数学六年级下册-知识讲解 正比例图象的特点
六年级下册正比例和反比例数学知识点
六年级下册正比例和反比例数学知识点一、变化的量生活中存在着大量互相依存的变量，一种量变化，另一种量也随着变化。
二、正比例1. 正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
如果用字母x和y表示两种相关联的量，用字母k表示它们的比值(一定)，正比例关系可以表示为：y/x=k(一定)。
2. 应用正比例的意义判断两种量是否成正比例：有些相关联的量，虽然也是一种量随着另一种量的变化而变化，但它们相对应的数的比值不一定，就不成正比例，如被减数与差，正方形的面积与边长等。
三、画一画正比例的图像是一条直线。
四、反比例1. 反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积，反比例的关系式可以表示为：xy=k(一定)。
2. 判断两个量是不是成反比例：要先想这两个量是不是相关联的量;再运用数量关系式进行判断，看这两个量的积是否一定;最后作出结论。
五、观察与探究当两个变量成反比例关系时，所绘成的图像是一条光滑曲线。
六、图形的放缩一幅图放大或缩小，只有按照相同的比来画，画的图才像。
七、比例尺1. 比例尺：图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
图上距离=实际距离比例尺实际距离=图上距离比例尺2. 比例尺的分类：比例尺根据实际距离是缩小还是扩大，分为缩小比例尺和放大比例尺。
根据表现形式的不同，比例尺还可分为线段比例尺和数值比例尺。
3. 比例尺的应用：(1)、已知比例尺和图上距离，求实际距离课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。
为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。
要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。
认识正比例图像课件
在坐标系中，线性函数模型表 现为一条直线，斜率为 k。
指数函数模型
指数函数模型是另一种常见的正比例 图像，其表达式为 y = a^x 或 y = k * a^x，其中 a 是底数，k 是比例常数。
在坐标系中，指数函数模型表现为一 条向上翘曲的曲线，随着 x 的增大，y 的增长速度逐渐加快。
当 x 增加时，y 以指数方式增加，保 持 y 和 x 的正比例关系。
02
通过计算两个变量之间的相关系数，判断是否接近1，从而判断
是否为正比例关系。
利用函数图像变换规律
03
了解函数图像的平移、伸缩等变换规律，有助于判断正比例图像。
理解正比例图像的变换规律
横向伸缩
当图像在横轴方向上伸 缩时，纵轴上的点也按
相同的比例伸缩。
纵向伸缩
当图像在纵轴方向上伸 缩时，横轴上的点也按
正比例图像的形状保持不变，只是大小发生变化。
判断坐标轴
正比例图像中，一个变量按比例变化时，另一个 变量也按相同的比例变化。
理解函数关系
正比例图像表示两个变量之间存在线性关系，可 以用一次函数表示。
判断正比例图像的技巧
对比变量关系
01
通过对比不同图像中两个变量的关系，判断是否符合正比例关系。
计算相关系数
在化学学科中的应用案例
总结词
化学反应速率分析
详细描述
在化学反应中，反应速率与反应物浓度之间的关系可以通过正比例图像来表示。 通过观察图像的变化，可以分析反应速率随时间的变化情况，进而了解反应机理 和条件。
适合数学研究和教学。
使用绘图工具绘制正比例图像
工具选择
选择绘图工具如Microsoft PowerPoint、Keynote等，这些工具 都提供了绘图功能。
小学六年级数学重点知识正比例与反比例的概念与应用
小学六年级数学重点知识正比例与反比例的概念与应用小学六年级数学重点知识：正比例与反比例的概念与应用数学是一门重要的学科，对于学生的学习和发展起着至关重要的作用。
在小学六年级数学课程中，正比例与反比例是重要的知识点。
本文将介绍正比例与反比例的概念，并探讨它们在实际生活中的应用。
一、正比例的概念与特点正比例是指两个变量之间的关系，当其中一个变量的值增加时，另一个变量的值也相应地按照比例增加。
两个变量之间的关系可以用以下公式表示：y = kx。
其中，y和x分别代表两个变量的值，k为比例因子。
