高考数学专题--概率及期望与方差
高考数学专题--概率及期望与方差建知识网络明内在联系[高考点拨]本专题涉及面广，往往以生活中的热点问题为依托，在浙江新高考中的考查方式十分灵活，背景容易创新．基于上述分析，本专题按照“古典概型”“随机变量及其分布”两个方面分类进行引导，强化突破．突破点1、古典概型[核心知识提炼]提炼1古典概型问题的求解技巧(1)直接列举：涉及一些常见的古典概型问题时，往往把事件发生的所有结果逐一列举出来，然后进行求解．(2)画树状图：涉及一些特殊古典概型问题时，直接列举容易出错，通过画树状图，列举过程更具有直观性、条理性，使列举结果不重、不漏．(3)逆向思维：对于较复杂的古典概型问题，若直接求解比较困难，可利用逆向思维，先求其对立事件的概率，进而可得所求事件的概率．(4)活用对称：对于一些具有一定对称性的古典概型问题，通过列举基本事件个数结合古典概型的概率公式来处理反而比较复杂，利用对称思维，可以快速解决. 提炼2求概率的两种常用方法(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率．(2)若一个较复杂的事件的对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”．它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率．[高考真题回访]回访古典概型1．(浙江高考)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )A.110B.310C.35D.910D[“所取的3个球中至少有1个白球”的对立事件是“所取的3个球都不是白球”，因而所求的概率P＝1－C33C35＝1－110＝910.]2．(浙江高考)在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．13[记“两人都中奖”为事件A，设中一、二等奖及不中奖分别记为1,2,0，那么甲、乙抽奖结果有(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，共6种．其中甲、乙都中奖有(1,2)，(2,1)，2种，所以P(A)＝26＝13.]3．(浙江高考)从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是女同学的概率等于__________．15[用A，B，C表示三名男同学，用a，b，c表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的所有选法为：AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc，共15种选法，其中都是女同学的选法有3种，即ab，ac，bc，故所求概率为315＝15.]热点题型1 古典概型题型分析：古典概型是高考考查概率的核心，问题背景大多是取球、选人、组数等，求解的关键是准确列举基本事件，难度较小.【例1】(1)袋子里有大小、形状相同的红球m个，黑球n个(m＞n＞2)．从中任取1个球是红球的概率记为p1.若将红球、黑球个数各增加1个，此时从中任取1个球是红球的概率记为p2；若将红球、黑球个数各减少1个，此时从中任取1个球是红球的概率记为p3，则( )A．p1＞p2＞p3B．p1＞p3＞p2C．p3＞p2＞p1D．p3＞p1＞p2(2)已知M＝{1,2,3,4}，若a∈M，b∈M，则函数f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上为增函数的概率是( )A.916B.716C.416D.316(1)B(2)A[(1)由题意得p1＝mm＋n，p2＝m＋1m＋n＋2，p3＝m－1m＋n－2，则1p1＝m＋nm＝1＋nm，1p2＝m＋n＋2m＋1＝1＋n＋1m＋1，1p3＝m＋n－2m－1＝1＋n－1m－1，则1p1－1p2＝nm－n＋1m＋1＝n－m m m＋1＜0，1p1－1p3＝nm－n－1m－1＝m－nm m－1＞0，所以1p2＞1p1＞1p3，所以p3＞p1＞p2，故选D.(2)记事件A为“函数f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上为增函数”．因为f(x)＝ax3＋bx2＋x－3，所以f′(x)＝3ax2＋2bx＋1.因为函数f(x)在R上为增函数，所以f′(x)≥0在R上恒成立．又a>0，所以Δ＝(2b)2－4×3a＝4b2－12a≤0在R上恒成立，即a≥b2 3.所以当b＝1时，有a≥13，故a可取1,2,3,4，共4个数；当b＝2时，有a≥43，故a可取2,3,4，共3个数；当b＝3时，有a≥3，故a可取3,4，共2个数；当b＝4时，有a≥163，故a无可取值．综上，事件A包含的基本事件有4＋3＋2＝9(种)．又a，b∈{1,2,3,4}，所以(a，b)共有4×4＝16(种)．故所求事件A的概率为P(A)＝916.故选A.][方法指津]利用古典概型求事件概率的关键及注意点1．关键：正确列举出基本事件的总数和待求事件包括的基本事件数．2．注意点：(1)对于较复杂的题目，列出事件数时要正确分类，分类时应不重不漏．(2)当直接求解有困难时，可考虑求其对立事件的概率．[变式训练1]若将甲、乙两个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1,2号盒子中各有一个球的概率是________．29[将甲、乙两个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则有3×3＝9种不同放法，其中在1,2号盒子中各有一个球的结果有2种，故所求概率是29.]热点题型2 互斥事件与对立事件的概率题型分析：互斥事件与对立事件的概率常与古典概型等交汇命题，主要考查学生的分析转化能力，难度中等.【例2】现有甲、乙、丙、丁4个学生课余参加学校社团文学社与街舞社的活动，每人参加且只能参加一个社团的活动，且参加每个社团是等可能的．(1)求文学社和街舞社都至少有1人参加的概率；(2)求甲、乙同在一个社团，且丙、丁不同在一个社团的概率．[解]甲、乙、丙、丁4个学生课余参加学校社团文学社与街舞社的情况如下：共有(1)文学社或街舞社没有人参加的基本事件有2个，故所求概率为1416＝78.(2)甲、乙同在一个社团，且丙、丁不同在一个社团的基本事件有4个，故所求概率为416＝14.[方法指津]1．直接求法：将所求事件分解为一些彼此互斥事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算．2．间接求法：先求此事件的对立事件，再用公式P(A)＝1－P(A)求解，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法会较简便．提醒：应用互斥事件概率的加法公式的前提是确定各个事件是否彼此互斥．[变式训练2] (名师押题)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．[解] 记事件A为“该车主购买甲种保险”，事件B为“该车主购买乙种保险但不购买甲种保险”，事件C为“该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种”，事件D 为“该车主甲、乙两种保险都不购买”.(1)由题意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，又C＝A∪B，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8.(2)因为D与C是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2.突破点2、随机变量及其分布[核心知识提炼]提炼1离散型随机变量的分布列离散型随机变量X的分布列如下：X x1x2x3…x i…x nP p1p2p3…p i…p n则(1)i(2)p1＋p2＋…＋p i＋…＋p n＝1(i＝1,2,3，…，n)．(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为X的均值或数学期望(简称期望)．D(X)＝(x1－E(X))2·p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(x i－E(X))2·p i＋…＋(x n－E(X))2·p n 叫做随机变量X的方差．(4)均值与方差的性质①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；②D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为实数)．(5) 两点分布与二项分布的均值、方差①若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；②若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).提炼2几种常见概率的计算(1)相互独立事件同时发生的概率P(AB)＝P(A)P(B)．(2)独立重复试验的概率如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为P n(k)＝C k n p k·(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.[高考真题回访]回访1 离散型随机变量及其分布列1．(浙江高考)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝53，Dη＝59，求a∶b∶c.[解](1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6.故P(ξ＝2)＝3×36×6＝14，P(ξ＝3)＝2×3×26×6＝13，P(ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，P(ξ＝5)＝2×2×16×6＝19，P(ξ＝6)＝1×16×6＝136.所以ξ的分布列为(2)所以E(η)＝a＋b＋c ＋a＋b＋c＋a＋b＋c＝3，D (η)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－532·a a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－532·b a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－532·c a ＋b ＋c ＝59，化简得⎩⎨⎧2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0.解得a ＝3c ，b ＝2c ，故a ∶b ∶c ＝3∶2∶1.回 访2 离散型随机变量的均值与方差2．(浙江高考)已知随机变量ξi 满足P (ξi ＝1)＝p i ，P (ξi ＝0)＝1－p i ，i ＝1,2.若0<p 1<p 2<12，则( )A ．E (ξ1)<E (ξ2)，D (ξ1)<D (ξ2)B ．E (ξ1)<E (ξ2)，D (ξ1)>D (ξ2)C ．E (ξ1)>E (ξ2)，D (ξ1)<D (ξ2) D ．E (ξ1)>E (ξ2)，D (ξ1)>D (ξ2)A [由题意可知ξi (i ＝1,2)服从两点分布，∴E (ξ1)＝p 1，E (ξ2)＝p 2，D (ξ1)＝p 1(1－p 1)，D (ξ2)＝p 2(1－p 2)． 又∵0<p 1<p 2<12，∴E (ξ1)<E (ξ2)．把方差看作函数y ＝x (1－x )，根据0<ξ1<ξ2<12知，D (ξ1)<D (ξ2)．故选A.3．(浙江高考)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m ≥3，n ≥3)，从乙盒中随机抽取i (i ＝1,2)个球放入甲盒中． (1)放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi (i ＝1,2)；(2)放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1,2)．则( ) A ．p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2) B ．p 1<p 2，E (ξ1)>E (ξ2) C ．p 1>p 2，E (ξ1)>E (ξ2) D ．p 1<p 2，E (ξ1)<E (ξ2)A [随机变量ξ1，ξ2的分布列如下：Pn m ＋nm m ＋nξ2 1 23 PC 2nC 2m ＋nC 1m C 1nC 2m ＋nC 2mC 2m ＋n所以E (ξ1)＝n m ＋n＋2m m ＋n ＝2m ＋nm ＋n， E (ξ2)＝C 2n C 2m ＋n ＋2C 1m C 1n C 2m ＋n ＋3C 2mC 2m ＋n ＝3m ＋n m ＋n，所以E (ξ1)<E (ξ2)． 因为p 1＝m m ＋n＋nm ＋n ·12＝2m ＋n 2m ＋n， p 2＝C 2m C 2m ＋n ＋C 1m C 1n C 2m ＋n ·23＋C 2nC 2m ＋n ·13＝3m ＋n 3m ＋n，p 1－p 2＝n 6m ＋n>0，所以p 1>p 2.]4．(浙江高考)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.25[设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ，则⎩⎨⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.]热点题型1 相互独立事件的概率题型分析：高考主要考查相互独立事件概率的求解及实际应用，对事件相互独立性的考查相对较频繁，难度中等.【例1】 (1)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) A ．0.648 B ．0.432 C ．0.36D ．0.312(2)如图71，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9.电流能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.图71①求p ；②求电流能在M 与N 之间通过的概率．(1)A [3次投篮投中2次的概率为P (k ＝2)＝C 23×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P (k ＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P (k ＝2)＋P (k ＝3)＝C 23×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.](2)记A i 表示事件：电流能通过T i ，i ＝1,2,3,4，A 表示事件：T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流，B 表示事件：电流能在M 与N 之间通过． ①A －＝A －1A －2A －3，A －1，A －2，A －3相互独立，P (A －)＝P (A －1A －2A －3)＝P (A －1)P (A －2)P (A －3)＝(1－p )3.又P (A －)＝1－P (A )＝1－0.999＝0.001， 故(1－p )3＝0.001，p ＝0.9. ②B ＝A 4∪A －4A 1A 3∪A －4A －1A 2A 3，P (B )＝P (A 4∪A －4A 1A 3∪A －4A －1A 2A 3)＝P (A 4)＋P (A －4A 1A 3)＋P (A －4A －1A 2A 3)＝P (A 4)＋P (A －4)P (A 1)P (A 3)＋P (A －4)P (A －1)P (A 2)·P (A 3) ＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9 ＝0.989 1.[方法指津]求相互独立事件和独立重复试验的概率的方法(1)直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解．(2)间接法：当复杂事件正面情况比较多，反面情况较少，则可利用其对立事件进行求解．对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解．[变式训练1] 商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖，则顾客抽奖1次能获奖的概率是________；若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，则E (X )＝________.710 35 [由题得，在甲箱中抽中红球、白球的概率分别为25，35，在乙箱中抽中红球、白球的概率分别为12，12.抽奖一次不获奖的概率为35×12＝310，所以其(对立事件)获奖的概率为1－310＝710.因为每次获得一等奖的概率为25×12＝15，3次抽奖相互独立，故E (X )＝np ＝3×15＝35.]热点题型2 离散型随机变量的分布列、期望和方差题型分析：离散型随机变量的分布列问题是高考的热点，常以实际生活为背景，涉及事件的相互独立性、互斥事件的概率等，综合性强，难度中等.【例2】 (1)随机变量X 的分布列如下表，且E (X )＝2，则D (2X －3)＝( )P16p 113A.1 B ．2 C ．4 D ．5C [由题可得16＋p 1＋13＝1，解得p 1＝12.所以E (X )＝0×16＋2×12＋a ·13＝2，解得a ＝3.所以D (X )＝(0－2)2×16＋(2－2)2×12＋(3－2)2×13＝1，所以D (2X －3)＝4D (X )＝4，故选C.](2)设X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1＜x 2，若E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2＝( ) A.53B.73C.113D ．3D [由已知得⎩⎪⎨⎪⎧23x 1＋13x 2＝43，23⎝⎛⎭⎪⎫x 1－432＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－432＝29，解得⎩⎨⎧x 1＝1，x 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝53，x 2＝23，因为x 1＜x 2，所以⎩⎨⎧x 1＝1，x 2＝2，所以x 1＋x 2＝1＋2＝3，故选D. [方法指津]解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路： 1明确随机变量可能取哪些值.2结合事件特点选取恰当的计算方法，计算这些可能取值的概率值. 3根据分布列和期望、方差公式求解.提醒：明确离散型随机变量的取值及事件间的相互关系是求解此类问题的关键. [变式训练2] (1)将四位同学等可能地分到甲、乙、丙三个班级，则甲班级至少有一位同学的概率是________，用随机变量ξ表示分到丙班级的人数，则Eξ＝________.65 8143[甲班级没有分到同学的概率为1＋1＋C14＋C24＋C3434＝1681，所以甲班级至少有一位同学的概率为1－1681＝6581.随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，则P(ξ＝0)＝1681，P(ξ＝1)＝C141＋1＋C23＋C1334＝3281，P(ξ＝2)＝C241＋1＋234＝2481，P(ξ＝3)＝C34×234＝881，P(ξ＝4)＝134＝181，于是Eξ＝0×1681＋1×3281＋2×2481＋3×881＋4×181＝43.](2)(2017·金华十校高考模拟考试)设随机变量X的分布列为X 12 3P 1215a则a＝3 1095[由分布列的概念易得12＋15＋a＝1，解得a＝310，则E(X)＝1×12＋2×15＋3×310＝95.]。
