边形ABCD是菱形,F是AB上一点,DF交AC于点E.求证∠AFD＝∠CBE.证明:∵四边形ABCD是菱形,∴CB＝CD,CA平分∠BCD.∴∠BCE＝∠DCE.又∵CE＝CE,∴ΔBCE≌ΔDCE(SAS).∴∠CBE＝∠CDE.在菱形ABCD中,∵AB∥CD,∴∠AFD＝∠CDE.∴∠AFD＝∠CBE.第1课时菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形菱形的性质:菱形的四条边相等菱形的对角线互相垂直例1一、教材作业【必做题】教材第4页随堂练习.【选做题】教材第4页习题1.1的1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.在菱形ABCD中,AB＝5 cm,则此菱形的周长为()** cm B.15 cm C.20 cm D.25 cm2.菱形的周长为8 cm,高为1 cm,则菱形两邻角的度数比为()**∶1 B.4∶1 C.5∶1 D.6∶13.如图所示,在菱形ABCD中,两条对角线的长分别为AC＝6,BD＝8,则此菱形的边长为()** B.6 C.8 D.104.如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC交BD于点O,AB＝8,E是CD的中点,则OE的长等于.5.如图所示,已知菱形ABCD,其顶点A,B在数轴上对应的数分别为-4和1,则BC＝.6.如图所示,在菱形ABCD中,E,F分别是CB,CD上的点,且BE＝DF.求证∠AEF＝∠AFE.【能力提升】7.如图所示,两个全等菱形的边长均为1 cm,一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动,行走2015 cm后停下,则这只蚂蚁停在点.8.已知菱形ABCD的边长为6,且∠A＝60°,如果点P是菱形内一点,且PB＝PD＝2√3,那么AP的长为.9.如图所示,在菱形ABCD中,∠A＝60°,AB＝4,O为对角线BD的中点,过O点作OE⊥AB,垂足为E.(1)求∠ABD的度数;(2)求线段BE的长.【拓展探究】10.如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC＝6,BD＝8,点E,F分别是边AB,BC的中点,点P在AC上运动,在运动过程中,存在PE＋PF的最小值,则这个最小值是()** B.4 C.5 D.611.如图所示,在菱形ABCD中,F是BC上任意一点,连接AF交对角线BD于点E,连接EC.(1)求证AE＝EC;(2)当∠ABC＝60°,∠CEF＝60°时,点F在线段BC上的什么位置?说明理由.【答案与解析】**(解析:因为菱形ABCD的四条边相等,所以菱形的周长为5×4＝20(cm).故选C.)**(解析:如图所示,因为菱形的周长为8 cm,所以AD＝2 cm.因为高DE＝1 cm,所以DE＝12AD,所以∠A＝30°,所以∠ADC＝180°-30°＝150°,所以菱形两邻角的度数比为5∶1.故选C.)** (解析:因为四边形ABCD是菱形,所以OA＝12AC＝3,OB＝12BD＝4,∠AOB＝90°,所以AB＝OA2＋OB2＝32＋42＝5.故选A.)**(解析:因为四边形ABCD是菱形,所以O是AC的中点,且AD＝AB＝8.又因为E是CD的中点,所以OE 是ΔACD的中位线,所以OE＝12AD＝12AB ＝4.故填4.)** (解析:因为点A,B 在数轴上对应的数为-4和1,所以AB ＝1-(-4)＝5.因为四边形ABCD 是菱形,所以BC ＝AB ＝5.故填5.)6.证明:在菱形ABCD 中,有AB ＝AD ,∠B ＝∠D.在ΔABE 和ΔADF 中,{AB ＝AD ,∠B ＝∠D BE ＝DF ,,∴ΔABE ≌ΔADF.∴AE ＝AF.∴∠AEF ＝∠AFE.**(解析:因为两个全等菱形的边长均为1 cm,所以蚂蚁由A 点开始按ABCDEFCGA 的顺序走一圈的路程为8×1＝8(cm),2015÷8＝251(cm)……7(cm),所以当蚂蚁走完第251圈后再走7 cm 正好到达G 点.) ** 3 或4 39.解:(1)在菱形ABCD 中,AB ＝AD ,∠A ＝60°,∴ΔABD 为等边三角形.∴∠ABD ＝60°.(2)由(1)可知BD ＝AB ＝4.又∵O 为BD 的中点,∴OB ＝2.又∵OE ⊥AB ,∠ABD ＝60°,∴∠BOE ＝30°.∴BE ＝1.**11.证明:(1)如图所示,连接AC ,∵BD 是菱形ABCD 的对角线,∴BD 垂直平分AC ,∴AE ＝EC.(2)点F 是线段BC 的中点.理由如下.∵四边形ABCD 是菱形,∴AB ＝CB.又∵∠ABC ＝60°,∴ΔABC 是等边三角形,∴∠BAC ＝60°.∵AE ＝EC ,∴∠EAC ＝∠ACE.∵∠CEF ＝60°,∴∠EAC ＝30°.∴AF 是ΔABC 中∠BAC 的平分线,∴BF ＝CF ,∴点F 是线段BC 的中点.本课时的主要教学内容为菱形的定义和性质.学生已经学习了平行四边形的性质,这是本课时知识的基础.关于菱形的定义和性质,就是在平行四边形的基础上,进一步强化条件得到的.本课时授课思路为“创设情境——猜想归纳——逻辑证明——知识运用”.课堂上的折纸活动,可以让学生直观感知图形的特点,还可以激发学生学习的兴趣和积极性.教师应该留给学生充分的独立思考时间,不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问.教师要引导学生积极思考,抓住表面现象中的本质.在性质的证明和应用过程中,教师要鼓励学生大胆探索新颖独特的证明思路和证明方法,提倡证明方法的多样性,并引导学生在与其他同学的交流中进行证明方法的比较,优化证明方法,有利于提高学生的逻辑思维水平.随堂练习(教材第4页)解:根据菱形的对角线互相垂直,可知ΔAOB是直角三角形,由勾股定理可求出OB＝3 cm,再根据菱形的对角线互相平分可得BD＝2OB＝6 cm.习题1.1(教材第4页)1.证明:在菱形ABCD中,AB＝BC,BC∥AD,∴∠B＋∠BAD＝180°,∵∠BAD＝2∠B,∴∠B＝60°,又∵BA＝BC,∴ΔABC是等边三角形.2.解:∵四边形ABCD是菱形,∴AD＝DC＝CB＝BA,AC⊥BD,AO＝12AC＝12×8＝4,DO＝12BD＝12×6＝3,在Rt ΔAOD中,由勾股定理,得AD＝√AO2＋DO2＝√42＋32＝5.∴菱形ABCD的周长为4AD＝4×5＝20.3.证明:在菱形ABCD中,AD＝AB,AC⊥BD,∴AC平分∠DAB,同理,CA平分∠DCB,BD平分∠ABC和∠ADC.4.解:共有4个等腰三角形,分别为ΔBAD,ΔBCD,ΔADC,ΔABC.共有4个直角三角形,分别为ΔAOB,ΔAOD,ΔCOD,ΔBOC.(1)在折纸过程中,教师要与学生探讨折纸的方法,明确折叠过程中的对应点及相应的对称轴,便于学生正确迅速地找出菱形中的对称关系.掌握数学知识离不开“实践——认识——再实践——认识”这个重要的学习方法,通过说理论证可以使学生充分理解菱形的性质,在这个过程中,教师要充分关注学生使用几何语言的规范性和严谨性.(2)类比方法是数学中重要的方法,所以本课时类比以前学过的平行四边形的有关概念、性质,让学生通过自主学习,共同探究,很自然地突破了重难点.(3)本课时重难点、易错点的掌握要通过不同形式的练习加以巩固,让学生积极参与,培养合作意识,激发学习兴趣,同时教师随时注意学生们出现的问题,及时引导和反馈,使学生在快乐中掌握知识.(2014·莆田中考)如图所示,菱形ABCD的边长为4,∠BAD＝120°.点E是AB的中点,点F是AC上的一动点,则EF＋BF的最小值是.〔解析〕如图所示,连接DE,EC,DF,则BF＝DF.∵四边形ABCD为菱形,∠BAD＝120°,∴∠ABC＝60°.∴ΔABC为等边三角形.∵E是AB的中点,∴CE⊥AB,∴CE⊥CD.在RtΔBEC中,∠ABC＝60°,BC＝4,∴BE＝12BC ＝2,CE＝√BC2-BE2＝√42-22＝2√3.在RtΔECD中,CE＝2√3,DC＝4,∴ED＝2√7.根据两点之间线段最短,可知EF＋DF的最小值为2√7.∴EF＋BF的最小值为2√7.故填2√7.第课时1.理解菱形的定义,掌握菱形的判定方法;会用这些判定方法进行有关的论证和计算.2.在菱形的判定方法的探索与综合应用中,培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力.尝试从不同角度寻求菱形的判定方法,并能有效地解决问题,尝试比较不同判定方法之间的差异,并获得判定四边形是菱形的经验.启发引导学生理解探索结论和证明结论的过程,掌握合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系,培养学生合作交流的能力,以及独立思考的良好习惯.【重点】探索证明菱形的两个判定方法,掌握证明的基本要求和方法.【难点】明确推理证明的条件和结论能用数学语言正确表达.【教师准备】木条和橡皮筋【学生准备】复习上课时的相关知识.导入一:人们戴的帽子的形状千奇百怪,有一段时间,电视上经常看到大学生戴的菱形帽,它是受到外国博士帽的启发.在日本,到第二次世界大战为止,戴菱形帽一直是年轻人的梦想,戴上它显得有知识有学问.这是由于菱形的特殊因素能给人一种舒服的感觉.那么,我们怎样判断一个四边形是否是菱形呢?导入二:什么样的四边形是平行四边形?它有哪些判定方法?教师提示:判定方法应该从三个方面分析:边:两组对边分别平行的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.角:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.对角线:对角线互相平分的四边形是平行四边形.那么,菱形的判定有什么方法呢?[设计意图]通过类比的方法引导学生发现判定菱形的方法.一、由菱形的定义判定[过渡语]接下来我们研究怎样判断一个四边形是菱形.【学生活动】明确菱形的定义既是菱形的性质,又可作为菱形的第一种判定方法,即有一组邻边相等的平行四边形是菱形.【思考】除了运用菱形的定义,类比平行四边形的性质定理和判定定理,你能找出判定菱形的其他方法吗?二、菱形的判定(1)思路一已知:在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC⊥BD.求证▱ABCD是菱形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA＝OC.∵AC⊥BD,∴BD所在的直线是线段AC的垂直平分线.∴BA＝BC.∴▱ABCD是菱形(菱形的定义).【思考】从上述证明过程中,你得出什么结论?定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.思路二【学生活动】用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.(1)转动木条,这个四边形总有什么特征?你能证明你发现的结论吗?猜想:四边形的对角线互相平分.(2)继续转动木条,观察什么时候橡皮筋围成的四边形变成菱形?猜想:当木条互相垂直时,平行四边形的一组邻边相等,此时四边形为菱形.(3)你能证明你的猜想吗?猜想:如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直,那么这个平行四边形是菱形.已知:在▱ABCD中,对角线AC,BD互相垂直.求证▱ABCD是菱形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分).又∵AC⊥BD,∴BD所在的直线是线段AC的垂直平分线,∴AB＝BC,∴▱ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.