正比例的特点是变化的方向相同，即当x增加时，y也增加；当x 减少时，y也减少。
并且，两个变量之间的关系呈现出线性的趋势，可以用一条直线表示。
例如，如果一辆汽车以固定的速度行驶，行驶的时间与行驶的距离之间就是正比例关系。
行驶的距离是x，行驶的时间是y，那么它们之间的关系可以用y = kx表示。
当汽车行驶的距离增加时，所花费的时间也会相应增加；当汽车行驶的距离减少时，所花费的时间也会相应减少。
二、正比例的应用举例正比例在实际生活中有广泛的应用。
以下是几个常见的例子：1. 比例尺：在地图上，比例尺是用来表示地图距离与实际距离之间的比例关系。
比如，如果一个比例尺是1:1000，那么地图上的1厘米就代表实际世界中的1000米。
这是一种正比例关系，比例因子为1000。
2. 比赛成绩：在体育比赛中，比赛成绩通常与运动员的训练时间和努力程度呈正比例关系。
运动员花费更多时间和精力训练，通常会取得更好的成绩。
3. 比例配方：在烹饪中，有时候需要根据需要增加或减少食材的用量。
比如，如果你想要做一份双倍份量的蛋糕，那么你需要将原始配方中的食材的用量都扩大一倍。
这也是一种正比例关系。
三、反比例的概念与特点反比例是指两个变量之间的关系，当其中一个变量的值增加时，另一个变量的值相应地按照比例减少。
两个变量之间的关系可以用以下公式表示：y = k/x。
正比例和反比例ppt课件
正反比例的性质对照
相同点
两者都涉及到两个量的变化关系，其中一个量变化时，另一个量也相应变化。
不同点
正比例中，比值是一定的；反比例中，比值是不定的。正比例关系是一条直线，而反比例 关系是一个双曲线。
应用场景
正比例关系在物理、化学、工程等领域都有广泛应用，如速度、密度等；反比例关系在电 力、运输、通讯等领域常见，如电流与电阻、运输成本与运输距离等。
02 正比例和反比例的应用
正比例的应用
01
02
03
计算增长率
在统计学中，正比例常用 于计算某一变量的增长率 ，如GDP增长率、人口增 长率等。
猜测模型
在猜测模型中，正比例关 系可用于猜测未来趋势， 例如猜测产品销售量与广 告投入的关系。
线性回归分析
在回归分析中，正比例关 系可用于描写两个变量之 间的线性关系，例如身高 与体重的关系。
在坐标系中，反比例关系表现为一条 双曲线。
当一个量y随着另一个量x的增大而减 小，或者随着x的减小而增大时，我们 说y与x成反比。
正反比例数学表达的异同点
相同点
正比例和反比例都涉及到两个量之间的变化关系，且都存在 一个常数k来描写这种关系。
不同点
正比例是y与x之间的直接关系，而反比例是xy之间的乘积关 系；正比例关系中y随x增大而增大，而反比例关系中y随x增 大而减小或随x减小而增大；正比例在坐标系中表现为直线， 而反比例表现为双曲线。
则它们成反比例。
反比例关系在现实生活中也广泛 存在，如一定质量的物体下，压 力与面积成反比；一定速度下，
距离与时间成反比等。
正反比例的异同点
相同点
正比例和反比例都是描写两个量之间关系的比例关系，都涉及到两个变量的变 化趋势。
小学数学-思维导图-第五章-比和比例-正比例和反比例比例
小学数学思维导图第五章比和比例正比例和反比例比例正比例和反比例是数学中两个重要的概念，它们可以帮助我们理解和解决许多实际问题。
在这一章节中，我们将通过思维导图的方式，深入探讨正比例和反比例的概念、性质以及它们在实际中的应用。
一、正比例1. 定义：如果两个相关联的量，它们的比值（商）始终保持不变，那么它们就是成正比例的关系。
用数学公式表示，即 y = kx，其中 k 是常数，表示比例关系。
2. 性质：a. 当一个量增大时，另一个量也会相应地增大。
b. 当一个量减小时，另一个量也会相应地减小。
c. 两个量的比值始终保持不变。
3. 应用：a. 计算速度：速度 = 路程÷ 时间。
当路程固定时，速度和时间成正比。
b. 计算工资：工资 = 工作量× 单价。
当单价固定时，工资和工作量成正比。
二、反比例1. 定义：如果两个相关联的量，它们的乘积始终保持不变，那么它们就是成反比例的关系。
用数学公式表示，即 xy = k，其中 k 是常数，表示比例关系。
2. 性质：a. 当一个量增大时，另一个量会相应地减小。
b. 当一个量减小时，另一个量会相应地增大。
c. 两个量的乘积始终保持不变。
3. 应用：a. 计算速度：速度 = 路程÷ 时间。
当路程固定时，速度和时间成反比。
b. 计算工资：工资 = 工作量× 单价。