高考中的分布列、期望、方差问题汇编
几种常见题型的解法 一、从分类问题角度求概率例2（日本高考题）袋内有9个白球和3个红球，从袋中任意地顺次取出三个球（取出的球不再放回），求第三次取出的球是白球的概率。
二、从不等式大小比较的角度看概率例3 “幸运52”知识竞猜电视节目，为每位选手准备5道试题，每道题设“Yes ”与“No ”两个选项，其中只有一个是正确的，选手每答对一题，获得一个商标，假设甲、乙两位选手仅凭猜测独立答题，是否有99%的把握断定甲、乙两位选手中至少有一位获得1个或1个以上的商标？三、从“至多”、“至少”的角度看概率.例4、有三种产品，合格率分别是0.90、0.95和0.95，各取一件进行检验。
（I ）求恰有一件不合格的概率；（II ）求至少有两件不合格的概率（精确到0.001）。
四、从“或”、“且”的角度看概率例5甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或被乙解出的概率为0.92。
（1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求解出该题的人数 的数学期望和方差。
相关练习1.（山东卷7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为 （A ）511（B ）681（C ）3061 （D ）40812.（福建卷5)某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为45,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是A.16625B.96625C. 192625D.2566253.（辽宁卷7）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．344.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与p ，且乙投球2次均未命中的概率为161． （Ⅰ）求乙投球的命中率p ；（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．5.某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立），1）求至少3人同时上网的概率；2）至少几人同时上网的概率小于0.3？6.甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个。
高考数学离散型随机变量的期望及方差解答题
高考数学离散型随机变量的期望与方差解答题考点预测和题型解析在高考中，离散型随机变量的期望与方差试题的出题背景大多数源于课本上，有时也依赖于历年的高考真题、资料中的典型题例为背景，涉及主要问题有：产品检验问题、射击、投篮问题选题、选课，做题，考试问题、试验，游戏，竞赛，研究性问题、旅游，交通问题、摸球球问题、取卡片，数字和入座问题、信息，投资，路线等问题。
属于基础题或中档题的层面。
高考中一定要尽量拿满分。
● 考题预测离散型随机变量的期望与方差涉及到的试题背景有：产品检验问题、射击、投篮问题选题、选课，做题，考试问题、试验，游戏，竞赛，研究性问题、旅游，交通问题、摸球球问题、取卡片，数字和入座问题、信息，投资，路线等问题。
从近几年高考试题看，离散型随机变量的期望与方差问题还综合函数、方程、数列、不等式、导数、线性规划等知识主要考查能力。
● 复习建议1．学习概率与统计的关键是弄清分布列,期望和方差在统计中的作用. 离散型随机变量的分布列的作用是：（1）可以了解随机变量的所有可能取值； （2）可以了解随机变量的所有取值的概率；（3）可以计算随机变量在某一范围内取值的概率。
2．离散型随机变量的分布列从整体上全面描述了随机变量的统计规律。
3．离散型随机变量的数学期望刻画的是离散型随机变量所取的平均值，是描述随机变量集中趋势的一个特征数。
4．离散型随机变量的方差表示了离散型随机变量所取的值相对于期望的集中与分散程度。
● 知识点回顾1．离散型随机变量的期望：（1）若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 ++++=n n p x p x p x E 2211ξ为ξ的数学期望（平均值、均值） 简称为期望。
① 期望反映了离散型随机变量的平均水平。
② ξE 是一个实数，由ξ的分布列唯一确定。
③ 随机变量ξ是可变的，可取不同值。
④ ξE 是不变的，它描述ξ取值的平均状态。
（2）期望的性质：① C C E =)(为常数）C ( ② b aE b a E +=+ξξ)( 为常数）b a ,(③ 若),(~p n B ξ，则np E =ξ （二项分布）④ 若),(~p k g ξ，则pE 1=ξ （几何分布） 2．离散型随机变量的方差（1）离散型随机变量的方差：设离散型随机变量ξ可能取的值为,,,,,21 n x x x 且这些值的概率分别为 ,,,,,321n p p p p则称 +-+-=222121)()(p E x p E x D εεε…+-+n n p E x 2)(ε…；为ξ 的方差。
概率统计与期望方差分布列大题拔高练-高考数学重点专题冲刺演练(原卷版)
概率统计与期望方差分布列大题拔高练新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验．研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间0,20,20,40,40,60,60,80,80,100分组，绘制频后测量小白鼠的某项指标值，按[)[)[)[)[]率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只，假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立．指标值抗体合计小于60不小于60有抗体没有抗体合计a=的独立性检验，判断能否认为注射(1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及0.05疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关．（单位：只）(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小自鼠产生抗体．（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p；（ii）以（i）中确定的概率p作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记n个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X．试验后统计数据显示，当X=99时，P（X）取最大值，求参加人体接种试验的人数n．参考公式：22()()()()()n ad bc x a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++为样本容量）20()P x k ≥0.500.400.250.150.1000.0500.0250k 0.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.0242．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如图数据：(1)从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下，求这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率；(2)“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机抽取3所，记X 为选出“基地学校”的个数，求X 的分布列和数学期望．3．（2023·广东广州·统考一模）为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为34，各次答题结果互不影响.(1)求甲前3次答题得分之和为40分的概率；(2)记甲第i 次答题所得分数)N (i X i *∈的数学期望为()i E x .①写出()1i E X -与()i E x 满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）：②若()100i E x >，求i 的最小值.4．（2023·广东湛江·统考一模）某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：cm ），经统计得到下面的频率分布直方图：(1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数x 和方差2s ．（用每组的中点代表该组的均值）(2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布()2,N μσ，用直方图的平均数估计值x 作为μ的估计值 μ，用直方图的标准差估计值s 作为σ估计值 σ．（i ）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了()3,3μσμσ-+之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标：0.8 1.20.95 1.01 1.23 1.12 1.330.97 1.210.83利用 μ和 σ判断该生产周期是否需停止生产并检查设备．（ii ）若设备状态正常，记X 表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在()3,3μσμσ-+之外的零件个数，求()1P X ≥及X 的数学期望．参考公式：直方图的方差()221n i i i s x x p ==-∑，其中i x 为各区间的中点，i p 为各组的频率．参考数据：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈，0.105≈0.110≈，90.99730.9760≈，100.99730.9733≈．5．（2023·江苏·统考一模）某小区有居民2000人，想通过验血的方法筛查出乙肝病毒携带者，为此需对小区全体居民进行血液化验，假设携带病毒的居民占a %，若逐个化验需化验2000次.为减轻化验工作量，随机按n 人一组进行分组，将各组n 个人的血液混合在一起化验，若混合血样呈阴性，则这n 个人的血样全部阴性；若混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对每个人再分别单独化验一次.假设每位居民的化验结果呈阴性还是阳性相互独立.(1)若0.2a =，20n =，试估算该小区化验的总次数；(2)若0.9a =，每人单独化验一次花费10元，n 个人混合化验一次花费9n +元.求n 为何值时，每位居民化验费用的数学期望最小.（注：当0.01p <时，()11np np -≈-）6．（2023·江苏·统考一模）人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为12（先验概率）.(1)求首次试验结束的概率；(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整.①求选到的袋子为甲袋的概率，②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.7．（2023·辽宁沈阳·统考一模）2022年12月初某省青少年乒乓球培训基地举行了混双选拔赛，其决赛在韩菲/陈宇和黄政/孙艺两对组合间进行，每场比赛均能分出胜负．已知本次比赛的赞助商提供了10000元奖金，并规定：①若其中一对赢的场数先达到4场，则比赛终止，同时这对组合获得全部奖金；②若比赛意外终止时无组合先赢4场，则按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比给两对组合分配奖金．已知每场比赛韩菲/陈宇组合赢的概率为()01p p <<，黄政/孙艺赢的概率为1p -，且每场比赛相互独立．(1)若在已进行的5场比赛中韩菲/陈宇组合赢3场、黄政/孙艺组合赢2场，求比赛继续进行且韩菲/陈宇组合赢得全部奖金的概率()f p ；(2)若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），则这5场比赛中两对组合之间的比赛结果共有多少不同的情况？(3)若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），设12p =，若赞助商按规定颁发奖金，求韩菲/陈宇组合获得奖金数X 的分布列．8．（2023·江苏·二模）为促进经济发展，某地要求各商场采取多种举措鼓励消费.A 商场在春节期间推出“你摸球，我打折”促销活动，门口设置两个盒子，甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，购物满一定金额的顾客可以从甲、乙两个盒内各任取2个球．具体规则如下：摸出3个红球记为一等奖，没有红球记为二等奖，2个红球记为三等奖，1个红球记为鼓励奖.(1)获得一、二、三等奖和鼓励奖的折扣率分别为5折、7折、8折和9折．记随机变量ξ为获得各奖次的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望()Eξ；(2)某一时段内有3人参加该促销活动，记随机变量η为获得7折及以下资格的人数，求()2Pη=．9．（2023·辽宁·哈尔滨三中校联考一模）某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了了解学生参与活动的情况，随机调查了100名学生一个月（30天）完成锻炼活动的天数，制成如下频数分布表：天数[0，5]（5，10]（10，15]（15，20]（20，25]（25，30]人数4153331116(1)由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼天数X近似服从正态分布()2,Nμσ，其中μ近似为样本的平均数（每组数据取区间的中间值），且 6.1σ=，若全校有3000名学生，求参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数（精确到1）；(2)调查数据表明，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在（15，30]的学生中有30名男生，天数在[0，15]的学生中有20名男生，学校对当月参加“每天锻炼1小时”活动超过15天的学生授予“运动达人”称号.请填写下面列联表：性别活动天数合计[0，15]（15，30]男生女生合计并依据小概率值0.05α=的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”称号有关联.如果结论是有关联，请解释它们之间如何相互影响.附：参考数据：()0.6827P X μσμσ-≤≤+=；()220.9545P X μσμσ-≤≤+=；()330.9973P X μσμσ-≤≤+=.()()()()()()22n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++α0.10.050.010.0050.001x α 2.706 3.841 6.6357.87910.82810．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）为弘扬体育精神，营造校园体育氛围，某校组织“青春杯”3V3篮球比赛，甲、乙两队进入决赛．规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛．在规则允许的情况下，甲队中球员M 都会参赛，他上场与不上场甲队一场比赛获胜的概率分别为35和25，且每场比赛中犯规4次以上的概率为14．(1)求甲队第二场比赛获胜的概率；(2)用X 表示比赛结束时比赛场数，求X 的期望；(3)已知球员M 在第一场比赛中犯规4次以上，求甲队比赛获胜的概率．11．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考三模）某社区对55位居民是否患有新冠肺炎疾病进行筛查，已知随机一人其口拭子核酸检测结果呈阳性的概率为2%，且每个人的口拭子核酸是否呈阳性相互独立.(1)假设该疾病患病的概率是0.3%，且患病者口拭子核酸呈阳性的概率为98%，设这55位居民中有一位的口拭子核酸检测呈阳性，求该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率；(2)根据经验，口拭子核酸检测采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作如下：将55位居民分成若干组，先取每组居民的口拭子核酸混在一起进行检测，若结果显示阴性，则可断定本组居民没有患病，不必再检测；若结果显示阳性，则说明本组中至少有一位居民患病，需再逐个进行检测，现有两个分组方案：方案一：将55位居民分成11组，每组5人；方案二：将55位居民分成5组，每组11人，试分析哪一个方案的工作量更少？参考数据：50.980.904≈，110.980.801≈.12．