三、菱形的判定(2)[过渡语]菱形的判定还有其他的方法吗?思路一学生先画两条等长的线段AB,AD,然后分别以B,D为圆心,AB长为半径画弧,得到两弧的交点C,连接BC,CD,就得到了一个四边形,猜一猜,这是什么四边形?请你画一画.通过探究,容易得到:四条边相等的四边形是菱形.证明上述结论.[设计意图]采用观察、操作、交流、演绎的手法来突破难点,通过严谨的推理和证明培养学生的几何思维.思路二问题我们如何画一个菱形呢?通常先画两条等长的线段AB,AD,然后分别以B,D为圆心,AB长为半径画弧,得到两弧交点C,连接BC,CD即可.【学生活动】(1)观察画图的过程,你能说明得到的四边形为什么是菱形吗?学生思考后,展开讨论寻找原因.原因:这个四边形的四条边相等,根据菱形定义即可判定.(2)你能得出什么结论?学生得出从一般的四边形直接判定菱形的方法:四条边相等的四边形是菱形.[设计意图]通过教师画图演示,让学生从直观操作的角度去发现问题,使探究的问题形象化、具体化,培养学生的形象思维能力.利用平行四边形的判定和菱形的定义判定该四边形是菱形,进一步提高学生的抽象思维能力.本活动进一步体现了试验几何和论证几何的有机结合.猜想:四条边相等的四边形是菱形.如图所示,在四边形ABCD,已知AB＝BC＝CD＝DA.求证四边形ABCD是菱形.证明:∵AB＝CD,BC＝AD,∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).又∵AB＝BC,∴平行四边形ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).[设计意图]由菱形的定义得出从一般的四边形直接判定菱形的方法:四条边相等的四边形是菱形,并激发学生探究的欲望.[知识拓展]四条边相等的四边形是菱形.在▱ABCD中,已知对角线AC与BD相交于点O,AB＝√5,OA＝2,OB＝1.求证▱ABCD是菱形.证明:在ΔAOB中,∵AB＝√5,OA＝2,OB＝1,∴AB2＝AO2＋OB2.∴ΔAOB是直角三角形,即∠AOB是直角.∴AC⊥BD.∴▱ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).。
北师大版初中数学九年级上(初三数学上)课件PPT配套教案-第1章 特殊平行四边形矩形(提高阶段)
北师大版初中数学九年级上（初三数学上）课件PPT配套教案第1章特殊平行四边形矩形（提高阶段）第1部分矩形【学习目标】1. 理解矩形的概念.2. 掌握矩形的性质定理与判定定理.【要点梳理】要点一、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.要点二、矩形的性质矩形的性质包括四个方面：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.要点三、矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.要点四、直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.【典型例题】类型一、矩形的性质1、如图所示，已知四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：(1)∠PBA＝∠PCQ＝30°；(2)PA＝PQ．【思路点拨】(1)矩形的四个内角都等于90°，利用条件△PBC和△QCD都是等边三角形，容易求得∠PBA和∠PCQ度数；(2)利用(1)的结论以及矩形的性质进一步证明△PAB≌△PQC(SAS)，从而证得PA＝PQ．【答案与解析】证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°．∵△PBC和△QCD是等边三角形，∴∠PBC＝∠PCB＝∠QCD＝60°，∴ ∠PBA ＝∠ABC －∠PBC ＝30°，∠PCD ＝∠BCD －∠PCB ＝30°．∴∠PCQ ＝∠QCD －∠PCD ＝30°，故∠PBA ＝∠PCQ ＝30°(2)∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AB ＝DC ．∵ △PBC 和△QCD 是等边三角形，∴ PB ＝PC ，QC ＝DC ＝AB ．∵ AB ＝QC ，∠PBA ＝∠PCQ ，PB ＝PC ．∴ △PAB ≌△PQC ，∴ PA ＝PQ ．【总结升华】利用矩形的性质，可以得到许多的结论，在解题时，针对问题列出有用的结论作论据即可．举一反三：【变式】如图所示，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B '处，点A 落在点A '处．(1)求证：B E BF '=；(2)设AE ＝a ，AB ＝b ，BF ＝c ，试猜想a b c 、、之间有何等量关系，并给予证明．【答案】证明：(1)由折叠可得B FE BFE '∠=∠．∵ AD ∥BC ， ∴ B EF BFE B FE ''∠=∠=∠，∴ B E B F ''=，∴ B E BF '=．(2)猜想222a b c +=．理由：由题意，得A E AE a '==，A B AB b ''==．由(1)知B E BF c '==．在A B E ''△中，∵ 90A '∠=°，A E a '=，A B b ''=，B E c '=，∴ 222a b c +=．2、如图所示，矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，求∠BOE的度数．【思路点拨】∠BOE在△BOE中，易知∠OBE＝30°，直接求∠BOE有困难，转为考虑证BO ＝BE．由AE平分∠BAD可求∠BAE＝45°得到AB＝BE，进一步可得等边△AOB．有AB＝OB．证得BO＝BE．【答案与解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠ABC＝90°，AO＝12AC，BO＝12BD，AC＝BD．∴ AO＝BO．∵ AE平分∠BAD，∴∠BAE＝45°．∴∠AEB＝90°－45°＝45°＝∠BAE．∴ BE＝AB．∵∠CAE＝15°，∴∠BAO＝60°．∴△ABO是等边三角形．∴ BO＝AB，∠ABO＝60°．∴ BE＝BO，∠OBE＝30°．∴∠BOE＝18030752-=°°°．【总结升华】矩形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰三角形，因此矩形中的计算问题可以转化到直角三角形和等腰三角形中去解决．类型二、矩形的判定3、（2016•濠江区一模）如图，在▱ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形．【思路点拨】（1）根据平行四边形性质得出AB=CD，∠A=∠C．求出∠ABD=∠CDB．推出∠ABE=∠CDF，根据ASA推出全等即可；（2）根据全等得出AE=CF，根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD=BC，推出DE∥BF，DE=BF，得出四边形DFBE是平行四边形，根据等腰三角形性质得出∠DEB=90°，根据矩形的判定推出即可．【答案与解析】证明：（1）在□ABCD中，AB=CD，∠A=∠C．∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB．∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，∴∠ABE=∠ABD，∠CDF=∠CDB．∴∠ABE=∠CDF．∵在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（ASA）．（2）∵△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴DE∥BF，DE=BF，∴四边形DFBE是平行四边形，∵AB=DB，BE平分∠ABD，∴BE⊥AD，即∠DEB=90°．∴平行四边形DFBE是矩形．【总结升华】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质和判定，角平分线定义等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．举一反三：【变式】（2015春•邗江区期中）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO中，且∠ABC+∠ADC=180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，则∠BDF的度数是多少？【答案】（1）证明：∵A0=C0，B0=D0∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2，∴∠FDC=36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO=90°﹣36°=54°，∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OD，∴∠ODC=54°∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°．类型三、直角三角形斜边上的中线的性质4、如图所示，BD 、CE 是△ABC 两边上的高，G 、F 分别是BC 、DE 的中点．求证：FG ⊥DE ．【答案与解析】证明：连接EG 、DG ，∵ CE 是高，∴ CE ⊥AB ．∵ 在Rt △CEB 中，G 是BC 的中点，∴ EG ＝12BC ，同理DG ＝12BC ． ∴ EG ＝DG ．又∵ F 是ED 的中点，∴ FG ⊥DE ．【总结升华】直角三角形斜边中线的性质是依据矩形的对角线互相平分且相等推出来的．根据这个性质．又可以推出直角三角形的斜边上的中线把直角三角形分成了两个等腰三角形．温馨提示：若题目中给出直角三角形斜边上的中点，常设法用此性质解决问题． 举一反三：【高清课堂 417081 矩形 例11】【变式】如图，∠MON＝90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB ＝2，BC ＝1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为（ ）A.21B.5C.1455D.52【答案】A ；解：如图，取AB 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，∵OD≤OE＋DE ，∴当O 、D 、E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大，此时，∵AB＝2，BC ＝1，∴OE＝AE ＝12AB ＝1， DE ＝2222112AD AE +=+=，∴OD 的最大值为：21+.第2部分 菱形【学习目标】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性质定理及判定定理．【要点梳理】要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.【典型例题】类型一、菱形的性质1、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE ＝18°．求∠CEF的度数．【思路点拨】由已知∠B＝60°，∠BAE＝18°，则∠AEC＝78°．欲求∠CEF的度数，只要求出∠AEF的度数即可，由∠EAF＝60°，结合已知条件易证△AEF为等边三角形，从而∠AEF＝60°．【答案与解析】解：连接AC．∵四边形ABCD是菱形，∴ AB＝BC，∠ACB＝∠ACF．又∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠ACF＝∠B＝60°．又∵∠EAF＝∠BAC＝60°∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF．∴ AE＝AF．∴△AEF为等边三角形．∴∠AEF＝60°．又∵∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，∠BAE＝18°，∴∠CEF＝18°．【总结升华】当菱形有一个内角为60°时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度数．在求角的度数时，一定要注意已知角与所求角之间的联系．2、（2016•龙岩）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，由两点之间线段最短可知当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得EF′的长度即可．【答案】C．【解析】解：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．∴EP+FP=EP+F′P．由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故选：C．【总结升华】本题主要考查的是菱形的性质、轴对称﹣﹣路径最短问题，明确当E、P、F′在一条直线上时EP+FP有最小值是解题的关键．举一反三：【变式】（2015春•潍坊期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是AB的中点，如果EO=2，求四边形ABCD的周长．【答案】解：∵四边形ABCD为菱形，∴BO=DO，即O为BD的中点，又∵E是AB的中点，∴EO是△ABD的中位线，∴AD=2EO=2×2=4，∴菱形ABCD的周长=4AD=4×4=16．类型二、菱形的判定3、（2014春•郑州校级月考）如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以lcm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿线射BC以2cm/s 的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）当t为多少时，四边形ACFE是菱形．【思路点拨】（1）由题意得到AD=CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；（2）若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，由E的速度求出E运动的时间即可．【答案与解析】（1）证明：∵AG∥BC，∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，∵D为AC的中点，∴AD=CD，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（AAS）；（2）解：①若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，则此时的时间t=6÷1=6（s）．故答案为：6s．【总结升华】此题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质等知识，弄清题意是解本题的关键.举一反三：【变式】已知，在△ABC中，AB＝AC＝a，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC 的平行线交AC于P，交AB于Q.⑴求四边形AQMP的周长；⑵M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由.【答案】解：（1）∵MQ∥AP，MP∥AQ，∴四边形AQMP是平行四边形∴QM＝AP又∵AB＝AC，MP∥AQ，∴∠2＝∠C，△PMC是等腰三角形，PM＝PC∴QM＋PM＝AP＋PC＝AC＝a∴四边形AQMP的周长为2a（2）M位于BC的中点时，四边形AQMP为菱形.∵M位于BC的中点时,易证△QBM与△PCM全等,∴QM＝PM,∴四边形AQMP为菱形类型三、菱形的综合应用4、如图所示，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F．(1)当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE＋CF的值．(2)当点E、F分别在CB、DC的延长线时，CE、CF又存在怎样的关系，并证明你的结论．【思路点拨】(1)由菱形的性质可知AB＝BC，而∠ABC＝60°，即联想到△ABC为等边三角形，∠BAC＝60°，又∠EAF＝60°，所以∠BAE＝∠CAF，可证△BAE≌△CAF，得到BE＝CF，所以CE+CF＝BC．(2)思路基本与(1)相同但结果有些变化．【答案与解析】解：(1)连接AC．在菱形ABCD中，BC＝AB＝4，AB∥CD．∵∠ABC＝60°，∴ AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°．∴∠ACF＝60°，即∠ACF＝∠B．∵∠EAF＝60°，∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴ BE＝CF．∴ CE＋CF＝CE＋BE＝BC＝4．(2)CE－CF＝4．连接AC如图所示．∵∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠EAB＝∠FAC．∵∠ABC＝∠ACD＝60°，∴∠ABE＝∠ACF＝120°．∵ AB＝AC，∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴ BE＝CF．∴ CE－CF＝CE－BE＝BC＝4．【总结升华】(1)菱形的性质的主要应用是证明角相等、线段相等、两直线平行、两线段互相垂直、互相平分等．(2)注意菱形中的60°角的特殊性，它让菱形这个特殊的平行四边形变得更加特殊，常与等边三角形发生联系．第3部分正方形【学习目标】1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方法．【要点梳理】【高清课堂特殊的平行四边形（正方形）知识要点】要点一、正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.要点二、正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角——四个角都是直角；3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.要点三、正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.要点四、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.【典型例题】类型一、正方形的性质1、（2016•哈尔滨）已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．（1）求证：AP=BQ；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．【思路点拨】（1）根据正方形的性质得出AD=BA，∠BAQ=∠ADP，再根据已知条件得到∠AQB=∠DPA，判定△AQB≌△DPA并得出结论；（2）根据AQ﹣AP=PQ和全等三角形的对应边相等进行判断分析．【答案与解析】解：（1）∵正方形ABCD∴AD=BA，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90°∵DP⊥AQ∴∠ADP+∠DAP=90°∴∠BAQ=∠ADP∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P∴∠AQB=∠DPA=90°∴△AQB≌△DPA（AAS）∴AP=BQ（2）①AQ﹣AP=PQ②AQ﹣BQ=PQ③DP﹣AP=PQ④DP﹣BQ=PQ【总结升华】本题主要考查了正方形以及全等三角形，解决问题的关键是掌握：正方形的四条边相等，四个角都是直角．解题时需要运用：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，以及全等三角形的对应边相等．举一反三：【变式1】如图四边形ABCD是正方形，点E、K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE＝BK＝AG．以线段DE、DG为边作DEFG．(1)求证：DE＝DG，且DE⊥DG．(2)连接KF，猜想四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴ DC＝DA，∠DCE＝∠DAG＝90°．又∵ CE＝AG，∴△DCE≌△DAG，∴∠EDC＝∠GDA，DE＝DG．又∵∠ADE＋∠EDC＝90°，∴∠ADE＋∠GDA＝90°，∴ DE⊥DG．(2)四边形CEFK为平行四边形．证明：设CK，DE相交于M点，∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，∴ AB∥CD，AB＝CD，EF＝DG，EF∥DG；∵ BK＝AG，∴ KG＝AB＝CD．∴四边形CKGD为平行四边形．∴ CK＝DG＝EF，CK∥DG∥EF∴四边形CEFK为平行四边形．【高清课堂特殊的平行四边形（正方形）例9】【变式2】如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是_______．【答案】2；提示：阴影部分面积等于正方形面积的一半.类型二、正方形的判定2、（2015•闸北区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD=CD，点E是边AC 的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF、CG．（1）求证：AF=BF；（2）如果AB=AC，求证：四边形AFCG是正方形．【思路点拨】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF，再根据等角的余角相等可得∠B=∠BAF，所以AF=BF．（2）由AAS可证△AEG≌△CEF，所以AG=CF．由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形AFCG是平行四边形，进而证得四边形AFCG是菱形，最后根据有一个角为直角的菱形是正方形得证四边形AFCG是正方形．【答案与解析】证明：（1）∵AD=CD，点E是边AC的中点，∴DE⊥AC．即得DE是线段AC的垂直平分线．∴AF=CF．∴∠FAC=∠ACB．在Rt△ABC中，由∠BAC=90°，得∠B+∠ACB=90°，∠FAC+∠BAF=90°．∴∠B=∠BAF．∴AF=BF．（2）∵AG∥CF，∴∠AGE=∠CFE．又∵点E是边AC的中点，∴AE=CE．在△AEG和△CEF中，，∴△AEG≌△CEF（AAS）．∴AG=CF．又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形．∵AF=CF，∴四边形AFCG是菱形．在Rt△ABC中，由AF=CF，AF=BF，得BF=CF．即得点F是边BC的中点．又∵AB=AC，∴AF⊥BC．即得∠AFC=90°．∴四边形AFCG是正方形．