分数阶傅立叶变换
分数阶傅里叶变换的原理与应用
分数阶傅里叶变换的原理与应用一、分数阶傅里叶变换的原理1.1传统傅里叶变换的局限性传统的傅里叶变换可以将时域信号转换为频域信号，但其变换后的结果是旋转对称的，并且无法提供选择性的时频分辨率，即无法同时精确地描述信号的瞬时特性和频率特性。
1.2分数阶傅里叶变换的引入为了弥补传统傅里叶变换的不足，分数阶傅里叶变换被引入。
分数阶傅里叶变换是将传统傅里叶变换的旋转对称性由倾斜对称的情况首次引入到信号处理领域。
1.3 分数阶傅里叶变换的定义F(a,b) = ∫f(t)K(a,b,t)dt其中，a和b是变换的参数，f(t)是原始信号，K(a,b,t)为分数阶的核函数，核函数代表了信号在时域和频域中的变换关系，通过核函数可以实现对信号的不同时频特性的描述。
1.4分数阶傅里叶变换的数学表达式F(a,b) = ∫f(t)exp(-jπat²)exp(-jπb²/t²)dt其中，a和b分别代表旋转因子，通过调整a和b的取值，可以实现对信号的不同时频域特性的描述。
二、分数阶傅里叶变换的应用2.1信号处理2.2通信系统2.3图像处理2.4声音和视频处理2.5生物医学信号处理分数阶傅里叶变换在生物医学信号处理中也有广泛应用，如心电信号分析、脑电信号分析、磁共振成像分析等。
通过对生物医学信号进行分数阶傅里叶变换，可以实现对信号的精确分析和刻画，从而有助于疾病的早期诊断和治疗。
总结：分数阶傅里叶变换作为傅里叶变换的一种扩展形式，克服了传统傅里叶变换的不足，通过调整变换的参数，分数阶傅里叶变换可以实现对信号的精确时频分辨率分析，被广泛应用于信号处理、通信系统、图像处理、声音和视频处理、生物医学信号处理等领域。
随着对分数阶傅里叶变换的进一步研究和应用，相信将会有更多的应用场景被发现，为信号处理和通信领域带来更多创新和发展。
分数阶傅立叶变换
分数阶傅立叶变换分数阶傅立叶变换（Fractional Fourier Transform）是一种多阶数学变换，可以将一个函数的时域特征转换到频域特征，同时也具有快速的计算特性。
它能够提供更加准确的信息处理方法，能够在信号处理中有效地应用。
分数阶傅立叶变换是在标准傅立叶变换基础上进行改进，其基本思想是将原始信号的时间域特征转换到频域特征。
转换后的信号可以更好地反映信号的频率分布，并且可以更好地处理诸如正弦波、高斯函数等不同形态的信号。
分数阶傅立叶变换的基本概念是将原始信号的时域特征变换到频域特征，这样就可以有效地处理各种不同形态的信号，而不会损失信号的细节和特征。
分数阶傅立叶变换的基本原理是将一个函数的时域特征转换到频域特征。
它是由一组数学公式组成的，可以将时域信号转换为频域信号，从而使信号可以在频域进行处理。
接下来要介绍的是分数阶傅立叶变换的公式。
首先，变换的基本公式是：$$F_T (f) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i 2 \pi f t}dt $$其中，$f$为一个函数，$t$是时间坐标。
要实现分数阶傅立叶变换，需要对这个公式作出改变：$$F_T (f) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i 2 \pi f t + i \alpha}dt $$其中，$\alpha$为变换参数，可以改变信号在时域和频域之间的映射关系，从而实现对信号的更加准确处理。
另外，分数阶傅立叶变换也可以通过建立矩阵进行表示：$$F_T (f) = \frac{1}{2\pi} \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos(2 \pi f t) dt \\ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \sin(2 \pi f t) dt\end{bmatrix} $$可以看出，分数阶傅立叶变换的矩阵表示其实就是一个二维旋转矩阵。
分数傅里叶变换