（2023·福建福州·统考二模）脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例．某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方差分别为14和6，抽取了女性90位，其平均数和方差分别为21和17．(1)试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计．（结果保留整数）(2)假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X ，且X ~N （17，σ2），其中σ2近似为（1）中计算的总样本方差．现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率．附：若随机变量×服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ-σ≤X ≤μ+σ≈0.6827，P（μ-2σ≤X ≤μ+2σ）≈0.9545≈4.7，0.158653≈0.004．13．（2023·山东青岛·统考一模）今天，中国航天仍然迈着大步向浩瀚宇宙不断探索，取得了举世瞩目的非凡成就．某学校为了解学生对航天知识的知晓情况，在全校学生中开展了航天知识测试（满分100分），随机抽取了100名学生的测试成绩，按照[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100分组，得到如下所示的样本频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计该校学生测试成绩的中位数；(2)用样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10名学生的成绩，用()P X k =表示这10名学生中恰有k 名学生的成绩在[]90,100上的概率，求()P X k =取最大值时对应的k 的值；(3)从测试成绩在[]90,100的同学中再次选拔进入复赛的选手，一共有6道题，从中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者才可以进入复赛．现有甲、乙两人参加选拔，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对3道，且甲、乙两人各题是否答对相互独立．记甲、乙两人中进入复赛的人数为ξ，求ξ的分布列及期望．14．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）某校举行“强基计划”数学核心素养测评，要求以班级为单位参赛，最终高三一班（45人）和高三二班（30人）进入决赛．决赛规则如下：现有甲、乙两个纸箱，甲箱中有4个选择题和2个填空题，乙箱中有3个选择题和3个填空题，决赛由两个环节组成，环节一：要求两班级每位同学在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答，作答后放回原箱．并分别统计两班级学生测评成绩的相关数据；环节二：由一班班长王刚和二班班长李明进行比赛，并分别统计两人的测评成绩的相关数据，两个环节按照相关比赛规则分别累计得分，以累计得分的高低决定班级的名次．(1)环节一结束后，按照分层抽样的方法从两个班级抽取20名同学，并统计每位同学答对题目的数量，统计数据为：一班抽取同学答对题目的平均数为1，方差为1；二班抽取同学答对题目的平均数为1.5，方差为0.25，求这20人答对题目的均值与方差；(2)环节二，王刚先从甲箱中依次抽取了两道题目，答题结束后将题目一起放入乙箱中，然后李明再抽取题目，已知李明从乙箱中抽取的第一题是选择题，求王刚从甲箱中取出的是两道选择题的概率．15．（2023·山东聊城·统考一模）某中学在高一学生选科时，要求每位学生先从物理和和历史这两个科目中选定一个科目，再从思想政治、地理、化学、生物这四个科目中任选两个科目．选科工作完成后，为了解该校高一学生的选科情况，随机抽取了部分学生作为样本，对他们的选科情况统计后得到下表：思想政治地理化学生物物理类100120200180历史类1201406080(1)利用上述样本数据填写以下22⨯列联表，并依据小概率值0.001α=的独立性检验，分析以上两类学生对生物学科的选法是否存在差异．科类生物学科选法选不选合计物理类历史类合计(2)假设该校高一所有学生中有35的学生选择了物理类，其余的学生都选择了历史类，且在物理类的学生中其余两科选择的是地理和化学的概率为15，而在历史类的学生中其余两科选择的是地理和化学的概率为110．若从该校高一所有学生中随机抽取100名学生，用X表示这100名学生中同时选择了地理和化学的人数，求随机变量X的均值()E X．附：()()()()()22n ad bca b c d a c b d χ-=++++α0.10.050.0010.0050.001xα 2.706 3.841 6.6357.87910.82816．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）口袋中共有7个质地和大小均相同的小球，其中4个是黑球，现采用不放回抽取方式每次从口袋中随机抽取一个小球，直到将4个黑球全部取出时停止.(1)记总的抽取次数为X，求E（X）；(2)现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个口袋中，甲袋装3个小球，其中2个是黑球；乙袋装4个小球，其中2个是黑球.采用不放回抽取方式先从甲袋每次随机抽取一个小球，当甲袋的2个黑球被全部取出后再用同样方式在乙袋中进行抽取，直到将乙袋的2个黑球也全部取出后停止.记这种方案的总抽取次数为Y，求E（Y）并从实际意义解释E（Y）与（1）中的E（X）的大小关系.17．（2023·湖北·统考模拟预测）某市举行招聘考试，共有4000人参加，分为初试和复试，初试通过后参加复试．为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，试求样本平均数的估计值；(2)若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布()2,Nμσ，其中μ为样本平均数的估计值，13σ≈，试估计初试成绩不低于88分的人数；(3)复试共三道题，第一题考生答对得5分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为34，后两题答对的概率均为35，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为Y ，求Y 的分布列及均值．附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则：()0.6827P X μσμσ-<<+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=，()330.9973P X μσμσ-<<+=．18．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）某地区区域发展指数评价指标体系基于五大发展理念构建，包括创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个一级指标．该地区区域发展指数测算方法以2015年作为基期并设指数值为100，通过时序变化，观察创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分领域指数值的变动趋势．分别计算创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分指数，然后合成为该地区区域发展总指数，如下图所示．若年份x （2015年记为1x =，2016年记为2x =，以此类推）与发展总指数y 存在线性关系．(1)求年份x 与发展总指数y 的回归方程；(2)若规定发展总指数大于115的年份为和谐发展年，和谐发展年中发展总指数低于130的视为良好，记1分，发展总指数大于130的视为优秀，记2分，从和谐发展年中任取三年，用X 表示赋分之和，求X 的分布列和数学期望．参考公式：回归方程y bx a =+$$$，其中a y bx =-$$，()()()121n ii i ni i x x y y b x x ==--=-∑∑ ，()()81228.9i i i x x y y =--=∑，119.05y =．19．（2023春·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考阶段练习）某学校为了了解高一学生安全知识水平，对高一年级学生进行“消防安全知识测试”，并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”，否则为“合格”．若该校“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级知识达标为“合格”；否则该年级知识达标为“不合格”，需要重新对该年级学生进行消防安全培训．现从全体高一学生中随机抽取10名，并将这10名学生随机分为甲、乙两个组，其中甲组有6名学生，乙组有4名学生．甲组的平均成绩为70，标准差为4；乙组的平均成绩为80，标准差为6（题中所有数据的最后结果都精确到整数）．(1)求这10名学生测试成绩的平均分x 和标准差s ；(2)假设高一学生的知识测试成绩服从正态分布2(,)N μσ．将上述10名学生的成绩作为样品，用样本平均数x 作为μ的估计值，用样本标准差s 作为σ的估计值．利用估计值估计：高一学生知识达标是否“合格”？(3)已知知识测试中的多项选择题中，有4个选项．小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项．但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项．假设小明在做该道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为12，选择两个选项的概率为13，选择三个选项的概率为16．已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择．记X 表示小明做完该道多项选择题后所得的分数．求X 的分布列及数学期望．附：①n 个数的方差2211()n i i s x x n ==-∑；②若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=．20．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）某学校为了弘扬中华传统文化，组织开展中华传统文化活动周，活动周期间举办中华传统文化知识竞赛活动，以班级为单位参加比赛，每班通过中华传统文化知识竞答活动，择优选拔5人代表班级参加年级比赛.年级比赛分为预赛与决赛二阶段进行，预赛阶段的赛制为：将两组中华传统文化的们答题放在甲、乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个班级代表队在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个班级代表队先抽取一题作答，答完后试题不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个试题放回原纸箱中.(1)若1班代表队从甲箱中抽取了2个试题，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着2班代表队答题，2班代表队抽取第一题时，从乙箱中抽取试题.已知2班代表队从乙箱中取出的是选择题，求1班代表队从甲箱中取出的是2个选择题的概率；(2)经过预赛，成绩最好的6班代表队和18班代表队进入决赛，决赛采用成语接龙的形式进行，采用五局三胜制，即两班代表队中先胜三局的代表队赢得这场比赛，比赛结束.已知第一局比赛6班代表队获胜的概率为35，18班代表队胜的概率为25，且每一局的胜者在接下来一局获胜的概率为25，每局必分胜负.记比赛结束时比赛局数为随机变量X ，求随机变量X 的数学期望()E X .21．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）某学校食堂中午和晩上都会提供,A B 两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生中午选择A 类套餐的概率为23，选择B 类套餐的概率为13；在中午选择A 类套餐的前提下，晩上还选择A 类套餐的概率为14，选择B 类套餐的概率为34；在中午选择B 类套餐的前提下，晩上选择A 类套餐的概率为12，选择B 类套餐的概率为12.(1)若同学甲晩上选择A 类套餐，求同学甲中午也选择A 类套餐的概率；(2)记某宿舍的4名同学在晩上选择B 类套餐的人数为X ，假设每名同学选择何种套餐是相互独立的，求X 的分布列及数学期望.22．（2023·湖南·校联考模拟预测）基础学科招生改革试点，也称强基计划，强基计划是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.聚焦高端芯片与软件､智能科技､新材料､先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域.某校在一次强基计划模拟考试后，从全体考生中随机抽取52名，获取他们本次考试的数学成绩（x ）和物理成绩（y ），绘制成如图散点图：根据散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，但图中有两个异常点A ，B .经调查得知，A 考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B 考生因故未能参加物理考试.为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：5015800i i x==∑，5013900i i y ==∑，501462770i i i x y ==∑，()502128540i i x x =-=∑，()502118930i i y y =-=∑，其中,i i x y 分别表示这50名考生的数学成绩､物理成绩，1i =，2，…，50，y 与x 的相关系数0.45r ≈.(1)若不剔除A ，B 两名考生的数据，用52组数据作回归分析，设此时y 与x 的相关系数为0r .试判断0r 与r 的大小关系（不必说明理由）；(2)求y 关于x 的线性回归方程（系数精确到0.01），并估计如果B 考生加了这次物理考。
高考数学复习点拨 概率中的期望与方差新题展示
概率中的期望与方差新题展示概率与统计的最大特点是其在生产、生活中的应用，随着所学内容的加深，出现了一些情况新颖、构思巧妙、解法灵活的创新题，显示了概率知识的活力与魅力。
一、哪种方案好例1、根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为，有大洪水的概率为该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元。
为保护设备，有以下3种方案：方案1：运走设备，搬运费为3800元。
方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水。
方案3：不采取措施，希望不发生洪水。
试比较哪一种方案好。
解：用321,,X X X 分布表示三种方案的损失。
采用第1种方案，无论有无洪水，都损失3800元，即38001=X ，采用第2种方案，遇到大洪水时，损失2000＋60000＝62000元；没有大洪水时，损失2000元，即⎩⎨⎧=2000620002X 无大洪水有大洪水 同样，采用第3种方案，有⎪⎩⎪⎨⎧=020********X 无洪水有小洪水有大洪水于是，E 38001=X ，)2000(2000)62000(62000222=⨯+=⨯=X P X P EX＝62000×＋2000×（1－）＝2600，)0(0)10000(10000)60000(600003333=⨯+=⨯+=⨯=X P X P X P EX ＝60000×＋10000×＝3100采用方案2的平均损失最小，所以可以选择方案2点评：值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”而得出的。
一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案2将会使损失减到最小。
由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的。
二、哪种物体质量好例2、有甲、乙两种钢筋，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度指标如下：其中1ξ、2ξ分别表示A 、B 两种钢筋的抗拉强度，在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种钢筋哪一种质量较好分析：要比较两种钢筋的质量，可先比较甲、乙两种钢筋的平均抗拉强度，即期望值，然后再看这两种钢筋质量的稳定性即方差。
高考数学概率统计题型归纳
高考数学概率统计题型归纳高考数学中的概率统计是一个重要的考点，其题型多样，涵盖了众多知识点。
为了帮助同学们更好地应对高考中的概率统计题目，下面对常见的题型进行归纳和分析。
一、古典概型古典概型是概率统计中最基本的题型之一。
其特点是试验中所有可能的结果有限，且每个结果出现的可能性相等。
例如，从装有 5 个红球和 3 个白球的袋子中随机取出 2 个球，求取出的 2 个球都是红球的概率。
解决这类问题的关键是要准确计算基本事件的总数和所求事件包含的基本事件数。
在上述例子中，基本事件的总数可以通过组合数计算，即从 8 个球中取出 2 个球的组合数；所求事件包含的基本事件数为从 5 个红球中取出 2 个球的组合数。
然后用所求事件包含的基本事件数除以基本事件的总数，即可得到所求概率。
二、几何概型几何概型与古典概型的区别在于试验的结果是无限的。
通常会涉及到长度、面积、体积等几何度量。
比如，在区间0, 5上随机取一个数，求这个数小于 2 的概率。
解决几何概型问题时，需要确定几何区域的度量，并计算出所求事件对应的几何区域的度量，最后用所求事件对应的几何区域的度量除以总的几何区域的度量，得到概率。
三、相互独立事件与条件概率相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响。
例如，甲、乙两人分别独立射击，甲击中目标的概率为 08，乙击中目标的概率为 07，求两人都击中目标的概率。
条件概率则是在已知某个事件发生的条件下，求另一个事件发生的概率。
比如，已知某班级男生占 60%，女生占 40%，男生中优秀的比例为30%，女生中优秀的比例为 20%，现从班级中随机抽取一名学生为优秀，求这名学生是男生的概率。