【总结升华】本题考查的是正方形的判定方法，考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质等基础知识的灵活运用，判别一个四边形是正方形主要是根据正方形的定义及其性质．举一反三：【变式】（2015春•上城区期末）如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连结CF．（1）若DG=2，求证：四边形EFGH为正方形；（2）若DG=6，求△FCG的面积．【答案】（1）证明：∵四边形EFGH为菱形，∴HG=EH，∵AH=2，DG=2，∴DG=AH，在Rt△DHG和△AEH中，，∴Rt△DHG≌△AEH，∴∠DHG=∠AEH，∵∠AEH+∠AHG=90°，∴∠DHG+∠AHG=90°，∴∠GHE=90°，∵四边形EFGH为菱形，∴四边形EFGH为正方形；（2）解：作FQ⊥CD于Q，连结GE，如图，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠AEG=∠QGE，即∠AEH+∠HEG=∠QGF+∠FGE，∵四边形EFGH为菱形，∴HE=GF，HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠QGF，在△AEH和△QGF中，∴△AEH≌△QGF，∴AH=QF=2，∵DG=6，CD=8，∴CG=2，∴△FCG的面积=CG•FQ=×2×2=2．类型三、正方形综合应用3、E、F分别是正方形ABCD的边AD和CD上的点，若∠EBF＝45°．(1)求证：AE＋CF＝EF．(2)若E点、F点分别是边DA、CD的延长线上的点，结论（1）仍成立吗？若成立，请证明，若不成立，写出正确结论并加以证明．【答案与解析】证明：（1）延长DC ，使CH ＝AE ，连接BH ，∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ ∠A ＝∠BCH ＝90°，又AB ＝BC ，CH ＝AE ，∴ Rt △BAE ≌Rt △BCH ，∴ ∠1＝∠2，BE ＝BH ．又∵ ∠1＋∠3＋∠4＝90°，∠4＝45°，∴ ∠1＋∠3＝45°，∠2＋∠3＝45°，在△EBF 和△HBF 中，,,,BE BH EBF HBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △EBF ≌△HBF ，∴ EF ＝FH ＝FC ＋CH ＝AE ＋CF ．即AE ＋CF ＝EF ．(2)如图所示：不成立，正确结论：EF ＝CF －AE ．证明：在CF 上截取CH ＝AE ，连接BH ．∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ 在Rt △EAB 和Rt △HCB 中，90AE CH EAB HCB AB BC =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩,°,,∴ Rt △EAB ≌Rt △HCB ，∴ BE ＝BH ，∠EBA ＝∠HBC ．∵ ∠HBC ＋∠ABH ＝90°，∴ ∠EBA ＋∠ABH ＝90°．又∵ ∠EBF ＝45°，∴ ∠HBF ＝45°，即∠EBF ＝∠HBF ．在△EBF 和△HBF 中,,,BE BH EBF HBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △EBF ≌△HBF ，∴ EF ＝FH ＝CF －CH ＝CF －AE ，即EF ＝CF －AE ．【总结升华】本题主要考察正方形的性质，全等三角形的性质和判定，关键在于用“截长补短”的方法正确地作出辅助线.4、正方形ABCD的对角线交点为O，如图所示，AE平分∠BAC交BC于E，交OB于F，求证：EC＝2FO．【思路点拨】在平面几何中，要证明一条线段等于另一条线段的2倍或12，通常采用折半法或加倍法．而折半法又可分直接折半法和间接折半法；加倍又可分直接加倍法和间接加倍法．这就需要学生仔细研究，找到解决问题的合适方法．【答案与解析】证法一：(间接折半法)如图①所示．∵∠3＝∠1＋∠4，∠5＝∠2＋∠6．而∠1＝∠2，∠4＝∠6＝45°．∴∠3＝∠5，BE＝BF．取AE的中点G，连接OG，∵ AO＝OC，∴ OG 12 EC．由∠7＝∠5，∠8＝∠3，∴∠7＝∠8，∴ FO＝GO．∴ EC＝2OG＝2FO．证法二：(直接折半法)如图②所示．由证法一得BE＝BF．取EC的中点H，连接OH．∵ AO＝OC，∴ OH∥AE．∴∠BOH＝∠BFE＝∠BEF＝∠BHO．∴ BO＝BH，∴ FO＝EH．∴ EC＝2EH＝2FO．证法三：(直接加倍法)如图③所示．由证法一得BE＝BF．在OD上截取OM＝OF，连接MC．易证Rt△AOF≌Rt△COM．∴∠OAF＝∠OCM，∴ AE∥MC．由∠BMC＝∠BFE＝∠BEF＝∠BCM，∴ FM＝EC．∴ EC＝FM＝2FO．【总结升华】若题目中涉及线段的倍半关系和中点问题时，要联想中位线定理，利用中点构造中位线，要注意从不同的角度进行思构，构造不同的辅助线来解决问题．举一反三：【变式】在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图①，易证EG＝CG，且EG⊥CG．(1)将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图②，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系?请直接写出你的猜想．(2)将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图③，则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系?请写出你的猜想，并加以证明．【答案】解：(1)EG＝CG，且EG⊥CG．(2)EG＝CG，且EG⊥CG．证明：延长FE交DC延长线于M，连MG，如图③，∵∠AEM＝90°，∠EBC＝90°，∠BCM＝90°，∴四边形BEMC是矩形．∴ BE＝CM，∠EMC＝90°，又∵ BE＝EF，∴ EF＝CM．∵∠EMC＝90°，FG＝DG，∴ MG＝12FD＝FG．∵ BC＝EM，BC＝CD，∴ EM＝CD．∵ EF＝CM，∴ FM＝DM，∴∠F＝45°．又FG＝DG，∠CMG＝12∠EMD＝45°，∴∠F＝∠GMC，∴△GFE≌△GMC，∴ EG＝CG，∠FGE＝∠MGC，∵ MG⊥DF，∴∠FGE＋∠EGM＝90°，∴∠MGC＋∠EGM＝90°即∠EGC＝90°，∴ EG⊥CG．第4部分全章复习与巩固【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算.【知识网络】【要点梳理】要点一、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2．性质：（1）对边平行且相等；（2）对角相等；邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）中心对称图形.3．面积：高底平行四边形⨯=S4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：平行线的性质：（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等.要点二、菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S 4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.要点三、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：宽＝长矩形⨯S４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形.（3）有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．要点四、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、平行四边形1、已知，△ABC 中，∠BAC=45°，以AB 为腰以点B 为直角顶点在△ABC 外部作等腰直角三角形ABD ，以AC 为斜边在△ABC 外部作等腰直角三角形ACE ，连结BE 、DC ，两条线段相交于点F ，试猜想∠EFC 的度数并说明理由．【答案与解析】解法一：作DH//BE 交EA 延长线于H，连接CH 易证四边形BEHD 为平行四边形CEH EAB CE=AE CEH=EAB=90HE=BD=AB CEH EAB SAS CH=BE=DH CHE=ABECHD=90EFC=CDH=45⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴≅∴∠∠∴∠∴∠∠在△与△中△△（），解法二：作CG//BE 交AB 的延长线于G ，连接DG ，∵△ABC 与△ACE 都是等腰直角三角形，∴∠EAB=∠CAE+∠CAB=90°.又∠AEC=90°，∴AB ∥CE.∴四边形BECG 为平行四边形，∴CE=GB ，又AE=EC ，∴GB=AE.在△BGD 与△AEB 中，DB=AB ，∠DBG=∠BAE=90°，GB=AE ，∴△BGD ≌△AEB(SAS)，∴∠GDB=∠ABE ，BE=DG.∵平行四边形BGCE,∴∠ABE=∠AGC ，BE=GC,∴∠GDB =∠AGC, GC= DG.∴∠DGC=∠DGA+∠AGC=∠DGA+∠GDB=90°.于是CDG △是等腰直角三角形，所以45EFC DCG ∠=∠=.【总结升华】通过做平行线，构造平行四边形，再证明全等，使问题得解．类型二、菱形2、如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝5．对角线AC，BD 相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F.（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．【思路点拨】（1）当旋转角为90°时，∠AOF=90°，由AB⊥AC，可得AB∥EF，即可证明四边形ABEF为平行四边形；（2）证明△AOF≌△COE即可；（3）当EF⊥BD时，四边形BEDF 为菱形，又由AB⊥AC，AB=1，BC=5，易求得OA=AB，即可得∠AOB=45°，求得∠AOF=45°，则可得此时AC绕点O顺时针旋转的最小度数为45°．【答案与解析】（1）证明：当∠AOF＝90°时，AB∥EF，又AF∥BE，∴四边形ABEF为平行四边形．（2）证明：四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝CO，∠FAO＝∠ECO，∠AOF＝∠COE.∴△AOF≌△COE∴AF＝CE（3）四边形BEDF可以是菱形．理由：如图，连接BF，DE，。
北师大版数学九年级上册教案第1章特殊平行四边形教案+学案+练习
北师大版数学九年级上册教案第一章特殊平行四边形1.1 菱形的性质与判定（一）学生先思考交流，第一章特殊平行四边形1.1 菱形的性质与判定（二）教学目标：1．探索并掌握菱形的判定方法，积累经验，并能综合运用，形成解决问题的能力；2．经历菱形的判定方法的探索过程，在活动中发展合情推理意识和主动探究的习惯，初步掌握说理的基本方法，发展有条理表达的能力.3．通过设置问题情境，丰富学生的生活经验，激发学生学习数学和应用数学的兴趣和意识. 教学重点：菱形的判定方法.教学难点：菱形的判定方法的综合运用.教学设计：模仿-猜想-论证-运用教学过程：一、知识回顾菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形菱形的性质：1．四条边都相等；2．两条对角线互相垂直；3．菱形是轴对称图形。
