分数傅里叶变换

分数傅里叶变换

分数傅里叶定义：

分数傅里叶变换的物理意义即做傅里叶变换次，其中不一定要为整数（比傅里叶变换更加广泛）；通过分数傅里叶变换之后，图像或信号便会同时拥有时域与频域两者的特征。

1.1（维基百科）

第一种定义:

第二种定义：

1.2

从数学上分数傅立叶变换定义了积分形式：

Wigner分布函数相空间定义的分数傅立叶变换

A.W.Lohmann在1993 年利用傅里叶变换相当于在Wigner分布函数相空间中角度为π/2的旋转这一性质，说明分数傅里叶变换在Wigner分布函数空间中相当于角度是pπ/2的旋转，这里，p是分数傅里叶变换的级次。

分数傅里叶变换的定义在数学上是等价的。当分数傅里叶变换的幂次p从0 连续增长到达1 时，分数傅里叶变换的结果相应地从原始信号的纯时间（空间）形式开始逐渐变化成为它的纯频域（谱）形式，幂次p在0到1之间的任何时刻对应的分数傅里叶变换采取了介乎于时（空）域和频域之间的一个过渡域的形式，形成一个既包含时（空）域信息同时也包含频（谱）域信息的混合信号。因此，这样定义的分数傅里叶变换确实是一种时（空）-频描述和分析工具

分数傅里叶的分类：

1.一维分数傅里叶变换

分数傅里叶变换的数学表达式有积分形式和级数表达式两种等价形式,

1.积分形式

2级数表达式形式

其中

2.二维分数傅里叶变换

其中C为相应常系数。当a=b时, 上式就是二维分数傅里叶变换的表

达式; 当a=b=1时, 上式转化为常规二维傅里叶变换; 当a与b不相等时, 我们称这种情况的二维分数傅里叶变换为不对称分数傅里叶变换。此时在x、y 方向实施的变换级次是不同的。

分数傅里叶变换的性质

1周期性：（k为整数）

2线性：（c1和c2是复常数）

3阶数可加性：

4尺度变换特性：

5时移特性：

6频移特性：

7可逆性：

对一个函数进行P 级分数傅里叶变换后，接着进行－P 级的分数傅里叶变换，

则可得到原函数:

分数傅里叶变换的数值算法

(1) 基于傅立叶变换矩阵因子幂的离散化算法，利来计算离散的分数傅立叶变换的核矩阵，从而利用FFT来计算离散分数傅立叶。其中W是离散傅立叶变换核矩阵

(2) 基于正交投影的离散化算法，对连续分数傅立叶变换的特征函数进行离散化近似和正交投影，得到一组与Hermite-Gaussian函数形状相似的离散傅立叶变换矩阵的正交化离散Hermite特征向量。然后，

仿照连续分数傅立叶变换的核函数谱分解表达式，构造了离散分数傅立叶变换矩阵。

(3) 基于chirp分解的离散化算法。根据分数傅立叶变换的表达式，将分数傅立叶变换分解为信号的卷积形式后，直接离散化，利用FFT 来计算分数傅立叶变换。

2.2.1 基于傅立叶变换矩阵

1基于chirp 分解的离散化算法（FRFT.m和frft22d.m）

对应的分数傅里叶函数：

1)输入信号f(x)与啁啾信号相乘(j将两个信号分别离散化)；

2)进行FT运算；

3)进行尺度变换,系数为cscφ；

4)再与啁啾信号相乘；

5)最后与常数位相相乘。

2基于正交投影的离散化算法(Disfrft.m和cdpei.m)

其计算过程如下：

基于正交投影的离散化算法对连续分数傅立叶变换的特征函数进行离散化近似和正交投影，得到一组与Hermite-Gaussian 函数形状相似的离散傅立叶变换矩阵的正交化离散Hermite 特征向量。然后，仿照连续分数傅立叶变换的核函数谱分解表达式，构造了离散分数傅立叶变换矩阵。此算法适合用来计算连续的分数傅里叶变换。

基于chirp 分解的离散化算法，将分数傅立叶变换分解为信号的卷积形式后，直接离散化，利用FFT 来计算分数傅立叶变换。

图像的分数傅里叶变换

对图像进行分数傅里叶变换分析的目的是确定图像经过分数傅里叶变换后的特性表现，主要包含分数傅里叶变换对图像能量分布和频率分布影响两方面的内容。其中能量分布表现分数傅里叶变换图像的能量聚积性与分数变换阶数的关系，能量聚集性强烈地依赖于其接近于傅里叶变换的程度；频率分布表现在分数傅里叶变换的相位函数包含了图像的纹理频率信息，变换阶数不同，相位函数所含的图像边缘高频信息也不相同。

图像经过某种二维离散变换之后的能量分布体现了图像的变换特征。图像分数傅里叶变换域的能量分布特点是：能量向中心区域聚集性。

(1) 当分数阶次p 由小变大时，由相位函数恢复的图像呈现出图像边缘轮廓变得越来越清晰，这类似于原始图像经历了不同截止频率的高通滤波器。当p 较小时对应于截止频率较低的高通滤波器，低频成份浮现出来，图像边缘模糊；当p 较大时，对应于截止频率较高的高通滤波器，大部分低频成份被滤掉，图像边缘比较清晰， FRFT 逐渐向FT 退化。