对于相互独立事件，其概率的计算使用乘法公式；对于条件概率，使用条件概率公式进行计算。
四、离散型随机变量离散型随机变量是指取值可以一一列出的随机变量。
常见的离散型随机变量有二项分布、超几何分布等。
二项分布是指在 n 次独立重复试验中，某事件发生的次数 X 服从二项分布。
高考数学概率统计解答题专题
高考数学概率统计解答题专题一、归类解析题型一：离散型随机变量的期望与方差【解题指导】离散型随机变量的期望和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的期望和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率的对应．【例】某品牌汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示．已知分9期付款的频率为0.2.4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为1.5万元；分12期或15期付款，其利润为2万元．用η表示经销一辆汽车的利润.(1)求上表中的a，b值；(2)若以频率作为概率，求事件A“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用分9期付款”的概率P(A)；(3)求η的分布列及期望E(η)．【变式训练】某项大型赛事，需要从高校选拔青年志愿者，某大学生实践中心积极参与，从8名学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参加志愿者服务活动．若所选3名学生中的女生人数为X，求X的分布列及期望．题型二：概率与统计的综合应用【解题指导】概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．【例】某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P (X ≤n )≥0.5，确定n 的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n ＝19与n ＝20之中选其一，应选用哪个？ 【变式训练】经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获得利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位：t,100≤X ≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X ∈[100,110)，则取X ＝105，且X ＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T 的期望． 题型三：概率与统计案例的综合应用【解题指导】 概率与统计案例的综合应用常涉及相互独立事件同时发生的概率、频率分布直方图的识别与应用、数字特征、独立性检验等基础知识，考查学生的阅读理解能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识．【例】高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”，彰显出中国式创新的强劲活力．某移动支付公司从我市移动支付用户中随机抽取100名进行调查，得到如下数据：每周移动支付次数1次 2次 3次 4次 5次 6次及以上总计 男 10 8 7 3 2 15 45 女 5 4 6 4 6 30 55 总计1512137845100(1)把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活跃用户”，能否在犯错误概率不超过0.005的前提下，认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关？(2)把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“移动支付达人”，视频率为概率，在我市所有“移动支付达人”中，随机抽取4名用户．①求抽取的4名用户中，既有男“移动支付达人”又有女“移动支付达人”的概率；②为了鼓励男性用户使用移动支付，对抽出的男“移动支付达人”每人奖励300元，记奖励总金额为X ，求X 的分布列及期望． 附公式及表如下：χ2＝nn 11n 22－n 12n 212n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2.P (χ2≥k 0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【变式训练】电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料是否可以认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计 男 女 10 55 合计(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列、期望E (X )和方差D (X )． 附：χ2＝n n 11n 22－n 12n 212n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2.P (χ2≥k 0) 0.10 0.05 0.01 k 02.7063.8416.635二、专题突破训练1．为了增强消防安全意识，某中学对全体学生做了一次消防知识讲座，从男生中随机抽取50人，从女生中随机抽取70人参加消防知识测试，统计数据得到如下列联表：优秀 非优秀 合计 男生 15 35 50 女生 30 40 70 合计4575120(1)试判断能否有90%的把握认为消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关？(2)为了宣传消防知识，从该校测试成绩获得优秀的同学中采用分层抽样的方法，随机选出6人组成宣传小组．现从这6人中随机抽取2人到校外宣传，求到校外宣传的同学中男生人数X 的分布列和期望． 附：χ2＝n n 11n 22－n 12n 212n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2.2(1)求出y关于x的回归直线方程y＝b x＋a，并在坐标系中画出回归直线；(2)试预测加工10个零件需要的时间．3．为了评估天气对某市运动会的影响，制定相应预案，该市气象局通过对最近50多年气象数据资料的统计分析，发现8月份是该市雷电天气高峰期，在31天中平均发生雷电14.57天(如图所示)．如果用频率作为概率的估计值，并假定每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立．(1)求在该市运动会开幕(8月12日)后的前3天比赛中，恰好有2天发生雷电天气的概率(精确到0.01)；(2)设运动会期间(8月12日至23日，共12天)，发生雷电天气的天数为X，求X的期望和方差(精确到0.01)．4．某婴幼儿游泳馆为了吸引顾客，推出优惠活动，即对首次消费的顾客按80元收费，并注册成为会员，对会员消费的不同次数给予相应的优惠，标准如下：假设每位顾客游泳1(1)估计该游泳馆1位会员至少消费2次的概率；(2)某会员消费4次，求这4次消费中，游泳馆获得的平均利润；(3)假设每个会员最多消费4次，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，从该游泳馆的会员中随机抽取2位，记游泳馆从这2位会员的消费中获得的平均利润之差的绝对值为X，求X的分布列和期望E(X)．。
概率统计与期望方差分布列大题基础练-高考数学重点专题冲刺演练(解析版)
概率统计与期望方差分布列大题基础练新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023·安徽宿州·统考一模）宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市.为了统计智算中心的算力，现从全市n个大型机房和6个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取2个机房，全是小型机房的概率为1 3 .(1)求n的值；(2)若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为X，求X的分布列和数学期望.E X=⨯+⨯+⨯+⨯=.则X的数学期望()012330102652．（2023秋·浙江湖州·高三安吉县高级中学校考期末）某运动品牌旗舰店在双十一线下促销期间，统计了5个城市的专卖店销售数据如下：款式/专卖店甲乙丙丁戊男装606013080110女装120901306050(1)若分别从甲､乙两家店的销售数据记录中各抽一条进行追踪调查，求抽中的两条记录中至少有一次购买的是男装的概率；(2)现从这5家店中任选3家进行抽奖活动，用X表示其中男装销量超过女装销量的专E X.卖店个数，求随机变量X的分布列和数学期望()∴()1336 012 105105E X=⨯+⨯+⨯=.3．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）为提高学生的数学应用能力和创造力，学校打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校30名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占70%. (1)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表判断是否有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关？感兴趣不感兴趣合计男生12女生5合计30(2)若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记选出高三女生的人数为X，求X的分布列与数学期望.附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.()2P K k≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82820.4082 2.0721614219K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关；（2）由题意可知X 的取值可能为0，1，2，3，则3539C 5(0)C 42P X ===，124539C C 10(1)C 21P X ===，214539C C 5(2)C 14P X ===，3439C 1(3)C 21P X ===，故X 的分布列为X 0123P5421021514121510514()0123422114213E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.4．（2023秋·江苏·高三统考期末）为深入贯彻党的教䏍方针，全面落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校从2022年起积极推进劳动课程改革，先后开发开设了具有地方特色的家政､烹饪､手工､园艺､非物质文化遗产等劳动实践类校本课程.为调研学生对新开设劳动课程的满意度并不断改进劳动教育，该校从2022年1月到10月每两个月从全校3000名学生中随机抽取150名学生进行问卷调查，统计数据如下表：月份x 246810满意人数y8095100105120(1)由表中看出，可用线性回归模型拟合满意人数y 与月份x 之间的关系，求y 关于x 的回归直线方程ˆˆˆybx a =+，并预测12月份该校全体学生中对劳动课程的满意人数；(2)10月份时，该校为进一步深化劳动教育改革，了解不同性别的学生对劳动课程是否满意，经调研得如下统计表：满意不满意合计男生651075女生552075合计12030150请根据上表判断是否有95%的把握认为该校的学生性别与对劳动课程是否满意有关？参考公式：()()()1122211ˆˆˆ,nni i i ii i nn iii i x y nxyx x yy bay bx xnx x x ====---===--∑∑∑∑.()20P K k ≥0.100.050.0250.0100.005k 2.7063.8415.0246.6357.879()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得1-分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为12，甲扑到乙踢出球的概率为12，乙扑到甲踢出球的概率13，且各次踢球互不影响．(1)经过1轮踢球，记甲的得分为X，求X的分布列及数学期望；(2)求经过3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率．()101612412E X=-⨯+⨯+⨯=.（2）经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得1-分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分，甲3轮各得1分的概率为3111464 P⎛⎫==⎪⎝⎭，甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分的概率为2223177C41264 P⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭，甲3轮中有2轮各得1分，1轮得1-分的概率为2233111C4632 P⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭，甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分的概率为21431749C412192 P⎛⎫=⨯⨯=⎪⎝⎭，所以经过三轮踢球，甲累计得分高于乙的概率1714979646432192192 P=+++=.6．（2023·浙江·校联考模拟预测）某地区2016至2022年生活垃圾无害化处理量（单位：万吨）如下表：年份2016201720182019202020212022年份代号x1234567生活垃圾无害化处理量y 3.9 4.3 4.6 5.4 5.8 6.2 6.9(1)求y 关于x 的线性回归方程；(2)根据（1）中的回归方程，分析过去七年该地区生活垃圾无害化处理的变化情况，并预测该地区2024年生活垃圾无害化处理量.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121ˆni ii n ii x x yy bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-.参考数据7162.4i i x y =∑7．（2023秋·浙江嘉兴·高三统考期末）为积极响应“反诈”宣传教育活动的要求，某企业特举办了一次“反诈”知识竞赛，规定：满分为100分，60分及以上为合格.该企业从甲､乙两个车间中各抽取了100位职工的竞赛成绩作为样本.对甲车间100位职工的成绩进行统计后，得到了如图所示的成绩频率分布直方图.(1)估算甲车间职工此次“反诈”知识竞赛的合格率；(2)若将频率视为概率，以样本估计总体.从甲车间职工中，采用有放回的随机抽样方法抽取3次，每次抽1人，每次抽取的结果相互独立，记被抽取的3人次中成绩合格的人数为X .求随机变量X 的分布列；(3)若乙车间参加此次知识竞赛的合格率为60%，请根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为此次职工“反计”知识竞赛的成绩与其所在车间有关?2×2列联表甲车间乙车间合计合格人数不合格人数合计附参考公式：①()()()()22()n ad bc a c b d a b c d χ-=++++，其中n a b c d =+++.②独立性检验临界值表【答案】(1)80%(2)分布列见解析(3)表格见解析，有【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，可得答案；（2）根据二项分布的分布列的解题步骤，可得答案；（3）由题意，补全列联表，利用独立性检验的解题步骤，可得答案.【详解】（1）根据频率分布直方图可求得甲车间此次参加“反诈”知识竞赛的合格率0.02100.03100.02100.01100.8=⨯+⨯+⨯+⨯=，即80%.（3）根据题中统计数据可填写22⨯列联表如下，甲车间乙车间合计合格人数8060140不合格人数204060合计10010020022200(80402060)9.524 6.635,10010014060χ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以有99%的把握认为“此次职工‘反计’知识竞赛的成绩与职工所在车间有关系”.8．（2023春·江苏扬州·高三统考开学考试）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.从中国信息通信研究院发布的《云计算白皮书（2022年）》可知，我国2017年至2021年云计算市场规模数据统计表如下：年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代码x12345云计算市场规模y /亿元692962133420913229经计算得：51ln i i y =∑=36.33，51(ln )i i i x y =∑=112.85.(1)根据以上数据，建立y 关于x 的回归方程ˆˆˆebxa y +=（e 为自然对数的底数）.(2)云计算为企业降低生产成本､提升产品质量提供了强大助推力.某企业未引入云计算前，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差4~(0,N mε，其中m 为单件产品的成本（单位：元），且(11)P ε-<<=0.6827；引入云计算后，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差1~(0,)N mε.若保持单件产品的成本不变，则(11)P ε-<<将会变成多少？若保持产品质量不变（即误差的概率分布不变），则单件产品的成本将会下降多少？附：对于一组数据1122(,),(,),,(,),n n x y x y x y ⋯其回归直线ˆˆˆyx βα=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为ˆβ=1221niii nii x ynx y xnx ==--∑∑，ˆˆy x αβ=-.