分数傅里叶变换分数傅里叶定义：分数傅里叶变换的物理意义即做傅里叶变换次，其中不一定要为整数（比傅里叶变换更加广泛）；通过分数傅里叶变换之后，图像或信号便会同时拥有时域与频域两者的特征。
1.1（维基百科）第一种定义:第二种定义：1.2从数学上分数傅立叶变换定义了积分形式：Wigner分布函数相空间定义的分数傅立叶变换A.W.Lohmann在1993 年利用傅里叶变换相当于在Wigner分布函数相空间中角度为π/2的旋转这一性质，说明分数傅里叶变换在Wigner分布函数空间中相当于角度是pπ/2的旋转，这里，p是分数傅里叶变换的级次。
分数傅里叶变换的定义在数学上是等价的。
当分数傅里叶变换的幂次p从0 连续增长到达1 时，分数傅里叶变换的结果相应地从原始信号的纯时间（空间）形式开始逐渐变化成为它的纯频域（谱）形式，幂次p在0到1之间的任何时刻对应的分数傅里叶变换采取了介乎于时（空）域和频域之间的一个过渡域的形式，形成一个既包含时（空）域信息同时也包含频（谱）域信息的混合信号。
因此，这样定义的分数傅里叶变换确实是一种时（空）-频描述和分析工具分数傅里叶的分类：1.一维分数傅里叶变换分数傅里叶变换的数学表达式有积分形式和级数表达式两种等价形式,1.积分形式2级数表达式形式其中2.二维分数傅里叶变换其中C为相应常系数。
当a=b时, 上式就是二维分数傅里叶变换的表达式; 当a=b=1时, 上式转化为常规二维傅里叶变换; 当a与b不相等时, 我们称这种情况的二维分数傅里叶变换为不对称分数傅里叶变换。
此时在x、y 方向实施的变换级次是不同的。
分数傅里叶变换的性质1周期性：（k为整数）2线性：（c1和c2是复常数）3阶数可加性：4尺度变换特性：5时移特性：6频移特性：7可逆性：对一个函数进行P 级分数傅里叶变换后，接着进行－P 级的分数傅里叶变换，则可得到原函数:分数傅里叶变换的数值算法(1) 基于傅立叶变换矩阵因子幂的离散化算法，利来计算离散的分数傅立叶变换的核矩阵，从而利用FFT来计算离散分数傅立叶。
分数阶傅立叶变换域中测不准原理的下界
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收 稿 日期 ： ０ ９０ — ２ ２ ０ — ９２
基 金 项 目 ： 苏省 教 育 厅 自然 科 学基 金 资 助 项 目（６ Ｄ１ ０ ７ ） 江 ０ｄ 。ｌ “ ， Ｊ Ｘ ｆ
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摘 要 ： 数傅 立 叶 变换是 傅 立 叶变换 的推 广． 立 叶 变换 可 以看作 时 频平 面 的旋 转 ， 分 傅 与传 统 的傅 立 叶变换域 上 的测 不准 原 理 类似． 文章 推 导 出 了一般 信 号在 分 数 傅 立 叶变换 域 测 不 准 原理 的
下 界． 一 结论 可 以方便 地分 析 复信 号在 时域 和 分数 域上 的 不确定 性 关 系． 这 关键 词 ： 数傅 立 叶变换 ； 分 测不 准原 理 ； 角 ； 辐 相位 中图分 类号 ： ２ 文 献标 志码 ： ０２ Ａ 文章 编 号 ： ６ ４３ ８ ２ １ ） １０ ０ —３ １ ７ —５ Ｘ（ ０ ｏ ０ —０ ９０
第 ２ 卷 第 １期 ５
Ｖｏ１ ５ ．２ Ｎｏ．１
徐 州 工 程 学 院 学 报 （自 然 科 学 版 ）
Ｊｕ ｎｌ ｆ ｏ ｒ ａ ｏ Ｘｕ ｈ ｕ ｎ ｔｔ ｔ ｏ ｃ ｎ ｌ ｇ （ ｔ ｒ ｌ ｃｅ ｃ ｓ ｚ ｏ Ｉ ｓ ｉｕ ｅ ｆ Ｔｅ ｈ ｏ ｏ ｙ Ｎａ ｕ ａ Ｓ ｉｎ ｅ Ｅｄ ｔ ｎ ｉｉ ） ｏ
基于分数阶傅立叶变换的湍流退化图像相位恢复算法研究
第 ４期
空
气
动
力
学
学
报
பைடு நூலகம்
Ｖｏ． １ ２８。 Ｎｏ． ４ Ａｕ ｇ．， ０１ ２ ０
２１ ０ ０年 ８月 文 章编 号 ：０ ５ — ８ ５ ２ １ ） ４ ０ ８ — ４ ２ ８ １ ２ （ ０ ０ ０ — ３ １０
ＡＣＴＡ ＡＥＲｏＤ ＹＮＡＭ Ｉ ＣＡ Ｉ ＣＡ Ｓ ＮＩ
