cplex求解运输问题实例
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第四章 运输问题(Transportation Problem)
2020/6/14
29
第三步：按σij=cij-(ui+vj), i,j∈N计算所有空格的检验数。如 σ11=c11-(u1+v1)=3-(0+2)=1， σ12=c12-(u1+v2)=11-(0+9)=2 这些计算可直接在上表中进行。 为了方便，特设计计算表，如下表所示
销地
B1
B2
B3
加工厂
B4
1.闭回路法； 2.位势法
2020/6/14
22
1 闭回路法
在给出调运方案的计算表上，如上例表，从每一空格出发找一条闭回路。
它是以某空格为起点，用水平或垂直线向前划，当碰到一数字格时可以
转90°后，继续前进，直到回到起始空格为止。闭回路如图(a),(b),(c)
等所示。
销 地 B1 B2 B3 B4 产
沃格尔法的步骤是：
第一步：在原表中分别计算出各行和各列的最 小运费和次小运费的差额，并填入该表的最右列 和最下行，见表4-1
2020/6/14
17
表4-1
销 地 B1 B2 B3 B4 行差额 产地
A1
3 11 3 10
0
A2
19 2 8
1
A3
7 4 10 5
1
列差额
25 1 3
第二步：从行或列差额中选出最大者，选择它所 在行或列中的最小元素。在表4-1中B2列是最大 差额所在列。B2列中最小元素为4，可确定A3 的产品先供应B2的需要。得表4-2：
2020/6/14
6
运输问题数学模型的一般形式
若用xij表示从Ai到Bj的运量，那么在产销平衡的条件下，要求得总
运费最小的调运方案，其数学模型为
基于目标规划的神朔铁路运行方案运输能力分析
基于目标规划的神朔铁路运行方案运输能力分析摘要：铁路的运行方案在不同的天窗期所能满足的运量目标，除了考虑铁路线路的通过能力，还要考虑机车约束、不同的货物列车约束等因素。
为求得满足这些目标问题的运输方案满意解，分析现行运行方案能否满足运输目标，根据这些目标问题的优先级不同，运用目标规划模型求解分析。
关键词：目标规划：神朔铁路：运输能力：重载铁路1 引言2015年，神朔铁路达到年运量2.17亿吨，未来期望最高运能3亿吨。
需根据铁路线路的能力、机车以及车辆等约束计算铁路线路能满足的最大运量，并通过分析数据，解决提升重载铁路最大运量这一问题[1，2]。
2 模型的建立2.1基于目标规划的铁路运行方案运输能力模型首先建立四个优先等级。
1.神朔铁路线年运输货物量不得少于G亿吨，取历史最高量和规划最大量。
2.列车通过能力有效度系数不得少于x%。
3.车辆使用的台数日不得超过N1辆。
4.机车使用的台数日均不超过M台。
设某重载铁路上在非天窗期和h天窗日和h天窗日上每天分别开行万吨级货物列车，，列，五千吨级货物列车，，列。
据此可用目标规划建模如下：=（非天窗期）（h天窗日）（h天窗日）（非天窗期）（h天窗日）（h天窗日）2.2 变量说明本文使用的符号变量如表1所示表1 符号变量与含义2.3 约束条件说明（1）优先等级：运量目标重载铁路专线要求年货运量不少于G亿吨，则年货运量不应少于万吨。
通常重载专线的货源充足，货流波动极小，故K可以忽略。
考虑到天窗日不同货物列车能运输的货物量不同，则重载铁路一年的货物运输量为：万吨。
由此得：=（2）优先等级：能力约束追踪列车间隔时间I，决定于同列车间隔距离，列车运行速度及车站，机务供电等能力限制，根据万吨列车和5千吨列车运行实际，在货物列车通过能力有效度系数为d的条件下，非天窗日，x小时天窗日，y小时天窗日的一昼夜能利用的时间分别为，，。
由此得约束方程为；；。
（3）优先等级：万吨级货车车辆限制设1万吨列车的车底周转时为，日均运用货车辆数与列车周转时间有关，装卸作业时间与列车中编挂的车辆数呈正相关关系。
运输问题的软件求解
11 3
B3
2
10
B4
10
产 量 7
A1 A2 A3
销 量
1
7
9
4
8
5
4
9 6
3
6
5
一、运输问题与数学模型
设 xij 表示产地 Ai 运往销地 Bj (i=1,2,…,m;
j=1,2,…,n) 的运量. 1、产销平衡问题
min z cij xij
i 1 j 1
ij
即
产地
a b
运行得结果：
x11 1, x13 1, x22 1, x23 1, x33 1; z 40
表1
航 线
1 2 3 4
表2
起点 城市
E B A D
终点 城市
D C F B
每天航班 数
3 2 1 1
到 从
A 0 1 2
B 1 0 3
C 2 3 0
D 14 13 15
E 7 8 5
B1
B2
B3
B4
产 量
3