二、新课学习1. 思考(1)：除了运用菱形的定义，你能找出判定菱形的其他方法吗？猜想1：如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是菱形。
已知：平行四边形ABCD中，对角线AC、BD互相垂直.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC（平行四边形的对角线相互平分）。
又∵AC⊥BD，∴BD所在直线是线段AC的垂直平分线，∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
2.得出结论：判定定理1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．3.实际应用：例题1：如图19． 3．4，已知平行四边形ABCD 的对角线AC的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于点E 、F ，求证四边形AFCE 是菱形．证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AE ∥FC （平行四边形的对边平行），∴ ∠1＝∠2．∵ EF 平分AC ，∴ AO ＝OC ．又∵ ∠AOE ＝∠COF ＝90°，∴ △AOE ≌△COF （ASA ），∴ EO ＝FO ， ∴ 四边形AFCE 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．又∵EF ⊥AC ，∴ 四边形AFCE 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．4.思考（2）：除了运用对角线，你还有其他判定菱形的方法吗？猜想2：四边相等的四边形是菱形．已知：如图，四边形ABCD ，AB=BC=CD=DA求证：四边形ABCD 是菱形证明：∵AB=CD ，BC=AD,∴四边形ABCD 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）.又∵AB=BC,∴四边形ABCD 是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）. 思考：这里的条件能否再减少一些呢？能否类似对矩形的讨论那样，有三条边相等的四边形就是菱形了呢？猜一猜，并试着画一画，你就会知道，这个结论是不成立的．5.得出结论：判定定理2 四条边都相等的四边形是菱形.三、随堂练习1、用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（）Ａ.等腰梯形Ｂ.正方形Ｃ.矩形Ｄ.菱形2、下列说法中正确的是（）Ａ、有两边相等的平行四边形是菱形Ｂ、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形Ｃ、两条对角线相等且互相平分的四边形是菱形Ｄ、四个角相等的四边形是菱形四、课堂小结判定四边形是菱形共有哪几种方法？五、板书设计六、布置作业教材P7 习题1.2 1、2、3第一章特殊平行四边形1．菱形的性质与判定（一）一、学生知识状况分析“菱形的性质与判定”是继八年级下册“第三章图形的平移与旋转”和“第六章平行四边形”之后的一个学习内容。
2019九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形 1.2.1 矩形的性质与判定教案 (新版)北师大版
并引导板书矩形定义的几何语言表述。
2.举出生活中矩形的实例。源自课中作业动手操作，折纸活动
环
节
二
1．想一想
①矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质么？矩形还有其他特殊性质么？引导学生先从边、角、线、对称性四个方面思考。
2．做一做
请同学们用矩形纸片折一折，回答下列问题：
已知：如图,四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°对角线AC与DB相交于点O。
求证：(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°
(2) AC=BD
（在上一环节观察，测量，猜测的基础上，学生较易得出结论。但结论是否真的正确，必须经过严谨的证明。该环节旨在训练学生规范写出推理过程。学生独立思考后写出证明过程，教师提问，学生可展示多种证法<全等或勾股>，评价，并给出详解规范解析过程。）
关于该定理的证明放到课下做。
5.矩形性质的应用
例1：如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5cm，求矩形对角线的长。
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD(矩形的对角线相等)
OA=OC= AC，OB=OD= BD，
∴OA=OD。
∵∠AOD=120°，
∴∠ODA=∠OAD= (180°-120°)= 30°。
P26 15，16题选做（写作业本上）
2.《全品学练考》作业手册P6-7 1-14题（必做）
其余选做
3.错题本至少整理两道典型题，要求写出
错因，正解，考点，方法与技巧
（修改人：）
板书设计：
矩形的性质和判定（一）
一、矩形的定义
二、矩形的性质
2019年暑假北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形提高培优讲义教案设计：中位线和斜边上的中线(
2019年暑假北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形提高培优讲义教案：中位线和斜边上的中线一、三角形中位线4、例题讲解：例1、（1）如图1-1，在ABC△中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，若ABC△的周长为20cm，则DEF△的周长为__________．（2）如图1-2，在Rt ABC△中，30A∠=︒，1BC=，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为__________．图1-1 图1-2（3）如图1-3，ABC△中，6AB AC==，8BC=，AE平分BAC∠交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则BDE△的周长是__________．（4）如图1-4，在四边形中，E 、F 分别为AB 、CD 的中点．求证：．图1-3 图1-4【解析】（1）10cm ．（2）1． （3）10．（4）证明：取AD 的中点M ，连结EM 和FM ． ∵E 、F 是AB 、CD 中点， ∴，．又∵EF EM FM <+，∴．例2、（1）如图2-1，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AD BC =，18PEF ∠=︒，则PFE ∠的度数是__________度．（2）如图2-2，已知四边形ABCD 的对角线AC BD =，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连结EF 分别交AC 、BD 于M 、N ，求证：AMN BNM =∠∠．（3）已知，如图2-3四边形ABCD 中，AD BC =，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，AD 、EF 、BC 的延长线分别交于M 、N 两点．求证：AME BNE ∠=∠．ABCD 1()2EF AC BD <+F EDC BA 12EM BD =12FM AC =1()2EF AC BD <+MA BCD E FCM FE GNDBA图2-1 图2-2 图2-3【解析】（1）18．（2）设AB 的中点为G ，连结GE 、GF ，容易证得： GE //BD ，12EG BD =，GF //AC ，12EF AC =， 从而GF GE =，GEF GFE ∠=∠， ∴．（构造中位线来利用对角线相等的条件，也可以取或的中点．） （3）连接AC ，取AC 中点H ，连接FH 、EH ． ∵DF CF =，AH CH =， ∴FH//AD ，12FH AD =， 同理，12EH BC =，EH//BC ，∵AD BC =，∴EH FH =， ∴HFE HEF ∠=∠， ∵FH//AM ，EH//BC ，∴AM E HFE ∠=∠，HEF BNE ∠=∠， ∴AME BNE ∠=∠．例3、如图，在ABC △中，D 、G 分别为AB 、AC 上的点，且BD CG =，M 、N 分别是BG 、CD 的中点，过MN 的直线交AB 于点P ，交AC 于点Q ，求证：AP AQ =．CM FE ND B AA CDM FE NBAMN BNM =∠∠AC BD AHC D M FE NB【解析】连DG ，找DG 的中点E ，连ME 、NE ，∵M 、N 分别是BG 与CD 的中点．∴ME//AB ，，NE//AC ，． ∴，．∵，∴， ∴，∴，∴． 二、直角三角形斜边中线3、例题讲解：例4、已知：在ABC △中，90ABC ∠=︒，点E 在直线AB 上，ED 与直线AC 垂直，垂足为D ，且点M 为EC 中点，连接BM 、DM ．（1）如图4-1，若点E 在线段AB 上，探究线段BM 与DM 及BM D ∠与BCD ∠所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；（2）如图4-2，若点E 在BA 延长线上，你（1）中的结论是否发生变化？写出你的猜想并证明．NM PQG D C BAE ABC DG Q PM N12ME BD =12NE GC =APQ EMN ∠=∠AQP ENM ∠=∠BD GC =EM EN =EMN ENM ∠=∠APQ AQP ∠=∠AP AQ =图4-1 图4-2【解析】（1）BM DM =，2BMD BCD ∠=∠；（2）结论不变，由题意知，∴2BME BCM ∠=∠，2DME DCM ∠=∠，两式相减，得2BMD BCD ∠=∠．例5、如图，90MON ∠=︒，ABC △中，90BAC ∠=︒，2AB =，1AC =，AB 在MON ∠上滑动，求OC 的最大值．可得1OC ≤OC 的最大值为1+O 、D 、C 三点共线时）． 三、中点辅助线综合例6、在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，E 、F 、G 分别是AB 、AC 、BC 的中点，M 是DG 的中点，求证：ME MF =．【解析】连结DF 、EG ，可证DF GE =，MDF MGE ∠=∠，MD MG =，图2图1BEMCD AMEDCBAMB MC MD ==则MDF MGE △≌△，得证．例7、如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=︒，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．【解析】方法一：如图1，取AC 中点M ，取AD 中点N ，连BM ，MF ，NF ，EN ．∵90ABC AED ∠=∠=︒，1122BM AC FN EN AD MF ====，， ∴BMF FNE △≌△，∴BF EF =，方法二：如图2，延长CB 到M ，使得MB BC =， 延长DE 到N ，使得NE DE =， 连接AM ，AN ，MD ，CN ． 