2020年新高考数列专题复习

2020年新高考数列最全专题复习

一、数列知识的梳理

1.等差数列的通项公式和前n 项和公式

如果等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，那么它的通项公式是：

)()1(11d a dn d n a a n -+=-+=

如果等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，那么它的前n 项和公式是：

n d

a n d d n n na n a a S n n )2

(22)1(2)(1211-+=-+=+=

2.等差数列的性质

(1)通项公式的推广：),()(*N m n d m n a a m n ∈-+=.

(2)若{}n a 为等差数列，且),,,(*N n m l k n

m l k ∈+=+，则n m l k a a a a +=+.

(3)若{}n a 是等差数列，公差为d ，则{}n a 2也是等差数列，公差为d 2. (4)若{}n a ，{}n b 是等差数列，则{}n n qb pa +也是等差数列. (5)若{}n a 是等差数列，公差为d ，则),(,,*2N m k a a a m k m k k ∈++ ，是公差为md 的等

差数列.

(6)数列 ,,,232m m m m m S S S --构成等差数列.

3.等比数列的通项公式和前n 项和公式

如果等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，那么它的通项公式是：

)0(1

1≠?=-q q a a n n

如果等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，那么它的前n 项和公式是：

???

??≠--=

--==.

111)1(;1111

q q q

a a q

q a q na S n n n

4.等比数列的性质

(1)通项公式的推广：),(*N m n q

a a m

n m n ∈?=-.

(2)若{}n a 为等比数列，且),,,(*N n m l k n

m l k ∈+=+，则n m l k a a a a ?=?.

(3)若{}n a ，{}n b （项数相同）是等比数列，则{}{}

{}}{,,},1

{),0(2n

n n

n n n b a b a a a a n ?≠λλ仍是等比数列.

(4)公比不为-1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则 ,,,232n n n n n S S S --仍成等比数列，其公比为n

q .

(5)若{}n a 是公比不为1的等比数列，

)1,0,0,0(≠≠≠=++=?q q A B A B Aq S n n 且.

二、数列通项的几种求法 1.累加法：

数列的基本形式为：)()

(*1N n n f a a n n ∈=-+.

等式左边)()()()()(11223211a a a a a a a a a a n n n n n -=-+-++-+-=--- 等式左边)1()2()2()1(f f n f n f +++-+-= 所以：1)1()2()2()1(a f f n f n f a n ++++-+-= .

例1 已知{}n a 的首项)(,

2,1*11N n n a a a n n ∈+==+，求{}n a 的通项公式.

2.累乘法：

数列的基本形式为：)()(*1

N n n f a a n

n ∈=+. 等式左边1

1223211a a a a a a a a a a n n n n n =+???=

--- 等式左边)1()2()2()1(f f n f n f ???-?-= 所以：1)]1()2()2()1([a f f n f n f a n ????-?-= . 例2 已知{}n a 的首项)(,2

,2*11N n a n n

a a n n ∈+=

=+，求{}n a 的通项公式.

2.公式法：

若n S 为数列{}n a 的前n 项和，即：n n a a a a S ++++= 321，则

???≥-==-.2;111

n S S n S a n n

n

例3 数列{}n a 中，n S 是前n 项和，若)2(,3

1

,211≥==+n S a a n n ，求{}n a 的通项公式.

4.待定系数法：

数列{}n a 有形如)1(1≠+=+k b ka a n n 的关系时，可用待定系数法求得{}t a n +为等比数列，进而求得n a .

即：)(1t a k t a n n +=++

展开可得：t k ka a n n )1(1-+=+，其中1

-=k b t .

例4 已知数列{}n a 满足关系，231+=+n n a a 且11=a ，求{}n a 的通项公式.

5.倒数法：

数列{}n a 有形如n n n a k a a =++)(1的关系时，可先用倒数法，再用待定系数法求n a . 即：n n n n a ka a a =+?++11 两边同时除以n n a a ?+1，可得：1

11+=+

n n a a k 将

n

a 1

看成一个整体运用待定系数法，从而得出n a .