1 7
11
9 4
3
2 10108源自574 93
6
5
6
三、应用案例分析
例 1 (生产调度问题)某制冰厂每年1~ 4 季度必须供 应冰块 15、20、25、10（千吨）.已知该厂各季度冰 块的生产能力及冰块的单位成本如表. 如果生产出来 的冰块不在当季度使用，每千吨冰块存储一个季度 费用为4（千元）.又设该制冰厂每年第3季度末对贮 冰库进行清库维修.问应如何安排冰块的生产，可使 该厂全年生产、 季 度 生产能力（千吨） 单位成本（千元） 1 25 5 存储费用最少？ 2 18 7 试建立该问题 3 16 8 的运输模型。 4 15 5
B3
2
10
B4
10
产 量 7
A1 A2 A3
销 量
1
7
9
4
8
5
4
9 6
3
6
5
一、运输问题与数学模型
设 xij 表示产地 Ai 运往销地 Bj (i=1,2,…,m;
j=1,2,…,n) 的运量. 1、产销平衡问题
min z cij xij
i 1 j 1
ij
即
产地
a b
运行得结果：
x11 1, x13 1, x22 1, x23 1, x33 1; z 40
表1
航 线
1 2 3 4
表2
起点 城市
E B A D
终点 城市
D C F B
每天航班 数
3 2 1 1
到 从
A 0 1 2
B 1 0 3
C 2 3 0
D 14 13 15
E 7 8 5
B1
B2
B3
B4
产 量
3
1 7
11
9 4
3
2 10108源自574 93
6
5
6
三、应用案例分析
例 1 (生产调度问题)某制冰厂每年1~ 4 季度必须供 应冰块 15、20、25、10（千吨）.已知该厂各季度冰 块的生产能力及冰块的单位成本如表. 如果生产出来 的冰块不在当季度使用，每千吨冰块存储一个季度 费用为4（千元）.又设该制冰厂每年第3季度末对贮 冰库进行清库维修.问应如何安排冰块的生产，可使 该厂全年生产、 季 度 生产能力（千吨） 单位成本（千元） 1 25 5 存储费用最少？ 2 18 7 试建立该问题 3 16 8 的运输模型。 4 15 5
(典型例题)《运筹学》运输问题
第四天送洗：y451200
xj0，yij0，zij0，（i=1,┈,4；j=1,┈,5）
2008/11
--22--
--《Ⅵ 产量
新购 1 第一天 M 第二天 M 第三天 M
第四天 M
1 1 1 1 0 5200
0.2 0.1 0.1 0.1 0 1000
2008/11
--21--
建立模型：
--《运筹学》 运输问题--
设 xj—第j天使用新毛巾的数量；yij—第i天送第j天使用快洗 餐巾的数量；zij—第i天送第j天使用慢洗餐巾的数量；
Min z=∑xj+∑∑0.2yij+∑∑0.1zij
第一天：x1=1000
需 第二天：x2+y12=700
求 约
m1
xij b j (j 1,2,...,n)
i1
x 0 (i 1,...,m,m 1; j 1,...,n) ij
2008/11
--16--
--《运筹学》 运输问题--
销＞产问题单位运价表
产地销地 B1 B2 ┈
A1
C11 C12 ┈
A2
C21 C22 ┈
┊ ┆┊┈
Am Cm1 Cm2 ┈
2008/11
--8--
产销平衡表
--《运筹学》 运输问题--
单位运价表
B1 B2 B3 B4 产量
A1 (1) (2) 4 3 7 A2 3 (1) 1 (-1) 4 A3 (10) 6 (12) 3 9 销量 3 6 5 6
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
Ⅰ Ⅱ
示。又如果生产出来的柴
Ⅲ
xj0，yij0，zij0，（i=1,┈,4；j=1,┈,5）
2008/11
--22--
--《Ⅵ 产量
新购 1 第一天 M 第二天 M 第三天 M
第四天 M
1 1 1 1 0 5200
0.2 0.1 0.1 0.1 0 1000
2008/11
--21--
建立模型：
--《运筹学》 运输问题--
设 xj—第j天使用新毛巾的数量；yij—第i天送第j天使用快洗 餐巾的数量；zij—第i天送第j天使用慢洗餐巾的数量；
Min z=∑xj+∑∑0.2yij+∑∑0.1zij
第一天：x1=1000
需 第二天：x2+y12=700
求 约
m1
xij b j (j 1,2,...,n)
i1
x 0 (i 1,...,m,m 1; j 1,...,n) ij
2008/11
--16--
--《运筹学》 运输问题--
销＞产问题单位运价表
产地销地 B1 B2 ┈
A1
C11 C12 ┈
A2
C21 C22 ┈
┊ ┆┊┈
Am Cm1 Cm2 ┈