及相 位恢 复方法 ｌ 等 。其 中 ， ＿ ７ 相位 恢复 方法 是通 过利 用 目标 图像 的傅 立 叶变换 幅值来 恢 复 目标 图像 ， 由 即
傅立 叶变换 的 幅值得 到 目标 图像 的 自相关 ， 恢复傅 立 叶变换 相位 ， 故相 位恢 复方 法又转 化 为解相 关 问题 的
验结果表明该算法对湍流退化具有较好复原能力 。 关 键 词 ： 动 光 学 ； 流退 化 ； 数 阶 傅 立 叶 变 换 ； 气 湍 分 相位 恢 复 ； 小 二 乘 共 轭 梯 度 最
中 图分 类 号 ： １ ． Ｖ２ １ ３ 文献标识码 ： Ａ
０ 引 言
光 电探 测 系统在对 目标 进行 探测 跟踪 时 ， 光线 受
求解 。相位恢 复 方 法 最 早 由 Ｊ Ｒ ． ．Ｆ ｅ ｕ ｉ ｐ根 据 目标 ｎ
１ 基 于 分 数 阶 傅 立 叶 变 换 的 相 位 恢 复
域和频 域交 替 迭 代 的 Ｇ Ｓ复 原 算 法 改 进 得 来 ， — 称
算 法 原 理
１ １ 分 数 阶 傅 立 叶 变 换 ．
为迭代 傅立 叶变 换 算 法 ， 用 误 差 下 降 （ Ｒ） 和 ］采 Ｅ 法 混合输 入输 出 （ Ｏ） 法 交 替进 行 迭 代 运 算 。文 献 ＨＩ 算
matlab frft的实现过程
matlab frft的实现过程
在Matlab中，实现分数阶傅里叶变换（FrFT）可以通过以下步骤进行：
1. 导入所需的库和函数
在Matlab中导入相关的库和函数，以便使用FrFT相关的函数和工具。
2. 定义输入信号
接下来，定义一个输入信号，可以是一个向量或矩阵，表示我们要对其进行FrFT的数据。
3. 设置分数阶
确定要使用的分数阶参数，即FrFT的阶数。
这个参数决定了变换的性质，例如时间频率关系的变化程度。
4. 执行FrFT变换
使用Matlab中提供的FrFT函数，将定义好的输入信号和分数阶参数作为输入，执行FrFT变换。
5. 分析和处理结果
根据实际需求，对FrFT变换后的结果进行进一步的分析和处理。
可以计算频谱、幅度谱、相位谱等，以便更好地理解信号的特性。
6. 可视化结果
使用Matlab提供的绘图函数，将FrFT变换后的结果可视化，以便更直观地观察和分析信号的特点和变化。
通过以上步骤，我们可以在Matlab中实现分数阶傅里叶变换（FrFT）。
这一过程可以通过调用相应的函数和工具来完成，而无需手动编写算法。
这大大简化了实现FrFT的过程，使得分析和处理信号变得更加高效和方便。
无论是在信号处理、图像处理还是其他领域，FrFT都是一个重要的工具，可以帮助我们更好地理解和处理复杂的信号。
分数傅里叶变换
分数傅里叶变换分数傅里叶定义：分数傅里叶变换的物理意义即做傅里叶变换次，其中不一定要为整数（比傅里叶变换更加广泛）；通过分数傅里叶变换之后，图像或信号便会同时拥有时域与频域两者的特征。
1.1（维基百科）第一种定义:第二种定义：1.2从数学上分数傅立叶变换定义了积分形式：Wigner分布函数相空间定义的分数傅立叶变换A.W.Lohmann在1993 年利用傅里叶变换相当于在Wigner分布函数相空间中角度为π/2的旋转这一性质，说明分数傅里叶变换在Wigner分布函数空间中相当于角度是pπ/2的旋转，这里，p是分数傅里叶变换的级次。
分数傅里叶变换的定义在数学上是等价的。
当分数傅里叶变换的幂次p从0 连续增长到达1 时，分数傅里叶变换的结果相应地从原始信号的纯时间（空间）形式开始逐渐变化成为它的纯频域（谱）形式，幂次p在0到1之间的任何时刻对应的分数傅里叶变换采取了介乎于时（空）域和频域之间的一个过渡域的形式，形成一个既包含时（空）域信息同时也包含频（谱）域信息的混合信号。
因此，这样定义的分数傅里叶变换确实是一种时（空）-频描述和分析工具分数傅里叶的分类：1.一维分数傅里叶变换分数傅里叶变换的数学表达式有积分形式和级数表达式两种等价形式,1.积分形式2级数表达式形式其中2.二维分数傅里叶变换其中C为相应常系数。