由90ABC AED ∠=∠=°，AMC △，ADN △是等腰三角形，F 是CD 中点，则BF //MD ，12BF MD =，EF//CN ，12EF CN =，MAD CAN △≌△，MD CN =，∴BF EF =，此题的两种解法中综合了中点的三个基本用法：等腰三角形三线合一；直角三角形斜边中线；中位线，即以下三个模型：四、课后作业：1、（1）如图1-1，在ABC △中，点D 是BC 中点，AE 平分∠BAC ，BE ⊥AE 于E ，延长BE 交AC 于F ．若AB =10厘米，AC =16厘米，则DE 的长度为__________．图2图1MNNMACBDEF F EDB CAFEDBCA（2）如图1-2，已知，在四边形ABCD 中，AD BC =，P 是对角线BD 的中点，N 是DC 的中点，M 是AB 的中点，30DBC ∠=︒，70ADB ∠=︒．求MNP ∠度数．图1-1 图1-2【解析】（1）3厘米；（2）∵在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，∴NP ，PM 分别是CDB △与DAB △的中位线， ∴12PN BC =，12PM AD =，PN//BC ，PM//AD ， ∴30NPD DBC ∠=∠=︒，70MPB ADB ∠=∠=︒， ∴110DPM ∠=︒； ∴140NPM ∠=︒， ∵AD BC =；∴PN PM =，故NMP △是等腰三角形． ∵140NPM ∠=︒， ∴20PMN PNM ∠=∠=︒．2、（1）如图2-1,ABC △中，过点A 分别作ABC ∠、ACB ∠的外角平分线．．．．．的垂线．．AD 、AE ，垂足为D 、E ．求证：①//ED BC ；②1()2ED AB AC BC =++．（2）（四川省中考题）如图2-2,已知：AD 是ABC △的中线，AE 是ABD △的中线，且AB BD =，求证：2AC AE =．图2-1 图2-2【解析】（1）①分别延长AD 、AE 与直线BC 交于点F 、G ，∵BD ⊥AD ，且BD 为ABF ∠的角平分线∴AD FD =，且AB BF =（等腰三角形的三线合一） 同理可得AE GE =，AC GC =， ∴DE 为AFG △的中位线， ∴ED //BC ，且12DE FG =． ②由（1）知12DE FG =， 且AB BF =，AC GC =， ∴111()()222ED FG=FB BC CG AB BC AC =++=++． （2）取AC 的中点F ，连结DF ，易得DF//AB ，12DF AB =，ADF BAD ∠=∠， 而1122DE BD AB ==，故DF DE =． 再证，∴，∴．3、（1）如图3-1，四边形ABCD 中，90ADC ∠=︒，取AC 中点O ，BC 中点E ，连接OD 、OE 、DE ，20CAD CAB ∠=∠=︒，则DOE ∠=__________．C E DBAADE ADF △≌△AE AF =2AC AE =CFEDBA（2）如图3-2所示，ABC △中，AH BC ⊥于H ，点E 、D 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，10cm HF =，则ED 的长度是__________．图3-1 图3-2【解析】（1）60︒．（2）10cm ．4、（1）如图4-1，在ABC △中，2B C ∠=∠，M 是BC 中点，AD BC ⊥于D ．求证：12DM AB =．（2）如图4-2，已知：ABD △和ACE △都是直角三角形，且90ABD ACE ∠=∠=︒，BAD CAE ∠=∠．连接DE ，设M 为DE 的中点．求证：MB MC =．【解析】（1）法一：取AB 中点G ，连结GD 、GM ，则12GD AB =，GM AC ∥．则GMD C ∠=∠．而GD GB B GDB GMD DGM =⇒∠=∠=∠+∠ C DGM =∠+∠，由于2B C ∠=∠，所以DGM C GMD ∠=∠=∠．∴12MD GD AB ==． 法二：同理可以取AC 的中点N ，连接DN ，MN ．（2）如图，分别取AD 、AE 的中点P 、Q ，连接PB 、PM 、QC 、QM ， 由P 、M 、Q 分别是AD 、DE 、AE 的中点，OE DC BAMEDCBAAB GNMC ABD g∴PM//AE，12PM AE=，QM//AD，12QM AD=，∵ABD△、ACE△是直角三角形，∴12PB AD=，12CQ AE=，∴PB QM=，PM QC=，∵BAD CAE∠=∠，∴ADB AEC∠=∠，∴DPB CQE∠=∠，由AD//QM，AE//PM，∴APM AQM∠=∠，∴BPM MQC∠=∠，∴BPM MQC△≌△，∴MB MC=．QPAC D EM 图3。
北师大版数学九年级上：第1章《特殊平行四边形》全章教案
第一章特殊(tèshū)平行四边形1.掌握菱形(línɡ xínɡ)、矩形、正方形的概念,以及(yǐjí)它们之间的关系.2.理解(lǐjiě)菱形、矩形、正方形的性质定理与判定定理,并能证明其他(qítā)相关结论.3.掌握直角三角形的性质定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.1.经历探索菱形、矩形、正方形的概念、性质与判定的猜想与证明的过程,丰富数学活动经验,进一步发展合情推理和演绎推理的能力.2.理解菱形、矩形、正方形的概念,了解它们与平行四边形之间的关系,进一步体会从一般到特殊的思考问题的方法,提高发现问题和解决问题的能力.3.在参与观察、试验、猜想、证明等数学活动中,有意识地渗透试验论证、逆向思维的思想,提高学生的能力.1.积极参与数学(shùxué)学习活动,对数学(shùxué)有好奇心和求知欲.2.经历图形(túxíng)的分类、性质探讨的过程,掌握图形(túxíng)与几何的基础知识和基本技能.通过(tōngguò)“猜想——总结——证明——应用”的数学活动提升科学素养.3.提高自主探究的能力和增强与他人合作交流的意识、方法.四边形是人们日常生活中应用较为广泛的一种几何图形,尤其是平行四边形、菱形、矩形、正方形等特殊四边形的用处更多.因此,四边形既是几何中的基本图形,也是“空间与图形”领域中主要研究对象之一.本章是在已经学过的多边形、平行线、三角形、平行四边形的基础上对菱形、矩形、正方形的有关性质与常用的判定方法的证明与扩充.它们的探索方法也都与平行四边形的性质和判定的探索方法一脉相承.本章的学习有助于深化对平行四边形的理解,以及对识图、画图等操作技能的掌握,丰富学生的数学活动经验和体验,促进其良好数学观的形成.本章主要渗透(shèntòu)归纳、类比、转化等数学思想,注重通过引导(yǐndǎo)探索过程来渗透与展现证明的思路.此外(cǐwài)还要注意引导学生探索证明的不同思路与方法,并进行(jìnxíng)适当的比较和讨论,提高分析、寻求证明思路(sīlù)的能力.【重点】菱形、矩形、正方形的定义、性质与判定.【难点】平行四边形与菱形、矩形、正方形之间的联系与区别.1.本章对菱形、矩形的性质与判定的研究,都需要先探索、猜想得到结论后再证明.教学中,可以利用教科书上的素材,也可以根据实际情况构建更现实、更贴近学生的问题情境,引导学生进行相关的探索、猜想活动.充分调动学生的积极性与主动性,引导学生探索、发现结论、体会探索结论的各种方法,理解猜想后还应该给予证明的意义,感受合情推理与演绎推理的关系.2.在学习本章之前,学生已经掌握几何证明的基本要求、基本步骤和基本方法.本章中的大部分结论都是先通过合情推理探索,再利用演绎推理加以证明.在教学中应把证明作为探索活动的自然延续与必要发展,让学生对发现的结论进行分析说明,然后按照几何证明的要求进行表达,实现合情推理和演绎推理的有机结合.注意通过一定的练习进一步培养学生的几何证明能力,避免过分追求证明题的数量和证明技巧,把握证明的难度.3.探索图形(túxíng)有关性质的过程,往往可以启发(qǐfā)证明的思路,在教学(jiāo xué)过程中,应充分考虑探索与证明(zhèngmíng)的关系,为学生(xué sheng)的积极思考创设条件.同时,要鼓励学生大胆探寻新颖独特的证明思路和证明方法,引导学生与同学在交流中比较证明方法的异同,提高演绎推理的能力.4.在菱形、矩形、正方形的性质与判定方法的探索与证明的过程中蕴含着一些数学思想方法,教学中有目的地让学生感悟、领会这些思想方法,并应用于解决相关问题的过程中.本章教学时间约需8课时,具体分配如下:1菱形的性质与判定3课时2矩形的性质与判定3课时3正方形的性质与判定2课时1菱形的性质与判定理解菱形(línɡ xínɡ)的概念,了解(liǎojiě)它与平行四边形之间的关系.1.经历菱形的性质定理(dìnglǐ)与判定定理的探索过程,进一步发展(fāzhǎn)合情推理能力.2.能够用综合法证明菱形的性质(xìngzhì)定理与判定定理,进一步发展演绎推理能力.体会探索(tàn suǒ)与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学现象.【重点(zhòngdiǎn)】1.菱形(línɡ xínɡ)的概念和性质.2.探索(tàn suǒ)菱形的判定方法【难点(nádiǎn)】菱形的概念和性质在生活中的应用.第课时探索并掌握菱形的概念和菱形所具有的特殊性质,会进行简单的推理和运算.在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生合情推理的能力,进一步让学生养成用数学知识说理的习惯,并要求学生能熟练地按规范的推理格式书写.从学生(xué sheng)已有的知识出发,通过欣赏、观察(guānchá)、动手操作等活动让学生感受身边的数学图形的和谐美与对称美,激发(jīfā)他们学习数学的兴趣,树立学好(xué hǎo)数学的信心,体会学习数学(shùxué)的快乐.培养学生主动探究、自主学习和合作交流的意识.【重点】菱形的概念和性质.【难点】菱形性质的灵活应用.【教师准备】1.教师在课前布置学生复习平行四边形的性质,搜集菱形的相关图片.2.多媒体课件.3.教师准备菱形纸片,上课前发给学生上课时使用.【学生准备】复习平行四边形的性质导入一:请同学们观察(guānchá)投影图片中的四边形并回答下列问题:(1)投影(tóuyǐng)图片中有平行四边形吗?(2)这些平行四边形具有哪些(nǎxiē)特征?其中(qízhōng)哪个特征不是平行四边形的性质?【师生(shī shēnɡ)活动】复习平行四边形的定义及性质.【学生活动】自主观察,小组合作交流,探究投影图片中平行四边形的新特征.导入二:1.提问:什么是平行四边形?学生回顾交流.2.平行四边形的相邻两边可能相等吗?请同学们讨论一下在我们生活中是否有相邻两边相等的平行四边形形状的图案?[设计(shèjì)意图]通过这个(zhè ge)环节,培养了学生的观察和对比分析(f ēnxī)能力.提高学生发现(fāxiàn)数学、应用数学的意识和学习兴趣.一、情景(qíngjǐng)交流[过渡语]今天我们来学习一种特殊的平行四边形,让我们一起观察、猜想、探究、归纳、论证吧!结合上面的观察,你能举出和上述图形具有相同特征的实物图形吗?具有这一特征的平行四边形是什么四边形?【学生活动】通过讨论,以小组为单位分别说出生活中具有邻边相等特征的平行四边形形状的实物.【教师活动】投影图片展示一些生活中的具有邻边相等特征的平行四边形形状的实物.二、学生(xué sheng)活动,归纳(guīnà)概念思路(sīlù)一请口答下列(xiàliè)问题.(1)上述(shàngshù)图形都是平行四边形吗?(2)上述图形都有一组邻边相等吗?(3)如果平行四边形有一组邻边相等,那么另一组邻边也相等吗?小组合作交流,类比平行四边形的定义尝试给出菱形的定义.【老师点评】(1)是平行四边形;(2)都有一组邻边相等.【课件展示】像这样,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.