若2~(,)XN μσ，则(||)0.6827P X μσ-<=，(|2)0.9545P X μσ-<=，(||3)0.9973.P X μσ-<=9．（2023春·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考开学考试）近年来，各平台短视频、网络直播等以其视听化自我表达、群圈化分享推送、随时随地传播、碎片化时间观看等特点深受人们喜爱，吸引了眼球赚足了流量，与此同时，也存在功能失范、网红乱象、打赏过度、违规营利、恶意营销等问题．为促使短视频、网络直播等文明、健康，有序发展，依据《网络短视频平台管理规范》、《网络短视频内容审核标准细则》等法律法规，某市网信办、税务局、市场监督管理局联合对属地内短视频制作、网络直播进行审查与监管．(1)对短视频、网络直播的整体审查包括总体规范、账户管理、内容管理等三个环节，三个环节均通过审查才能通过整体审查．设某短视频制作团队在这三个环节是否通过审查互不影响，且各环节不能通过审查的概率分别为4131,,25485．①求该团不．能通过整体审查的概率：②设该团队通过整体审查后，还要进入技术技能检测环节，若已知该团队最终通过整体审查和技术技能检测的概率为35%，求该团队在已经通过整体审查的条件下通过技术技能检测的概率；(2)某团队为提高观众点击其视频的流量，通过观众对其视频的评论分析来优化自己的创作质量，现有100条评论数据如下表：试问是否有99.9%的把握可以认为观众对该视频的满意度与该视频改拍相关程度有关联？参考公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d=+++()20P x χα≥=0.10.050.010.0050.001nx 2.7063.8416.6357.87910.82810．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）2023年3月的体坛属于“冰上运动”，速滑世锦赛、短道速滑世锦赛、花滑世锦赛将在荷兰、韩国、日本相继举行．中国队的“冰上飞将”们将在北京冬奥会后再度出击，向奖牌和金牌发起冲击．据了解，甲、乙、丙三支队伍将会参加2023年3月10日~12日在首尔举行的短道速滑世锦赛5000米短道速滑男子5000米接力的角逐．接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛．已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为23和34；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为34和45；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为p和3 2p-，其中34p<<．(1)甲、乙、丙三队中，谁进入决赛的可能性最大；(2)若甲、乙、丙三队中恰有两对进入决赛的概率为3790，求p的值；(3)在（2）的条件下，设甲、乙、丙三队中进入决赛的队伍数为ξ，求ξ的分布列・11．（2023·重庆酉阳·重庆市酉阳第一中学校校考一模）某市从2020年5月1日开始，若电子警察抓拍到机动车不礼让行人的情况后，交警部门将会对不礼让行人的驾驶员进行扣3分，罚款200元的处罚，并在媒体上曝光．但作为交通重要参与者的行人，闯红灯通行却频有发生，带来了较大的交通安全隐患和机动车通畅率降低点情况.交警部门在某十字路口根据以往的监测数据，得到行人闯红灯的概率为0.2，并从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯的情况进行统计，得到2×2列联表如下：45岁以下45岁以上合计闯红灯人数25未闯红灯数85合计200近期，为了整顿“行人闯红灯”这一不文明的违法行为，交警部门在该十字路口试行了对闯红灯的行人进行5元以上，50元以下的经济处罚．在试行经济处罚一段时间后，交警部门再次对穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯的情况进行统计，得到2×2列联表如下：45岁以下45岁以上合计闯红灯人数51520未闯红灯人9585180数合计100100200将统计数据所得频率视为概率，完成下列问题：(1)将2×2列联表填写完整（不需要写出填写过程），并根据表中数据分析，在试行对闯红灯的行人进行经济处罚前，是否有90%的把握认为闯红灯行为与年龄有关；(2)在试行对闯红灯的行人进行经济处罚后，闯红灯现象是否有明显改善，请说明理由；(3)结合调查结果，请你对“如何治理行人闯红灯现象”提出合理的建议（至少提出两条建议）．【答案】(1)列联表见解析，有(2)有明显改善，理由见解析(3)答案见解析K的值，结合附表，即可【分析】（1）根据题意，填写出2×2列联表，利用公式求得2得到结论；（2）求得试行对闯红灯的行人进行经济处罚后，行人闯红灯的概率，结合试行对闯红灯的行人进行经济处罚前的概率，可得出结论；（3）结合表格中的数据，可针对45岁以上人群开展“道路安全”宣传教育；也可进行适因为()2220015752585253.125 2.706100100401608K⨯⨯-⨯===>⨯⨯⨯，所以有90%的把握认为闯红灯行为与年龄有关．（2）在试行对闯红灯的行人进行经济处罚后，行人闯红灯的概率为20=0.1 200，而在试行对闯红灯的行人进行经济处罚前，行人闯红灯的概率为0.2，因为0.10.2<，故在试行对闯红灯的行人进行经济处罚后，闯红灯现象有明显改善．（3）①根据调查数据显示，行人闯红灯与年龄有明显关系，故可以针对45岁以上人群开展“道路安全”宣传教育；②由于经济处罚可以明显降低行人闯红灯的概率，故可以在法律允许范围内进行适当的经济处罚．12．（2023·辽宁·新民市第一高级中学校联考一模）为了了解男、女学生对航天知识的了解情况，某调查机构进行了一个随机问卷调查（总分100分），调查的结果如下表所示．若本次问卷调查的得分不低于90分，则认为该学生非常了解航天知识．男学生女学生不低于90分82低于90分2228(1)判断是否有95%的把握认为性别与是否非常了解航天知识有关；(2)现将3个航天器模型纪念品随机分配给参与本次调查且非常了解航天知识的学生，设获得纪念品的女生人数为X，求X的分布列以及数学期望．附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++．()2P k αχ=≥0.050.010.0050.001k3.8416.6357.87910.828所以()012.1515155E X =⨯+⨯+⨯=13．（2023春·辽宁朝阳·高三校联考开学考试）千百年来，人们一直在通过不同的方式传递信息．在古代，烽火狼烟、飞鸽传书、快马驿站等通信方式被人们广泛应用；第二次工业革命后，科技的进步带动了电讯事业的发展，电报电话的发明让通信领域发生了翻天覆地的变化；之后，计算机和互联网的出现则使得“千里眼”、“顺风耳”变为现实．现在，5G 的到来给人们的生活带来了颠覆性的变革．某科技创新公司基于领先技术的支持，5G 经济收入在短期内逐月攀升，该创新公司在1月份至5月份的5G 经济收入y （单位：百万元）关于月份x 的数据如表：时间（月份）12345收入（百万元）1015192328(1)根据上表中的数据，求出y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司6月份的5G 经济收入；(2)从前5个月的收入中随机抽取3个月，记月收入超过15百万元的个数为X ，求X 的分布列和数学期望．参考公式：回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ˆniii nii x ynxy bxnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-．所以()123105105E X=⨯+⨯+⨯=．14．（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中学校考阶段练习）一般来说，市场上产品的宣传费用与产品的销量存在一定关系．已知产品甲的年宣传费用(x百万元)和年销量(y万箱)的统计数据如下：年宣传费用(x百万元)35610131518年销量y(万箱)1.522.533.544.5(1)求y与x的相关系数(r精确到0.01)，并判断y与x的关系是否可用线性回归方程模型拟合？(规定：0.75r≥)；(2)从年销量不少于3万箱中任取两个数据作为样本，求恰有1个数据不少于4万箱的概率．附：①相关系数ni ix y nxyr-=∑；71246i iix y==∑②，721888iix==∑，72170iiy==∑，36.28≈36.41≈15．（2023春·河北·高三统考阶段练习）某电影院对观众按照性别进行了分层抽样调查，一共调查了900名观众对A影片和B影片的喜爱度，获得了以下数据：(1)哪个影片更受学生欢迎？（不用说明理由）(2)分别估计该电影院男观众和女观众对B影片表示“非常喜爱”的概率；(3)该电影院为了进一步调查观众对B影片的看法，对样本中的女观众用分层抽样抽取了6人，再从这6人中随机抽取2人参加座谈，求这两人均来自“一般喜爱”群体的概率.16．（2023秋·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期末）冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮.某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高三年级1000名学生中随机选出40名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格.若高三年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”；否则该年级体能达标为“不合格”，.现将这40名学生随机分成甲、乙两个组，其中甲组有24名学生，乙组有16名学生.经过预测后，两组各自将预测成绩统计分析如下：甲组的平均成绩为70，标准差为4；乙组的平均成绩为80，标准差为6.（数据的最后结果都精确到整数）(1)求这40名学生测试成绩的平均分x和标准差s；(2)假设高三学生的体能达标预测成绩服从正态分布N（μ，2σ），用样本平均数x作为μ的估计值μ，用样本标准差s作为σ的估计值σ.利用估计值估计，高二学生体能达标预测是否“合格”；(3)为增强趣味性，在体能达标的跳绳测试项目中，同学们可以向体育特长班的强手发起挑战.每场挑战赛都采取七局四胜制.积分规则如下：以4:0或4:1获胜队员积4分，落败队员积0分；以4:2或4:3获胜队员积3分，落败队员积1分.假设体育生王强每局比赛获胜的概率均为23，求王强在这轮比赛中所得积分为3分的条件下，他前3局比赛都获胜的概率.附：①n 个数的方差2211()n i i s x x n ==-∑；②若随机变量Z ～N （μ，2σ），则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=，()330.9974P Z μσμσ-<<+=.17．（2023·山东淄博·统考一模）某电商平台统计了近七年小家电的年度广告费支出i x (万元)与年度销售量i y (万台)的数据，如表所示:年份2016201720182019202020212022广告费支出x 1246111319销售量y1.93.24.04.45.25.35.4其中71279.4i i i x y ==∑，721708i i x ==∑(1)若用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求出y 关于x 的线性回归方程；(2)若用y c =+模型拟合得到的回归方程为1.63y =+，经计算线性回归模型及该模型的2R 分别为0.75和0.88，请根据2R 的数值选择更好的回归模型拟合y 与x 的关系，进而计算出年度广告费x 为何值时，利润200zy x =- 的预报值最大？参考公式：()()()1122211nniiiii i nniii i x ynx y xxy y bxnxxx====---==--∑∑∑∑ ，a y bx =-$$；18．（2023·山东济南·一模）为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽取了该较10名学生进行体质测试，得到如下表格：记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为x ，2s ，经计算()102111690i x x =-=∑，102133050ii x==∑．(1)求x ；(2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X ，求X 的分布列；(3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布()2,N μσ，用x ，2s 的值分别作为μ，2σ的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间[]30,82的人数为Y ，求Y 的数学期望()E Y ．附：若()2,N ξμσ ，则()0.6827P μσξμσ-≤≤+≈，(22)0.9545P μσξμσ-≤≤+≈，330.9()973P μσξμσ-≤≤+≈．（3）因为()22111156,16901691010i x s x x===-=⨯=∑，所以56,13μσ==．因为(3082)(22)0.9545P X P μσξμσ≤≤=-≤≤+≈，所以学生的体质测试成绩恰好落在区间[30,82]得概率约为0.9545，故(100,0.9545)Y B ~，所以()1000.954595.45E Y =⨯=．19．（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）某公司对40名试用员工进行业务水平测试，根据测试成绩评定是否正式录用以及正式录用后的岗位等级，测试分笔试和面试两个环节．笔试环节所有40名试用员工全部参加；参加面试环节的员工由公司按规则确定．公司对40名试用员工的笔试得分(笔试得分都在[75,100]内)进行了统计分析，得到如下的频率分步直方图和22⨯列联表．男女合计优(得分不低于90分)8良(得分低于90分)12合计40(1)请完成上面的22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为“试用员工的业务水平优良与否”与性别有关；(2)公司决定：85分的员工直接淘汰，得分不低于85分的员工都正式录用．笔试得分在[95,100]内的岗位等级直接定为一级(无需参加面试环节)；笔试得分在[90,95)内的岗位等级初定为二级，但有25的概率通过面试环节将二级晋升为一级；笔试分数在[85,90)内的岗位等级初定为三级，但有35的概率通过面试环节将三级晋升为二级．若所有被正式录用且岗位等级初定为二级和三级的员工都需参加面试．已知甲、乙为该公司的两名试用员工，以频率视为概率．①若甲已被公司正式录用，求甲的最终岗位等级为一级的概率；②若乙在笔试环节等级初定为二级，求甲的最终岗位等级不低于乙的最终岗位等级的概率．参考公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，.n a b c d =+++()20P k χ0.150.100.050.0100k 2.0722.7063.8416.635所以20.317 2.706(84)(1612)(816)(412)χ=<++++，因此没有90%的把握认为“试用员工的业务水平优良与否”与性别有关；（2）不低于85分的员工的人数为：40(0.060.040.02)524⨯++⨯=，直接定为一级的概率为0.025401246⨯⨯=，岗位等级初定为二级的概率为：0.045401243⨯⨯=，岗位等级初定为三级的概率为：0.065401242⨯⨯=.①甲的最终岗位等级为一级的概率为：112363510+⨯=；②甲的最终岗位等级不低于乙的最终岗位等级的概率为：2333390.0250.0450.0450.0655555525⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=.20．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）为加快推动旅游业复苏，进一步增强居民旅游消费意愿，山东省人民政府规定自2023年1月21日起至3月31日在全省实施景区门票减免，全省国有A 级旅游景区免首道门票，鼓励非国有A 级旅游景区首道门票至少半价优惠．本次门票优惠几乎涵盖了全省所有知名的重点景区，据统计，活动开展以来游客至少去过两个及以上景区的人数占比约为90%．某市旅游局从游客中随机抽取100人（其中年龄在50周岁及以下的有60人）了解他们对全省实施景区门票减免活动的满意度，并按年龄（50周岁及以下和50周岁以上）分类统计得到如下不完整的22⨯列联表：不满意满意总计50周岁及以下5550周岁以上15总计100(1)根据统计数据完成以上22⨯列联表，并根据小概率值0.001α=的独立性检验，能否认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联？(2)现从本市游客中随机抽取3人了解他们的出游情况，设其中至少去过两个及以上景区的人数为X ，若以本次活动中至少去过两个及以上景区的人数的频率为概率．①求X 的分布列和数学期望；②求()11P X -≤．参考公式及数据：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．()2P k αχ=≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828【答案】(1)补全的22⨯列联表见解析；有关；(2)①分布列见解析；() 2.7E X =；②0.271【分析】（1）由题意，抽取的100人年龄在50周岁及以下的有60人，则年龄在50周岁以上的有40人，即可补全22⨯列联表，再根据公式计算212.76χ=，即可判断；（2）①由题意可知(3,0.9)X B ，根据二项分布即可求解分布列及数学期望；②根据则2100(5251555)12.7610.82820806040χ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯.所以在犯错误的概率不超过0.001的情况下认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联.（2）①由题意可得，游客至少去过两个及以上景区的概率为0.9，则(3,0.9)X B ，X 的所有可能取值为0，1，2，3，033(0)C 0.10.001P X ==⨯=，123(1)C 0.90.10.027P X ==⨯⨯=，223(2)C 0.90.10.243P X ==⨯⨯=，333(3)C 0.90.729X ==⨯=，所以X 的分布列如下：因为(3,0.9)X B ，所以数学期望()30.9 2.7E X =⨯=.②()(11)(0)(1)(2)13P X P X P X P X P X -≤==+=+==-=10.7290.271=-=.21．（2023秋·湖北·高三湖北省云梦县第一中学校联考期末）皮影戏是一种民间艺术，是我国民间工艺美术与戏曲巧妙结合而成的独特艺术品种，已有千余年的历史.而皮影制作是一项复杂的制作技艺，要求制作者必须具备扎实的绘画功底和高超的雕刻技巧，以及持之以恒的毅力和韧劲.每次制作分为画图与剪裁，雕刻与着色，刷清与装备三道主要工序，经过以上工序处理之后，一幅幅形态各异，富有神韵的皮影在能工巧匠的手里浑然天成，成为可供人们欣赏和操纵的富有灵气的影人.小李对学习皮影制作产生极大兴趣，师从名师勒学苦练，目前水平突飞猛进，三道主要工序中每道工序制作合格的概率依次为323,534，，三道序彼此独立，只有当每道工序制作都合格才为一次成功的皮影制作，该皮影视为合格作品．(1)求小李进行3次皮影制作，恰有一次合格作品的概率；(2)若小李制作15次，其中合格作品数为X ，求X 的数学期望与方差；(3)随着制作技术的不断提高，小李制作的皮影作品被某皮影戏剧团看中，聘其为单位制作演出作品，决定试用一段时间，每天制作皮影作品，其中前7天制作合格作品数y 与时间：如下表：（第1天用数字1表示）时间（t ）1234567合格作品数（y ）3434768其中合格作品数（y ）与时间（t ）具有线性相关关系，求y 关于t 的线性回归方程（精确到0.01），并估算第15天能制作多少个合格作品（四舍五入取整）？（参考公式()()()11222ˆnni i i ii i nn iix ynxyx x yybxnxx x ==---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx =-，参考数据：71163i i i t y ==∑）．。