2008/11
--8--
产销平衡表
--《运筹学》 运输问题--
单位运价表
B1 B2 B3 B4 产量
A1 (1) (2) 4 3 7 A2 3 (1) 1 (-1) 4 A3 (10) 6 (12) 3 9 销量 3 6 5 6
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
Ⅰ Ⅱ
示。又如果生产出来的柴
Ⅲ
cplex教程六
第六章 IBM ILOG CPLEX在动车组运用优化中的应用
（四）运行求解：
运行配置文件后，求解结果如下： // solution (optimal) with objective 2 AX = [[1 0 0] [0 1 0] [0 0 1]]; BX = [[1 0 0] [0 1 0] [0 0 1]]; 这说明该运行图最少需要模型求解的2台加上牵引跨0点运行 线6的1台总共3台机车进行牵引。
这是一个多目标规划模型，第一个目标是使用的机车数最小； 第二个目标是机车在站的停留时间最短；第三个目标是机车 的运用最均衡。第一个目标的优先级别高于第二个高于第三 个，在求解中可先利用CPLEX对第一个目标进行求解，然后
第一个目标作为约束，对第二个目标进行求解，然后将第二
个目标作为约束，对第三个目标求解。得出的结果，即为机 车周转图的优化结果。
min 2 x12 d12 x14 d14 x16 d16 90 x32d32 x34d 34 x36d 36 90 x52d 52 x54d 54 x56d 56 90
2 2 2
x21d 21 x41d 41 x61d 61 180 x23d 23 x43d 43 x63d 63 180 x25d 25 x45d 45 x65d 65 180
第六章 IBM ILOG CPLEX在动车组运用优化中的应用 有时上述的机车周转问题根据区段和线路实际情况的不同， 需要考虑如下的因素： 1. 运行图中上下行列车数是否相等。 2. 牵引区段是否固定。 3.机车的牵引定数是否都相同。 4.是否考虑单机走行。 这些因素要根据实际情况添加相应的约束，相应的模型的复 杂程度会有所增加。
运输问题(第三章线性规划5)
0 ... m行 1 ... Pij 0 ... n行 1 ... 0
i行
m+j行
系数矩阵A的秩为m+n-1 ， 即 R(A)=m+n-1
x1n x2 n xmn x11 x12 x1n 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 A 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 11 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0
销地 加工厂 A1 A2 A3 销量
B1 3
B2 11 4 9
B3 3 2 10 5
B4
产量 10 8 7 4 9
3
3
1 7 3
1
6
6
4
3
6
5
实例
销地 加工厂 A1 A2 A3 销 量
用闭回路法求判别数 产 量 7 4 9 20
B1
B2
B3
B4
1
+1
3
1
11
9
4
-1
3
3 10
8
3 -1
7
6
6
4
2 1 +1 10
运输问题
一、运输问题的提出 二、 产销平衡运输问题的数学模型 三、产销平衡运输问题的求解方法 四、产销不平衡的运输问题
一、运输问题的提出
例：有一家罐头厂，下设甲、乙、丙三个分厂，向A、B、C三 个地区供应其产品，其数据如下表所示。问如何调运才能使 总运费最少？ 销地 产地 甲 A 5 6 3 40 B 1 4 2 20 C 7 6 5 50 产量 （箱） 10 80 20
m行
i行
m+j行
系数矩阵A的秩为m+n-1 ， 即 R(A)=m+n-1
x1n x2 n xmn x11 x12 x1n 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 A 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 11 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0
销地 加工厂 A1 A2 A3 销量
B1 3
B2 11 4 9
B3 3 2 10 5
B4
产量 10 8 7 4 9
3
3
1 7 3
1
6
6
4
3
6
5
实例
销地 加工厂 A1 A2 A3 销 量
用闭回路法求判别数 产 量 7 4 9 20
B1
B2
B3
B4
1
+1
3
1
11
9
4
-1
3
3 10
8
3 -1
7