(2) 当变换阶数p 由小变大时，仅由幅度函数恢复的图像越来越接近原图像的背景，这类似于原图像经历了不同截止频率的低通滤波器。p 较小时，对应于截止频率较高的低通滤波器，高频分量残留较多，能清晰看到原图像的轮廓；p 较大时，对应于截止频率较低的低通滤波器，大部分高频分量被滤出只显现原图像背景。

(3) 当变换阶数p 为其它值时，由FRFT 相位函数和幅度函数所恢复的图像既包含了原图像的背景信息又包含了原图像的纹理频率信息。由此可以推论这类似于原图像经历了FRFT 的时频滤波，也即将时频平面旋转某一角度后再进行滤波。假如频域滤波器截止频率和带宽固定，当旋转的角度不同(阶数不同)时，时间轴和频率轴上的投影不同，所以频域滤波器输出的频率成分也不同。这表现在恢复的图像上即为相位函数和幅度函数包含的频率成份随阶数而变化。

当变换阶数较小时，由图像的FRFT 的幅度函数和相位函数恢复的图像都显示出很强的图像信息，体现出了较强的空域特性；当变换阶数逐渐增大时，图像的FRFT 的幅度函数恢复的图像所包含的原图像的空域特征逐渐减弱直至消失，相位函数恢复的图像包含原图像的边缘纹理特征逐渐增强。当FRFT 的变换阶数增大到一定程度时，其幅度和相位特征越来越接近FT 域即频域特征。这些结论有力地体现了FRFT 域的空-频双域特征。

采用分数傅立叶变换的图像边缘提取方法

对图像作连续小级数的分数傅立叶变换，相当于对图像作连续的微小变换，当分数级次很小时，肉眼几乎看不出与原图的区别，当级次略有增加，图像边缘与原图有了明显的区别，当继续缓慢增加分数级次时，图像与原图明显不同。通过分析可以看出，图像中对比度低的区域随级次变化缓慢，对比度高的区域（即图像边缘）随级数变化快。由此，取不同级数的分数傅立叶变换后的图像减去原图像，即可得到图像的边缘。不同的分数级数对应不同的形变，选取不同级数变换后的图像相减，即可提取不同尺度的边缘。

图像分数阶Fourier 变换的幅度和相位信息

假设(),F k h 是二维图像(),f x y 的二维Fourier 变换()()2,,D F k h FT f x y = （8） 我们可以把(),F k h 分解成幅度部分和相位部分，即

()()()()(),,,,,F k h F k h P k h A k h P k h ==? （9） 其中 ()(),,A k h F k h =为幅度函数，()()(),,,P k h F k h A k h =为相位函数，

结论：

1. 当变换阶数P由小变大时，仅由相位函数恢复的图像，显现原图像的边缘越来越清晰，这类似于原图像经历了不同截止频率的高通滤波器。p较小时(0.01)对应于截止频率较低的高通滤波器，低频成份浮现出来，使提取的边缘模糊，如图4(b)所示；p较大时(0.8)，对应于截止频率较高的高通滤波器，大部分低频成份被滤出，提取的边缘较清晰，如图5(d)所示，此时FRFT基本退化为FT。

2. 同理,当变换阶数P由小变大时，仅由幅度函数恢复的图像越来越接近原图像的背景，这类似于原图像经历了不同截止频率的低通滤波器。p较小时(0.01)，对应于截止频率较高的低通滤波器，高频分量残留较多，还能清晰看到原图像的轮廓，如图4(a)所示；p较大时(0.8)，对应于截止频率较低的低通滤波器，大部分高频分量被滤出，此时仅显现原图像的背景，如图6(c)所示。

3. 当变换阶数P为其它任意值时，由FEFT相位函数和幅度函数所恢复的图像既包含了原图像的背景又包含了原图像的纹理，如图4(b)、图4（c）、图5（a）、图5（b）所示。针对这种情况，我们可以推论这类似于原图像经历了FRFT的时频滤波，也即将时频平面旋转某一角度后再进行滤波。假如频域滤波器截止频率和带宽固定，当旋转的角度不同（阶数不同）时，时间轴和频率轴上的投影不同，所以频域滤波器输出的频率成分也不同。表现在恢复的图像上即为相位函数和幅度函数包含的频率成份随阶数而变。

分数傅里叶变换（采用chirp信号的方法）a从0.1-1过程中，相应的分数傅里叶变换。从图中可以发现，两个区域信息的相互转换。

相应的幅值信息（a从0.1-1）

相应的相位信息(即：f/|f|，其中f为相应分数傅里叶变化后，输出的信号)

相应的幅值信息进行逆变换

根据相位信息进行相应的逆变换，可以发现图像的边缘信息，消除了图像的背景信息。

总结

通过分数傅里叶变换和其逆变换可以找到一些图像的主体边缘信息，但是有些图像边缘的采集并不是很好，对于背景信息的剔除不是很好。对于区域的选择不是很准确，它主要是根据灰度的变换率，而不是根据像素去识别边界。

傅里叶变换主要是进行像素变化率的识别，即高频和低频的识别和分类。因此容易受到其他背景信息的干扰和影响。同时对于区域信息的判断和识别，它也不能很好的去进行判断和分类。

存在的问题：

1，目前还不是很确定相应的幅值信息逆变换后，对应的是图像的什么信息（文章中说主要市背景信息），如何利用它来帮助去识别区域信息。

2，对于相应的相位信息，是否可以先对其进行相关的预处理，使其保持很好的效果，然后再进行逆变换。对于相位信息采用什么预处理的方法。