思路二【师】同学们,在观察上面图片之后,你能从中发现熟悉的图形吗?你能找出它们的共同特征吗?请同学们观察,图中的平行四边形与黑板上所画的▱ABCD 相比较,还有不同点吗?【生】投影(tóuyǐng)图片中的平行四边形不仅对边相等,而且任意(rènyì)两条邻边也相等.【师】同学(tóng xué)们观察得很仔细,像这样(zhèyàng),有一组邻边相等(xiāngděng)的平行四边形叫做菱形.[设计意图]通过这个环节,培养了学生的观察和对比分析能力.让学生观察图形,从直观上把握菱形的特点,从而给出菱形的定义,让学生明确菱形不但是平行四边形,而且有其特点“一组邻边相等”.同时,让学生去发现生活中因为有了数学而变得更精彩,从而提高学生学习数学的兴趣.三、共同探究【想一想】(1)菱形(línɡ xínɡ)是特殊的平行四边形,它具有(jùyǒu)一般平行四边形的所有性质.你能列举一些(yīxiē)这样的性质吗?【生】菱形的对边平行(píngxíng)且相等,对角(duì jiǎo)相等,对角线互相平分.(2)同学们,你认为菱形还具有哪些特殊的性质?请你与同伴交流.【学生活动】分小组讨论菱形的性质,组长组织组员讨论,让尽可能多的组员发言,并汇总结果.【教师活动】教师巡视,并参与到学生的讨论中,启发学生类比平行四边形从图形的边、角和对角线三个方面探讨菱形的性质.对学生的结论,教师要及时作出评价,积极引导,激励学生.【做一做】请同学们用菱形纸片折一折,回答下列问题:(1)菱形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴?对称轴之间有什么位置关系?(2)菱形中有哪些相等的线段?【学生(xué sheng)活动】分小组折纸(zhézhǐ)探索答案.组长组织(zǔzhī),并汇总(huìzǒng)结果.【教师(jiàoshī)活动】教师巡视并参与学生活动,引导学生怎样折纸才能得到正确的结论.学生研讨完毕,教师要展示汇总学生的折纸方法以及相应的结论,以便于后面的教学.【师生结论】(1)菱形是轴对称图形,有两条对称轴,且是菱形的两条对角线所在的直线,两条对称轴互相垂直.(2)菱形的四条边相等.[设计意图]通过学生自己操作剪、折菱形纸片,探索菱形的对称性,不仅增加学生学习的兴趣,并为新课归纳菱形的性质做铺垫.【验证提升】证明菱形性质【师】通过折纸活动,同学们已经对菱形的性质有了初步的理解,下面我们要对菱形的性质进行严谨的逻辑证明.【教师(jiàoshī)活动】如图所示,在菱形(línɡ xínɡ)ABCD中,已知AB＝AD,对角线AC与BD相交(xiāngjiāo)于点O.求证(qiúzhèng):(1)AB＝BC＝CD＝AD;(2)AC⊥BD.【师生(shī shēnɡ)共析】(1)菱形不仅对边相等,而且邻边相等,这样就可以证明菱形的四条边都相等了.(2)因为菱形是平行四边形,所以点O是对角线AC与BD的中点.又因为在图形中可以得到相关的等腰三角形,所以就可以利用“三线合一”来证明结论了.【学生活动】写出证明过程,进行组内交流对比,优化证明方法,掌握相关定理.指名学生在黑板上演示证明过程.证明:(1)∵菱形ABCD是平行四边形,∴AB＝CD,AD＝BC(平行四边形的对边相等).∵AB＝AD,∴AB＝BC＝CD＝AD.(2)∵AB＝AD,∴ΔABD是等腰三角形.∵四边形ABCD是菱形(línɡ xínɡ),∴OB＝OD(菱形(línɡ xínɡ)的对角线互相平分).在等腰三角形ABD中,∵OB＝OD,∴AO⊥BD,即AC⊥BD.【教师(jiàoshī)活动】展示(zhǎnshì)学生的证明过程,进行(jìnxíng)恰当的点评和鼓励,优化学生的证明方法,规范学生的书写格式,提高学生的逻辑证明能力.【教师活动】请你根据上面的证明,归纳出菱形的性质.【学生活动】小组交流,共同总结.【教师活动】多媒体课件展示定理(dìnglǐ):菱形(línɡ xínɡ)的四条边相等.定理(dìnglǐ):菱形(línɡ xínɡ)的对角线互相垂直.最后(zuìhòu)强调“菱形的四条边相等”“菱形的对角线互相垂直”,让学生形成牢固记忆,留下深刻印象.[设计意图]学生通过折纸可以猜想到菱形的相关性质,教师在参与学生活动的过程中,应该关注学生的口述论证过程,并根据学生的认知水平加以引导,尽量减少学生推理论证过程中的困难.四、展示交流【教师活动】例题讲解.(教材例1)如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∠BAD ＝60°,BD＝6,求菱形的边长AB和对角线AC的长.〔解析(jiě xī)〕因为菱形(línɡ xínɡ)的邻边相等,一个(yīɡè)内角是60°,这样(zhèyàng)就可以得到等边三角形ABD,由BD＝6知菱形(línɡ xínɡ)的边长也是6.菱形的对角线互相垂直,可以得到直角三角形AOB.菱形的对角线互相平分,可以得到OB＝3,根据勾股定理就可以求出OA的长度,再一次根据菱形的对角线互相平分,即AC＝2OA,求出AC.解:∵四边形ABCD是菱形,∴AB＝AD(菱形的四条边相等),AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直),OB＝OD＝BD＝×6＝3(菱形的对角线互相平分).在等腰三角形ABD中,∵∠BAD＝60°,∴ΔABD是等边三角形.∴AB＝BD＝6.在RtΔAOB中,由勾股定理,得:OA2＋OB2＝AB2,∴OA＝＝3,∴AC＝2OA＝6.[知识(zhī shi)拓展](1)菱形(línɡ xínɡ)是特殊的平行四边形,它具有(jùyǒu)平行四边形的所有性质;(2)菱形的定义既可以看做(kàn zuò)菱形的性质,也可以(kěyǐ)看做菱形的判定方法.1.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.菱形的性质:(1)菱形是轴对称图形,对称轴是两条对角线所在的直线;(2)菱形的四条边都相等;(3)菱形的对角线互相垂直平分.3.菱形具有平行四边形的所有性质,应用菱形的性质可以进行计算和推理.1.如图所示,在菱形(línɡ xínɡ)ABCD中,AB＝5,∠BCD＝120°,则对角线AC 的长是()A.20B.15C.10D.5解析(jiě xī):因为(yīn wèi)四边形ABCD是菱形(línɡ xínɡ),所以(suǒyǐ)AB＝CB,CD∥BA,所以∠ABC＝180°-∠BCD＝180°-120°＝60°,所以ΔABC是等边三角形,所以AC＝AB＝5.故选D.2.如图所示,菱形ABCD的周长为8 cm.∠BAD＝60°,则AC＝cm.解析(jiě xī):因为(yīn wèi)菱形ABCD的周长(zhōu chánɡ)为8 cm,所以(suǒyǐ)AB＝AD＝2 cm.又因为(yīn wèi)∠BAD＝60°,所以ΔABD是等边三角形,所以BD＝AB＝2 cm,所以OB＝BD＝1 cm,所以OA＝(cm),所以AC＝2 cm.故填2.3.如图所示,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB＝CD＝BC,则四边形ABCD是菱形吗?为什么?解:四边形ABCD是菱形.理由:∵AB∥CD,AB＝CD,∴四边形ABCD是平行四边形.又∵CD＝BC,∴平行四边形ABCD是菱形.4.如图所示,四边形ABCD是菱形(línɡ xínɡ),F是AB上一点(yī diǎn),DF交AC于点E.求证(qiúzhèng)∠AFD＝∠CBE.证明(zhèngmíng):∵四边形ABCD是菱形(línɡ xínɡ),∴CB＝CD,CA平分∠BCD.∴∠BCE＝∠DCE.又∵CE＝CE,∴ΔBCE≌ΔDCE(SAS).∴∠CBE＝∠CDE.在菱形ABCD中,∵AB∥CD,∴∠AFD＝∠CDE.∴∠AFD＝∠CBE.第1课时菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形菱形(línɡ xínɡ)的性质:菱形(línɡ xínɡ)的四条边相等菱形(línɡ xínɡ)的对角线互相垂直例1一、教材(jiàocái)作业【必做题】教材(jiàocái)第4页随堂练习.【选做题】教材第4页习题1.1的1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.在菱形ABCD中,AB＝5 cm,则此菱形的周长为()A.5 cmB.15 cmC.20 cmD.25 cm2.菱形的周长为8 cm,高为1 cm,则菱形两邻角的度数比为()A.3∶1B.4∶1C.5∶1D.6∶13.如图所示,在菱形(línɡ xínɡ)ABCD中,两条对角线的长分别(fēnbié)为AC＝6,BD＝8,则此菱形(línɡ xínɡ)的边长为()A.5B.6C.8D.104.如图所示,在菱形(línɡ xínɡ)ABCD中,对角线AC交BD于点O,AB＝8,E是CD 的中点(zhōnɡ diǎn),则OE的长等于.5.如图所示,已知菱形ABCD,其顶点A,B在数轴上对应的数分别为-4和1,则BC ＝.6.如图所示,在菱形(línɡ xínɡ)ABCD中,E,F分别(fēnbié)是CB,CD上的点,且BE ＝DF.求证(qiúzhèng)∠AEF＝∠AFE.【能力(nénglì)提升】7.如图所示,两个(liǎnɡɡè)全等菱形的边长均为1 cm,一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动,行走2021 cm后停下,则这只蚂蚁停在点.8.已知菱形ABCD的边长为6,且∠A＝60°,如果点P是菱形内一点,且PB＝PD ＝2,那么AP的长为.9.如图所示,在菱形ABCD中,∠A＝60°,AB＝4,O为对角线BD的中点,过O点作OE⊥AB,垂足为E.(1)求∠ABD的度数;(2)求线段(xiànduàn)BE的长.【拓展(tuò zhǎn)探究】10.如图所示,在菱形(línɡ xínɡ)ABCD中,对角线AC＝6,BD＝8,点E,F分别(fēnbié)是边AB,BC的中点(zhōnɡ diǎn),点P在AC上运动,在运动过程中,存在PE＋PF 的最小值,则这个最小值是()A.3B.4C.5D.611.如图所示,在菱形ABCD中,F是BC上任意一点,连接AF交对角线BD于点E,连接EC.(1)求证AE＝EC;(2)当∠ABC＝60°,∠CEF＝60°时,点F在线段(xiànduàn)BC上的什么(shén me)位置?说明(shuōmíng)理由.【答案(dáàn)与解析】1.C(解析(jiě xī):因为菱形ABCD的四条边相等,所以菱形的周长为5×4＝20(cm).故选C.)2.C(解析:如图所示,因为菱形的周长为8 cm,所以AD＝2 cm.因为高DE＝1 cm,所以DE＝AD,所以∠A＝30°,所以∠ADC＝180°-30°＝150°,所以菱形两邻角的度数比为5∶1.故选C.)3.A (解析:因为四边形ABCD是菱形,所以OA＝AC＝3,OB＝BD＝4,∠AOB＝90°,所以AB＝＝5.故选A.)4.4(解析:因为四边形ABCD是菱形,所以O是AC的中点,且AD＝AB＝8.又因为E是CD的中点,所以OE是ΔACD的中位线,所以OE＝AD＝AB＝4.故填4.)5.5 (解析(jiě xī):因为(yīn wèi)点A,B在数轴(shùzhóu)上对应的数为-4和1,所以(suǒyǐ)AB＝1-(-4)＝5.因为(yīn wèi)四边形ABCD是菱形,所以BC＝AB＝5.故填5.)6.证明:在菱形ABCD中,有AB＝AD,∠B＝∠D.在ΔABE和ΔADF中,,∴ΔABE≌ΔADF.∴AE＝AF.∴∠AEF＝∠AFE.7.G(解析:因为两个全等菱形的边长均为1 cm,所以蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序走一圈的路程为8×1＝8(cm),2021÷8＝251(cm)……7(cm),所以当蚂蚁走完第251圈后再走7 cm正好到达G点.)8.2或49.