6
6
4
2 1 +1 10
运输问题
一、运输问题的提出 二、 产销平衡运输问题的数学模型 三、产销平衡运输问题的求解方法 四、产销不平衡的运输问题
一、运输问题的提出
例：有一家罐头厂，下设甲、乙、丙三个分厂，向A、B、C三 个地区供应其产品，其数据如下表所示。问如何调运才能使 总运费最少？ 销地 产地 甲 A 5 6 3 40 B 1 4 2 20 C 7 6 5 50 产量 （箱） 10 80 20
m行
cplex中文教程 第四章
第四章IBM ILOG CPLEX在高速铁路列车运行图编制中的应用 数据文件：
例1：假定2列中速列车，1列高速列车，5个车站。
数据文件编码为：
nctrain=2; nhtrain=1; nstation=5; a=[4,4,4,4,4]; d=[3,3,3,3,3]; r=[[24,8,20,38],[24,8,20,38],[16,6,13,25]]; b=[[1,1,1,1,1],[1,1,1,1,1],[1,1,1,1,1]]; c=[[2,2,2,2,2],[2,2,2,2,2],[2,2,2,2,2]]; w=[[0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0]]; M=100000000; e=[[0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0]];
停站时间约束
yik xi变
k 2Sik ik qij (i 1, 2, j
, N ; k 2,3,
, m 1)
, N ; k 2,3,
, m 1)
第四章IBM ILOG CPLEX在高速铁路列车运行图编制中的应用
第四章IBM ILOG CPLEX在高速铁路列车运行图编制中的应用 例2求解结果：
// solution (optimal) with objective 1606 x = [[0 17 39 59 101 129 152] y = [[0 17 40 59 102 129 152] [0 21 43 63 106 135 159] [3 22 43 65 106 136 159] [0 26 54 79 131 164 191] [6 26 55 81 132 164 191] [0 59 81 101 143 171 194] [42 59 82 101 144 171 194] [0 63 85 105 147 174 197] [45 64 85 107 147 174 197] [0 66 88 108 151 180 204] [48 67 88 110 151 181 204] [0 73 102 127 180 215 243] [51 74 103 129 181 216 243] [0 110 131 151 194 223 246] [94 110 131 153 194 223 246] [0 114 136 156 198 226 249] [97 114 137 156 199 226 249] [0 117 140 162 206 234 257]] [100 117 141 164 207 234 257]]
CPLE在运输问题中的应用
产销不平衡例子
例2：某公司从两个产地A1、A2将物品运往 三个销售地B1、B2、B3，各产地的产量、 各销地的销量和各产地运往各销地每件物 品的运费如下表所示，问：应如何调运可 使总运输费用最小？
B1
B2
B3
产量
A1
6
4
6
200
A2
6
5
5
300
销量
250
200
200
解：
先增加一个虚拟产地A3，运输费用为0，因 此变成了一个标准的运输问题，其新表为
三、运输问题在CPLEX中建模与求 解
因此如果只建立一个mod文件的话，假如命名的为 “trans1.mod”，例1的OPL建模语言可以是：
{string} SCities ={"A1", "A2"}; {string} DCities ={"B1", " B2", " B3"};
float Supply[SCities] = [200, 300]; float Demand[DCities] = [150, 150, 200]; assert sum(o in SCities) Supply[o] == sum(d in DCities) Demand[d]; float Cost[SCities][DCities] = [ [6, 4, 6], [6, 5, 5] ];
问：如何安排运输使得总运费最小？
bands
FRA
DET
LAN
WIN
STL
FRE
LAF
供应量
GARY
30
10
8
10
11