当a=b时, 上式就是二维分数傅里叶变换的表达式; 当a=b=1时, 上式转化为常规二维傅里叶变换; 当a与b不相等时, 我们称这种情况的二维分数傅里叶变换为不对称分数傅里叶变换。
此时在x、y 方向实施的变换级次是不同的。
分数傅里叶变换的性质1周期性：（k为整数）2线性：（c1和c2是复常数）3阶数可加性：4尺度变换特性：5时移特性：6频移特性：7可逆性：对一个函数进行P 级分数傅里叶变换后，接着进行－P 级的分数傅里叶变换，则可得到原函数:分数傅里叶变换的数值算法(1) 基于傅立叶变换矩阵因子幂的离散化算法，利来计算离散的分数傅立叶变换的核矩阵，从而利用FFT来计算离散分数傅立叶。
分数阶傅里叶变换
分数阶傅里叶变换
分数阶傅里叶变换（Fractional Fourier Transform，简称FrFT）是傅里叶变换（FFT）的一种变体，主要用于信号和图像的处理和分析，它能够重构信号或图像的频域特征。
跟FFT相比，它可以提供更多的
频域参数，它的使用可以减少信号、图像的处理的时间，提高处理的
速度。
分数阶傅里叶变换的原理是将时域信号和图像通过一定的欧拉角
旋转轴系变换到频域进行处理，此处欧拉角旋转轴系是指改变时域变
量t的旋转角度ω，表示为比率α。
对于某一序列的信号变换到频域，则可以写为：F(ω,α)=Ft(Aw，αω)。
当把FFT的轴系旋转，会到达一个新的傅里叶变换领域，可以构
建分数阶傅里叶变换。
分数阶傅里叶变换的关键参数是α ，α由下
式给出：（ω，α）=（t，αt）。
α参数越大，则傅里叶变换域的
缩放程度也就越大，即改变FFT轴系旋转的程度越大，最终能够把信
号变换到一个更大更远的领域，例如远离原点的时域。
分数阶傅里叶变换的基本运算是通过一组定义的参数，前面已介
绍的α的参数就是其中的关键参数，所有的运算都由这个参数决定，
而信号或图像则由傅里叶变换的子函数来完成变换。
分数阶傅里叶变换过程分为5步：第一步，先检查信号的长度；第二步，根据前面定义的α参数，计算轴系旋转的角度θ；第三步，在频域求解零级子函数来提取信号或图像的特征；第四步，计算转换后的特征值；第五步，对其进行融合，降低噪声等。
分数阶傅里叶变换用在信号和图像处理当中，有着很多应用，例如图像检测、图像压缩等，它能够提高处理效率，减少计算任务的复杂度，同时提供更多的频域参数来进行分析和处理。
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Fk (t) kk (t) e jk /2k (t)
k (t) Hk (t)et2 /2, Hk (t)是k阶Hermite多项式。
Hk (t)＝（－1）ket2 /2
dk dt k
et2 / 2
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分数阶傅立叶变换的定义2：
令 k (t) Hk (t)et2 /2为普通傅立叶变换的特征值 k 对应的特征函数，且构成有限能量信号空间的
F p s ( t )＝ e jp k / 2 c k k ( t ) k0
e jp k / 2 k ( t ) k ( t ) s ( t )d t
k0
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比较原定义：
F ps(u) K p (t,u)s(t)dt
我们得到：
K p (t, u) e jpk /2 k (t) k (u) k 0
分数阶傅立叶变换是将信号在一组正交的 chirp信号上展开，则一个chirp信号的某一阶 次的FRFT也是一个δ函数。
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FRFT的一般研究思路：
单分量、多分量Chirp信号的检测和参数 估计。
雷达信号的目标检测和识别。 SAR和ISAR成像。 运动目标检测和识别。 宽带干扰抑制。
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p
K
2 n 1
2. K p (t,u ) K p (u ,t)
3.