2024年高考数学模拟题汇编：方差附答案解析
2024年高考数学模拟题汇编：方差一．选择题（共12小题）1．已知一组数x1，x2，x3，x4的平均数是3，方差为4，则数据2x1+1，2x2+1，2x3+1，2x4+1的平均数和标准差分别是（）A．7，4B．7，16C．6，4D．6，162．已知一组数据：12，16，22，24，25，31，33，35，45，若去掉12和45，将剩下的数据与原数据相比，则（）A．极差不变B．平均数不变C．方差不变D．上四分位数不变3．在概率论和统计学中用协方差来衡量两个变量的总体误差，对于离散型随机变量X，Y，定义协方差为Cov（X，Y）＝E（XY）﹣E（X）E（Y），已知X，Y的分布列如下表所示，其中0＜p＜1，则Cov（X，Y）的值为（）X12P p1﹣pY12P1﹣p pA．0B．1C．2D．44．某单位为了解职工体重情况，采用分层随机抽样的方法从800名职工中抽取了一个容量为80的样本．其中，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为5：3，则单位职工体重的方差为（）A．166B．167C．168D．1695．有一组样本数据：x1，x2，…，x8，其平均数为2，由这组样本数据得到新样本数据：x1，x2，…，x8，2，那么这两组样本数据一定有相同的（）A．众数B．中位数C．方差D．极差6．从装有3个白球和7个红球的口袋中任取1个球，用X表示是否取到白球，即X=1(当取到白球时)0(当取到红球时)，则X的方差D（X）等于（）A．21100B．750C．110D．3107．某单位共有A、B两部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如下．设A、B两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为n1，n2，方差分别为12，22，则（）A．1＞2，12＞22B．1＞2，12＜22C．1＜2，12＜22D．1＜2，12＞228．某次知识竞赛共有12人参赛，比赛分为红、黄两队，每队由六人组成．其中红队6人答对题目的平均数为3，方差为5，黄队6人答对题目的平均数为5，方差为3，则参加比赛的12人答对题目的方差为（）A．5B．4.5C．3.5D．189．已知样本数据x1，x2，…，x n的平均数为、方差为s2，若样本数据ax1+5，ax2+5，…，ax n+5的平均数为4o＞0)，方差为4s2，则=（）A．14B．−512C．56D．5210．2023年10月3日第19届杭州亚运会跳水女子10米跳台迎来决赛，中国“梦之队”包揽了该项目的冠亚军．已知某次跳水比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为x i（i＝1，2，3，4，5），平均数为，若随机删去其任一轮的成绩，得到一组新数据，记为y i（i＝1，2，3，4），平均数为，下面说法正确的是（）A．新数据的极差不可能等于原数据的极差B．新数据的中位数不可能等于原数据的中位数C．若=，则新数据的方差不可能等于原数据方差D．若=，则新数据的第60百分位数可能等于原数据的第60百分位数11．已知9名女生的身高平均值为162（单位：cm），方差为26，若增加一名身高172（单位：cm）的女生，则这10名女生身高的方差为（）A．32.4B．32.8C．31.4D．31.812．为提升学生的身体素质，某校进行50米短跑训练，下面是甲、乙两名学生6次50米短跑训练的测试成绩（单位：秒）的折线图，则下列说法正确的是（）A．甲成绩的平均数等于乙成绩的平均数B．甲成绩的众数小于乙成绩的众数C．甲成绩的极差小于乙成绩的极差D．甲成绩的方差小于乙成绩的方差二．多选题（共7小题）（多选）13．已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5（x1＜0，x2，x3，x4，x5＞0）的方差为s2，平均数＞0，则（）A．数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的方差为9s2B．数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数大于0C．数据x2，x3，x4，x5的方差大于s2D．数据x2，x3，x4，x5的平均数大于（多选）14．下列说法正确的是（）A．数据6，5，3，4，2，7，8，9的上四分位数（75%分位数）为7B．样本数据x i与样本数据y1满足y i＝x i+1（i＝1，2，…，n），则两组样本数据的方差相同C．若随机事件A，B满足：P（A|B）+P（）＝1，则A，B相互独立D．若ξ～N（μ，σ2），且函数f（x）＝P（x≤ξ≤x+2）为偶函数，则μ＝0（多选）15．袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则（）A．～o4，23)B．o=2)=827C．X的期望op=83D．X的方差op=89（多选）16．已知一组样本数据x i（i＝1，2，3，⋯，10），其中x i（i＝1，2，3，⋯，10）为正实数．满足x1≤x2≤x3≤⋯≤x10，下列说法正确的是（）A．样本数据的第80百分位数为x8B．去掉样本的一个数据，样本数据的极差可能不变C．若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数D．若样本数据的方差2=110J110 2−4，则这组样本数据的平均数等于2（多选）17．已知一组样本数据x i（i＝1，2，3，⋯，30）满足0＜x1≤x2≤x3≤⋯≤x30，下列说法正确的是（）A．样本数据的第80百分位数为x24B．样本数据的方差2=130J130 2−16，则这组样本数据的总和等于120C．若样本平均数恰是该组数据中的一个数，去掉这个数，则样本数据的方差不变D．若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数（多选）18．下列命题为真命题的是（）A．若样本数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的方差为2，则数据3x1﹣1，3x2﹣1，3x3﹣1，3x4﹣1，3x5﹣1，3x6﹣1的方差为17B．一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5C．用决定系数R2比较两个模型的拟合效果时，若R2越大，则相应模型的拟合效果越好D．以模型y＝ce kx去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z＝lny，求得线性回归方程为z＝2x+0.4，则c，k的值分别是e0.4和2（多选）19．下列说法正确的是（）A．对于独立性检验，随机变量χ2的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大B．在经验回归方程=−0.6+2中，当解释变量x每增加1个单位时，相应变量增加0.6个单位C．数据a1，a2，a3，…，a n的方差为M，则数据3a1+1，3a2+1，3a3+1，…，3a n+1的标准差为3D．在回归分析中，决定系数R2是用来刻画回归的效果的，现算得某模型中R2＝0.85，则说明该模型的拟合效果较好三．填空题（共3小题）20．已知x和y之间的一组数据如下表，y与x线性相关，且回归方程为=x+0.25，m为x的方差的1.2倍，则当x＝8时，y＝．x0123y m m+252m+321．已知样本9，10，11，x，y的平均数为10，则该样本方差的最小值为．22．若一组数据a1，a2，a3，a4，a5的平均数为3，方差为185，则a1，a2，a3，a4，a5，9这6个数的平均数为，方差为．四．解答题（共1小题）23．某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表：测试指标[20，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]元件数（件）121836304（1）现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率；（2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量X具有数学期望E（X）＝μ，方差D（X）＝σ2，则对任意正数ε，均有P （|x﹣μ|≥ε）≤22成立．（i）若X～o100，12)，证明：P（0≤X≤25）≤150；（ii）利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为90%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件）2024年高考数学模拟题汇编：方差参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．已知一组数x1，x2，x3，x4的平均数是3，方差为4，则数据2x1+1，2x2+1，2x3+1，2x4+1的平均数和标准差分别是（）A．7，4B．7，16C．6，4D．6，16解：由题意可知，数据2x1+1，2x2+1，2x3+1，2x4+1的平均数为2×3+1＝7，方差为22×4＝16，所以数据2x1+1，2x2+1，2x3+1，2x4+1的标准差为4．故选：A．2．已知一组数据：12，16，22，24，25，31，33，35，45，若去掉12和45，将剩下的数据与原数据相比，则（）A．极差不变B．平均数不变C．方差不变D．上四分位数不变解：将原数据按从小到大的顺序排列为12，16，22，24，25，31，33，35，45，其极差为33，平均数是（12+16+22+24+25+31+33+35+45）÷9＝27，方差是19×[(−15)2+(−11)2+(−5)2+(−3)2+(−2)2+42+62+82+ 182]=8249，因为25%×9＝2.25，所以原数据的上四分位数是第3个数22，将原数据去掉12和45，得16，22，24，25，31，33，35，其极差为19，平均数是（16+22+24+25+31+33+35）÷7=1867，方差是17×[(−747)2+(−327)2+(−187)2+(−117)2+(317)2+(457)2+ (597)2]=191649，因为25%×7＝1.75，得新数据的上四分位数是第2个数22，故上四分位数不变，极差、平均数与方差改变，故D正确，A、B，C错误．故选：D．3．在概率论和统计学中用协方差来衡量两个变量的总体误差，对于离散型随机变量X，Y，定义协方差为Cov（X，Y）＝E（XY）﹣E（X）E（Y），已知X，Y的分布列如下表所示，其中0＜p＜1，则Cov（X，Y）的值为（）X12P p1﹣pY12P1﹣p pA．0B．1C．2D．4解：XY的分布列为XY124P p（1﹣p）p2+（1﹣p）2p（1﹣p）E（XY）＝1×p（1﹣p）+2×[p2+（1﹣p）2]+4×p（1﹣p）＝﹣p2+p+2，E（X）＝2﹣p，E（Y）＝p+1，Cov（X，Y）＝﹣p2+p+2﹣（2﹣p）（1+p）＝0．故选：A．4．某单位为了解职工体重情况，采用分层随机抽样的方法从800名职工中抽取了一个容量为80的样本．其中，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为5：3，则单位职工体重的方差为（）A．166B．167C．168D．169解：由题意可知，单位职工体重的平均数为=58×64+38×56=61（千克），所以单位职工体重的方差为s2=58×[151+（64﹣61）2]+38×[159+（56﹣61）2]＝169．故选：D．5．有一组样本数据：x1，x2，…，x8，其平均数为2，由这组样本数据得到新样本数据：x1，x2，…，x8，2，那么这两组样本数据一定有相同的（）A．众数B．中位数C．方差D．极差解：对于A，举例一组数据：1，1，1，2，2，3，3，3，满足平均数为2，众数是1和3，增加数据2后，众数为1，2，3，故A错误；对于B，举例一组数据：1，1，1，1，2.4，2.6，3，4，满足平均数为2，中位数为1+2.42=1.7，增加数据2后，中位数变成了1+22=1.5，故B错误；对于C，举一组数据：1，2，2，2，2，2，2，2，3，满足平均数为2，其方差为18[（1﹣2）2+6×（2﹣2）2+（3﹣2）2]=14，增加一个数据2后，平均数不变，还是2，则方差变为：19[（1﹣2）2+7×（2﹣2）2+（3﹣2）2]=29，故C错误；对于D，根据平均数的概念知（x i）min≤≤（x i）max，当所在数据均相等时，取等号，则增加一个数据2，极差不变，故D正确．故选：D．6．从装有3个白球和7个红球的口袋中任取1个球，用X表示是否取到白球，即X=1(当取到白球时)0(当取到红球时)，则X的方差D（X）等于（）A．21100B．750C．110D．310解：由题意得o=0)=710，o=1)=310，所以op=0×710+1×310=310，所以op=710×(0−310)2+310×(1−310)2=21100．故选：A．7．某单位共有A、B两部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如下．设A、B两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为n1，n2，方差分别为12，22，则（）A．1＞2，12＞22B．1＞2，12＜22C．1＜2，12＜22D ．1＜2，12＞22解：对于A 部门，因为0.2+0.7＞0.75，所以n 1＝4，对于B 部门，因为0.1+0.2+0.4＜0.75，所以n 2＝5，所以n 1＜n 2，由频率分布条形图可知，A 部门满意度更集中，所以12＜22．故选：C ．8．某次知识竞赛共有12人参赛，比赛分为红、黄两队，每队由六人组成．其中红队6人答对题目的平均数为3，方差为5，黄队6人答对题目的平均数为5，方差为3，则参加比赛的12人答对题目的方差为（）A ．5B ．4.5C ．3.5D ．18解：设红队的得分数据分别为x 1，x 2，…，x 6，黄队的得分数据分别为x 7，x 8，…，x 12，则红队数据的平均数为16J16=3，可得J16 =18，方差为16J16(−3)2=5，可得J16(−3)2 =30．黄队数据的平均数为16J712 =5，可得J712 =30，方差为16J712 (−5)2=3，可得J712 (−5)2=18．两组数据混合后，新数据的平均数为112J112 =18+3012=4，方差为112[J16(−4)2+J712(−4)2]=112[J16(−3−1)2+J712(−5+1)2]=112[J16 (−3)2+J712 (−5)2−2J16 (−3)+2J712 (−5)+12]=112×[30+18﹣2×（3﹣3）×6+2×（5﹣5）×6+12]＝5．故选：A ．9．已知样本数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为、方差为s 2，若样本数据ax 1+5，ax 2+5，…，ax n +5的平均数为4o ＞0)，方差为4s 2，则=（）A．14B．−512C．56D．52解：由方差的性质可得，样本数据ax1+5，ax2+5，…，ax n+5的方差为a2s2，所以a2s2＝4s2，解得a＝±2，又因为a＞0，所以a＝2，由平均数的性质可得，本数据ax1+5，ax2+5，…，ax n+5的平均数为a+5，所以a+5＝4，即2+5＝4，解得=52．故选：D．10．2023年10月3日第19届杭州亚运会跳水女子10米跳台迎来决赛，中国“梦之队”包揽了该项目的冠亚军．已知某次跳水比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为x i（i＝1，2，3，4，5），平均数为，若随机删去其任一轮的成绩，得到一组新数据，记为y i（i＝1，2，3，4），平均数为，下面说法正确的是（）A．新数据的极差不可能等于原数据的极差B．新数据的中位数不可能等于原数据的中位数C．若=，则新数据的方差不可能等于原数据方差D．若=，则新数据的第60百分位数可能等于原数据的第60百分位数解：根据题意，依次分析选项：对于A，若随机删去任一轮的成绩，恰好不是最高成绩和最低成绩，此时新数据的极差可能等于原数据的极差，所以A错误；对于B，不妨假设x1＜x2＜x3＜x4＜x5，当x2+x4＝2x3时，若随机删去的成绩恰好是x3，此时新数据的中位数等于原数据的中位数，所以B错误；对于C，若=，则删除的数据恰好为原来数据的平均数，根据方差的计算公式，在公式中分子不变，分母变小，所以方差会变大，即新数据的方差一定大于原数据的方差，C 正确；对于D，不妨假设x1＜x2＜x3＜x4＜x5，第60百分位数为12（x3+x4），不在原来的5个数据中，若=，则删除的数据恰好为原来数据的平均数，即删除的数据为x2、x3、x4中的一个，删除后数据的第60百分位数在数据中，故新数据的第60百分位数不可能等于原数据的第60百分位数，D错误．