当工作量固定时，工资和单价成反比。
小学数学思维导图第五章比和比例正比例和反比例比例三、比例关系的识别1. 正比例关系的识别：观察两个量的变化趋势，如果它们同时增加或减少，且它们的比值保持不变，那么可以判断它们成正比例关系。
例如，在绘制图表时，如果数据点在一条通过原点的直线上，那么这些数据点就表示正比例关系。
2. 反比例关系的识别：同样地，观察两个量的变化趋势，如果它们一个增加而另一个减少，且它们的乘积保持不变，那么可以判断它们成反比例关系。
例如，在绘制图表时，如果数据点在一条双曲线上，那么这些数据点就表示反比例关系。
2021年苏教版数学六下第六单元《正比例和反比例》章节知识点、达标训练附解析
2021年苏教版数学六年级下册章节复习知识点、达标训练附解析第六单元《正比例和反比例》知识点一：正比例的意义及应用（1）正比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（在除法中是叫做商）一定，那么这两个量叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系。
（2）如果用字母 x 和 y 分别表示两种相关的量，用 k 表示它们的比值（一定），正比例关系式可用x/y=k。
（3）判断两种量是否成正比例的应用方法：○1、判断两个是否相关联；○2、判断这两个量的比值是否一定，比值一定就成正比例关系；反之不成正比例关系。
（简说：用除法，商一定，成正比）知识点二：正比例的图像正比例图像是一条直线。
从图像中，可以直观看到两种量的变化情况，由一个量的值可以直接找到对应的另一个量的值。
知识点三：反比例的意义及应用（1）反比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的积一定，那么这两个量叫做成反比例的量，它们的关系叫做成反比例关系。
（2）如果用字母 x 和 y 分别表示两种相关的量，用 k 表示它们的比值（一定），反比例关系式可用x×y=k。
（3）判断两种量是否成反比例的应用方法： 1、判断两个是否相关联；2、判断这两个量的积是否一定，积一定就成反比例关系；反之不成反比例关系。
（简说：用乘法，积一定，成反比）知识点四：解题方法：（1）判断题目中相关联的量成什么关系，列出等量关系式；（2）设未知数，列方程；（3）解方程并检验写答。
一、精挑细选（共5题；每题2分，共10分）1. （2020·滕州）下面各题中的两种量成反比例关系的是（）A. 单价一定，总价与数量B. 圆柱的体积一定，圆柱的底面积与高C. 圆的面积与它的半径2. （2020·汉川）下列各题中的两种量，成正比例的是（）。
A. 小东的身高和体重B. 修一条水渠，每天修的米数和天数C. 圆的半径和面积D. 订《中国少年报》的份数和总钱数3. （2020·铁西）自行车行驶的路程一定，车轮的转数和直径的关系是（）。
苏教版数学六年级下册认识正比例图像课件16
小玲用计算机打字的数量和所用时间如下表：
300
200
100
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 时间/分
正比例图像
正比例图像
正比例图像
正比例图像
正方形的边长与周长、边长与面积的变化规律一样吗？ 哪两个量成正比例关系？
正比例图像
有火车、汽车和摩托车三种交通工具，它们的行驶路程与时 间关系图如下：
正比例图像
思考题： 图像的延伸
水量/m3
70000
某水库实际蓄水情况为：以水位尺０刻度为准，每 60000
上升１厘米，水库水量增加约１００００m3。
50000 40000
30000
20000
10000
-3 -2 -1 0
1 2 3 4 5 6 7 水位/cm
-10000
-20000 -30000
小玲用计算机打字的数量和所用的时间如下表：
张小楠6-12岁身高如下表：
图像
数量/个
800
700
600
500 400
小玲用计算机打字的数量和所用时间如下表：
300
200
100
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 时间/分
图像
数量/个
800
700
600
500 400
正比例图像
用直线上的点来表示数
-3 -2 -பைடு நூலகம் 0 1 2 3
在图中描出(1,1)、(2,2)、(3,3)、(4,4)、(5,5)所表 示的点，再把这些点连接起来。
