结构力学-阻尼对振动的影响

r
T

1.5
4.189 s 1
r 1 2 4.191s 1
P 9.8103 k 196104 N / m A0 0.005
4 2 0 . 0355 196 10 2k 33220 N s/m c 2 m 4.189
当ξ<0.2，则ωr/ω≈1，则
yk 1 r ln 2 n yk n
yk ln 2 n yk n 1
y (t ) et a sin(r t )
T 2
r

2
1 2
阻尼对自振频率的影响：ωr是低阻尼体系的自振频率
r 1 2
y(t ) Cet
(2) 考虑ξ=1的情况:
( 2 1)
λ= －ω
初始 条件
y=(C1+C2t)e-ωt y = [y0(1+ωt)+υ0t] e-ωt
y0
y tg0 θ0
v0
当阻尼增大到ξ=1时，曲线具有衰减，但不具波动，这时的阻 尼常数为临界阻尼常数，用Cr表示。 (Critical Damp)
在ξ<1的低阻尼情况下，ωr恒小于ω，而且随ξ值的增 大而减小。通常ξ是一个小数。如果ξ<0.2，则 0.96<ωr/ω<1，即ωr与ω的值很相近。因此，在ξ<0.2的 情况下，阻尼对自振频率的影响可以忽略。
例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集 中在横梁处共计为m ，加一水平力9.8kN，测得侧移A0=0.5cm， 然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s 及一 个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比ξ和阻尼系数c。 yk 1 1 0.5 ln ln 0.0335 m 2 y k 1 2 0.4 EI=∞ 9.8kN 2 2
2.有阻尼的自由振动
k 有阻尼(粘滞阻尼)自由振动 微分方程：
y m
FP（t）
cy
y ky
m y
FP（t）
cy ky 0 m y
令
k c , m 2m
有阻尼强迫振动微分方程：
cy ky FP (t ) m y
y 2 y y 0
2
y 2 y y 0
2
设微分方程的解为如下形式：
y(t ) Ce
则λ由下列特征方程所确定：
2 2
t
2 0
( 2 1)
根据＜ 1、＝ 1、＞ 1 ，解的形式各不同
相应有3种不同的运动形态
(1) 考虑ξ<1的情况(即低阻尼情况)：
齐次解 平稳阶段。任一时刻的动力位移 可改用下式来表示：
y (t ) { y p sin( t )
特解
2 y p yst 1 2 4 2 2 tan 1 2 1
t
y(t ) Ce
y
yk
t
由于阻尼的影响，振幅随时间而逐渐
( 2 1)
ae-ξωt
yk+1
yk 1 e (tk T ) tk eT yk e
ξ值愈大，则衰减速度愈快
t
tk T
yk 2 ln T yk 1 r yk 振幅的对数递 1 r ln 2 yk 1 减率
15-4 阻尼对振动的影响
damping:阻尼
1. 阻尼的概念与分类
阻尼力对质点运动起阻碍作用。
从方向上看，它总是与质点的速度方向相反。
从数值上看，根据阻尼类别的不同，与质点速度的关系也各不 相同： (1) 阻尼力与质点速度成正比，称为粘滞阻尼力(Viscous Damp)。 (2) 阻尼力与质点速度的平方成正比，固体在流体中运动到的阻 力属于这一类。 (3) 阻尼力的大小与质点速度无关，摩擦力属于这一类。
0 y0 y (t ) e ( y0 cos r t sin r t ) 2 ( v y ) 2 0 r a y0 0 2 r t y (t ) e a sin(r t )
低阻尼y(t)曲线
阻尼对振幅的影响：振幅为 ae 衰减。 经过一个周期T 后
t 0 y (t ) e sin r t r
积分
dy e
t
FP ( )d sin r (t ) mr
（2）简谐荷载： FP (t ) F sin(t )
y (t ) {et (C1 cos r t C2 sin r t )} { A sin t B cos t}
3.有阻尼的强迫振动
Forced-Vibration with Viscous Damping 回顾：有阻尼自由振动：
FP(t)

t
d
y (t ) e
t
t ( t ) FP ( ) 0 y0 e sin r (t )d ( y0 cos r t sin r t ) ＋ 0 mr r
t
cr 2m 2 mk
c cr 阻尼比
k c , m 2m
(3) ξ>1，体系在自由反应中仍不引起振动。
3.有阻尼的强迫振动
回顾：无阻尼、一般荷载下的强迫振动：
FP(t)

t
d
0 1 t y (t ) y0 cos t sin t Fp ( )sin (t )d m 0
y(t ) Cet
( 2 1)
y ae-ξωt t
ir
(r 1 2 )
y(t ) et (C1 cos r t C2 sin rt )
Initial Condition
t
y0 r t an 位移曲线显示为一条逐渐衰减的波动曲线 v0 y0