故选：C．11．已知9名女生的身高平均值为162（单位：cm），方差为26，若增加一名身高172（单位：cm）的女生，则这10名女生身高的方差为（）A．32.4B．32.8C．31.4D．31.8解：根据题意，设原来9名女生的身高依次为x1、x2、……x9，其平均数=19（x1+x2+……+x9）＝162，则有x1+x2+……+x9＝162×9＝1458，其方差为26，则S2=19（12+22+⋯⋯+92）﹣1622＝26，变形可得12+22+⋯⋯+92=9×（26+1622），若增加一名身高172的女生，则新数据的平均数′=110（x1+x2+……+x9+172）=110（1458+172）＝163，则新数据的方差S′2=110（12+22+⋯⋯+92+1722）﹣1632=110[（9×（26+1622）+1722]﹣1632＝32.4．故选：A．12．为提升学生的身体素质，某校进行50米短跑训练，下面是甲、乙两名学生6次50米短跑训练的测试成绩（单位：秒）的折线图，则下列说法正确的是（）A．甲成绩的平均数等于乙成绩的平均数B．甲成绩的众数小于乙成绩的众数C．甲成绩的极差小于乙成绩的极差D．甲成绩的方差小于乙成绩的方差解：对于A，甲成绩的平均数为甲=16(7.0+9.3+8.3+9.2+8.9+8.9)=8.6，乙成绩的平均数为乙=1(8.1+9.1+8.5+8.6+8.7+8.6)=8.6，所以甲=乙，故A正确；对于B，甲成绩的众数为8.9秒，乙成绩的众数为8.6秒，故B错误；对于C，甲成绩的极差为9.3﹣7.0＝2.3秒，乙成绩的极差为9.1﹣8.1＝1.0秒，故C错误；对于D，甲成绩的波动性大，相对于甲的平均值比较分散，而乙成绩波动小，相对于乙的平均值比较集中，所以甲成绩的方差大于乙成绩的方差，故D错误．故选：A．二．多选题（共7小题）（多选）13．已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5（x1＜0，x2，x3，x4，x5＞0）的方差为s2，平均数＞0，则（）A．数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的方差为9s2B．数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数大于0C．数据x2，x3，x4，x5的方差大于s2D．数据x2，x3，x4，x5的平均数大于解：对于A，由方差的性质可知，数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的方差为32×s2＝9s2，故A正确；对于B，由平均数的性质可知，数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数为3−2，因为＞0，所以3−2的正负无法判断，故B错误；对于C，因为x1＜0，x2，x3，x4，x5＞0，所以x1是这组数据中最小的数，去掉x1后，数据显然更集中，所以数据x2，x3，x4，x5的方差小于s2，故C错误；对于D，数据x2，x3，x4，x5的平均数为2+3+4+54=5K14=+K14，因为x1＜0，＞0，所以K14＞0，所以+K14＞，即数据x2，x3，x4，x5的平均数大于，故D正确．故选：AD．（多选）14．下列说法正确的是（）A．数据6，5，3，4，2，7，8，9的上四分位数（75%分位数）为7B．样本数据x i与样本数据y1满足y i＝x i+1（i＝1，2，…，n），则两组样本数据的方差相同C．若随机事件A，B满足：P（A|B）+P（）＝1，则A，B相互独立D．若ξ～N（μ，σ2），且函数f（x）＝P（x≤ξ≤x+2）为偶函数，则μ＝0解：对于A，将数据从小到大排列为2，3，4，5，6，7，8，9，因为8×75%＝6，所以上四分位数（75%分位数）为7+82=7.5，故A错误；对于B，设样本数据x i的方差为s2，因为y i＝x i+1，所以由方差的性质可得样本数据y i的方差为12×s2＝s2，所以两组样本数据的方差相同，故B正确；对于C，因为P（A|B）+P（）＝1，所以P（A|B）＝1﹣P（）＝P（A），即oB)op=P（A），所以P（AB）＝P（A）P（B），所以A，B不相互独立，故C正确；对于D，因为f（x）为偶函数，所以f（﹣x）＝f（x），即P（﹣x≤ξ≤﹣x+2）＝P（x≤ξ≤x+2），所以区间[﹣x，﹣x+2]与区间[x，x+2]关于x＝μ对称，所以μ=−rr22=1，故D错误．故选：BC．（多选）15．袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则（）A．～o4，23)B．o=2)=827C．X的期望op=83D．X的方差op=89解：从袋子中有放回的取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到的黑球概率相等，又每次取一个球，取到白球记0分，黑球记（1分），故4次取球的总分数相当于抽到黑球的总个数，又每次摸到黑球的概率为23，因为是有放回地取4次球，所以∼o4，23)，故A正确；o=2)=42×(23)2×(1−23)2=827，故B正确；根据二项分布期望公式得op=4×23=83，故C正确；根据二项分布方差公式得op=4×23×13=89，故D正确．故选：ABCD．（多选）16．已知一组样本数据x i（i＝1，2，3，⋯，10），其中x i（i＝1，2，3，⋯，10）为正实数．满足x1≤x2≤x3≤⋯≤x10，下列说法正确的是（）A．样本数据的第80百分位数为x8B．去掉样本的一个数据，样本数据的极差可能不变C．若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数D．若样本数据的方差2=110J110 2−4，则这组样本数据的平均数等于2解：对于A，∵80%×10＝8，∴样本数据的第80百分位数为8+92，故A错误；对于B，若去掉的是中间的数据，则极差不会受影响，故B正确；对于C，由对称性知若平均数等于中位数，则两边对称；而图不对称，且右边“拖尾”，则平均数大于中位数，故C正确；对于D，2=110J110 (−p2=110J110 2−2，样本数据的方差2=110J110 2−4，则=2，故这组样本数据的平均数等于2，故D正确．故选：BCD．（多选）17．已知一组样本数据x i（i＝1，2，3，⋯，30）满足0＜x1≤x2≤x3≤⋯≤x30，下列说法正确的是（）A．样本数据的第80百分位数为x24B．样本数据的方差2=130J130 2−16，则这组样本数据的总和等于120C．若样本平均数恰是该组数据中的一个数，去掉这个数，则样本数据的方差不变D．若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数解：对于A中，由30×80%＝24，可得第80百分位数为24+252，所以A错误；对于B中，由2=130J130 2−16=130J130 (−p2，则J130 2−480=J130 2−302，所以=4，故这组样本数据的总和等于30=120，所以B正确；对于C中，去掉等平均数的数据，n变为n﹣1，平方和不变，分母变小，所以方差变大，所以C错误；对于D中，数据的频率分布直方图为单峰不对称，向右边“拖尾”，大致如图所示，由于“右拖”时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，平均数靠近中点处，此时平均数大于中位数，同理，向“左拖”时最高峰偏右，那么平均数小于中位数，所以D正确．故选：BD．（多选）18．下列命题为真命题的是（）A．若样本数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的方差为2，则数据3x1﹣1，3x2﹣1，3x3﹣1，3x4﹣1，3x5﹣1，3x6﹣1的方差为17B．一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5C．用决定系数R2比较两个模型的拟合效果时，若R2越大，则相应模型的拟合效果越好D．以模型y＝ce kx去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z＝lny，求得线性回归方程为z＝2x+0.4，则c，k的值分别是e0.4和2解：样本数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的方差为2，则数据3x1﹣1，3x2﹣1，3x3﹣1，3x4﹣1，3x5﹣1，3x2﹣1的方差为32×2＝18，故A错误；数据8，9，10，11，12，共5个，5×80%＝4，故该数据的第80百分位数是11+122=11.5，故B正确；由决定系数的定义可知，R2越大，则相应模型的拟合效果越好，故C正确；y＝ce kx，则lny＝lnc+lne kx＝lnc+kx，z＝lny，求得线性回归方程为z＝2x+0.4，则lnc＝0.4，k＝2，故c＝e0.4，k＝2，故D正确．故选：BCD．（多选）19．下列说法正确的是（）A．对于独立性检验，随机变量χ2的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大B．在经验回归方程=−0.6+2中，当解释变量x每增加1个单位时，相应变量增加0.6个单位C．数据a1，a2，a3，…，a n的方差为M，则数据3a1+1，3a2+1，3a3+1，…，3a n+1的标准差为3D．在回归分析中，决定系数R2是用来刻画回归的效果的，现算得某模型中R2＝0.85，则说明该模型的拟合效果较好解：对A选项，对于独立性检验，若随机变量χ2的值越小，则判定“两变量有关系”犯错误的概率越大，故A选项正确；对B选项，在经验回归方程=−0.6+2中，当解释变量x每增加1个单位时，则相应变量减少0.6个单位，故B选项错误；对C选项，若数据a1，a2，a3，…，a n的方差为M，则数据3a1+1，3a2+1，3a3+1，…，3a n+1的方差为9M，标准差为3，故C选项正确；对D选项，在回归分析中，决定系数R2越接近1，模型的拟合效果越好，R2＝0.85＞0.75，所以该模型的拟合效果较好，故D选项正确．故选：ACD．三．填空题（共3小题）20．已知x和y之间的一组数据如下表，y与x线性相关，且回归方程为=x+0.25，m为x的方差的1.2倍，则当x＝8时，y＝20.25．x0123y m m+252m+3解：由题意可知，=14×(0+1+2+3)=1.5，=rr2+5+2r34=+2.5，所以这组数据的样本中心点是（1.5，m+2.5），又样本中心点满足线性回归方程=+0.25，代入得m+2.5＝1.5+0.25，即4m+9＝6，又因为数据x的方差2=14×(2.25+0.25+0.25+2.25）＝1.25，且m等于数据x的方差的1.2倍，所以m＝1.2×1.25＝1.5，所以=2.5，所以=2.5+0.25，所以x＝8时，y＝20.25．故答案为：20.25．21．已知样本9，10，11，x，y的平均数为10，则该样本方差的最小值为25．解：∵样本9，10，11，x，y的平均数为10，∴9+10+11+r5=10，∴x+y＝20，∴该样本方差s2=15×[（9﹣10）2+（10﹣10）2+（11﹣10）2+（x﹣10）2+（y﹣10）2] =15（x2+y2﹣198）≥15[(rp22−198]=25，当且仅当x＝y＝10时，等号成立，即该样本方差的最小值为25．故答案为：25．22．若一组数据a1，a2，a3，a4，a5的平均数为3，方差为18，则a1，a2，a3，a4，a5，9这6个数的平均数为4，方差为8．解：由题意可知，这6个数的平均数为3×5+96=4，因为数据a1，a2，a3，a4，a5的平均数为3，方差为185，所以15×[（a1﹣3）2+（a2﹣3）2+…+（a5﹣3）2]=185，所以（a1﹣3）2+（a2﹣3）2+…+（a5﹣3）2＝18，所以(12+22+⋯+52)−6（a1+a2+…+a5）+5×9＝18，又因为a1+a2+…+a5＝3×5＝15，所以12+22+⋯+52=63，所以这6个数的方差为16×[（a1﹣4）2+(2−4)2+⋯+(5−4)2+(9−4)2]=16×[12+ 22+⋯+52−8（a1+a2+…+a5）+5×16+25]=16×（63﹣8×15+5×16+25）＝8．故答案为：4；8．四．解答题（共1小题）23．某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表：测试指标[20，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]元件数（件）121836304（1）现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率；（2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量X具有数学期望E（X）＝μ，方差D（X）＝σ2，则对任意正数ε，均有P （|x﹣μ|≥ε）≤22成立．（i）若X～o100，12)，证明：P（0≤X≤25）≤150；（ii）利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为90%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件）解：（1）记事件A为抽到一件合格品，事件B为抽到两个合格品，则oB)=7021002=161330，op=1002−3021002=301330，∴oUp=oB)op=161330301330=2343，即从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，则另一件也为合格品的概率为2343．（2）（i）证明：由题：若～o100，12)，则E（X）＝50，D（X）＝25，又o=p=100(12)100=o=100−p，∴o0≤≤25)=12o0≤≤25或75≤≤100)=12o|−50|≥25)，由切比雪夫不等式可知，o|−50|≥25)≤25252=125，∴o0≤≤25)≤150；（ii）设随机抽取100件产品中合格品的件数为X，假设厂家关于产品合格率为90%的说法成立，则X～B（100，0.9），∴E（X）＝90，D（X）＝9，由切比雪夫不等式知，o=70)≤o|−90|≥20)≤9400=0.0225，即在假设下100个元件中合格品为70个的概率不超过0.0225，此概率极小，由小概率原理可知，一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信．。
2022学年高三上(编号1-25)概率统计、期望方差大题汇编(学生版)
2022学年高三上（编号1-25）概率统计、期望方差大题汇编（学生版）1：（2023届湖北圆创第一次联合测试解析第19题）1：有9个外观相同的同规格砝码，其中1个由于生产瑕疵导致质量略有增加，小明想通过托盘天平秤量出这个瑕疵的砝码，设计了如下两种方案：方案一：每次从待称量的砝码中随机选2个，按个数平分后分别放在天平的左、右托盘上，若天平平衡，则选出的2个砝码是没有瑕疵的，否则，有瑕疵的砝码在下降一侧，按此方法，直到找出有瑕疵的砝码为止方案二：从待称量的砝码中随机选8个，按个数平分后分别放在天平的左、右托盘上，若天平平衡，则未被选出的那个砝码是有瑕疵的，否则，有瑕疵的砝码在下降的一侧，每次再将该侧砝码按个数平分，分别放在天平的左、右托盘上，……，直到找出有瑕疵的砝码为止（1）记方案一的称量次数为随机变量X，求X的概率分布；（2）上述两种方案，小明应选择何种方案可使称量次数的期望较小？并说明理由2：（2023届湖北九师联盟高三开学考解析第19题）2：某校为了缓解高三学子复习压力，举行“趣味数学”闯关活动，规定每人从10道题中随机抽3道回答，至少答对2题即闯过第一关，某班有5位同学参加闯关活动，假设每位同学都能答对10题中的6道题，且每位同学能否闯过第一关相互独立．（1）求B同学闯过第一关的概率；（2）求这5位同学闯过第一关的人数X的分布列和数学期望．3：（2023届广东梅州中学高三上阶段性考试解析第21题）3：第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕，北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项．北京赛区承办所有的冰上项目；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目；张家口赛区的崇礼区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目．某国运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪．比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为34；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为45和58，丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p和32p-，其中34p<<．（1）甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；（2）若甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为2972，求p 的值，在此基础上，设进入决赛的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．4：（2023届南京市一中高三上学期数学模拟卷1解析第19题） 4：若()2,X N μσ，从X 的取值中随机抽取()*,2k k N k ∈≥个数据，记这k 个数据的平均值为Y ，则随机变量2,YN k σμ⎛⎫⎪⎝⎭，以下问题的求解中可以利用这一结论．根据以往的考试数据，某学校高三年级数据模考成绩()2100,5XN ，设从X 的取值中随机抽取25个数据的平均值为随机变量Y ．现在从X 的取值中随机抽取25个数据从小到大排列为1x ，2x ，3x ，⋅⋅⋅，25x ，1210901.5x x x ++⋅⋅⋅+=，1617251048x x x ++⋅⋅⋅+=，其余5个数分别为97，97，98，98，98．（1）求1x ，2x ，3x ，⋅⋅⋅，25x 的中位数及平均数； （2）求()98103P Y ≤≤．附：随机变量η服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσημσ-+=≤≤，()220.9545P μσημσ-+=≤≤，()330.9973P μσημσ-+=≤≤．5：（2023届武汉市高三上7月新起点考试解析第20题）5：为应对气候变化，我国计划在2030年前实现碳排放量达到峰值，2060年前实现“碳中和”．