例5已知数列{}

n

a满足关系，

3

1+

=

+

n

n

n a

a

a且)

(

2*

1

N

n

a∈

=，求{}n a的通项公式.

课堂练习：

1.已知等差数列{}

n

a中，51

,

28

6

10

=

=S

a，求数列{}n a的通项公式.

2.已知数列{}

n

a满足，1

2

,1

1

1

+

+

=

=

+

n

a

a

a

n

n

，求数列

{}

n

a的通项公式.

3.已知数列{}

n

a满足，n

n

n

a

a

a2

,11

1

=

=+，求数列{}

n

a的通项公式.

4.已知数列{}

n

a的前n项和

n

S满足，2)1

(

4

1

+

=

n

n

a

S且0

>

n

a，求数列{}n a的通项公式.

5.已知数列{}

n

a满足，1

2

,1

1

1

+

=

=

+n

n

a

a

a，求数列{}n a的通项公式.

6.已知数列{}

n

a满足，

2

2

,1

1

1+

=

=

+

n

n

n a

a

a

a，求数列{}

n

a的通项公式.

三、数列前n 项和的求法： 1.裂项相消法：

一般地，若是公差为d 的等差数列，则有：

)1

1()1(114321321321n

n n a a ·a ·a a a ·a ·a d n a a ·a ·a --=-

特殊的裂项公式： （1）1

1

1)1(1+-=+=n n n n a n ；

（2）)1

21

121(21)12)(12(1+--=+-=n n n n a n ；

（3）n n n n a n -+=++=11

1.

例6 已知数列{}n a 是递增的等比数列，且8,93241=?=+a a a a .

⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1

1

++=n n n n S S a b 求数列{}n b 的前前n 项和n T .

例7 已知数列{}n a 满足)(1,1*

11N n n a a a n n ∈+=-=+，求数列}1

{

n

a 的前10项和.

2.错位相减法：

一般地，若数列{}n a 是公差为d 的等差数列，数列{}n b 是公比为q 的等比数列，若n n n b a c ?=，则数列{}n c 的前n 项和n S ：

n n n b a b a b a b a b a S +++++= 44332211…………………………① 154433221++++++=n n n b a b a b a b a b a qS ………………………②

①—②得：

143211)()1(+-+++++=-n n n n b a b b b b d b a S q

若1≠q 时，2

1

2111)1(1q b b d q b a b a S n n n n --?+--=

++

若1=q 时，2

)(11n

a a

b S n n ?+?=.

例8 已知数列{}n a 满足n n a n

a a ?+==+2

11112,

2）（.

⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵令n n n a a b 2

1

1-=+，求数列{}n b 的前n 项和n S .

课堂练习：

1. 已知等比数列{}n a 中，16,241==a a .

⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵令*1

22log log 1

N n a a b n n n ∈?=+，求数列{}n b 的前n 项和n S .

2. 已知等比数列{}n a 中，*11),

1()1(,1N n n n a n na a n n ∈+++==+.

⑴证明：求数列?

??

??

?n a n 是等差数列； ⑵设n n

n a b ?=3，求数列{}n b 的前n 项和n S .

四、等差、等比数列的综合应用

例9 已知数列{}{

}n n b a ，满足3,4,6332211======b a b a b a ，且数列{})*1N n a a n n ∈-+（是等差数列，{}2-n b 是等比数列，求数列{}n a 和{}n b 的通项公式.

五、课堂小结： 1.数列知识梳理： ①等差数列；

②等比数列的通项公式； ③前n 项和公式及性质； 2.数列通项的求法： ①累加法； ②累乘法； ③公式法； ④待定系数法； ⑤倒数法.

3.数列前n 项和的求法： ①裂项相消法； ②错位相减法。

4.等差数列和等比数列的综合应用