K p (t,u ) K *p (t,u )
4. K p (t,u ) K *p (t, u )
5.
K p (t, z ) K q ( z , u )d z K pq (t, u )
6.
K
p
(t,品课件
主要研究方向和成果
FRFT的基本性质 FRFT与其他时频分析工具的关系 FRFT的光学实现技术和应用 FRFT的数值计算与快速算法 FRFT在信号处理中的应用 高维分数阶傅立叶变换的研究
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FRFT的一般研究思路：
1.将傅立叶变换的应用直接推广到FRFT。
传统的傅立叶变换是将信号在一组正 交完备的正弦基上展开，所以正弦信号的傅立 叶变换是一个δ函数。
短时傅立叶变换和Radon_Wigner变换的关系。 利用已有的研究成果研究分数阶傅立叶变换的 应用。
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FRFT的一般研究思路：
例如：分数阶傅立叶变换和Radon_Wigner变换的 关系。 信号分数阶傅立叶变换的模平方是信号在 该方向的Radon_Wigner变换。 利用这个结果可以研究基于分数阶傅立叶 变换的噪声背景下的线性调频信号检测方法。
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性质4的证明：
利用
K p (t, z ) K q ( z , u )d z K pq (t, u )
F p q ( s ( t ) ) K p q ( t , u ) s ( t )d t
( K p (t, z ) K q ( z , u )d z )s (t )d t
FRFT的一般研究思路：
2.将FRFT视为时频面上的旋转算子 信号FRFT的时频分布是信号时频分布的一
个旋转。 可用于信号间的分离，噪声抑制。这是分
数阶傅立叶域滤波或扫频滤波的基本原理。进 一步提出分数阶傅立叶变换域的最佳滤波的概 念。
可以应用于多路复用技术。
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FRFT的一般研究思路：
3.研究FRFT与其他时频分析方法的关系 研究与Wigner_Ville分布、小波变换、
分数阶傅立叶变换核的频谱展开（奇异值分解）
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H erm ite _ G auss函 数 k (u )刚 好 具 有 性 质 ：
e j 2 ut e jk / 2 k (t ) k (u ) k0
1
j cot
t2 u2 exp( j
cot
j
tu
)
2
2
sin
e jpk / 2 k (t ) k (u )
分数阶傅立叶变换 （Fractional Fourier Fransform)
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简介
1929～1980 早期未被人们重视的研究。 1980年，V.Namias 从特征值和特征函数
的角度提出了分数阶傅立叶变换的概念。 定义为传统傅立叶变换的分数幂形式。 1994年， L.B.Ameida将分数阶傅立叶变 换解释为时频面上的坐标轴旋转。
K q (z,u )( K p (t, z)s(t)dt)dz
K q ( z , u ) F p ( s ( t ) ) d z F q F p ( s ( t ) )
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FRFT的其他定义：
特征函数和特征值（V.Namias,1980)
将傅立叶变换当作信号空间上的算子，
对应的特征方程为：
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Fps(u)
＝
1 jcot s(t)exp( j t2 u2 cot j tu )dt
2
2
sin
s(u)
n 2n
s(u)
(2n1)
其中： p
2
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讨论： 变换核的性质：
1 .变 换 核 是 p的 连 续 函 数 。
有
lim
p 2n
K
p
K 2n
lim K
p 2n1
(u
u
)
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讨论： 变换的性质：
1. 分数阶傅立叶变换是线性变换。 2. F 0s(t) F 4s(t) s(t)
3. F 1s(t ) F 5 s(t ) sˆ( )(傅 立 叶 变 换 ）
4. F p F（q s (t )） F p（q s (t )） (可 加 性 ） 5. F （ 4n p s (t )） F （p s (t )）
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分数阶傅立叶变换的定义：
定义1： 信号s(t)的p阶分数阶傅立叶变换是一个
线性积分运算
F ps(u) Kp (t,u)s(t)dt
其中：Kp (t,u)＝
1 j cot exp( j t2 u2 cot j tu )
2
2
sin
(t u)
(t u)
n
2n (2n 1)
标准基，定义p阶分数阶傅立叶变换为算子：
F p k (t) kp k (t) e jpk / 2 k (t)
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计算：
对 信 号 s (t ),由 { k (t )} 是 标 准 正 交 基 ， 有
s ( t )＝ c k k ( t ) k0
c k s ( t ) , k ( t ) s ( t ) k ( t ) d t