某市为了解本市企业碳排放情况，从本市320家年碳排放量超过2万吨的企业中随机抽取50家企业进行了调查，得到如下频数分布表，并将年碳排放量大于18万吨的企业确定为“超标”企业：（1）假设该市这320家企业的年碳排放量大致服从正态分布2,N μσ，其中近似为样本平均值x ，2σ近似为样本方差2s ，经计算得12.8x ≈， 5.2s ≈．试估计这320甲企业中“超标”企业的家数；（2）通过研究样本原始数据发现，抽取的50家企业中共有8家“超标”企业，市政府决定对这8家“超标”企业进行跟踪调查，现计划在这8家“超标”企业中任取5家先进行跟踪调查，设Y 为抽到的年碳排放量至少为20.5万吨的企业家数，求Y 的分布列与数学期望．参考数据：若()2,XN μσ，则()0.6827P μσημσ-+=≤≤，()220.9545P μσημσ-+=≤≤，()330.9973P μσημσ-+=≤≤．6：（2023届南京市高三年级学情调研1解析第20题）6:（本小题满分12分）根据北京冬奥组委与特许生产商的特许经营协议，从7月1日开始，包括冰墩墩公仔等在内的2022北京冬奥会各种特许商品将停止生产．现给出某零售店在某日（7月1日前）上午的两种颜色冰墩墩的销售数据统计表（假定每人限购一个冰墩墩）：（1）若有99%的把握认为顾客购买的冰墩墩颜色与其性别有关，求a 的最小值；（2）在a 取得最小值的条件下，现从购买蓝色冰墩墩的顾客中任选p 人，从购买粉色冰墩墩的顾客中任选q 人，且9p q +=（,0p q ≥），记选到的人中女顾客人数为X ，求X 的分布列及数学期望．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++)k7：（2023届湖北省二十一所重点中学高三上第二次联考解析第20题）7：某种电子玩具启动后，屏幕上的LED 显示灯会随机亮起红灯或绿灯．在玩具启动前，用户可对()1101p p <<赋值，且在第1次亮灯时，亮起红灯的概率为1p ，亮起绿灯的概率为11p -．随后若第()*n n ∈N次亮起的是红灯，则第1n +次亮起红灯的概率为13，亮起绿灯的概率为23；若第n 次亮起的是绿灯，则第1n +次亮起红灯的概率为23，亮起绿灯的概率为13．（1）若输入112p =，记该玩具启动后，前3次亮灯中亮红灯的次数为X ，求X 的分布列和数学期望； （2）在玩具启动后，若某次亮灯为红灯，且亮红灯的概率在区间10101,20212⎛⎫⎪⎝⎭内，则玩具会自动唱一首歌曲，否则不唱歌．现输入113p =，则在前20次亮灯中，该玩具最多唱几次歌?8：（2023届浙江省新高考研究高三上8月测试解析第17题）8：2022年8月7日是中国传统二十四节气“立秋”，该日，“秋天的第一杯奶茶”再度出圈，据此，学校社会实践小组随机调查了该地区100位奶茶爱好者的年龄， 得到如下样本数据频率分布直方图．（1）估计奶茶爱好者的平均年龄；(同一组数据用该区间的中点值作代表) （2）估计奶茶爱好者年龄位于区间[20,60)的概率；（3）已知奶茶爱好者喜欢浙江奶茶品牌“古茗”的概率为21%，该地区奶茶爱好者年龄位于区间[10,20)的人口数占该地区奶茶爱好者总人口数的35%，从该地区选出1名奶茶爱好者，若此人的年龄位于区间[10,20)，求此人喜欢古茗的概率．9：（2023届广东惠州高三第一次调研考解析第19题）9：（本小题满分12分）2021年秋季，国家教育部在全国中小学全面开展“双减”，实施“52+”服务模式．为响应这一政策，某校开设了“篮球”、“围棋”、“文学社”、“舞蹈”四门课后延时服务课程，供500名学生选择学习．经过一个学期的学习后，学校对课后延时服务课程的效果进行调研，随机抽选了50名男生和50名女生，统计数据如下表所示：兴趣较大兴趣一般男生 35 15女生3020（1）试依据小概率值0.100α=的独立性检验，分析学生对课后延时服务课程的兴趣是否与性别有关； （2）若用频率估计概率，从该校抽选调研的女生中按分层抽样的方式任选5人，再从中选出3人进行深入调研，用ξ表示选取的女生兴趣一般的人数，求ξ的分布列与数学期望． 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．α0.100 0.010 0.001 αχ2.7066.63510.82810：（2023届重庆市巴蜀中学月考卷（一）解析第18题）10：炎炎夏日，酷暑难耐！一种新型的清凉饮料十分畅销，如图3是某商店7月1日至15日售卖该种饮料的累计．．销售量(单位：十㼛)的散点图： (参考数据：1515152111970,1240,9979i ii i i i i y x x y ======∑∑∑)（1）由散点图可知,15日的数据偏差较大，请用前14 组数据求出累计销售量y (单位：十瓶)关于日期x (单位：日） 的经验回归方程；（2）请用（1）中求出的经验回归方程预测该商店9月份(共30天)售卖这种饮料的累计销售量．附：经验回归方程ˆˆˆy bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆˆ,ni ii nii x ynxyb a y bx xnx==-==--∑∑11：（2023届重庆市巴蜀中学月考卷（一）解析第20题）11：某大型名胜度假区旅游景点、酒店餐饮，娱乐休闲于一体，极大带动了当地的经济发现，为了完善度假区的服务工作，进一步提升景区品质，现从某天的游客中随机抽取了500人，按他们的消费金额（元）进行统计，得到如图5所示的频率分布直方图．（1）求直方图中a 的值；（2）估计该度假区2000名游客中，消费金额低于1000元的人数（3）为了刺激消费，回馈游客，该度假区制定了两种抽奖赠送代金券（单位：元）的方案（如下表），抽奖规则如下：①消费金额低于1000元的游客按方案A 抽奖一次； ②消费金额不低于1000元的游客按方案B 抽奖两次．记X 为所有游客中的任意一人抽奖时获赠的代金券金额，用样本的频率代替概率，求X 的分布列和数学期望()E X ．12：（2023届江苏省盐城中学8月高三上开学考解析第20题）12：乒乓球被称为我国的国球，是一种深受人们喜爱的球类体育项目．某次乒乓球比赛中，比赛规则如下：比赛以11分为一局，采取七局四胜制．在一局比赛中，先得11分的选手为胜方；如果比赛一旦出现10平，先连续多得2分的选手为胜方．（1）假设甲选手在每一分争夺中得分的概率为23．在一局比赛中，若现在甲、乙两名选手的得分为8比8平，求这局比赛甲以先得11分获胜的概率；（2）假设甲选手每局获胜的概率为34，在前三局甲获胜的前提下，记X 表示到比赛结束时还需要比赛的局数，求X 的分布列及数学期望．13：（2022年8月福建福安一中高三上第一次检测解析第18题）13：根据统计，某蔬菜亩产量的增加量y (百千克)与某种液体肥料每亩使用量x (千克)之间对应数据的散点图如图所示．方案A代金券金额 50100概率13 23方案B代金券金额100概率12 12（1）请从相关系数r （精确到0.001）；（2）建立y 关于x 的线性回归方程，并用其估计当该种液体肥料每亩使用量为9千克时，该蔬菜亩产量的增加量约为多少百千克?参考公式：对于一组数据(),(1,2,3,,)i i x y i n =，相关系数()()nii xx y y r --=∑线ˆˆˆybx a =+中，()()()121ˆnii i nii xx y y b xx ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-，参考数据：()()514i ii x x y y =--=∑ 2.236≈．14：（2022年8月福建福安一中高三上第一次检测解析第21题）14：(本小题满分12分)为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某学校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同的校区，三个校区的队员人数分别是3，4，5．本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛(每场比赛都采用5局3胜制)，最后根据积分选出最后的冠军．积分规则如下：比赛中以3：0或3：1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以3：2取胜的队员积2分，失败的队员积1分．已知第10轮张三对抗李四，设每局比赛张三取胜的概率均为(01)p p <<．（1）比赛结束后冠亚军(没有并列)恰好来自不同校区的概率是多少？ （2）第10轮比赛中，记张三3：1取胜的概率为()f p ．①求出()f p 的最大值点0p ．②若0p 作为p 的值，这轮比赛张三所得积分为X ，求X 的分布列及期望．15：（2023届广州市真光中学高三上8月开学考解析第20题）15：某企业研发了一种新药，为评估药物对目标适应症患者的治疗作用和安全性，需要开展临床用药试验，检测显示临床疗效评价指标A 的数量y 与连续用药天数x 具有相关关系．随机征集了一部分志愿者作为样本参加临床用药试验，并得到了一组数据(),i i x y ，1i =，2，3，4，5，其中i x 表示连续用药i 天，i y 表示相应的临床疗效评价指标A 的数值．根据临床经验，刚开始用药时，指标A 的数量y 变化明显，随着天数增加，y 的变化趋缓．经计算得到如下一些统计量的值:5162i i y ==∑，()()5147i i i x x y y =--=∑，514.79ii u=≈∑，()5211.615i i u u =-≈∑，()()5119.38i i i u u y y =--≈∑其中ln i i u x =．（1）试判断y a bx =+与ln y a b x =+哪一个适宜作为y 关于x 的回归方程类型？并建立y 关于x 的回归方程；（2）新药经过临床试验后，企业决定通过两条不同的生产线每天8小时批量生产该商品，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的两倍．若第1条生产线出现不合格药品的概率为0.012，第2条生产线出现不合格药品约概率为0.009，两条生产线是否出现不合格药品相互独立．（i ）随机抽取一件该企业生产的药品，求该药品不合格的概率； （ii ）若在抽查中发现不合格药品，求该药品来自第1条生产线的概率． 参考公式:对于一组数据()11,x y ，()22,x y，，(),n n x y ，其回归直线y a bx =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆnii i nii xx y y bxx ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-16：（2023届湖北协作体联考解析第19题）16:（本小题满分12分）袋中有同样的球5个，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回的摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量ξ为此时已摸球的次数，求：（1）(2)P ξ=的值；（2）随机变量ξ的概率分布列和数学期望．17：（2023届湖北协作体联考解析第21题）17：为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物 与人体试验．研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内， 一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按[0，20)， [20，40)， [40，60)，[ 60，80) [80，100]分组，绘制频率分布直方图 如图所示．试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只， 其中该项指标值不小于60的有110只， 假设小白鼠注射 疫苗后是否产生抗体相互独立．(1)填写下面的22⨯列联表，并根据列联表及0.05α=的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60 有关．单位:只(2)结果又有20只小白鼠产生抗体．(i)用频率估计计率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p ；(ii)以(i)中确定p 作为人体注射2次疫苗后产生体的概，进行人体接种试验，记n 个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X ，试验后统计数据显示，当X =99时，P (X )取最大值，求参加人体接种试验的人数n 及E (X )．参考公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++)(其中n a b c d =+++为样本容量) 参考数据：18：（2023届广东省高三上学期开学联考解析第20题）18:（本小题满分12分）甲、乙两人进行下象棋比赛（没有平局），采用“五局三胜”制． 已知在每 局比赛中，甲获胜的概率为p ，01p <<．（1）设甲以3:1获胜的概率为()f p ，求()f p 的最大值；（2）记（1）中，()f p 取得最大值时p 的值为0p ，以0p 作为p 的值，用X 表示甲、乙两人比赛的局数，求X 的分布列和数学期望()E X ．。
高三数学新课标总复习期望和方差、正态分布
ξ==g，k k P)(注意：常见分布列的期望和方差，不必写出分布列，直接用公式计算即可且使目标函数z ＝1 600x ＋2 400y 达到最小的x ，y .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5,12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上截距z2 400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆．【新方法、新技巧练习与巩固】一、选择题1．设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人三次上班途中遇红灯的次数的期望为( )A ．0.4B ．1.2C ．0.43D ．0.62．(2015·太原高三期中)已知随机变量X 的分布列为X 1 2 3 P0.20.40.4则E (6X ＋8)的值为( ) A ．13.2 B ．21.2 C ．20.2D ．22.23．如果X ～B (20，p )，当p ＝12且P (X ＝k )取得最大值时，k 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．114．设随机变量X 服从正态分布N (3,4)，若P (X <2a －3)＝P (X >a ＋2)，则a ＝( ) A ．3 B.53 C ．5D.73 5．(2015·芜湖一模)若X ～B (n ，p )，且E (X )＝6，D (X )＝3，则P (X ＝1)的值为( )A．3×2－2B．2－4C．3×2－10D．2－86．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A．100 B．200C．300 D．400二、填空题7．(2015·温州十校联考)一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为X，则X的数学期望是______．8．若随机变量X的概率分布密度函数是φμ，σ(x)＝122π·e－(x＋2)28(x∈R)，则E(2X－1)＝________.9．已知100件产品中有10件次品，从中任取3件，则任意取出的3件产品中次品数的均值为______．10．一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分．某人每次击中目标的概率为23，则此人得分的数学期望与方差分别为______________．三、解答题11．(2015·忻州联考)现有一游戏装置如图，小球从最上方入口处投入，每次遇到黑色障碍物等可能地向左、右两边落下．游戏规则为：若小球最终落入A槽，得10张奖票；若落入B槽，得5张奖票；若落入C槽，得重投一次的机会，但投球的总次数不超过3次．(1)求投球一次，小球落入B槽的概率；(2)设玩一次游戏能获得的奖票数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．12．(2015·昆明模拟)气象部门提供了某地区今年六月份(30天)的日最高气温的统计表如下：日最高气温t(单位：℃)t≤2222＜t≤2828＜t≤32t＞32天数612Y Z由于工作疏忽，统计表被墨水污染，Y和Z数据不清楚，但气象部门提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32 ℃的频率为0.9.发电机最多可运行台数 1 2 3若某台发电机运行，则该台年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？3．某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服从正态分布N (168,16)．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160 cm 和184 cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160,164)，第2组[164,168)，…，第6组[180,184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况； (2)求这50名男生身高在172 cm 以上(含172 cm)的人数；(3)在这50名男生身高在172 cm 以上(含172 cm)的人中任意抽取2人，将该2人中身高排名(从高到低)在全市前130名的人数记为X ，求X 的数学期望．参考数据： 若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6， P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4， P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.答案一、选择题1．解析：选B ∵途中遇红灯的次数X 服从二项分布，即X ～B (3,0.4)，∴E (X )＝3×0.4＝1.2.2．解析：选B 由随机变量的期望公式可得E (X )＝1×0.2＋2×0.4＋3×0.4＝2.2，E (6X ＋8)＝6E (X )＋8＝6×2.2＋8＝21.2.3．解析：选C 当p ＝12时，P (X ＝k )＝C k 20⎝⎛⎭⎫12k ·⎝⎛⎭⎫1220－k ＝C k 20·⎝⎛⎭⎫1220，显然当k ＝10时，P (X ＝k )取得最大值．。