解:(1)在菱形ABCD中,AB＝AD,∠A＝60°,∴ΔABD为等边三角形.∴∠ABD ＝60°.(2)由(1)可知BD＝AB＝4.又∵O为BD的中点,∴OB＝2.又∵OE⊥AB,∠ABD＝60°,∴∠BOE＝30°.∴BE＝1.10.C11.证明:(1)如图所示,连接AC,∵BD是菱形ABCD的对角线,∴BD垂直平分AC,∴AE＝EC.(2)点F是线段BC的中点.理由如下.∵四边形ABCD是菱形,∴AB＝CB.又∵∠ABC＝60°,∴ΔABC是等边三角形,∴∠BAC＝60°.∵AE＝EC,∴∠EAC＝∠ACE.∵∠CEF＝60°,∴∠EAC＝30°.∴AF是ΔABC中∠BAC的平分线,∴BF＝CF,∴点F是线段BC的中点.本课时的主要教学内容为菱形(línɡ xínɡ)的定义和性质.学生已经(yǐ jing)学习了平行四边形的性质,这是本课时(kèshí)知识的基础.关于(guānyú)菱形的定义和性质,就是(jiùshì)在平行四边形的基础上,进一步强化条件得到的.本课时授课思路为“创设情境——猜想归纳——逻辑证明——知识运用”.课堂上的折纸活动,可以让学生直观感知图形的特点,还可以激发学生学习的兴趣和积极性.教师应该(yīnggāi)留给学生充分的独立思考时间,不要让一些思维活跃的学生的回答代替(dàitì)了其他学生的思考,掩盖了其他学生(xué sheng)的疑问.教师要引导(yǐndǎo)学生积极思考,抓住表面现象中的本质(běnzhì).在性质的证明和应用过程中,教师要鼓励学生大胆探索新颖独特的证明思路和证明方法,提倡证明方法的多样性,并引导学生在与其他同学的交流中进行证明方法的比较,优化证明方法,有利于提高学生的逻辑思维水平.随堂练习(教材第4页)解:根据菱形的对角线互相垂直,可知ΔAOB是直角三角形,由勾股定理可求出OB＝3 cm,再根据菱形的对角线互相平分可得BD＝2OB＝6 cm.习题1.1(教材第4页)1.证明:在菱形ABCD中,AB＝BC,BC∥AD,∴∠B＋∠BAD＝180°,∵∠BAD＝2∠B,∴∠B＝60°,又∵BA＝BC,∴ΔABC是等边三角形.2.解:∵四边形ABCD是菱形(línɡ xínɡ),∴AD＝DC＝CB＝BA,AC⊥BD,AO＝AC＝×8＝4,DO＝BD＝×6＝3,在RtΔAOD中,由勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ),得AD＝＝5.∴菱形(línɡ xínɡ)ABCD的周长(zhōu chánɡ)为4AD＝4×5＝20.3.证明(zhèngmíng):在菱形ABCD中,AD＝AB,AC⊥BD,∴AC平分∠DAB,同理,CA平分∠DCB,BD平分∠ABC和∠ADC.4.解:共有4个等腰三角形,分别为ΔBAD,ΔBCD,ΔADC,ΔABC.共有4个直角三角形,分别为ΔAOB,ΔAOD,ΔCOD,ΔBOC.(1)在折纸过程中,教师要与学生探讨折纸的方法,明确折叠过程中的对应点及相应的对称轴,便于学生正确迅速地找出菱形中的对称关系.掌握数学知识离不开“实践——认识——再实践——认识”这个重要的学习方法,通过说理论证可以使学生充分理解菱形的性质,在这个过程中,教师要充分关注学生使用几何语言的规范性和严谨性.(2)类比方法(fāngfǎ)是数学中重要的方法,所以本课时类比(lèibǐ)以前学过的平行四边形的有关概念、性质,让学生通过自主(zìzhǔ)学习,共同(gòngtóng)探究,很自然(zìrán)地突破了重难点.(3)本课时重难点、易错点的掌握要通过不同形式的练习加以巩固,让学生积极参与,培养合作意识,激发学习兴趣,同时教师随时注意学生们出现的问题,及时引导和反馈,使学生在快乐中掌握知识.(2021·莆田中考)如图所示,菱形ABCD的边长为4,∠BAD＝120°.点E是AB的中点,点F是AC上的一动点,则EF＋BF的最小值是.〔解析(jiě xī)〕如图所示,连接(liánjiē)DE,EC,DF,则BF＝DF.∵四边形ABCD为菱形(línɡ xínɡ),∠BAD＝120°,∴∠ABC＝60°.∴ΔABC为等边三角形.∵E是AB的中点(zhōnɡ diǎn),∴CE⊥AB,∴CE⊥CD.在RtΔBEC中,∠ABC＝60°,BC＝4,∴BE＝BC＝2,CE＝＝2.在RtΔECD 中,CE＝2,DC＝4,∴ED＝2.根据(gēnjù)两点之间线段最短,可知EF＋DF的最小值为2.∴EF＋BF的最小值为2.故填2.第课时1.理解菱形的定义,掌握菱形的判定方法;会用这些判定方法进行有关的论证和计算.2.在菱形的判定方法的探索与综合应用中,培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力.尝试从不同(bù tónɡ)角度寻求菱形的判定方法,并能有效(yǒuxiào)地解决问题,尝试比较不同(bù tónɡ)判定方法之间的差异,并获得判定(pàndìng)四边形是菱形的经验.启发引导学生理解探索(tàn suǒ)结论和证明结论的过程,掌握合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系,培养学生合作交流的能力,以及独立思考的良好习惯.【重点】探索证明菱形的两个判定方法,掌握证明的基本要求和方法.【难点】明确推理证明的条件和结论能用数学语言正确表达.【教师准备】木条和橡皮筋【学生准备】复习上课时的相关知识.导入一:人们戴的帽子的形状(xíngzhuàn)千奇百怪,有一段时间,电视(diànshì)上经常看到大学生戴的菱形帽,它是受到外国(wàiguó)博士帽的启发.在日本(rì běn),到第二次世界大战为止(wéizhǐ),戴菱形帽一直是年轻人的梦想,戴上它显得有知识有学问.这是由于菱形的特殊因素能给人一种舒服的感觉.那么,我们怎样判断一个四边形是否是菱形呢?导入二:什么样的四边形是平行四边形?它有哪些判定方法?教师提示:判定方法应该从三个方面分析:边:两组对边分别平行的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.角:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.对角线:对角线互相平分的四边形是平行四边形.那么,菱形的判定有什么方法呢?[设计意图]通过类比的方法引导学生发现判定菱形的方法.一、由菱形(línɡ xínɡ)的定义判定[过渡(guòdù)语]接下来我们(wǒ men)研究怎样判断一个四边形是菱形.【学生(xué sheng)活动】明确(míngquè)菱形的定义既是菱形的性质,又可作为菱形的第一种判定方法,即有一组邻边相等的平行四边形是菱形.【思考】除了运用菱形的定义,类比平行四边形的性质定理和判定定理,你能找出判定菱形的其他方法吗?二、菱形的判定(1)思路一已知:在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC⊥BD.求证▱ABCD是菱形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA＝OC.∵AC⊥BD,∴BD所在(suǒzài)的直线是线段AC的垂直平分线.∴BA＝BC.∴▱ABCD是菱形(línɡ xínɡ)(菱形(línɡ xínɡ)的定义).【思考(sīkǎo)】从上述(shàngshù)证明过程中,你得出什么结论?定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.思路二【学生活动】用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.(1)转动木条,这个四边形总有什么特征?你能证明你发现的结论吗?猜想:四边形的对角线互相平分.(2)继续(jìxù)转动木条,观察(guānchá)什么时候橡皮筋围成的四边形变成菱形?猜想(cāixiǎng):当木条互相(hù xiāng)垂直时,平行四边形的一组邻边相等(xi āngděng),此时四边形为菱形.(3)你能证明你的猜想吗?猜想:如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直,那么这个平行四边形是菱形.已知:在▱ABCD中,对角线AC,BD互相垂直.求证▱ABCD是菱形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分).又∵AC⊥BD,∴BD所在的直线是线段AC的垂直平分线,∴AB＝BC,∴▱ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).定理(dìnglǐ):对角线互相垂直(chuízhí)的平行四边形是菱形.三、菱形(línɡ xínɡ)的判定(2)[过渡(guòdù)语]菱形的判定(pàndìng)还有其他的方法吗?思路一学生先画两条等长的线段AB,AD,然后分别以B,D为圆心,AB长为半径画弧,得到两弧的交点C,连接BC,CD,就得到了一个四边形,猜一猜,这是什么四边形?请你画一画.通过探究,容易得到:四条边相等的四边形是菱形.证明上述结论.[设计意图]采用观察、操作、交流、演绎的手法来突破难点,通过严谨的推理和证明培养学生的几何思维.思路二问题我们如何(rúhé)画一个菱形呢?通常(tōngcháng)先画两条等长的线段AB,AD,然后(ránhòu)分别以B,D为圆心(yuánxīn),AB长为半径(bànjìng)画弧,得到两弧交点C,连接BC,CD即可.。
北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形1.2矩形的性质与判定(教案)
一、教学内容
北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形1.2矩形的性质与判定：
1.矩形的定义及特征
-矩形的概念：有一个角是直角的平行四边形
-矩形的性质：对边平行且相等，对角相等且都是直角，对角线互相平分且相等
2.矩形的判定方法
-有一个角是直角的平行四边形是矩形
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解矩形的基本概念。矩形是有一个角是直角的平行四边形，它在生活中有广泛的应用，比如建筑、设计等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析一个矩形的实物模型，展示矩形在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调矩形的性质和判定方法这两个重点。对于难点部分，比如矩形判定方法的选择，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
课堂上，我尝试通过引入日常生活中的例子来激发学生的兴趣，效果还不错。大多数学生能够积极参与讨论，提出自己的看法。但在讲授矩形判定方法时，我发现部分学生对于何时使用哪种方法还不够明确。这可能是因为我在讲解时没有提供足够的具体案例，导致学生难以将理论知识与实际应用结合起来。
在实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作的表现让我感到欣慰。他们能够相互协作，共同解决问题。但在小组讨论中，我也注意到个别学生参与度不高，可能是因为他们对主题不够感兴趣，或者是对矩形知识掌握不够扎实。为此，我计划在接下来的课程中，针对这部分学生提供更多的支持和鼓励，帮助他们更好地融入课堂。
-难点解析：通过对比不同判定方法的使用场景，提供多种图形案例，指导学生如何选择合适的判定方法。
-实际问题的解决：将矩形知识应用于解决实际问题时，学生可能会感到困惑。