纵轴
(5,5) (4,4) (3,3) (2,2) (1,1)
北师大版六年级下册《正比例》课件
05
练习与巩固
基础练习题
总结词：巩固基础
详细描述：基础练习题主要针对正比例的基本概念和性质进行设计，难度较低， 适合全体学生练习，旨在帮助学生掌握正比例的基本知识点。
提升练习题
总结词：提升理解
详细描述：提升练习题在基础练习题的基础上增加难度，着重考察学生对正比例的应用和分析能力，需要学生具备一定的思 维能力和解题技巧。
正比例与几何图形的联系
定义
正比例在几何学中通常用来描述两个相似图形之间的比例关系。如 果两个图形是相似的，那么它们的对应边之间的长度之比是相等的 。
性质
正比例图形具有一些特殊的性质，例如它们的角度相等、对应边的 平方之比相等。
应用
在几何学中，正比例的概念被广泛应用于解决实际问题，例如建筑设 计、机械制造ENTS
• 正比例的定义 • 正比例的特性 • 正比例的应用 • 正比例与其他数学概念的联系 • 练习与巩固
01
正比例的定义
什么是正比例
正比例是指两个量之间的比值 保持不变的关系。
当两个量成正比例时，一个量 随另一个量的变化而变化，但 它们的比值始终保持不变。
03
图像
正比例和反比例的图像分别是一条直线和双曲线。
正比例与一次函数的关系
定义
一次函数是形如 y=kx+b 的函数，其中 k 和 b 是常数，k≠0。 正比例实际上是一次函数的特例，即 b=0 的情况。
图像
正比例的图像是一次函数图像上的一条直线。
应用
一次函数在解决实际问题中有着广泛的应用，例如求最优解、预 测趋势等。
解决几何问题
在几何学中，许多问题可以通过 正比例关系来解决。例如，在计 算面积或体积时，如果两个量成 正比，那么它们的面积或体积也
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正比例图象的特点
问题导入知识点一中的数据还可以用图象（如下图）表示：（教材46页）
根据图象回答下面的问题：
(1)从图中你发现了什么？
(2)把数对(10，5.0)和(12，6.0)所在的点描出来，并和上面的图象连起来并延长，你还能发现什么？
(3)不计算，根据图象判断，如果买7支铅笔总价是多少？20元能买多少支铅笔？
(4)小明买的铅笔的数量是小丽的2倍，他花的钱是小丽的几倍？
画法提示
正比例关系图象的画法与折线统计图的画法基本相同。
过程讲解
1．观察正比例图象，寻找特点，解决问题(1)
(1)通过观察发现，正比例图象是一条经过原点的直线。
(2)图象中横轴上的数据表示铅笔的数量，纵轴上的数据表示铅笔的总价，知识点一表格中的每一对数据都可以用一个点来表示。
如数量2支和总价1.0元这对数据，就可以用(2，
1.0)表示。
(3)从图象上可以直观地看到铅笔的数量与总价之间的变化情况，即数量增加，总价也随着增加。
思想方法解读
运用图象来反映铅笔的总价与数量之闻的变化情况，其中蕴涵着函数的思想方法。
运用运动和变化的观点、集合和对应的思想去分析问题中的数量关系，通过类比、联想、转化等合理地构造函数，运用函数的图象和性质使问题获得解决的方法就是函数思想。
2．根据数对的特点在图中描点，解决问题(2)
(1)在横轴上找到数量是10支的点，再找出与这个点相对应的纵轴上的数据，即 5.0元，确定出(10，5.0)的位置。
同理可以确定(12，6.0)的位置。
(2)把(10，5.0)和(12，6．0)这两个点与已知的图象连起来并延长，如下图所示：
(3)观察上图发现，(10，5．0)和(12，6.0)与原图象在一条直线上。
3．观察图象中的数据，解决问题(3)
(1)先在横轴上找到数量是7支的点，再沿着该点所在的纵向格线与图象的交点水平向左，便可以找到与数量7支相对应的纵轴上的数据，即3.5元。
所以买7支铅笔总价是3.5元。
(2)在纵轴上找不到总价20元，但可以找到总价2.0元。
沿着2.0元所在的横向格线与
图象的交点竖直向下，便可以找到与总价2.0元相对应的横轴上的数据，即4支。
因为20元是2.0元的10倍，所以20元能买的铅笔支数也应该是4支的10倍，即40支。
4．根据正比例的特点解决问题(4)
铅笔的单价一定，铅笔的总价和数量成正比例。
小明买的铅笔的数量是小丽的2倍，他花的钱也应该是小丽的2倍。
归纳总结
正比例关系的图象是一条经过原点的直线。
从图象中可以直观地看到两种量的变化情况，不用计算，由一个量的值可以直接找到对应的另一个量的值。